Поперечный изгиб

Поперечный изгиб решение задач по сопромату

Так же, как и ранее, в этой главе мы будем рассматривать прямой стержень (стержень) с той же стандартной ПДСК Поперечный изгиб

Определение 5.1. Изгибом стержня называется такой вид его деформации, при котором ось изменяет свою кривизну. Деформированная ось стержня называется упругой линией. При изгибе стержень также называют балкой,

Ограничимся следующим НДС балок, который является частным случаем изгиба.

Определение 5.2. Поперечным, изгибом балки называется такой вид ее деформации, при котором напряжения Поперечный изгибПоперечный изгиб в любом ее поперечном сечении распределены так, что векторы внутренних силовых факторов лежат в плоскости поперечного сечения:

Поперечный изгиб

т.е. ненулевыми являются только перерезывающие силы и изгибающие моменты.

Поперечный изгиб называется чистым изгибом, если равны нулю перерезывающие силы.

С использованием метода сечений и уравнений равновесия доказывается справедливость следующего утверждения.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по сопротивлению материалов:

Предмет сопротивление материалов (сопромат): формулы и лекции и примеры заданий с решением

Утверждение 5.1 (условия поперечного изгиба). Для того чтобы балка при силовом нагружении находилась в состоянии поперечного изгиба, необходимо и достаточно, чтобы векторы внешних сосредоточенных и распределенных сил и моментов были коллинеарны плоскости ее поперечного сечения:

Поперечный изгиб

Причем Поперечный изгиб только в том случае, когда Поперечный изгиб или Поперечный изгиб Поперечный изгиб только тогда, когда Поперечный изгиб А чистый изгиб имеет место только при Поперечный изгиб

Способ учета температурных полей при изгибе указан в § 5.2. Определение 5.3. Если при поперечном изгибе существует такая проходящая через недеформированную ось бруса

плоскость Поперечный изгиб то эта плоскость называется силовой плоскостью.

При наличии силовой плоскости поперечный изгиб называется прямым изгибом, если упругая линия лежит в этой плоскости.

В этой главе ограничимся прямым изгибом СО балок. Будем полагать, что силовые плоскости совпадают с координатными плоскостями Поперечный изгиб Заметим, что в силу принципа суперпозиции (утверждение П.2) достаточно рассматривать только один из этих вариантов. А именно, будем считать, что силовая плоскость — Поперечный изгиб (для плоскости Поперечный изгиб все результаты такие же с точностью до обозначений). При этом прямой изгиб будем называть просто изгибом.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Задачи на изгиб по сопромату примеры и решения

Задачи на косой изгиб по сопромату примеры и решения

Плоский изгиб решение задач по сопромату

Расчет фермы: примеры с решением

Алгоритм расчета СО балок на изгиб в части пп. 1,2,3 а) аналогичен соответствующим алгоритмам.

1. Разбиваем балку на участки.

2. Из уравнений равновесия определяем реакции опор. Для указанного варианта изгиба нетривиальными являются только два уравнения равновесия: равенство нулю проекций внешних сил на ось Поперечный изгиб и моментов на ось Поперечный изгиб Поэтому для СО балок опоры должны накладывать только две связи, что эквивалентно наличию двух неизвестных реакций в опорах. Однако имеются задачи, в которых балка имеет так называемый врезанный шарнир, который добавляет еще одно уравнение — результирующий момент внешних сил и моментов, приложенных к левой или правой по отношению к шарниру частям балки, равен нулю. Основные варианты СО балок приведены на рис. 5.1: Поперечный изгиб — консольная и Поперечный изгиб двухопорная балки; Поперечный изгиб — балка с врезанным шарниром Поперечный изгиб Здесь же указаны реакции опор.

Уравнение моментов, как правило, составляется относительно одной из опор с тем, чтобы система уравнений была проще. Более того, часто вместо уравнения сил с той же ислыо лучше строить еще одно уравнение моментов, но относительно другой опоры.
Поперечный изгиб
При составлении уравнений равновесия равнодействующие внешних сил и моментов находятся по формулам в (П.11). Для распределенной нагрузки во многих случаях может быть использован следующий геометрический подход, основанный на свойствах определенных интегралов:

равнодействующая погонной силы или момента есть площадь соответствующей эпюры;

момент, создаваемый погонной силой, равен моменту от равнодействующей силы, приложенной в центре тяжести эпюры.

