Поперечный изгиб
Содержание:
- Пример решения задачи 5.1.
- Пример решения задачи 5.2.
- Пример решения задачи 5.3.
- Пример решения задачи 5.4.
- Пример решения задачи 5.5.
Так же, как и ранее, в этой главе мы будем рассматривать прямой стержень (стержень) с той же стандартной ПДСК
Определение 5.1. Изгибом стержня называется такой вид его деформации, при котором ось изменяет свою кривизну. Деформированная ось стержня называется упругой линией. При изгибе стержень также называют балкой,
Ограничимся следующим НДС балок, который является частным случаем изгиба.
Определение 5.2. Поперечным, изгибом балки называется такой вид ее деформации, при котором напряжения в любом ее поперечном сечении распределены так, что векторы внутренних силовых факторов лежат в плоскости поперечного сечения:
т.е. ненулевыми являются только перерезывающие силы и изгибающие моменты.
Поперечный изгиб называется чистым изгибом, если равны нулю перерезывающие силы.
С использованием метода сечений и уравнений равновесия доказывается справедливость следующего утверждения.
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по сопротивлению материалов:
Предмет сопротивление материалов (сопромат): формулы и лекции и примеры заданий с решением |
Утверждение 5.1 (условия поперечного изгиба). Для того чтобы балка при силовом нагружении находилась в состоянии поперечного изгиба, необходимо и достаточно, чтобы векторы внешних сосредоточенных и распределенных сил и моментов были коллинеарны плоскости ее поперечного сечения:
Причем только в том случае, когда или только тогда, когда А чистый изгиб имеет место только при
Способ учета температурных полей при изгибе указан в § 5.2. Определение 5.3. Если при поперечном изгибе существует такая проходящая через недеформированную ось бруса
плоскость то эта плоскость называется силовой плоскостью.
При наличии силовой плоскости поперечный изгиб называется прямым изгибом, если упругая линия лежит в этой плоскости.
В этой главе ограничимся прямым изгибом СО балок. Будем полагать, что силовые плоскости совпадают с координатными плоскостями Заметим, что в силу принципа суперпозиции (утверждение П.2) достаточно рассматривать только один из этих вариантов. А именно, будем считать, что силовая плоскость — (для плоскости все результаты такие же с точностью до обозначений). При этом прямой изгиб будем называть просто изгибом.
Возможно вам будут полезны данные страницы:
Алгоритм расчета СО балок на изгиб в части пп. 1,2,3 а) аналогичен соответствующим алгоритмам.
1. Разбиваем балку на участки.
2. Из уравнений равновесия определяем реакции опор. Для указанного варианта изгиба нетривиальными являются только два уравнения равновесия: равенство нулю проекций внешних сил на ось и моментов на ось Поэтому для СО балок опоры должны накладывать только две связи, что эквивалентно наличию двух неизвестных реакций в опорах. Однако имеются задачи, в которых балка имеет так называемый врезанный шарнир, который добавляет еще одно уравнение — результирующий момент внешних сил и моментов, приложенных к левой или правой по отношению к шарниру частям балки, равен нулю. Основные варианты СО балок приведены на рис. 5.1: — консольная и двухопорная балки; — балка с врезанным шарниром Здесь же указаны реакции опор.
Уравнение моментов, как правило, составляется относительно одной из опор с тем, чтобы система уравнений была проще. Более того, часто вместо уравнения сил с той же ислыо лучше строить еще одно уравнение моментов, но относительно другой опоры. При составлении уравнений равновесия равнодействующие внешних сил и моментов находятся по формулам в (П.11). Для распределенной нагрузки во многих случаях может быть использован следующий геометрический подход, основанный на свойствах определенных интегралов:
равнодействующая погонной силы или момента есть площадь соответствующей эпюры;
момент, создаваемый погонной силой, равен моменту от равнодействующей силы, приложенной в центре тяжести эпюры.
- При использовании этого м етода н еобход и м о и м еть набор геометрических характеристик элементарных эпюр (криволинейных трапеций). В табл. 5.1 они приведены для парабол порядка (рис. 5.2).
