Помощь по высшей математике

Если у вас нет времени на выполнение заданий по высшей математике, вы всегда можете попросить меня, пришлите задания мне в Помощь по высшей математикеwhatsapp, и я вам помогу онлайн или в срок от 1 до 3 дней.

Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математикеОтветы на вопросы по заказу заданий по высшей математике:

Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математикеСколько стоит помощь?

  • Цена зависит от объёма, сложности и срочности. Присылайте любые задания по любым предметам - я изучу и оценю.

Помощь по высшей математикеКакой срок выполнения?

  • Мне и моей команде под силу выполнить как срочный заказ, так и сложный заказ. Стандартный срок выполнения – от 1 до 3 дней. Мы всегда стараемся выполнять любые работы и задания раньше срока.

Помощь по высшей математикеЕсли требуется доработка, это бесплатно?

  • Доработка бесплатна. Срок выполнения от 1 до 2 дней.

Помощь по высшей математикеМогу ли я не платить, если меня не устроит стоимость?

  • Оценка стоимости бесплатна.

Помощь по высшей математикеКаким способом можно оплатить?

  • Можно оплатить любым способом: картой Visa / MasterCard, с баланса мобильного, google pay, apple pay, qiwi и т.д.

Помощь по высшей математикеКакие у вас гарантии?

  • Если работу не зачли, и мы не смогли её исправить – верну полную стоимость заказа.

Помощь по высшей математикеВ какое время я вам могу написать и прислать задание на выполнение?

  • Присылайте в любое время! Я стараюсь быть всегда онлайн.

Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математикеНиже размещён теоретический и практический материал, который вам поможет разобраться в предмете "Высшая математика", если у вас есть желание и много свободного времени!

Помощь по высшей математике

Содержание:

  1. Ответы на вопросы по заказу заданий по высшей математике:
  2. Уравнения и тригонометрические уравнения
  3. Помощь с примером 1.
  4. Помощь с примером 2.
  5. Помощь с примером 3.
  6. Помощь с примером 4.
  7. Помощь с примером 5.
  8. Помощь с примером 6.
  9. Помощь с примером 7.
  10. Помощь с примером 8.
  11. Помощь с примером 9.
  12. Помощь с примером 10.
  13. Показательные уравнения
  14. Помощь с примером 11.
  15. Помощь с примером 12.
  16. Помощь с примером 13.
  17. Помощь с примером 14.
  18. Помощь с примером 15.
  19. Помощь с примером 16.
  20. Помощь с примером 17.
  21. Помощь с примером 18.
  22. Помощь с примером 19.
  23. Логарифмические уравнения
  24. Помощь с примером 20.
  25. Помощь с примером 21.
  26. Помощь с примером 22.
  27. Помощь с примером 23.
  28. Помощь с примером 24.
  29. Помощь с примером 25.
  30. Помощь с примером 26.
  31. Помощь с примером 27.
  32. Помощь с примером 28.
  33. Помощь с примером 29.
  34. Комбинированные уравнения
  35. Помощь с примером 30.
  36. Помощь с примером 31.
  37. Помощь с примером 32.
  38. Помощь с примером 33.
  39. Помощь с примером 34.
  40. Помощь с примером 35.
  41. Помощь с примером 36.
  42. Помощь с примером 37.
  43. Помощь с примером 38.
  44. Помощь с примером 39.
  45. Помощь с примером 40.
  46. Помощь с примером 41.
  47. Помощь с примером 42.
  48. Помощь с примером 43.
  49. Помощь с примером 44.
  50. Неравенства и их системы. Рациональные неравенства
  51. Помощь с примером 45.
  52. Помощь с примером 46.
  53. Помощь с примером 47.
  54. Помощь с примером 48.
  55. Помощь с примером 49.
  56. Помощь с примером 50.
  57. Помощь с примером 51.
  58. Помощь с примером 52.
  59. Помощь с примером 53.
  60. Помощь с примером 54.
  61. Помощь с примером 55.
  62. Помощь с примером 56.
  63. Помощь с примером 57.
  64. Логарифмические неравенства
  65. Помощь с примером 58.
  66. Помощь с примером 59.
  67. Помощь с примером 60.
  68. Помощь с примером 61.
  69. Помощь с примером 62.
  70. Помощь с примером 63.
  71. Помощь с примером 64.
  72. Помощь с примером 65.
  73. Помощь с примером 66.
  74. Помощь с примером 67.
  75. Показательные неравенства
  76. Помощь с примером 68.
  77. Помощь с примером 69.
  78. Помощь с примером 70.
  79. Помощь с примером 71.
  80. Помощь с примером 72.
  81. Помощь с примером 73.
  82. Помощь с примером 74.
  83. Помощь с примером 75.
  84. Помощь с примером 76.
  85. Помощь с примером 77.
  86. Системы неравенств
  87. Помощь с примером 78.
  88. Помощь с примером 79.
  89. Помощь с примером 80.
  90. Помощь с примером 81.
  91. Помощь с примером 88.
  92. Задания с параметром
  93. Помощь с примером 89.
  94. Помощь с примером 90.
  95. Помощь с примером 91.
  96. Помощь с примером 92.
  97. Помощь с примером 93.
  98. Помощь с примером 94.
  99. Помощь с примером 95.
  100. Помощь с примером 96.
  101. Помощь с примером 97.
  102. Помощь с примером 98.
  103. Помощь с примером 99.
  104. Помощь с примером 100.
  105. Помощь с примером 101.
  106. Помощь с примером 102.
  107. Помощь с примером 103.
  108. Помощь с примером 104.
  109. Помощь с примером 105.
  110. Помощь с примером 106.
  111. Помощь с примером 107.
  112. Помощь с примером 108.
  113. Помощь с примером 109.
  114. Помощь с примером 110.
  115. Помощь с примером 111.
  116. Помощь с примером 112.

Уравнения и тригонометрические уравнения

Помощь с примером 1.

а) Решите уравнение Помощь по высшей математике

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике

Решение:

а) Преобразуем исходное уравнение:

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

Значит, или Помощь по высшей математике, откуда Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике откуда Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике.

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике.

Получим числа: Помощь по высшей математике

Ответ: а) Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

б) Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике

Помощь с примером 2.

а) Решите уравнение Помощь по высшей математике

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике.

Решение:

а) Преобразуем исходное уравнение:

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

Значит, Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике.

Получим числа: Помощь по высшей математике

Ответ: а) Помощь по высшей математике

б) Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике

Помощь с примером 3.

а) Решите уравнение Помощь по высшей математике

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике

Решение:

а) Преобразуем исходное уравнение:

Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике; или Помощь по высшей математике значит, Помощь по высшей математике

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике

Получим числа:Помощь по высшей математике

Ответ: а) Помощь по высшей математике

б) Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике

Помощь с примером 4.

а) Решите уравнение Помощь по высшей математике

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике

Решение:

а) Решим уравнение: Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

Из уравнения Помощь по высшей математике получаем, что Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике

Пусть Помощь по высшей математике тогда Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике, значит Помощь по высшей математике, то есть Помощь по высшей математике. Следовательно, Помощь по высшей математике чего быть не должно.

Получаем решение исходного уравнения: Помощь по высшей математике

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике.

Получим число Помощь по высшей математике

Ответ: а) Помощь по высшей математике

б) Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике

Помощь с примером 5.

а) Решите уравнение Помощь по высшей математике

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку Помощь по высшей математике

Решение:

а) Преобразуем исходное уравнение: Помощь по высшей математике Пусть Помощь по высшей математике тогда уравнение примет вид:

Помощь по высшей математике, откуда Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике = -2.

При Помощь по высшей математике получаем, что Помощь по высшей математике — нет корней.

При Помощь по высшей математике = -2 получаем, что Помощь по высшей математике откуда Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике

Получим число Помощь по высшей математике

Ответ: а) Помощь по высшей математике

б) Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике

Помощь с примером 6.

а) Решите уравнение Помощь по высшей математике

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку Помощь по высшей математике

Решение:

а) Преобразуем исходное уравнение: Помощь по высшей математике

Пусть Помощь по высшей математике тогда уравнение примет вид:

Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике

При Помощь по высшей математике получаем, что Помощь по высшей математике — нет корней.

При Помощь по высшей математике получаем, что Помощь по высшей математике откуда Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике.

Получим число Помощь по высшей математике

Ответ: а) Помощь по высшей математике

б) Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике

Помощь с примером 7.

а) Решите уравнение Помощь по высшей математике

6) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку Помощь по высшей математике

Решение:

а) Преобразуем исходное уравнение:

Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике

Получим числа: Помощь по высшей математике

Ответ: а) Помощь по высшей математике

б) Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике

Помощь с примером 8.

