Понятие обратной функции. Производная обратной функции
Содержание:
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:
Решение задач по математике |
Пусть функция у = f(x) задана на отрезке (а, Ь] и пусть множеством значений этой функции является отрезок [а, р] оси Оу. Пусть, далее, каждому у из [а, р\ соответствует только одно значение ж G [а, 6], для которого/(г) = у (рис. 9). Тогда на отрезке [а, р\ можно определить функцию х = , ставя в соответствие каждому у е (а,/?] то значение х G (о, 6], для которого f{x) = у. Функция х = (р(у) называется обратной для функции у = f{x). Если х = — обратная функция для у = /(г), то, очевидно, функция у = f(x) является обратной для функции х =.
Поэтому функции называют взаимно обратными. Для взаимно обратных функций имеют место соотношения Укажем еше один, более конструктивный, подход к понятию обратной функции. Если уравнение у = /(ж), определяющее у как функцию от х, можно разрешить относительно х так, что каждому значению у соответствует одно определенное значение х, то получим уравнение х = определяющее х как функцию у. Эта функция является обратной по отношению к функции у = f(x).
Примеры. 1. обратная функция обратная функция х = 3. обратная функция Понятие обратной функции. Производная обратной функции Производные обратных тригонометрических функций Производные гиперболических функций Таблица производных основных элементарных функций Логарифмическое дифференцирование Применение дифференциалов в приближенных вычислениях.
Производные высших порядков Механический смысл второй производной Производные высших порядков суммы и произведения функций Очевидно, уравнения у = f(x) и х = tp(y) определяют одну и ту же кривую на плоскости хОу. Если в обоих случаях откладывать значения аргументов на оси абсцисс, а значения функции на оси ординат, т.е. вместо уравнений у = f(x) и х = рассматривать уравнения у = f (x) и у = у>(я), то график функции у будет симметричен графику функции у = /(х) относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов (рис. 10).
Определение. Функция у = f(x) называется возрастающей на некотором отрезке [а, 6), если для любых ж | и х2 из отрезка [a, ft), удовлетворяющих условию х .справедливо неравенство Пример. Такова, например, функция /(х) = z} на любом отрезке Теорема 4. Если функция у = f(x) непрерывна и возрастает на отрезке [а, 6], причем J (а) = a, f(b) = Р, то она имеет обратную функцию х = у?(у), которая определена, непрерывна и возрастает на отрезке [а, Р].
Ограничимся геометрическим пояснением теоремы (рис.11). Кривая АВ является графиком функции у = /(г), непрерывной и возрастающей на [а, Ь\. Из рисунка видно, что каждому значению у € [а, Р\ отвечает одно значение х € |а, Ь], для которого /(х) = у. Поэтому той же кривой АВ величина х выражается как функция у на [а, р]:. Это и есть функция, обратная к у.
Она на отрезке \а,р\ непрерывна (ее графиком является та же непрерывная кривая АВ) и возрастает, т. к. большему значению аргумента у отвечает большее значение функции х = Аналогичное утверждение справедливо и для непрерывной убывающей на (а, 6) функции. 6.1. Производная обратной функции Теорема 5.
Пусть функция у = f{x) непрерывна и возрастает {убывает) в некоторой окрестности точки х0 и пусть в точке Хо существует производная f'(x0) ф 0.
Тогда обратная функция х = имеет производную в точке уо = f(xо), причем Рассмотрим функцию . Дадим значению у = г/о приращение Ду. Тогда функция х = получит некоторое приращение Ах: При этом в силу возрастания (убывания) обратной функции при Ау Ф 0 обязательно Ах Ф 0. Поэтому отношение gf можно представить в виде Если теперь Ау устремить к нулю, то и Ах будет стремиться к нулю, т. к. обратная функция х = р(у) также непрерывна в точке г/о-
По условию функция у = f(x) имеет в точке х0 производную Следовательно, при Ау 0 (когда и Ах -» 0), предел частного существует и равен Из равенства (3) вытекает поэтому, что при Ау 0 существует предел отношения причем Но предел отношения при Ду 0 есть производная функции х в точке у = г/о - Таким образом, Понятие обратной функции. Производная обратной функции Производные обратных тригонометрических функций Производные гиперболических функций Таблица производных основных элементарных функций Логарифмическое дифференцирование Применение дифференциалов в приближенных вычислениях.
Производные высших порядков Механический смысл второй производной Производные высших порядков суммы и произведения функций Геометрически результат теоремы достаточно прозрачен. Существование производной функции у = /(х) в точке х0 эквивалентно существованию касательной к графику этой функции в точке М0(х о, f{x о)). Поэтому, если существует касательная к кривой у = f(x) в точке ЭД)(Я(ъ2/о)» не параллельная оси Ох, то она будет касательной и к графику функции х = (та же кривая!) в точке М0 (рис. 12).
Возможно вам будут полезны данные страницы:
При этом f\x0) = , поскольку Формулу (4) записывают также в виде Формулы (4) и (5) можно получить совсем просто. Пусть — взаимно обратные дифференцируемые функции. Тогда Дифференцируя обе части по г и пользуясь правилом дифференцирования сложной функции,получим . Производные обратных тригонометрических функций 1. Функция у = arcsinz определена на отрезке (-1, 1] (рис. 13) и является обратной для функции х = sin у на отрезке .