3. а) Последовательно на каждом из участков строим эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов с помощью метода сечений и уравнений равновесия.
Для того чтобы знаки эпюр не были привязаны к системе координат, используется следующее соглашение, которое полностью соответствует знакам выбранным в (П.22) и (П.24).
Правило знаков для Рассмотрим часть бруса содержащую данное сечение (на рис. 5.3 и 5.4 оно отмечено координатой В соответствии с третьим законом Ньютона внутренние силовые факторы на торцах части противоположно направлены и образуют пару.
Если пара ориентирована по ходу (против хода) часовой стрелки, то рис. 5.3 а (рис. 5.3 б). Если в данном сечении упругая линия вогнута (выпукла), то рис. 5.4 а (рис. 5.4 б).
Иначе говоря, для левой части балки направлена в сторону равнодействующей внешней нагрузки, а для правой в обратную сторону. строится на сжатых волокнах. Смысл этого термина раскрыт в § 5.2.
Перерезывающие силы изгибающие моменты и внешние нагрузки связаны между собой следующими дифференциальными зависимостями:
из которых следует дифференциальное уравнение равновесия стержня при изгибе-.
Заметим, что при использовании уравнения (5.4) распределенный момент всегда можно включить в погонную нагрузку:
При построении эпюр аналогично § 1.1 удобно пользоваться следующими выводами, вытекающими из соотношений (5.3), (5.4) и свойств производных:
если — многочлен, то — тоже многочлены, степень которых на единицу и двойку выше (например, постоянная погонная нагрузка дает линейную зависимость для перерезывающей силы и параболическую кривую для момента и т. д.; при этом достаточно находить лишь граничные значения перерезывающих сил и моментов);
по знаку можно судить о возрастании или убывании необходимым условием экстремума является равенство а достаточным — изменение знака
направлена выпуклостью навстречу направлению (потоку)
- в точках приложения сосредоточенных сил имеет скачки (разрывы первого рода), равные но абсолютной величине этим силам, а излом (разрыв производной);
- в точках приложения сосредоточенных моментов имеет скачки, равные по величине этим моментам.
Пример решения задачи 5.1.
Для консольной балки, представленной на рис. 5.5, построить эпюры
- Решение:
1. Разбиение балки на участки показано на рисунке.
2-3. При построении эпюр для балок с защемленным концом опорные реакции можно не определять, если начинать вычисление внутренних усилий со свободного конца, что и делается в этом примере.
Перерезывающие силы и изгибающие моменты находим с учетом правила знаков по участкам из уравнений равновесия аналогично § 1.1, 4.1 (равнодействующие погонных нагрузок вычисляются геометрическим методом, указанным в алгоритме):
участок 0 1
участок 1-2
участок 2-3
Соответствующие эпюры приведены на рис. 5.5. Величина и направление скачков на строго соответствуют сосредоточенным силам, а на — сосредоточенным моментам. Поскольку везде то экстремумы в отсутствуют.
Пример решения задачи 5.2.
Для двухопорной балки (рис. 5.6) построить
- Решение:
1. Разбиение балки на участки показано на рисунке.
2. Отбрасываем опоры, заменяем их реакциями (см. рис. 5.1), и составляем уравнения равновесия (относительно их выбора см. и. 2 алгоритма):
Отсюда находим
3. С учетом найденных реакций по участкам определяем и
участок 0 1
участок 1-2
участок 2-3
участок 3 4
участок 4-5
При вычислении моментов на последнем участке погонная сила, действующая на участке 3-5, разделена на две нагрузки, соответствующие участкам 3-4 и 4-5. Вычисление на левом и правом концах балки можно было бы и не проводить, так как их значения известны (см. (5.17) и (5.24)). Также можно было бы не находить значения внутренних силовых факторов па левых концах участков, начиная со второго, если там отсутствуют соответствующие сосредоточенные нагрузки. Однако эти операции удобно использовать для проверки.
Соответствующие эпюры приведены на рис. 5.6. Поскольку везде то экстремумы в отсутствуют.
Пример решения задачи 5.3.
