Предел сложной функции

Содержание:

  1. Теорема 7.6:
  2. Возможность замены переменных

Предел сложной функции

Предел сложной функции

 

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Решение задач по математике

 

Теорема 7.6:

Если функция у = /(ж) имеет в точке а конечный предел b и не принимает значения b в некоторой о проколотой окрестности U(a) этой точки, а функция д(у) имеет в точке b конечный предел с, то сложная функция g(f(x)) имеет предел в точке а и он равен с. Согласно определению 7.9 предела функции по Гейне Пусть {ж„} — произвольная стремящаяся к точке а последовательность и хп ф a Vn £ N. Тогда liш{/(жп)} = 6, но /(хп) Vn € N.

Положим yn = f(xn)- Поскольку lim{yn} = b и УпфЬ Vn € N, имеем lim{p(j/n)} = с, т.е. что в силу определения 7.9 и доказывает теорему. Эту теорему нетрудно распространить на суперпозицию более двух функций. Она позволяет использовать замену переменных при вычислении пределов сложных функций по формуле Предел сложной функции при выполнении условий теоремы 7.6.

При зтом говорят, что под знаком предела в левой части (7.33) сделана замена f(x) = у.

Возможность замены переменных

Возможность замены переменных остаются в силе, если хотя бы одна из точек а, 6, с будет соответствовать одной из бесконечных точек +оо или -ос (или их объединению оо) на расширенной числовой прямой. Пример 7.11. а. Для нахождения предела функции arctg(l/(l-z)) при я-* 1-0 сделаем замену у = — х). Тогда при х 1 - 0 у +оо и согласно (7.33) с учетом (7.18) б.

 

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Примеры решения
Каркас это несущая конструкция здания. Вертикальные и горизонтальные нагрузки
Односторонняя непрерывность. Точки разрыва
Примеры расчетов при растяжении (сжатии)

 

Рассмотрим функцию |sgn(xsin(l/s))| при х-^0. Обозначим . При х 0 у->0 в силу теоремы 7.4 (как произведение б.м. при х 0 функции х и ограниченной в любой проколотой окрестности точки х = 0 функции sin(l/s)). В свою очередь, при у-*0 с учетом (3.3) (см. рис. 3.6, а) у (у) ->• 1. Отсюда, казалось бы, при х -+0 сложная функция Предел сложной функции.

Однако в любой проколотой окрестности

точки х = 0 функция sin(l/z) имеет нули, так что сложная функция g(f(x)) принимает значения и 0, и 1. В силу критерия Коши существования конечного предела функции (см. утверждение 7.2) эта функция не может в этой точке иметь предел. Дело в том, что в данном случае теорема 7.6 неприменима, поскольку в любой проколотой окрестности точки х = 0 функция f(x) принимает значение, равное значению ее предела в этой точке.