Рассмотрим интервал . Функциях = sin у имеет для соответствующих значений у G (-§ ) положительную производную х'у = cos у. В таком случае существует также производная yi, равная, согласно (5), \: Мы исключаем значения х = ±1, поскольку для соответствующих значений у = ±\ производная х'у = cos у равна нулю и правая часть (6) теряет числовой смысл. Рис. 14 2. Функция , (рис.14) служит обратной для функции . По формуле (5) Чтобы найти формулы для производных arccos х и arcctg х, достаточно заметить, что § 7.
Производные гиперболических функций |
По определению гиперболический синус shx = е*Ц гиперболический косинус Отсюда легко находим Пользуясь правилом дифференцирования частного и тождеством получаем По определению гиперболический тангенс th х = ^.гиперболический котангенс Таблица производных основных элементарных функций § 8. Логарифмическое дифференцирование.
При отыскании производной сложной функции иногда бывает удобным следующий прием, называемый логарифмическим дифференцированием. Пусть требуется найти производную функции у = /(х) > 0 и пусть функция дифференцируется значительно проще. Тогда поступаем так. Беря натуральный логарифм данной функции, будем иметь Дифференцируя обе части (I) по х и учитывая, что у есть функция от х, найдем Логарифмическое дифференцирование особенно удобно при дифференцировании сложной степенно-показательной функции, т. е. функции вида — дифференцируемые функции).
Имеем Дифференцируя обе части последнего равенства, получаем откуда . Пример. Найти производную функции м Беря натуральные логарифмы от обеих частей равенства (*), полунаем откуда или § 9. Применение дифференциалов в приближенных вычислениях Пусть функция у = f{x) дифференцируема в точке ж0, так что приращение функции Ау, отвечающее приращению Ах аргумента, представимо в виде так что при бесконечно малые Ау и dy эквивалентны и их разность Ay - dy есть бесконечно малая более высокого порядка, чем они сами.
Поэтому мы можем брать величину dy в качестве приближенного значения Ау : Так им образом, если dy(x0) Ф 0,то для приближенного вычисления значения функции в точке х0 + Ах можно пользоваться формулой причем абсолютная и относительная погрешности будут как угодно малы при достаточно малом |Ах|. Пусть, например, . Тогда При малых значениях |Дж| полагаем или В частности, при Пример. Вычислить приближенно . Полагаем , получим по формуле §10.
Производные высших порядков
Если функция /(х) имеет производную /'(х) в каждой точке х интервала (а, 6), то /'(ж) есть функция от ж, определенная на интервале (а, Ь). Может оказаться, что и /'(ж) в точке ж 6 (a, b) в свою очередь имеет производную, которую называют производной 2-го порядка функции /(ж) (или второй производной) и обозначают символом (ж) или /(2)(ж). Таким образом Понятие обратной функции.
Производная обратной функции Производные обратных тригонометрических функций Производные гиперболических функций Таблица производных основных элементарных функций Логарифмическое дифференцирование Применение дифференциалов в приближенных вычислениях Производные высших порядков Механический смысл второй производной Производные высших порядков суммы и произведения функций Производные более высоких порядков определяются аналогично.
Именно, производная п-го порядка функции /(ж) есть производная от производной (п - 1)-го порядка этой функции: Число п, указывающее порядок производной, заключают в скобки, чтобы не путать с показателем степени. Чтобы найти /, надо сначала найти затем, взяв производную о, и т.д., пока не получим производную нужного порядка. Таким образом, производные высших порядков вычисляются при помощи уже известных правил и формул дифференцирования.
Примеры. 1:
Вычислим п-ю производную функции . Последовательно дифференцируя, будем иметь По методу математической индукции получаем Вычислим п-ю производную функции у = sin х. Имеем .... Методом индукции устанавливаем 3. Аналогично получаем формулу Множество всех функций f(x), определенных на интервале (а,Ь) и имеющих в каждой точке х 6 (а, Ъ) непрерывную производную п-го порядка, обозначается Сп(а, 6).
Функцию f(x), имеющую производную любого порядка в каждой точке х 6 (а, Ь), называют бесконечно дифференцируемой на (а, 6) и пишут . Так, функции ez, sin ж, cos ж бесконечно дифференцируемы на Замечание. Производные четвертого порядка и выше иногда обозначают римскими цифрами и без скобок, т. е. пишут 10.1. Механический смысл второй производной Пусть S = S{t) — закон прямолинейного движения материальной точки.
Тогда, как известно, S'(t) = v(t) — мгновенная скорость движущейся точки в момент времени t. В таком случае вторая производная S"(i) равна г/(£),т.е. ускорению a(t) движущейся точки в момент времени t: 10.2. Производные высших порядков суммы и произведения функций Если функции и(х) и v(x) имеют производные п-го порядка в точке х, то функции и(х) ± v(x) и • v(x) также имеют производные п-го порядка в этой точке, причем Формулы (1) и (2) доказываются по индукции. Для формулы (1) это делается без труда (проделайте самостоятельно).
Остановимся несколько подробнее на выводе формулы (2). Если у = Легко подметить закон, по которому построены все эти формулы: правые части их напоминают разложение степеней бинома лишь место степеней и и v стоят порядки производных. Сходство становится еще более полным, если в полученных формулах вместо u, v писать u(0), v{Q) (производные нулевого порядка). Формула (2) носит название формулы Лейбница. Пример. Пользуясь формулой Лейбница, найти от функции Имеем Отметим еще полезную формулу. Пусть — взаимно обратные функции и пусть Далее,