Принцип Даламбера

Принцип Даламбера применение и примеры решения

Краткая теория

Принцип Даламбера для механической системы

Принцип Даламбера позволяет решать задачи исследования динамики материальной системы методами статики, составлением уравнений равновесия, учитывая силы инерции точек системы.

Согласно принципу Даламбера главный вектор всех сил (внешних, внутренних, условно приложенных сил инерции точек) и главный момент их относительно любого неподвижного центра будут равны нулю

Принцип Даламбера

Учитывая что Принцип Даламбера окончательно получим:

Принцип Даламбера

Таким образом, принцип Даламбера исключает внутренние силы и упрощает решение задач. Следует научиться находить главный вектор Принцип Даламбера

и главный момент Принцип Даламбера сил инерции.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теоретической механике:

Предмет теоретическая механика: формулы и лекции и примеры заданий с решением

Приведение сил инерции точек твердого тела к простейшему виду

а) Твердое тело совершает поступательное движение (рис. 4.1).

Силы инерции приводятся к равнодействующей Принцип Даламбера приложенной к центру масс Принцип Даламбера твердого тела. Равнодействующая равна по модулю произведению массы твердого тела Принцип Даламбера на ускорение Принцип Даламбера любой его точки и направлена противоположно этому ускорению.

Принцип Даламбера

б) Твердое тело совершает вращение вокруг неподвижной оси, перпендикулярной к плоскости материальной симметрии (рис. 4.2).

При приведении сил инерции точек тела к центру ее вращения Принцип Даламбера получим силу, приложенную в этом центре, и пару сил, лежащую в плоскости симметрии.

Сила равна главному вектору, направленному противоположно ускорению центра масс

Принцип Даламбера

где Принцип Даламбера - ускорение центра масс.

Модуль главного вектора равен Принцип Даламбера

Момент пары сил равен главному моменту сил инерции относительно оси вращения, перпендикулярной к плоскости симметрии и по модулю равной

Принцип Даламбера

где Принцип Даламбера - момент инерции относительно оси вращения, Принцип Даламбера - угловое ускорение твердого тела.

Принцип Даламбера направлен противоположно угловому ускорению Принцип Даламбера

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Основные законы механики

Определение реакций опор балки

Равновесие плоской системы сил

Принцип возможных перемещений

Если твердое тело совершает вращение вокруг неподвижной оси, которая является главной центральной осью инерции (рис. 4.3), то Принцип Даламбера так как Принцип Даламбера и силы инерции точек тела приводятся к паре сил, лежащей в плоскости материальной симметрии тела, момент которой равен по модулю Принцип Даламбера и направлен противоположно угловому ускорению Принцип Даламбера

в) Тело совершает плоскопараллельное движение (рис. 4.4). Если твердое тело, имеющее плоскость материальной симметрии, движется параллельно этой плоскости, то силы инерции точек тела приводятся к силе, приложенной в центре масс и равной главному вектору сил

инерции Принцип Даламбера и к паре сил, лежащей в плоскости симметрии, величина момента которой определяется формулой

Принцип Даламбера

Принцип Даламбера

Принцип Даламбера направлен противоположно угловому ускорению Принцип Даламбера

Принцип Даламбера

Принцип Даламбера направлен противоположно ускорению центра масс и по модулю равен Принцип Даламбера

Определение реакций связей плоского механизма с помощью принципа Даламбера

Пример с решением задачи 1

Рассмотрим макет плоского механизма (рис. 4.5), для которого известно:

Принцип Даламбера - угловая скорость кривошипа (ведущего звена);

Принцип Даламбера - угловое ускорение ведущего звена;

Принцип Даламбера

Принцип Даламбера - вес ведущего звена;

Принцип Даламбера - вес ползуна.

Весом шатуна Принцип Даламбера пренебречь. Ведущее звено Принцип Даламбера считать однородным стержнем. Требуется определить реакции оси Принцип Даламбера и направляющих ползуна Принцип Даламбера

В начале выполнения работы, если ранее в предыдущих разделах не определялись кинематические характеристики механизма, требуется определить ускорение точки Принцип Даламбера (центра масс ведущего звена) и точки Принцип Даламбера (ползуна).

