Примеры расчета переходных процессов классическим методом

Методика и примеры расчета переходных процессов классическим методом

Характеристическое уравнение составляется для цепи после коммутации. Оно может быть получено следующими способами:

  • непосредственно на основе дифференциального уравнения вида (2) (см. лекцию №24), т.е. путем исключения из системы уравнений, описывающих электромагнитное состояние цепи на основании первого и второго законов Кирхгофа, всех неизвестных величин, кроме одной, относительно которой и записывается уравнение (2); путем использования выражения для входного сопротивления цепи на синусоидальном токе;
  • на основе выражения главного определителя.

Согласно первому способу в предыдущей лекции было получено дифференциальное уравнение относительно напряжения Примеры расчета переходных процессов классическим методом на конденсаторе для последовательной R-L-C-цепи, на базе которого записывается характеристическое уравнение.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теоретическим основам электротехники (ТОЭ):

Основы электротехники: формулы и лекции и примеры заданий с решением

Следует отметить, что, поскольку линейная цепь охвачена единым переходным процессом, корни характеристического уравнения являются общими для всех свободных составляющих напряжений и токов ветвей схемы, параметры которых входят в характеристическое уравнение. Поэтому по первому способу составления характеристического уравнения в качестве переменной, относительно которой оно записывается, может быть выбрана любая.

Примеры расчета переходных процессов классическим методом
Применение второго и третьего способов составления характеристического уравнения рассмотрим на примере цепи рис. 1.

Составление характеристического уравнения по методу входного сопротивления заключается в следующем:

записывается входное сопротивление цепи на переменном токе;

jw заменяется на оператор р;

полученное выражение Примеры расчета переходных процессов классическим методом приравнивается к нулю.

Уравнение

Примеры расчета переходных процессов классическим методом

совпадает с характеристическим.

Следует подчеркнуть, что входное сопротивление может быть записано относительно места разрыва любой ветви схемы. При этом активный двухполюсник заменяется пассивным по аналогии с методом эквивалентного генератора. Данный способ составления характеристического уравнения предполагает отсутствие в схеме магнитосвязанных ветвей; при наличии таковых необходимо осуществить их предварительное развязывание.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Резонансные явления в цепях несинусоидального тока. Высшие гармоники в трехфазных цепях

Переходные процессы в линейных электрических цепях. Классический метод расчета переходных процессов

Определение постоянной времени. Переходные процессы в R-L-C-цепи

Операторный метод расчета переходных процессов

Для цепи на рис. 1 относительно зажимов источника

Примеры расчета переходных процессов классическим методом
Заменив jw на р и приравняв полученное выражение к нулю, запишем

Примеры расчета переходных процессов классическим методом

или

Примеры расчета переходных процессов классическим методом
При составлении характеристического уравнения на основе выражения главного определителя число алгебраических уравнений, на базе которых он записывается, равно числу неизвестных свободных составляющих токов. Например, алгебра исходной системы интегрально-дифференциальных уравнений, составленная на основе закона Кирхгофа или метода контурных токов, состоит в умножении и делении на оператор p, заменяя дифференциальные и интегральные символы соответственно. Будет казнен. Делая записанный определитель равным нулю, получается характеристическое уравнение. Поскольку выражение для главного определителя не зависит от правых частей системы неоднородных уравнений, его составление можно производить на основе системы уравнений, записанных для полных токов.

Для цепи на рис. 1 алгебраизованная система уравнений на основе метода контурных токов имеет вид

Примеры расчета переходных процессов классическим методом
Отсюда выражение для главного определителя этой системы

Примеры расчета переходных процессов классическим методом
Приравняв D к нулю, получим результат, аналогичный (1).

Общая методика расчета переходных процессов классическим методом

В общем случае методика расчета переходных процессов классическим методом включает следующие этапы:

1. Запись выражения для искомой переменной в виде

Примеры расчета переходных процессов классическим методом
2. Нахождение принужденной составляющей общего решения на основании расчета установившегося режима послекоммутационной цепи.

