Пример решения статистических задач
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:
| Решение задач по математике |
Завершая обсуждение простейших задач статистического анализа экспериментальных данных отметим, что рассмотренные нами проблемы допускают широкое обобщение, как с точки зрения постановок, так и с точки зрения используемых методов исследования. Одним из важнейших обстоятельств, определяющих успех в постановке и решении статистических задач, является четкое осознание исследователем того, каким фактическим исходным материалом он обладает, какие цели он перед собой ставит и чего в конечном итоге хочет добиться.
Постановка задачи определяет, как правило, не только аппарат, необходимый для ее решения, но, зачастую, и способы получения экспериментального материала. Не менее существенной является и интерпретация результатов применения тех или иных статистических процедур. Только компетентность исследователя и корректность статистика являются гарантией содержательной и безошибочной интерпретации.
Сами по себе статистические процедуры не решают реальных прикладных проблем, однако правильно понятые и объясненные результаты их применения являются надежным ориентиром для прикладника. 1. Случайные величины и 6 независимы и нормальны с одинаковым средним, равным 2. Известно, что их дисперсии относятся соответственно как 3:4:2. Найти ковариационную матрицу этих случайных величин, если известно, что пример решения статистических задач Решение.
Поскольку случайные величины 6> 6 и 6 — независимы, то они некоррели-рованы. Следовательно, искомая ковариационная матрица диагональна и ее диагональные элементы — дисперсии случайных величин (ь(2и 6 соответственно: пример решения статистических задач Далее, из независимости и нормальности заключаем, что любая линейная комбинация этих случайных величин — нормальная случайная величина. В частности Пусть дисперсия случайной величины ft равна а2.
Тогда из условия задачи получим, что Для нахождения величины с2 используем последнее условие задачи Отсюда Искомая ковариационная матрица 2.
Ядра случайных величин £ и i) имеет совместное нормальное распределение с вектором математических ожиданий {-2, -1} и ковариационной матрицей К Решение. Совместная нормальность пары случайных величин i и rj обеспечивает нормальность каждой из них и любой их линейной комбинации, в частности величина ( = £ - 2q нормальна с параметрами Подставляя в последнее соотношение элементы ковариационной матрицы: получим По условию откуда, используя нормальность Искомые дисперсии равны, соответственно, 3.
Найти ковариацию ординаты и абсциссы точки M(i, rj), равномерно распределенной в квадрате К с вершинами . Зависимы ли эти случайные величины? Решение. Пара (£, ij) равномерно распределена в квадрате, значит, ее плотность задается соотношением в противном случае. Для ковариации получаем Поскольку постольку Тем не менее случайные величины ((, rj) зависимы, так как изменение значения одной из них вызывает изменение диапазона значений другой4). 4.
Возможно вам будут полезны данные страницы:
Двумерная случайная величина (£, rj) имеет вектор математических ожиданий {0, -1} и ковариационную матрицу Достаточно ли этих данных, чтобы спрогнозировать значения компоненты rj при известных значениях компоненты i ? Решение. Заметим, что пример решения статистических задач Впрочем, можно чисто формально установить интегрированием, что закон распределения одной из компонент зависит от значения, принятого другой компонентой.
| Отсюда р - -1, и это значит, что между случайными |
величинами ( и rj имеется линейная функциональная зависимость, описываемая соотношением Следовательно, при известных значениях компоненты { значения компоненты г) могут быть спрогнозированы с вероятностью 1. 5. Случайные величины rj и ( связаны соотношением Известно, что . Найти ковариационную матрицу этих случайных величин. Решение.
Умножая данное в условии линейное соотношение последовательно на rj и £ и находя математические ожидания от обеих частей получающихся равенств, получим В силу равенства нулю математических ожиданий случайных величин, математические ожидания квадратов будут равны дисперсиям, а математические ожидания произведений — ковариа-циям. Для элементов ковариационной матрицы приходим к системе , или, подставляя известные дисперсии рассматриваемых случайных величи Решая эту систему, получим искомую ковариационную матрицу