Принцип возможных перемещений

Принцип возможных перемещений примеры с решением задач

Виртуальными (возможными) перемещениями называют всякую совокупность бесконечно малых перемещений, которые могут быть у точек механической системы в данный фиксируемый момент времени при сохранении наложенных на систему связей. Виртуальное перемещение Принцип возможных перемещений точки системы обозначается через Принцип возможных перемещений а его проекции на оси координат - через Принцип возможных перемещений Принцип возможных перемещений Виртуальное перемещение является воображаемым перемещением в данный момент времени, в отличие от которого действительное перемещение системы происходит в определенном направлении под действием системы приложенных сил и при непрерывном изменении времени и является дифференциалом Принцип возможных перемещений а его проекции Принцип возможных перемещений

Принцип виртуальных перемещений доказывается для случая, когда на систему наложены стационарные (в уравнения связей время Принцип возможных перемещений явно не входит), идеальные связи. Идеальными связями называются связи, сумма элементарных работ сил реакций которых на всех виртуальных перемещениях равна нулю, т. е.

Принцип возможных перемещений

где Принцип возможных перемещений - равнодействующая реакций связей, действующих на Принцип возможных перемещений

точку; Принцип возможных перемещений - виртуальное перемещение Принцип возможных перемещений точки механической системы.

Отметим, что действительное перемещение точки в случае стационарных связей является одним из числа виртуальных перемещений. Для нестационарных связей действительное перемещение уже не является частным случаем виртуального, т. к. виртуальное перемещение рассматривается при мгновенно остановленных связях, то есть при фиксированном значении момента времени.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теоретической механике:

Предмет теоретическая механика: формулы и лекции и примеры заданий с решением

Принцип виртуальных перемещений дает необходимое и достаточное условие равновесия механической системы и формулируется следующим образом: для того чтобы рассматриваемое положение механической системы, подчиненной идеальным стационарным связям, являлось положением равновесия этой системы, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех активных сил, действующих на систему, при любом ее виртуальном перемещении из этого положения равнялась нулю:

Принцип возможных перемещений

Уравнение (1) в скалярной форме принимает вид

Принцип возможных перемещений

где Принцип возможных перемещений - проекции вектора Принцип возможных перемещений на оси координат. Это уравнение часто называют уравнением работ.

  • Обобщенными координатами Принцип возможных перемещений механической системы называются независимые друг от друга параметры, при помощи которых можно определить в каждый момент времени положение этой системы и через которые можно выразить декартовы координаты всех ее точек.

Число независимых обобщенных координат называется числом степеней свободы данной системы.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Применение принципа Даламбера

Равновесие плоской системы сил

Яблонский теоретическая механика

Теоретическая механика решебник

Принцип виртуальных перемещений в обобщенных координатах выражается следующим образом:

Принцип возможных перемещений

где Принцип возможных перемещений - обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате Принцип возможных перемещений Обобщенные силы определяют как коэффициенты при Принцип возможных перемещений в выражении

Принцип возможных перемещений

или по следующей формуле:

Принцип возможных перемещений

где Принцип возможных перемещений - элементарная работа всех активных сил, действующих на систему, на таком возможном перемещении системы, при котором изменяется только данная обобщенная координата Принцип возможных перемещений

Методика применения принципа виртуальных перемещений для решения задач статики

Геометрическая статика является статикой твердого тела и не дает единого метода определения условий равновесия любой механической системы, имеющей то или иное число степеней свободы. Путем расчленения системы на отдельные твердые тела можно получить ее условия равновесия, однако этот путь требует введения в уравнения, а затем исключения из них большого числа дополнительных неизвестных (реакций внутренних связей), что существенно усложняет процесс решения, и в конечном итоге получаются не общие условия, а условия равновесия данной конкретной механической системы.

  • Принцип возможных перемещений дает эффективный метод определения условий равновесия любой механической системы. При этом могут быть решены и задачи, которые методами геометрической статики принципиально решить нельзя, например такие, в которых часть звеньев (тел) системы скрыта.