  • При использовании этого м етода н еобход и м о и м еть набор геометрических характеристик элементарных эпюр (криволинейных трапеций). В табл. 5.1 они приведены для парабол порядка Поперечный изгиб (рис. 5.2).

3. а) Последовательно на каждом из участков строим эпюры Поперечный изгиб перерезывающих сил Поперечный изгиб и изгибающих моментов Поперечный изгиб с помощью метода сечений и уравнений равновесия.

Для того чтобы знаки эпюр не были привязаны к системе координат, используется следующее соглашение, которое полностью соответствует знакам Поперечный изгиб выбранным в (П.22) и (П.24).

Поперечный изгиб

Правило знаков для Поперечный изгиб Рассмотрим часть бруса Поперечный изгиб содержащую данное сечение (на рис. 5.3 и 5.4 оно отмечено координатой Поперечный изгиб В соответствии с третьим законом Ньютона внутренние силовые факторы на торцах части Поперечный изгиб противоположно направлены и образуют пару.

Если пара Поперечный изгиб ориентирована по ходу (против хода) часовой стрелки, то Поперечный изгибПоперечный изгиб рис. 5.3 а (рис. 5.3 б). Если в данном сечении упругая линия вогнута (выпукла), то Поперечный изгиб рис. 5.4 а (рис. 5.4 б).

Иначе говоря, для левой части балки Поперечный изгиб направлена в сторону равнодействующей внешней нагрузки, а для правой в обратную сторону. Поперечный изгиб строится на сжатых волокнах. Смысл этого термина раскрыт в § 5.2.

Перерезывающие силы Поперечный изгиб изгибающие моменты Поперечный изгиб и внешние нагрузки связаны между собой следующими дифференциальными зависимостями:

Поперечный изгиб

из которых следует дифференциальное уравнение равновесия стержня при изгибе-.

Поперечный изгиб

Заметим, что при использовании уравнения (5.4) распределенный момент всегда можно включить в погонную нагрузку: Поперечный изгиб

При построении эпюр аналогично § 1.1 удобно пользоваться следующими выводами, вытекающими из соотношений (5.3), (5.4) и свойств производных:

если Поперечный изгиб — многочлен, то Поперечный изгиб — тоже многочлены, степень которых на единицу и двойку выше (например, постоянная погонная нагрузка дает линейную зависимость для перерезывающей силы и параболическую кривую для момента и т. д.; при этом достаточно находить лишь граничные значения перерезывающих сил и моментов);

по знаку Поперечный изгиб можно судить о возрастании или убывании Поперечный изгиб
необходимым условием экстремума Поперечный изгиб является равенство Поперечный изгиб а достаточным — изменение знака Поперечный изгибПоперечный изгиб

Поперечный изгиб направлена выпуклостью навстречу направлению (потоку) Поперечный изгиб

  • Поперечный изгиб в точках приложения сосредоточенных сил имеет скачки (разрывы первого рода), равные но абсолютной величине этим силам, а Поперечный изгиб излом (разрыв производной);
  • Поперечный изгиб в точках приложения сосредоточенных моментов имеет скачки, равные по величине этим моментам.

Пример решения задачи 5.1.

Для консольной балки, представленной на рис. 5.5, построить эпюры Поперечный изгиб

  • Решение:

1. Разбиение балки на участки показано на рисунке.

2-3. При построении эпюр для балок с защемленным концом опорные реакции можно не определять, если начинать вычисление внутренних усилий со свободного конца, что и делается в этом примере.

Перерезывающие силы и изгибающие моменты находим с учетом правила знаков по участкам из уравнений равновесия аналогично § 1.1, 4.1 (равнодействующие погонных нагрузок вычисляются геометрическим методом, указанным в алгоритме):

участок 0 1

Поперечный изгиб
участок 1-2

Поперечный изгиб

Поперечный изгиб

участок 2-3

Поперечный изгиб

Соответствующие эпюры приведены на рис. 5.5. Величина и направление скачков на Поперечный изгиб строго соответствуют сосредоточенным силам, а на Поперечный изгиб — сосредоточенным моментам. Поскольку везде Поперечный изгиб то экстремумы в Поперечный изгиб отсутствуют.

Пример решения задачи 5.2.

Для двухопорной балки (рис. 5.6) построить Поперечный изгиб

  • Решение:

1. Разбиение балки на участки показано на рисунке.

