Поверхности

Содержание:

1. Кривые линии и поверхности
2. Кривые линии
3. Плоские кривые линии
4. Проекции плоских кривых
5. Свойства кривых линий и их проекций
6. Поверхности
7. Многогранники
8. Кривые поверхности и их определители
9. Линейчатые развертываемые поверхности
10. Цилиндрическая поверхность
11. Коническая поверхность
12. Аппроксимация кривых поверхностей
13. Линейчатые неразвертываемые поверхности (поверхности с плоскостью параллелизма)
14. Поверхности вращения
15. Сечения и развертки поверхностей
16. Общая методика построения линии сечения (ЛС) поверхности секущей плоскостью 
17. Особенности выбора посредников
18. Виды задач на построение линии сечения
19. Решения задач первого вида (в которых секущая плоскость - плоскость частного положения пересекает произвольную поверхность)
20. Сечение поверхностей гранных тел 
21. Сечения цилиндрических поверхностей 
22. Пересечение поверхности прямого кругового конуса плоскостью частного положения
23. Сечение конуса плоскостью, параллельной к его основанию
24. Сечение конуса плоскостью, которая проходит чего его вершину
25. Сечение поверхности конуса плоскостью, параллельной к его одной образующей
26. Сечение поверхности конуса плоскостью, параллельной к двум его образующим
27. Сечение поверхности конуса плоскостью, которая пересекает все его образующие и расположена под острым углом к его оси
28. Сечение замкнутых поверхностей
29. Сечение поверхности сферы
30. Сечения поверхности тора
31. Сечения поверхности эллипсоида вращения
32. Сечения поверхности трёхосевого эллипсоида 
33. Сечения поверхностей гиперболоидов
34. Сечения поверхности однополостного гиперболоида
35. Сечения поверхности двуполостного гиперболоида
36. Сечения поверхности параболоида
37. Решение задач второго вида (в которых секущая плоскость - плоскость общего положения пересекает произвольную поверхность)
38. Сечение поверхности наклонного конуса
39. Развертки поверхностей
40. Построение развертки методом совмещения 
41. Развертка поверхности прямой шестигранной пирамиды, срезанной проецирующей плоскостью
42. Построение развертки методом треугольников  
43. Развертка поверхности наклонной трехгранной пирамиды, пересеченной плоскостью общего положения
44. Построение линии среза поверхности плоскостью
45. Построение полной развертки пирамиды
46. Построение развертки методом триангуляции
47. Развертка поверхности прямого коноида
48. Построение развертки методом раскатывания
49. Развертка поверхности наклонного кругового цилиндра
50. Построение приближенных (условных) разверток
51. Развертка поверхности сферы
52. Пересечение прямой с поверхностью 
53. Общая методика определения взаимного положения прямой и поверхности
54. Рекомендации по выполнению общей методики определения взаимного положения прямой и поверхности
55. Группы задач на построение точек встречи прямой с поверхностью
56. Некоторые свойства поверхностей второго порядка
57. Отдельные случаи решения задач 
58. Решения задач Группы №1, в которых применяют посредники-плоскости частного положения с последующим преобразованием сечения
59. Пример решения задач с применением метода А (преобразование проекций)
60. Пример решения задач с применением метода В (преобразование пересечения в абрисную методом вращения)
61. Родство геометрических образов
62. Виды родства: параллельное и центральное
63. Родство в параллельном проецировании (параллельное родство)
64. Применение параллельного родства в решении задач
65. Родство в центральном проецировании (центральная родство)
66. Примеры решения задач с применением метода В (преобразование сечения в абрисную поверхность способом родственного соответствия)
67. Примеры решения задач с применением метода С (преобразование сложной линии пересечения в простое его родственное изображение)
68. Решение задач Группы №2, в которых применяются посредники-плоскости общего положения
69. Общий алгоритм построения точек пересечения прямой с поверхностью пирамиды или конуса
70. Общий алгоритм построения точек пересечения прямой с поверхностью наклонной призмы или цилиндра
71. Решение задач Группы №3
72. Выполнение перехода от заданной поверхности к родственной 
73. Алгоритм решения задач Группы №3 способом центрального проецирования
74. Примеры решения задач Группы №3
75. Решение задач группы 4, в которых определяется расстояние от точки до поверхности
76. Примеры решения задач группы 4
77. Пересечение поверхностей
78. Общая методика построения линии пересечения поверхностей (ЛППо)
79. Особенности построения линии пересечения поверхностей 
80. Типы задач, в зависимости от вида посредника
81. Задачи типа А - в решениях которых применяются посредники-плоскости частного положения
82. Пересечение гранных поверхностей 
83. Пересечение гранной проецирующей поверхности с произвольной кривой поверхностью 
84. Этапы выполнения метода полных сечений
85. Пересечение произвольных кривых поверхностей, одна из которых проецирующая
86. Анализ условия примера и выбор хода его решения 
87. Пересечение кривых поверхностей
88. Задачи типа В, в решении которых применяются посредники-поверхности сферы
89. Построение линии пересечения соосных поверхностей вращения 
90. Образование соосных поверхностей вращения и их линии пересечения
91. Образования и построение линии пересечения соосных поверхностей цилиндра и сферы 
92. Образование и построение линии пересечения соосных поверхностей конуса и сферы 
93. Построение линии пересечения поверхностей вращения, оси которых - прямые частного положения
94. Пример решения задачи первой группы, в которой пересекаются поверхности вращения с пересекающимися осями 
95. Вид линии пересечения поверхностей в задачах первой группы и их проекции
96. Пример решения задач второй группы, в которой пересекаются поверхности вращения, оси которых - скрещивающиеся прямые 
97. Задачи типа С, в решении которых применяют посредники-плоскости общего положения
98. Общие точки линии пересечения поверхностей и выбор посредников-плоскостей для их построения
99. Пересечение поверхностей двух наклонных конусов, двух пирамид, или конуса и пирамиды
100. Пересечение поверхностей двух наклонных цилиндров, призм или цилиндра и призмы
101. Пересечение поверхностей наклонных конуса, или пирамиды с цилиндром, или с призмой
102. Рекомендации по образованию и расположению посредников-плоскостей
103. Определение вида линии пересечения поверхностей
104. Пример решения задачи типа С
105. Изображение на чертеже модели
106. Виды
107. Разрезы
108. Особенности выполнения разрезов
109. Изображение чертежей моделей с одним горизонтальным отверстием (одинарное проникновение)
110. Модель призматическая
111. Модель пирамидальная
112. Модель цилиндрическая
113. Модель коническая
114. Модель шаровидная
115. Изображение чертежей модели с двумя (горизонтальным и вертикальным) отверстиями - двойное проникновение
116. Аксонометрические проекции
117. Основные определители аксонометрической проекции
118. Виды, оси и показатели искажения аксонометрических проекций
119. Аксонометрия точки
120. Аксонометрия многоугольника
121. Аксонометрические проекции окружности
122. Изометрия окружности
123. Диметрия окружности
124. Фронтальная изометрия окружности
125. Штриховка в разрезах, условности и нанесение размеров на аксонометрические проекциях 
126. Последовательность аксонометрической проекции детали (модели)
127. Изометрия детали
128. Прямоугольная и фронтальная диметрия деталей 

Поверхность — это традиционное название для двумерного многообразия в пространстве. Поверхности определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют определённому виду уравнений. Наиболее известными примерами поверхностей являются границы геометрических тел в обычном трёхмерном евклидовом пространстве. С другой стороны, существуют поверхности (например, бутылка Клейна), которые нельзя вложить в трёхмерное евклидово пространство без привлечения сингулярности или самопересечения.

Кривые линии и поверхности

Кривая линия - это множество точек пространства, координаты которых являются функциями одной переменной. Термин «кривая» в разных разделах математики. определяется по-разному. В начертательной геометрии кривую рассматривают как траекторию, описанную движущей точкой, как проекцию другой кривой, как линию пересечения двух поверхностей, как множество точек, обладающих каким-либо общим для всех их свойством и т.д.

Кривые линии

Линия - непрерывная однопараметрическая последовательная бесконечного количества точек.

Все линии делятся на плоские и пространственные кривые.

Плоские кривые линии

Все точки плоской кривой линии расположены в одной плоскости.

Точки кривой делят на обычные, особые и характерные, наиболее распространенные из которых изображены на рис. 10-1.

Точка А - обычная точка, характеризует плавность кривой, касательные к такой кривой в разных точках не меняют направление своего поворота.

Точка В - точка перегиба, в этой точке касательная меняет направление своего поворота.

Точка С - точка заостренная, или точка возврата первого рода, в такой точке ветки кривой расположены по разные стороны от общей касательной , с одной стороны от нормали .

Точка  - точка "клюв", или точка возврата второго рода, расположена с одной стороны от общей касательной  и с одной стороны от общей нормали .

Точка - узловая точка, в которой кривая пересекает сама себя и такая точка бывает двойной, тройной точкой.

Точка - угловая точка, в этой точке направление кривой и касательной к ней меняется скачком и имеет две касательные  и  и две нормали. 

Точка - точка самокасания.

Среди групп плоских кривых выделено алгебраические и трансцендентные кривые:

- Алгебраические кривые линии - они определяются алгебраическими уравнениями, это закономерные линии, поскольку подчиняются математическому закону.

- Трансцендентные кривые линии.

Если кривая определена неалгебраические уравнением, то называется трансцендентной.

Примером таких линий являются - циклоида, спиральные кривые, эвольвента окружности.

Проекции плоских кривых

Наиболее распространенным представителем кривых плоских линий является окружность.

Вид проекции окружности зависит от того, в какой плоскости эта окружность расположена относительно плоскостей проекций.

- Если окружность расположена в плоскости уровня (рис. 10-2), то она проецируется согласно со свойствами плоскости уровня: на эту плоскость проекций, относительно которой плоскость параллельна - окружность проецируется в натуральную величину, а на другую плоскость проекций, относительно которой плоскость перпендикулярна - окружность проецируется в виде отрезка прямой, который равен диаметру заданной окружности.

Покажем это на примере, когда окружность, диаметр которого равен , расположена в горизонтальной плоскости . При этом, рассматривая два сопряженных диаметра  и , отметим, что - фронтально проецирующая прямая и на поле   проецируется в точку, а на поле  - в натуральную величину. - профильно проецирующая прямая и на поле проецируется в натуральную величину, то есть равна натуральной величине , который равен заданному диаметру окружности. То есть: фронтальная проекция окружности, диаметр которого равен , - отрезок прямой, что равен , равен н.в. Горизонтальной проекцией заданной окружности является окружность , так как  (как профильно проецирующая прямая) и   (как фронтально проецирующая прямая) на поле  проецируется в натуральной величину.

- Если окружность расположена в проецирующей плоскости (рис. 10-3,а), то на ту плоскость проекций, относительно которой заданная плоскость перпендикулярна (имеем след-проекцию плоскости) окружность проецируется в виде отрезка прямой, который равен диаметру заданной окружности, а на другую плоскость проекций, относительной которой заданная плоскость расположена под острым углом - в виде эллипса - большая ось которого равна диаметру заданной окружности, а размер малой оси эллипса зависит от угла наклона заданной плоскости до плоскости проекций.

Покажем это на примере, когда окружность, диаметр которого равен , расположен во фронтально проецирующей плоскости дддд. При этом, рассматривая два сопряженных диаметра  и , подчеркнем, что  - фронтально проецирующей прямой и на поле   проецируется в точку , а на поле  проецируется в натуральную величину, то есть  - натуральная величина. = н.в.  взятого с . принимается за большую ось эллипса.  - фронтальная прямая и на поле проецируется в натуральную величину, то есть  а на поле   проецируется уменьшено, его горизонтальная проекция равна  (величина её зависит от угла ) и определяет малую ось эллипса, в которой окружность  проецируется на поле . 

Построение эллипса по полученным его большой оси  и малой оси  выполняется, как показано на рис. 10.3,б. Точки 3, 4, 1 и 2 - характерные точки эллипса. Промежуточная точка эллипса строится при помощи центровой линии, проведенной с центра двух концентрических окружностей (диаметр большой окружности = , а малого = ). Произвольная центровая линия пересекается с большой окружностью в точке В и с точки В проводим вспомогательную прямую  параллельно малой оси . Одновременно центровая линия пересекается с малой окружностью в точке А и с точки А проводим вспомогательную прямую  параллельно . Точка пересечения прямой  с прямой  принимается за промежуточную точку эллипса (на рис. 10.3,б это точка 5).

Таких центровых линий проводим столько, сколько необходимо иметь промежуточных точек, от их количество зависит точность построения эллипса. Полученные характерные точки и построенные промежуточные в одной четверти окружностей соединяем тонкой плавной линией "от руки" и наводим "под лекало", подобрав его кривизну и дальше наводим только ветки эллипса под ту же самую часть лекала.

- Если окружность расположена в плоскости общего положения (рис. 10-4), то окружность проецируется на все плоскости проекций в виде эллипса. Каждый эллипс строится отдельно, так как оси эллипсов на разных плоскостях проекций - проекции разных диаметров окружности. 

Направление большой оси эллипса на  сливается с направлением , а на  - с направлением  горизонтали  и фронтали  плоскости окружности. Большая ось эллипса по размеру равна диаметру заданной окружности, а размер малой оси зависит от угла наклона плоскости окружности к данной плоскости проекций и является вообще разной для каждой из проекций. Размер малой оси удобно определить заменой плоскостей проекций, преобразуя плоскость окружности в проецирующую, применив метод замены плоскостей проекций, дважды - первый раз выполняется преобразование плоскостей общего положения по системе , что даст возможность построить проекцию на поле  малой оси эллипса, которая равна (проекции диаметра  сопряженного с диаметром ).

Полученная проекция на поле  будет горизонтальной проекцией окружности в системе полей . Второй раз выполняется преобразование заданной плоскости общего положения в системе , что даст возможность построить проекцию на поле  малой оси эллипса, которая равна  (проекции диаметра  сопряженного с диаметром ). Полученная проекция на поле пппп2 будет фронтальной проекцией окружности в системе полей .

Свойства кривых линий и их проекций

Если кривая  имеет свои проекции  и (рис. 10-5), то сохраняется связь параметров кривой  и ее проекций  и :

- касательные к кривой проецируются в касательные к её проекции;

- количество узловых точек кривой равно количество узловых точек её проекции;

- несобственным точкам кривой соответствуют несобственные точки её проекций;

- порядок кривой и порядок её проекций одинаковый. 

На рис. 10-5 точка пересечения, в которой касательная  является общей (в своем продолжении) для базового треугольника  и базового треугольника  в пространстве и это же сохраняется на её фронтальной и горизонтальной проекциях. 

Поверхности

При образовании разных форм детали, формировании пространственных геометрических фигур, - поверхности наиважнейшие из существующих геометрических образов. Из всех существующих методов получения поверхностей, начертательная геометрия рассматривает графическое образование поверхности как совокупность всех последовательных положений линии, которая перемещается в пространстве по определенному закону.

Поверхность - это непрерывное положение заданной линии, которая перемещается в пространстве по определенному закону, например, скользя по другой неподвижной линии, которая определяет закон перемещения. Вид образованной поверхности зависит от вида подвижной линии и закона её перемещения.

Многогранники

Часть трехмерного пространства, ограниченную плоскими многоугольниками, называют многогранником, у которого общие стороны многоугольников называют ребрами, а точки пересечения общих ребер называют вершинами.

По форме многоугольников, их взаимного расположения выделяются группы многогранников, например, многогранник, все грани которого (кроме одной) имеют общую вершину, называют пирамидой. По расположению боковых ребер, параллельных между собой, выделяется группа многогранников, которые называют призмами, а многогранник, все боковые грани которого треугольники или трапеции, называют призматоидом. Если многогранники образованы одинаковыми плоскими многоугольники, то образуются выпуклые правильные многогранники (тела Платона), вокруг которых можно описать сферу. 

Кривые поверхности и их определители

Геометрические образы, которые определяют поверхность:

- образующая - линия, которая движется в пространстве;

- направляющая - неподвижная линия (линии) пространства, по которой скользит образующая, она определяет закон движения образующей в пространстве;

- кинематический закон образования поверхности - это информация, которая определяет поверхность как совокупность всех положений образующей;

- определитель поверхности - это совокупность геометрических образов, которая имеет возможность реализовать кинематический закон образования поверхности;

- каркас поверхности - это упорядоченное множество принадлежащих ей точек или линий (образующих), "обтягивая" каркас пленкой, получаем поверхность определенную каркасом.

Вид поверхности зависит от формы образующей и от закону её перемещения в пространстве, который определяется направляющей. 

Поверхность считается заданной, если определена её образующая в любом положении перемещения. Поверхность считается заданной на эпюре, когда имеет такие образы, которые позволяют построить каждую точку поверхности.

Признак принадлежности точки к поверхности: точка принадлежит поверхности, если эта точка принадлежит линии (прямой, дуге окружности или другой), которая лежит на этой поверхности. 

Для придания наглядности изображения поверхности на эпюре, кроме определителей поверхности строят еще и границу, которая определяет проекцию поверхности (абрис поверхности). Из всех возможных способов образования поверхностей необходимо применять наиболее простые и удобные для воспроизведения на эпюре.

Поверхность определяется своим определителем, общий вид которого:

где  - поверхность; - статика образования поверхности (её геометрические образы, которые образуют поверхность);  - динамика образования поверхности (то есть, как образы поверхности образуют её).

Определитель поверхности включает конкретные данные для Г и Д.

Например, поверхность цилиндр вращения может быть образована:

- вращением прямой  вокруг неподвижной оси , когда

- постепенным перемещением кола  в направлении оси , когда 

В следующих темах 11, 12, 13 дополнительно рассматриваются другие виды поверхностей и их законы образования.

Классификация наиболее известных поверхностей, существующих в этом время, приведена на рис. 10-6. 

Линейчатые развертываемые поверхности

Развертываемые поверхности - это те, которые возможно совместить с плоскостью без разрывов и складок.

Примером развертываемых линейчатых поверхностей являются цилиндры, конусы (их образующие - параллельные или пересекающиеся прямые).

Цилиндрическая поверхность

Образуется прямой линией , которая непрерывно скользит (движется) по кривой направляющий  и параллельно заданному направлению .

Определитель цилиндрической поверхности:

В зависимости от вида нормального сечения (перпендикулярного к образующим), цилиндрическая поверхность может быть:

- круговая;

- эллиптическая;

- параболическая;

- гиперболическая;

- общего вида.

Открытая или закрытая поверхность общего вида зависит от направляющей (-разомкнутая или замкнутая кривая).

Аксонометрическое изображения цилиндрической поверхности общего вида приведено на рис. 10-7. На рис. 10-8 показано эпюр цилиндрической поверхности, заданной направляющей  и направлением .

Если заданная фронтальная проекция  точки А принадлежащей к цилиндрической поверхности и необходимо построить её горизонтальную проекцию , то:

Для решения такой задачи через  проводим фронтальную проекцию образующей .

То есть: 

Последовательность построение  на эпюре показана стрелками.

Цилиндрическая поверхность может быть задана её следом на поле  и направлением образующей. Кроме следа  поверхности на поле  заданы её абрис и ось  (рис. 10-9) (возможное изображение поверхности и без верхнего основания). Такое задание поверхности позволяет определять положение произвольной точки, которое принадлежит этой поверхности.

Если задано фронтальную проекцию  точки А и необходимо построить горизонтальную проекцию , для этого согласна признаку принадлежности точки к поверхности, выполняется: 

 (если видимая):

 (если невидимая): 

С  проводим вертикальную линию связи, которая, пересекаясь с , образует  (когда  видимая) и, пересекаясь с , образует  (когда  невидима).

Коническая поверхность

Образуется прямой линией , которая непрерывно скользит по кривой направляющей  и проходит все время через неподвижную точку .

Определитель конической поверхности 

где:  - вершина;  - направляющая кривая линия; - образующая - прямая линия.

Аксонометрическое изображение конической поверхности приведено на рис. 10-10. Коническая поверхность задается горизонтальным следом (который может быть рассмотрен как направляющая) и вершиной .

Если задано фронтальную проекцию  точки А на эпюре (рис. 10-11) и необходимо построить горизонтальную проекцию  точки А, которая принадлежит конической поверхности, то опираясь на признак принадлежности точки к поверхности, построение проекции точки А выполняется при помощи образующей , которая проходит с точки  через данную точку А, для этого на эпюре выполняется:

Последовательность решения на эпюре показана стрелками.

Коническая поверхность может быть задана на эпюре своим следом (принятым за направляющую) на поле  вершиной  и задают абрисы поверхности. Такое задание поверхности дает возможность построить проекции произвольной точки, которая принадлежит этой поверхности (рис. 10-12).

Если задано фронтальную проекцию  точки А и необходимо построить горизонтальную проекцию , для этого согласно признаку принадлежности точки к поверхности точки к поверхности, на эпюре с вершины  проводим образующую через заданную точку А, строим проекции образующей  и на образованных проекциях образующей  строим необходимые проекции точки А.

Если образующую  провести невозможно (в пределах чертежа вершина  отсутствует), то другой линией, которая проходит через точку А и принадлежит поверхности конуса - окружность, полученная при сечении конуса вспомогательной плоскостью Р (рис. 10-12), которая проходит через точку А; полученная в сечении конуса окружность, радиус которого равен , принадлежит поверхности конуса и на этой окружности лежит точка А. Построив проекции окружности, на одноименных проекциях окружности строится одноименные проекции точки А, при этом полученную на поле   расположение  относительно оси конуса, переносим на поле  и определяем принадлежащую 

Аппроксимация кривых поверхностей

Один из вариантов образования гранных поверхностей рассмотрим на примерах аппроксимации развертываемых кривых поверхностей вписанными или описанными гранными поверхностями.

Рассмотрев образование цилиндрической поверхности, её определитель: 

заменим кривую направляющую  на ломанную линию  (вершины, которой лежат на ), и через каждую вершину ломанной линии проведем прямые , параллельно к заданному направлению , - то будет образовано призматическую поверхность, каждая грань которой образована двумя прямыми , которые проведены через две соседние вершины ломанной . Если образованную призматическую поверхность (с замкнутой ) перерезать двумя параллельными плоскостями, то будет образовано призму, прямую или наклонную, смотря как расположены секущие плоскости относительно боковых ребер . Такая призматическая поверхность будет вписанной аппроксимирующей относительно цилиндрической поверхности (замкнутой, если её направляющая  - замкнутая). Если направляющую  заменить ломанной линией  сторонами - отрезки которой касательные к , то будет образована описанная аппроксимирующая гранная призматическая поверхность для заданной цилиндрической поверхности.

Рассмотрев образование конической поверхности и её определитель:  , заменив её направляющую  на ломанную  и точку  соединить с вершинами ломанной , то будет образована пирамидальная поверхность, которая аппроксимирует коническую поверхность с направляющей . 

Линейчатые неразвертываемые поверхности (поверхности с плоскостью параллелизма)

Поверхности образуются перемещением прямой  по двум направляющим  и , причем прямая  все время параллельна некоторой плоскости , которая называется плоскостью параллелизма. 

Направляющие  и  могут быть кривыми, плоскими или пространственными, или прямыми линиями (расположенными в разных плоскостях).

Примером неразвертываемых поверхностей являются цилиндроид, коноид, косая плоскость (гиперболический параболоид).

Общий определитель линейчатых неразвертываемых поверхностей:

где  и  - направляющие кривые или прямые линии; - плоскость параллелизма (преимущественно частного положения);  - образующая линия.

- Если направляющие  и  - кривые линии, образуется поверхность - цилиндроид;

- если одна из направляющих ( и ) - кривая линия, а другая направляющая - прямая линия, - образованная поверхность - коноид;

- если две направляющие  и  - скрещивающиеся прямые линии, образованная поверхность - косая плоскость. 

На рис. 10-13 приведено аксонометрическое изображение механизма образования поверхности коноида. Взяв в пространстве одну направляющую   - кривую линию, и другую направляющую  - прямую линию, эти направляющие  и  пересекаем плоскость , получаем точки 1 и 2 соответственно при пересечении  и . Соединив точки 1 и 2 между собой, получаем образующую .

Если выберем следующую плоскость  и расположим её параллельно плоскость , то  пересекает  и  в точках 3 и 4, соединив эти точки между собой, получаем следующую образующую . Повторим аналогичное построение при помощи плоскости  получаем следующую образующую. Совокупность полученных образующих образуют поверхность коноида.

Если направляющая - прямая перпендикулярная плоскости параллелизма, то получаем прямой коноид. На рис. 10-14 показано эпюр поверхности прямого коноида, образованной направляющей  - кривой линией, направляющей  - прямой линией, и плоскости параллелизма , и .

Построение проекций точек, которые принадлежат поверхности коноида, показано на эпюре, рис. 10-14. 

Учитывая признак принадлежности точки к поверхности, задачу построения сводим к построению проекций точки, которая принадлежит линии (прямой или кривой), которая расположена на поверхности коноида, при этом одноименные проекции точки принадлежат одноименным проекциям линии, которые принадлежат одноименным проекциям поверхности.

Если задано горизонтальную проекцию  точки А (на том поле, где показано след-проекцию заданной плоскости параллелизма ).

Алгоритм построения точки :

- через заданную точку А проводим плоскость (на поле );

Плоскость пересекает направляющие  и  соответственно в точках 1 и 2:

на поле

на :

- полученные точки 1 и 2 соединяем между собой и получаем образующую , которой принадлежит точка А, то есть:

на поле 

на поле 

Если задано фронтальную проекцию точки В (на противоположном поле, где не показано след-проекцию заданной плоскости параллелизма).

Алгоритм построения :

- строится каркас поверхности коноида, для этого проводим несколько плоскостей, параллельных заданной плоскости параллелизма (это плоскости , которые параллельны ) на поле  эпюра ,; строим образующие поверхности коноида, для этого точки пересечения плоскости  с направляющими  и  соответственно в точках 3 и 4, соединив их, образуется образующая , для этого на эпюре:

Аналогично строятся образующие с применением соответственно плоскостей .

Полученные образующие образуют каркас поверхности коноида.

- каркас поверхности пересекаем фронтально проецирующей плоскостью , которая пройдет через заданную точку В, каркас поверхности коноида плоскость  пересечет по линии , который и будет принадлежать . Для этого на эпюре: на поле :

(на поле ).

Поверхности вращения

Образуется линией , которая вращается вокруг оси  . Линия  (прямая или кривая) - образующая поверхности, и ось  - прямая линия.

Примером поверхностей вращения являются: тор (открытый, закрытый), шар, глобоид, элипсоид, параболоид вращения, гиперболоид вращения, коническая и цилиндрическая поверхности вращения.

Определитель поверхности вращения:

где  - образующая,  - ось вращения. 

Отдельные виды поверхностей вращения (зависимые от образующей ллл и её расположения относительно оси вращения ):

- тор: когда образующая  - окружность, расположенная в плоскости, которая проходит через ось ;

- тор открытый - когда ось  не пересекает окружность образующей ;

- тор закрытый - когда ось  касательная к образующей  (окружности) или его пересекает);

- сфера - образующая  - окружность, ось  проходит через центр окружности образующей;

- глобоид - образующая  - дуга окружности;

- эллипсоид вращения (стиснутый или вытянутый) - образующая  - эллипс, а ось  проходит через малую или большую ось эллипса;

- параболоид вращения;

- гиперболоид вращения - образующая  соответственно парабола или гипербола;

- коническая и цилиндрическая поверхности вращения - образующая  соответственно пересекает ось  или параллельна оси.  

Свойства поверхности вращения: любая плоскость, которая пересекает поверхность вращения и расположена перпендикулярно её оси вращения - дает в сечении этой поверхности - окружность (принадлежащая плоскости сечения поверхности).

Каждая точка образующей , которая ближе всего расположена к оси  описывает окружность, которая называется - горло поверхности вращения.

Точка образующей , которая дальше всего расположена от оси  описывает окружность, которая называется - экватор поверхности вращения.

На рис. 10-15 приведено эпюр поверхности вращения, образованная кривой линией , которая вращается вокруг оси , которая перпендикулярно расположена к горизонтальной плоскости проекций . Образующая  и ось  расположены во фронтальной плоскости .

При вращении плоскости  вокруг оси , образующая  описывает поверхность вращения . Вид образующей определяет форму поверхности .

Общая последовательность построения проекций точки, расположенной на поверхности вращения:

- через заданную точку на поверхности перпендикулярно к оси вращения поверхности проводим посредник-плоскость Р, в сечении поверхности получаем окружность, на которой расположена данная точка;

- строим проекции окружности сечения;

- строим проекции точки, которая принадлежит окружности-сечению, учитывая, что соответствующие проекции точки принадлежат одноименным проекциям окружности-сечения.

Полученные проекции точки являются проекциями точки, которая принадлежит к поверхности вращения, так как проекции точки принадлежат одноименным проекциями линии-окружности, которое принадлежит соответствующим проекциям поверхности-вращения.

Алгоритм построения  по заданной точки К, которая принадлежит поверхности :

для этого на поле 

окружность, радиус которого 

Для этого: 

Если задано горизонтальную проекцию  точки , которая принадлежит поверхности , то для построения фронтальной проекции  на эпюре начинаем построение с того, что на поле :

в.л.с. 

в.л.с. 

Примеры решения задач:

Пример 10-1: Задана пространственная кривая линия .

Необходимо определить длину заданной линии .

Решение выполняется приблизительным методом спрямления, когда кривую  разбиваем на отдельные ветки, такие ветки заменяем хордами, а длину каждой хорды определяем методом прямоугольного треугольника, совместив эти треугольники по общей координате высот точек раздела кривой, определяем натуральную величину длины пространственной ломанной линии.

Соединив вершины ломанной линии, получаем изображение заданной пространственной кривой линии  развернутой - до совмещения с плоскостью, где и приводится длина заданной линии , что и показано на рис. 10-16.

Пример 10-2: Задана сфера своими проекциями на полях На поверхности сферы расположены точки 

Необходимо построить  - точки и - точки и - точки и - точки и - точки .

Условные обозначения:  - заданная проекция точки,

- построенная проекция точки.

Построение проекций точек выполняем, придерживаясь признака принадлежности точки к поверхности, согласно которому проекций точек на поверхности сферы выполняется при помощи наипростейшей линии для построения, которой является окружность, принадлежащая поверхности сферы, которой принадлежит точка.

Для построения  и точки А:

Через проводим горизонтальную плоскость , которая будет на эпюре воспроизведена фронтальные и профильным  следами-проекциями. (рис. 10-17)

На эпюре:

(следы горизонтально расположены).

Плоскость пересекает сферу по окружности , радиус которой равен .

На эпюре: в.л.с. окружности в.л.с.

Для построения  рассмотрим рис. 10-18 и рис. 10-19.

 расположено на вертикальной линии связи , а глубина точки А равна , координатным методом строя , с точки  проведена горизонтальная линия связи (ГЛЗ) и координата , взятая с поля  и откладывается на ГЛЗ от оси  и получаем . или при помощи относительных координат (координат-расстояний от известных определителей рассматриваемого объекта). Имея ось изображения горизонтальной проекции и , отдаленная от этой оси на , то на поле  на ГЛЗ от вертикальной оси отложив , - получаем .

На рис. 10-19 показано, если точка А расположена на "кончике носа", её  расположена снизу от горизонтальной оси горизонтальной проекции "лица", а на профильной проекции "нос" вместе с , расположен слева от вертикальной оси профильной проекции.

