Понятие обратной функции. Производная обратной функции

Содержание:

  1. Производные высших порядков
  2. Примеры. 1: 

Понятие обратной функции. Производная обратной функции

Понятие обратной функции. Производная обратной функции

Понятие обратной функции. Производная обратной функции

Понятие обратной функции. Производная обратной функции

Понятие обратной функции. Производная обратной функции

Понятие обратной функции. Производная обратной функции

Понятие обратной функции. Производная обратной функции

Понятие обратной функции. Производная обратной функции

Понятие обратной функции. Производная обратной функции

 

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Решение задач по математике

 

Пусть функция у = f(x) задана на отрезке (а, Ь] и пусть множеством значений этой функции является отрезок [а, р] оси Оу. Пусть, далее, каждому у из [а, р\ соответствует только одно значение ж G [а, 6], для которого/(г) = у (рис. 9). Тогда на отрезке [а, р\ можно определить функцию х = , ставя в соответствие каждому у е (а,/?] то значение х G (о, 6], для которого f{x) = у. Функция х = (р(у) называется обратной для функции у = f{x). Если х = — обратная функция для у = /(г), то, очевидно, функция у = f(x) является обратной для функции х =.

Поэтому функции называют взаимно обратными. Для взаимно обратных функций имеют место соотношения Укажем еше один, более конструктивный, подход к понятию обратной функции. Если уравнение у = /(ж), определяющее у как функцию от х, можно разрешить относительно х так, что каждому значению у соответствует одно определенное значение х, то получим уравнение х = определяющее х как функцию у. Эта функция является обратной по отношению к функции у = f(x).

Примеры. 1. обратная функция обратная функция х = 3. обратная функция Понятие обратной функции. Производная обратной функции Производные обратных тригонометрических функций Производные гиперболических функций Таблица производных основных элементарных функций Логарифмическое дифференцирование Применение дифференциалов в приближенных вычислениях.

Производные высших порядков Механический смысл второй производной Производные высших порядков суммы и произведения функций Очевидно, уравнения у = f(x) и х = tp(y) определяют одну и ту же кривую на плоскости хОу. Если в обоих случаях откладывать значения аргументов на оси абсцисс, а значения функции на оси ординат, т.е. вместо уравнений у = f(x) и х = рассматривать уравнения у = f (x) и у = у>(я), то график функции у будет симметричен графику функции у = /(х) относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов (рис. 10).

Определение. Функция у = f(x) называется возрастающей на некотором отрезке [а, 6), если для любых ж | и х2 из отрезка [a, ft), удовлетворяющих условию х .справедливо неравенство Пример. Такова, например, функция /(х) = z} на любом отрезке Теорема 4. Если функция у = f(x) непрерывна и возрастает на отрезке [а, 6], причем J (а) = a, f(b) = Р, то она имеет обратную функцию х = у?(у), которая определена, непрерывна и возрастает на отрезке [а, Р].

Ограничимся геометрическим пояснением теоремы (рис.11). Кривая АВ является графиком функции у = /(г), непрерывной и возрастающей на [а, Ь\. Из рисунка видно, что каждому значению у € [а, Р\ отвечает одно значение х € |а, Ь], для которого /(х) = у. Поэтому той же кривой АВ величина х выражается как функция у на [а, р]:. Это и есть функция, обратная к у.

Она на отрезке \а,р\ непрерывна (ее графиком является та же непрерывная кривая АВ) и возрастает, т. к. большему значению аргумента у отвечает большее значение функции х = Аналогичное утверждение справедливо и для непрерывной убывающей на (а, 6) функции. 6.1. Производная обратной функции Теорема 5.

Пусть функция у = f{x) непрерывна и возрастает {убывает) в некоторой окрестности точки х0 и пусть в точке Хо существует производная f'(x0) ф 0.

Тогда обратная функция х = имеет производную в точке уо = f(xо), причем Рассмотрим функцию . Дадим значению у = г/о приращение Ду. Тогда функция х = получит некоторое приращение Ах: При этом в силу возрастания (убывания) обратной функции при Ау Ф 0 обязательно Ах Ф 0. Поэтому отношение gf можно представить в виде Если теперь Ау устремить к нулю, то и Ах будет стремиться к нулю, т. к. обратная функция х = р(у) также непрерывна в точке г/о-

По условию функция у = f(x) имеет в точке х0 производную Следовательно, при Ау 0 (когда и Ах -» 0), предел частного существует и равен Из равенства (3) вытекает поэтому, что при Ау 0 существует предел отношения причем Но предел отношения при Ду 0 есть производная функции х в точке у = г/о - Таким образом, Понятие обратной функции. Производная обратной функции Производные обратных тригонометрических функций Производные гиперболических функций Таблица производных основных элементарных функций Логарифмическое дифференцирование Применение дифференциалов в приближенных вычислениях.

Производные высших порядков Механический смысл второй производной Производные высших порядков суммы и произведения функций Геометрически результат теоремы достаточно прозрачен. Существование производной функции у = /(х) в точке х0 эквивалентно существованию касательной к графику этой функции в точке М0(х о, f{x о)). Поэтому, если существует касательная к кривой у = f(x) в точке ЭД)(Я(ъ2/о)» не параллельная оси Ох, то она будет касательной и к графику функции х = (та же кривая!) в точке М0 (рис. 12).

 

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Построение прямой линии параллельно плоскости
Асимптотические методы решения дифференциальных уравнений
Оператор Гамильтона. Оператор Лапласа. Понятие о криволинейных координатах
Ангидриды карбоновых кислот

 

При этом f\x0) = , поскольку Формулу (4) записывают также в виде Формулы (4) и (5) можно получить совсем просто. Пусть — взаимно обратные дифференцируемые функции. Тогда Дифференцируя обе части по г и пользуясь правилом дифференцирования сложной функции,получим . Производные обратных тригонометрических функций 1. Функция у = arcsinz определена на отрезке (-1, 1] (рис. 13) и является обратной для функции х = sin у на отрезке .