а) Решите уравнение Помощь по высшей математике

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике

Решение:

а) Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике

Получим число Помощь по высшей математике

Ответ: а) Помощь по высшей математике

б) Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике

Помощь с примером 9.

а) Решите уравнение Помощь по высшей математике

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике

Решение:

а) Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

откуда или Помощь по высшей математике — нет корней, или Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике

Получим число Помощь по высшей математике

Ответ: а) Помощь по высшей математике б) Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике

Помощь с примером 10.

а) Решите уравнение Помощь по высшей математике

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике

Решение:

а) Преобразуем исходное уравнение:

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике

б) С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике

Получим числа: Помощь по высшей математике

Ответ: а) Помощь по высшей математике

б) Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике

Показательные уравнения

В этом разделе при отборе корней часто приходится пользоваться не только приближёнными значениями логарифмических выражений, но и свойствами логарифмов. Далее приведём примеры оценки и сравнения чисел.

1. Помощь по высшей математике

2. Помощь по высшей математике

3. Помощь по высшей математике Поскольку 30 > 27, Помощь по высшей математике (основание логарифма больше 1), следовательно, Помощь по высшей математике а значит, Помощь по высшей математике

С другой стороны, 30 < 81, откуда Помощь по высшей математике а значит, Помощь по высшей математике

4. Сравним Помощь по высшей математике и -2 несколькими способами.

Первый способ: Помощь по высшей математикеПомощь по высшей математике

Далее будем преобразовывать неравенство по классическим правилам, при этом левую и правую часть при необходимости будем менять местами так, чтобы знак неравенства (изначально обозначим его « Помощь по высшей математике ») оставался неизменным.

Когда сравнение левой и правой части станет очевидным, вместо «Помощь по высшей математике» подставим нужный знак и, пройдя цепочку преобразований в обратном порядке, получим необходимое сравнение чисел.

Помощь по высшей математике

Поскольку 10 > 9 и 3 > 1, значение выражения слева больше, значит, вместо «Помощь по высшей математике» везде теперь можно поставить знак «>», и получаем ответ: Помощь по высшей математике

Второй способ. Преобразуем -2:

Помощь по высшей математикеПомощь по высшей математике

Рассмотрим функцию Помощь по высшей математике она убывающая (т. к. 0,3 < 1), следовательно, если Помощь по высшей математике то Помощь по высшей математике Таким образом, поскольку Помощь по высшей математике получаем:

Помощь по высшей математике откуда Помощь по высшей математике

Рассуждение, использованное при решении вторым способом, можно использовать более широко для любых монотонных непрерывных функций.

5. Оценим значение Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

Во втором столбце при переходе ко второй строчке все знаки поменялись (мы записали двойное неравенство в классическом виде, поэтому знаки-то остались, но «края» неравенства поменялись местами), потому что Помощь по высшей математике - убывающая функция (основание логарифма меньше 1).

Помощь с примером 11.

а) Решите уравнение Помощь по высшей математике

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике

Решение:

а) Пусть Помощь по высшей математике тогда уравнение примет вид:

Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике

При Помощь по высшей математике получаем: Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике откуда Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике

б) Поскольку Помощь по высшей математике отрезку Помощь по высшей математике принадлежит только корень Помощь по высшей математике

Ответ: а) 2; 3;

б) 2.

Помощь с примером 12.

а) Решите уравнение Помощь по высшей математике

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике

Решение:

а) Преобразуем уравнение: Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

Пусть Помощь по высшей математике тогда уравнение примет вид:

Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике

При Помощь по высшей математике получаем: Помощь по высшей математике

При Помощь по высшей математике получаем: Помощь по высшей математике

б) Поскольку Помощь по высшей математике отрезку Помощь по высшей математике принадлежит только корень Помощь по высшей математике

Ответ: а) 5; Помощь по высшей математике

б) Помощь по высшей математике

Помощь с примером 13.

а) Решите уравнение Помощь по высшей математике

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике

Решение:

а) Преобразуем уравнение: Помощь по высшей математике Пусть Помощь по высшей математике

тогда уравнение примет вид:

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике илиПомощь по высшей математике.

При Помощь по высшей математике получаем: Помощь по высшей математике — нет решений.

При Помощь по высшей математике получаем: Помощь по высшей математике откуда Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике

б) Поскольку Помощь по высшей математике отрезку Помощь по высшей математике принадлежит только корень Помощь по высшей математике

Ответ: а) Помощь по высшей математике

б) Помощь по высшей математике

Помощь с примером 14.

а) Решите уравнение Помощь по высшей математике

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике

Решение:

а) Пусть Помощь по высшей математике тогда уравнение примет вид:

Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике

При Помощь по высшей математике получаем, что

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике откуда Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике

б) Поскольку Помощь по высшей математике отрезку Помощь по высшей математике принадлежит только корень Помощь по высшей математике

Ответ: a) Помощь по высшей математике

б Помощь по высшей математике

Помощь с примером 15.

а) Решите уравнение Помощь по высшей математике

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике

Решение:

а) Пусть Помощь по высшей математике тогда уравнение примет вид:

Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике

При Помощь по высшей математике получаем, что

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике

б) Поскольку Помощь по высшей математике отрезку Помощь по высшей математике принадлежит только корень Помощь по высшей математике

Ответ: а) Помощь по высшей математике3;

б) 3.

Помощь с примером 16.

а) Решите уравнение Помощь по высшей математике

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике

Решение:

а) Преобразуем уравнение:

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике откуда Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

б) Поскольку

Помощь по высшей математикеПомощь по высшей математике

отрезку Помощь по высшей математике принадлежит только корень Помощь по высшей математике

Ответ: a) -2; Помощь по высшей математике 1;

б) Помощь по высшей математике

Помощь с примером 17.

а) Решите уравнение Помощь по высшей математике

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике

Решение:

а) Пусть Помощь по высшей математике тогда уравнение примет вид:

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике

При Помощь по высшей математике получаем: Помощь по высшей математике откуда Помощь по высшей математике

При Помощь по высшей математике получаем Помощь по высшей математике откуда Помощь по высшей математике

б) Поскольку Помощь по высшей математике отрезку Помощь по высшей математике принадлежит только корень Помощь по высшей математике

Ответ: а) -2; Помощь по высшей математике

б) Помощь по высшей математике

Помощь с примером 18.

а) Решите уравнение Помощь по высшей математикеПомощь по высшей математике

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике

Решение:

а) Пусть Помощь по высшей математике тогда уравнение примет вид:

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике

При Помощь по высшей математике получаем: Помощь по высшей математике откуда Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике

б) Поскольку Помощь по высшей математике отрезку Помощь по высшей математике принадлежит только корень Помощь по высшей математике

Ответ: a) Помощь по высшей математике

б) Помощь по высшей математике

Помощь с примером 19.

а) Решите уравнение Помощь по высшей математике

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике

Решение:

а) Пусгь Помощь по высшей математике тогда уравнение примет вид:

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике

При Помощь по высшей математике получаем: Помощь по высшей математике

При Помощь по высшей математике получаем: Помощь по высшей математике

б) Поскольку Помощь по высшей математике отрезку Помощь по высшей математике принадлежит только корень Помощь по высшей математике

Ответ: a) Помощь по высшей математике 2;

б) Помощь по высшей математике

Логарифмические уравнения

При решении логарифмических уравнений мы пользуемся методом равносильных преобразований. При этом иногда возникают ситуации, что при переходе к следующему уравнению некоторые ограничения можно не записывать, потому что запись и так содержит эту информацию. Покажем это на примере решения одного и того же уравнения.

Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике

Модуль появился, т.к. Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике

Второе условие появляется, поскольку первое уравнение системы уже не запрещает значению выражения Помощь по высшей математике быть отрицательным или равным нулю.

«Отбрасываем» логарифм:

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

Дополнительно писать, что Помощь по высшей математике не нужно, т. к. Помощь по высшей математике равняется модулю, который не может быть меньше нуля, а вот равным нулю он быть может, потому добавим условие Помощь по высшей математике вместо него можно было записать Помощь по высшей математике это было бы равнозначно.

Поскольку слева и справа под логарифмом стояли полные квадраты, необходимости здесь уточнять, что они должны быть неотрицательными, нет; условие того, что они не равны нулю, содержит вторая строчка системы.

Решение полученных систем:

Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике нет решений Помощь по высшей математике нет решений Ответ: 1. Ответ: 1.

Помощь с примером 20.

а) Решите уравнение Помощь по высшей математике

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике

Решение:

a) Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике

б) Поскольку Помощь по высшей математике отрезку Помощь по высшей математике принадлежит только корень Помощь по высшей математике

Ответ: а) 0; 2;

б) 2.