На рис. 10-19 та точка, горизонтальная проекция которой над горизонтальной осью ("в волосах", то на профильной проекции профильную проекцию точки нужно искать слева от вертикальной оси ("в волосах" на этой проекции) соответственно на расстоянии  взятого с горизонтальной проекции.

То есть: если горизонтальная проекция точки расположена снизу от горизонтальной оси проекции, то её профильная проекция строится справа от вертикальной оси профильной проекции и наоборот.

Если горизонтальная проекция  точки В, которая принадлежит поверхности заданной сферы, то для образования линии (окружности), которая принадлежит сфере, через точку В проводим фронтальную плоскость , в сечении сферы получаем окружность, радиус которой , строим фронтальную проекцию этой окружности и проекции заданной точки В, одноименные проекции которой принадлежат одноименным проекциям окружности (радиус которой равно ).

Аналогично строятся отсутствующие проекции: 

- точка С - как точка, которая принадлежит к фронтальному абрису  сферы;

- точка  - строится при помощи фронтальной плоскости, (профильный след , проведенный вертикально) и проходит через  - в сечении сферы образуется окружность (радиус которой ) к проекциям которой принадлежат одноименные проекции точки ;

- точки   и  - их проекции строятся как точки, которые принадлежат к горизонтальному абрису  сферы. 

Пример 10-3: Задана поверхность прямого кругового конуса на полях , ,  .

На поверхности конуса расположены точки 

Необходимо построить отсутствующие проекции заданных точек на полях , ,  .

Построение проекций точек выполняется с соблюдением признака принадлежности точки к поверхности, если эта точка принадлежит линии (прямой, дуге окружности, линии, наиболее удобной для построения), которая сама принадлежит заданной поверхности. 

Если точка А задана своей фронтальной проекцией , то для построения  и : с вершины  через точку А проводим образующую до пересечения с основанием  конуса в точке 3. Полученная прямая (образующая конуса) несет на себе точку А. Построив проекции образующей на одноименных проекциях которой располагаются проекции точки А.

На эпюре: 

Профильная проекция  строится координатным методом (при помощи относительных координат), применяя горизонтальную линию связи, проведенную на , на которой вправо от оси профильной проекции конуса откладывается , взятой с горизонтальной проекции. 

Если задано срезанный конус, когда вершины конуса в пределах чертежа нет, то построение проекций точки А выполняем при помощи не образующей, а при помощи окружности, которая принадлежит поверхности конуса. Для этого: через точку А проводим горизонтальную плоскость Р, а сечении конуса получили окружность , радиус которого равен , на котором расположена точка А.

На эпюре:

Аналогично строятся отсутствующие проекции: 

- точка В - как точка, принадлежащая фронтальному абрису  конуса;

- точка С - строится на поле  при помощи образующей конуса , а на поле  - координатным методом с учетом ;

- точка  - её проекции строятся при помощи образующей , начиная с построения , которая проходит через ;

- точка   - её проекции строятся по принадлежности к профильному абрису . 

Пример 10-4: Задана поверхность призмы шестигранной правильной прямой (с горизонтально проецирующей боковой гранной поверхностью).

На поверхности призмы расположены точки , . Необходимо построить отсутствующие проекции заданных точек на полях , ,  .

Построение отсутствующих проекций заданных точек, показано на рис. 10-21, выполнено путем применения вертикальных и горизонтальных линий связей, направление проецирования этих линий показано стрелками. Связь горизонтальной и профильной (и наоборот) проекции точек показано соответствующими относительными координатами что видно на рис. 10-21. 

Сечения и развертки поверхностей

При пересечении поверхности плоскостью получаем плоскую фигуру, которая называется сечение. 

Вид фигуры сечения зависит от поверхности, которая пересекается, и от расположения плоскости относительно этой поверхности.

Если пересекается гранная поверхность, сечение её имеет вид ломанной плоской фигуры, замкнутой (многоугольник) или разомкнутой; количество вершин этой ломанной равно количество ребер гранной поверхности, которые пересекаются плоскостью, или количество сторон линии-сечения равно количеству граней, которые пересекает секущая плоскость. 

Если криволинейная поверхность перерезается плоскостью, то сечение имеет вид кривой (замкнутой или разомкнутой) линии. 

Общая методика построения линии сечения (ЛС) поверхности секущей плоскостью 

Методика решения задач по построению линии сечения поверхностей такая же, как и методика построения линии сечении двух плоскостей (рис. 4-10), разница только в количестве посредников и выборе их положения в пространстве (то есть: сколько посредников, и как их расположить). 

Построение линии сечения поверхности Ф плоскостью показано на рис. 11-1.

Алгоритм решения:

=  Выбираем посредник-плоскость Р:

=  Выбираем посредник-плоскость :

=  Выбираем посредник-плоскость :

Особенности выбора посредников

= Посредники должны быть расположены так, чтобы они пересекали поверхность по линии наипростейшего вида (очерченной прямыми линиями или дугами окружности).

= Посредники должны обеспечивать построение характерных точек линии сечения:

- точки на абрисах поверхности являются точками изменениями знака видимости линии сечения;

- точки на линии сечения, которые имеют наибольшую и наименьшую высота ( и );

- Дополнительные посредники должны обеспечить построение промежуточных точек для образования равномерной плотности точечного каркаса линия сечения.

Виды задач на построение линии сечения

- Задачи первого вида, в которых любая поверхность пересекается плоскостью частного положения.

- Задачи второго вида, в которых любая поверхность пересекается плоскостью общего положения.

Решения задач первого вида (в которых секущая плоскость - плоскость частного положения пересекает произвольную поверхность)

Такие задачи характеризуются тем, что плоскость частного положения имеет на эпюре свой след-проекцию, с которым сливается проекция сечения, которая выделена на следе-проекции точками сечения левой стороны абриса поверхности и проходит до точки сечения правой стороны абриса поверхности, проекцию которой пересекает след-проекция плоскости. На другой проекции поверхности проекция линии сечения строится по принадлежности точек линии сечения поверхности.

При построении линии сечения, полученной при пересечении поверхности плоскостью частного положения, рассматриваются преимущественно сечения боковой поверхности геометрических тел. Для этого в случаях, когда секущая плоскость пересекает частично боковую поверхность тела и пересекается с основанием тела, то для получения полного сечения боковой поверхности тела, эта поверхность и секущая плоскость продолжаются до взаимного пересечения и в таком случае получим фигуру полного пересечения поверхности. При необходимости рассматривать фигуру частного сечения боковой поверхности, то полное сечение будет ограничено прямой линией (одной или двумя, зависимо от количества пересеченных основ тела) сечения секущей плоскости с плоскостью основания. 

Рассмотрим построение линии сечения наиболее распространенных поверхностей плоскостями уровня или проецирующими.

Сечение поверхностей гранных тел 

Сечение многогранника плоскостью всегда будет многоугольником (плоским), а количество его вершин равно количество пересеченных ребер многогранника, или количество сторон многогранника-сечения равно количество пересеченных граней многогранника.

Рассмотрим поверхность , которой является многогранник - призма четырехгранная прямая правильная, перерезанная плоскостями частного положения, приведенная на рис. 11-2. 

Вообще, призма как поверхность образуется прямой , которая скользит по многоугольнику  и все время остается параллельно указанному направлению  и двумя секущими плоскостями, в одной из которых лежит многоугольник . Определитель поверхности призмы:

Если поверхность призмы перерезать плоскостью , параллельной плоскостью , то фигура сечения образуется четырьмя отрезками, полученными при пересечении плоскостей верхней и нижний основы призмы, и левой и правой передней боковой грани призмы. Можно рассматривать фигуру сечения - образованную при сечении двух передних ребер нижнего основания призмы (полученные вершины 1 и 4) и двух передних ребер верхнего основания (полученные вершины 2 и 3). То есть, пересечено последовательно четыре ребра в точках 1, 2, 3, 4. Таким образом, в сечении призмы плоскостью  получено четырехугольник - прямоугольник 

То есть: 

Учитывая то, что плоскость  является плоскостью уровня и воспроизведена на эпюре своими следами-проекциями  и и считая свойства плоскости , четырехугольник расположен в этой плоскости, имеет горизонтальную проекцию  которая совпала с горизонтальным следом-проекцией , а профильная проекция  совпала с . Фронтальная проекция  на  является натуральной величиной прямоугольника .

Если поверхность призмы перерезать , которая является фронтально проецирующей, то эта плоскость пересекает четыре боковых ребра в точках  соединив которые получаем сечение. Сечением будет четырехугольник, а учитывая симметричность расположения пересеченных ребер, - в сечении получено ромб фронтальная проекция которого  совпадает со следом-проекцией  исследуемой секущей плоскости . Горизонтальная проекция  и профильная проекция  строятся по принадлежности к соответствующим проекциям боковых ребер.

Таким образом, если поверхность четырехгранной призмы  перерезает фронтально проецирующая плоскость , то получено четырехугольник-ромб (в рассматриваемом примере)

То есть: 

Если выбранную поверхность пересечем профильной плоскостью , то прямоугольник сечения на поле  спроецируется в натуральную величину и ширина этого прямоугольника будет взята с , а высота с . Горизонтальная и фронтальная проекции прямоугольника сечения соответственно совпали со следом-проекцией  и

Если выбранная поверхность пересечена горизонтальной плоскостью , то квадрат сечения имеет свои проекции соответственно на  и , которые сливаются со следами-проекциями  и , а на  совпадает с горизонтальной проекцией квадрата основания призмы, относительно которой фигура сечения параллельна только расположенная ниже в вертикальной проекционной связи, как фигура, которая принадлежит горизонтально проецирующей поверхности, которой является боковая поверхность рассматриваемой призмы.

Рассмотрим другой пример, где поверхность , которой является многогранник - пирамида шестигранная прямая правильная, пересеченная плоскостями частного положения, этот пример приведено на рис. 11-3.

Вообще пирамида как поверхность образуется точкой , принятой за вершину, и плоской ломанной линией , которая принимается за основание пирамиды. Вершина не принадлежит плоскости ломанной . Определитель поверхности пирамиды имеет вид:

где прямая  проходит с точки  и скользит по многоугольнику , - образуется боковая поверхность пирамиды, а её основанием является часть плоскости, обведенная плоской ломанной линией .

Если поверхность пирамиды пересечь плоскостью , которая параллельна , то в сечении получаем шестиугольник (меньший, чем шестиугольник основания пирамиды) с вершиной в точке 1, так как плоскость Р пересекает шесть боковых ребер. 

Исходя из свойств горизонтальной плоскости Р: фронтальная и профильная проекции шестиугольника-сечения соответственно сливаются со следом-проекцией и , а его горизонтальная проекция является натуральной величиной шестиугольника-сечения с вершиной в точке  и является концентрическим относительно шестиугольника основания.

Если поверхность заданной пирамиды пересечь плоскостью , которая параллельна  , то плоскость пересечет одно боковое (левое абрисное) ребро и два (левых) ребра основания, таким образом в сечении будет треугольник . Исходя из свойств профильной плоскости , полученный треугольник сечения на  спроецируется в натуральную величину и будет , а на  и на соответственно в виде отрезка  и , которые сливаются со следами-проекциями  и . 

Если заданную поверхность пересечь фронтально проецирующей плоскостью , то эта плоскость пересекает шесть боковых ребер, то есть в сечении будет получено шестиугольник, наивысшая вершина которого в точке 2. Учитывая то, что плоскость  на поле  имеет свой след-проекцию  то фронтальная проекция шестиугольника сечения будет в виде отрезка с точкой  который сливается с  Горизонтальная и профильная проекции этого сечения строятся по принадлежности сечения к боковым ребрам (соответствующих проекций вершин к одноименным проекциям боковых ребер).

Сечения цилиндрических поверхностей 

В сечении криволинейной поверхности плоскостью получаем плоскую фигуру, очерченную кривой или ломанной или их комбинацией.

Поверхности цилиндрические (поверхности второго порядка) образуются непрерывным перемещением прямой , принятой за образующую, которая скользит по кривой  второго порядка, принятой за направляющую, и при этом образующая во всех положениях остается параллельной до указанного направления .

Определитель цилиндрической поверхности имеет вид:

Форма направляющей  определяет вид цилиндрической поверхности:

если  - окружность, цилиндрическая поверхность  - вращения, рис. 11-4;

если  - эллипс, цилиндрическая поверхность  - эллиптическая, рис. 11-5;

если  - парабола, цилиндрическая поверхность  - параболическая, рис. 11-6;

если  - гипербола, цилиндрическая поверхность  - гиперболическая, рис. 11-7;

Все эти прямые являются прямыми, потому что образованы при условии, что направляющая  перпендикулярна к плоскости направляющей . (Нормально сечение таких поверхностей - направляющая разновидности цилиндрической поверхности).

Рассмотрим поверхность цилиндрическую вращения, рис. 11-4, пересеченную плоскостями частного положения.

Если эту поверхность пересечь плоскостью , то сечение поверхности пройдет по двум образующим проведенным соответственно с точки 1 и точки 2, эти образующие параллельны оси  прямого кругового цилиндра.

Если рассматривается поверхность, пересеченная плоскостью ооооо, которая параллельна , то поверхность будет пересечена по двум образующим, проведенных соответственно с точкой 3 и точкой 4, эти образующие параллельны оси . Проекции образующих, по которым цилиндрическая поверхность пересечена плоскостью , приведены на рис. 11-4. При рассмотрении цилиндрической поверхности прямого кругового цилиндра (у которого две окружности лежат в его основании), образующие по которым пересекается боковая поверхность цилиндра вместе с линиями сечения секущей плоскости с плоскостями основ - образуют сечения-прямоугольники. 

Если цилиндрическая поверхность будет пересечена плоскостью , которая параллельна  и она одновременно перпендикулярна оси  цилиндра. В сечении (как нормальное сечение) будет получена окружность, которая на поле  и  имеет свои проекции в виде отрезка, которые равны диаметру окружности-сечения и эти отрезки совпадают с соответствующими следами-проекциями  и , а горизонтальная проекция сечения совпадает с горизонтальной проекцией горизонтально проецирующей поверхности цилиндра. 

Если цилиндрическая поверхность будет пересечена плоскостью  перпендикулярной к , то в сечении будет получено эллипс, большая ось которого равна отрезку , а малая ось равна диаметру цилиндра . Горизонтальная проекция эллипса-сечения совпадает с горизонтальной проекцией всей горизонтально проецирующей поверхности цилиндра. Профильная проекция эллипса-сечения строится по профильной проекции большой и малой оси эллипса, и имеет вид эллипса с точками

Рассматривая цилиндрическую эллиптическую поверхность, рис. 11-5, пересеченную плоскостью , которая параллельна плоскости  и параллельна оси  (параллельная  направлению образующих), - в сечении получаем две образующих  и , которые вместе с линиями сечения секущей плоскости с плоскостями оснований - образуют прямоугольник . Горизонтальная и фронтальная проекции прямоугольника сечения являются отрезки  и , которые соответственно совпадают с  и с  а профильная проекция  равна натуральной величине прямоугольника-сечения. 

Рассматривая незамкнутые цилиндрические гиперболическую и параболическую поверхности, рис. 11-6 и рис. 11-7, видно, что плоскость  в сечении получено гиперболу с вершиной в точке А, а плоскость  пересекает по двум образующим, которые проходят с точек . Плоскость  пересекает обе разомкнутые полости цилиндрической гиперболической поверхности, которые секутся по двум веткам гиперболы с вершинами в точках А и В. 

Если рассмотреть (рис. 11-8) цилиндрическую поверхность, образованную перемещением образующей по направляющей  - окружности и расположенную не перпендикулярно к оси , то нормальное сечение такой цилиндрической поверхности - эллипс, что подчеркивает образование цилиндрической - эллиптической поверхности. Пересечение такой поверхности плоскостью , которая перпендикулярна к , является эллипсом, горизонтальная проекция которого сливается со следом-проекцией , а фронтальная проекция строится по принадлежности точек эллипса-сечения к поверхности. 

Выводы:

- если цилиндрическая поверхность пересечена плоскостью, проведенной параллельно оси поверхности, то сечение пройдет по двум образующим поверхности;

- если цилиндрическая поверхность имеет нормальное сечение, то линия сечения имеет вид направляющей поверхности;

- если цилиндрическая поверхность пересечена плоскостью, проведенной под острым углом к оси поверхности, то сечение поверхности имеет искаженный (растянутый) вид направляющей поверхности.

Пересечение поверхности прямого кругового конуса плоскостью частного положения

Определитель поверхности прямого кругового конуса имеет вид:

 - окружность 

где:  - вершина,  - направляющая,  - образующая (прямая линия).

При любом расположении секущей плоскости относительно геометрических образов прямого кругового конуса получаем один из пяти "золотых" сечений, очерченных кривыми или прямыми линиями.

Сечение конуса плоскостью, параллельной к его основанию

Как видно из рис. 11-9, в сечении конуса получено окружность радиус которой равен ОА, где точка О - точка пересечения оси  (заданного конуса) плоскостью , а точка А - точка пересечения  - правой стороны фронтального абриса конуса. 

На эпюре:

 радиус окружности 

 натуральная величина окружности сечения.

То есть: окружность.

Когда поверхность прямого кругового конуса пересечена плоскостью, параллельной его основанию (она одновременно перпендикулярна к оси конуса), то в сечении получаем окружность.

Следствие А: Если плоскость пересекает коническую поверхность параллельно её направляющей, то линия сечения подобна направляющей заданной конической поверхности. 

Сечение конуса плоскостью, которая проходит чего его вершину

Как видно из рис. 11-10 в сечении конуса получено равнобедренный треугольник , потом что плоскость пересекает конус по двум одинаковым образующим  и , где точки 1 и 2 принадлежат направляющей - основанию и хорда  окружности основания является основанием треугольника  полученного в сечении. 

На эпюре:

 когда

То есть:  треугольник.

Когда поверхность прямого кругового конуса пересечена плоскостью, которая проходит через вершину конуса, то в сечении получаем равнобедренный треугольник, боковые стороны которого образующие конуса.

Следствие Б: Если плоскость пересекает коническую поверхность и проходит через её вершину, то она разрезается по двум образующим (соединив которые хордой, полученной при пересечении направляющей поверхности плоскостью, - получается треугольник сечения).

Сечение поверхности конуса плоскостью, параллельной к его одной образующей

Как видно из построения (рис. 11-11), плоскость  параллельна одной образующей  конуса, не пересекает верхнюю полость конуса (на эпюре 

В сечении конуса плоскостью  получено гиперболу , которая определяется вершиной в точке 3 и наибольшей хордой . Точки 1, 3 и 2 - характерные точки гиперболы, а её промежуточные точки 4, 5, 6 и 7 строятся по общей методике (п. 11.1) с использованием вспомогательной плоскости  и , что дает возможность построить горизонтальную проекцию  гиперболы .

На эпюре:

когда 

То есть:  гипербола.

Когда поверхность прямого кругового конуса пересечена плоскостью, которая параллельна одной образующей конуса, то в сечении получаем гиперболу. 

Следствие В: Если коническую поверхность пересекает плоскость, которая расположена параллельно одной образующей этой поверхности, то в сечении получаем гиперболу.

Сечение поверхности конуса плоскостью, параллельной к двум его образующим

Как видно из рис. 11-12 а, плоскость  расположена параллельно двум образующим  и , пересекает две полости конической поверхности с общей осью , получаем две ветки сечения  и  - две ветки гиперболы. Проекции образующих  и  на поле  сливаются, и фронтальный след пройдет параллельно (плоскость  двум образующим), то  пересекает правый абрис конуса в точке  и пересекает продолжение правого абриса конуса в точке  эти точки  и  являются вершинами веток гиперболы сечения, а наибольшая хорда  строится при помощи следа . Промежуточные точки гиперболы строятся при помощи общей методики (п. 11-1) с применением вспомогательных плоскостей  и .

На рис. 11-12 б, плоскость пересекает поверхность конуса перпендикулярно плоскости  и параллельно двум образующим и . На правой абрисной образующей конуса расположена точка 6, которая на поле  меняет знак видимости ветки гиперболы. 

Когда поверхность прямого кругового конуса пересечена плоскостью, которая параллельно двум образующим конуса, то в сечении получим гиперболу

Следствие Г: Если симметричную часть конической поверхности пересекает плоскость, которая расположена параллельно двум образующим этой поверхности, то в сечении получаем гиперболу.

Сечение поверхности конуса плоскостью, которая пересекает все его образующие и расположена под острым углом к его оси

При таком расположении секущей плоскости в сечении поверхности конуса получаем эллипс, что и видно из построения, приведенного на рис. 11-13.

Принимаем во внимание, что в данном примере плоскость  - фронтально проецирующая, а  - её след-проекция, с которым сливается фронтальная проекция сечения, которое начинается с точки  (точки пересечения  с левой стороной фронтального абриса поверхности) и проходит до точки (точки пересечения  с правой стороной фронтального абрису). Отсюда фронтальная проекция (эллипса , полученного в сечении конуса) определена отрезком , где - фронтальная проекция большой оси эллипса , а  - фронтальная проекция малой оси, которая перпендикулярна  и расположена на середине . 

Для построения - горизонтальной проекции эллипса , и  - профильной его проекции, при помощи линий связи строим проекции большой оси на ( - , и на  - ). Построение проекции малой оси  на поле  выполняем благодаря вспомогательной плоскости , проведены своей  через  (середину большой оси 1...2), в сечении конуса получена окружность, на котором расположены точки 3 и 4, и дальше строятся  и  по принадлежности к полученной окружности, а  и  строятся координатным методом. На поле  строим  и , точки расположены на профильных абрисных образующих конуса и они меняют знак видимости линии сечения. По горизонтальной проекции  большой оси и  малой оси эллипса строим его горизонтальную проекцию, которая воспроизводится в виде эллипса . Аналогично строится профильная проекция линии сечения, которая воспроизводится в виде эллипса . 

Сечение замкнутых поверхностей

Сечение поверхности плоскостью представляет собой плоскую фигуру, ограниченную замкнутой линией, все точки которой принадлежат как секущей плоскости, так и поверхности. При пересечении плоскостью многогранника (например призмы, пирамиды и т.д.) в сечении получается многоугольник с вершинами, расположенными на ребрах многогранника.

Сечение поверхности сферы

Когда поверхность сферы пересекается любой плоскостью, то в сечении сферы получаем окружность. В зависимости от того, в какой секущей плоскости расположена эта окружность, его проекции могут быть (рис. 11-14, а):

- в виде отрезка прямой, размер которого равен диаметру окружности сечения, когда окружность сечения проецируется на плоскость проекций, относительно которой плоскость окружности перпендикулярна (на  и на  окружность, которая принадлежит  и на  окружность, которая принадлежит );

- в виде натуральной величины окружности, когда его плоскость параллельна плоскости проекций (на  окружность, которая принадлежит );

- в виде эллипса, когда окружность сечения принадлежит плоскости, которая расположена под острым углом к плоскости проекций (на  и на  окружность, которая принадлежит ; а также на  и на  окружность, которая принадлежит произвольной плоскости общего положения, что показано на рис. Гр.-2).

На примере (рис. 11-14, б), поверхность сферы пересечена фронтально проецирующей плоскостью . В сечении сферы плоскостью  - получена окружность , его фронтальная проекция  - отрезок прямой, размер которого равен диаметру этой окружности, который совпадет с фронтальным следом-проекцией , а его горизонтальная проекция - эллипс, большая ось которого равна натуральной величине диаметра окружности-сечения, и малая ось - проекция сопряженного диаметра и размер малой оси зависит от угла наклона плоскости  относительно горизонтальной плоскости проекции  .

При построении проекций окружности-сечения  , в нем выделяют два сопряженных диаметра: один диаметр - параллельный , и второй диаметр  - фронтально проецирующий. На поле  диаметр - проецируется в натуральную величину , (как фронтальная проекция фронтали), а сопряженный диаметр - проецируется в виде точки (расположенной на середине ), как фронтальная проекция фронтально проецирующей прямой. На поле  диаметр  проецируется в натуральную величину, как горизонтальная проекция фронтально проецирующей прямой и её проекция  равна натуральной величине диаметра а  - горизонтальная проекция диаметра . По  - как большой оси, и - как малой оси строится эллипс , который является горизонтальной проекцией окружности-сечения .

Сечения поверхности тора

Образование поверхности тора.

Если взять окружность  и в плоскости окружности провести ось , которая бы не пересекала взятую окружность и вокруг оси  вращать окружность , то эта окружность, как образующая, образует в пространстве поверхность, которая называется тор открытый (кольцо) (рис. 11-15).

Если ось  будет пересекаться с окружностью, то вследствие вращения окружности  вокруг оси  будет образована поверхность тора - закрытого.

Если ось  будет проходить через центр окружности , то будет образована поверхность сферы (которую можно рассматривать как разновидность поверхности закрытого тора).

Определитель поверхности тора имеет вид:

где:  - образующая тора, которая имеет вид окружности;

 - ось вращения образующей,

При пересечении тора плоскостью  в сечении тора (как поверхности вращения) получаем две концентрические окружности, внутренняя из которых имеет радиус, который равен ОА, а внешняя окружность имеет радиус, который равен ОВ.

Две окружности, радиусы которые ОА и ОВ образуют кольцо, фронтальная проекция которого в виде отрезка, что сливается со следом проекцией , а горизонтальная проекция кольца-сечения является натуральной величиной концентрических окружности радиуса  и .

Если пересечь поверхность тора плоскостью , которая проходит через ось  тора и располагается параллельно , то в сечении получаем две окружности, которые сливаются с фронтальным расположением окружности-образующей .

Выводы:

Когда поверхность тора разрезана плоскостью, которая перпендикулярна оси тора, то в сечении получается кольцо, ограниченное внутренней и внешней окружностями. Чем ближе секущая плоскость к экватору тора внутренняя окружность кольца-сечения уменьшается, а внешняя окружность увеличивается в пропорциональном соотношении.

Когда поверхность тора пересечена плоскостями, которые расположены параллельно оси и тора, то образуется семейство кривых  порядка (линии Персея).

Когда поверхность пересечена другими плоскостями, в сечении будут получены овалы Кассини (люминискаты Бернулли, Бута).

Сечения поверхности эллипсоида вращения

Поверхность эллипсоида образуется (подобно всем поверхностям вращения) при помощи образующей , которая имеет вид эллипса, одна из осей которого принята за ось  вращения. 

Определитель поверхности эллипсоида (вытянутого или сплюснутого)

где: - образующая, которая имеет вид эллипса,  - ось эллипса. 

Если поверхность эллипсоида пересечь плоскостью , которая одновременно перпендикулярна оси  эллипсоида  в сечении будет получена окружность, так как: любая поверхность вращения пересечена плоскостью, перпендикулярной к оси вращения - в сечении всегда будет окружность, радиус которого тем больше, чем ближе будет расположена секущая плоскость к экватору поверхности, образованные окружности сечения можно сгруппировать в два семейства окружностей. 

Если поверхность эллипсоида пересечена плоскостью не перпендикулярной к оси вращения эллипсоида, всегда сечение имеет вид эллипса, что и видно на рис. 11-16, где плоскость  и плоскость  образуют в сечении эллипсы с разными размерами их осей и разным их соотношением. 

Сечения поверхности трёхосевого эллипсоида 

Рассматривая поверхность трёхосевого эллипсоида (рис. 11-17), пересеченную плоскостями, параллельными одной его оси, плоскостями, параллельными второй оси или семейством плоскостей, параллельных его третьей оси, - в сечениях будут получены три соответствующих группы двойных семейственных эллипсов. 

При соответствующем положении секущих плоскостей, параллельных малой оси этого эллипсоида, возможно получение двух семейств окружностей. 

Сечения поверхностей гиперболоидов

Поверхности гиперболоида вращения могут быть образованы следующими геометрическими образами и действиями с ними:

 Однополостный линейчатый гиперболоид может быть образован при помощи двух скрещивающихся прямых, одна из которых принимается за ось вращения, а вторая прямая вращается вокруг оси, за которую принята первая прямая. 

Расстояние между прямой, принятой за ось вращения (её располагают преимущественно вертикально) и прямой, которая образует поверхность гиперболоида вращения, - равна радиусу горла поверхности вращения (наименьшая параллель поверхности).

 Однополостный гиперболоид может быть образован также, когда воображаемая ось гиперболы, которая образуется, принимается за ось вращения веток гиперболы, которые вращаются вокруг воображаемой оси.

 Двуполостный гиперболоид вращения может быть образован, когда действительная ось гиперболы принимается за ось вращения, а две ветки гиперболы, вращаясь вокруг действительной оси, образуют две полости, симметрично расположенные относительно воображаемой оси. 

Сечения поверхности однополостного гиперболоида

Для образования однополостного линейчатого гиперболоида возьмем две скрещивающиеся прямые, одну из которых примем за ось  и расположим её перпендикулярно к , а вторую прямую  будет вращать вокруг оси .

Определитель такой поверхности имеет вид:

где:  и - скрещивающиеся прямые, а прямая  принята за ось. 

Если прямую  задать отрезком АВ, когда точки А и В расположены на одинаковом расстоянии от точки С, которая является основанием перпендикуляра - расстояния между прямыми  и , то точки А, В и С при вращении прямой  вокруг , описывают траектории-окружности соответственно ,  и , которые принимают за три направляющие, по которым скользит прямая  поверхности, что образует однополостной гиперболоид, определитель которой принимает вид:

где , , - направляющие,  - образующая. 

Для образования однополостного гиперболоида вращения ветки гиперболы будут вращаться вокруг воображаемой оси гиперболы, то такая гипербола и есть образующей гиперболоида, а воображаемая ось гиперболы будет осью построенного гиперболоида. При таком механизме образования однополостного гиперболоида определитель его поверхности имеет вид:

где:  - гипербола,  - воображаемая ось гиперболы. 

На рис. 11-18 плоскость  касательная к горлу поверхности однополостного гиперболоида , то такая плоскость рассекает гиперболоид по двум прямыми  и , которые пересекаются между собой в точке касания плоскости Р к горлу. Эти линии сечения поверхности совпадают с фронтальными абрисными асимптотического конуса.

Если плоскость , то она пересекает поверхность гиперболоида по двум веткам гиперболы с общей действительной осью, которая параллельна оси . 

Если плоскость пересекает поверхность параллельно двум промежуточным образующим асимптотического конуса, тогда в сечении получаем гиперболу. 

На рис. 11-19 плоскость , которая проходит через центр поверхности и совпадает с одной образующей асимптотического конуса, то поверхность гиперболоида пересекается по двум параллельным образующим  и .

Плоскость пересекает поверхность по параболе.

На рис. 11-20 плоскость (где  - образующая асимптотического конуса), пересекает гиперболоид по эллипсу, а плоскость пересекает гиперболоид по окружности. 

Сечения поверхности двуполостного гиперболоида

Для образования двуполостного гиперболоида вращения возьмем гиперболу  и повернем её вокруг её действительной оси . Полученная поверхность имеет определитель такого вида:

где:  - гипербола,  - действительная ось гиперболы.

На рис. 11-21 показано поверхность двуполостного гиперболоида, пересеченного плоскостями:

 Плоскости  и параллельны оси , в сечении поверхности образуют гиперболу, действительная ось которой параллельна оси .

 Плоскость  в сечении поверхности образует окружность, семейство плоскостей, параллельных плоскости Т, образуют два семейства окружностей.

Двуполостной эллиптический гиперболоид (общего вида) приведено на рис. 11-22.