Рассмотрим интервал . Функциях = sin у имеет для соответствующих значений у G (-§ ) положительную производную х'у = cos у. В таком случае существует также производная yi, равная, согласно (5), \: Мы исключаем значения х = ±1, поскольку для соответствующих значений у = ±\ производная х'у = cos у равна нулю и правая часть (6) теряет числовой смысл. Рис. 14 2. Функция , (рис.14) служит обратной для функции . По формуле (5) Чтобы найти формулы для производных arccos х и arcctg х, достаточно заметить, что § 7.

Производные гиперболических функций

По определению гиперболический синус shx = е*Ц гиперболический косинус Отсюда легко находим Пользуясь правилом дифференцирования частного и тождеством получаем По определению гиперболический тангенс th х = ^.гиперболический котангенс Таблица производных основных элементарных функций § 8. Логарифмическое дифференцирование.

При отыскании производной сложной функции иногда бывает удобным следующий прием, называемый логарифмическим дифференцированием. Пусть требуется найти производную функции у = /(х) > 0 и пусть функция дифференцируется значительно проще. Тогда поступаем так. Беря натуральный логарифм данной функции, будем иметь Дифференцируя обе части (I) по х и учитывая, что у есть функция от х, найдем Логарифмическое дифференцирование особенно удобно при дифференцировании сложной степенно-показательной функции, т. е. функции вида — дифференцируемые функции).

Имеем Дифференцируя обе части последнего равенства, получаем откуда . Пример. Найти производную функции м Беря натуральные логарифмы от обеих частей равенства (*), полунаем откуда или § 9. Применение дифференциалов в приближенных вычислениях Пусть функция у = f{x) дифференцируема в точке ж0, так что приращение функции Ау, отвечающее приращению Ах аргумента, представимо в виде так что при бесконечно малые Ау и dy эквивалентны и их разность Ay - dy есть бесконечно малая более высокого порядка, чем они сами.

Поэтому мы можем брать величину dy в качестве приближенного значения Ау : Так им образом, если dy(x0) Ф 0,то для приближенного вычисления значения функции в точке х0 + Ах можно пользоваться формулой причем абсолютная и относительная погрешности будут как угодно малы при достаточно малом |Ах|. Пусть, например, . Тогда При малых значениях |Дж| полагаем или В частности, при Пример. Вычислить приближенно . Полагаем , получим по формуле §10.

Производные высших порядков

Если функция /(х) имеет производную /'(х) в каждой точке х интервала (а, 6), то /'(ж) есть функция от ж, определенная на интервале (а, Ь). Может оказаться, что и /'(ж) в точке ж 6 (a, b) в свою очередь имеет производную, которую называют производной 2-го порядка функции /(ж) (или второй производной) и обозначают символом (ж) или /(2)(ж). Таким образом Понятие обратной функции.

Производная обратной функции Производные обратных тригонометрических функций Производные гиперболических функций Таблица производных основных элементарных функций Логарифмическое дифференцирование Применение дифференциалов в приближенных вычислениях Производные высших порядков Механический смысл второй производной Производные высших порядков суммы и произведения функций Производные более высоких порядков определяются аналогично.

Именно, производная п-го порядка функции /(ж) есть производная от производной (п - 1)-го порядка этой функции: Число п, указывающее порядок производной, заключают в скобки, чтобы не путать с показателем степени. Чтобы найти /, надо сначала найти затем, взяв производную о, и т.д., пока не получим производную нужного порядка. Таким образом, производные высших порядков вычисляются при помощи уже известных правил и формул дифференцирования.

Примеры. 1: 

Вычислим п-ю производную функции . Последовательно дифференцируя, будем иметь По методу математической индукции получаем Вычислим п-ю производную функции у = sin х. Имеем .... Методом индукции устанавливаем 3. Аналогично получаем формулу Множество всех функций f(x), определенных на интервале (а,Ь) и имеющих в каждой точке х 6 (а, Ъ) непрерывную производную п-го порядка, обозначается Сп(а, 6).

Функцию f(x), имеющую производную любого порядка в каждой точке х 6 (а, Ь), называют бесконечно дифференцируемой на (а, 6) и пишут . Так, функции ez, sin ж, cos ж бесконечно дифференцируемы на Замечание. Производные четвертого порядка и выше иногда обозначают римскими цифрами и без скобок, т. е. пишут 10.1. Механический смысл второй производной Пусть S = S{t) — закон прямолинейного движения материальной точки.

Тогда, как известно, S'(t) = v(t) — мгновенная скорость движущейся точки в момент времени t. В таком случае вторая производная S"(i) равна г/(£),т.е. ускорению a(t) движущейся точки в момент времени t: 10.2. Производные высших порядков суммы и произведения функций Если функции и(х) и v(x) имеют производные п-го порядка в точке х, то функции и(х) ± v(x) и • v(x) также имеют производные п-го порядка в этой точке, причем Формулы (1) и (2) доказываются по индукции. Для формулы (1) это делается без труда (проделайте самостоятельно).

Остановимся несколько подробнее на выводе формулы (2). Если у = Легко подметить закон, по которому построены все эти формулы: правые части их напоминают разложение степеней бинома лишь место степеней и и v стоят порядки производных. Сходство становится еще более полным, если в полученных формулах вместо u, v писать u(0), v{Q) (производные нулевого порядка). Формула (2) носит название формулы Лейбница. Пример. Пользуясь формулой Лейбница, найти от функции Имеем Отметим еще полезную формулу. Пусть — взаимно обратные функции и пусть Далее,