Приложения определенного интеграла

Содержание:

1. Приложения определенного интеграла. Вычисление площадей с помощью определенного интеграла
2. Вычисления объемов тел вращения с помощью определенного интеграла
3. Вычисления длины кривой с помощью определенного интеграла

Приложения определенного интеграла. Вычисление площадей с помощью определенного интеграла

Геометрический смысл определенного интеграла. Для непрерывной неотрицательной функции , заданной на отрезке , определенный интеграл от данной функции по данному отрезку дает площадь криволинейной трапеции (рис. 1).

Рис. 1. Геометрический смысл определенного интеграла

Пример №105

Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции на отрезке .

Решение:

Записываем соответствующий определенный интеграл и вычисляем:

(кв.ед).

С помощью интеграла можно находить площади плоских фигур более сложного вида, нежели криволинейная трапеция. Рассмотрим фигуру, ограниченную слева прямой , справа прямой , снизу графиком функции и сверху графиком функции (рис. 2).

Рис. 2. Нахождение площади плоской фигуры

Площадь фигуры можно вычислить следующим образом:

Пример №106

Найти площадь фигуры, ограниченной прямой и параболой .

Решение:

Построим фигуру, площадь которой мы ищем (рис. 3). Найдем точки пересечения двух данных линий:

Поэтому пределы интегрирования будут а = -3, b = 2 . Таким образом,

.

Рис. 3. Иллюстрация к примеру 2

Вычисления объемов тел вращения с помощью определенного интеграла

С помощью определенного интеграла можно вычислять объемы фигур.

Теорема 1. Пусть функция непрерывна и неотрицательна на отрезке . Тогда тело, которое образуется при вращении вокруг оси криволинейной трапеции (рис. 4), имеет объем

.

Доказательство. Выполним разбиение отрезка точками . На каждом отрезке разбиения построим прямоугольник (рис. 4), высота которого равна наименьшему значению функции на указанном отрезке. При вращении вокруг оси прямоугольник опишет цилиндр, объем которого будет равен , где .

Сумма объемов всех таких цилиндров для данного разбиения запишется в виде:

.

Если бы мы вместо наименьшего значения функции брали бы наибольшее значение, то получили бы сумму:

.

С одной стороны ясно, что при измельчении разбиения обе эти суммы дают приближенное значение искомого объема , а с другой стороны, эти суммы являются нижней и верхней суммой Дарбу для функции . Последняя функция непрерывна, поскольку непрерывна функция и, следовательно, интегрируема.

Теорема доказана.

Рис. 4. Нахождение объема тела вращения

Пример №107

Окружность единичного радиуса с центром в точке (0; 2) вращается вокруг оси (рис. 5). Найти объем тела вращения. (Это тело называется тором).

Решение:

Уравнение окружности имеет вид: . Выражая через , получим уравнения кривых и , соответственно:

; .

Объем тора можно представить в виде разности объемов тел, полученных от вращения криволинейных трапеций и . Используя теорему 1, имеем:

.

Рис. 5. Иллюстрация к примеру 3

Вычисления длины кривой с помощью определенного интеграла

С помощью определенного интеграла можно рассчитывать длину кривой.

Дифференциал дуги гладкой кривой, заданной функцией , находят по формуле . Поэтому длина дуги

Пример №108

Найти длину участка кривой .

Решение:

Производная данной функции равна . Воспользовавшись формулой длины дуги, получим:

(ед).

Подынтегральная функция - это уравнение верхней полуокружности с центром в начале координат и радиусом 2 (рис. 6). Действительно, длина этого участка окружности составляет ед.

Рис. 6. Иллюстрация к примеру 4.

Эта лекция взята из раздела о предмете высшая математика, там вы найдёте другие лекци по всем темам высшей математики:

Высшая математика: полный курс лекций

Другие темы которые вам помогут понять высшую математику:

Определенный интеграл

Методы определенного интегрирования

Числовые ряды

Степенные ряды