В сечении поверхности   плоскостью , которая параллельна одной фронтальной образующей асимптотического конуса, образуется парабола.

Плоскость эллипс, а плоскости, параллельные плоскости , образуют два семейства эллипсов.

Плоскость  в сечении поверхности образует гиперболу с действительной осью, которая параллельна оси  гиперболоида.

Плоскость  параллельна двум образующим асимптотического конуса, в сечении гиперболоида образует гиперболу. 

Сечения поверхности параболоида

Возможное рассмотрение трёх видов поверхностей параболоидов:

Первый вид - поверхность параболоида вращения, которая образуется при помощи параболы  с её осью . Вращение параболы вокруг своей оси образует поверхность параболоида вращения (рис. 11-23)

Определитель такого поверхности имеет вид:

Если ось   параболы перпендикулярна , то плоскость окружность, которым образованный параболоид "опирается" на . 

Плоскость   пересекает параболоид по эллипсу, горизонтальная проекция которого (согласно со свойством параболоида) - окружность.

Плоскость  пересекает поверхность по параболе, как видно на рис. 11-24 плоскости, параллельны оси , образуют семейство парабол .

Второй вид - поверхность эллиптического параболоида, которая образуется перемещением неизменной параболы , вершина А которой скользит по неподвижной параболе  (рис. 11-25). Плоскость образующей параболы  перпендикулярна к плоскости образующей параболы , а ось имеет такое же направления. 

Вид определителя:

где:  и - параболы; - вершина параболы , точка касания  к , .

Сечения гиперболического параболоида, как видно на рис. 11-26, следующие:

Плоскость , которая проходит через вершину О и расположена перпендикулярно к оси , пересекает поверхность по двумя прямым, которые пересекаются между тобой, это прямые  и .

Плоскость  расположена выше вершины О, пересекает параболоид по гиперболе с горизонтально расположенной действительной осью. 

Плоскость  и размещена ниже вершины О, пересекает поверхность по гиперболе с горизонтально расположенной воображаемой осью. Асимптоты горизонтальных проекций всех гипербол-проекций  и  прямых  и . 

Плоскость   пересекает параболоид по параболе. В отдельных случаях, если плоскость Т параллельна прямой  или прямой , - парабола вырождается в прямую.

Плоскость пересекает параболоид по гиперболе. 

Третий вид - поверхность гиперболического параболоида, образуется перемещением прямолинейной образующей, которая пересекает две скрещивающиеся направляющие прямые и во всех своих положения параллельна заданной плоскости (плоскости параллелизма). Вид определителя такой поверхности:

где:  - образующая-прямая линия;  и  - направляющие скрещивающиеся прямые; - плоскость параллелизма. Сечения - прямые линии и параболы. 

Решение задач второго вида (в которых секущая плоскость - плоскость общего положения пересекает произвольную поверхность)

Среди задач второго вида выделяются:

- первый подвид задач, в которых плоскость общего положения пересекает проецирующую поверхность, - решение таких задач выполняется по признаку принадлежности точек пересечения проецирующих линий (образующих, ребер...) поверхности, которая пересекается, к секущей плоскости;

- второй подвид задач, в которых плоскость общего положения пересекает любую поверхность, сложную для построения в преобразованном виде, - решение таких задач выполняется по общей методике (п. 11.1) с учетом принадлежности линии сечения к поверхности;

- третий подвид задач, в которых плоскость общего положения пересекает любую поверхность, простую для построения в преобразованном виде, - общая методика решения таких задач:

а) условие задачи второго вида преобразуется в условие задачи первого вида, для этого вид условия задачи на полях  преобразуется в такой вид, в котором заданная секущая плоскость общего положения будет преобразования в плоскость проецирующую. Для этого может быть применен произвольный метод преобразования проекций. Наиболее эффективным является метод замены плоскостей проекций. При его применении поле  заменяется на поле , которое располагают перпендикулярно к заданной секущей плоскости , то есть:

б) Решается задача в преобразованном виде (задача первого вида), где получено проекцию сечения, которая сливается со следом-проекцией  секущей плоскости.

в) Переносится решение задачи с преобразованного вида на поля исходного условия задачи. 

Если в решении пункта а) применено метод замены плоскостей, то решена задача первого вида на полях  и её решение переносится на поля , (при этом точки пересечения поверхности плоскостью, как точки принадлежащие поверхности, переносятся с  на  и дальше с  на )(рис. 11-27)

Сечение поверхности наклонного конуса

На рис. 11-27 приведено конус эллиптический наклонный, поверхность которого пересечена плоскостью  - общего положения. Необходимо построить проекцию линии сечения на полях  и . 

Такая задача, в которой заданный конус - произвольная поверхность, а секущая плоскость  - общего положения, относится к задачам второго вида, решение которой выполняется по следующей методике:

1. Выполняется преобразование условия задачи второго вида в первый вид, в котором заданная поверхность будет пересечена проецирующей плоскостью.

2. Выполняется решения задачи в преобразованном виде.

3. Переносится решение задачи с преобразованного вида на поля исходного условия задачи.

Для преобразования условия задачи применяется один из методов преобразования проекций, например, применим метод замены плоскостей проекций. преобразования секущей плоскости  общего положения в проецирующее положение выполняется преобразованием :

Так выполнено преобразование секущей плоскости  (общего положения на полях ) в проецирующую на полях .

Построение проекции поверхности конуса на поле пппп4 выполняется путем построения вершины  проекции основания конуса и воспроизведение абрисных поверхности. Получено на полях  задачу первого вида (поверхность конуса пересечена проецирующей плоскостью). 

Решение задачи в преобразованном виде (на полях ) выполняется с учетом того, что на поле  след-проекция , пересекая поверхность конуса, образует проекцию фигуры сечения (расположенную на между абрисными образующими поверхности конуса). Для фигуры сечения определяются высоты  и , соответственно самой высокой и самой низкой точки сечения. По проекции линии сечения на поле  по признаку принадлежности точек линии сечения к поверхности конуса, строится проекция точек линии сечения на поле , соединив которые, получаем горизонтальную проекцию линии сечения (которая имеет вид эллипса). 

Перенесения решения задачи (построение линии сечения) из системы полей  на поля исходной системы  выполняется по признаку принадлежности точек пересечения к поверхности конуса (по принадлежности точек пересечения к образующим конуса), или координатным способом, при выполнении которого применяются координаты высот точек пересечения, известные на поле , переносятся на поле , что возможно проследить по построению точки 1, принадлежащей образующей . 

Развертки поверхностей

Развертки поверхностей необходимо выполнять в том случае, когда рабочая поверхность изготовляется из листового материалу (например, при изготовлении котельно-сварочным способом таких изделий, как трубопроводы круглых или прямоугольных вентиляционных трубопроводов, водоотводных труб, при изготовлении резервуаров и т.д.) с дальнейшим изгибом листа заготовки для получения заданной поверхности. Для получения такого листа-заготовки выполняют комплексный чертеж необходимого изделия, по этому чертежу выполняют развертку поверхности, вид которой переносят на более жесткий листовой материал и из него делают выкройку с нанесением линий изгиба, далее выкройку накладывают на лист, из которого будет изготовлено будущее изделие (с нанесением линий изгиба, если они есть) и форма выкройки переносится на лист. Далее зависимо от избранной технологии изготовления (гнутье, штампование или другая) с листа-заготовки получают изделие. 

Развертка поверхности - это часть плоскости, ограниченная замкнутой фигурой, которая образована, например, при совмещении поверхности с плоскостью. 

Все поверхности делят на:

Развертываемые - такие поверхности, которые совмещаются с плоскостью без разрывов и складок. При совмещении без скольжения поверхности по плоскости, а совмещение выполнялось по прямой, касательной к плоскости (или поверхности к плоскости).

Неразвертываемые - такие поверхности, для совмещения которых с плоскостью необходимо их растягивать или сжимать, что приведет к разрывам или складкам поверхности.

К развертываемым поверхностям относят только линейчатые поверхности (в которых смежные образующие - прямые параллельные или пересекающиеся линии).

Особенности связи развертываемой поверхности и её развертки:

Каждой точке (фигуре) на поверхности отвечает точка (фигура) на развертке.

Длина линии на развертке поверхности равна длине соответствующей линии на поверхности.

 Углы между линиями на развертке равны соответствующим углам между линиями на поверхности.

 Каждой прямой на поверхности отвечает прямая на развертке.

Параллельные прямые на поверхности отвечают параллельным прямым на развертке.

Линии на поверхности, которая соединяет две её точки по самому короткому пути, отвечает прямая на развертке и такая линия называется геодезической.

Самые распространенные методы построения разверток:

метод совмещения;

метод треугольников;

метод раскатывания;

метод триангуляции;

метод построения условных (приближенных) разверток.

Построение развертки методом совмещения 

Этот метод применяется при построении разверток линейчатых поверхностей (многогранников или отдельных кривых поверхностей).

Техника выполнения совмещения - перекатывание, для этого поверхность, которая разворачивается, своей характерной линией (ребром многогранника, или образующей криволинейной поверхности) совмещается с плоскостью (получили отпечаток линии на плоскости), "перекатываем" поверхность от совмещенной линии по плоскости без скольжения с изображением всех характерных линий поверхности (которыми могут быть ребра, например, пирамиды или призмы, или характерные образующие конуса или цилиндра). Такое перекатывание поверхности продолжается до повторного слияния с плоскостью первой характерной линии, с которой начиналось совмещение. Получается развертка боковой поверхности геометрического тела, а для получения его полной развертки, необходимо развертку его боковой поверхности дополнить изображением основания (оснований), что можно будет получить перекатыванием тела до совмещения основания с плоскостью, в общей точке с разверткой боковой поверхности. 

Развертка поверхности прямой шестигранной пирамиды, срезанной проецирующей плоскостью

На рис. 11-28 приведено прямую правильную шестигранную пирамиду, пересеченную фронтально проецирующей плоскостью . Необходимо построить натуральную величину фигуры сечения и полную развертку срезанной пирамиды.

Учитывая те, что данная задача относиться к задачам первого вида, отмечаем, что фигура сечения на поле  совпадает с  - следом-проекцией, а горизонтальная проекция фигуры сечения строится по принадлежности вершин шестиугольника сечения к боковым ребрам пирамиды.

Натуральную величину фигуры сечения строим методом совмещения секущей плоскости  путем её вращения вокруг горизонтального следа . При вращении плоскости с фигурой сечения, получаем траектории - дуги окружностей (которые описывают вершины), расположенные в своих соответствующих фронтальных плоскостях, по их фронтальных и горизонтальных проекциях строим совмещенное положение сечения с плоскостью , получаем , что является натуральной величиной фигуры сечения поверхности пирамиды. 

Развертку поверхности срезанной пирамиды строим методом совмещения поверхности с плоскостью чертежа при её последовательном перекатывании. Для этого поверхность совмещаем ребром (рис. 11-29) с плоскостью чертежа и перекатываем пирамиду (вращая её вокруг совмещенного ребра) до сливания грани  с плоскостью. 

Получено отпечаток первой грани, где положение пирамиды принимается за исходное. Вращая пирамиду вокруг ребра АВ до слития с плоскостью, получим отпечаток основания пирамиды. 

Повернув пирамиду в исходное положение, вращаем её вокруг ребра  до сливания с плоскостью, получаем отпечаток  фигуры сечения. 

Поворачиваем пирамиду в исходное положение. Вращаем дальше пирамида вокруг ребра  до совпадения с плоскостью, получаем отпечаток грани  , дальнейшим перекатыванием пирамиды вокруг ребра , получаем отпечаток грани  и так дальше получаем отпечатки грани , , . Получив повторный отпечаток ребра , получили полный отпечаток - развертку поверхности всей срезанной пирамиды. Абрис развертки воспроизводим сплошной толстой линией, а промежуточные характерные линии - ребра , , которые являются линиями сгиба на развертке, воспроизводятся штрих-пунктирной линией с двумя точками. 

Примеренный метод совмещения - перекатывания является наиболее простым и дает возможность получит выкройку поверхности без промежуточного построения чертежа развертки. 

Такой метод дает возможность получить выкройку поверхности, полученной наоборот, легко гнущимся листом (бумаги) обворачиваем поверхность, которую усложненно перекатывать по листу, но нужно следить по полному прилеганию листа к поверхности без разрывов и складок, с последующим выравниванием листа, что дает выкройку поверхности, то есть форму заготовки очерчиваем по её выкройке, не выполняя чертежа развертки. 

Построение развертки методом треугольников  

Данный метод применяется преимущественно при построении разверток поверхностей многогранников. Их развертки являют собой плоскую фигуру, сложенную из граней многогранника, сопряженных между собой по общим ребрам и совмещенных с плоскостью. Для построения каждой грани многогранника её разбивают на треугольники, а для построения каждого образованного треугольника определяется натуральная величина каждой стороны треугольника, и за ними строятся треугольники, стыкованные по общим сторонам - получается грань, стыкованная с другой гранью по общему ребру, - образуя развертку. 

Развертка поверхности наклонной трехгранной пирамиды, пересеченной плоскостью общего положения

На рис. 11-30 приведено наклонную трехгранную пирамиду, пересеченную плоскостью  - общего положения. Необходимо построить полную развертку пирамиды и нанести на ней линию среза поверхности плоскостью и фигуру среза. 

Решение задачи выполняется в такой последовательности:

Построение линии среза поверхности плоскостью

Рассматривая условие задачи, отмечаем, что задача в которой произвольная поверхность пересечена плоскостью общего положения, относится к задачам второго вида и решение её должно быть выполнено в такой последовательности:

 Выполняется преобразование условие задачи второго вида в первый вид;

 Решение задачи в преобразованном виде;

 Переносится решение задачи с преобразованного вида на поля исходного условия задачи.

преобразование выполняется, так как показано на рис. 11-31, для этого выполняем замену:

, так, чтобы  была перпендикулярна к заданной плоскости  общего положения и до плоскости , при этом:

; выбираем произвольную точку К расположенную в плоскости  и принадлежащую следу :

след-проекция. Получаем плоскость 

Выполнив вышеприведенное преобразование плоскости, выполняем построение проекции поверхности на (построив вершину  и вершины оснований пирамиды и соединив их с вершиной , - получаем на полях , преобразованное условие задачи, в условие задачи первого вида.)

Решение задачи в преобразованном виде начинаем с определения линии пересечения поверхности , которой будет отрезок  который совпал с . Горизонтальная проекция линии пересечения строится по её проекции на  и принадлежностью вершин , к соответствующим боковым ребрам  и . Полученная проекция линий пересечения , вместе с проекцией  на поле , определяют проекцию линии пересечения в преобразованном виде на полях .

Перенесение решения задачи с преобразованного вида на поля исходного условия сводится к построению линии пересечения на поле , что выполняется по горизонтальной проекции сечения и принадлежностью фронтальной проекций его вершин к фронтальных проекций соответствующих ребер пирамиды. Полученная проекция  вместе с построенной, при выполнении предыдущего действия, проекцией  воспроизводят проекции линии пересечения исходной задачи второго вида. 

Определение натуральной величины сечения  происходит выполнением второго преобразования , когда плоскость  расположится параллельно плоскости . На рис. 11-30 проводим и с  проводим линии связи перпендикулярно к оси  на их продолжении, откладываем координаты этих точек, взяв их с поля через одно относительно , на которой получено , что и есть натуральной величиной линии фигуры сечения пирамиды. 

Построение полной развертки пирамиды

Построение полной развертки пирамиды 

Развертка поверхности пирамиды - плоская фигура, сложенная из трёх треугольников - боковых граней пирамиды и четвертого треугольника - основания трёхгранной пирамиды.

Для построения полной развертки пирамиды применяем метод треугольников. Для построения сопряженных по общим ребрам-сторонам четырёх треугольников, определяем натуральные величины сторон всех треугольников. Треугольник основания пирамиды принадлежит плоскости  и на горизонтальной проекции стороны треугольника основания воспроизведены в натуральную величину. Боковые ребра пирамиды - стороны треугольников боковых граней пирамиды. 

Натуральную величину боковых ребер и  определяем (на рис. 11-30) методом вращения. Методику определения натуральной величины ребра  показана на рис. 11-32. Ребро  - отрезок прямой общего положения, вращается вокруг оси  до фронтального положения, при этом  расположится параллельно оси , а фронтальная проекция  - натуральная величина ребра . Одновременно изображено построение фактического расположения точки 2 на ребре , полученной при пересечении ребра секущей плоскостью. Таким образом на рис. 11-30 полученные натуральные величины , ребра , ребра .

Применяя метод треугольников, строим стыкованные между собой по общим сторонам, ребрам, треугольники, образуя полную развертку поверхности. Для этого на рис. 11-33 показано для примера построение треугольника грани .

Построение начнем с произвольно взятой точки  на поле чертежа, из неё, как из центра, проводим радиусом  дугу и на ней выбираем точку В, которую соединяем с точкой , получено первую сторону  треугольника , на которой откладываем радиусом  из точки , как из центра, - получаем точку 2 на ребре . Из точки  радиусом проводим дугу, а из точки В радиусом  проводим дугу окружности и в пересечении её с предыдущей дугой получим вершину С, которую соединяем с точками  и В - получаем натуральную величину треугольника . На стороне  радиусом  строим точку 3 - пересечение ребра  с плоскостью .

По аналогии с построением треугольника  строятся треугольники  и на рис. 11-34 с нанесением точек 1, 2, 3, соединив которые получаем линию 1-2-3 сечения поверхности   плоскостью . Достроив треугольники сечения 1, 2, 3, совместив его общей стороной с линией сечения и достроив треугольник АВС (основание пирамиды), совместив его общей стороной АС с треугольников грани , - получим изображенную на рис. 11-34 полную развертку пирамиды  с нанесением линии  сечения пирамиды плоскостью .

Построение развертки методом триангуляции

Метод триангуляции - выполнение триангуляционного преобразования (построение с максимальным приближением).

Этот метод предлагается для построения разверток кривых развертываемых и неразвертываемых поверхностей.

Метод состоит в том, что на заданной поверхности строится триангуляционная сетка (выполняется триангуляция по дугах или прямых поверхности), которая разбивает всю поверхность на отсеки-порции, каждый из которых аппроксимируется более простым для построения развертки отсеком (поверхности или плоскости).

Построение развертки развертываемой кривой поверхности сводится к тому, что кривая аппроксимируется с необходимой точностью гранной поверхностью. Строится развертка аппроксимирующего многогранника (вписанного или описанного), что возможно выполнить, например, методом треугольников. В дальнейшем полученные точки на развертке, которые были вершинами ломанной линии, которая заменяла кривую линию триангуляционной сетки, соединяем кривой линией.

Построение развертки неразвертываемой кривой поверхности сводится к тому, что триангулированная поверхность подлежит двойной аппроксимации. Первая аппроксимация сводится к замене отсеков неразвертываемой поверхности на отсеки наипростейших развертываемых поверхностей (лучше конических или цилиндрических). Вторая аппроксимация сводится к замене отсеков аппроксимирующих поверхностей плоскостями треугольников.

Такой метод обеспечивает приближенное построение развертки кривой поверхности, а степень точности построения кривой поверхности методом триангуляции определяется аппроксимационным коэффициентом :

где - длина дуги триангуляционной сетки; - длина хорды, которой аппроксимируется дуга длинной .

Чем меньше , тем точнее развертка поверхности. 

Развертка поверхности прямого коноида

На рис. 11-35 приведено эпюрное изображение поверхности прямого коноида, у которого одна направляющая АВ - полуокружность, которая принадлежит фронтальной плоскости, а вторая направляющая - - прямая линия, а плоскость - плоскость параллелизма. Необходимо построить развертку поверхности заданного коноида. 

Поверхность коноида относится к неразвертываемым поверхностям и развертку заданной поверхности предлагается выполнять методом триангуляции, для этого:

1. Строится триангуляционная сетка путем проведения триангуляции по дуге АВ (точками А, 2, 4, 6 и им симметричных) и по прямой  (точками С, 1, 3, 5 и им симметричных) выполненную плоскостями параллелизма . Образовано триангуляционную сетку, которая состоит из криволинейных неразвертываемых поверхностей отсеков  и им симметричных. 

2. Выполняется аппроксимация образованных отсеков, учитывая то, что каждый отсек имеет по четыре вершины и обведенный четырьмя линиями. Так в отсеке стороны 1С - прямая линия; А2 - кривая линия; АС и  прямые образующие поверхности. Соединив вершину С с вершиной 2, получаем два конуса криволинейной поверхности. Часть заменяем конической поверхностью с вершиной в точке С и дугой А2 в основании, кривую С2 заменяем прямой С2, которая принимается за одну образующую конической поверхности, а образующая АС заданного коноида принимается за вторую образующую аппроксимирующей конической поверхности. Вторая часть 1С2 рассматриваемого отсека имеет неразвертываемую криволинейную поверхность, а при предварительной замене кривой С2 на прямую С2, поверхность 1С2 заменяется треугольником 1С2.

Далее выполняется вторая аппроксимация, при которой коническая поверхность А2С аппроксимируется плоскостью треугольника А2С, при которой дуга А2 заменена хордой А2. Таким образом отсек  неразвертываемой поверхности заменено парой треугольника А2С и 1С2.

Аналогично выполняется двойная аппроксимация других отсеков криволинейной неразвертываемой поверхности парами треугольников.

Для выполнения разверток отсеков поверхности выполняется методом треугольников. Для этого выполняется определения действительных величин сторон аппроксимирующих треугольников. Стороны С1, 1.3, 3.5 воспроизведены в натуральную величину своими горизонтальными и фронтальными проекциями. Стороны  воспроизведены в натуральную величину своими профильными проекциями (которые принадлежат профильным плоскостям ). Натуральные величины сторон - определены методом вращения вокруг , принятой за ось вращения и натуральными величинами являются и .

Методом треугольников строим (рис. 11-36) развертку каждого отсека, которые сопряжены между собой их общими образующими , и ей симметрично расположенную правую часть. Полученная развертка является приближенной (условной) разверткой поверхности заданного коноида, для повышения точности построения его развертки количество плоскостей  увеличивается. 

Для изготовления неразвертываемой поверхности по её развертке с листового материала, лист-заготовку изгибают, в отдельных местах растягивают или сжимают с дальнейшей зачисткой мест деформации. 

Построение развертки методом раскатывания

Этот метод предлагается для построения развертываемых поверхностей, преимущественно при построении развертки поверхностей с характерными принадлежащими поверхности линиями, параллельными между собой (преимущественно поверхностей призматической или цилиндрической формы).

Метод состоит в том, что поверхность пересекается плоскостью перпендикулярно к параллельным между собой линиям поверхности. В сечении получается нормальное сечение в виде замкнутой (или разомкнутой) линии. Далее на произвольной линии откладываем выравненную раскатанную линию нормального сечения с нанесением точек пересечения всех параллельных линий поверхности с секущей плоскостью. Через точки пересечения, нанесенные на выровненной линии сечения, проводят вспомогательные прямые, перпендикулярно расположенные до раскатанной линии сечения. На вспомогательных прямых откладывают натуральные величины параллельных линий поверхности (ребра или образующие), концы которых соединяем между собой соответствующим образом (ломанной или кривой). Достроив основание развертываемой поверхности касательно к полученной развертке её боковой поверхности, - получаем полную развертку геометрического тела. 

Особенность построения развертки боковой поверхности геометрического тела в том, что на комплексном чертеже тело желательно располагать так, чтобы его параллельные линии (боковые ребра призмы или образующие цилиндра) были линиями частного положения. Это обеспечивает получение натуральных величин этих линий без дополнительных преобразований . 

Развертка поверхности наклонного кругового цилиндра

На рис. 11-37 приведено изображение наклонного кругового цилиндра, развертку которого необходимо построить. 

Построение развертки поверхности выполним методом раскатывания.

Перережем поверхность цилиндра плоскостью , которая перпендикулярна к образующим поверхности. В пересечении получим нормальное сечение - окружность с точками пересечения с двенадцатью равномерно расположенными образующими поверхности. 

Поверхность цилиндра разрежем по образующей АВ. Окружность-сечение раскатываем по продолжению следа-проекции  и получаем раскатку  окружности. Через точки  раскатывания проведем вспомогательные прямые перпендикулярно к линии раскатывания и на них отложим натуральные величины образующим (от точек пересечения вверх и вниз), взяв их из фронтальной проекции поверхности, так как относительно  образующие параллельны, где образующие воспроизведены в натуральную величину. 

Соединив края образующих плавными кривыми, получаем развертку боковой поверхности цилиндра, а дополнив её эллипсами оснований поверхности получаем развертку полной поверхности цилиндра. 

Построение приближенных (условных) разверток

При выполнении разверток поверхностей вращения, кроме разверток прямого конуса и цилиндра, выполняются их условные развертки.

Для построения разверток поверхностей вращения заданная поверхность триангулируется параллелями, полученными при пересечении поверхности вспомогательными секущими плоскостями, перпендикулярными к оси поверхности вращения. Образовано дискретный каркас поверхности. Каждые две соседние параллели-сечения выделяют пояса поверхности вращения. Образованные пояса поверхности вращения аппроксимируются родственными коническими срезанными поверхностями (а экваториальный пояс, если образован - цилиндрической). Совокупность разверток аппроксимирующих срезанных конусов являют условную развертку поверхности вращения.

Развертка поверхности сферы

На рис. 11-38 приведено изображение сферы, развертку которой необходимо построить.

Известно, что поверхность сферы относится к поверхностям вращения, поэтому её развертка будет условной, образованной разверткой апроксимирующих конусов.

1. Триангуляция поверхности сферы выполняется её параллелями при сечении сферы секущими плоскостями, и , расположенными перпендикулярно к вертикальной оси сферы. Образованная параллель-экватор с точкой 1 и параллель с точкой  образуют первый пояс поверхности сферы. Поверхность этого пояса аппроксимируется родственной (по двум общим сечениями - параллелям) поверхностей срезанного конуса, с вершиной в точке , полученной при пересечении продолжения абрисной образующей с вертикальной осью сферы. 

Образованная параллель с точкой  и параллель с точкой  образуют второй пояс сферы, который аппроксимируем поверхностью второго срезанного конуса с вершиной .

Образованная параллель с точкой  выделяет верхний шарообразный сегмент сферы, который аппроксимируется поверхностью третьего целого конуса с вершиной .

Строятся развертки трех аппроксимирующих поверхностей конусов, применив для построения разверток один из методов, например, аналитический, или любой графический метод. Развертки трех конусов приведены на рис. 11-39, образуют условную развертку верхней половины заданной сферы. Для воспроизведения развертки нижней полусферы применяем те же методы, что и для развертки верхней полусферы. Расположив (для компактности) развертки всех конусов аппроксимации на одной общей вертикальной оси, - получаем условную развертку всей заданной сферы. 

На горизонтальной проекции сферы (рис. 11-38) показаны секущие плоскости Р, которые проходят через вертикальную ось сферы. Пересеченная поверхность сферы плоскостями Р разделена на равные отсеки (на рис. 11-38 поверхность сферы разрезана на восемь одинаковых отсеков). Условная развертка поверхности, разделенная на отсеки-дольки, приведена в теме №14.

Пересечение прямой с поверхностью 

Решение задач по определению общих точек прямой и поверхности (построение точек пересечения прямой с поверхностью) возможно аналитическим методом или графическим методом, который и будет рассматриваться в этой теме начертательной геометрии.

Решение таких задач необходимо при выполнении построения линии пересечения поверхностей (их характерных линий), что обеспечит точность построения всей линии, или её характерных или промежуточных точек. Для рассмотрения последовательность построения точек пересечения прямой с поверхностью (рис. 12-1), вспомним алгоритм последовательности решения задач по определения точки пересечения прямой с плоскостью (рассмотренной в теме №5 рис. 5-2). 

Общая методика определения взаимного положения прямой и поверхности

Последовательность решения задач по построению точек пересечения прямой  с поверхностью Ф, аналогична вышеупомянутой, то есть (рис. 12-2):

Как видно, построение пересечения прямой  с поверхностью Ф решается таким же алгоритмом, который состоит из трех основных пунктов: 

1. Через прямую  проводим вспомогательную посредник-плоскость Р, то есть:

2. Строится линия , по которой плоскость Р пересекает поверхность Ф, то есть:

3. Строится точка К, в которой пересекается заданная прямая  с построенной линией , то есть: - полученная точка К и есть искомой точкой пересечения прямой  с поверхностью Ф. 

Если прямая не пересекается с линией сечения, это значит, что прямая не пересекается с заданной поверхностью. 

Рекомендации по выполнению общей методики определения взаимного положения прямой и поверхности

При выполнении решения ряда задач по общему алгоритму, который состоит из трех пунктов, сложным является выбор плоскости-посредника Р, которую проводим через данную прямую , а также построение линии , по которой вспомогательный посредник Р пересекает поверхность Ф. Сокращение построения и обеспечение точности построения достигается соблюдением следующих рекомендаций:

= При выполнении первого пункта алгоритма, в котором через заданную прямую  проводим плоскость , отдается предпочтение посреднику-плоскости П частного положения или такому её положению, чтобы в сечении поверхности Ф плоскостью-посредников Р была получена линия пересечения, которую возможно несложно и точно построить. В задачах, где прямая  пересекается с поверхностью прямого или наклонного конуса или наклонного цилиндра, вспомогательный посредник-плоскость общего положения и в сечении соответственно получаем треугольник или параллелограмм.

= При выполнении второго пункта алгоритма:

- в котором посредник-плоскость Р (которая проведено через прямую ) - плоскость частного положения, которая пересекает заданную поверхность Ф и при этом получаем линию сечения , то для построения этой линии сечения:

а) применяют один из методов преобразования ортогональных проекций, при помощи которого строится натуральная величина линии пересечения (например, применяют метод замены плоскостей проекций);

б) выполняют преобразование вспомогательного сечения в абрисную кривую поверхности применением: 

- метода вращения;

- способа родства, с его направлением и осью родства. 

в) применяют способ косоугольного проецирования сложного сечения в более просто его родственное изображение (например, более сложный для построения эллипс сечения преобразуется в родственную окружность, простое для построения).

Когда строится точка (точки) пересечения прямой с поверхностью конуса (прямого или наклонного) или с поверхностью наклонного цилиндра, то через заданную прямую проводим плоскость общего положения, которая пересекает заданную поверхность по самой простой для построения фигуры сечения: конус - по треугольнику, а цилиндр по параллелограмму. 

При сложностях построения натуральной величины линии пересечения, или её удобного для построения родственного изображения, - выполняют переход от заданной поверхности к другой поверхности (более простой) с общими, двумя линиями для этих двух поверхностей, линиями пересечения. Для выполнения такого перехода:

а) применяют способ центрального проецирования, которое воспроизводится в переходе заданной поверхности второго порядка к поверхности конуса, что возможно при наличии в них двух общих пересечений поверхностей второго порядка (например, переход от поверхности эллипсоида к поверхности конуса, с двумя общими пересечениями, принадлежащим этим двум поверхностям);

б) применение способа параллельного прямоугольного проецирования, которое воспроизводится в переходе заданной поверхности второго порядка к поверхности прямого кругового цилиндра, например, переход от поверхности параболоида к поверхности прямого кругового цилиндра с одной общей линией пересечения).