Для точек Принцип Даламбера и Принцип Даламбера ускорения найдем по известным формулам

Принцип Даламбера

Принцип Даламбера

Ускорение точки Принцип Даламбера найдем, принимая точку Принцип Даламбера за полюс, по теореме об ускорениях точек тела при плоском движении

Принцип Даламбера

Принцип Даламбера

Проектируя равенство (4.1) на ось Принцип Даламбера (см. рис. 4.5), получим:

Принцип Даламбера откуда находим

Принцип Даламбера

Так как механизм строили в масштабе, все размеры Принцип Даламбера замеряем с чертежа. После определения ускорений можно перейти к непосредственному решению задач.

На данную систему (плоский механизм) (рис. 4.6) действуют силы тяжести ведущего звена Принцип Даламбера ползуна Принцип Даламбера реакции оси Принцип Даламбера реакции

направляющих Принцип Даламбера Добавляем силы инерции. Ведущее звено совершает вращательное движение. Силы инерции приводим к точке Принцип Даламбера на оси вращения. Главный вектор сил инерции ведущего звена состоит из двух векторов, равных по модулю:

Принцип Даламбера

Принцип Даламбера

Эти составляющие направлены в противоположные стороны соответствующим ускорениям центра масс звена. Главный момент сил инерции относительно оси вращения Принцип Даламбера равен

Принцип Даламбера

Направляем его в сторону, противоположную направлению углового ускорения. Ползун Принцип Даламбера совершает поступательное движение. Силы инерции этого тела приводятся к равнодействующей, равной по модулю Принцип Даламбера Вектор Принцип Даламбера направлен в противоположную сторону вектору ускорения точки Принцип Даламбера.

Для полученной системы сил (см. рис. 4.6) составляем уравнения равновесия.

Принцип Даламбера

Решая систему уравнений, найдем из уравнения (4.2) Принцип Даламбера из уравнения (4.4) - Принцип Даламбера из уравнения (4.3) - Принцип Даламбера

Пример с решением задачи 2

В данном примере плоский механизм (рис. 4.7) включает в себя звенья, которые совершают вращательное движение Принцип Даламбера и плоскопараллельное Принцип Даламбера

В этом случае изменяется определение ускорений точек механизма.

Дано: Принцип Даламбера - вес звена Принцип Даламбера - вес звена Принцип Даламбера Весом звена Принцип Даламбера пренебречь. Все звенья - однородные стержни.

Размеры звеньев замеряем на макете механизма.

Требуется определить реакции в осях Принцип Даламбера и Принцип Даламбера

Сначала определим ускорения Принцип Даламбера (см. рис. 4.7).

По изученным ранее методам определения кинематических характеристик точек тел при различных видах движения определяем:

Принцип Даламбера

Переходим к определению ускорений:

Принцип Даламбера

или

Принцип Даламбера

Принцип Даламбера

Проектируем равенство (4.5) на ось Принцип Даламбера для определения Принцип Даламбера имеем Принцип Даламбера

откуда определяем Принцип Даламбера а затем Принцип Даламбера
Принцип Даламбера
Теперь найдем ускорение центра масс Принцип Даламбера

Принцип Даламбера

Таким образом, определили необходимые ускорения, которые потребуются для определения приведенных сил инерции. Все размеры и углы берем с чертежа методом замера, так как механизм строится в масштабе.

Переходим к определению реакций в осях Принцип Даламбера и Принцип Даламбера с помощью принципа Даламбера (рис. 4.8, 4.9, 4.10). Чертежи рисуем в более крупном масштабе.

Принцип Даламбера

На данную систему (см. рис. 4.8) действуют силы тяжести Принцип Даламбера и Принцип Даламбера приложенные в центрах тяжести первого и второго звеньев, реакции в осях Принцип Даламбера Добавляем приведенные силы инерции. Первое и второе звенья совершают вращательное движение. Силы инерции приводим к точкам Принцип Даламбера и Принцип Даламбера Для первого звена главный вектор сил инерции состоит из двух векторов Принцип Даламбера равных по модулю Принцип Даламбера Принцип Даламбера и направленных в противоположные стороны соответствующим ускорениям.