Для трехоиорной балки с врезанным шарниром (рис. 5.7) построить
- Решение:
1. Разбиение банки на участки показано на рисунке. - 2. Отбрасываем опоры, заменяем их реакциями (см. рис. 5.1), и составляем уравнения равновесия:
Дополнительное уравнение получаем, составляя уравнение моментов для правой части балки относительно врезанного шарнира (см. п. 2 алгоритма):
Объединяя все три уравнения, приходим к системе уравнений:
решение которой находим, начиная с последнего уравнения:
3. С учетом найденных реакций по участкам определяем и
участок 0-1
участок 1-2
участок 2-3
Эпюра приведена на рис. 5.7. Для построения (см. тот же рисунок) необходимо дополнительно найти ее экстремумы:
участок 0 1 ( — точка максимума, так как при переходе через нее меняет знак с плюса на минус)
участок 2 3 ( точка максимума по той же причине)
5.2. Нормальные напряжения и перемещения
При чистом изгибе для определения напряжений к гипотезе Вернул л и добавляется следующее предположение (см. также утверждение 1.2).
Аксиома 5.1. При чистом изгибе продольные волокна балки находятся в состоянии одноосного растяжения сжатия, т. с. в любой точке
Из аксиом П.8, 5.1 и закона Гука (1.5) вытекает связь продольных деформаций нормальных напряжений и радиуса кривизны упругой линии:
где начало системы координат в сечении выбрано на неде-формированных продольных волокнах
Дополнительный учет выражения для изгибающего момента в (П.20) приводит к уравнению деформаций при изгибе:
Определение 5.4. Совокупность недефор.мированных продольных волокон балки называется нейтральным слоем, а прямая лежащая в пересечении нейтрального слоя и плоскости поперечного сечения — нейтральной линией.
Произведение называется жесткостью на изгиб, Из формул (5.6), (П.20), аксиомы 5.1 и условий чистого изгиба (определение 5.2) вытекает следующий результат.
Утверждение 5.2. Для того чтобы в условиях утверждения 5.1 имел место чистый изгиб балки в плоскости необходимо и достаточно, чтобы система координат была главной. а ее ось проходила через центр тяжести поперечного сечения (центр тяжести лежал в нейтральном слое):
Для определенности далее будем полагать, что совпадает с т.е. является главной и центральной.
Формулы (5.6) и (5.7) приводят к следующей связи нормального напряжения и изгибающего момента:
Эпюра нормальных напряжений по высоте сечения, очевидно, линейная. Она приведена на рис. 5.8. Нейтральная линия совпадает с осью а максимальные растягивающие или сжимающие (в зависимости от знака момента) напряжения имеют место в наиболее удаленных от оси точках
Для симметричных сечений эти формулы упрощаются:
Как следует из (5.9)—(5.11для того чтобы напряжения были меньше, сечение необходимо располагать так, чтобы
Определение 5.5. Величина называется моментом сопротивления при изгибе, и
Формулы его вычисления для некоторых сечений приведены в § П.2 (табл. 11.6).
Температурное поле изменяет НДС только в СН стержнях. В силу принципа суперпозиции оно может быть найдено отдельно. К изгибу сводится только частный случай распределения температуры, а именно, независимость от координаты и линейная зависимость от
При этом действие температуры приводит к фиктивным изгибающим моментам
При поперечном изгибе аксиомы П.8 и 5.1 не справедливы. Как показывают опыты, в этом случае сечения после деформации не остаются плоскими (имеет место так называемая «депланация сечений»), и касательное напряжение
Однако во многих случаях касательные напряжения значительно меньше нормальных. Поэтому ни. 4 и 5, продолжающие указанный в § 5.1 алгоритм расчета СО балок на изгиб практически совпадает с соответствующими пунктами § 1.1, отличаясь тем. что выбираются с учетом формул (5.10) или (5.11).
При этом для симметричных относительно оси сечений расчетным является то сечение, в котором Если для несимметричных сечений момент не меняет знак, то расчетное сечение выбирается так же. Если же момент меняет знак, то расчетными являются два сечения, в которых и
Пример решения задачи 5.4.