= При выполнении третьего пункта:

а) если для выполнения второго пункта алгоритма применено один из методов преобразования проекций, то одновременно с построением пересечения в преобразованном положении строится и прямая, там где построено проекцию линии пересечения поверхности и построена соответствующая проекция прямой - строится точка (или две точки) пересечения заданной прямой с линией пересечения поверхности. Полученные точки пересечения в преобразованном положении переносят на заданное положение прямой, построенные таким образом точки и являются проекциями искомой точки пересечения прямой с поверхностью;

б) если при исполнении второго пункта алгоритма выполнено переход от заданной поверхности к поверхности конуса или поверхности цилиндра, то строится точка (точки) пересечения исходного положения заданной прямой с поверхностью конуса или цилиндра по принятой методике. Определяется видимость прямой относительно поверхности на проекциях.

Когда прямая не пересекается с линией пересечения заданной поверхности вспомогательной плоскостью, то прямая не пересекается с поверхностью. 

Группы задач на построение точек встречи прямой с поверхностью

Рассматривая условия задач, которые касаются темы №12, и учитывая рекомендации по выполнению общей методики их решения по определению взаимного положения прямой и поверхности, основную часть всех задач можно разделить на отдельные четыре группы. 

- Группа №1: группа задач, в решении которых применяют посредники-плоскости частного положения и выполнение преобразования проекций сечения.

- Группа №2: группа задач, в решении которых применяют посредники-плоскости общего положения.

- Группа №3: группа задач, в решении которых применяется преобразование методом родства поверхностей.

- Группа №4: группа задач, в решении которых определяется расстояние от точки до поверхности. 

Некоторые свойства поверхностей второго порядка

- Если параболоид вращения, ось которого перпендикулярна к плоскости проекции, пересечь плоскостью, перпендикулярной к его оси, то полученная линия сечения на эту плоскость проекций спроецируется в виде окружности. 

- Если через ось поверхности провести пучок плоскостей, то будет получено семейство кривых второго порядка, родственных между собой.

- Если поверхность гиперболоида пересечена плоскостью, то полученная линия пересечения будет того же типа, что и линия пересечения асимптотических конусов этой поверхности той же плоскостью.

- Если поверхность пересекает поверхность по эллипсу, то плоскости, параллельные её в пересечении поверхности, образуют семейство подобных эллипсов, подобно расположенных между собой.

- Если в пересечении поверхности получено два пересечения второго порядка, то они всегда перспективные. Кроме некоторых пар пересечений однополостного гиперболоида и гиперболического параболоида. 

- Если произвольное пересечение поверхности и окружности имеют общую хорду, то их можно привести в перспективное соответствие. 

- Если параллельно оси эллиптического и гиперболического параболоидов провести параллельные между собой плоскости, то в общем случае будет получено в пересечении семьи парабол. 

Отдельные случаи решения задач 

Вспомним, что при рассмотрении задач на построение точки пересечения прямой с плоскостью, встречались такие задачи, в которых применение общего алгоритма оказывалось ненужным, так как искомая точка пересечения явно обнаружена на чертеже условия задачи. Такие задачи объединяются в следующие группы:

- Группа задач, в которых прямая общего положения пересекается с проецирующей плоскостью. Например, на рис. 12-3. Там, где след-проекция  пересекается с , - получили , одну из проекций (горизонтальную) искомой точки, а другую проекция строили по принадлежности точки к прямой. 

Аналогично выделяется группа задач, в которых строится точка пересечения прямой общего положения с проецирующей поверхностью (цилиндрическая, призматическая поверхность). Например, на рис. 12-4. Тут тоже решение начинается с определения, где  пересекается с  - получаем горизонтальные проекции и , точек входа и выхода прямой  относительно поверхности Ф. Отсутствующие проекции  и  определяем по принадлежности точек  и  к прямой .

- Группа задач, в которых прямая проецирующая пересекается с произвольной плоскостью. Например, на рис. 12-5. Там, где прямая спроецируется в виде точки, в этом примере  с ней сливается и одноименная проекция искомой точки . Другая проекция искомой точки строится по принадлежности её к плоскости, в рассматриваемом примере искомая точка принадлежит к горизонтали . 

Аналогично и в задачах на построения точки пересечения проецирующей прямой с произвольной поверхностью. Например, на рис. 12-6. тут из (проекция прямой  в виде точки ), сливаются все точки, принадлежащие прямой , в том числе и одноименные проекции точки К - входа и точки - выхода прямой, то есть  Отсутствующие проекции  и  искомых точек строят по признаку принадлежности этих точек к поверхности Ф. В этом примере точки К и  принадлежат окружности , полученной в сечении сферы Ф плоскостью Р, которая проведена через прямую .

Решения задач Группы №1, в которых применяют посредники-плоскости частного положения с последующим преобразованием сечения

К этой группе относят такие задачи, которые решают по общей методике, при выполнении которой применяют плоскости частного положения и следующим выполнением преобразования применяют разные удобные для решения методы.

Метод А: преобразование посредника - проецирующей плоскости в плоскость уровня применением одного из методов преобразования ортогональных проекций.

Этот метод рекомендуется преимущественно для решения задач, в которых линия пересечения заданной поверхности посредником-плоскостью имеет форму, очерченную прямыми или дугами окружности. 

Метод В: преобразование линии пересечения в абрисную кривую поверхности применением:

- метода вращения, что рекомендуется для решения задач, в которых заданная прямая пересекается с поверхностью вращения и пересекается с её осью вращения;

- способа родственного соответствия, что рекомендуется для решения задач, в которых заданная прямая пересекается с поверхностью второго порядка и пересекается с осью. 

Метод С: преобразование сложной линии пересечения в более простое его родственное изображение применение способа косоугольного проецирования.

Этот метод рекомендуется, например, для решения задач, в которых линия пересечения имеет форму эллипса, который при применении косоугольного проецирования спроецируется в окружность. 

Пример решения задач с применением метода А (преобразование проекций)

Рассматриваем задачу, в которой задано прямую  - общего положения, пересекающуюся с поверхностью сферы Ф (рис. 12-7, а). Необходимо построить точки пересечения прямой  с поверхностью Ф. 

Решение задачи выполняется по общей методике, приведенной в п.12.1. Для её выполнения:

1. Через прямую  проводим вспомогательный посредник-плоскости Р перпендикулярную, например, , то есть:

на поле  эпюра:

2. Строится линия , по которой плоскость Р пересекает поверхность Ф, то есть

(окружность)

Решая второй пункт, в которой плоскость Р пересекает поверхность сферы Ф и в сечении получаем окружность , радиус которой равен . Горизонтальная проекция  совпала со следом0-проекцией , а фронтальная проекция окружности , которая была бы в виде эллипса, - сложная для построения. Но можно построить натуральную величину окружности , применив метод А, выполнив преобразование горизонтально проецирующей плоскости  в плоскость уровня, выполнив методом замены плоскостей преобразования - получаем на поле  (относительной которой плоскость Р стала параллельной), натуральную величину пересечения-окружности  и прямой . Построение центра  на полях п оказана на рис. 12-7, б, и и  показано на рис. 12-7, а, то есть выполнено: 

3. Строятся точки К и , в которых заданная прямая  пересекается с линией пересечения , то есть выполняем: 

Решение третьего пункта алгоритма методики решения выполняется на поле :

по принадлежности точек К и  к прямой  строятся  и , которые принадлежат , а также строятся  и , которые принадлежат , то есть на эпюре выполняется: 

Для этого на поле :

Решение задачи дополняется определением видимости прямой  относительно поверхности на проекция поля  и . Для этого на рис. 12-7, в, и рис. 12-7, г, показано видимость точек, принадлежащих видимой полусфере (со стороны направления взгляда). Из этих соображений на рис. 12-7, а, на поле  точка  принадлежит видимой части относительно поля  , то точка  видима и к видимой части приходит видимая часть , и наоборот, для точки .

Пример решения задач с применением метода В (преобразование пересечения в абрисную методом вращения)

Рассмотрим задачу, в которой дано прямую  - общего положения, что пересекается с поверхностью вращения Ф - эллипсоида, и пересекает его ось. 

Решение задачи выполняется по общей методике, приведенной в п.12.1. Для её выполнения на рис. 12-8 выполнено: 

1. Через прямую  проводим вспомогательный посредник-плоскость Р, перпендикулярную плоскости проекций , которая проходит через ось

, это на поле .

2. Строится линия , по которой плоскость Р пересекает поверхность Ф, то есть: (эллипс).

Решая второй пункт алгоритма, в котором плоскость Р пересекает поверхность вращения Ф (эллипсоида) через его ось , которая перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций , в сечении получаем эллипс . Примем во внимание, что при выполнении вееров осевых сечений эллипсоида получаем одинаковые сечения-эллипсы, каждый из которых равен эллипсу фронтального абриса эллипсоида. 

Горизонтальная проекция  слилась со следом-проекцией , а фронтальная проекция эллипса , которая будет в виде эллипса, - сложная для построения. Это упрощается применением метода В - преобразование линии пересечения-эллипса  в абрисную кривую поверхности. Выполнение такого преобразования можно выполнить методом вращения. Для его проведения ось  принимается за ось вращения плоскости  и последнюю поворачиваем до фронтального положения вместе с эллипсом  и прямой , которые расположены в плоскости Р. Получено на поле ; на поле  и - которое совпало с фронтальным абрисом эллипсоида. 

Решение третьего пункта алгоритма методики выполняется на поле  в повернутом положении   и , расположенных в повернутом положении плоскости, когда , определяются искомые точки   и , в повернутом положении , далее определяются фронтальные и горизонтальные проекции искомых точек по соответствующей принадлежности их к исходному заданию прямой . Такое построение с учетом видимости прямой  относительно поверхности Ф показана на рис. 12-8.

Родство геометрических образов

Главные закономерности и свойства геометрического проецирования образов зависят от вида проецирования, взаимного расположения плоскостей проекций и направления проецирующих лучей.

Представим, что точки одной плоскости П-поле оригинала, проецируются на поле  поле проекций, то между проекциями этих полей устанавливается точечное соответствие. Каждой точке А на поле П отвечает точка  на поле  и наоборот. Такое соответствие называют аффинным или родственным (лат.  - родство).

Свойства проецирования:

 Соответствие взаимно однозначно;

 Прямым линиям соответствуют прямые; 

 Если точка принадлежит прямой, то проекция точки принадлежит её одноименной проекции;

 Линия пересечения плоскостей проекций для родственного соответствия является осью родства;

 Параллельным прямым одного поля отвечают параллельные прямые второго поля;

 Простое отношение трёх точек одного поля равно простому отношению трёх соответствующих точек второго поля;

 Отношения двух фигур на плоскости П равно отношению двух фигур на плоскости .

Элементы аппарата проецирования:

 Объект проецирования; 

 Плоскости проекций;

 Проецирующие лучи.

Необходимые проекции образа можно получить:

 Изменяя направление проецирования относительно неизменного положения плоскостей проекций;

 Изменяя расположения плоскостей проекций относительно неизменного направления проецирующих лучей.

Виды родства: параллельное и центральное

Виды родственности:

 Родственность плоских фигур (расположенных в одной плоскости и в пучке плоскостей);

 Родство поверхностей.

Родство в параллельном проецировании (параллельное родство)

Представим отрезок АВ (рис. 12-9, а), который спроецировано на плоскость параллельным проецированием (П-прямоугольник и К-косоугольное).

Рассматривая полученные проекции  и  отмечаем, что они разные по размеру и имеют разное взаимное расположение. Таким образом, изменяя направление проецирования можно получить желаемую проекцию геометрического образа. 

Рассмотрим пример преобразования эллипса, например, (применяя косоугольное проецирования) в боле простую родственную линию-окружность. На рис. 12-9, б, показано проекции эллипса, который принадлежит плоскости . Так как и для окружности, эллипс имеет те же свойства - диаметры-оси делятся пополам. Ось АВ делит все хорды (рис. 12-9, в) параллельны его сопряженному оси-диаметру. Поэтому два диаметре, каждый из которого делит пополам хорды, параллельные другому диаметру, называют сопряженными. 

Таким образом свойством сопряженных диаметров является их родственность и в случае их неперпендикулярности, как линии, что аффинно-родственны окружности. Каждые два сопряженных взаимно-перпендикулярных диаметра-оси  и эллипса могут перейти в сопряженные диаметры  и  родственной окружности, что достигается изменением угла наклона главного проецирования , при котором ось изменяется до значения, когда .

На рис. 12-10 показано модель получения параллельных проекций, родственных плоской кривой АСВ, принадлежащей полю-оригиналу . 

Представим, что точки плоскости проецируются параллельно на поля-проекции плоскостей  и  - пучок плоскостей, имеющих общую -ось родства, направление проецирования обозначено ПК (параллельное косоугольное)

Между полями  и полями  и  установлено точечное соответствие, при помощи которого выполнены проекции  и  родственные относительно заданной дуги АСВ с общей для них хордой АВ, которая сливается с осью  и сопряженными диаметрами-осями  и .

Применение параллельного родства в решении задач

Выше, в пункте 12.3, приведены некоторые свойства поверхностей второго порядка. Покажем методику применения параллельного родства в воплощении отдельных геометрический свойств поверхностей при решении задач. 

На рис. 12-11 приведено изображение поверхности трехосного эллипсоида и горизонтальная проекция  точки А, которая принадлежит этой поверхности. 

Для построения фронтальной проекции  точки А применим признак принадлежности точки к поверхности, согласно которой через точку А проведем удобную для построения линию на заданной поверхности, построим проекции этой линии и построим проекции точки А, которые будут принадлежать одноименным проекциям линии, которая проведена через точку А. 

Принимая во внимание свойство, если через ось поверхности провести пучок плоскостей, то будет получено семейство кривых второго порядка, родственных меду собой, то за необходимую удобную линию примем линию-эллипс сечения эллипсоида осевого плоскостью . Горизонтальная проекция эллипса с точкой  на нем и малой осью  слилась со следом-проекцией . Построение фронтальной проекции эллипса-сечения относительно сложная работа, поэтому применяем родственное преобразование эллипса-сечения в эллипс с малой осью  фронтального абриса эллипсоида. Такое преобразование-построение родственных плоских фигур, для которых общей хордой является вертикально ось, что слилась с осью  которая принимается за ось родства, ОВ и  - сопряженные диаметры спиральной хорды, плоскости  и  - плоскости родственных изображений, по этим параметрам определяется направление родства (для этого примера ), расположенный параллельно плоскости . Параллельным проецированием эллипс с осью ВС преобразуется в абрисный эллипс (с осью ) вместе с точкой , определяется  на фронтальном абрисе и по фронтальной проекции направления родства, определяется . 

На рис. 12-12 приведено применение параллельного косоугольного проецирования для родственного преобразования эллипса сечения поверхности эллипсоида плоскостью  в окружность. Выполнено преобразование с соблюдением свойства поверхности: параллельные пересечения поверхности второго порядка подобные и подобно расположены. Определение направления  родства определено: с , по горизонту отложено , которое равно ; - направление родства. Рассматривая построение горизонтальной проекции эллипса с большой осью  и точкой , в которой пересекаются его оси в определенном порядке  проецирования, получаем окружность, в которую преобразовано горизонтальную проекцию эллипса сечения плоскостью . 

В решении задачи рис. 12-11 применено методику родственного преобразования сечения, а в решении задачи, приведенной в п. 12.5.5, показано применение родственного преобразования эллипса в окружность при построении точек пересечения прямой с поверхностью. 

Родство в центральном проецировании (центральная родство)

На рис. 12-13, а, показано центральное родство плоской родственности прямых.

С центра  проецируется отрезок АВ и отрезок  и , прямых связанных между собой общей точкой Р-родственности. Каждой точке отрезка АВ будет отвечать точка-проекция отрезка и , то есть между точками этих отрезков есть взаимно однозначное соответствие. Подчеркнуто, что отрезки АВ, ,  принадлежат связке прямых плоскости, а точка Р - центр связки. 

Применение приведенной родственности показано на примере построения точек пересечения прямой  с поверхность. конуса (рис. 12-13, б). При решении этой задачи применяется центральное проецирование. За центр проецирования принимается вершина  конуса, а каждая образующая конуса становится проецирующим лучом, проекция боковой поверхности сливается с основанием конуса. Вспомогательная плоскость Р, проведенная через  и заданную прямую  своим следом  на плоскости основания конуса выделяет на основании конуса отрезок . Точкам  и  отвечают точки А и В на прямой , между этими точками есть взаимно однозначное соответствие, так как прямая  и прямая  , которая совпадает со следом  образуют связку прямых с центром связки в точке Р. 

На рис. 12-14 показано модель получения центральный проекций, родственных плоской кривой АСВ, которая принадлежит полю оригинала . Представим, что изображение плоскости  проецируется с центра проецирования  на пучок плоскости   и  с общей -осью родства. 

Как и в параллельных родственных проекциях, центральные родственные проекции отвечают свойствам проецирования, что и видно на рис. 12-14 (перпендикулярность сопряженных хорд, соотношения одноименных плоскостей изображений и другие).

Модели получения родственных проекций подчеркивают то, что родственные поля имеют параллельно-перспективное расположение. 

Вращение плоскостей вокруг их оси родства не нарушало параллельно-перспективного расположения родственных изображений с их простым соотношением трех точек. 

Примеры решения задач с применением метода В (преобразование сечения в абрисную поверхность способом родственного соответствия)

Способ родственного соответствия применяется преимущественно в тех случаях, когда заданная прямая пересекает ось поверхности второго порядка. 

Решение такой задачи выполняется по общей методике, когда через заданную прямую общего положения (которая пересекает ось поверхности) проводят вспомогательную плоскость, которая пройдет одновременно и через ось поверхности. Полученную кривую пересечения поверхности плоскостью преобразуют в абрисную кривую вместе с заданной прямой, для этого устанавливается между ними родственное соответствие, в которой ось родственность является осью самой поверхности. В преобразованном положении определяются искомые точки в родственном преобразованном виде и согласно с определенным направлением родственности возвращаем построенные проекции точек на исходное положение заданной прямой. 

Рассмотрим задачу, в которой заданная пряма  - общего положения пересекается с поверхностью Ф однополостного гиперболоида, которая пересекает его ось (рис. 12-15)

Решение задачи по определению точек пересечения прямой с заданной поверхностью выполняется по общей методике, приведенной в п.12.1. Для её выполнения:

1. Через прямую  проводим вспомогательный посредник-плоскость перпендикулярную . 

, это на поле

2. Устанавливается родственное соответствие  между промежуточной гиперболой, полученной в сечении поверхности плоскостью и абрисной гиперболой (расположенной в плоскости ) с осью родства   и направлением родственности , параллельным , где  - точка наибольшего раствора абрисной гиперболы, соответствующая точке С промежуточной гиперболы.

Строим отрезок АВ заданной прямой  в родственном соответствии - получаем (точка А расположена на прямой  в точке пересечения оси )

3. Определяем точки пересечения К и преобразованной прямой  с абрисной гиперболой, это на поле  абрисную

Обратным преобразованием в направлении  определяем натуральное положение искомых точек К и  на прямой  в исходном положении, а на проекциях определяется видимость искомых точек К и и соответственно прямой  относительно поверхности Ф однополостного гиперболоида. 

Рассматривая другую задачу (рис. 12-16), в которой прямая  - общего положения пересекается с поверхностью трёхосного эллипсоида, подчеркиваем аналогичность решения с предыдущей задачей. Основанием решения является общая методика с применением свойства поверхности трехосного эллипсоида - осевые сечения поверхности второго порядка (эллипсы) имеют родственное соответствие. 

Само решение задачи показано на рис. 12-16. 

Примеры решения задач с применением метода С (преобразование сложной линии пересечения в простое его родственное изображение)

Решение задач такого типа выполняется превращением линии пересечения - эллипса в окружность при помощи косоугольного проецирования, выполненного на рис. 12-9, б.

Рассмотрим задачу, в которой прямая  - общего положения пересекается с поверхностью Ф - эллиптического гиперболоида. 

Решение задачи выполняется по общей методике:

1. Через прямую проводим вспомогательную плоскость . Плоскость в сечении поверхности гиперболоида образует эллипс с осями АВ и  и центром в точке О (на поле  и  и центр ).

2. Второй пункт решения выполняется построение эллипса-сечения и преобразование его в окружность с одновременным преобразованием заданной прямой; определив направление проецирования , при котором эллипс  спроецируется на плоскость  в виде окружности. Для этого проводим через центр  гиперболоида плоскость . Плоскость пересекает гиперболоид по эллипсу с осями РТ и , ось  сливается с малой осью эллипса горла. Эллипс  подобен эллипсу  и ему подобно расположен. 

Учитывая вышеизложенное, определяем направление , при котором эллипс , принадлежащий плоскости , спроецируется на плоскость  в виде окружности, построение выполняется как на рис. 12-9, б, при котором на рис. 12-17 . Далее проецируем эллипс  с осями АВ и  на плоскость  по направлению  и получаем окружность с центром в  и радиусом, который равен . Применяя косоугольное проецирование, на  строим и прямую , задав её отрезком , - получаем его косоугольную проекцию . 

3. Определяем искомые точки  и пересечения отрезка  с окружностью, обратным проецированием определяем проекции искомых точек на исходных проекциях заданной прямой  и определяем на проекциях поля  и  видимость прямой   относительно поверхности гиперболоида.

Решение задач Группы №2, в которых применяются посредники-плоскости общего положения

К этой группе относят такие задачи, которые решают по общей методике, при выполнении которой применяют посредники-плоскости общего положения. 

Это преимущественно задачи, в которых произвольная прямая пересекается с пирамидой (прямой или наклонной), конусом (прямым или наклонным), или призмой (наклонной) или цилиндром (наклонным).

Особенность решения таких задач состоит в том, что заданная прямая включается в дополнительную плоскость, которая пересекает заданную поверхность по линии пересечения, которая имеет наипростейшую форму для построения. В случаях, когда задано поверхность пирамиды или конуса, - вспомогательную плоскость проводят через заданную прямую и вершину поверхности, тогда в сечении получаем треугольник. В случае, когда задано поверхность призмы или цилиндра, - вспомогательную плоскость проводят через заданную прямую и прямую проведенную через точку на заданной прямой и параллельную боковому ребру призмы, или параллельную образующей цилиндра, - тогда в сечении получаем параллелограмм. Дальше строятся точки пересечения заданной прямой с построенным сечением поверхности вспомогательной плоскостью. Полученные точки - искомые точки пересечения прямой с заданной поверхностью. 

Общий алгоритм построения точек пересечения прямой с поверхностью пирамиды или конуса

Алгоритм пересечения произвольной прямой с поверхностью пирамиды или конуса (прямого или наклонного) покажем на следующем примере (рис. 12-18):

Построить точки  и пересечения прямой  общего положения с поверхностью Ф наклонного конуса. 

1. Через заданную прямую  проводим вспомогательную плоскость Р - общего положения. Эта плоскость должна быть так расположена, чтобы в сечении поверхности конуса была получена наипростейшая для построения фигура, очерченная прямыми линиями или дугами окружности. Такой фигурой является треугольник, полученный при пересечении конуса плоскостью, которая проходит через его вершину . Таким образом, вспомогательная плоскость задана прямой  и точкой , то есть: 

2. Построение фигуры сечения поверхности Ф плоскостью Р, для этого:

= определяем след  плоскости Р на плоскости  плоскости основания конуса, то есть ;

- строим точку пересечения прямой  с  и получаем точку В, то есть ;

- произвольно выбираем точку А на прямой ;

- с вершины  через точку А проводим вспомогательную прямую , то есть: ;

- строим точку пересечения прямой  с  и получаем точку С, то есть: ;

- соединив точку В с точкой С, получаем  след плоскости Р на плоскости  основания конуса Ф: ;

= определяем точки пересечения следа  с основанием конуса, получаем точки 1 и 2, которые являются основанием образующих, по которым плоскость Р пересечет поверхность Ф;

= строим фигуру сечения поверхности Ф плоскостью Р, для этого: точку 1 соединяем с точкой , получаем образующую ; точку 2 соединяем с точкой , получаем образующую ; отрезок 12 и образующие  и  образуют треугольник , который является фигурой сечения поверхности Ф плоскостью Р, то есть:

3. Строятся точки пересечения прямой  с построенной фигурой , полученные точки и - искомые точки пересечения прямой  с поверхностью Ф, то есть:

Эпюрное решение этой задачи приведен на рис. 12-19.

Алгоритм: 

фигура сечения?

окружность осн. 

Общий алгоритм построения точек пересечения прямой с поверхностью наклонной призмы или цилиндра

Алгоритм пересечения произвольной прямой с поверхностью наклонной призмы или цилиндра покажем на следующем примере (рис. 12-20)

Построить точки и пересечения прямой  общего положения с поверхностью Ф наклонного цилиндра. 

1. Через прямую  проводим вспомогательную плоскость Р - общего положения.

Эта плоскость должна быть так расположена, чтобы в сечении поверхности цилиндра была получена наипростейшая для построения фигура, очерченная прямыми линиями. 

Такой является фигура, образованная двумя образующими. Это параллелограмм, который образовано при сечении цилиндра плоскостью, которая пройдет через прямую, параллельную оси цилиндра. Таким образом, вспомогательная плоскость задана прямой  и прямой , которая пересекается с ней и расположена параллельно оси , то есть:  при

2. Построение фигуры сечения поверхности Ф плоскостью Р, для этого: 

= определяем след  плоскости Р на плоскости  - плоскости основания цилиндра, то есть: ;

- строим точки пересечения прямой  с  и получаем точку В, то есть: ;

- произвольно выбираем точку А на прямой , то есть: ;

- с точки А проводим прямую  параллельную оси , то есть: ; 

- строим точку пересечения прямой  с  и получаем точку С, то есть: ;

- соединив точку В с точкой С, получаем отрезок ВС, который принадлежит следу , то есть: ; 

= определяем точки пересечения следа  с основанием цилиндра, получаем точки 1 и 2, которые являются основанием образующих, по которым плоскость Р пересекает поверхность Ф, то есть:

 окружность осн. ;

= строим фигуру сечения поверхности Ф плоскостью Р, для этого: с точки 1 проводим образующую цилиндра до пересечения с его верхним основанием, получаем в пересечении точку 4 и соответственно образующую 1.4; с точки 2 проводим образующую цилиндра до пересечения с его верхним основанием, получаем в пересечении точку 3 и соответственно образующую 2.3; отрезок 1.2, образующая 2.3, отрезок 2.3 (параллельный отрезку 1.2) и образующая 1.4 (параллельная образующей 2.3) - образуют параллелограмм , который является фигурой сечения поверхности Ф плоскостью Р, то есть: 

3. Строятся точки пересечения прямой  с построенной фигурой , полученные точки и - искомые точки пересечения прямой  с поверхностью Ф, то есть: 

Эпюрное решение этой задачи приведен на рис. 12-21.

Алгоритм:

 когда 

окружность осн. 

Решение задач Группы №3

К этой группе относят задачи, в которых произвольная прямая пересекается с поверхностью второго порядка общего вида, их решают по общей методике и при выполнении второго пункта последней встречаются сложности в построении сечения поверхности вспомогательной плоскости. В таком случае выполняют переход от заданной поверхности к другой родственной поверхности с общей линией пересечения, применяя преобразование, выполненное методом родства поверхностей, что было впервые рекомендовано проф. Сухины И. О. 

Такое преобразование можно выполнить:

- способом центрального проецирования, которое воспроизводится в переходе от заданной поверхности второго порядка к поверхности конуса, что возможно при наличии в них двух общих пересечений поверхностей второго порядка. Такой переход выполняется, когда присутствуют сложности построения натуральной величины линии сечения или её удобного для построения родственного изображения. 

- способом параллельного прямоугольного проецирования, которое воспроизводится в переходе заданной поверхности второго порядка к прямой цилиндрической поверхности. Такой переход выполняется, например, от поверхности параболоида к поверхности прямого кругового цилиндра с одной общей линией пересечения. 

Выполнение перехода от заданной поверхности к родственной 

Этот переход может быть применен для решения всех возможных задач на построение точек пересечения прямой с поверхностью второго порядка общего вида. Переход основывается на известном положении о том, что через два сечения поверхности второго порядка возможно провести конус второго порядка, то есть два сечения поверхности второго порядка перспективные между собой. Пользуясь приведенным положением, задачи решают при помощи центрального проецирования вспомогательной кривой в одну из абрисных кривых или в окружность, инцидентную плоскости уровня: имея с кривой общую хорду - искомые точки пересечения определяют сначала в преобразованном положении, а тогда обратным преобразованием определяют их действительное положение. 

Способ центрального проецирования применяют для замены заданной поверхности конической поверхностью второго порядка, которая определяется вспомогательной кривой и одной из абрисных кривых поверхности или вспомогательной кривой и окружностью, которая имеет с кривой общую хорду. При таком изложении определение точек пересечения прямой с заданной поверхностью возможно заменить определение точек пересечения прямой с построенным конусом. Вершина этого конуса получается на пересечении прямых, которые проходят через две пары соответствующих точек кривых, принадлежащих сопряженным диаметрам с общей хордой. Пересечение полученных прямых определяет вершину родственного конуса. 

На модели (рис. 12-22) показано построение вершины  родственного конуса по вспомогательному эллипсу  в плоскости  и абрисным эллипсом  в плоскости . В каждом эллипсе (и ) проводим хорды, параллельные линии АВ, по которым пересекаются плоскости  и , а также строим относительно хорд сопряженные диаметры (в эллипсе ) и  (в эллипсе ). Соединив точки  и  и с противоположных сторон диаметров, - точки  и , построенные прямые  и  в своем продолжении образуют искомую точку , которая принимается за вершину родственного конуса относительно заданной поверхности Ф трехосного эллипсоида, а прямые  и - абрисные образующие построенного конуса с вершиной . Эпюрное изображение построения родственного конуса с вершиной  приведено на рис. 12-23, где показана фронтальная проекция модели. 

Родство поверхности второго порядка (параболоида) с конической поверхностью по двум общим сечениям показана на рис. 12-24. Базовое горизонтальное сечение-окружность с сопряженными диаметрами АВ и  и промежуточное сечение-эллипс (образованный в плоскости ) с осями  и  принадлежат поверхности параболоида (рис. 12-24, б) так и принадлежат поверхности конуса (рис. 12-24, в), вершину которого построено по вышеописанной методикой. В дальнейшем возможно выполнение построение точек пересечения заданной прямой на рис. 12-25, а. Она условно не показана уже с построенной поверхностью конуса, что рассмотрено на рис. 12-18 и рис. 12-19, и последствия решения по построению искомых точек относительно конуса - искомые точки пересечения заданной прямой с заданной поверхностью параболоида. 

Рассматривая предварительно полученные конус с сечением-эллипсом в плоскости ЕЕЕЕ, большая ось которого равна , на рис. 12-25, а, видим родство поверхности конуса с поверхностью прямого цилиндра ("вершина" которого явная: расположена в бесконечности). Пересечение с осью  принадлежит и конусу (рис. 12-25, б), а также поверхности цилиндра (рис. 12-25, в). Возможно предположение родства конуса и цилиндра по общему сечению. Дальше возможны выполнения построений точек пересечения заданной (на рис. не показанной) прямой уже с построенной цилиндрической поверхностью, а это решается как задача частного случая с проецирующей поверхностью, а следствие более простого решения, чем с конусом (рис. 12-25, в), является решением исходного условия задачи. 

Таким образом возможно предположение родства поверхности второго порядка - параболоида с поверхностью конической, а конической с цилиндрической, то есть поверхность параболоида родственна с цилиндрической поверхностью (рис. 12-26).

Рассмотрим примеры решения задач на построение точек пересечения прямой с поверхностью второго порядка общего вида с применением перехода от заданной поверхности до другой родственной поверхности с общей линией сечения. 