Помощь с примером 21.

а) Решите уравнение Помощь по высшей математике

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике

Решение:

а) Преобразуем уравнение: Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике.

б) Поскольку Помощь по высшей математике отрезку Помощь по высшей математике принадлежит только корень Помощь по высшей математике

Ответ: а) -7; 6;

б) 6.

Помощь с примером 22.

а) Решите уравнение Помощь по высшей математике

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике

Решение:

а) Исходное уравнение эквивалентно системе

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

б) Поскольку Помощь по высшей математике отрезку Помощь по высшей математике принадлежит только корень Помощь по высшей математике

Ответ: а) -3; 2;

б) 2.

Помощь с примером 23.

а) Решите уравнение Помощь по высшей математике

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике

Решение:

а) Заметим, что Помощь по высшей математике является решением исходного уравнения.

Решим уравнение Помощь по высшей математике Оно равносильно системе

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике

б) Поскольку Помощь по высшей математике отрезку Помощь по высшей математике принадлежит только корень Помощь по высшей математике

Ответ: a) Помощь по высшей математике

б) Помощь по высшей математике

Помощь с примером 24.

а) Решите уравнение Помощь по высшей математике

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике

Решение:

а) Поскольку Помощь по высшей математике исходное уравнение эквивалентно уравнению

Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

б) Поскольку

Помощь по высшей математике

отрезку Помощь по высшей математике принадлежит только корень Помощь по высшей математике.

Ответ: а) -5; -1;

б) -1.

Помощь с примером 25.

а) Решите уравнение Помощь по высшей математике

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике

Решение:

а) Исходное уравнение равносильно системе

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике

б) Поскольку Помощь по высшей математике отрезку Помощь по высшей математике принадлежит только корень Помощь по высшей математике

Ответ: а) -5; 2;

б) 2.

Помощь с примером 26.

а) Решите уравнение Помощь по высшей математике

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике

Решение:

а) Исходное уравнение эквивалентно уравнению

Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике

б) Поскольку Помощь по высшей математике отрезку Помощь по высшей математике принадлежит только корень Помощь по высшей математике

Ответ: а) Помощь по высшей математике

б) Помощь по высшей математике

Помощь с примером 27.

а) Решите уравнение Помощь по высшей математике

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике

Решение:

a) Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике

Первое уравнение совокупности имеет корни Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике

Второе уравнение совокупности не имеет решений.

Решение исходного уравнения: Помощь по высшей математике

б) Поскольку Помощь по высшей математике отрезку Помощь по высшей математике принадлежит только корень Помощь по высшей математике

Ответ: а) Помощь по высшей математике

б) Помощь по высшей математике

Помощь с примером 28.

а) Решите уравнение Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике

Решение:

а) Пусть Помощь по высшей математике тогда уравнение примет вид:

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике

б) Поскольку Помощь по высшей математике отрезку Помощь по высшей математике принадлежит только корень Помощь по высшей математике

Ответ: а) -5; 2;

б) -5.

Помощь с примером 29.

а) Решите уравнение Помощь по высшей математике

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку Помощь по высшей математике

Решение:

а) Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике

Таким образом, уравнение имеет 4 корня: Помощь по высшей математике

б) Поскольку Помощь по высшей математике промежутку Помощь по высшей математике принадлежат только корни Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике

Ответ: а) Помощь по высшей математике

б) Помощь по высшей математике

Комбинированные уравнения

Помощь с примером 30.

а) Решите уравнение Помощь по высшей математике

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике

Решение:

а) Преобразуем исходное уравнение, избавившись от логарифма:

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике

Получим числа: Помощь по высшей математике

Ответ: а) Помощь по высшей математике

б) Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике

Помощь с примером 31.

а) Решите уравнение Помощь по высшей математике

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике

Решение:

а) Пусть Помощь по высшей математике тогда Помощь по высшей математике и исходное уравнение запишется в виде Помощь по высшей математике откуда Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике

При Помощь по высшей математике получим: Помощь по высшей математике откуда Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

При Помощь по высшей математике получим: Помощь по высшей математике откуда Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике

Полученные решения также можно записать одной серией: Помощь по высшей математике

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике

Получим числа: Помощь по высшей математике

Ответ: а) Помощь по высшей математике

б) Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике

Помощь с примером 32.

а) Решите уравнение Помощь по высшей математике

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике

Решение:

а) Преобразуем исходное уравнение: Помощь по высшей математике Так как Помощь по высшей математике при любом значении Помощь по высшей математике на Помощь по высшей математике можно разделить обе части уравнения:

Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике

Получим числа: Помощь по высшей математике

Ответ: а) Помощь по высшей математике

б) Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике

Помощь с примером 33.

а) Решите уравнение Помощь по высшей математике

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике

Решение:

а) Преобразуем уравнение:

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

откуда или Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике

Получим числа: Помощь по высшей математике

Ответ: а) Помощь по высшей математике

б) Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике

Помощь с примером 34.

а) Решите уравнение Помощь по высшей математике

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике

Решение:

а) Пусть Помощь по высшей математике тогда уравнение примет вид:

Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике

При Помощь по высшей математике получаем, что Помощь по высшей математике — нет корней.

При Помощь по высшей математике получаем, что Помощь по высшей математике откуда Помощь по высшей математике

б) С помощью неравенств найдём корни, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике значит, поскольку Помощь по высшей математике целое, получаем: Помощь по высшей математике

Подставляя полученные значения Помощь по высшей математике, получим числа: Помощь по высшей математике

Ответ: а) Помощь по высшей математике

б) Помощь по высшей математике

Помощь с примером 35.

а) Решите уравнение Помощь по высшей математике

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике

Решение:

а) Пусть Помощь по высшей математике тогда уравнение примет вил:

Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике

При Помощь по высшей математике получаем, что Помощь по высшей математике - нет корней.

При Помощь по высшей математике получаем, что Помощь по высшей математике откуда Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике

Получим числа: Помощь по высшей математике

Ответ: а) Помощь по высшей математике

б) Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике

Помощь с примером 36.

а) Решите уравнение Помощь по высшей математике

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике

Решение:

а) Пусть Помощь по высшей математике тогда уравнение примет вид:

Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике

При Помощь по высшей математике получаем, что Помощь по высшей математике - нет корней.

При Помощь по высшей математике получаем, что Помощь по высшей математике откуда Помощь по высшей математике

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике

Получим числа: Помощь по высшей математике

Ответ: а) Помощь по высшей математике

б) Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике

Помощь с примером 37.

а) Решите уравнение Помощь по высшей математике

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике

Решение:

а) Преобразуем исходное уравнение: Помощь по высшей математике

Пусть Помощь по высшей математике тогда уравнение примет вид:

Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике

При Помощь по высшей математике получаем: Помощь по высшей математике откуда Помощь по высшей математике

При Помощь по высшей математике получаем: Помощь по высшей математике откуда Помощь по высшей математике

Объединяя эти два решения, получаем решение исходного уравнения: Помощь по высшей математике

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике

Получим числа: Помощь по высшей математике

Ответ: а) Помощь по высшей математике

б) Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике

Помощь с примером 38.

а) Решите уравнение Помощь по высшей математике

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике

Решение:

а) Произведение равно нулю, если хотя бы один из его множителей равен нулю и все множители определены. Поэтому решение уравнения — это объединение решений уравнения

Помощь по высшей математике и системы Помощь по высшей математике

Решим уравнение: Помощь по высшей математике откуда Помощь по высшей математике

Решим систему:

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике откуда получаем, что Помощь по высшей математике

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике

Получим числа: Помощь по высшей математике

Ответ: a) Помощь по высшей математике

б) Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике

Помощь с примером 39.

а) Решите уравнение Помощь по высшей математике

б) Найдите все корнистого уравнения, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике

Решение:

а) Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике

б) С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике

Получим число Помощь по высшей математике

Ответ: а) Помощь по высшей математике

б) Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике

Помощь с примером 40.

а) Решите уравнение Помощь по высшей математике

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике

Решение:

а) Исходное уравнение эквивалентно системе: Помощь по высшей математике

Решим первое уравнение системы. Пусть Помощь по высшей математике тогда уравнение принимает вид:

Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике

При Помощь по высшей математике получаем: Помощь по высшей математике откуда Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

При Помощь по высшей математике получаем: Помощь по высшей математике откуда Помощь по высшей математике — не удовлетворяют условию Помощь по высшей математике

Решим неравенство: Помощь по высшей математике откуда Помощь по высшей математике

Таким образом, исходное уравнение имеет решение: Помощь по высшей математике

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике

Получим число Помощь по высшей математике

Ответ: а) Помощь по высшей математике

б) Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике

Помощь с примером 41.