Провести проектировочный расчет на прочность изображенной на рис. 5.7 балки для сечений, указанных на рис. 5.9 а-в, а также для швеллера ГОСТа 8240-72. Провести сравнение весов балок с этими сечениями.
В расчетах принять: Толщину округлить до 0,1 мм, а размер до 1 мм.
- Решение:
Пункты 1-3 алгоритма реализованы в примере 5.3. Соответствующая эпюра изгибающих моментов приведена на рис. 5.7.
4-5. Из этой эпюры находим максимальные положительный и отрицательный моменты:
Далее определяем геометрические характеристики сечений, указанных на рис. 5.9 а-в (см. гл.З, табл. П.6 и формулы (5.10), (5.11)):
прямоугольник (оси симметрии — главные центральные):
тонкостенное сечение (ось симметрии — главная центральная; вычислять координату центра тяжести по оси нет необходимости):
фигурное сечение (ось симметрии — главная центральная; сечение несимметрично относительно оси — вспомогательная система координат):
Поскольку допускаемое напряжение на сжатие меньше допускаемого напряжения на растяжение, то в соответствии с алгоритмом расчета СО балок на изгиб равенства (5.11) с учетом (11.27) для симметричных сечений приводят к следующему неравенству:
Отсюда получаем: прямоугольник
тонкостенное сечение
швеллер Окончательно полагаем: прямоугольник
тонкостенное сечение
швеллер № 6,5 (см. табл. П.10)
Для фигурною сечения в силу его несимметричности, в соответствии с алгоритмом и (5.10), (П.27), необходимо решать систему четырех неравенств (при положительном изгибающем моменте верхние волокна сжаты):
Очевидно, последние два неравенства можно отбросить. Учитывая дополнительно, что допускаемое напряжение на сжатие меньше соответствующего напряжения на растяжение, приходим к эквивалентной системе, состоящей из одного первого неравенства. Разрешая его относительно получаем
Окончательно полагаем
Очевидно, отношение весов балок с различными сечениями определяется отношением их площадей:
Определение вертикальных перемещений (прогибов, упругой линии) и углов поворота сечений при изгибе сводится к интегрированию вытекающих из (5.7) и известной формулы для кривизны плоской кривой
квазилинейных уравнений или системы уравнений
Основные типы граничных условий с учетом (5.3), (5.15) и (5.16) для них следующие:
на конце отсутствует опора и приложены сила и момент (их знаки выбираются в соответствии с правилом знаков, указанным в § 5.1; если конец свободный, то и
— заделка на конце
неподвижный или подвижный шарниры на конце с приложенным на нем моментом
В соответствии с принципом начальных размеров (аксиома II.3), как правило, полагают что приводит к линеаризации соотношений (5.14)—(5.19). А именно, уравнение (5.15) и система (5.16) приобретают вид
Они с учетом соотношений (5.3) и (5.4) сводятся к двум эквивалентным уравнениям:
Естественно, квазилинейные уравнение (5.15) и система (5.16) могут быть приведены к аналогичному виду.
Линеаризованные граничные условия при этом имеют вид: на конце отсутствует опора, и приложены сила и момент
заделка на конце
неподвижный или подвижный шарниры на конце с приложенным на нем моментом
Таким образом прогибы (упругая линия) балки могут быть найдены как решение краевых задач для уравнения (5.20) (системы (5.21)) или уравнения (5.23). Пр)и этом в соответствии с порядком уравнения в первом случае необходимы два граничных условия, а во втором — четыре. Использование уравнения (5.20) (системы (5.21)), с одной стороны, имеет преимущество в виде более низкого порядка, а с другой стороны требует предварительного построения эпюры
При решении краевых задач с разрывными характеристиками и/или сосредоточенными нагрузками интегрирование проводится по участкам. Краевые условия в точках стыковки в соответствии с аксиомой П.1 есть уравнения неразрывности балки. Если в этом сечении отсутствуют дополнительные условия, то должно иметь место (опора, врезанный шарнир и т.д.) равенство левых и правых пределов для перемещений и углов поворота (в скобках указаны дополнительные условия, необходимые при использовании уравнения (5.23)):
Здесь — внешние сосредоточенные момент и сила в сечении Их знаки выбираются в соответствии с правилом знаков (см. §5.1).