Можно указать общую последовательность решения задач статики посредством применения принципа виртуальных перемещений. Эта последовательность сводится к следующему:

• изобразить на рисунке все активные силы, действующие на механическую систему;

• определить количество степеней свободы механической системы и выбрать независимые виртуальные перемещения точек системы в числе равном числу степеней свободы этой системы;

• дать виртуальное перемещение, соответствующее одной из степеней свободы, считая при этом виртуальные перемещения, соответствующие остальным степеням свободы, равными нулю. Выразить возможные перемещения точек приложения сил через это виртуальное перемещение;

• вычислить сумму работ всех сил на соответствующих виртуальных перемещениях их точек приложения, и эту сумму приравнять нулю;

• произвести такие выкладки для каждого из независимых возможных перемещений, составить систему уравнений равновесия в числе равном числу степеней свободы системы;

• решив систему составленных уравнений равновесия, определить искомые величины.

Задачи, решаемые при помощи принципа виртуальных перемещений, можно разбить на следующие основные типы:

  • 1. Нахождение зависимости между силами, действующими на систему, при заданном положении равновесия.
  • 2. Определение параметров, определяющих положение равновесия системы, при заданных силах, действующих на систему.
  • 3. Определение реакций связей.
  • 4. Решение задач при безразличном равновесии.
  • 5. Решение задач при наличии освобождающих связей.

Краткая теория

При исследовании равновесия сложных несвободных систем необходимо определить реакции связей, действующие на системы, не обладающие ни одной степенью свободы. К таким системам относятся сооружения, несущие нагрузку, так как они должны быть неизменяемыми и неподвижно прикрепленными к земле.

Применение уравнений равновесия усложняет задачу. Для расчета реакций связей в этом случае используется принцип возможных перемещений, который устанавливает общее условие равновесия механической системы и выражается уравнением

Принцип возможных перемещений

Это уравнение называют уравнением работ. При расчете реакций связей отбрасывают ту связь, реакцию которой требуется определить. Действие связи заменяют ее реакцией, которая переходит в число задаваемых сил. При этом система, освобожденная от одной связи (если она статистически определима), получает одну степень свободы.

Затем системе сообщают возможное перемещение, соответствующее этой степени свободы. Составляют уравнение работ согласно уравнению (6.1), в которое входят не только задаваемые силы, но и реакция отброшенной связи. Из этого уравнения сразу определяют искомую реакцию. Для определения других связей поступают так же, отбрасывая снова только одну связь, сообщая системе одну степень свободы.

Определение реакций связей составной конструкции

В данной работе предлагается макет конструкции и требуется определить реакции связей. Виды связей приведены студенту в табл. 6.1, там же указана нагрузка, действующая на данную систему. Вариант задания выдается преподавателем.

Последовательность выполнения работы

а) Построить заданную схему по макету с указанием вида опор и внешней нагрузки. Эти данные следует взять из табл. 6.1 по варианту, выданному преподавателем.

б) Используя принцип возможных перемещений, определить реакции в опорах и результат вычислений занести в табл. 6.2.

в) Выполнить внеаудиторное задание согласно выданному варианту конструкции. Схемы конструкций представлены на рис. 6.1 а - 6.30 а.

Пример решения задач

Дана конструкция, состоящая из двух балок Принцип возможных перемещений и Принцип возможных перемещений соединенных в точке Принцип возможных перемещений с помощью цилиндрического шарнира (рис. 6.1). В точке Принцип возможных перемещений система имеет шарнирно-неподвижную опору, а в точках Принцип возможных перемещений и Принцип возможных перемещений шарнирно-подвижные опоры.

Конструкция нагружена двумя сосредоточенными силами Принцип возможных перемещений Принцип возможных перемещений парой сил с моментом Принцип возможных перемещений и равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью Принцип возможных перемещений Длина балки Принцип возможных перемещений где Принцип возможных перемещений

Определить при помощи принципа возможных перемещений реакции неподвижной шарнирной опоры Принцип возможных перемещений и реакции подвижно-шарнирных опор Принцип возможных перемещений и Принцип возможных перемещений

Реакцию неподвижной шарнирной опоры Принцип возможных перемещений определим по горизонтальной и вертикальной составляющим.

  • Для определения составляющей Принцип возможных перемещений мысленно отбросим связь, препятствующую горизонтальному перемещению балки, т.е. заменим неподвижную шарнирную опору Принцип возможных перемещений шарнирной опорой на катках, приложив при этом к балке горизонтальную реакцию Принцип возможных перемещений (см. рис. 6.2). Получим составную балку, которая имеет все опоры на катках.

