Приложения двойных и тройных интегралов

Содержание:

  1. Пример 3:
  2. Координаты центра тяжести

Приложения двойных и тройных интегралов

Приложения двойных и тройных интегралов

Приложения двойных и тройных интегралов

Приложения двойных и тройных интегралов

Приложения двойных и тройных интегралов

Приложения двойных и тройных интегралов

Приложения двойных и тройных интегралов

Приложения двойных и тройных интегралов

Приложения двойных и тройных интегралов

Приложения двойных и тройных интегралов

 

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Решение задач по математике

 

Масса плоской фигуры Пусть задана плоская ограниченная фигура D, по которой непрерывным образом распределена масса с поверхностной плотностью — функция, непрерывная в D. Разобьем фигуру D на п частей без общих внутренних точек, площади которых соответственно равны В каждой части произвольно выберем точку У к) и вычислим в ней плотность у*).

В силу непрерывности fi(x, у) можно считать, что масса т* части Dk фигуры D приближенно равна а масса всей фигуры — сумме Приложения двойных и тройных интегралов Масса плоской фигуры Статические моменты плоской фигуры относительно осей координат Координаты центра тяжести Моменты инерции плоской фигуры относительно осей координат Статические моменты тела относительно координатных плоскостей

Центр тяжести Понятие о несобственном кратном интеграле по неограниченной области Последняя является интегральной суммой для непрерывной функции ц(х} у) в области D. Переходя к пределу при d 0 (здесь d — наибольший из диаметров частичных областей получим точное равенство Если масса распределена равномерно по всей фигуре, ц = const, то формула (1) принимает вид Пример 1.

Найти массу кольца, ограниченного двумя концентрическими окружностями радиусов г и Л, где если плотность кольца в каждой точке обратно пропорциональна расстоянию от этой точки до центра окружности и равна 1 на окружности внутреннего круга где S — площадь фигуры D.

М Фигура D задается условиями 9.2. Статические моменты плоской фигуры относительно осей координат. Координаты центра тяжести Статическим моментом Мх материальной точки массы т относительно оси Ох называется произведение ту, где у — ордината материальной точки, т. е. Здесь у может быть как положительным, так и отрицательным числом. Разбивая фигуру D на части , выбирая в каждой части Dk произвольно точку и считая, что масса этой к-й части приближенно равна и сосредоточена в точке , запишем приближенно величину статического момента фигуры D относительно оси Ох. Имеем где ASk — площадь части ) — поверхностная плотность.

Переходя к пределу при d -* 0, получаем Статический момент фигуры D относительно оси Оу находится по аналогичной формуле Если известны статические моменты Мх и Mv и масса т плоской фигуры, то координаты центра тяжести этой фигуры находятся по следующим формулам Если /1 = const, то m = /iS, где S — площадь фи гуры D, и формулы (5) принимают вид: Пример 2.

Найти центр тяжести однородн ой плоской фигуры, ограниченной косинусоидой Так как фигура — однородная, то координаты центра тяжести будем искать по фор мулам (6). Найдем сначала площадь S заданной фигуры. Имеем Затем найдем статические моменты Теперь no формулам (6) получаем Приложения двойных и тройных интегралов Масса плоской фигуры Статические моменты плоской фигуры относительно осей координат Координаты центра тяжести Моменты инерции плоской фигуры относительно осей координат Статические моменты тела относительно координатных плоскостей Центр тяжести Понятие о несобственном кратном интеграле по неограниченной области 9.3.

Моменты инерции плоской фигуры относительно осей координат Рассуждая аналогично изложенному выше, легко установить, что элементарные моменты инерции относительно осей Ох и Оу будут соответственно равны Интегрируя по плоской фигуре £>, получим формулы для самих моментов инерции где, как и ранее, — поверхностная плотность распределения масс. 9.4. Вычислен ие массы тела Рассматривая задачу, приводящую к тройному интегралу, мы показали, что если известна плотность распределения масс fi(x} у, г) в каждой точке некоторого тела ft, то масса этого тела вычисляется по формуле Мы предполагаем, что функция у, z) непрерывна в области П.

 

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Комбинаторные тождества
Уравнения гидролиза солей
Линии применяемые на чертеже
Схема построения графика функции

 

Пример 3:

Вычислить массу m тела, ограниченного полусферами и плоскостью хОу, если плотность в каждой точке пропорциональна расстоянию от этой тон ни до начала координат. 4 По условию задачи плотаостъ ц в точке (x,y,z) выражается формулой — коэффициент пропорциональности. Тогда Переходя к сферическим координатам, получим, что 9.5. Статические моменты тела относительно координатных плосюствв .