Алгоритм решения задач Группы №3 способом центрального проецирования

Решение задач начинается с анализа условия задачи. Определить, какие два сечения заданной поверхности будут применены для построения конуса второго порядка (например, сечение вспомогательное и сечение абрисное - базовое), который целесообразно считать центральной проекцией вспомогательного сечения. 

Алгоритм: 

1. Через данную прямую проводим вспомогательную проецирующую плоскость.

2. Строим удобное изображение сечения поверхности вспомогательной плоскостью, для этого:

а) находим вершину конуса (центрального проецирования), которая определяется вспомогательной и абрисно-базовой кривыми;

б) строим центральную проекцию заданной прямой на плоскость абрисной кривой (приняв вершину конуса за центр проецирования).

3. Строим точки пересечения прямой с сечением поверхности на удобной проекции, для этого:

а) определяем искомые точки пересечения на центральной проекции прямой и поверхности;

б) определяем проекции искомых точек на исходном (ортогональном) положении прямой, применив обратное проецирование;

в) устанавливаем видимость прямой относительно заданной поверхности.

Если центр проецирования - невозможная для построения точка, или если нельзя провести коническую поверхность через вспомогательное сечение и абрисную (базовую) кривую, что наблюдается для однополостного гиперболоида и гиперболического параболоида, вспомогательную кривую целесообразно спроецировать в окружность, которая не принадлежит поверхности, эта окружность имеет с вспомогательной кривой общую хорду, которая лежит в плоскости уровня. В таком случае родственная коническая поверхность определяется вспомогательной кривой сечения и окружностью, в которую спроецирована вспомогательная кривая.

Решим несколько задач Группы №3

Примеры решения задач Группы №3

Задача 12.3-1, в которой прямая  - общего положения пересекается поверхностью трехосного эллипсоида (рис. 12-27).

Для построения точек пересечения прямой с поверхностью применяется общая методика решения таких задач.

1. Через прямую  проводим вспомогательную прямую

2. Плоскость Р в сечении поверхности эллипсоида образует вспомогательное сечение  с большой осью Горизонтальный абрис поверхности-эллипс  (базовое сечение) с большой осью , принадлежащей .

 линия пересечения плоскостей - ось родства. 

Точки  и ,  и  - сопряженные точки. Плоскость  - сопряженная плоскость.  точка  - вершина родственного конуса, фронтальные образующие которого  и

Далее выполняется решение задачи по построению точек пересечения заданной прямой  с поверхностью построенного конуса, в основании которого лежит абрисный эллипса . Для решения полученной сведенной задачи через вершину  и прямую  проводим вспомогательную плоскость Т - общего положения. Строим горизонтальный след вспомогательной плоскости, и: - которые являются основанием образующих, по которым плоскость Т пересекает коническую поверхность (рис. 12-13, б), модель центрального проецирования искомых точек на основание конуса. 

3. Полученные точки и  соединены с вершиной  (её ), пересекаясь с заданной прямой, - дают в пересечении искомые точки   и , то есть: 

Полученные - соответствующие проекции искомых точек  и , в которых прямая  пересекается с заданной поверхностью трехосного эллипсоида. 

Задача 12.3-2, в которой заданная фронтальная проецирующая прямая , которая пересекается с поверхностью эллиптического параболоида (рис. 12-28).

Решение:

1. Через заданную прямую  проводим вспомогательную плоскость  параллельную . 

2. Плоскость в сечении поверхности параболоида ( оси поверхности) образует параболу , которая принимается за вспомогательное сечение, а эллипс  горизонтального абриса поверхности - абрисное сечение, которое принадлежит плоскости .

 ось родства.

- Точки А и В, и точка С - сопряженные точки двух родственных сечений с общей хордой .

- Плоскость - сопряженная плоскость. 

Поверхность параболоида заменяется родственным конусом, основание которое  и парабола  - два родственных сечения с общей хордой . ВС - одна фронтальная абрисная образующая с точки А, а вторая фронтальная абрисная образующая  параллельная плоскости  и перпендикулярная . 

Пересечение образующих:  - вершина родственного конуса.

Для решения сведенной задачи, выполняем построение посредника-плоскости , которая проходит через заданную прямую  и вершину . Пересечение  с  дает центральные проекции  и , которые являются центральными проекциями искомых точек   и , в которых заданная прямая  пересекается с поверхностью эллиптического параболоида, построение проекции искомых точек с учетом их видимости показана на рис. 12-28. 

Задача 12.3-3, в которой с поверхностью эллиптического параболоида пересекается отрезок АВ профильной прямой (рис. 12-29).

В решении выполняются три действия общей методики. Для этого:

1. Отрезок АВ включаем в профильную плоскость .

2. Плоскость пересекает параболоид по параболе , вершина которой в точке С.

Устанавливаем перспективное (центральное) соответствие между параболой  и основанием параболоида-эллипса , который принадлежит плоскости . 

Общей хордой для параболы   и эллипса  - отрезок  а сопряженной плоскостью - плоскость . 

Строим для каждой кривой ( и ) точки, принадлежащие сопряженному с общей хордой диаметра. Такими точками для параболы  будут вершина С и несобственная точка  а для эллипса  - точки  и . 

Вершина  родственного конуса будет получена на пересечении прямых  и которые получили соединением соответствующих точек кривых. 

3. Определяем точки пересечения отрезка АВ с построенным родственным конусом, вершина которого точка  и основание - эллипс . Пространственное решение этой задачи приведено на рис. 12-30,а, для этого:

- Через отрезок АВ и вершину  проводим посредник-плоскость Р.

- Строится горизонтальный след , для этого: с точки А через вершину  проводим вспомогательную прямую  и строим её горизонтальные след . 

Горизонтальный след АВ - точка , так как точка В по условию принадлежит плоскости . Соединив точек  с точкой , получаем горизонтальный след  плоскости-посредника Р. 

- Построив пересечение  с основанием  конуса, получаем  и , которые получены центральным проецировании с полюса  искомых точек и , в которых заданная прямая  пересекается с родственным конусом.

Эпюрное решение по определению проекций искомых точек и показано на рис. 12-30,б. 

Обратным преобразованием определяем на исходном положении прямой АВ искомых точек  и , проекции которых с учетом их видимости показано на рис. 12-29. 

Задача 12.3-4: Определить точку пересечения прямой  с эллипсоидом вращения Ф (рис. 12-31).

Алгоритм упрощенного решения:

1. Через заданную прямую  проведем вспомогательную плоскость .

2. Выполняем замену поверхности эллипсоида на родственную коническую поверхность. 

; по двум общим сечениям, за которые принимаем вспомогательное сечения поверхности Ф плоскостью - первое сечение; и проведя касательную к Ф горизонтальную плоскость , - получаем точку , в которую "выродилось" крайнее сечение поверхности Ф. 

По двум сечения строим родственный конус, у которого точка  - вершина конуса, а фронтальные абрисные  и . 

Строим точки пересечения прямой  с поверхностью конуса, для этого:

- строим центральную проекцию прямой  на плоскость основания на , которая сольется с горизонтальным следом  плоскости ;

- строим сечение  конуса плоскостью Р;

- строим точки пересечения прямой  с - полученные точки и - искомые точки пересечения. переносим решение с рис. 12-32 на рис. 12-31, учтя видимость проекций точек и - получаем решение задачи на рис. 12-31. 

Решение задач группы 4, в которых определяется расстояние от точки до поверхности

Во всех задачах группы 4, расстояние от точки А пространства до поверхности определяется по прямой, перпендикулярной к поверхности. Такая прямая должна быть перпендикулярной к ближайшей образующей (прямой или кривой линии) этой поверхности. Необходимая ближайшая прямая будет принадлежать плоскости, которая проходит через заданную точку пространства и соответствующий определитель поверхности и пересечет поверхность. В сечении поверхности будет получено пересечение-линии ближайшую к точке. Из заданной точки проводим перпендикуляр к линии сечения и строится точка пересечения перпендикуляра с сечением, полученная точка и заданная точка определяют искомое расстояние на перпендикуляре. 

Примеры решения задач группы 4

Задача 12.4-1.

Определить расстояние от точки А пространства до поверхности наклонного эллиптического цилиндра. 

Пространственное изображение решение показано на рис. 12-33. 

Алгоритм решения:

Эпюрное решение приведено на рис. 12-34.

Последовательность решения - с точки А проводится перпендикуляр  к поверхности;

- строим точку К пересечения  с поверхностью;

- расстояние АК - искомое. 

Выполнение этих действий показан на эпюре (рис. 12-34).

Через точку А и ось  поверхности проводится плоскость , для задания которой с точки А параллельно оси   проводится прямая  и строится её горизонтальный след в точке В. Горизонтальный след оси  расположен в точке О. Соединив горизонтальный след В и О - получаем горизонтальный след  плоскости Р. След  пересекается на  с нижним основанием цилиндра, полученная точка определяет образующую 1.2, по которой плоскость Р пересекает поверхность цилиндра и эта образующая ближайшая к заданной точке А. 

Для проведения с точки А перпендикуляра к образующей 1.2 (согласно с признаком перпендикулярности двух прямых), с точки А проводим плоскость , которая перпендикулярна к 1.2, строится точка К пересечения прямой 1.2 с плоскостью . Соединив точку А с точкой К - получаем перпендикуляр АК, который является искомым расстоянием. 

Задача 12.4-2.

Определить расстояние от точки А пространства к поверхности прямого кругового конуса.

Пространственное изображение решения задачи приведено на рис. 12-35, а эпюрное решение приведено на рис. 12-36.

Через точку А и ось  проведем плоскость , учитывая то, что ось , то плоскость Р, проведенная через прямую  будет перпендикулярной к  и её горизонтальный след  пройдет через  и , а полученный след - след-проекция и с ним сливается горизонтальная проекция образующей , по которой плоскость Р пересекает поверхность конуса. Образующая  - ближайшая образующая конуса к точке А. Проведение с точки А перпендикуляра к образующей  выполнено с применением метода вращения, что обеспечивает проведение ооооо. 

Перенеся точку  на исходное положение задачи, получаем проекции перпендикуляра АК, который является искомым расстоянием. 

Задача 12.4-3

Определить расстояние от точки А пространства к поверхности сферы.

На рис. 12-37 показано упрощенное эпюрное решение задачи. 

Учитываем то, что ближайшая точка поверхности сферы к точке А расположена на центровой линии ОА.

Плоскость (она не показана на эпюре), которая проходит через точку А и центр сферы, пересекает сферу по окружности, расположенной в секущей плоскости, в которой расположена и центровая линия ОА.

Построение точки К пересечения центровой линии с окружностью-сечением выполнено за счет превращения , и на поле  строится точка К, - которая с точкой А определяет АК - искомое расстояние. 

Пересечение поверхностей

Пересечение в евклидовой геометрии — точка или кривая, общие для двух или более объектов (таких как кривые, плоскости и поверхности). Простейший случай — пересечение двух различных прямых на плоскости, которое либо является одной точкой, либо не существует, если прямые параллельные.

Форма детали образуется преимущественно несколькими поверхностями, в местах сопряжения этих поверхностей образуется линия пересечения поверхностей, которая является линией контура и на чертеже отображается сплошной толстой линией. Поверхности литых или штампованных деталей сопряжены между собой плавно (например, по литейному радиусу), такая линия называется линией перехода и на чертеже детали отображается сплошной тонкой линией, недоведенной до линии контура детали на радиус плавности перехода. 

На чертеже детали, линия пересечения её поверхностей или линия их перехода, во многих случаях отображается в виде сложной лекальной кривой линии, построение которой выполняют по многим характерным и промежуточным точкам.

Но допускается упрощенное изображение линии пересечения поверхностей, если не нужно их точное построение. Например, вместо лекальных кривых проводят дуги или прямые линии (п. 6 ГОСТ 2.305-68). Во многих случаях изготовление отдельных элементов деталей изделия, сопряженных между собой по линии пересечения, выполняется по чертежам, на которых линия пересечения строится наиболее точно, это касается изготовления вентиляционных трубопроводом, водо- и газовых трубопроводов, кожухов, резервуаров и другого оборудования. 

От точности построения линии пересечения поверхностей на чертеже зависит точность изготовления составляющих конструкций (таких как выкройки, развертки, колена трубопроводов, их вставки и другое). 

Общая методика построения линии пересечения поверхностей (ЛППо)

Линия пересечения поверхностей - это геометрическое место точек, которые одновременно принадлежат двум поверхностям, которые пересекаются.

Методика построения точки, общей двум пересекающимся поверхностям. Пусть заданы две поверхности:  - левая поверхность и  - правая поверхность, которые пересекаются между собой. 

Для построения общей точки для этих поверхностей применяется "метод посредников". Таким посредником может быть плоскость Р, которая пересекает заданные поверхности  и (рис. 13-1). Плоскость Р пересекает поверхность  и в сечении образуется линия . Одновременно плоскость Р пересекает поверхность , в сечении образуется линия . Линия  и  принадлежат одной плоскости Р и, пересекаясь между собой, образуют точку А (рис. 13-2), (возможна и еще другая точка). Учитывая то, что точка А принадлежит линии , которая принадлежит , то точка А принадлежит поверхности , одновременно точка А принадлежит линии , которая принадлежит поверхности , то точка принадлежит поверхности , - отсюда: точка А одновременно принадлежит поверхности  и поверхности , принадлежит линии пересечения двух заданных поверхностей  и . 

Для построения следующей общей точки выбирается вторая плоскость посредник , которая для удобства построения располагается параллельно к посреднику-плоскости Р (то есть: ). 

Плоскость посредник  пересекает поверхность  и в сечении образуется линия . Одновременно плоскость  пересекает поверхность  и в сечении образуется линия . Линии  и  принадлежат одной плоскости  и пересекаясь между собой, образуют точку В. Точка В - вторая точка линии пересечения поверхностей. 

Выбрав посредник , рассмотрев сечение поверхности  и  посредником  и взаимное пересечение сечений, получаем точку К, принадлежащую линии пересечения поверхностей. 

Соединив полученные общие точки , получаем линию АВ...К, которая и есть искомой линией пересечения поверхностей.

Алгоритм построения линии пересечения поверхностей:

1. Выбираем посредник, например, плоскость Р:

2. Выбираем посредник : 

4. Выбираем 

Сущность метода построения линии пересечения поверхностей состоит в построение общих точек для пересекающихся поверхностей, что выполняется при помощи посредников, которыми чаще всего могут быть плоскость (частного положения или общего положения) или поверхности сферы.

Выбор посредника-плоскости должен быть таким, что в сечении поверхностей, которые пересекаются, были получены простые для построения линии - очерченные прямыми или дугами окружностей.

Особенности построения линии пересечения поверхностей 

Применяя общую методику построения точек ЛППо, решение задач выполняется преимущественно в такой последовательности:

- Проводится анализ условия задачи.

- Определяют наиболее характерные точки линии пересечения поверхностей, для этого вспомогательные посредники-плоскости следует провести через абрисные каждой поверхности, кроме того, следует провести плоскости-посредники так, чтобы их следы были касательными к основанию поверхности.

- Определяют промежуточные точки линии пересечения поверхностей. Для этого посредники проводят между теми посредниками, при помощи которых определялись характерные точки. 

Посредники должны обеспечить равномерность плоскости точечного каркаса линии пересечения поверхностей.

- Соединяют постепенно характерные и промежуточные точки, соединять можно только точки, которые лежат на соседних образующих.

- Точки раздела видимой ветки и невидимой её части линии пересечения поверхностей лежат на абрисных образующих (на абрисах той или другой поверхности).

- Видимый участок линии пересечения поверхностей переходит в видимый участок абриса поверхности.

- Видимость точек линии пересечения поверхностей определяют с учетом того, что:

- когда пересекаются видимые проекции двух образующих, одна из которых принадлежит одной поверхности, а вторая образующая принадлежит другой поверхности, - получается видимая точка линии пересечения поверхностей;

- когда пересекаются невидимые проекции двух образующих, - получается невидимая точка линии пересечения поверхностей;

- когда пересекаются видимая проекция одной образующей с невидимой проекцией другой образующей, - получается невидимая точка линии пересечения поверхностей.

- Порядок линии пересечения поверхностей равен произведению порядков поверхностей, которые пересекаются. 

Типы задач, в зависимости от вида посредника

Тип А - задачи, в решениях которых применяются плоскости частного положения (проецирующая или уровня). К ним относятся задачи, в которых: пересекаются гранных или криволинейные проецирующие поверхности с криволинейными (сечения которых очерчены прямыми или дугами окружностей) иди пересекаются криволинейные поверхности, которые в сечении посредником-плоскостью уровня пересекают по простым для построения фигурам.

Тип В - задачи, в решениях которых применяют посредники-поверхности сферы. К ним относят задачи, в которых пересекаются поверхности вращения, оси которых прямые частного положения.

Тип С - задачи, в решениях которых применяют посредники-поверхности общего положения. К ним относятся задачи, в которых пересекаются наклонные поверхности, такие как: призма с призмой, призма с пирамидой, пирамида с пирамидой, цилиндр с цилиндром, цилиндр с конусом, конус с конусом и другие пары наклонных поверхностей. 

Задачи типа А - в решениях которых применяются посредники-плоскости частного положения

Рассматриваются задачи, в которых одна из пересекающихся поверхностей является проецирующей гранью или цилиндрической, а вторая поверхность произвольная (гранная или криволинейная), в сечении которой могут быть получены фигуры, очерненные прямыми или дугами окружностей. Согласно со свойствами проецирующих поверхностей, одна проекция линии пересечения поверхности сливается с проекцией проецирующей поверхности на той плоскости проекций, относительно которой проецирующая поверхность перпендикулярна, тогда задача сводится к построению других проекций линии пересечения поверхностей, что выполняется применением общей методики и учитывая принцип принадлежности точек линии пересечения поверхности к проецирующей поверхности. 

К этому типу А относятся задачи на построение линии пересечения произвольной поверхности, в сечении которых плоскостями частного положения можно получить простые для построения фигуры, очерченные дугами окружностей или прямыми линиями.  Такими пересекающимися поверхностями могут быть поверхности шара, частные конические или цилиндрические поверхности и другие поверхности, которые отвечают рекомендациями относительно получению фигур сечений. 

Применение посредников-плоскостей частного положения (преимущественно плоскостей уровня), дает более простое построение фигур сечений поверхностей на той плоскости проекций, относительно которой посредник-плоскость параллельна (на основании свойства плоскостей уровня).

Пересечение гранных поверхностей 

Последовательность построения линии пересечения двух гранных поверхностей.

- Проводится анализ условия задачи.

- Строятся точки пересечения ребер первого многогранника с гранями (или ребрами) второго многогранника.

- Строятся точки пересечения ребер второго многогранника с гранями (или ребрами) первого многогранника.

- Построенные точки пересечения последовательно соединить между собой с учетом видимости. Или линия пересечения может быть построения последовательным соединением определенных отрезком прямых, по которым грани одного многоугольника пересекаются с гранями другого прямоугольника.

Рассмотрим пример построения линии пересечения поверхностей двух гранных поверхностей, приведенных на рис. 13-3, а.

- Анализ условия задачи. 

В примере, предложенном на рис. 13-3, а, пересекаются поверхности двух поверхностей многогранников, одна из которых - поверхность трёхгранной пирамиды , основание её АВС - плоскость фронтально проецирующая; вторая - поверхность трёхгранной прямой призмы, грани боковой поверхности которой горизонтально проецирующие плоскости.

Строим точки пересечения ребер пирамиды с гранями призмы, применяя методику построения точки пересечения прямой с проецирующей плоскостью (рис. 13-3,б).

Ребро  пересекается с горизонтально проецирующими левой и правой гранями призмы соответственно в точках  и 1, что на поле  воспроизведено проекциями точек  и , проведя из них вертикальные линии связи до пересечения с  - получаем проекции этих точек на поле  соответственно  и . 

Ребро  пересекается с левой и правой горизонтально проецирующими гранями призмы в точках  и 2 на поле , воспроизведенных проекциями  и , проведя из них вертикальные линии связи до пересечения с  - получаем проекции  и . 

Ребро  пересекается с левой и правой гранями призмы в точках  и 3, на поле  соответствующими проекциями  и , а на поле  проекциями  и . 

Строим точки пересечения ребер призмы с гранями пирамиды, в примере только одно правое боковое ребро призмы пересекается с гранями пирамиды  и . Для построения точек пересечения правого ребра призмы с упомянутыми гранями пирамиды применяется общая методика построения точек линии пересечения поверхностей. Для этого с вершины  через правое ребро призмы проводим посредник - горизонтально проецирующую плоскость , в сечении пирамиды получаем треугольник , а в сечении призмы получено прямоугольник (правая сторона которого - правое ребро призмы). В сечении полученных фигур (треугольника и прямоугольника) получаем точки 4 и 5, которые являются точками пересечения правого бокового ребра призмы с гранями пирамиды, что и видно из построения: на поле  и на поле , где  пересекается с правым ребром призмы, - получаем фронтальные проекции  и , а на поле  , как точки, которые принадлежат горизонтально проецирующему ребру призмы. 

Построенные точки пересечения соединяем с учетом их видимости, для этого принимаем во внимание, что точки и , принадлежат левой грани призмы, на поле  - слилось со следом-проекцией плоскости левой грани. С учетом того, что ребро  имеет наибольшую глубину точек, то точка  на поле  видимая точка, а к видимой точке приходят видимые линии, а линия  - невидима (закрыта гранями пирамиды с общим ребром ). Фронтальные проекции точек  соединяются между собой с учетом видимости конкурирующих точек, так как точка 1, принадлежащая ребру , а глубина его точек наименьшая в сравнении с точками ребер  и , то точка 1 принадлежащая ребру  на поле  не видима, так как глубина точек 4 и 5 на  невидимы, потому что эти точки имеют глубину, меньшую чем глубина точек ребер и  (это хорошо видно на поле ). Точка  видимая, потому что её глубина наибольшая из глубин других точек линии пересечения поверхностей (ребро  ближе всего к образцу). Соединив на поле  фронтальные проекции точек  получаем проекцию второй части линии пересечения поверхностей (первая часть-линия ). 

Горизонтальные проекции линии пересечения поверхностей - ветка  и ветка , слились с горизонтальными проекциями горизонтально проецирующих боковых граней призмы. 

На рис. 13-3,а, видно, что линии пересечения поверхностей в данном примере состоит из двух частей: одна часть линии пересечения поверхностей - плоская ломанная линия , а вторая часть линии пересечения поверхностей - пространственная ломанная линия

В других вариантах линия пересечения поверхностей гранных поверхностей может быть в виде одной части или распадается на две части:

- если линия пересечения поверхностей в виде одной части, то такая линия пересечения поверхностей - пространственная или плоская ломанная линия;

- если линия пересечения поверхностей состоит из двух частей, то одна часть может быть плоской ломанной, а вторая часть тоже плоской ломанной, или первая и вторая части могут быть пространственными ломанными линиями. 

Пересечение гранной проецирующей поверхности с произвольной кривой поверхностью 

Решение задач на построение линии пересечения таких поверхностей предлагается выполнять методом полных сечений, в котором применяют вспомогательные поверхности-плоскости частного положения.

Этапы выполнения метода полных сечений

1. Образование плоскости полного сечения. Для этого выделяется одна боковая грань заданной призмы. На том поле плоскости проекций относительно которой грань перпендикулярна и изображена в виде отрезка, то продолжение её изображения образует след-проекцию плоскости - плоскостей полного сечения, которая принимается за плоскость-посредник, которая применяется для построения линии пересечения заданных поверхностей.

2. Представление вида фигуры полного сечения, образованную при сечении кривой поверхности плоскостью посредником, - получена первая фигура сечения (для построения которой, при необходимости, плоскость-посредник и абрис кривой поверхности продолжаются до взаимного пересечения). Выясняется, какой вид имеет фигура полного сечения. Одновременно плоскость-посредник пересекает поверхность призмы по прямоугольнику, который является второго фигурой сечения и равна грани касания плоскости к призме. 

3. Построение проекций фигуры полного сечения. Для этого на полях плоскостей проекций строятся проекции характерных и промежуточных точек фигуры полного сечения, которые соответственно соединяются между собой. Одновременно, строятся проекции и второй фигуры сечения (прямоугольника) стороны которого совпадают с соответствующими линиями связи. 

4. Выделяется натуральная часть фигуры полного сечения на её проекциях, которая одновременно принадлежит первой и второй фигуре сечения и ограниченна точка их взаимного пересечения. 

Последовательно включая каждую грань во вспомогательную плоскость так, чтобы её след-проекция была продолжением отрезка прямой, в которой спроецировано грань призмы (это на той плоскости проекций, к которой рассматриваемая грань перпендикулярна), применив метод полных сечений - получаем одну ветку линии пересечения поверхностей (возможно это ветка кривой второго порядка или прямая). При включении следующей грани призмы в другую вспомогательную плоскость и применив метод полных сечений, - получаем вторую ветку линии пересечения поверхностей. 

Первая ветка и вторая между собой сопряжены общей точкой, которая является точкой пересечения ребра призмы с кривой поверхности, которое разделяет первую и вторую рассмотренные грани. Последовательно рассматривая построение веток линий пересечения поверхностей, образованных третьей, следующей и последней гранью призматической поверхности, которая пересекается с криволинейной поверхностью, подчеркиваем то, что последняя построенная ветка линии пересечения может стыковаться с началом её первой ветки (это в случае, когда все грани пересекаются с криволинейной поверхностью, вариант проникновения поверхностей), или последняя ветка не последней грани соединяются с началом её первой ветки (это в случае, когда не все грани пересекаются с криволинейной поверхностью, вариант врубки поверхностей одна в другую).

Применение метода полных сечений дает возможность понять геометрию вида построенной линии пересечения поверхностей. 

Не исключается возможность применения в качестве посредников-плоскостей уровня, которые обеспечивают построение точечного каркаса линии пересечения поверхностей (построение "по точкам"). Такая методика дает понимание механизма построения линии пересечения поверхностей, но не дает представления геометрии её вида и не обеспечивает точность её построения. 

Рассмотрим пример, в котором выполняется построение линии пересечения поверхности, образованной при "входе" прямой трехгранной призмы в поверхность полусферы с их основами, которые принадлежат плоскости проекций  (рис. 13-4, а).

Подчеркиваем то, что каждая боковая грань призмы пересекает поверхность полусферы и в пересечении каждой гранью образуется дуга окружности. Таким образом, линия пересечения поверхностей состоит из трех дуг окружностей, соединенных между собой характерными точками, которыми являются точки пересечения боковых ребер призмы с поверхностью полусферы.

Решение задачи: 

Первая грань призмы, которая проходит через вершины 2 и 3 параллельная плоскости проекций . Применяем метод полных сечений для этого:

- включаем первую грань в посредник - фронтальную плоскость , путем продолжения ;

- в сечении поверхности полусферы первой гранью призмы получаем полуокружность , радиус которого  равен ;

- фронтальная проекция - натуральная величина сечения  (так как ), горизонтальная проекция  и профильная проекция сливаются соответственно со следами-проекциями  и ; 

- боковые ребра призмы, которые проведены с вершин 2 и 3, пересекаясь с полным сечением , выделяют натуральную часть первой ветки линии пересечения поверхности, которая проходит от точки В (где пересекается ребро с точкой 2 с дугой ) по дуге  к точке С (где пересекается ребро с точкой 3 с дугой ) рис. 13-4, б. 

Вторая грань, которая проходит через вершины 1 и 2, расположена под острым углом  к плоскости .

Согласно с методом полных сечений:

- включаем вторую грань в посредник - горизонтально проецирующую плоскость , для получения  - продолжили  до пересечения с горизонтальным абрисом полусферы;

- в сечении полусферы плоскостью  получено полуокружность  у которой горизонтальный диаметр А5, а вертикальный радиус (половина диаметра) ;

- фронтальная проекция , которая является проекцией полуокружности, которая проецируется в виде полуэллипса, у которого малая ось  - проекция диаметра А5, а большая полуось  - проекция сопряженной половины диаметра , который перпендикулярен к , по оси  и полуоси  строится 

- профильная проекция  строится по профильным проекциям и  - получаем  половину эллипса, в который спроецировалась полуокружность ;

- боковые ребра призмы, которые проведены из вершин 1 и 2, пересекаясь с полным сечением  выделяют натуральную часть второй ветки линии пересечения поверхностей, которая проходит от точки А (где пересекается ребро с точкой 1 с дугой ), по дуге  к точки В (где пересекается ребро с точкой 2 с дугой  которая сливается с точкой пересечения этого ребра и с дугой ).

Третья грань, которая проходит через вершины 1 и 3, расположена зеркально второй грани относительно вертикальной оси, то и третья ветка  линии пересечения поверхностей будет иметь отзеркаленное изображение ветки . Профильная проекция  сливается с , а фронтальная проекция  пройдет от  до . 

- фронтальный абрис полусферы несет точки на поле , которые меняют знак видимости линии пересечения поверхностей. 

На поле  горизонтальный диаметр изображения полушария разделяет полушарие на видимую её часть на поле  (это та, которая расположена ниже горизонтального диаметра полусферы) и невидимую. Характерные точки линии пересечения поверхности на фронтальном абрисе определяются на поле  - где горизонтальная проекция фронтального абрису (горизонтальный диаметр) пересекается со следом  - получаем , а её фронтальная проекция , с её симметричной на . От точки  (ближайшей от образца, видимой), до точки  дуга эллипса  - видимая, а также её симметричная часть дуги  тоже видимая часть линии пересечения поверхности. 

Вся другая часть ЛППо на поле  от точки  по  до точки  и дальше, по  до точки  и от нее по д о точки на фронтальном абрисе - невидимая, что и показано на рис. 13-4.

В этом примере рассмотрено пересечения поверхности призмы и полусферы. При их внешнем взаимном расположении пространство возможно разделить на внешнее - по поверхностям, и внутреннее - внутри поверхностей. Это имеет место при построении, например, вентиляционных вытяжных магистралей и другое.

А вот когда рассматривается строение детали - её внешняя форма и внутренняя, образованная поверхностями с взаимно-внутренним расположением  - если пространство между этими поверхностями "заполнить" материалом, то будут образованы стенки детали, то такие поверхности имеют "внутреннее" взаимное расположение и будут определять толщину стенок детали. 

Рассмотрим модель, которая образована полушарием с трехгранным сквозным отверстием (рис. 13-5). То есть, в этом примере рассмотрим полушарие (внешняя форма которой образована поверхностью полусферы "соединенной" снизу с кругом), в котором вырезано сквозное отверстие призматической поверхностью (внутренняя форма образована поверхностью призмы трехгранной прямой). Поверхности полусферы и призмы имеют "внутреннее" взаимное расположение, но их линия пересечения строится так же, как и в предыдущем случае (в котором полусфера и призма имеют "внешнее" расположение).

В этом примере необходимо построить линию пересечения поверхностей, образованную на "выходе" прямой трехгранной призмы из полушария. Последовательность решения и содержание построения линии пересечения поверхности аналогична рассмотренной методике в предыдущем примере, но считая то, что в этом примере имеем модель приближенную к строению детали, поэтому внутреннюю форму её показываем на соответствующих разрезах, в том числе: на половине простого вертикального фронтального разреза (выполненного плоскостью А-А, проведенной по самой широкой части призматического вертикального отверстия модели), совмещенного с половиной вида спереди; и на простом вертикальном профильном разрезе, что и показано на рис. 13-5. Выполнение примененных изображений модели приведены в теме 14.