а) Решите уравнение Помощь по высшей математике

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике

Решение:

а) Произведение равно нулю, если хотя бы один из его множителей равен нулю и все множители определены. Поэтому решение уравнения — это объединение решений уравнения Помощь по высшей математике и системы

Помощь по высшей математике

Решим уравнение:

Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике

Решим систему:

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

откуда получаем, что Помощь по высшей математике

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике

Получим числа: Помощь по высшей математике

Ответ: a) Помощь по высшей математике

б) Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике

Помощь с примером 42.

а) Решите уравнение Помощь по высшей математике

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике

Решение:

а) Произведение равно нулю, если хотя бы один из его множителей равен нулю и все множители определены. Поэтому решение уравнения - это объединение решений систем

Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике

Решим первую систему:

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике

Решим вторую систему:

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

откуда получаем, что Помощь по высшей математике

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике

Получим число Помощь по высшей математике

Ответ: а) Помощь по высшей математике

б) Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике

Помощь с примером 43.

а) Решите уравнение Помощь по высшей математике

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике

Решение:

а) Исходное уравнение эквивалентно системе: Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

Решим первое уравнение системы:

Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике

С учётом условий Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике получаем решение исходного уравнения:

Помощь по высшей математике

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике

Получим число Помощь по высшей математике

Ответ: а) Помощь по высшей математике

б) Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике

Помощь с примером 44.

а) Решите уравнение Помощь по высшей математике б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике

Решение:

а) Исходное уравнение эквивалентно системе: Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

Решим первое уравнение системы:

Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике

С учётом условий Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике получаем решение исходного уравнения: Помощь по высшей математике

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Помощь по высшей математике

Получим число Помощь по высшей математике

Ответ: а) Помощь по высшей математике

б) Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике

Неравенства и их системы. Рациональные неравенства

Помощь с примером 45.

Решите неравенство Помощь по высшей математике

Решение:

Исходное неравенство равносильно неравенству Помощь по высшей математике откуда Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике

Ответ: Помощь по высшей математике

Помощь с примером 46.

Решите неравенство Помощь по высшей математике

Решение:

Исходное неравенство равносильно неравенству

Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике

Ответ: Помощь по высшей математике

Помощь с примером 47.

Решите неравенство Помощь по высшей математике

Решение:

Исходное неравенство равносильно неравенству

Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математикеоткуда Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике

Ответ: Помощь по высшей математике

Помощь с примером 48.

Решите неравенство Помощь по высшей математике

Решение:

Исходное неравенство равносильно неравенству

Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике

Ответ: Помощь по высшей математике

Помощь с примером 49.

Решите неравенство Помощь по высшей математике

Решение:

Исходное неравенство равносильно неравенству Помощь по высшей математике Рассмотрим три случая.

Первый случай: Помощь по высшей математике Неравенство принимает вид:

Помощь по высшей математике

С учётом условия Помощь по высшей математике получаем, что в этом случае решений нет.

Второй случай: Помощь по высшей математике Неравенство принимает вид:

Помощь по высшей математике

С учётом условия Помощь по высшей математике получаем, что в этом случае решений нет.

Третий случай: Помощь по высшей математике Неравенство принимает вид:

Помощь по высшей математике

Получаем, что в этом случае все значения переменной удовлетворяют исходному неравенству. Объединяя все случаи, получаем решение неравенства: Помощь по высшей математике

Ответ: Помощь по высшей математике

Помощь с примером 50.

Решите неравенство Помощь по высшей математике

Решение:

Заметим, что Помощь по высшей математике не является решением неравенства.

Рассмотрим два случая.

Первый случай: -1 < Помощь по высшей математике < 1. В этом случае Помощь по высшей математике - 1 < 0 и неравенство принимает вид:

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

Поскольку Помощь по высшей математике - 2 < Помощь по высшей математике - 1 <0, неравенство равносильно неравенству Помощь по высшей математике - 3 > 0, откуда получаем, что Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике С учётом условия -1 < Помощь по высшей математике < 1 получаем решение:

Помощь по высшей математике

Второй случай: Помощь по высшей математике < -1 или Помощь по высшей математике > 1. В этом случае Помощь по высшей математике - 1 > 0 и неравенство принимает вид:

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

Последнее неравенство решений не имеет.

Решение неравенства: Помощь по высшей математике

Ответ: Помощь по высшей математике

Помощь с примером 51.

Решите неравенство Помощь по высшей математике

Решение:

Исходное неравенство равносильно совокупности неравенств:

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике

Ответ: [-1; 3].

Помощь с примером 52.

Решите неравенство Помощь по высшей математике

Решение:

Преобразуем исходное неравенство:

Помощь по высшей математике

Заметим, что Помощь по высшей математике не является решением неравенства, а при Помощь по высшей математике оно равносильно неравенству Помощь по высшей математике

Рассмотрим два случая.

Первый случай: Помощь по высшей математике Неравенство принимает вид:

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике

С учётом условия Помощь по высшей математике получаем решение: Помощь по высшей математике

Второй случай: Помощь по высшей математике Неравенство принимает вид:

Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике

С учётом условия Помощь по высшей математике получаем решение: Помощь по высшей математике

Объединяя все случаи, получаем решение неравенства: Помощь по высшей математике

Ответ: Помощь по высшей математике

Помощь с примером 53.

Решите неравенство Помощь по высшей математике

Решение:

Преобразуем неравенство: Помощь по высшей математике

Заметим, что Помощь по высшей математике является решением неравенства.

Рассмотрим три случая.

Первый случай: Помощь по высшей математике < 2. В этом случае Помощь по высшей математике-2<0, ЗПомощь по высшей математике-8<0 и неравенство принимает вид:

Помощь по высшей математике

Получаем, что в этом случае все значения переменной удовлетворяют исходному неравенству.

Второй случай: Помощь по высшей математике В этом случае Помощь по высшей математике и неравенство принимает вид:

Помощь по высшей математике

С учётом условия Помощь по высшей математике получаем решение: Помощь по высшей математике

Третий случай: Помощь по высшей математике В этом случае Помощь по высшей математике и неравенство принимает вид:

Помощь по высшей математике

С учётом условия Помощь по высшей математике получаем решение: Помощь по высшей математике

Объединяя все случаи, получаем решение неравенства: Помощь по высшей математике

Ответ: Помощь по высшей математике

Помощь с примером 54.

Решите неравенство Помощь по высшей математике

Решение:

Заметим, что Помощь по высшей математике = -2 и Помощь по высшей математике = 3 не являются решением неравенства, а при Помощь по высшей математике -2 и Помощь по высшей математике 3 преобразуем неравенство:

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

Рассмотрим три случая.

Первый случай: Помощь по высшей математике < -2. В этом случае Помощь по высшей математике + 2 < 0, Помощь по высшей математике - 3 < 0 и неравенство принимает вид:

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

Решением последнего неравенства является любое число, значит, в этом случае все значения переменной удовлетворяют исходному неравенству.

Второй случай: -2 < Помощь по высшей математике < 3. В этом случае Помощь по высшей математике + 2 > 0, Помощь по высшей математике - 3<0 и неравенство принимает вид:

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике

С учётом условия -2 < Помощь по высшей математике < 3 получаем решение: Помощь по высшей математике

Третий случай: Помощь по высшей математике > 3. В этом случае Помощь по высшей математике + 2 >0, Помощь по высшей математике - 3 > 0 и неравенство принимает вид:

Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике

С учётом условия Помощь по высшей математике > 3 получаем решение: Помощь по высшей математике

Объединяя все случаи, получаем решение неравенства: Помощь по высшей математике < -2, Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

Ответ: Помощь по высшей математике

Помощь с примером 55.

Решите неравенство Помощь по высшей математике

Решение:

Преобразуем неравенство:

Помощь по высшей математике

Заметим, что Помощь по высшей математике = 0 не является решением неравенства.

Рассмотрим три случая.

Первый случай: Помощь по высшей математике < 0. В этом случае Помощь по высшей математике и неравенство принимает вид:

Помощь по высшей математике

Поскольку Помощь по высшей математике < 0, домножим обе части неравенства на Помощь по высшей математике поменяв знак неравенства:

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике

Получаем, что в этом случае все значения переменной удовлетворяют исходному неравенству.

Второй случай: Помощь по высшей математике В этом случае Помощь по высшей математике и неравенство принимает вид:

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

Домножим обе части неравенства на Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике

С учётом условия Помощь по высшей математике получаем решение: Помощь по высшей математике

Третий случай: Помощь по высшей математике В этом случае Помощь по высшей математике и неравенство принимает вид:

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

Домножим обе части неравенства на Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике откуда Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике

Получаем, что в этом случае все значения переменной удовлетворяют исходному неравенству, поскольку Помощь по высшей математике

Объединяя все случаи, получаем решение неравенства: Помощь по высшей математике

Ответ: Помощь по высшей математике

Помощь с примером 56.