2. Отбрасываем опоры, заменяем их реакциями Поперечный изгиб (см. рис. 5.1), и составляем уравнения равновесия (относительно их выбора см. и. 2 алгоритма):

Поперечный изгиб

Отсюда находим

Поперечный изгиб

3. С учетом найденных реакций по участкам определяем Поперечный изгиб и Поперечный изгиб

участок 0 1

Поперечный изгиб

участок 1-2

Поперечный изгиб
участок 2-3

Поперечный изгиб

участок 3 4

Поперечный изгиб

участок 4-5

Поперечный изгиб

При вычислении моментов на последнем участке погонная сила, действующая на участке 3-5, разделена на две нагрузки, соответствующие участкам 3-4 и 4-5. Вычисление Поперечный изгиб на левом и правом концах балки можно было бы и не проводить, так как их значения известны (см. (5.17) и (5.24)). Также можно было бы не находить значения внутренних силовых факторов па левых концах участков, начиная со второго, если там отсутствуют соответствующие сосредоточенные нагрузки. Однако эти операции удобно использовать для проверки.

Соответствующие эпюры приведены на рис. 5.6. Поскольку везде Поперечный изгиб то экстремумы в Поперечный изгиб отсутствуют.

Пример решения задачи 5.3.

Для трехоиорной балки с врезанным шарниром (рис. 5.7) построить Поперечный изгиб

  • Решение:

1. Разбиение банки на участки показано на рисунке.
Поперечный изгиб-
2. Отбрасываем опоры, заменяем их реакциями Поперечный изгиб (см. рис. 5.1), и составляем уравнения равновесия:

Поперечный изгиб

Дополнительное уравнение получаем, составляя уравнение моментов для правой части балки относительно врезанного шарнира (см. п. 2 алгоритма):

Поперечный изгиб

Объединяя все три уравнения, приходим к системе уравнений:

Поперечный изгиб

решение которой находим, начиная с последнего уравнения:

Поперечный изгиб

3. С учетом найденных реакций по участкам определяем Поперечный изгиб и Поперечный изгиб

участок 0-1

Поперечный изгиб

участок 1-2

Поперечный изгиб

участок 2-3

Поперечный изгиб

Эпюра Поперечный изгиб приведена на рис. 5.7. Для построения Поперечный изгиб (см. тот же рисунок) необходимо дополнительно найти ее экстремумы:

участок 0 1 (Поперечный изгиб — точка максимума, так как при переходе через нее Поперечный изгиб меняет знак с плюса на минус)

Поперечный изгиб

участок 2 3 (Поперечный изгиб точка максимума по той же причине)

Поперечный изгиб

Поперечный изгиб

5.2. Нормальные напряжения и перемещения

При чистом изгибе для определения напряжений к гипотезе Вернул л и добавляется следующее предположение (см. также утверждение 1.2).

Аксиома 5.1. При чистом изгибе продольные волокна балки находятся в состоянии одноосного растяжения сжатия, т. с. в любой точке

Поперечный изгиб

Из аксиом П.8, 5.1 и закона Гука (1.5) вытекает связь продольных деформаций Поперечный изгиб нормальных напряжений Поперечный изгиб и радиуса кривизны Поперечный изгибупругой линии:

Поперечный изгиб

где начало системы координат Поперечный изгиб в сечении выбрано на неде-формированных продольных волокнах Поперечный изгиб

Дополнительный учет выражения для изгибающего момента Поперечный изгиб в (П.20) приводит к уравнению деформаций при изгибе:

Поперечный изгиб

Определение 5.4. Совокупность недефор.мированных продольных волокон балки называется нейтральным слоем, а прямая Поперечный изгиб лежащая в пересечении нейтрального слоя и плоскости поперечного сечения — нейтральной линией.

Произведение Поперечный изгиб называется жесткостью на изгиб, Из формул (5.6), (П.20), аксиомы 5.1 и условий чистого изгиба (определение 5.2) вытекает следующий результат.

Утверждение 5.2. Для того чтобы в условиях утверждения 5.1 имел место чистый изгиб балки в плоскости Поперечный изгиб необходимо и достаточно, чтобы система координат Поперечный изгиб была главной. а ее ось Поперечный изгиб проходила через центр тяжести Поперечный изгиб поперечного сечения (центр тяжести лежал в нейтральном слое):

Поперечный изгиб

Для определенности далее будем полагать, что Поперечный изгиб совпадает с Поперечный изгиб т.е. является главной и центральной.