Пересечение произвольных кривых поверхностей, одна из которых проецирующая

Рассматривается пример, в котором выполняется построение линии пересечения поверхностей, одна из которых круговая цилиндрическая, а вторая криволинейная произвольная поверхность (рис.13-6)

Анализ условия примера и выбор хода его решения 

Согласно со свойствами проецирующей цилиндрической поверхности, которая перпендикулярна к плоскости проекций , горизонтальная проекция линии пересечения поверхностей сливается с проекцией цилиндра на  и задача по построению фронтальной проекции линии пересечения поверхности будет выполнена с применением общей методики, и учитывая принцип принадлежности точек линии пересечения поверхностей к цилиндрической поверхности. Вторая поверхность, половина сферы, в её сечении могут быть получены фигуры, очерченные дугами окружностей и прямыми линиями. Это дает возможность применения посредников-плоскостей частного положения, цилиндр и половина сферы своими основаниями совпадают с , решение примера простейшее при применении посредников-фронтальных плоскостей уровня (параллельных ).

Применив посредники - фронтальные плоскости, получаем в сечении цилиндра прямоугольники, а в сечении половины сферы - половины окружностей. 

Решение задачи:

Построение характерных точек линии пересечения поверхностей 

Посредники-плоскости Р фронтальные, применяются для построения характерных точек.

Плоскость Р проведена через фронтальные абрисы цилиндра и в сечении получаем прямоугольник (фронтальный абрис цилиндра), одновременно плоскость Р в сечении половины сферы образует полуокружности радиуса . Полученные при взаимном пересечении прямоугольника и полуокружности точки В и  - характерные точки линии пересечения поверхностей, которые при построении проекции линии пересечения поверхностей на поле  меняют её видимость.

Плоскость  дает возможность построить характерные точки Е и  которые принадлежат фронтальному абрису полусферы.

Плоскости  и , касательные к основанию цилиндра, дают возможность построить точки А и С, которые принадлежат профильному абрису цилиндра. 

Построение промежуточных точек линии пересечения поверхностей 

Для построения промежуточных точек применяются посредники-плоскости Т, параллельные между собой и параллельные , относительное расположение которых обеспечивает равномерность плотности точечного каркаса линии пересечения поверхностей.

При построении промежуточных точек, посредники-плоскости Т и  проводим между характерными точками С и , чем обеспечивается плотность ветки  Для построения промежуточных точек между характерными  применяются плоскости  и   горизонтальные следы  и , проведенные параллельно оси  и расположены межу  и .

Например, плоскость  в сечении цилиндра образует прямоугольник (рис. 13-7), а в сечении полусферы - образуется полуокружность , радиус которой . При взаимном пересечении прямоугольника  и полуокружности , получаем промежуточные точки  и . Аналогично определяются промежуточные точки линии пересечения поверхностей при помощи плоскостей Т,  и построение которых приведено на рис. 13-6.

- Характерные и промежуточные точки линии пересечения поверхностей постепенно соединяем между собой по принадлежности их к соседним образующим. Видимость линии пересечения поверхностей на поле  определяется с учетом того, что на поле   плоскость Р своим следом  разделила цилиндрическую поверхность на видимую на поле  (эта половина на поле  расположена ниже  и точки её половины имеют большие координаты глубины относительно расположенных сверху ). Отсюда: часть линии пересечения поверхности от точки  до , до  и дальше до  и до  - видимая часть фронтальной проекции линии пересечения поверхностей, а её часть - невидимая, образованная проекциями точек, расположенных на невидимой стороне цилиндра. 

- На поле  к точкам  и  проходят видимые части фронтальных абрисных образующих цилиндра. 

Пересечение кривых поверхностей

Преимущественно рассматриваются такие задачи, в которых плоскость частного положения в сечении двух кривых поверхностей образует фигуры, очерченные дугами окружностей или прямыми линиями.

Рассмотрим пример построения линии пересечения двух поверхностей, одна из которых поверхность прямого кругового конуса, а вторая поверхность - поверхность полусферы. Основы этих поверхность расположены на плоскости проекций  (рис. 13-8).

Анализ условия примера и выбор хода его решения. 

В сечении плоскостью, проведенной через вершину прямого кругового конуса, получается фигура (треугольник), очерченная прямыми линиями (две из которых - образующие). В сечении полусферы любой плоскостью получается дуга окружности (целая окружность или дуга окружности, замкнутая своей наибольшей хордой). Решение примера возможно с применением посредников-плоскостей частного положения (это плоскость уровня, или плоскость проецирующая). Когда плоскость проецирующая проведена через вершину конуса, получаем треугольник , а в сечении полусферы получаем дугу окружности , при пересечении  и - получаем общие точки, которые принадлежать линии пересечения поверхностей конуса и полусферы. Промежуточные точки линии пересечения поверхностей можно получить при применении посредника-плоскости уровня, параллельной плоскости . Такая горизонтальная плоскость в сечении поверхности прямого кругового конуса образует окружность , а в сечении полусферы получим окружность  - при пересечении  и  - получим общие точки принадлежащие линии пересечения поверхностей. 

Решение задачи:

Построение характерных точек линии пересечения поверхностей 

Построение самых низких точек линии пересечения поверхностей - посредником-плоскостью - плоскость , "пересекая" поверхность конуса по его основанию, - в сечении - окружность основания конуса, Р - "пересекая" полусферу по её основанию в сечении - окружность основания полусферы". При пересечении горизонтальных проекций окружности основания конуса и окружности основания полусферы - получаем горизонтальные проекции  и  характерных точек линии пересечения поверхностей. 

Определение самой высокой характерной точки линии пересечения поверхности, принадлежащей образующей конуса ближайшей к наивысшей точки полусферы. Эта наивысшая точка линии пересечения поверхности расположена в горизонтально проецирующей плоскости , которая проведена через линии вершин поверхностей. Плоскость  пересекает поверхность конуса по треугольнику со стороной , а также  пересекает полусферы по полуокружности, радиус которой равен . Треугольник и полуокружности принадлежат , их горизонтальная проекция сливается со следом-проекцией . Через вершину  конуса проведем ось , перпендикулярную плоскости . Плоскость , вместе с полученными сечениями поверхностей (треугольником и полуокружностью) вращаем вокруг оси  до фронтального положения , при этом фронтальная проекция треугольника сечения сливается с треугольником - фронтальной проекцией конуса, а фронтальная проекция полуокружности-сечения в повернутом положении, пересекаясь с , образует точку , с которого горизонтальным перенесением получаем - фронтальную проекцию самой высокой точки линии пересечения поверхностей. Горизонтальная проекция  получается при помощи вертикальной линии связи, проведенной с  до пересечения с . 

Построение промежуточных точек линии пересечения поверхностей 

Через вершину конуса  (через ось проведем произвольную горизонтально проецирующую плоскость , которая пересекает одновременно конус и получим в сечении треугольник  с боковой стороной , а также плоскость Т одновременно пересекается полусферу и в сечении её образуется полуокружность , радиус которого  и наибольшей их хордой 5.6 (рис. 13-9). Полученные треугольник сечения и полуокружность сечения принадлежат плоскости-посреднику Т, горизонтальные проекции треугольника  и полуокружности  сливаются со следом-проекцией .

Для получения натуральной величины чертежа фигур сечения заданных поверхностей, полученных в плоскости Т, применяют метод вращения.

Для этого вокруг оси  вращаем плоскость Т до её фронтального положения (на поле ,  расположится параллельно оси ). Повернутое положение  содержит , которые слились. Фронтальная проекция  и  - действительный чертеж фигур сечения заданных поверхностей, так как плоскость Т в повернутом положении  - плоскость уровня, параллельная плоскости . На фронтальной проекции  пересекаясь с , получаем точку  и горизонтальным перенесением эту точку переносим на  и получаем точку , которая является фронтальной проекцией промежуточной точки Е, а её  будет на . 

Промежуточные точки линии пересечения поверхностей можно получить с применением посредником - плоскостей уровня. На рис. 13-10 показано, как при помощи горизонтальной плоскости  плоскость  пересекается конус по окружности  и сферу по окружности . На поле : , а на поле   и  изображены в натуральную величину (которые принадлежат плоскости уровня ). Пересечение  и  образует  и  - горизонтальные проекции промежуточных точек и . Фронтальные проекции  и  находятся при помощи вертикальных линий связи, проведенных с  и  до пересечения со следом-проекцией . 

Соединив построенные горизонтальные проекции характерных и промежуточных точек линии пересечения поверхностей, получаем  горизонтальную проекцию линии пересечения поверхностей. Соединив фронтальные поверхности характерных (начиная с ) точек с промежуточной  и далее с характерной точек (расположенную на фронтальном абрисе конуса, которая изменит видимость линии пересечения поверхностей) и дальше от  до характерной точки  - получаем  фронтальную проекцию линии пересечения поверхностей, что и видно на рис. 13-8.

Задачи типа В, в решении которых применяются посредники-поверхности сферы

К задачам типа В принадлежат задачи на построение линии пересечения поверхностей вращения, оси которых - прямые частного положения. 

Методичка решения задач, в которых оси поверхностей вращения - прямые общего положения, сводится к тому, что условие задачи превращается (например, применением метода замены плоскостей проекции) до положения, когда оси заданных поверхностей займут частного положение, строятся в новом положении объекта задачи характерные и промежуточные точки линии пересечения поверхностей и проекции полученных точек переносим на поля исходного положения заданных поверхностей и с учетом их видимости, - соединяем точки линии пересечения поверхностей, получаем решение задачи. 

Построение линии пересечения соосных поверхностей вращения 

Образование соосных поверхностей вращения и их линии пересечения

В плоскости  возьмем прямую линию  и две произвольные линии  и  (рис. 13-11). Принимаем прямую  за ось вращения плоскости , вместе с  и  начнем вращать вокруг оси  . При этом линии  и , при их вращении, образуют поверхности вращения соответственно  и  с общей осью . Линии  и  в этом примере строят образующими этих поверхностей. 

Если образующие  и  пересекаются между собой, образуется в пересечении точка К. Принимая во внимание то, что произвольная точка, вращаясь вокруг оси, описывает траекторию в виде окружности, расположенной в плоскости, перпендикулярной к оси вращения, то в данном примере (рис. 13-12), там где  пересекается с  - образуется точка К, которая при вращении вокруг оси описывается траекторию в виде окружности , радиус которой равен ОК - расстоянию от точки К до оси . Окружности  принадлежит плоскости , расположенной перпендикулярно к оси вращения . Учитывая, что точка К общая для  и , то при их вращении - образованная окружность , диаметр которого  - общая для поверхностей  и , значит  - линия пересечения поверхностей  и .

В случае, когда плоскость  (рис. 13-11 и рис. 13-12) сливается или параллельна плоскости проекций , то ось  на эту плоскость проекций проецируется в натуральную величину , плоскость  проецируется своим следом-проекцией , а линия пересечения поверхностей - окружность  проецируется в виде отрезка , в который проецируется окружность  на плоскость проекций . 

Проекция  и образующих на проекциях  и  поверхностей, а также полученные проекции  и  образованных образующих, являются двумя парами абрисных проекций  и полученных поверхностей.

Если образующие   и  между собой не пересекаются, то образованные поверхности  и  - не пересекаются между собой, в таком случае имеем пример внутреннего расположения одной поверхности в середине другой поверхности. 

Алгоритм построения линии пересечения поверхностей:

если:  и 

для построения ЛППо:

Выводы:

- линия пересечения соосных поверхностей вращения - окружность или несколько окружностей, количество которых равно количеству точек пересечения абрисных этих поверхностей;

- а если абрисные поверхностей не пересекаются между собой, то такие две поверхности не имеют линии взаимного пересечения;

- радиус окружности линии пересечения поверхностей равно расстоянию от точки пересечения абрисных пересекающихся поверхностей до их общей оси вращения;

- когда общая ось вращения параллельна некоторой плоскости проекций, то полученные окружности линии пересечения поверхностей проецируются на эту плоскость проекций в виде отрезка прямой, расположенной перпендикулярно к проекции спиральной оси, а размер этого отрезка определяется расстоянием между точками пересечения проекций двух пар абрисных поверхностей на плоскости проекций, которая рассматривается.

Ниже рассмотрим частные случае построения линии пересечения поверхностей, которые применяются при решении задачи типа В. 

Образования и построение линии пересечения соосных поверхностей цилиндра и сферы 

Рассматриваем модели образования линии пересечения поверхности прямого кругового цилиндра и сферы в следующих примерах.

Возьмем часть цилиндрической трубы с теоретически тонкой стенкой, которая по краям срезана плоскостью, перпендикулярно к оси вращения кругового цилиндра - труби, и поставим её на горизонтальную плоскость. Возьмем сферы, диаметр которой равен диаметру цилиндра и эту сферу погрузим внутрь цилиндра (рис. 13-13, а). Сфера под действием условной силы веса опустится до касания с горизонтальной плоскостью. При этом сфера будет касаться к цилиндрической поверхности по окружности , диаметр которой равен отрезку , точки А и  расположены на абрисных образующих цилиндрах. Фронтальная проекция образованной модели приведена на рис. 13-13, а. В модели поверхность цилиндра образована прямой  (параллельной оси ), а поверхность сферы образована линией , которая имеет форму полуокружности, наибольшая хорда которой совпала с осью . То есть имеем две соосные поверхности вращения, одна пара абрисных этих поверхностей в своем пересечении (касании) образует точку А, которая, вращаясь вокруг оси , образует окружность , расположенное в плоскости То есть, если: прямые  и  и полуокружности   то: 

окружность 

на П2: 

Если возьмем ту же цилиндрическую поверхность и другую сферу, диаметр которой больше диаметра цилиндра. Поставим сферу на верхний срез цилиндрической поверхности. В образованной модели сфера займет положение, в котором центр сферы совпадает с общей осью  (стойкое положение сферы), а сама сфера займет касательное положение к цилиндру по окружности  верхнего среза цилиндрической поверхности (рис. 13-13 б) и

Если на сферу "легонько нажать" в вертикальном направлении, то тоненькая стенка цилиндра разрежет поверхность сферы по окружности  (по которой сфера опиралась на цилиндр) и дальше поверхность цилиндра "войдет" в середину сферы (при этом центр С сферы перемещается по оси цилиндра) и достигнет положения, когда срез цилиндра коснется к поверхности сферы с середины по окружности расположенной в плоскости , которая параллельная плоскости и перпендикулярна оси  (рис. 13-13, в). Полученная модель, на которой поверхность прямого кругового цилиндра пересекается с поверхностью сферы, оси вращения этих поверхностей совпали между собой. На этой модели видно, что линия пересечения этих поверхностей распалась на две части, каждая из которых - окружность  и окружность , одинаковые между собой. 

Проследим за построением каждой части линии пересечения поверхности. Фронтальная проекция (рис. 13-13, в) образующей  цилиндра пересекается дважды с фронтальной проекцией образующей , при этом образовались две точки  и  пересечения образующих и . Учитывая то, что точки  и на одинаковом расстоянии от общей оси , то окружности  и  образованы при вращении точек  и вокруг оси . Когда окружности  и  расположены соответственно в плоскости и , которые перпендикулярны оси .

Фронтальная проекция окружности  - отрезок прямой, который начинается с точки , располагается перпендикулярно общей оси   и заканчивается в точке пересечения противоположной пары абрисных поверхностей. Аналогичное построение проекции окружности , что отображено на рис. 13-13, г. 

Образование и построение линии пересечения соосных поверхностей конуса и сферы 

Рассмотрим модели образования линии пересечения поверхности прямого кругового конуса с поверхностью сферы. 

Взяв боковую поверхность прямого кругового конуса (без основания), расположим вниз вершиной и в середину её (как в бумажный кулёк) вкинем сферу. Образованная модель показана на рис. 13-14, а, на которой видно, что поверхность сферы стыкается с поверхностей конуса по окружности, а центр сферы расположится на оси конуса как равноудаленная точка сферы. В данном случает абрисная  пересекается с абрисной , в пересечении получается точка В, которая, вращаясь вокруг оси , образует окружность  касания поверхности сферы к поверхности конуса. Окружность  расположена в плоскости , которая перпендикулярна к оси , а точка пересечения плоскости  с осью  - центр О окружности . Учитывая то, что на рис. 13-14, а, ось  параллельна плоскости проекций , то проекция окружности  на  изображена в виде отрезка прямой, который сливается со следом-проекцией  и этот отрезок проходит от точки  (в которой пересекается пара абрисных ) до точки  (в которой пересекаются противоположная пара абрисных ). 

На рис. 13-14, б, приведена модель, где прямая  пересекается с прямой , а линия  - полуокружности своей наибольшей хордой сливается с прямой , которая принимается за ось вращения. Прямая  пересекается с линией-полуокружностью  в одной точке А. 

При вращении  и  вокруг оси , получаем:

на :

Полученная линия пересечения поверхностей - окружность  на поле  имеет свою проекцию в виде отрезка , где  и  - точки пересечения абрисов. 

На рис. 13-14, в, приведена модель, которая отличается от предыдущей тем, что прямая пересекается с линией-полуокружностью  в двух точка А и В, то на поле  получаем:

Полученная линия пересечения двух соосных поверхностей конуса и сферы распалась на две линии пересечения поверхностей - одна часть - окружность , и вторая часть - окружность , которые между собой параллельны и перпендикулярны общей оси . 

Количество частей линии пересечения поверхности равно количеству точек пересечения абрисных соосных поверхностей вращения.

На рис. 13-14, г, показано проекции соосных поверхностей вращения конуса прямого кругового и сферы. На той плоскости проекций, относительной которой общая ось  параллельная -  линия пересечения поверхности имеет свое изображение в виде отрезков прямых и проходит от  и точек пересечения одной пары абрисных поверхности, которые рассматривается до точек  и  - точек пересечения противоположной пары абрисных. На плоскости проекций, относительно которой общая ось  перпендикулярна - проекция линия пересечения поверхности строится по её принадлежности к одной из поверхностей (в виде окружности или двух окружностей). 

Построение линии пересечения поверхностей вращения, оси которых - прямые частного положения

Такие задачи делятся на две группы:

- первая группа: пересекаются поверхности вращения, оси которых пересекаются между собой.

- вторая группа: пересекаются поверхности вращения, оси которых скрещивающиеся прямые.

Решение всех задач рекомендуется выполнять преимущественно при помощи посредников-сфер, комбинирующих в отдельных случаях с посредниками-плоскостями частного положения. 

Для решения задач первой группы принимаются посредники-концентрические сферы, за центр которых принимается точка, в которой пересекаются оси поверхностей.

Для решения задач второй группы применяются вспомогательные осевые плоскости и посредники с мигающим центром (со сменным его положением). 

При применении сферы-посредника выполняется построение линии пересечения соосных поверхностей одной пары, которая образована сферой и первой из заданных поверхностей, а потом выполняется построение линии пересечения второй пары соосных поверхностей, которая образована сферой и второй заданной поверхностью. Далее, строятся точки пересечения построенных линий пересечения поверхностей первой и второй пар соосных поверхностей. Полученные точки принадлежат линии пересечения заданных двух поверхностей.

Построение характерных точек может быть выполнено: при помощи посредника - плоскости частного положения, которая в сечении поверхностей образует абрисы пересекающихся поверхностей или при помощи посредника-сферы вписанной в одну из заданных поверхностей так, чтобы в общем случае вписанная сфера имела касание к поверхности (по одной окружности), а с другой поверхностью сфера-посредник имела линию пересечения поверхности составленную из одной или двух окружностей.

Построение промежуточных точек выполняется при помощи посредников сфер. Радиус концентрических сфер выбирают в пределах больше расстояния от центра сферы до ближайшей характерной точки линии пересечения поверхностей, но меньше расстояния от центра сферы до самой дальней характерной точки. Радиус сфер с мигающим центром равно расстоянию от построенного центра до точки пересечения сферы с абрисом поверхности (п. 13.3.2.3.)

Пример решения задачи первой группы, в которой пересекаются поверхности вращения с пересекающимися осями 

Рассмотрим построение линии пересечении поверхности прямого кругового цилиндра (рис. 13-15) с поверхностью прямого кругового конуса.

Анализ условия задачи и выбор её решения. 

Пересекающиеся поверхности расположены в пространстве так, что их оси вращения пересекаются между собой (под прямым углом), ось  конуса перпендикулярна к плоскости проекций , а ось  цилиндра перпендикулярна к . Плоскость симметрии рассматриваемой модели образована осями  - осевая плоскость параллельна плоскости проекций . Данный пример относится к задачам первой группы. Решение примера необходимо выполнять с применением посредников - концентрических сфер, центром которых будет точка О, в которой пересекаются оси  и  и с применением посредника-плоскости 

Решение задачи

Построение характерных точек линии пересечения поверхности 

Плоскость  пересекает конус и цилиндр соответственно по треугольнику и прямоугольнику фронтальных абрисов заданных поверхностей. Пересечение между собой полученных треугольника и прямоугольника на поле  образует фронтальные проекции характерных точек  и ,  и  принадлежащих фронтальной проекции искомой линии пересечения поверхностей. 

Применив посредник-поверхность сферы с центром в точке О радиусом , который равен радиусу окружности основания цилиндра - получили модель, которая состоит из трех поверхностей. Образованной из двух пар соосных поверхностей, которые пересекаются с общей сферой. Первая пара, которая состоит из соосных поверхностей сферы и цилиндра (как на рис. 13-13, а), эти две поверхности пересекаются по окружности, которая на отображена её проекцией ). Вторая пара, которая состоит из соосных поверхностей той же сферы и конуса (как на рис. 13-14, г), которые пересекаются по окружности , то окружности (их проекции на ). Пересечение на поле  (линия пересечения поверхностей первой пары) с  и  (линия пересечения поверхностей второй пары) - получаем соответственно фронтальные проекции общих точек  и , и и , которые принадлежат фронтальной проекции искомой линии пересечения поверхностей, как показано на рис. 13-16. 

Построение промежуточных точек линии пересечения поверхностей

Построение выполняем при помощи посредника-сферы радиуса  (он больше ОВ и меньше ОА). Эта сфера пересекается с поверхностью цилиндра по  и на  и , а с поверхностью конуса по ; и на  (методика построения на рис. 13-16). Для построения фронтальных проекций промежуточных точек линии пересечения поверхностей.

Решается это построение на поле :

Горизонтальные проекции характерных и промежуточных точек строятся по принадлежности их к поверхности конуса.

Соединив фронтальные проекции построенных характерных и промежуточных точек, получим фронтальную проекцию двух веток, на которые распалась линии пересечения поверхностей, это проекции веток имеют вид гиперболы. Для выразительности формы веток гиперболы на поле  показано построение их воображаемых точек  (зоны реально заданных поверхностей) и  (зоны из продолжения). Построение точек  и   выполнено с применением посредников - концентрических сфер, радиус которых соответственно  и , что и выполнено на поле  рис. 13-15. 

Симметричность модели задачи на фронтальной и горизонтальной проекции обеспечивает симметричность проекций линии пересечения поверхностей, на поле  - симметричность относительно вертикальной оси, а на поле  - симметричность горизонтальной проекции линии пересечения поверхностей относительно горизонтальной оси проекции модели, поэтому горизонтальная проекция линии пересечения поверхностей имеет симметричный вид - в виде двух замкнутых пространственных кривых по форме близких к эллипсам (вогнутых по цилиндрической поверхности). 

Линия "входа" и "выхода" конуса в цилиндр имеет вид двух симметричных замкнутых кривых, форма которых зависит от соотношения геометрических размеров заданных конуса и цилиндра и их взаимного расположения. Зная вид проекции линии пересечения поверхностей, упрощается их построение. 

Вывод: если пересекаются две поверхности второго порядка и их оси вращения расположены в одной плоскости их симметрии - параллельной плоскости проекций, то полученная биквадратная линия пересечения заданных поверхностей проецируется на эту плоскость проекций в виде кривой второго порядка. 

Вид линии пересечения поверхностей в задачах первой группы и их проекции

Рассмотрим примеры построения линии пересечения поверхностей, например, прямых круговых цилиндров (рис. 13-17) с их пересекающимися осями и параллельными плоскости проекции . 

Линии пересечения поверхности строим по их характерным точкам. Точки пересечения фронтальных абрисов цилиндров, которые пересекаются (рис. 13-17, а) , , ,  - проекции характерных точек линии пересечения поверхностей. Для построения проекций других характерных точек, которые принадлежат другим парам абрисных образующих применяется посредник-сфера, диаметр которой равен диаметру большего цилиндра. 

Вспомогательная сфера стыкается с большим цилиндром по окружности, проекция которого , а с меньшим цилиндром пересекается по двум окружностям с их проекциями-отрезками  и . Полученные точки , которая принадлежит  и , которая принадлежит , в которых пересекаются проекции построенных окружностей стыкованием и пересечением, являются характерными точками линии пересечения поверхностей и с ними сбегаются вершины веток гиперболы искомой линии пересечения поверхностей. 

Если рассматриваются две цилиндра с одинаковыми диаметрами (рис. 13-17, б), то вспомогательная сфера будет касаться поверхности одного и другого цилиндра по окружностям одинакового диаметра, проекциями которых являются отрезки  и  (при переходе от модели рис. 13-17, а, к модели 13-17, б, отрезок  слился с отрезком , то и точка  слилась с точкой ). При этом ветки гиперболы на проекции слились с её асимптотами. 

А вот при переходе от модели рис. 13-17, б, к модели рис. 13-17, в, увеличивается диаметр горизонтального цилиндра, при этом вершины  и  снова расходятся, только уже в вертикальном направлении (рис. 13-17,в).

Линия пересечения поверхностей, которые рассматриваются, в пространстве имеет форму двух пространство замкнутых кривых линий в виде эллипсов, изогнутых вдоль одной его оси по поверхности цилиндра. 

При взаимном приближении размеров диаметров двух цилиндров (рис. 13-18), вершины веток гиперболы взаимно сближаются, а сами ветки приближаются к их асимптотам и когда диаметры обоих цилиндров сравняются между собой, вершины веток сливаются между собой, а проекции самих веток гиперболы совпадают с их асимптотами. При этом в пространстве пространственные эллипсы линии пересечения поверхностей, выпрямляясь достигают плоского вида (сложенных с половиной противоположных веток) эллипсов, расположенных в плоскостях перпендикулярных к осевой плоскости поверхностей вращения, что пересекаются. 

Выводы:

- Если пересекаются поверхности второго порядка и их оси параллельны одной плоскости проекций и пересекаются между собой, то линия пересечения этих поверхностей на такую плоскость проекций проецируется в виде двух веток гиперболы с вершинами этих веток расположенными на действительной оси гиперболы, которая совпадает с осью вращения поверхности меньшего диаметра.

- Если две поверхности вращения описанные (или вписанные) вокруг третьей поверхности второго порядка (сферы), то такие две поверхности пересекаются по двум плоским кривым второго порядка (по двум эллипсам) расположенных в двух плоскостях, перпендикулярных к третьей плоскости, образованной осями поверхностей вращения, которые пересекаются, - этот вывод известен как теорема Монжа с дополнением автора. 

Пример решения задач второй группы, в которой пересекаются поверхности вращения, оси которых - скрещивающиеся прямые 

Рассмотрим построение линии пересечения поверхности срезанного прямого кругового конуса с поверхностью открытого тора (рис. 13-19).

Анализ условия задачи и выбор её решения. 

Пересекающиеся поверхности расположены в пространстве так, что их оси вращения расположены между собой как скрещивающиеся перпендикулярные прямые, ось связанного конуса перпендикулярна к плоскости проекций , а ось  поверхности четверти тора перпендикулярна к . Данный пример относится к задачам второй группы.

Решение примера рекомендуется выполнять с применением посредников-плоскостей частного положения в сочетании с посредниками-поверхностями сфер с мигающими центрами.

Решение задачи

Построение характерных точек линии пересечения поверхностей

Плоскость  пересекает конус и четверть тора по соответственно равнобедренной трапеции и четверти кольца. Учитывая то, что плоскость , которая слилась с плоскостью симметрии поверхности конуса и четверть тора, расположена параллельно плоскости проекций ппппп2, то на пппп2 трапеция и четверть кольца проецируются в натуральную величину, а их пересечение (пересечение фронтальных абрисов поверхностей, что пересекаются) в точках  и , которые являются фронтальными проекциями характерных точек А и В линии пересечения поверхностей. 

Построение промежуточных точек линии пересечения поверхностей

Построение выполняется с помощью посредников-сфер с мигающим центром. Определение центра сферы-посредника: через ось  тора, которая перпендикулярна к , проводим произвольный посредник-плоскость , расположенную перпендикулярно к . Плоскость Р своим фронтальным следом-проекцией  пересекает поверхность тора по окружности (промежуточной образующей тора) с диаметром, который равен отрезку , который является фронтальной проекцией окружности-сечения. С  - фронтальные проекции центра окружности-сечения проводим перпендикуляр перпендикулярно к . Там, где  пересекается с осью , получаем  - центр-сферы посредника. Полученная модель, образованная тремя поверхностями, - поверхность сферы - общая для первой пары соосных поверхностей (сфера и конус) и для второй пары поверхностей (сфера и тор). Линия пересечения поверхностей первой пары поверхностей - окружность с диаметром  (это его фронтальная проекция). Линия пересечения поверхностей второй пары поверхностей - окружность (ранее полученная) с диаметром  (это его фронтальная проекция). Там, где пересекается линия пересечения поверхностей первой пары с линией пересечения поверхностей второй пары поверхностей - получаем общие точки , которые являются промежуточными точками искомой линии пересечения поверхностей.

Алгоритм построения промежуточных точек ЛППо:

абрис  сферы посредника;

ЛППо первой пары;

ЛППо второй пары;

Аналогично при помощи посредника-плоскости , строим фронтальную проекцию следующей пары промежуточных точек .

Горизонтальные проекции характерных и промежуточных точек линии пересечения поверхностей строятся по признаку принадлежности этих точек по поверхности конуса, применяя вспомогательные окружности - параллели этой поверхности.

Построение фронтальной проекции линии пересечения поверхностей выполняется путем соединения фронтальных проекций характерных и промежуточных точек и соответственно (аналогично) выполняется построение горизонтальной проекции линии пересечения поверхностей, что и показано на рис. 13-19.

Особенность выбора сферы-посредника:

Когда пересекаются поверхность тора (кольца) с поверхностью сферы, то их линия пересечения - окружность, принадлежащая осевой плоскости тора в том случае, если центр сферы расположен на прямой, перпендикулярной к окружности в осевой плоскости и проведенной с центра этого окружности. 

Задачи типа С, в решении которых применяют посредники-плоскости общего положения

В задачах типа С необходимо построить линию пересечения двух поверхностей: двух цилиндров или двух призм, двух конусов или двух пирамид, цилиндра с пирамидой или призмой, конуса с пирамидой или призмой. Преимущественно в этих задачах заданы наклонные поверхности, оси которых произвольно расположены относительно плоскостей проекций, то одна из осей (или направление) была бы прямой общего положения, а основания этих поверхностей расположены в одной из плоскостей проекций или в одной другой плоскости.

Решение таких задач выполняется с применением рекомендаций, изложенных в п.13.1.1., при их выполнении применяют посредники-плоскости общего положения, расположение которых должно обеспечить получение формы сечения поверхностей посредником, очерченного прямыми линиями (что проще всего для построения точек линии пересечения заданных поверхностей).