При наличии в сечении дополнительных условий равенства (5.27) модифицируются в соответствии с типом этих условий. Например, если имеется опора в виде катка, то условия стыковки
таковы:
Этот подход, как правило, приводит к необходимости решать системы линейных алгебраических уравнений высокого порядка. Частично эта сложность устраняется при использовании метода начальных параметров. Его суть состоит в том, что применяется единая для всего бруса система координат с началом на левом конце и учитывается простая структура уравнений системы (5.21), позволяющая найти их общее решение непосредственным интегрированием:
Определение 5.6. Величины называются начальными параметрами.
В случае заделки на левом конце они являются начальными условиями: (см. (5.25)). При других вариантах опор они определяются из граничных условий на правом и, может быть, на левом концах. Даже в случае наличия разрывных характеристик балки и сосредоточенных сил и моментов эпюра моментов и вся подынтегральная функция в первом интеграле в (5.28) может иметь только разрывы первого рода. Следовательно, как вытекает из соответствующих свойств интеграла, и, тем более, непрерывные функции, и условия (5.27) стыковки участков выполняются автоматически. Таким образом в этом методе число неизвестных постоянных не зависит от числа участков и равно двум.
Относительное неудобство заключается в том, что необходимо иметь зависимость в единой системе координат, тогда как при построении эпюр обычно используются местные системы координат (см. примеры 5.1-5.3). Для того чтобы обойти эту сложность, для участка представим каждый интеграл в (5.28) в виде суммы интегралов по участкам и на каждом из участков перейдем к местной координате (если то сумма равна нулю):
где — длина участка.
Подход к решению задач об изгибе, основанный на решении краевых задач, так же, как при растяжении сжатии и кручении, может быть применен и к СН балкам. Однако в общем случае он, очевидно, является громоздким, поскольку здесь необходимо использовать уравнение (5.23) четвертого порядка или метод раскрытия статической неопределимости, изложенный в гл.7.
Там же приведены более простые способы определения перемещений.
Пример решения задачи 5.5.
Найти уравнение упругой линии балки, изображенной на рис. 5.10, полагая, что
- Решение:
Разбиваем балку на два участка (см. рисунок).
I способ — решение краевой задачи но участкам с последующей стыковкой. Будем использовать уравнение (5.20), поскольку число констант интегрирования для уравнения (5.23) в два раза больше.
Определяем реакции в опорах:
По участкам находим местная координата):
участок 0-1
участок 1-2
Эпюры приведены на рис. 5.10.
Далее на каждом участке записываем дифференциальное уравнение (5.20) и находим его общее решение:
участок 0-1 константы интегрирования)
участок 1-2 константы интегрирования)
Для определения произвольных постоянных используем граничные условия (см. (5.26))
и условия сопряжения на границе участков (см. (5.27))
Подставляя в них найденные выражения для прогибов и углов поворота, получаем систему линейных алгебраических уравнений:
Систему из последних трех уравнений решаем методом Гаусса (искомый вектор
откуда находим
Окончательно с учетом этих значений получаем:
участок 0-1
участок 1-2
Здесь значения прогибов на границах участков и углов поворота в сечении, где стыкуются участки, найдены для проверки правильности решения.
Эпюры углов поворота и прогибов приведены на рис. 5.10. Они построены с учетом дифференциальных зависимостей (5.21) и (5.3). Точка экстремума перемещений может быть найдена как решение кубического уравнения
II способ — метод начальных параметров. Используя ранее найденные изгибающие моменты, по участкам вычисляем интегралы в (5.29) (первые из них фактически найдены при решении первым способом), а также углы поворота и прогибы местные координаты): — участок 0-1
участок 1-2
Начальные параметры определяем из указанных выше граничных условий. Из первого из них следует, что
а второе приводит к уравнению
которое имеет следующее решение:
Подставляя найденные значения начальных параметров в выражения для углов поворота и прогибов, получаем тот же результат, что был получен при решении первым способом.