3. Составление характеристического уравнения и определение его корней (для цепей, описываемых дифференциальными уравнениями первого порядка, вместо корней можно находить постоянную времени t -см. лекцию №26). Запись выражения свободной составляющей в форме, определяемой типом найденных корней.

4. Подстановка полученных выражений принужденной и свободной составляющих в соотношение (2).

5. Определение начальных условий и на их основе - постоянных интегрирования.

Примеры расчета переходных процессов классическим методом

1. Переходные процессы в R-L цепи при ее подключении к источнику напряжения

Примеры расчета переходных процессов классическим методом
Такие процессы имеют место, например, при подключении к источнику питания электромагнитов, трансформаторов, электрических двигателей и т.п.

Рассмотрим два случая:

а) Примеры расчета переходных процессов классическим методом

б) Примеры расчета переходных процессов классическим методом
Согласно рассмотренной методике для тока в цепи на рис. 2 можно записать

Примеры расчета переходных процессов классическим методом
Тогда для первого случая принужденная составляющая тока

Примеры расчета переходных процессов классическим методом
Характеристическое уравнение

Примеры расчета переходных процессов классическим методом

откуда Примеры расчета переходных процессов классическим методом и постоянная времени Примеры расчета переходных процессов классическим методом

Таким образом,

Примеры расчета переходных процессов классическим методом
Подставляя (4) и (5) в соотношение (3), запишем

Примеры расчета переходных процессов классическим методом
В соответствии с первым законом коммутации Примеры расчета переходных процессов классическим методом. Тогда

Примеры расчета переходных процессов классическим методом

откуда Примеры расчета переходных процессов классическим методом

Таким образом, ток в цепи в переходном процессе описывается уравнением

Примеры расчета переходных процессов классическим методом

а напряжение на катушке индуктивности - выражением

Примеры расчета переходных процессов классическим методом
Качественный вид кривых Примеры расчета переходных процессов классическим методом, соответствующих полученным решениям, представлен на рис. 3.

При втором типе источника принужденная составляющая рассчитывается с использованием символического метода:

Примеры расчета переходных процессов классическим методом
где Примеры расчета переходных процессов классическим методом

Отсюда

Примеры расчета переходных процессов классическим методом
Выражение свободной составляющей не зависит от типа источника напряжения. Следовательно,

Примеры расчета переходных процессов классическим методом
Поскольку Примеры расчета переходных процессов классическим методом, то

Примеры расчета переходных процессов классическим методом
Таким образом, окончательно получаем

Примеры расчета переходных процессов классическим методом

Что такое теоретические основы электротехники (ТОЭ) вы узнаете по этой ссылке:

Анализ полученного выражения (6) показывает:

1. При начальной фазе напряжения Примеры расчета переходных процессов классическим методом постоянная интегрирования А=0. Таким образом, в этом случае коммутация не повлечет за собой переходного процесса, и в цепи сразу возникнет установившийся режим.

2. При Примеры расчета переходных процессов классическим методом свободная составляющая максимальна по модулю. В этом случае ток переходного процесса достигает своей наибольшей величины.

Если Примеры расчета переходных процессов классическим методом значительна по величине, то за полпериода свободная составляющая существенно не уменьшается. В этом случае максимальная величина тока переходного процесса Примеры расчета переходных процессов классическим методом может существенно превышать амплитуду тока установившегося режима. Как видно из рис. 4, где

Примеры расчета переходных процессов классическим методом
Примеры расчета переходных процессов классическим методом, максимум тока имеет место примерно через Примеры расчета переходных процессов классическим методом. В пределе при Примеры расчета переходных процессов классическим методом.

Таким образом, для линейной цепи максимальное значение тока переходного режима не может превышать удвоенной амплитуды принужденного тока: Примеры расчета переходных процессов классическим методом.