Общие точки линии пересечения поверхностей и выбор посредников-плоскостей для их построения

Пересечение поверхностей двух наклонных конусов, двух пирамид, или конуса и пирамиды

Самой простой для построения линией пересечения поверхности конуса (пирамиды), которая очерчена прямыми, является пересечение поверхности плоскостью, которая проходит через её вершину. В таком случае, в сечении поверхности конуса (пирамиды) получается треугольник. 

Если рассматриваются пересекающиеся поверхности двух конусов, пирамид или конус и пирамида, то плоскость проведенная через линию вершин конусов (пирамид, или конуса и пирамиды) в направлении поверхностей, одновременно образует два треугольника. 

Методику определения посредника-плоскости общего положения и построения точек линии пересечения поверхностей, покажем на модели, где пересекаются два наклонных конуса, - левый конус и - правый конус, оси которых и - прямые общего положения, а их основания  и  расположены в одной горизонтальной плоскости, плоскости основ - (рис. 13-20). 

Строим посредник-плоскость общего положения Р, для этого:

- соединяем вершину поверхности  с вершиной  поверхности  правого конуса,

- строим точку М - след пересечения линии вершин  с плоскостью оснований конусов,

- с точки М проводим горизонтальный след , который пересекает основания  и  конусов. Линия вершин и выбранный след  образуют посредник-плоскость Р общего положения.

Строим фигуры сечения поверхности  и  плоскостью Р, для этого: 

- определяем точки пересечения следа  с основаниями  и  конусов,

- соединяем полученные точки  с вершиной , получаем треугольник  - сечения поверхности , а соединив точки 3 и 4 с вершиной  получаем треугольник  - сечения поверхности  плоскостью Р;

- строим образующие стороны треугольников, по которых плоскость Р пересекает каждый из конусов, для этого:

= Строят общие точки для поверхностей  и , для этого:

- пересечение треугольников  и , которые принадлежат линии пересечения поверхностей (рис. 13-21), то есть , которые принадлежат линии пересечения поверхностей.

Проведя пучок (веер) плоскостей через линию вершины  и своим горизонтальным следом, проведенным с точки М - построим необходимые точки линии пересечения поверхностей, соответственно соединив которые, получим искомую линию пересечения поверхностей двух конусов. 

Пересечение поверхностей двух наклонных цилиндров, призм или цилиндра и призмы

Простейшей для построения линией пересечения поверхности наклонного цилиндра (призмы), которая очерчена прямыми, является сечение поверхности плоскостью, которая проходит параллельно оси цилиндра. В таком случае в сечении поверхности цилиндра (призмы) будет получено параллелограмм. 

Если рассматриваются соединение пересекающихся поверхностей, двух цилиндров, призм или цилиндра и призмы, то плоскость, проведенная параллельно оси одного цилиндра (боковому ребру одной призмы) и параллельно оси другого цилиндра (боковому ребру другой призмы) в зоне модели, то одновременно будет образовано два параллелограмма соответственно в сечении одной и другой поверхности. Пересечение полученных параллелограммов образует общие точки для одной и другой поверхности и эти точки принадлежат искомой линии пересечения поверхностей.

Методику определения посредника-плоскости общего положения и построения точек ЛППо покажем на модели, где пересекаются на наклонных цилиндра  - поверхность левого цилиндра и  - поверхность правого цилиндра, оси которых соответственно  и  - прямые общего положения, а их основания расположены в одной горизонтальной плоскости, плоскости оснований цилиндров - (рис. 13-22).

= Строят посредник-плоскость общего положения Р, для этого:

- Строится плоскость параллелизма , которая будет одновременно параллельна оси одного цилиндра и оси другого цилиндра. Для этого в произвольном месте пространства выбираем точку К, с которой проводим прямую  параллельно оси  и прямую параллельно оси , то есть пространству; 

- Выбираем вспомогательную секущую плоскость Р, проведенную параллельно плоскости параллелизма , на плоскости оснований след (в зоне оснований поверхностей), который пройдет параллельно , плоскость Р будет задана её следом  и пересекающимся с ним в произвольной точке прямой  параллельной, например, оси  (которая пересекается с  в произвольной точке ), образуется плоскость

= Строим фигуры сечения поверхности  и  плоскостью Р, для этого:

- Определяем точки пересечения следа  с основаниями   и  цилиндров, 

= Строим общие точки для поверхностей  и , для этого:

- пересечение параллелограммов  и , которые принадлежат  и , соответственно, определяет точки , которые принадлежат линии пересечения поверхностей (рис. 13-23), то есть:

Проведя необходимое количество плоскостей, параллельных плоскости параллелизма , горизонтальные следы которых параллельны горизонтальному следу , - построим необходимые точки линии пересечения поверхностей, соответственно соединив которые получим искомую линию пересечения поверхностей двух цилиндров. 

Пересечение поверхностей наклонных конуса, или пирамиды с цилиндром, или с призмой

Простейшей фигурой сечения конуса (пирамиды) - треугольник, а цилиндра (призмы) - параллелограмм (четырехугольник).

Если построим посредник-плоскость общего положения Р, которая в сечении поверхности конуса (пирамиды) дает треугольник, и одновременно в сечении цилиндра (пирамиды) - параллелограмм, и построим точки взаимного пересечения поверхностей. 

Методику определения посредника-плоскости общего положения и построения точек линии пересечения поверхностей покажем на модели, где пересекаются поверхности  и  - поверхности наклонных конуса и цилиндра, оси которых  и  - скрещивающиеся прямые общего положения, а их основания   и  расположены на плоскости (рис. 13-24).

Из вершины  конуса проводим прямую  параллельную оси  цилиндра и определяем на плоскости оснований след М прямой :

= Строим посредник-плоскость общего положения Р, для этого:

Определяем точки пересечения следу  с основаниями  и  поверхностей на плоскости оснований, след  и прямая  образуют посредник-плоскость 

= Строим фигуры сечения поверхности  и  плоскостью Р, для этого:

Определяем точки пересечения следа  с основаниями  и  соответственно цилиндра и конуса:

Соединяем полученные точки 3 и 4 с вершиной  - получаем треугольник  сечения поверхности , а построив образующие из точек 1 и 2 параллельно оси , по которым плоскость Р пересекает цилиндр и получаем параллелограмм  пересечения поверхности , то есть:

= Строят общие точки для поверхностей  и , для этого (на рис. 13-25):

- определяются точки пересечения  и , получаем точки , которые принадлежат линии пересечения поверхностей   и , то есть: 

Проведя пучок плоскостей через прямую , которая проведена из вершины конуса и расположена параллельно оси  цилиндра, - построим необходимые точки линии пересечения поверхностей, соответственно соединив которые, получаем искомую линию пересечения поверхностей цилиндра и конуса. 

Рекомендации по образованию и расположению посредников-плоскостей

При решении задач типа С для построения точек линии пересечения поверхностей используют посредники-плоскости общего положения. Используя такой посредник, главное, чтобы он был так расположен, чтобы сечения поверхностей посредником-плоскостью были наипростейшей формы, удобной для построения.

При пересечении двух поверхностей: двух конусов, двух пирамид, конуса и пирамиды - построение точек их линии пересечения поверхностей строится с применением посредников - веера плоскостей, проведенных через линии вершин пересекающихся поверхностей. Такие плоскости в сечении поверхностей образуют треугольники. 

При пересечении поверхностей: двух цилиндров, двух призм, призмы с цилиндром - построение их линии пересечения поверхностей строится с применением посредников - плоскостей параллельно к плоскости параллелизма, которая образована двумя пересекающимися прямыми, одна из которых параллельна оси одного из цилиндров (или боковому ребру призмы), а вторая прямая параллельна оси второго цилиндра (или боковому ребру второй призмы). Такие плоскости в сечении поверхностей образуют параллелограммы. 

При пересечении поверхностей: конуса или пирамиды с цилиндром или призмой, применяют посредники - пучок плоскостей, которые проходят через прямую, проведенную с вершины конуса (пирамиды) и расположенную параллельно оси цилиндра (боковому ребру призмы). Такие плоскости в сечении поверхностей образуют пары: треугольник-параллелограмм. 

Все точки линии пересечения поверхностей делят на характерные и промежуточные.

Характерными точками на криволинейных поверхностях являются такие, которые принадлежат абрисным образующим фронтальных и горизонтальных проекций поверхностей. Такие точки строят при помощи плоскостей, которые проходят через абрисные образующие, зоны пересечения горизонтальной и фронтальной проекции поверхностей (соответствующие следы этих плоскостей пройдут через следы рассматриваемых абрисных). К характерным точкам относят точки на крайних абрисных поверхности, такие точки строят при помощи граничных посредников-плоскостей, проведенных с двух сторон проекции поверхности, следы этих двух плоскостей касательные к основаниям поверхностей. 

Характерные точки линии пересечения поверхностей многогранных поверхностей определяют при помощи "гранных" плоскостей (которые совпадают с гранями) и плоскостей, которые проходят через ребра многогранников, расположенных в зоне пересечения поверхностей.

Характерные точки линии пересечения поверхностей многогранной поверхности с криволинейной определяют при помощи гранных плоскостей и плоскостей, которые проходят через ребра многогранников и через абрисные криволинейной поверхности, расположенных в зоне пересечения. 

Промежуточные точки линии пересечения поверхностей строят при помощи плоскостей, расположенных между граничными плоскостями, обеспечивая равномерность точечного каркаса линии пересечения поверхностей. 

Определение вида линии пересечения поверхностей

Вид линии пересечения поверхностей определяют при помощи посредников-плоскостей граничных, которые касательные к одной из поверхностей, а вторую пересекают. Граничные плоскости занимают крайние положения среди использованных посредников-плоскостей, а между ними располагают другие вспомогательные плоскости (рис. 13-26).

Граничные плоскости позволяют определить части поверхностей, которые не участвуют в пересечении. Следы граничных плоскостей выделяют на основаниях пересекающих поверхностей зоны непересечения, которые на эпюре целесообразно выделять (штриховкой, цветом). Сектор с углом , образованный граничными следами, выделяет основания образующих, как соответственно пересекаясь, образуют точки, которые принадлежат линии пересечения поверхностей. 

По положению и числу зон непересечения определяют вид линии пересечения поверхностей.

Рассмотрим случаи возможных положений следов граничных плоскостей относительно оснований, которые пересекают поверхность, и расположение образованных зон непересечения поверхностей.

Случай 1. Зоны, в которых поверхности не пересекаются  и располагаются на основаниях разных тел (рис. 13-27).

В этом случае две поверхности не полностью участвуют в образовании ЛППо.

В этом случае две поверхности не полностью участвуют, одна поверхность частично врезается в другую поверхность.

Такой случай пересечения поверхностей называется "врубка".

При взаимном пересечении двух криволинейных поверхностей - линия их пересечения одна замкнутая пространственная кривая четвертого порядка (рис. 13-27, б).

При взаимном пересечении двух гранных поверхностей - линия их пересечения - одна замкнутая пространственная ломанная линия. 

При пересечении гранной поверхности с криволинейной - линия их пересечения будет иметь вид пространственной замкнутой линии, состоящей из дуг кривых второго порядка. 

Случай 2. Зоны непересечения расположены на основании одного тела (рис. 13-28, а). В этом случае одна поверхность пронизывается вторую поверхность. Имеем "вход" одной поверхности во вторую поверхность и её "выход". 

Такой случай пересечения поверхностей называется "проникновение".

При пересечении двух криволинейных поверхностей - линия их пересечения - пространственная кривая четвертого порядка, которая распалась на две пространственные замкнутые линии, которые условно называют "линией выхода" и "линией входа" (рис. 13-28, б)

Случай 3. Зоны непересечения отсутствуют.

Следы каждой граничной плоскости касательные к основаниям обеих поверхностей (рис. 13-29, а).

В этом случае линия пересечения кривая четвертого порядка распадается на две плоские кривые второго порядка с двумя общими точками (рис. 13-29, б).

В случае, когда след граничной плоскости касательный к обеим основаниях поверхностей, то их линия пересечения вырождается в одну точку их взаимного касания. В других случаях - поверхности не пересекаются. 

Пример решения задачи типа С

Применение рекомендованной методики построения линии пересечения поверхностей покажем на примере, в котором поверхность наклонного эллиптического конуса с осью , пересекается с поверхностью наклонного эллиптического цилиндра с осью (рис. 13-30).

Последовательность решения:

- Выбор посредника.

Учитывая то, что оси заданных поверхностей - скрещивающиеся прямые общего положения, то посредников будет плоскость (плоскости) общего положения, которая бы пересекала поверхности по наипростейшим для построения фигурам. Такими фигурами являются треугольник в сечении конуса и параллелограмм в сечении цилиндра. Эти сечения плоскостью Р можно получить, если веер плоскостей-посредников будет проведена через прямую , которая проведена с вершины  конуса и будет расположена параллельно  - оси цилиндра.

- Определение вида линии пересечения поверхностей: для этого через прямую проведем две плоскости Р и  касательные к поверхностям, на эпюре следы этих плоскостей на  (плоскости оснований поверхностей) пройдут через точку М, в которой пересекается вспомогательная прямая  с . С  касательно к основанию конуса пройдет след , а из этой же  касательно к основанию цилиндра пройдет след . Между плоскостями Р и  расположены части поверхностей конуса и цилиндра, которые участвуют во взаимном пересечения и образуют "врубку", как вид пересечения поверхностей, так как зоны непересечения поверхностей расположены на основаниях разных тел. Угол  определяет сектор, в котором располагаются горизонтальные следы плоскостей посредников. 

- Построение характерных точек линии пересечения поверхностей:

Построение выполняется при помощи тех же плоскостей Р и . Так как плоскость  касательная до поверхности конуса по образующей , проведенной на  с точки, в которой  касательная к основанию конуса, а эта же плоскость  пересекает цилиндрическую поверхность по двум образующим, проведенных с точки 3 и 2, в которых пересекает основание цилиндра. Пересечение  с образующими, проведенными с точек 3 и 2, параллельных оси  определяет характерные точки А и В (на  пересекается с горизонтальными проекциями образующих, проведенных с  и ) определяют горизонтальные проекции  и , фронтальные проекции которых определяются по принадлежности к образующей . 

Аналогично строится вторая пара характерных точек, которые строят при помощи плоскости Р. 

- Построение промежуточных точек линии пересечения поверхностей:

Построение выполняется при помощи плоскостей-посредников расположенных в секторе двухгранного угла, образованного плоскостями Р и . При помощи промежуточных плоскостей сектора, например, плоскость , по общей методике строится промежуточная точка С и еще одна (не определенная). 

- Построение линии пересечения поверхностей (её проекций):

На горизонтальной и фронтальной проекции поверхностей соединяем одноименные проекции характерных и промежуточных точек линии пересечения поверхностей и определяется с учетом того, что:

Видимые точки находятся только в пересечении видимых образующих. Если хотя бы одна из пересекающихся образующих невидимая, то и точка пересечения образующих невидимая. 

Последовательно соединяют точки только те, что лежат на соседних образующих, которые участвовали в построении. Рекомендуется рассматривать последовательность соединения проекций точек способом одновременного "обхода" определенных образующих по проекциям оснований конуса и цилиндра, для удобства применять одинаковые "цифровые обозначения". Учитывать то, что точки на видимых абрисах поверхностей меняют знак видимости линии пересечения поверхностей. Видимость самих абрисных может быть определена с учетом "конкурирующих" точек на абрисных, учитывая, что к видимых точкам приходят видимые ветки соответствующих проекций линий пересечения поверхностей.

При этом: точки на обоих основаниях поверхностей принадлежат следу одной вспомогательной плоскости, обозначают одинаковыми цифрами и такой же цифрой обозначают точку пересечения образующих поверхностей, проведенных из точек оснований, которые имеют одинаковые обозначения. 

Изображение на чертеже модели

Предоставляется сокращенная информация об изображении, рекомендованная , которая необходима для обеспечения применения теоретической знаний начертательной геометрии при практическом выполнении машиностроительных чертежей предмета.

Для воспроизведения формы - строения предмета (детали, выбора и другое) применяют разные по содержанию изображения, такие как:

- виды;

- разрезы;

- сечения.

Изображения строятся методом прямоугольного параллельного проецирования на основные плоскости проекции, за которые принимаются грани куба, или на удобные дополнительные плоскости.

Виды

Виды предназначены для воспроизведения формы предмета, обращенной к образцу. 

Применяют следующие виды:

- основные виды, которых может быть шесть (рис. 14-1, а):

1 - вид спереди, он главный, полученный проецированием на фронтальную плоскость проекции и совмещенный с плоскостью чертежа. По содержанию этот вид должен быть наиболее информативным о внешней форме предмета;

2 - вид сверху;

3 - вид слева;

4 - вид справа;

5 - вид снизу;

6 - вид сзади;

- дополнительные виды;

- местные виды.

Места взаимного расположения основных видов относительно главного вида показано на рис. 14-1, б.

Вид сверху и вид снизу относительно главного вида располагают на общих вертикальных линиях связи, а виды справа, спереди, слева и сзади - располагают на общих воображаемых горизонтальных линиях связи, то есть в проекционной связи между собой. 

При таком взаимном расположении основных видов никакие надписи над их изображением не выполняются, а когда той или иной вид смещается в другое место чертежа, это сопровождается указанием направлением проецирования стрелкой и буквенным его обозначениям преимущественно возле главного вида, а над самым изображением, полученным в указанном направлении проецирования, пишут сверху буквенное обозначение этого направления вида.

При выполнении дополнительного вида для его получение применяют вспомогательную плоскость проекций, расположенную параллельно той части поверхности предмета, которая не параллельна ни одной грани куба, принятой за основные плоскости проекций. 

Разрезы

Разрезы предназначены для воспроизведения внутренней формы предмета, условно пересеченного плоскостью (или плоскостями). На разрезе показывают то, что получено в секущей плоскости и то, что видно за ней. При этом часть предмета расположена между наблюдателем и секущей плоскостью - условно убирается, а проецируется оставшаяся часть предмета и изображение будет образовано тем, что лежит в секущей плоскости (заштриховано в зависимости от материала предмета) и тем, что расположено и видно за ней.

Разрезы делят в зависимости от положения секущей плоскости относительно горизонтальной плоскости проекций на:

- горизонтальные (рис. 14-2, а, б);

- вертикальные - фронтальные (рис. 14-3, а, б) или профильные;

- наклонные; 

- местные.

В зависимости от количества участков секущей плоскости, разрезы делят на:

- простые - выполненные при помощи одного участка секущей плоскости;

- сложные - выполнены при помощи нескольких участков секущей плоскости и делят на ступенчатые и ломанные.

Особенности выполнения разрезов

Если секущая плоскость совпадает с плоскостью симметрии детали, то расположение вспомогательной секущей плоскости не указывают (это в случае, когда та часть детали, которую условно убирают, симметрична той части, которую проецируют (рис. 14-4), а во всех других случаях указывают расположение секущей плоскости путем воспроизведения её следа-проекции при помощи знака, образованного штрихами разомкнутой линии со стрелками, которые указывают направление проецирования и буквенного обозначения этой плоскости (рис. 14-5, а) над изображением полученного разреза пишут надпись, составленную из принятого обозначения плоскости (рис. 14-5, б).

Если содержание разреза симметричный относительно его оси симметрии, то рекомендовано выполнять половину разреза, совместив его с соответствующей половиной вида, расположив половину разреза справа от оси симметрии (или снизу от нее), а слева располагается половина соответствующего вида разделенных между собой штрих-пунктирной линией оси симметрии.

Если с осью симметрии совпадает линия контура на виде, то воспроизводится большая часть вида (достаточная для изображения этой линии контура), соединенная с меньшей частью соответствующего разреза и эти части изображений разделяют сплошной тонкой волнистой линией (рис. 14-6, а), а если с осью симметрии совпадает линия контура на разрезе, то воспроизводят большую часть разреза, соединенную с меньшей частью вида и эти части разделяются сплошной тонкой волнистой линией (рис. 14-6, б).

Изображение чертежей моделей с одним горизонтальным отверстием (одинарное проникновение)

Геометрическая модель рассматривается, как условная деталь упрощенной формы. Воспроизведение формы модели приближает к выполнению изображений формы деталей, которая образована преимущественно поверхностями простых геометрических тел. Главным действием в построении изображений детали является воспроизведение сопряжения формообразующих поверхностей, которое выполняется по их линиям пересечения. Учитывая то, что построение деталей образуется её стенками с рабочими и нерабочими поверхностями. Сами стенки образуются внешней и внутренней поверхностями детали, пространство между которыми "заполнен" материалом, из которого изготовлена деталь. Таким образом, необходимо построить линии перехода (пересечения) между поверхностью внешней формы и поверхностью внутренней формы, которая расположена внутри поверхности внешней формы. Если внутренняя форма образована двумя поверхностями или тремя, то строится линия перехода между поверхностями, которые образуют внутреннюю форму, такие поверхности имеют взаимное внешнее расположение.

В нижеприведенных примерах рассматривается построение изображений наипростейших моделей, формообразования которых выполнено разными (наиболее простыми) внешними поверхностями и одинаковой поверхностью внутренней формы, которой является трехгранная прямая призма с её боковыми ребрами фронтально-проецирующего направления.

Форма моделей освещается на трех изображениях, для выполнения которых строятся проекции (горизонтальная и фронтальная), для более полного освещения формы модели в дальнейшем и профильную) абрисов поверхностей внешней и внутренней поверхностей. Строится линия "выхода" ("входа") внутренней (призматической) поверхности относительно внешней поверхности (строится линия пересечения двух поверхностей с внутренним расположением одной относительно другой). Выполняются необходимые разрезы модели, которые соединяются с соответствующими видами.

Развертка поверхности внешней формы выполняется одним из существующих методов, а показ выреза, образованного линией пересечения поверхностей, строится по координатным размерам его характерных точек. 

Модель призматическая

На рис. 14-7 приведено модель, внешняя форма которой образована четырехгранной прямой призмой с горизонтально-проецирующей боковой поверхностью (вертикальная призма), а внутренняя форма образована боковой фронтально-проецирующей поверхностью трехгранной призмы (горизонтальная призма).

Освещение формы заданной модели выполняется решением этапов:

1. Построение изображений (видов) абрисов формообразующих поверхностей, которые используются с применением соответствующих линий связи.

2. Выполнение внешней задачи, связанной с построением линии пересечения вертикальной и горизонтальной поверхностей. Построение выполняется при помощи метода полных пересечений с применением вспомогательных секущих плоскостей-посредников.

Для грани ВС, применяя метод полных сечений, получим:

- - плоскость полного сечения;

- форма полученного полного сечения вертикальной призмы - четырехугольник ; 

- профильная проекция полного сечения - , а горизонтальная проекция -  (которая сливается с горизонтальной проекцией боковой проецирующей поверхности);

- натуральная часть полного сечения расположена между точка В и С (профильная проекция которой  и горизонтальная , и их симметричные части между точками  и ). 

Для грани АВ натуральная часть сечения симметрична натуральной части грани ВС. 

Для грани АС натуральная часть  и ей симметричная часть .

В совокупности натуральных частей всех "входов" и "выходов" трех граней горизонтальной призмы получается линия пересечения поверхностей, которая имеет вид пространственной ломанной линии и состоит из двух замкнутых ломанных -  и .

3. Для осветления внутренней формы модели выполняем половину горизонтального разреза плоскостью А, соединенного с половиной вида сверху, а также выполняется половина простого вертикального профильного разреза, соединенного с половиной вида слева.

На рис. 14-8 показана развертка поверхности внешней формы (развертка вертикальной призмы) с нанесением линии "выхода" и "входа" горизонтального отверстия. Построение развертки выполнено методом совмещения, а нанесение линии пересечения поверхностей выполнено при помощи координатных размеров  и  для построения точки А и симметричной ей точки С и точки 5, а также размера  для построения точки В.

Для более выразительного осветления внешней и внутренней формы их поверхности показано разноцветными. 

Модель пирамидальная

На рис. 14-9 приведено модель, внешняя форма которой образована четырехгранной прямой срезанной пирамидой, а внутренняя форма образована боковой фронтально-проецирующей поверхностей трехгранной призмы.

Освещение формы заданной модели выполняется решением этапов:

1. Достройка изображений (видов) абрисов поверхностей, которые образовали модель.

2. Решение внешней задачи - построение линии пересечения поверхностей методом полных сечений, применяя который:

 Для грани ВС получим:

-  - плоскость полного сечения;

- полное сечение - четырехугольник ;

- проекции сечения - на  -  и на  - ;

- натуральная часть полного сечения, которая касается грани ВС - от точки В до точки С (линия ВС) и с противоположной стороны от точки  до точки  (линия ).

Для грани АВ - натуральная часть сечения симметрична натуральной части грани ВС.

Для грани АВ - натуральная часть  и ей симметричная часть . 

Совокупность натуральных частей всех трех граней призмы (их "вход" и "выход" относительно поверхности пирамиды) получим линию пересечения поверхностей модели, которая имеет вид ломанной линии и она состоит из двух замкнутых ломанных  и . 

3. Воспроизведение внутренней и внешней формы модели освещается видом спереди, половиной горизонтального разреза, выполненного плоскостью А, совмещенным с половиной вида сверху, и половиной профильного разреза, совмещенного с половиной вида слева. Выразительность воспроизведения поверхностей на изображениях показана их разноцветностью.

На рис. 14-10 приведена развертка поверхности внешней формы и нанесено линию пересечения поверхностей пирамиды и призмы. Построение развертки выполнено методом треугольников, а нанесение линии пересечение поверхностей выполнено по размерам  и  для точки А и ей симметричной точки С, а также по размеру  построена точка В и им симметрично расположенных точек. 

Модель цилиндрическая

На рис. 14-11 приведена модель, внешняя форма которой образована поверхностью прямого кругового цилиндра, а внутренняя форма образована боковой фронтально-проецирующей поверхностью трехгранной призмы.

Этапы решения построения линии пересечения поверхностей и освещение формы модели выполняется аналогично решению при рассмотрении модели конической, а развертка, приведенная на рис. 14-12, выполнена методом раскатки.

Модель коническая

На рис. 14-13 приведено модель, внешняя форма которой образована поверхностью прямого кругового срезанного конуса, а внутренняя форма образована фронтально-проецирующей боковой поверхностью трехгранной призмы.

Освещение формы заданной модели выполняется решением этапов:

1. Достройка видов-абрисов поверхностей, которые образовали модель.

2. Решение внешней задачи - построение линии пересечения поверхностей методом полных сечений, применяя который:

Для грани ВС получаем:

-  - плоскость полного сечения;

- полное сечение-эллипс ;

- проекции полного сечения - на  - ,  на  - ;

- натуральная часть полного сечения, которая относится к грани ВС расположена от точки В до точки С (часть эллипса ) и с противоположной стороны от точки  до точки  (дуга эллипса ). 

Для грани АВ, которая симметрична грани ВС, - натуральная часть - дуга АВ (расположена от точки А до точки В по дуге эллипса) и ей симметричная часть .

- для грани АС - натуральная часть - дуга , окружности-сечения плоскостью А, от точки А до С и её симметричная часть .

Совокупность натуральных частей "входа" и "выхода" всех трех граней призмы относительно поверхности конуса образует линию пересечения поверхностей модели, и имеет вид линии, составленной из дуг кривых второго порядка, соединенных между собой в общих точках и является собой линию, состоящую из двух частей, одной  и второй .

3. Воспроизведение внутренней и внешней формы модели освещается видом спереди, половинного горизонтального разреза, выполненного плоскостью А, совмещенного с половиной вида сверху и половиной профильного вертикального разреза, совмещенного с половиной вида слева. Выразительность изображения поверхностей модели воспроизводится их разноцветностью. 

На рис. 14-14 приведена развертка поверхности внешней формы, образованной поверхность. кругового срезанного конуса.

Развертка сложена из развертки боковой поверхности срезанного конуса, которая выполнена с применением аналитического расчета угла сектора, центровые стороны которого равны натуральной величине образующей конуса и кругов его оснований. Линия пересечения поверхностей на развертке построена с использованием размеров , натуральная величина которых определена на виде спереди и использованием размера  и точек раздела дуги основания конуса. 

Модель шаровидная

На рис. 14-15 приведена модель, внешняя форма которой образована поверхностью сферы, а внутренняя форма образована фронтально-проецирующей боковой поверхностью трехгранной призмы.

Этапы решения:

1. Построение изображений (видов) абрисов формообразующих поверхностей на  и .

2. Выполнение решения внешней задачи по построению линии пересечения поверхностей сферы и призмы выполняется методом полных сечений с применением вспомогательных секущих плоскостей-посредников. 

Для грани ВС:

-  - плоскость полного сечения;

- форма полученного полного сечения поверхности сферы - окружность, расположенная во фронтально-проецирующей плоскости Т;

- горизонтальная проекция окружности-сечения - эллипс оси которого - это проекции двух сопряженных диаметров (один из которых || , а второй )

- натуральная часть полного сечения расположена между точками В и С по дуге окружности-сечения (горизонтальная проекция дуги ВС - дуга  эллипса-проекции окружности-сечения) и с противоположной стороны от точки  до точки  (дуга эллипса ).

Для грани АВ - натуральная часть расположена между точками А и В по дуге окружности, симметричной сечению ВС в плоскости Т, горизонтальная проекция дуги  - дуга симметричная дуге .

Для грани АС действительная часть - дуга  окружности-сечения сферы плоскостью К и ей симметрична часть .

Совокупность натуральных частей "входа" и "выхода" всех трех граней призмы относительно поверхности сферы, образует линию пересечения поверхностей модели, которая имеет вид линии, составленной из трех дуг кривых второго порядка, соединенных между собой в общих точках, определяя линию, состоящую из двух частей - одной  и второй  (с противоположной стороны).

3. Воспроизведение внешней и внутренней формы модели освещается на виде спереди и половиной вида сверху, совмещенного с половиной горизонтального разреза, выполненного плоскостью А. Выразительность изображения поверхностей модели подчеркивается их разноцветностью.

На рис. 14-16 приведена развертка поверхности сферы, которая образует внешнюю форму модели. Выполнение развертки состоит в том, что поверхность пересекается плоскостями, которые проходят через вертикальную ось сферы и вся поверхность разделяется на доли - порции, каждая из которых расположена между смежными меридиальными сечениями. Чем больше долек-порций, тем большая точность приближения условной развертки к действительной. На этом примере применено четыре горизонтально-проецирующих плоскости, которые проведены через горизонтально-проецирующую ось сферы и вся её поверхность разбита на восемь одинаковых долек, каждая из которых аппроксимируется вписанной (или описанной) цилиндрической прямой круговой поверхностью. Дальше строится развертка каждого аппроксимирующего цилиндра, например, методом совмещения, соединив плавными кривыми края образующих разверток - получаем развертки каждой дольки поверхности. Полученные развертки восьми одинаковых долек образуют условную развертку поверхности сферы.

Эпюр №3

Изображение чертежей модели с двумя (горизонтальным и вертикальным) отверстиями - двойное проникновение

Изучение этого вопроса предлагается путем выполнения отдельной эпюрной работы №3.

Выполняя этот эпюр, показывает, как начертательная геометрия обеспечивает основание построения чертежа детали, что дает возможность вести техническое общение между специалистами.

Для обеспечения выполнения эпюра необходимо четко знать и уметь:

- как выполняются проекции поверхностей наипростейших геометрических тел и проекций точек принадлежащих этим поверхностям;

- представлять форму (вид) фигур сечения поверхностей наипростейших геометрических тел и уметь строить проекции этих фигур сечения;

- знать общую методику построения линии пересечения поверхностей;

- знать при помощи каких изображений освещается форма детали и как они выполняются.