Решите неравенство Помощь по высшей математике

Решение:

Пусть Помощь по высшей математике тогда неравенство принимает вид:

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике

При Помощь по высшей математике получаем, что Помощь по высшей математике - нет решений.

При Помощь по высшей математике получаем, что Помощь по высшей математике откуда Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике

Решение неравенства: Помощь по высшей математике

Ответ: Помощь по высшей математике

Помощь с примером 57.

Решите неравенство Помощь по высшей математике

Решение:

Решим неравенство графическим способом.

Рассмотрим функцию: Помощь по высшей математике Её гафиком является ломаная: при Помощь по высшей математике это часть прямой Помощь по высшей математике при Помощь по высшей математике это часть прямой Помощь по высшей математике = б, а при Помощь по высшей математике это часть прямой Помощь по высшей математике (см. рисунок).

График функции Помощь по высшей математике лежит не выше прямой Помощь по высшей математике = 6 только на своем горизонтальном участке при Помощь по высшей математике а значит, решением исходного неравенства является отрезок Помощь по высшей математике

Ответ: Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике

Логарифмические неравенства

Помощь с примером 58.

Решите неравенство Помощь по высшей математике

Решение:

Рассмотрим два случая.

Первый случай: Помощь по высшей математике В этом случае получаем систему неравенств:

Помощь по высшей математике Изобразим решение каждого неравенства на координатной прямой, расположив рисунки друг под другом:

Помощь по высшей математике

Получаем решение системы неравенств: Помощь по высшей математике

Второй случай: Помощь по высшей математике В этом случае получаем систему неравенств:

Помощь по высшей математике

Изобразим решение каждого неравенства на координатной прямой, расположив рисунки друг под другом:

Помощь по высшей математике

Решение системы неравенств: Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике

Объединяя все случаи, получаем решение неравенства: Помощь по высшей математике

Ответ: Помощь по высшей математике

Помощь с примером 59.

Решите неравенство Помощь по высшей математике

Решение:

Исходное неравенство равносильно следующему неравенству:

Помощь по высшей математике

Рассмотрим два случая.

Первый случай: Помощь по высшей математике В этом случае получаем систему неравенств:

Помощь по высшей математике нет решении.

Второй случай: Помощь по высшей математике В этом случае получаем систему неравенств:

Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике

Решение неравенства: Помощь по высшей математике

Ответ: [-2; 3).

Помощь с примером 60.

Решите неравенство Помощь по высшей математике

Решение:

Из условия следует, что Помощь по высшей математике поэтому Помощь по высшей математике

Пусть Помощь по высшей математике Тогда неравенство принимает вид:

Помощь по высшей математике

Обратная замена: Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике

Помощь с примером 61.

Решите неравенство Помощь по высшей математике

Решение:

Преобразуем отдельно множители левой части неравенства и произведение, стоящее в правой, с учетом того, что Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике

Теперь исходное неравенство примет вид: Помощь по высшей математике

Пусть Помощь по высшей математике Тогда получаем неравенство

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике

Обратная замена:

Помощь по высшей математике

Ответ: (0; 0,125], [0,5; 8]

Помощь с примером 62.

Решите неравенство Помощь по высшей математике

Решение:

Помощь по высшей математике

Рассмотрим два случая.

Первый случай: Помощь по высшей математике. Получаем систему неравенств:

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

Изобразим множество решений каждого неравенства полученной системы:

Помощь по высшей математике

Получаем, что Помощь по высшей математике

Второй случай: Помощь по высшей математике Получаем систему неравенств:

Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике

Объединяя все случаи, получаем решение неравенства: Помощь по высшей математике

Ответ: Помощь по высшей математике

Помощь с примером 63.

Решите неравенство Помощь по высшей математике

Решение:

Преобразуем отдельно множители левой части неравенства и частное, стоящее в правой части, с учётом того, что Помощь по высшей математике > 0:

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике

Теперь неравенство примет вид:

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

Пусть Помощь по высшей математике тогда неравенство принимает вид:

Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике

Обратная замена:

Помощь по высшей математике

Ответ: Помощь по высшей математике

Помощь с примером 64.

Решите неравенство Помощь по высшей математике

Решение:

Преобразуем неравенство:

Помощь по высшей математике

Пусть Помощь по высшей математике тогда неравенство принимает вид:

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

Обратная замена:

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

Ответ: Помощь по высшей математике

Помощь с примером 65.

Решите неравенство Помощь по высшей математике

Решение:

Рассмотрим два случая.

Первый случай: Помощь по высшей математике Неравенство принимает вид:

Помощь по высшей математике

С учётом условия Помощь по высшей математике получаем решение: Помощь по высшей математике

Второй случай: Помощь по высшей математике Неравенство принимает вид:

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике откуда Помощь по высшей математике < -1 или Помощь по высшей математике

С учётом условия Помощь по высшей математике > 1 получаем решение: Помощь по высшей математике < -1.

Объединяя все случаи, получаем решение неравенства: Помощь по высшей математике

Ответ: Помощь по высшей математике

Помощь с примером 66.

Решите неравенство Помощь по высшей математике

Решение:

Преобразуем неравенство:

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

Решим неравенство Помощь по высшей математике Рассмотрим два случая.

Первый случай: Помощь по высшей математике то есть Помощь по высшей математике В этом случае неравенство принимает вид:

Помощь по высшей математике

откуда с учётом условия Помощь по высшей математике получаем, что решений нет.

Второй случай: Помощь по высшей математике то есть Помощь по высшей математике > -1. В этом случае неравенство принимает вид:

Помощь по высшей математике

откуда с учётом условия Помощь по высшей математике > -1 получаем решение: Помощь по высшей математике

Исходное неравенство равносильно системе

Помощь по высшей математике

откуда получаем решение: 3<Помощь по высшей математике<4, Помощь по высшей математике>4.

Ответ: (3; 4), (4; +Помощь по высшей математике).

Помощь с примером 67.

Решите неравенство Помощь по высшей математике

Решение:

Рассмотрим два случая.

Первый случай: Помощь по высшей математике то есть Помощь по высшей математике Неравенство принимает вид:

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

откуда с учётом условия Помощь по высшей математике получаем решение: Помощь по высшей математике

Второй случай: Помощь по высшей математике то есть Помощь по высшей математике > 2. Неравенство принимает вид:

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике С учётом условия Помощь по высшей математике > 2 получаем решение: Помощь по высшей математике

Объединяя все случаи, получаем решение неравенства: Помощь по высшей математике

Ответ: Помощь по высшей математике

Показательные неравенства

Помощь с примером 68.

Решите неравенство Помощь по высшей математике

Решение:

Пусть Помощь по высшей математике тогда неравенство принимает вид:

Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике

Обратная замена: Помощь по высшей математике откуда Помощь по высшей математике

Ответ: [-3; 3].

Помощь с примером 69.

Решите неравенство Помощь по высшей математике

Решение:

Пусть Помощь по высшей математике тогда неравенство примет вид:

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике

При Помощь по высшей математике имеем: Помощь по высшей математике

При Помощь по высшей математике имеем: Помощь по высшей математике

При Помощь по высшей математике имеем: Помощь по высшей математике

Ответ: Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

Помощь с примером 70.

Решите неравенство Помощь по высшей математике

Решение:

Преобразуем неравенство:

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

Полученное неравенство равносильно неравенству Помощь по высшей математике так как Помощь по высшей математике

Рассмотрим два случая.

Первый случай: Помощь по высшей математике Неравенство принимает вид:

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике = -2.

С учётом неравенства Помощь по высшей математике то есть Помощь по высшей математике получаем решение в этом случае: Помощь по высшей математикеПомощь по высшей математике

Второй случай: Помощь по высшей математике Неравенство принимает вид:

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике

С учётом условия Помощь по высшей математике то есть Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике получаем решение в этом случае: Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике

Объединяя все случаи, получаем решение неравенства: Помощь по высшей математике

Ответ: Помощь по высшей математике

Помощь с примером 71.

Решите неравенство Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

Решение:

Преобразуем неравенство:

Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике

Пусть Помощь по высшей математике Тогда первое неравенство системы принимает вид:

Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике

Обратная замена: Помощь по высшей математике откуда Помощь по высшей математике

С учётом условий Помощь по высшей математике получаем решение исходного неравенства: Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

Ответ: Помощь по высшей математике

Помощь с примером 72.