Формулы (5.6) и (5.7) приводят к следующей связи нормального напряжения и изгибающего момента:

Поперечный изгиб

Эпюра нормальных напряжений по высоте сечения, очевидно, линейная. Она приведена на рис. 5.8. Нейтральная линия Поперечный изгиб совпадает с осью Поперечный изгиб а максимальные растягивающие или сжимающие (в зависимости от знака момента) напряжения имеют место в наиболее удаленных от оси точках Поперечный изгиб

Поперечный изгиб

Для симметричных сечений эти формулы упрощаются:

Поперечный изгиб

Как следует из (5.9)—(5.11для того чтобы напряжения были меньше, сечение необходимо располагать так, чтобы Поперечный изгиб

Определение 5.5. Величина Поперечный изгиб называется моментом сопротивления при изгибе, и

Формулы его вычисления для некоторых сечений приведены в § П.2 (табл. 11.6).

Температурное поле Поперечный изгиб изменяет НДС только в СН стержнях. В силу принципа суперпозиции оно может быть найдено отдельно. К изгибу сводится только частный случай распределения температуры, а именно, независимость от координаты Поперечный изгиб и линейная зависимость от Поперечный изгиб

Поперечный изгиб

При этом действие температуры приводит к фиктивным изгибающим моментам

Поперечный изгиб

При поперечном изгибе аксиомы П.8 и 5.1 не справедливы. Как показывают опыты, в этом случае сечения после деформации не остаются плоскими (имеет место так называемая «депланация сечений»), и касательное напряжение Поперечный изгиб

Однако во многих случаях касательные напряжения значительно меньше нормальных. Поэтому ни. 4 и 5, продолжающие указанный в § 5.1 алгоритм расчета СО балок на изгиб практически совпадает с соответствующими пунктами § 1.1, отличаясь тем. что Поперечный изгиб выбираются с учетом формул (5.10) или (5.11).

При этом для симметричных относительно оси Поперечный изгиб сечений расчетным является то сечение, в котором Поперечный изгиб Если для несимметричных сечений момент не меняет знак, то расчетное сечение выбирается так же. Если же момент меняет знак, то расчетными являются два сечения, в которых Поперечный изгиб и Поперечный изгиб

Пример решения задачи 5.4.

Провести проектировочный расчет на прочность изображенной на рис. 5.7 балки для сечений, указанных на рис. 5.9 а-в, а также для швеллера ГОСТа 8240-72. Провести сравнение весов балок с этими сечениями.

В расчетах принять: Поперечный изгибПоперечный изгиб Толщину Поперечный изгиб округлить до 0,1 мм, а размер Поперечный изгиб до 1 мм.

  • Решение:

Пункты 1-3 алгоритма реализованы в примере 5.3. Соответствующая эпюра изгибающих моментов приведена на рис. 5.7.

4-5. Из этой эпюры находим максимальные положительный и отрицательный моменты:

Поперечный изгиб

Далее определяем геометрические характеристики сечений, указанных на рис. 5.9 а-в (см. гл.З, табл. П.6 и формулы (5.10), (5.11)):

прямоугольник (оси симметрии Поперечный изгиб — главные центральные):

Поперечный изгиб
тонкостенное сечение (ось симметрии Поперечный изгиб — главная центральная; вычислять координату центра тяжести по оси Поперечный изгиб нет необходимости):
Поперечный изгиб

фигурное сечение (ось симметрии Поперечный изгиб — главная центральная; сечение несимметрично относительно оси Поперечный изгибПоперечный изгиб — вспомогательная система координат):

Поперечный изгиб

Поперечный изгиб

Поскольку допускаемое напряжение на сжатие меньше допускаемого напряжения на растяжение, то в соответствии с алгоритмом расчета СО балок на изгиб равенства (5.11) с учетом (11.27) для симметричных сечений приводят к следующему неравенству:

Поперечный изгиб

Отсюда получаем: прямоугольник
Поперечный изгиб

тонкостенное сечение

Поперечный изгиб

швеллер
Поперечный изгиб
Окончательно полагаем: прямоугольник

Поперечный изгиб

тонкостенное сечение

Поперечный изгиб

швеллер № 6,5 (см. табл. П.10)

Поперечный изгиб

Для фигурною сечения в силу его несимметричности, в соответствии с алгоритмом и (5.10), (П.27), необходимо решать систему четырех неравенств (при положительном изгибающем моменте верхние волокна сжаты):
Поперечный изгиб