Задание: в таблице №4 предложены задания на эпюр №3. В каждом варианте задана модель, форма которой образована тремя поверхностями, две из которых гранные, а одна криволинейная.

Внешняя форма модели может быть образована гранной поверхностью (правильная прямая призма или срезанная пирамида) или кривой поверхностью (прямой круговой цилиндр или срезанный конус или срезанный шар).

Внутреннюю форму модели образует вертикальное и горизонтальное отверстия:

- вертикальное отверстие имеет форму, образованную поверхностью кругового конуса или цилиндра или поверхность правильной прямой призмы или срезанной пирамиды;

- горизонтальное отверстие имеет форму, образованную поверхностью прямой призмы, боковая поверхность которой - проецирующая относительно фронтальной плоскости проекций (её боковые грани перпендикулярны к плоскости );

В задании приведено:

- фронтальную проекцию модели, на которой изображены проекции трех поверхностей, которые образовали модель;

- горизонтальную проекцию двух поверхностей, одна из которых образовала внешнюю форму, а вторая - вертикальное отверстие.

В решении задания необходимо построить чертеж заданной модели с освещением её внешней и внутренней формы и воспроизвести построение линии взаимного пересечения - формообразующих поверхностей, для этого:

- построить профильную проекцию модели с воспроизведением проекции трех поверхностей, которые образовали форму модели и построить линии взаимного пересечения этих поверхностей;

- достроить горизонтальную проекцию модели, где необходимо показать проекцию гранной поверхности, которая образовала горизонтальное отверстие и построить линии пересечения этой поверхности с поверхностью внешней формы и с поверхностью вертикального отверстия.

Рекомендации по выполнению эпюре №3:

Формат: , бумага-ватман (чертежная бумага), расположение формата - большей стороной горизонтально, оформляют формат рамкой и главной надписью по форме 1  и информационную таблицу по форме, приведенной на рис. 14-17.

С левой стороны формата построить в проекционной связи фронтальную и горизонтальную проекции модели, которая приведены в задании Вашего варианта. Величину изображения проекций строить так, чтобы два наибольших размера их было 100 мм и 80 мм, а другие размеры взять путем пропорционального увеличения изображения модели в задании.

С правой стороны формата в проекционной связи относительно фронтальной проекции будет построено профильную проекцию заданной модели.

Последовательность выполнения этапов решения эпюра рассматривается на примере, решение которого приведено на рис. 14-17...14-26, на каждом из которых показано последствия решений соответствующего этапа, в дополнение к решению предыдущих этапов.

1. Анализ формы модели, рис. 14-18.

При этом выясняется, какие три поверхности образуют форму модели, в том числе:

- поверхность внешней формы;

- поверхность вертикального отверстия;

- поверхность горизонтального отверстия.

Названия выясненных трех поверхностей записать в таблицу формата и в которой указываем выбранный цвет выделения каждой поверхности, в том числе: 

- поверхность внешней формы - светло-розовый;

- поверхность вертикального отверстия - желтый;

- поверхность горизонтального отверстия - светло-зеленый.

2. Построение проекций абрисов трех поверхностей (строится профильная проекция и достраивается горизонтальная проекция абрисов трех поверхностей, которые образовали модель, рис. 14-19.

При этом:

 на профильной проекции строится:

- проекция абриса поверхности, которая образовала внешнюю форму;

- проекция абрисов поверхности, которые образовали внешнюю форму и в том числе:

- поверхность, которая образовала вертикальное отверстие;

- поверхность, которая образовала горизонтальное отверстие;

3. Решение внешней задачи, в которой строится линия пересечения (выхода) призматической поверхности горизонтального отверстия с поверхностью, которая образовала внешнюю форму модели (рассматривается случай, в котором пересекаются две поверхности, одна из которых расположена в середине другой).

Выполнение решения начинается с выделения одной боковой грани призмы горизонтального отверстия (с её изображения на поле ).

Решение выполняется "методом полных сечений поверхностей", в котором применяют вспомогательные секущие плоскости частичного положения соответственно рекомендациям пункта 13.1 и пункта 13.2.2. следующим образом:

а) образование плоскости полного сечения, рис. 14-20, выполняется на фронтальной проекции модели, путем продления выделенной боковой грани призмы горизонтального отверстия. Учитывая то, что все боковые грани горизонтального отверстия по условию перпендикулярны к полю , то при продлении фронтальной проекции выделенной грани получается след-проекция вспомогательной фронтально-проецирующей плоскости полного сечения;

б) представление вида фигур полного сечения, рис. 14-21, образованных в сечении вспомогательной плоскостью полного сечения поверхности, которая образовала внешнюю форму модели и призматической поверхности, которая образовала форму горизонтального отверстия, при этом учитывается, что:

- первая фигура - фигура полного сечения поверхности внешней формы, которая на поле  расположена от точки сечения её левой линии абриса до точки сечения её правой линии абриса (если плоскость полного сечения не полностью пересекает боковую поверхность, то плоскость и абрис боковой поверхность продлеваются до взаимного пересечения;

- вторая фигура - фигура полного сечения поверхности горизонтального отверстия (эта фигура является крайним сечением, совпадающим с выделенной гранью призматической поверхности горизонтального отверстия и очерчена с двух противоположных сторон двумя параллельными между собой боковыми ребрами этой призмы, которые являются отрезками фронтально-проецирующих прямых, а с других двух противоположных сторон эта вторая фигура очерчена линиями пересечения рассматриваемой грани с поверхностью внешней формы, которые необходимо строить;

в) построение проекций двух фигур полного сечения поверхностей (рис. 14-22), учитывая что:

- проекция первой фигуры на поле  изображена в виде отрезка линии, совпавшей со следом-проекцией вспомогательной плоскости, а на полях  и  проекции первой фигуры строятся по характерным и промежуточным точкам, соединенных между собой кривой линией - в случае, когда внешняя форма образована криволинейной поверхностью или соединенных между собой ломанной линией - в случае, когда внешняя форма образована гранной поверхностью, а количество вершин полученной ломанной линии равна количеству ребер гранной поверхности, пересеченных плоскостью полного сечения (при этом учитывается, что проекция относительно которой поверхность проецирующая - совпадает с проекцией самой поверхности);

- проекция второй фигуры на поле изображена в виде отрезка линии, которая совпадает со следом-проекцией вспомогательной плоскости. Проекция этой фигуры на поле  воспроизводится полосой, образованной вертикальными линиями связи с которыми совпадают горизонтальные проекции боковых ребер, которые определяют выделенную грань призмы призматического горизонтального отверстия, а проекция этой фигуры на поле  воспроизводится полосой, образованной горизонтальными линиями связи, с которыми совпадает профильные проекции упомянутых боковых ребер. 

г) выделение действительной части одноименных проекций полных сечений (рис. 14-23), при этом:

- на поле  - проекция натуральной части полных сечения совпала со следом-проекцией вспомогательной плоскости полного сечения и воспроизведена проекцией выбранной грани горизонтального призматического сечения;

- на поле  и  - проекция натуральной части определяется взаимным пересечением одноименным проекций первой и второй фигуры полных сечений поверхностей, пересечение которых рассматривается. 

Метод полных сечений поверхностей последовательно применяется к каждой грани призмы горизонтального отверстия (включая грани симметрично расположенных относительно выделенных граней, к которым применялся метод полных сечений), а натуральная часть такой грани симметрична натуральной части построенной для симметричной грани. 

Совокупность натуральных частей полных сечений, принадлежащих всем последовательно выделенным граням призмы горизонтального отверстия, образуют линии пересечения внешней задачи (рис. 14-24).

4. Решение внутренней задачи, в которой строится линия пересечения (перехода) поверхности горизонтального отверстия модели с поверхностью, которая образует вертикальное отверстие модели, рис. 14-25 (рассматривается случай, в котором две поверхности пересекаются между собой и имеют внешнее взаимное расположение). 

Построение выполняется методом полных сечений аналогично выполнению решению, выполненного в предыдущем пункте 3. 

5. Выполняются необходимые разрезы и виды модели, рис. 14-26, при этом:

На поле  выполняется половина главного вида совмещенного с половиной простого вертикального фронтального разреза модели. 

На поле  выполняется половина вида слева, совмещенного с половиной простого вертикального профильного разреза модели. 

На поле  выполняется половина вида сверху, совмещенного с половиной простого горизонтального разреза модели, выполненного плоскостью А, проведенной по самой широкой части горизонтального призматического отверстия. 

При изображении половины вида, на котором линия видимого контура модели сливается с осью - приводится большая часть вида совмещена с меньшей частью соответствующего разреза, совмещенного с меньшей частью вида, того же придерживаются и на поле .

6. Очерчивание изображения модели, простановка её размеров, и цветное оттенение  проекций трех поверхностей, которые образуют модель, для этого рекомендовано:

- черными линиями выполнить - изображение модели (её виды и разрезы), постановка размеров, рамка формата, главная надпись, справочная таблица, заполнение главной надписи и вспомогательной таблицы;

- бледно-розовым цветом закрасить проекции поверхности, которая образовала внешнюю форму;

- желтым цветом закрашиваются проекции поверхности, которая образовала вертикальное отверстие;

- светло-зеленым закрасить проекции поверхности, которая образовала горизонтальное отверстие;

- синим цветом - все линии построения решения и обозначение проекций и их характерных точек и плоскостей. 

Пример выполнения решения и оформления эпюра №3 - Проникновение двойное (построение линии пересечения поверхностей), приведено на рис. 14-27. 

Аксонометрические проекции

Аксонометрическая проекция назначена для наглядного изображения изделия (детали или другое) с воспроизведением его внешней и внутренней формы.

Для построения аксонометрии, например, детали, необходимо провести личные координатные оси детали, направление которых сливается с направлением трех взаимно перпендикулярных измерений детали (длины, толщины, высоты). Проведенные оси преимущественно соединяются с осями симметрии детали (если они есть, или параллельно проводятся к сторонам геометрического строения детали).

Далее выбираем:

- Р - аксонометрическая плоскость;

-  - направление параллельного проецирования.

Деталь располагают между наблюдателем и аксонометрической плоскостью. Параллельным методом проецирования в выбранном направлении  выполняется проецирование детали на аксонометрическую плоскость Р, на которой получаем аксонометрическую плоскость Р, на которой и получаем аксонометрическую проекцию детали. 

Вид изображения детали на аксонометрической проекции зависит от расположения координатных осей детали и направления проецирования относительно аксонометрической плоскости.

Основные определители аксонометрической проекции

Рассмотрим построение аксонометрической проекции изделия на примере. Учитывая то, что, например, деталь образована совокупностью точек, то рассмотрим в пространстве прямоугольных координат точку А, которая, допустим, определяется одинаковыми координатами  по трем осям. Величину , которую называют натуральный масштаб, отложим по трем аксонометрическим осям от начала координат. Относительно личных координатных осей  выберем произвольно расположенную плоскость Р и направление  параллельного проецирования. В образованной модели (рис. 15-1) оси координат  и точку А с её координатами  проецируем на плоскость. 

Аксонометрическая плоскость Р, пересекающая координатные плоскости, образует треугольник , что называется треугольником следов (на рис. 15-1  не показан). При помощи треугольника следов легко определить углы между аксонометрическими осями.

Полученные проекции обозначим:

- - аксонометрические проекции;

- - аксонометрический масштаб

- - коэффициенты искажения по аксонометрическим осям. 

Отсюда теорема аксонометрии: "Три отрезка прямых произвольной длины, расположенных в одной плоскости и выходящих из одной точки под произвольными углами друг к другу, являются параллельными проекциями трех одинаковых отрезков, отложенных на прямоугольных координатных осях от её начала" (теорема немецкого ученого Карла Польке), а уравнение  - основная формула аксонометрии. 

Наглядное изображение детали по содержанию её аксонометрии зависит от направления проецирования и расположения её координатных осей относительно аксонометрической плоскости.

Виды, оси и показатели искажения аксонометрических проекций

На практике  рекомендует применять виды аксонометрических проекций, которые приведены ниже в структурной схемы (рис. 15-2).

В этих случаях аксонометрических проекций применены только некоторые комбинации их определителей.

Зависимо от соотношения показателей искажения по аксонометрическим осям, все аксонометрии делят на три группы:

- изометрические - показатели по всем осям одинаковые;

- диметрические - показатели по двум осям одинаковые;

- триметрические - показатели по трём осям разные.

Положение осей распространенных видов аксонометрических проекций приведены в таблице с рис. 15-3, 15-4, 15-5. 

В прямоугольной изометрической и диметрической проекциях (рис. 15-3, рис. 15-4) аксонометрическая плоскость пересекает все три оси координат, а в косоугольной фронтально-изометрической проекции - параллельная координатной плоскости .

В прямоугольной изометрии коэффициенты искажения по всем осям - одинаковые, то из основной формулы аксонометрии получим, что изометрический масштаб по аксонометрическим осям  и  - одинаковые и равен 0,82 действительного. 

В прямоугольной диметрии (выбираем приблизительно ) при этом, диметрический масштаб по осям  и  = 0,94, а по оси = 047 натурального размера. 

Во фронтально-изометрической проекции разрешается применять проекции с углом наклона оси под углом 30 или 60. Фронтально-изометрическую проекцию выполняют без искажения по осям (их коэффициент равен единице). 

Но, принимая во внимание то, что аксонометрические проекции назначены для наглядного изображения изделия, то с целью упрощения процесса построения аксонометрии в прямоугольной изометрии условно принимаем коэффициенты искажения по всем осям вместо 0,82 принимаем единицу. В таком случае изометрическое изображение выбора получаем увеличенным в 1/0,82 = 1,22 раза сравнительно с его натуральной величиной. 

Диметрическую проекцию, как правило, выполняют без искажения по осям ,  и с коэффициентом искажения 0,5 по оси  .

Аксонометрия точки

Аксонометрия точки выполняется по её трем координатам, которые определяем на эпюре точки (рис. 15-6).

Строим оси координат заданной аксонометрической проекции (для наглядного сравнения изображения строим оси изометрии, диметрии и фронтальной изометрии рис. 15-7, рис. 15-8, рис. 15-9). Координату широты точки А, которая равна , откладываем на оси  от начала координат, получаем точку (на всех рисунках). С точки проводим вспомогательную прямую  параллельно оси и от точки откладываем координату глубины точки А, которая равна на изометрии и фронтальной изометрии, а на диметрии откладываем  (учитывая то, что коэффициент искажения по оси ) и получаем точку (горизонтальную проекцию точки А). С полученной точки  проводим вспомогательную прямую  параллельно оси  и на ней от откладываем координату высоты точки, которая равна . Полученная точка  и есть аксонометрическим изображением точки А на её эпюре.

Аксонометрия многоугольника

Аксонометрическая проекция плоской или пространственной фигуры строится по координатам её вершин или характерных точек её криволинейного абриса.

Строим для примера аксонометрические проекции модели, сложенной из плоских многоугольников, изображенных на комплексном чертеже рис. 15-10, и наглядно сравним их аксонометрические изображения. 

Строим аксонометрические оси (рис. 15-11, рис. 15-12, рис. 15-13). Взяв из эпюра модели координаты  заданных вершин, откладываем их от точки О на оси , из полученных точек проводим вспомогательные прямые  параллельно оси  и на них откладываем координаты у заданных вершин, учитывая то, что в диметрии координата  уменьшается на половину. Так полученные точки . Из точек  проводим вспомогательные прямые  параллельно оси  и на них откладываем координаты  точек (взяв из эпюра), получаем аксонометрические проекции точек . Соединив точки ; соединив  Получено аксонометрии двух плоских многоугольников  и с общей стороной и соответственно расположенных в плоскости  и параллельной плоскости .

Аксонометрические проекции окружности

Рассмотрим модель, образованную поверхностью куба, расположенного своими боковыми ребрами параллельно аксонометрическим осям, его боковые грани параллельны трем аксонометрическим граням. В три грани квадрата вписаны окружности, далее рассмотрим проекции этих окружностей на аксонометрическую плоскость. Грани куба относительно аксонометрической плоскости (кроме фронтально-изометрической проекции) являются плоскостями общего положения, а окружность грани в таком случае на аксонометрическую плоскость проецируется в виде эллипса, но с целью упрощения построения аксонометрии проекция эллипс заменяется овалом, которой является замкнутая симметричная кривая, образована сопряжением между собой двух пар дуг окружностей попарно одинакового радиуса. Рассмотрим построение овалов-проекций окружности, расположенной в разных плоскостях на изометрической, диметрической и фронтально-изометрической проекции.

Изометрия окружности

Учитывая то, что аксонометрические проекции произвольной фигуры строятся преимущественно по её комплексному чертежу, то и для построения изометрии окружности исходным является его комплексный чертеж, например, окружность расположена в горизонтальной плоскости (рис. 15-14). 

На горизонтальной проекции заданной окружности, диаметр которой равен , проведено два сопряженных диаметра, которые в пересечении с окружностью образуют точки  и , соединив которые получаем хорду . 

С центра  проведем перпендикуляр до  и получим исходный радиус  для построения изометрии окружности. С точки  (рис. 15-15), в которой пересекаются изометрические оси, радиусом  строится окружность.

Через точку  проводят вертикальную и горизонтальную вспомогательные линии. В пересечении горизонтальной линии с построенной окружностью, получаем точки  и . С точки  под углом 60 до горизонтальной линии проводим вспомогательную прямую и продолжаем её до пересечения с вертикальной линией в точке . Точку  соединяем с точкой , радиусом проводим дугу до пересечения с продолжением отрезков  и , полученные точки  и С являются точками сопряжения. От  вверх откладываем отрезок  и получаем точку , которую соединяем с точками  и . С точки , как из  центра, проводим дугу, радиус которой  до пересечения с продолжением  и  в пересечении с которыми получим точки А и В, которые являются точками сопряжения. С точки , как из центра, проводим дугу, радиус которой , от точки С до В и эта дуга сопрягает предыдущие две дуги радиуса . 

С точки  проводим дугу, радиус которой , и получим сопряжение предыдущих дуг в точках А и  четвертой дугой. Полученное изображение образовано противоположно расположенными двумя парами одинаковых дуг - овал. Особенность такого изображения состоит в том, что отрезок  сливается с изометрической осью  и равно , а отрезок и сливается с осью . Малая ось  овала  а большая ось  и расположена всегда перпендикулярно малой оси . Построенный овал - упрощенное изображение проекции окружности в изометрической проекции без искажения размеров по осям 

Воспроизведение окружности, расположенного в координатной плоскости  или  показано на рис. 15-16, где приведено куб, грани которого совмещены с координатными плоскостями, и в квадраты граней вписаны окружности, воспроизведение которых в виде эллипсов-овалов. При этом, если окружность расположена в параллельной плоскости к  - то большая ось  овала всегда расположена горизонтально, а малая ось  - вертикально. Если окружность расположена в плоскости, параллельной плоскости  - то большая ось овала расположена перпендикулярно оси , а малая , если окружность в плоскости, параллельной плоскости  - то большая ось  оси , а малая ось овала . Между собой большие оси эллипсов-овалов расположены под углом 60. 

Диметрия окружности

Для построения диметрической проекции окружности, расположенной в плоскости, параллельной плоскости , построение овала - диметрии окружности приведена на рис. 15-17. Строятся аксонометрические оси и с точкой , в которой пересекаются оси, совмещают центр заданной окружности, диаметр которой равен . Ось  пересекает заданную окружность в точках А и В, которые воспринимаются за точки сопряжения. Через точку  проводят вертикальный и горизонтальный диаметры заданной окружности. Из точки Р откладывается размер  вниз на продолжении вертикального диаметра - получена точка . Соединив точки  и А, получим отрезок , пересечение которого с горизонтальным диаметром дает точку , а аналогично отрезок  в пересечении с горизонтальным диаметром образует точку . 

С точки , как из центра, радиусом  проводится дуга от точки А до , а с  тем же радиусом  проводят вторую дугу. С точки  радиусом  проводим дугу от точки А до С, которая сопрягает две предыдущие дуги. С точки  радиусом  проводим дугу от точки В до  и эта дуга сопрягает две первые дуги с противоположной стороны. Полученная построение двух симметрично расположенных дуг, сопряженных двумя другими симметричными дугами - образуют овал, который принимается за упрощенное изображение диметрии заданной окружности. При этом размер , а  - большая ось овала и  - малая ось овала, которая всегда перпендикулярна большой оси, и за размеров

Если заданная окружность расположена в плоскости, параллельной координатной плоскости  (рис. 15-18), то через его центр проводят оси  (под углом к горизонтали, которая равна ) и ось  (под углом к той же горизонтали, который равен ). С центра  проводим заданную окружность, диаметр которого . Ось , пересекаясь с заданной окружностью, образует точки А и В, с которых проводим вспомогательные горизонтальные линии,  и , а они при пересечении с осью  образуют точки  и . При пересечении отрезка  с прямой  образуется точка , а при пересечении  с  - точка . С точки , как из центра радиусом , проводим первую дугу от точки В до С. С  радиусом  проводим дугу от точки А до . С точки  радиусом  проводим дугу от точки С до А, которая сопрягает две предыдущие дуги и . С точки  радиусом  проводим сопрягающую дугу, которая сопрягает две первые дуги, которая сопрягает две первые дуги  и . Построенный овал принимается за упрощенное близкое изображение эллипса, в который проецируется заданная окружность.  - большая ось овала расположена перпендикулярно к оси  и , а  - малая ось, параллельная оси  и . 

Если заданная окружность расположена в плоскости, параллельной плоскости , то овал, принятый за проекцию заданной окружности, аналогичный овалу в горизонтальной плоскости, только его малая ось  параллельна оси , а большая  ей перпендикулярна. 

На рис. 15-19 приведено упрощенное изображение диметрических проекций окружностей, расположенных на трех гранях куба. Большая ось каждого овала перпендикулярна соответствующей аксонометрической оси, а малая - ей параллельная, что и показано на этом рисунке. 

Фронтальная изометрия окружности

Фронтальную изометрическую проекцию выполняют без искажения по осям ,  и .

Если окружность принадлежит плоскости, параллельной фронтальной плоскости проекций, то она проецируется на аксонометрическую плоскость  в виде окружности, которая равна заданной. 

Если окружность принадлежит плоскостям, параллельным горизонтальной и профильной плоскостям проекций, то она на аксонометрическую плоскость  и  проецируется в виде эллипса-овала, большая ось которого равна , а малая ось равна  заданной окружности. Угол наклона большой оси горизонтального овала относительно оси  и большой оси профильного овала относительно оси  равен , а малые оси их перпендикулярны большим осям, что и показано на рис. 15-20. 

Штриховка в разрезах, условности и нанесение размеров на аксонометрические проекциях 

Для воспроизведение внутренней формы детали в аксонометрии выполняют разрезы преимущественно плоскостями, которые параллельны плоскостям проекций (двум или больше), которые образуют вырезы в деталях, условно убирая вырезанные части, "открывается" внутренняя форма детали. Секущие плоскости, которыми выполняют вырезы, образуют сечения детали, которые заштриховывают. Линии штриховки являются линиями, которые соединяют концы отрезков единиц измерения, отложенных по аксонометрических осям с учетом их показателя искажения. На рис. 15-21 показано расположение линий, штриховки которыми заштриховывают сечения в соответствующих плоскостях проекций. 

Разрезы на аксонометрических проекциях можно построить двумя способами:

-1 способ: сначала строят аксонометрическую проекцию всей детали с полным воспроизведением всех её формообразующих поверхностей (будто деталь прозрачная), а потом выполняют разрез и "убирают" часть изображения детали, которая расположена между наблюдателем и секущими плоскостями (рис. 15-22).

- 2 способ: по заданному комплексному чертежу детали сначала строят аксонометрические проекции фигур сечений, а потом достраивают часть изображения детали, которая расположена за секущими плоскостями (рис. 15-23).

В аксонометрических проекциях спицы маховиков, ребра жесткости деталей, оси, валы, тонкие стенки, которые находятся в секущей плоскости, как поперек, так и вдоль - штрихуют.

При нанесении размеров на аксонометрических проекциях, выносные линии проводят параллельно аксонометрическим осям, а размерные линии - параллельны отрезку, размер которого проставляют.

При выполнении в аксонометрических проекциях зубчатых колес, реек, червяков и других (допускается показывать) условно согласно , а резьбу показывают условно согласно  полностью или частично.

Последовательность аксонометрической проекции детали (модели)

Построение аксонометрической проекции детали (модели) выполняется преимущественно по её комплексному чертежу (эскизу или рабочему чертежу). По изображениям детали выясняются её форма, определяется, какими поверхностями образованы её основные и второстепенные формы. Выбирается вид аксонометрической проекции, на которой наиболее наглядно будет освещена форма детали простейшим построением. Если деталь имеет симметричную форму, например, деталь точеная, то изображение детали располагается так, чтобы её ось совпадала с аксонометрической осью, а если деталь имеет плоскость симметрии, то деталь на изображении располагается так, чтобы она своей плоскостью симметрии совпадала с одной из плоскостей аксонометрии, если деталь имеет две плоскости симметрии, то изображение детали строится так, что её плоскости симметрии совпадают с плоскостями аксонометрии или им параллельно. При построении аксонометрии с разными коэффициентами искажения по осям, деталь необходимо располагать так, чтобы её долгая сторона не была параллельна оси у (с наибольшим искажением), чтобы избежать сильного искажения её формы. Если форма детали освещена характерной её плоскостью, то эта плоскость располагается в координатной аксонометрической плоскости или ей параллельно.

По осям выбранной аксонометрической проекции тонкими линиями строятся поверхности, которые образуют основные формы детали и второстепенные. Для их построения воспроизводят аксонометрическое изображения определителей каждой поверхности и их абрисов. 

Изометрия детали

Рассмотрим пример выполнения изометрической проекции кронштейна.

Изучая изображение (рис. 15-24) комплексного чертежа кронштейна, отметим, что основная его форма нижней части образована двумя призмами: горизонтальной и вертикальной, перпендикулярными между собой, с цилиндрическими отверстиями в каждой, а форма верхней части образована призмой, которая лежит на горизонтальной призме, с половиной цилиндра сверху неё, и цилиндром сквозного отверстия. 

Второстепенные формы имеют цилиндрические поверхности, которые соединяют призмы основной формы, и закругляющие её призмы нижней части.

Условно совместив грани деталей с координатными плоскостями изометрии, сначала выполняется построение нижней части детали (рис. 15-25, а). К нижней части достраивается верхняя часть. Сопряжение сторон прямого угла выполняют построением изометрических проекций дуг окружностей радиусов  в виде частей овалов. Центры овалов всех отверстий определяются по размерам-координатам приведенных на комплексном чертеже детали. На полученном изображении видимые контуры деталей наводятся толстыми линиями (рис. 15-25, б). В учебных целях полное построение всех поверхностей, выполненное тонкими линиями, может быть оставлена, или все линии построения, кроме осевых или центровых линий отверстий убираются, а видимое изображение детали покрывается штриховкой (рис. 15-25, в).

Если форма детали имеет неполную окружность, то для её изображения чертят (тонкой линией) полный овал, а тогда обводят контурной линией необходимую часть овала.

Если деталь имеет полость, то её аксонометрию выполняют с разрезами-вырезами, которые образуются секущими плоскостями, которые преимущественно сливаются с координатными плоскостями (или им параллельными).

Часть детали, выделенная секущими плоскостями и расположена перед наблюдателем, - убирается, при этом "открывается" внутренняя форма детали: видимые сечения, образованные при выполнении выреза детали, заштриховывают, как показано на рис. 15-21, 22, 23.

Для большей наглядности детали, её аксонометрическое изображения покрывается штриховкой или штрафировкой, при помощи которой освещаются теневые, полутеневые и более освещенные части поверхности детали. Штриховка - это подчеркивание формы детали линиями, параллельными линии контура её форм, более освещенные части покрывают тонкими линиями штриховки, более редкими между собой, а теневые части покрывают более толстыми линиями, взаимно гуще расположенными. Штрафировка - это подчеркивание формы детали линиями, взаимно параллельными и перпендикулярными к линии контура. Принимается, что деталь освещена лучами, которые идут сверху, вниз, слева или справа. 

Прямоугольная и фронтальная диметрия деталей 

На рис. 15-26 приведена прямоугольная диметрическая проекция стояка, и показана последовательность выполнения такого изображения.

Так как и при выполнении изометрии, форму детали условно делят на основные и второстепенные элементы и выясняют, какими поверхностями они образованы.

В данном примере основные формы образованы призмами - параллелепипедами разной высоты. Эти параллелепипеды строят, откладывая длины их ребер параллельно диметрическим осям. А расположение центров отверстий детали строят координатным методом и строят овалы (рис. 15-26, а). 

Внутреннюю форму детали освещаем вырезом передней части детали двумя вертикальными аксонометрическими плоскостями. На образованном вырезе видно, что отверстия с вертикальными осями - цилиндрические сквозные. Убрав линии построения и наведя видимые контуры детали, выполняют штриховку фигур сечения, образованных при выполнении выреза передней правой части детали (рис. 15-26, а), для наглядности изображения дополняется выполнением штриховки или штрафировки поверхностей (рис. 15-26, в), на котором приведено прямоугольную диметрию детали. 

Последовательность построения фронтальной диметрической проекции детали (угольника прямого) приведено на рис. 15-27. 

При расположении угольника, когда основание цилиндрической части его параллельна плоскости  - окружности кольца основания на этой плоскости изображены в натуральную величину, а призматическая часть хвостовика направлена вдоль оси . А основание цилиндрического отверстия хвостовика воспроизводится в виде овала, большая ось которого с аксонометрической осью  составляет угол, который равен .

Примеры и образцы решения задач:

• Решение задач по инженерной графике
• Решение задач по начертательной геометрии

Услуги по выполнению чертежей:

1. Заказать чертежи
2. Помощь с чертежами
3. Заказать чертеж в компасе
4. Заказать чертеж в автокаде
5. Заказать чертежи по инженерной графике
6. Заказать чертежи по начертательной геометрии
7. Заказать черчение

Учебные лекции:

1. Инженерная графика
2. Начертательная геометрия
3. Оформление чертежей
4. Чертеж общего вида и сборочный чертеж
5. Техническое рисование
6. Машиностроительные чертежи
7. Геометрические построения
8. Деление окружности на равные части
9. Сопряжение линий
10. Коробовые кривые линии
11. Построение уклона и конусности
12. Лекальные кривые
13. Параллельность и перпендикулярность
14. Методы преобразования ортогональных проекций
15. Способы проецирования
16. Метрические задачи
17. Способы преобразования чертежа
18. Кривые линии
19. Кривые поверхности
20. Трёхгранник Френе
21. Проецирование многогранников
22. Проецирование тел вращения
23. Развёртывание поверхностей
24. Проекционное черчение
25. Проецирование
26. Проецирование точки
27. Проецирование отрезка прямой линии
28. Проецирование плоских фигур
29. Способы преобразования проекций
30. Аксонометрическое проецирование
31. Проекции геометрических тел
32. Сечение геометрических тел плоскостями и развертки их поверхностей
33. Взаимное пересечение поверхностей тел
34. Сечение полых моделей
35. Разрезы
36. Требования к чертежам деталей
37. Допуски и посадки
38. Шероховатость поверхностей и обозначение покрытий
39. Разъемные и неразъемные соединения деталей
40. Передачи и их элементы