Решите неравенство Помощь по высшей математике

Решение:

Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике

Ответ: Помощь по высшей математике

Помощь с примером 73.

Решите неравенство Помощь по высшей математике

Решение:

Помощь по высшей математике

Пусть Помощь по высшей математике тогда неравенство принимает вид:

Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике

При Помощь по высшей математике имеем: Помощь по высшей математике- нет решений.

При Помощь по высшей математике имеем: Помощь по высшей математике откуда Помощь по высшей математике

Ответ: (0; 1].

Помощь с примером 74.

Решите неравенство Помощь по высшей математике

Решение:

Представим 54 как Помощь по высшей математике тогда неравенство примет вид:

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике

Ответ: Помощь по высшей математике

Помощь с примером 75.

Решите неравенство Помощь по высшей математике

Решение:

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

откуда -1 < Помощь по высшей математике < 0,5.

Ответ: (-1; 0,5).

Помощь с примером 76.

Решите неравенство Помощь по высшей математике

Решение:

Возьмем от каждой из частей неравенства логарифм по основанию 2:

Помощь по высшей математике

откуда 0 < Помощь по высшей математике < 1 или Помощь по высшей математике

Ответ: (0; 1), Помощь по высшей математике

Помощь с примером 77.

Решите неравенство Помощь по высшей математике

Решение:

Пусть Помощь по высшей математике тогда неравенство принимает вид:

Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике

Обратная замена: Помощь по высшей математике откуда Помощь по высшей математике

Ответ: [-2; 1].

Системы неравенств

Помощь с примером 78.

Решим первое неравенство системы: Помощь по высшей математике

Решение:

1. Решим первое неравенство системы: Помощь по высшей математике

Пусть Помощь по высшей математике, тогда неравенство примет вид:

Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

При Помощь по высшей математике получим: Помощь по высшей математике откуда Помощь по высшей математике

При Помощь по высшей математике получим: Помощь по высшей математике откуда Помощь по высшей математике

Решение первого неравенства исходной системы: Помощь по высшей математике

2. Решим второе неравенство системы: Помощь по высшей математике

Рассмотрим два случая.

Первый случай: Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике нет решений.

Второй случай: Помощь по высшей математике + 3 > 1.

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике откуда Помощь по высшей математике

Решение второго неравенства исходной системы: Помощь по высшей математике

3. Поскольку Помощь по высшей математике получаем решение исходной системы неравенств: Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике

Ответ: Помощь по высшей математике

Помощь с примером 79.

Решите систему неравенств Помощь по высшей математике

Решение:

1. Решим первое неравенство системы: Помощь по высшей математике Значения, при которых определено неравенство: Помощь по высшей математикеРассмотрим два случая.

Первый случай: Помощь по высшей математике Получаем, что Помощь по высшей математике+3>1, 3-Помощь по высшей математике>2, а значит, Помощь по высшей математике тогда

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике

Второй случай: 1 < Помощь по высшей математике < 2. Получаем, что 0 < 2 -Помощь по высшей математике < 1, Помощь по высшей математике+2 > 3, Помощь по высшей математике + 3 >4, 3-Помощь по высшей математике > 1, а значит, Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике следовательно, при 1 < Помощь по высшей математике < 2 первое неравенство исходной системы верно.

Решение первого неравенства исходной системы: Помощь по высшей математике

2. Решим второе неравенство системы:

Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике

Решение второго неравенства исходной системы: Помощь по высшей математике

3. Решение исходной системы неравенств: Помощь по высшей математике = -1, 1 < Помощь по высшей математике < 2.

Помощь по высшей математике

Ответ: -1; (1; 2)

Помощь с примером 80.

Решите систему неравенств Помощь по высшей математике

Решение:

1. Решим первое неравенство системы: Помощь по высшей математике

Пусть Помощь по высшей математике тогда неравенство примет вид:

Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике

Решение первого неравенства исходной системы: Помощь по высшей математике

2. Решим второе неравенство системы: Помощь по высшей математике

Рассмотрим два случая. Первый случай: Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике

Второй случай: Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике

Решение второго неравенства исходной системы: Помощь по высшей математике

3. Решение исходной системы неравенств: Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике

Ответ: Помощь по высшей математике

Помощь с примером 81.

Решите систему неравенств Помощь по высшей математике

Решение:

1. Решим первое неравенство системы: Помощь по высшей математике

Пусть Помощь по высшей математике, тогда неравенство примет вид:

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике

При Помощь по высшей математике получим: Помощь по высшей математике, откуда Помощь по высшей математике

При Помощь по высшей математике получим: Помощь по высшей математике откуда Помощь по высшей математике

Решение первого неравенства исходной системы: Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

2. Решим второе неравенство системы: Помощь по высшей математике

Очевидно, Помощь по высшей математике = 0 является решением.

При Помощь по высшей математике рассмотрим два случая.

Первый случай: Помощь по высшей математике > 0.

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике

Второй случай: Помощь по высшей математике < 0.

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике

Решение второго неравенства исходной системы: Помощь по высшей математике

3. Решение исходной системы неравенств: Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике

Ответ: Помощь по высшей математике

Помощь с примером 88.

Решите систему неравенств Помощь по высшей математике

Решение:

1. Решим первое неравенство системы:

Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике = 0 или Помощь по высшей математике

Решение первого неравенства исходной системы: Помощь по высшей математике, Помощь по высшей математике = 0, Помощь по высшей математике

2. Решим второе неравенство системы Помощь по высшей математике

Рассмотрим три случая.

Первый случай: Помощь по высшей математике < -1. Неравенство принимает вид:

Помощь по высшей математике

С зачётом условия Помощь по высшей математике < -1 получаем решение: Помощь по высшей математике

Второй случай: Помощь по высшей математике Неравенство принимает вид:

Помощь по высшей математике

Получаем, что в этом случае все значения переменной удовлетворяют исходному неравенству. Третий случай: Помощь по высшей математике Неравенство принимает вид:

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

С учётом условия Помощь по высшей математике получаем решение: Помощь по высшей математике

Решение второго неравенства исходной системы: Помощь по высшей математике

3. Решение исходной системы неравенств: Помощь по высшей математике = -2, Помощь по высшей математике = 0, Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике

Ответ: -2, 0, [1; 3].

Задания с параметром

Помощь с примером 89.

Найдите все значения Помощь по высшей математике при каждом из которых уравнение

Помощь по высшей математике

на промежутке Помощь по высшей математике имеет более двух корней.

Решение:

Рассмотрим функции Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике Исследуем уравнение Помощь по высшей математике на промежутке Помощь по высшей математике

При Помощь по высшей математике все значения функции Помощь по высшей математике на промежутке Помощь по высшей математике отрицательны, а все значения функции Помощь по высшей математике - неотрицательны, поэтому при Помощь по высшей математике уравнение Помощь по высшей математике не имеет решений на промежутке Помощь по высшей математике

При Помощь по высшей математике > 0 функция Помощь по высшей математике возрастает. Функция Помощь по высшей математике убывает на промежутке Помощь по высшей математике поэтому уравнение Помощь по высшей математике имеет не более одного решения на промежутке Помощь по высшей математике причем решение будет существовать тогда и только тогда, когда Помощь по высшей математике откуда получаем Помощь по высшей математике то есть Помощь по высшей математике

На промежутке Помощь по высшей математике уравнение Помощь по высшей математике принимает вид Помощь по высшей математике Это уравнение сводится к уравнению Помощь по высшей математике Будем считать, что Помощь по высшей математике > 0, поскольку случай Помощь по высшей математике был рассмотрен ранее. Дискриминант квадратного уравнения Помощь по высшей математике поэтому при Помощь по высшей математике это уравнение не имеет корней; при Помощь по высшей математике уравнение имеет единственный корень, равный 2; при Помощь по высшей математике уравнение имеет два корня.

Если уравнение имеет два корня Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике то есть Помощь по высшей математике то больший корень Помощь по высшей математике поэтому он принадлежит промежутку Помощь по высшей математике Меньший корень Помощь по высшей математике принадлежит промежутку Помощь по высшей математике тогда и только тогда, когда

Помощь по высшей математике

то есть Помощь по высшей математике

Таким образом, уравнение Помощь по высшей математике имеет следующее количество корней на промежутке Помощь по высшей математике

- нет корней при Помощь по высшей математике

- один корень при Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике

- два корня при Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике

- три корня при Помощь по высшей математике

Ответ: Помощь по высшей математике

Помощь с примером 90.

Найдите все значения Помощь по высшей математике при каждом из которых уравнение

Помощь по высшей математике

на промежутке Помощь по высшей математике имеет ровно два корня.