Очевидно, последние два неравенства можно отбросить. Учитывая дополнительно, что допускаемое напряжение на сжатие меньше соответствующего напряжения на растяжение, приходим к эквивалентной системе, состоящей из одного первого неравенства. Разрешая его относительно Поперечный изгиб получаем

Поперечный изгиб

Окончательно полагаем

Поперечный изгиб

Очевидно, отношение весов балок с различными сечениями определяется отношением их площадей:

Поперечный изгиб

Определение вертикальных перемещений (прогибов, упругой линии) Поперечный изгиб и углов поворота Поперечный изгиб сечений при изгибе сводится к интегрированию вытекающих из (5.7) и известной формулы для кривизны плоской кривой

Поперечный изгиб

квазилинейных уравнений
Поперечный изгиб

или системы уравнений

Поперечный изгиб
Основные типы граничных условий с учетом (5.3), (5.15) и (5.16) для них следующие:

на конце Поперечный изгиб отсутствует опора и приложены сила Поперечный изгиб и момент Поперечный изгиб (их знаки выбираются в соответствии с правилом знаков, указанным в § 5.1; если конец свободный, то Поперечный изгиб и Поперечный изгиб

Поперечный изгиб

— заделка на конце Поперечный изгиб

Поперечный изгиб

неподвижный или подвижный шарниры на конце Поперечный изгиб с приложенным на нем моментом Поперечный изгиб

Поперечный изгиб
В соответствии с принципом начальных размеров (аксиома II.3), как правило, полагают Поперечный изгиб что приводит к линеаризации соотношений (5.14)—(5.19). А именно, уравнение (5.15) и система (5.16) приобретают вид

Поперечный изгиб

Они с учетом соотношений (5.3) и (5.4) сводятся к двум эквивалентным уравнениям:

Поперечный изгиб
Естественно, квазилинейные уравнение (5.15) и система (5.16) могут быть приведены к аналогичному виду.

Линеаризованные граничные условия при этом имеют вид: на конце Поперечный изгиб отсутствует опора, и приложены сила Поперечный изгиб и момент Поперечный изгибПоперечный изгиб

заделка на конце Поперечный изгиб

Поперечный изгиб
неподвижный или подвижный шарниры на конце Поперечный изгиб с приложенным на нем моментом Поперечный изгиб

Поперечный изгиб

Таким образом прогибы (упругая линия) балки могут быть найдены как решение краевых задач для уравнения (5.20) (системы (5.21)) или уравнения (5.23). Пр)и этом в соответствии с порядком уравнения в первом случае необходимы два граничных условия, а во втором — четыре. Использование уравнения (5.20) (системы (5.21)), с одной стороны, имеет преимущество в виде более низкого порядка, а с другой стороны требует предварительного построения эпюры Поперечный изгиб

При решении краевых задач с разрывными характеристиками и/или сосредоточенными нагрузками интегрирование проводится по участкам. Краевые условия в точках Поперечный изгиб стыковки в соответствии с аксиомой П.1 есть уравнения неразрывности балки. Если в этом сечении отсутствуют дополнительные условия, то должно иметь место (опора, врезанный шарнир и т.д.) равенство левых и правых пределов для перемещений и углов поворота (в скобках указаны дополнительные условия, необходимые при использовании уравнения (5.23)):

Поперечный изгиб

Здесь Поперечный изгиб — внешние сосредоточенные момент и сила в сечении Поперечный изгиб Их знаки выбираются в соответствии с правилом знаков (см. §5.1).

При наличии в сечении дополнительных условий равенства (5.27) модифицируются в соответствии с типом этих условий. Например, если имеется опора в виде катка, то условия стыковки

таковы:

Поперечный изгиб

Этот подход, как правило, приводит к необходимости решать системы линейных алгебраических уравнений высокого порядка. Частично эта сложность устраняется при использовании метода начальных параметров. Его суть состоит в том, что применяется единая для всего бруса система координат Поперечный изгиб с началом на левом конце и учитывается простая структура уравнений системы (5.21), позволяющая найти их общее решение непосредственным интегрированием:

Поперечный изгиб

Определение 5.6. Величины Поперечный изгиб называются начальными параметрами.