Принцип возможных перемещений

Принцип возможных перемещений

Сообщим этой балке возможное перемещение (горизонтальное) Принцип возможных перемещений , направленное вправо. Работа всех вертикальных сил на горизонтальном перемещении Принцип возможных перемещений равна нулю. Работа пары сил, определяемая формулой Принцип возможных перемещений равна нулю, так как балка, к которой приложена пара, не получила поворота. На возможном перемещении работу совершают только силы Принцип возможных перемещений Уравнение работ при этом запишется

Принцип возможных перемещений

где Принцип возможных перемещений

Тогда уравнение (6.2) примет вид

Принцип возможных перемещений

откуда Принцип возможных перемещений Подставив численные значения, получим: Принцип возможных перемещений

Чтобы определить вертикальную составляющую Принцип возможных перемещений реакции опоры Принцип возможных перемещений мысленно отбросим связь, препятствующую вертикальному перемещению конца Принцип возможных перемещений приложив при этом к балке реакцию Принцип возможных перемещений (рис. 6.3). Установим, какое перемещение можно сообщить полученной системе, не нарушая имеющихся связей.

Принцип возможных перемещений

Поступательному перемещению по горизонтальному направлению балки Принцип возможных перемещений препятствует опора Принцип возможных перемещений по вертикальному - опоры Принцип возможных перемещений и Принцип возможных перемещений Поворот балки Принцип возможных перемещений, лежащей на опоре Принцип возможных перемещений возможен на малый угол Принцип возможных перемещений вокруг неподвижной точки Принцип возможных перемещений а балка Принцип возможных перемещений повернется на угол Принцип возможных перемещений шарнир Принцип возможных перемещений переместится по вертикали. Отметим возможные перемещения тех точек, где приложены силы, т.е. Принцип возможных перемещений Причем равномерно распределенную нагрузку заменим сосредоточенной силой Принцип возможных перемещений приложенной на расстоянии Принцип возможных перемещений от опоры Принцип возможных перемещений

При составлении уравнения работ определим работу пары сил по формуле Принцип возможных перемещений Поворот балки Принцип возможных перемещений произведен по движению часовой стрелки и пара стремится вращать плоскость в том же направлении, значит, знак работы пары сил будет положительным.

Уравнение работ для определения реакции Принцип возможных перемещений имеет вид

Принцип возможных перемещений

Выразим возможные перемещения всех точек через одну и ту же величину, например через Принцип возможных перемещений Тогда перемещение каждой точки определяется произведением угла поворота на расстояние от точки до соответствующего центра вращения. В результате получим

Принцип возможных перемещений

Принцип возможных перемещений

Подставим эти значения в уравнение (6.3)

Принцип возможных перемещений

Сократив на Принцип возможных перемещений и подставив числовые значения, найдем:

Принцип возможных перемещений

Знак минус означает, что реакция Принцип возможных перемещений направлена противоположно направлению, указанному на чертеже. Для определения реакции в опоре Принцип возможных перемещений мысленно отбросим эту опору, приложив к балке ее реакцию Принцип возможных перемещений

Сообщим полученной системе возможное перемещение, повернув балку Принцип возможных перемещений вокруг неподвижной опоры Принцип возможных перемещений тогда балка Принцип возможных перемещений повернется вокруг опоры Принцип возможных перемещений (рис. 6.4). Составим уравнение работ

Принцип возможных перемещений

Принцип возможных перемещений

Выразим возможные перемещения через Принцип возможных перемещений

Принцип возможных перемещений

Принцип возможных перемещений

Подставим эти значения в уравнение работ (6.4).

Принцип возможных перемещений

Сократив на Принцип возможных перемещений и подставив численные значения, найдем: Принцип возможных перемещений

Чтобы определить реакцию в опоре Принцип возможных перемещений мысленно отбросим опору, заменив ее действие реакцией Принцип возможных перемещений

Сообщим полученной системе возможное перемещение повернув балку Принцип возможных перемещений вокруг шарнира Принцип возможных перемещений причем балка Принцип возможных перемещений при этом будет неподвижна (рис. 6.5).

Принцип возможных перемещений

Составим уравнение работ

Принцип возможных перемещений

Выразим возможные перемещения через Принцип возможных перемещений

Принцип возможных перемещений

Подставив эти значения в уравнение (6.5), получим:

Принцип возможных перемещений

После сокращения на Принцип возможных перемещений и вычислений найдем Принцип возможных перемещений