Аналогично для линейной цепи с конденсатором: если в момент коммутации принужденное напряжение равно своему амплитудному значению и постоянная времени Примеры расчета переходных процессов классическим методом цепи достаточно велика, то примерно через половин’ периода напряжение на конденсаторе достигает своего максимального значения Примеры расчета переходных процессов классическим методом , которое не может превышать удвоенной амплитуды принужденного напряжения: Примеры расчета переходных процессов классическим методом

2. Переходные процессы при отключении катушки индуктивности от источника питания

Примеры расчета переходных процессов классическим методом
При размыкании ключа в цепи на рис. 5 принужденная составляющая тока через катушку индуктивности Примеры расчета переходных процессов классическим методом.

Характеристическое уравнение

Примеры расчета переходных процессов классическим методом

откуда Примеры расчета переходных процессов классическим методом

В соответствии с первым законом коммутации

Примеры расчета переходных процессов классическим методом
Таким образом, выражение для тока в переходном режиме

Примеры расчета переходных процессов классическим методом

и напряжение на катушке индуктивности

Примеры расчета переходных процессов классическим методом
Анализ (7) показывает, что при размыкании цепей, содержащих индуктивные элементы, могут возникать большие перенапряжения, которые без принятия специальных мер могут вывести аппаратуру из строя. Действительно, при Примеры расчета переходных процессов классическим методом модуль напряжения на катушке индуктивности в момент коммутации будет во много раз превышать напряжение источника: Примеры расчета переходных процессов классическим методом. При отсутствии гасящего резистора R указанное напряжение прикладывается к размыкающимся контактам ключа, в результате чего между ними возникает дуга.
3. Заряд и разряд конденсатора

Примеры расчета переходных процессов классическим методом
При переводе ключа в положение 1 (см. рис. 6) начинается процесс заряда конденсатора:

Примеры расчета переходных процессов классическим методом
Принужденная составляющая напряжения на конденсаторе Примеры расчета переходных процессов классическим методом.

Из характеристического уравнения

Примеры расчета переходных процессов классическим методом
определяется корень Примеры расчета переходных процессов классическим методом. Отсюда постоянная времени Примеры расчета переходных процессов классическим методом

Таким образом,

Примеры расчета переходных процессов классическим методом
При t=0 напряжение на конденсаторе равно Примеры расчета переходных процессов классическим методом (в общем случае к моменту коммутации конденсатор может быть заряженным, т.е. Примеры расчета переходных процессов классическим методом). Тогда Примеры расчета переходных процессов классическим методом и

Примеры расчета переходных процессов классическим методом
Соответственно для зарядного тока можно записать

Примеры расчета переходных процессов классическим методом
В зависимости от величины Примеры расчета переходных процессов классическим методом - возможны четыре вида кривых переходного процесса, которые иллюстрирует рис. 7.

Примеры расчета переходных процессов классическим методом
При разряде конденсатора на резистор Примеры расчета переходных процессов классическим методом (ключ на рис.6 переводится в положение 2) Примеры расчета переходных процессов классическим методом. Постоянная времени Примеры расчета переходных процессов классическим методом.

Тогда, принимая, что к моменту коммутации конденсатор был заряжен до напряжения Примеры расчета переходных процессов классическим методом (в частном случае Примеры расчета переходных процессов классическим методом. Для напряжения на нем в переходном режиме можно записать

Примеры расчета переходных процессов классическим методом
Соответственно разрядный ток

Примеры расчета переходных процессов классическим методом
Как видно из (8), во избежание значительных бросков разрядного тока величина Примеры расчета переходных процессов классическим методом должна быть достаточно большой.

В заключение отметим, что процессы заряда и разряда конденсатора используются в генераторах пилообразного напряжения, широко применяемых в автоматике. Для этого ключ в схеме на рис. 6 заменяется на электронный.