В случае заделки на левом конце они являются начальными условиями: Поперечный изгиб (см. (5.25)). При других вариантах опор они определяются из граничных условий на правом и, может быть, на левом концах. Даже в случае наличия разрывных характеристик балки и сосредоточенных сил и моментов эпюра моментов и вся подынтегральная функция в первом интеграле в (5.28) может иметь только разрывы первого рода. Следовательно, как вытекает из соответствующих свойств интеграла, Поперечный изгиб и, тем более, Поперечный изгиб непрерывные функции, и условия (5.27) стыковки участков выполняются автоматически. Таким образом в этом методе число неизвестных постоянных не зависит от числа участков и равно двум.

Относительное неудобство заключается в том, что необходимо иметь зависимость Поперечный изгиб в единой системе координат, тогда как при построении эпюр обычно используются местные системы координат (см. примеры 5.1-5.3). Для того чтобы обойти эту сложность, для Поперечный изгиб участка Поперечный изгиб представим каждый интеграл в (5.28) в виде суммы интегралов по участкам и на каждом из участков перейдем к местной координате Поперечный изгибПоперечный изгиб (если Поперечный изгиб то сумма равна нулю):

Поперечный изгиб

где Поперечный изгиб — длина Поперечный изгиб участка.

Подход к решению задач об изгибе, основанный на решении краевых задач, так же, как при растяжении сжатии и кручении, может быть применен и к СН балкам. Однако в общем случае он, очевидно, является громоздким, поскольку здесь необходимо использовать уравнение (5.23) четвертого порядка или метод раскрытия статической неопределимости, изложенный в гл.7.

Там же приведены более простые способы определения перемещений.

Пример решения задачи 5.5.

Найти уравнение упругой линии балки, изображенной на рис. 5.10, полагая, что Поперечный изгиб

  • Решение:

Разбиваем балку на два участка (см. рисунок).

I способ — решение краевой задачи но участкам с последующей стыковкой. Будем использовать уравнение (5.20), поскольку число констант интегрирования для уравнения (5.23) в два раза больше.

Определяем реакции Поперечный изгиб в опорах:

Поперечный изгиб

По участкам находим Поперечный изгиб местная координата):

участок 0-1

Поперечный изгиб

Поперечный изгиб

участок 1-2

Поперечный изгиб

Поперечный изгиб
Поперечный изгиб

Эпюры Поперечный изгиб приведены на рис. 5.10.

Далее на каждом участке записываем дифференциальное уравнение (5.20) и находим его общее решение:

участок 0-1 Поперечный изгиб константы интегрирования)

Поперечный изгиб

участок 1-2 Поперечный изгиб константы интегрирования)

Поперечный изгиб

Для определения произвольных постоянных Поперечный изгиб используем граничные условия (см. (5.26))

Поперечный изгиб

и условия сопряжения на границе участков (см. (5.27))

Поперечный изгиб

Подставляя в них найденные выражения для прогибов и углов поворота, получаем систему линейных алгебраических уравнений:

Поперечный изгиб

Систему из последних трех уравнений решаем методом Гаусса (искомый вектор Поперечный изгибПоперечный изгиб

откуда находим

Поперечный изгиб

Окончательно с учетом этих значений получаем:

участок 0-1

Поперечный изгиб

участок 1-2

Поперечный изгиб

Здесь значения прогибов на границах участков и углов поворота в сечении, где стыкуются участки, найдены для проверки правильности решения.

Эпюры углов поворота и прогибов приведены на рис. 5.10. Они построены с учетом дифференциальных зависимостей (5.21) и (5.3). Точка экстремума перемещений Поперечный изгиб может быть найдена как решение кубического уравнения Поперечный изгиб

II способ — метод начальных параметров. Используя ранее найденные изгибающие моменты, по участкам вычисляем интегралы Поперечный изгиб в (5.29) (первые из них фактически найдены при решении первым способом), а также углы поворота и прогибы Поперечный изгиб местные координаты): — участок 0-1 Поперечный изгиб

Поперечный изгиб

участок 1-2 Поперечный изгиб

Поперечный изгиб

Поперечный изгиб

Начальные параметры определяем из указанных выше граничных условий. Из первого из них следует, что

Поперечный изгиб

а второе приводит к уравнению

Поперечный изгиб

которое имеет следующее решение:

Поперечный изгиб

Подставляя найденные значения начальных параметров в выражения для углов поворота и прогибов, получаем тот же результат, что был получен при решении первым способом.