Решение:

Рассмотрим функции Помощь по высшей математикеПомощь по высшей математике Исследуем уравнение Помощь по высшей математике на промежутке Помощь по высшей математике

При Помощь по высшей математике все значения функции Помощь по высшей математике на промежутке Помощь по высшей математике неположительны, а все значения функции Помощь по высшей математике - положительны, поэтому при Помощь по высшей математике уравнение Помощь по высшей математике не имеет решений на промежутке Помощь по высшей математике

При Помощь по высшей математике > 0 функция Помощь по высшей математике возрастает на промежутке Помощь по высшей математике Функция Помощь по высшей математике убывает на этом промежутке, поэтому уравнение Помощь по высшей математике всегда имеет ровно одно решение на промежутке Помощь по высшей математике поскольку Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике

На промежутке [0; 3] уравнение Помощь по высшей математике принимает вид Помощь по высшей математике. Это уравнение сводится к уравнению Помощь по высшей математике Будем считать, что Помощь по высшей математике > 0, поскольку случай Помощь по высшей математике был рассмотрен ранее. Дискриминант квадратного уравнения Помощь по высшей математике поэтому при Помощь по высшей математике это уравнение не имеет корней; при Помощь по высшей математике уравнение имеет единственный корень, равный Помощь по высшей математике при Помощь по высшей математике уравнение имеет два корня.

Пусть уравнение имеет два корня, то есть Помощь по высшей математике Тогда оба корня меньше 3, поскольку при Помощь по высшей математике значения функции Помощь по высшей математике неположительны, а значения функции Помощь по высшей математике положительны.

По теореме Виета сумма корней равна 1, а произведение равно Помощь по высшей математике Значит, больший корень всегда принадлежит промежутку [0; 3], а меньший принадлежит этому промежутку тогда и только тогда, когда Помощь по высшей математике то есть Помощь по высшей математике

Таким образом, уравнение Помощь по высшей математике имеет следующее количество корней на промежутке Помощь по высшей математике

- нет корней при Помощь по высшей математике

- один корень при Помощь по высшей математике

- два корня при Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике

- три корня при Помощь по высшей математике

Ответ: Помощь по высшей математике

Помощь с примером 91.

Найдите все значения Помощь по высшей математике при каждом из которых наименьшее значение функции

Помощь по высшей математике

на множестве Помощь по высшей математике не меньше 6.

Решение:

Графиком функции Помощь по высшей математике является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина имеет координаты Помощь по высшей математике Значит, минимум функции Помощь по высшей математике на всей числовой оси достигается при Помощь по высшей математике

На множестве Помощь по высшей математике эта функция достигает наименьшего значения либо в точке Помощь по высшей математике если эта точка принадлежит множеству, либо в одной из граничных точек Помощь по высшей математике

Если наименьшее значение функции не меньше 6, то и всякое значение функции не меньше 6. В частности,

Помощь по высшей математике

откуда получаем систему неравенств

Помощь по высшей математике

решениями которой являются Помощь по высшей математике

При Помощь по высшей математике имеем: Помощь по высшей математике значит, наименьшее значение функции достигается в точке Помощь по высшей математике что не удовлетворяет условию задачи.

При Помощь по высшей математике = 0 имеем: Помощь по высшей математике значит, наименьшее значение функции достигается в одной из граничных точек Помощь по высшей математике в которых значение функции не меньше 6.

При Помощь по высшей математике имеем: Помощь по высшей математике значит, наименьшее значение функции достигается в точке Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике что удовлетворяет условию задачи.

Ответ: Помощь по высшей математике = 0, Помощь по высшей математике

Помощь с примером 92.

Найдите все значения Помощь по высшей математике при каждом из которых уравнение

Помощь по высшей математике

либо не имеет решений, либо имеет единственное решение.

Решение:

Рассмотрим функцию

Помощь по высшей математике

При Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике

При Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике

Функция Помощь по высшей математике возрастает на всей числовой оси. Функция Помощь по высшей математике убывает при Помощь по высшей математике и возрастает при Помощь по высшей математике Таким образом, функция Помощь по высшей математике убывает при Помощь по высшей математике и возрастает приПомощь по высшей математике Наименьшее значение этой функции равно Помощь по высшей математике и достигается при Помощь по высшей математике

Значит, уравнение Помощь по высшей математике не имеет решений при Помощь по высшей математике имеет единственное решение при Помощь по высшей математике и имеет два решения при Помощь по высшей математике

Условие выполняется при Помощь по высшей математике

Ответ: Помощь по высшей математике

Помощь с примером 93.

Найдите все значения Помощь по высшей математике при которых уравнение

Помощь по высшей математике

имеет единственное решение.

Решение:

Заметим, что если число Помощь по высшей математике является решением уравнения, то и число Помощь по высшей математике также является решением этого уравнения. Значит, если уравнение имеет единственное решение, то это решение Помощь по высшей математике = 0.

При Помощь по высшей математике = 0 уравнение принимает вид

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике = 3, Помощь по высшей математике = 5, а = 7.

При Помощь по высшей математике = 3 и Помощь по высшей математике = 7 исходное уравнение принимает вид Помощь по высшей математике При Помощь по высшей математике < -2 правая часть уравнения равна Помощь по высшей математике При Помощь по высшей математике правая часть уравнения равна 4, а левая часть уравнения не меньше 4, причем равенство достигается только при Помощь по высшей математике = 0. При Помощь по высшей математике > 2 правая часть уравнения равна Помощь по высшей математике Значит, исходное уравнение имеет единственное решение Помощь по высшей математике= 0.

При Помощь по высшей математике = 5 исходное уравнение принимает вид Помощь по высшей математике Числа -2, 0 и 2 являются корнями этого уравнения.

Таким образом, исходное уравнение имеет единственное решение при Помощь по высшей математике = 3 и Помощь по высшей математике = 7.

Ответ: Помощь по высшей математике = 3, Помощь по высшей математике = 7.

Помощь с примером 94.

Найдите все значения Помощь по высшей математике при каждом из которых уравнение

Помощь по высшей математике

имеет единственный корень.

Решение:

Если Помощь по высшей математике является корнем исходного уравнения, то и Помощь по высшей математике является его корнем. Значит, исходное уравнение имеет единственный корень, только если Помощь по высшей математике то есть Помощь по высшей математике = 0. Подставим значение Помощь по высшей математике = 0 в исходное уравнение:

Помощь по высшей математике

откуда либо Помощь по высшей математике либо Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике = 4.

При Помощь по высшей математике = 2 исходное уравнение принимает вид: Помощь по высшей математике Корнями этого уравнения являются числа -2; 0 и 2, то есть исходное уравнение имеет более одного корня.

При Помощь по высшей математике = 0 и при Помощь по высшей математике = 4 уравнение принимает вид: Помощь по высшей математике

При Помощь по высшей математике < -2 это уравнение сводится к уравнению Помощь по высшей математике которое не имеет корней.

При Помощь по высшей математике получаем уравнение Помощь по высшей математике = 0, которое имеет единственный корень.

При Помощь по высшей математике > 2 получаем уравнение Помощь по высшей математике = 0, которое не имеет корней.

При Помощь по высшей математике = 0 и при Помощь по высшей математике = 4 исходное уравнение имеет единственный корень.

Ответ: Помощь по высшей математике = 0, Помощь по высшей математике = 4.

Помощь с примером 95.

Найдите все значения Помощь по высшей математике, при каждом из которых уравнение

Помощь по высшей математике

имеет единственное решение. Найдите это решение для каждого полученного значения Помощь по высшей математике

Решение:

Если Помощь по высшей математике является решением исходного уравнения, то Помощь по высшей математике также является его решением. Значит, исходное уравнение имеет нечётное число корней, только если Помощь по высшей математике то есть Помощь по высшей математике = 1. Подставим значение Помощь по высшей математике = 1 в уравнение:

Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике = -1.

При Помощь по высшей математике = -1 исходное уравнение примет вид

Помощь по высшей математике

Отсюда следует, что Помощь по высшей математике а значит, Помощь по высшей математике Исходное уравнение принимает вид Помощь по высшей математике и оно имеет единственное решение Помощь по высшей математике = 1, удовлетворяющее условию Помощь по высшей математике Следовательно, Помощь по высшей математике = -1 удовлетворяет условию задачи.

Ответ: Помощь по высшей математике = -1, Помощь по высшей математике = 1.

Помощь с примером 96.

Найдите все значения Помощь по высшей математике при которых уравнение

Помощь по высшей математикеПомощь по высшей математике

имеет ровно два решения.