Центр тяжести Напомним, что задача о вычислении статических моментов и центра тяже сти плоской фигуры решалась при помощидвойных интегралов (см. формулы (3), (4) и (5)). Задачи о вычислении статических моментов тела ft относительно координатных плоскостей и отыскания центра тяжести тела ft решаются аналогичным способом при помощи тройных интегралов. Например, элементарный статический момент относительно плоскости хОу равен — плотность. Отсюда статический момент Аналогично выписываются статические моменты относительно плоскостей Вычислив массу m тела ft и его статические моменты, легко найти координаты центра тяжести тела:

Если тело однородно, то плотность = const и формулы (11) упрощаются — постоянный множитель /х в числителе можно вынести за знак интеграла и сократить на него числитель и знаменатель . Тогда получим 4. найти координаты центра тяжести Однородное о полуиира радиуса R. 4 Считаем, что центр шара находится в начале координат, а рассматриваемая фигура — полуша р расположена над плоскостью. Тогда в силу симметрии имеем Объем полушара равен Найдем статический момент относительно плосхости хОу: Значит, центр тяжести.

Понятие о несобственном кратном

интеграле по неограниченной области При необходимости интегрирования функций нескольких переменных по неограниченной области D поступают так. Выбирают последовательность ограниченных областей интегрирования , монотонно исчерпывающих область D, т. е. Например, если область интегрирования {Д,} совпадает со всей плоскостью , то за последовательность {Dn} можно принять совокупность концентрических кругов где Определение. Несобственным интегралом от функции /(ж, у) по неограниченной области интегрирования D называется предел последовательности интегралов не зависящий от выбора последовательности D„.

Итак, по определению (2) Если предел (1) существует и конечен, то несобственный интеграл по неограниченной области называется сходящимся, в противном случае — расходящимся. Пример 1. Вычислить интеграл где область интегрирования — вся плоскость. м В качестве областей интегрирования {Dn} выберем круги радиуса п . Переходя к полярным координатам, получим Итак, интеграл (3) сходится и равен Признак сражение.

Если ,u интеграл сходится, то сходится и интеграл Если же интеграл расходится, то расходится и интеграл Интегралы, сходящиеся на всей плоскости, можно вычислять с помощью повторного интегрирования: 2. Вычислить интеграл 4 Так как то, согласно соотношению Переходя в двойном интеграле к полярным координатам, получим ноаую область интегрирования Следовательно, откуда Несобственные интегралы от функции трех, четырех и большего числа переменных по неограниченным областям определяются аналогично. Упражнения Вычислите двойные интегралы:

Измените порядок интегрирования (предварительно нарисовав область интегрирования): Нарисуйте область интегрирования и вычислите повторные интегралы Вычислите площади фигур, ограниченных кривыми Вычислите площадь петли кривой Вычислите площадь петли кривой Указание. Сделайте замену переменных Пугем перехода к полярным координатам вычислите следующие интегралы: если область D ограничена окружностью с центром в начале координат. — кольцо между окружностями радиусов полукруг диаметра d с центром в точке С о) , лежащий выше Приложения двойных и тройных интегралов Масса плоской фигуры Статические моменты плоской фигуры относительно осей координат

Координаты центра тяжести

Моменты инерции плоской фигуры относительно осей координат Статические моменты тела относительно координатных плоскостей Центр тяжести Понятие о несобственном кратном интеграле по неограниченной области Найдите массу штастиики D с заданной поверхностной плотностью Определите центры тяжести: 31. Полусегмента параболы 32. Полуэллипса отсеченного осью Ох. 33. Фигуры, ограниченной кривыми Вычислите площадь: 34.

Той части плоскости , которая лежит в первом октанте и ограничена цилиндром 35. Той части поверхности конусах которая высекается цилиндром 36. Поверхности параболоида расположенного внутри цилиндра . Вычислите интегралы по площади поверхности: 3часть плоскости , лежащая в первом октанте. где ж — часть сферы лежащая в первом октанте. — цилиндр х ограниченный плоскостями расстояние от точки ) поверхности до начала координат. Определение. Моментом инерции плоской фигуры относительно начала координат называется величина ' Вычислите моменты инерции относительно начала координат: 40.

Треугольника, ограниченного линиями , относительно оси Ох. 41. Треугольника с вершинами в точках относительно оси Оу. 42. Эллипса относительно оси Оу. 43. Области, ограниченной параболой у2 = 4ах, прямой Вычислите тройные интегралы: — область, ограниченная координатными плоскостями и плоскостью где ft — область, ограниченная конусом и плоско- — трехгранная призма, ограниченная плоскостя- п ми Вычислите инте1ралы 47-50, переходя к цилиндрическим или сферическим координатам: I

Вычислите объем тела, огранич енного данными поверхностями: . Указание: перейдюе к сферическим координатам. Вычислите массу тела: 54. Ограниченного поверхностями , «ели плогность ц в каждой точке тела равна аппликате этой точке. 55. Ограниченного поверхностями , если плотность/х в каждой точке равна орданате у этой точки.

Найдете статические моменты однородного тела (ц = 1): 56. Прямоугольного параллелепипеда с ребра*» а, Ь,с, относительно его граней. 57. Тела, ограниченного эллипсоидом х2 у2 z2 и плоскостью хОу, относительно плоскости хОу. Найдите координаты центра тяжести однородного тела (/* = 1), ограниченного данными поверхностями: 58. Плоскостями 59. Цилиндром и плоскостями 60. Параболоидом х2 + у2 = 2л z и полусферой .