Главный момент сил инерции относительно оси вращения Принцип Даламбера равен по модулю

Принцип Даламбера

Для второго звена соответственно имеем векторы Принцип Даламбера и Принцип Даламбера равные по модулю
Принцип Даламбера
и направленные противоположно соответствующим ускорениям. Главный момент сил инерции находим относительно оси Принцип Даламбера

Принцип Даламбера

Главные моменты сил инерции направлены в сторону, противоположную соответствующим угловым ускорениям (рис. 4.8). В результате получим расчетную схему произвольной плоской системы сил, содержащую четыре неизвестные реакции Принцип Даламбера

Одной расчетной схемы недостаточно, так как для произвольной плоской системы можно составить лишь три уравнения равновесия. Поэтому, используя методику решения таких задач в статике, мы разъединяем систему на объекты равновесия и строим еще дополнительно две расчетные схемы (рис. 4.9,4.10).

Принцип Даламбера

Для определения четырех неизвестных Принцип Даламбера используем три объекта равновесия и составляем только четыре уравнения равновесия.

Для объекта на рис. 4.8 составим два уравнения равновесия

Принцип ДаламбераПринцип Даламбера

Принцип Даламбера

Для объекта на рис. 4.9 составляем уравнение моментов всех сил относительно точки Принцип Даламбера

Принцип Даламбера

Для объекта на рис. 4.10 составляем уравнение моментов всех сил относительно точки Принцип Даламбера

Принцип Даламбера

Решаем систему четырех уравнений. Из уравнения (4.9) выразим Принцип Даламбера и подставим в уравнение (4.6), из которого определим Принцип Даламбера Значение Принцип Даламбера подставим в уравнение (4.7), из которого найдем Принцип Даламбера Найденное значение Принцип Даламбера подставим в уравнение (4.8) и определим Принцип Даламбера Таким образом, задача будет решена.

Пример с решением задачи 3

На рис. 4.11 представлен плоский механизм, построенный в масштабе по макету, в котором к шатуну Принцип Даламбера подсоединен ролик, представляющий собой сплошной однородный цилиндр радиусом Принцип Даламбера Ролик катится по плоскости без скольжения. Для механизма дано: Принцип ДаламбераПринцип Даламбера - вес звена Принцип Даламбера - вес ролика. Весом шатуна Принцип Даламбера пренебречь. Требуется определить реакции в оси Принцип Даламбера реакцию плоскости и силу сцепления.

Найдем кинематические характеристики данного механизма:

Принцип Даламбера

Принцип Даламбера

Принцип Даламбера

Принимая точку Принцип Даламбера за полюс, найдем:

Принцип Даламбера

Принцип Даламбера

Проектируя равенство (4.10) на ось Принцип Даламбера определим ускорение точки Принцип Даламбера

Принцип Даламбера

Все размеры берем с чертежа (см. рис. 4.11). Далее показываем все силы (рис. 4.12), действующие на механизм: силы тяжести Принцип Даламбера реакции связей Принцип Даламбера и силу сцепления Принцип Даламбера Добавляем приведенные силы инерции Принцип Даламбера , которые определяем по модулю и направлению аналогично примерам 1 и 2.

Рассмотрев два объекта равновесия (рис. 4.12; рис. 4.13), составим необходимые уравнения равновесия.

Принцип Даламбера

Для объекта на рис. 4.13 составим одно уравнение равновесия

Принцип Даламбера

Для объекта на рис. 4.12 составим три уравнения равновесия:

Принцип Даламбера

Для ролика отдельно найдем Принцип Даламбера

Решая систему четырех уравнений, находим из уравнения (4.11) силу сцепления Принцип Даламбера из уравнения (4.14) - Принцип Даламбера из уравнения (4.12) - Принцип Даламбера из уравнения (4.13) - Принцип Даламбера