Решение:

Пусть Помощь по высшей математике тогда уравнение запишется в виде Помощь по высшей математике откуда Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике Значит, решения исходного уравнения — это решения уравнений Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике

Исследуем, сколько решений имеет уравнение Помощь по высшей математике в зависимости от Помощь по высшей математике При Помощь по высшей математике > 3 левая часть определена и принимает вид Помощь по высшей математике При Помощь по высшей математике > 3 выражение Помощь по высшей математике принимает по одному разу все значения из промежутка Помощь по высшей математике Таким образом, уравнение Помощь по высшей математике имеет одно решение при Помощь по высшей математике > 0 и не имеет решений при Помощь по высшей математике

Уравнения Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике могут иметь общие решения при Помощь по высшей математике то есть при Помощь по высшей математике При Помощь по высшей математике оба уравнения принимают вид Помощь по высшей математике и имеют одно решение.

При других значениях Помощь по высшей математике исходное уравнение имеет два решения, если оба уравнения Помощь по высшей математике имеют по одному решению. Получаем систему неравенств:

Помощь по высшей математике

то есть Помощь по высшей математике

Ответ: Помощь по высшей математике

Помощь с примером 97.

Найдите все значения Помощь по высшей математике при которых уравнение

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

имеет ровно два решения.

Решение:

Пусть Помощь по высшей математике тогда уравнение запишется в виде

Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике Значит, решения исходного уравнения - это объединение решений уравнений Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике

Исследуем, сколько решений имеет уравнение Помощь по высшей математике в зависимости от Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике. При Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике то есть при Помощь по высшей математике левая часть определена и принимает вид Помощь по высшей математике При Помощь по высшей математике выражение Помощь по высшей математике принимает по одному разу все значения из промежутка Помощь по высшей математике для Помощь по высшей математике > 0 и принимает по одному разу все значения из промежутка (0; 1) для Помощь по высшей математике < 0. Значит, при Помощь по высшей математике выражение Помощь по высшей математике принимает по одному разу все значения из промежутка Помощь по высшей математике при Помощь по высшей математике > 0 и принимает по одному разу все значения из промежутка Помощь по высшей математике при Помощь по высшей математике < 0. Таким образом, уравнение

Помощь по высшей математике

имеет одно решение при Помощь по высшей математике и не имеет решений при Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике При Помощь по высшей математике = 0 и Помощь по высшей математике > 0 уравнение принимает вид 0 = Помощь по высшей математике и либо имеет бесконечно много решений, либо не имеет решений.

Уравнения Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике могут иметь общие решения при Помощь по высшей математике, то есть при Помощь по высшей математике При Помощь по высшей математике оба уравнения принимают вид Помощь по высшей математике и имеют одно решение.

При других значениях Помощь по высшей математике исходное уравнение имеет два решения, если оба уравнения Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике имеют по одному решению. Получаем систему неравенств:

Помощь по высшей математике

то есть Помощь по высшей математике

Ответ: Помощь по высшей математике

Помощь с примером 98.

Найдите все значения Помощь по высшей математике при которых уравнение

Помощь по высшей математике

имеет ровно два решения.

Решение:

Пусть Помощь по высшей математике тогда уравнение запишется в виде Помощь по высшей математике откуда Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике Значит, решения исходного уравнения - это решения уравнений Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике

Исследуем, сколько решений имеет уравнение Помощь по высшей математике в зависимости от Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике Рассмотрим функцию Помощь по высшей математике При Помощь по высшей математике графиком этой функции является ломаная, состоящая из трёх звеньев, угловые коэффициенты которых равны -2, 0 и 2. Минимальное значение достигается на отрезке с концами -1 и Помощь по высшей математике и равно Помощь по высшей математике Таким образом, уравнение Помощь по высшей математике имеет два решения при Помощь по высшей математике бесконечно много решений при Помощь по высшей математике и не имеет решений при Помощь по высшей математике В случае Помощь по высшей математике = -1 уравнение Помощь по высшей математике имеет два решения при Помощь по высшей математике > 0, одно решение при Помощь по высшей математике = 0 и не имеет решений при Помощь по высшей математике < 0.

Уравнения Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике могут иметь общие решения при Помощь по высшей математике то есть при Помощь по высшей математике При Помощь по высшей математике оба уравнения принимают вид Помощь по высшей математике и не имеют решений.

При других значениях Помощь по высшей математике исходное уравнение имеет ровно два решения, если одно из уравнений Помощь по высшей математике не имеет решений, а другое имеет два решения. Эти условия равносильны неравенству Помощь по высшей математике При Помощь по высшей математике неравенство принимает вид Помощь по высшей математике которое выполняется при любом Помощь по высшей математике При Помощь по высшей математике неравенство принимает вид Помощь по высшей математике откуда с учётом условия Помощь по высшей математике > -1 получаем: Помощь по высшей математике

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два решения при Помощь по высшей математике

Ответ: Помощь по высшей математике

Помощь с примером 99.

Найдите все значения Помощь по высшей математике при которых уравнение

Помощь по высшей математике

имеет ровно два решения.

Решение:

Пусть Помощь по высшей математике тогда уравнение запишется в виде Помощь по высшей математике откуда Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике Значит, решения исходного уравнения — это решения уравнений Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике

Исследуем, сколько решений имеет уравнение Помощь по высшей математике в зависимости от Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике При Помощь по высшей математике уравнение принимает вид Помощь по высшей математике Это квадратное уравнение, дискриминант которого равенПомощь по высшей математике Таким образом, уравнение Помощь по высшей математике имеет два решения при Помощь по высшей математике одно решение при Помощь по высшей математике и не имеет решений при Помощь по высшей математике При Помощь по высшей математике=1 уравнение принимает вид Помощь по высшей математике и имеет одно решение.

Уравнения Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике могут иметь общие решения при Помощь по высшей математике то есть при Помощь по высшей математике = 0. При Помощь по высшей математике = 0 оба уравнения принимают вид Помощь по высшей математике и имеют два решения.

При других значениях Помощь по высшей математике исходное уравнение имеет ровно два решения, если либо оба уравнения Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике имеют по одному решению, либо одно из них не имеет решений, а другое имеет два решения. При Помощь по высшей математике = 1 каждое из этих уравнений имеет единственное решение и эти решения различны. При других значениях Помощь по высшей математике выполнено неравенство Помощь по высшей математике поэтому уравнение Помощь по высшей математике имеет два решения. Уравнение Помощь по высшей математике не имеет решений при Помощь по высшей математике то есть при Помощь по высшей математике и при Помощь по высшей математике

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два решения при Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

Ответ: Помощь по высшей математике

Помощь с примером 100.

Найдите все значения Помощь по высшей математике при каждом из которых уравнение

Помощь по высшей математике

имеет единственный корень.

Решение:

Запишем уравнение в виде

Помощь по высшей математике

Рассмотрим две функции:

Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике

Графиком функции Помощь по высшей математике является полу-окружность радиуса 3 с центром в точке (-4; 0), лежащая в верхней полуплоскости (см. рисунок). При каждом значении Помощь по высшей математике графиком функции Помощь по высшей математике является прямая с угловым коэффициентом -Помощь по высшей математике проходящая через точку Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике

Уравнение имеет единственный корень, если графики функций Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике имеют единственную общую точку: либо прямая касается полуокружности, либо пересекает её в единственной точке.

Касательная Помощь по высшей математике проведённая из точки Помощь по высшей математике к полуокружности, имеет угловой коэффициент, равный нулю, то есть при Помощь по высшей математике = 0 исходное уравнение имеет единственный корень. При Помощь по высшей математике прямая не имеет общих точек с полуокружностью.

Прямая Помощь по высшей математике заданная уравнением Помощь по высшей математике проходит через точки М(2; 3) и А(-7; 0), следовательно, её угловой коэффициент Помощь по высшей математике При Помощь по высшей математике прямая, заданная уравнением Помощь по высшей математике имеет две общие точки с полуокружностью. Прямая Помощь по высшей математике заданная уравнением Помощь по высшей математике проходит через точки М(2; 3) и В(-1; 0), следовательно, её угловой коэффициент Помощь по высшей математике При Помощь по высшей математике прямая, заданная уравнением Помощь по высшей математике имеет угловой коэффициент больше, чем у прямой Помощь по высшей математике и не больше, чем у прямой Помощь по высшей математике и пересекает полуокружность в единственной точке. Получаем, что при Помощь по высшей математике исходное уравнение имеет единственный корень. При Помощь по высшей математике прямая не имеет общих точек с полуокружностью.

Ответ: Помощь по высшей математике

Помощь с примером 101.

Найдите все значения Помощь по высшей математике при каждом из которых множество значений функции

Помощь по высшей математике

содержит число 1.

Решение:

Пусть Помощь по высшей математике тогда Помощь по высшей математике и требуется найти все значения параметра Помощь по высшей математике при каждом из которых множество значений функции Помощь по высшей математике содержит число 1.

Число 1 принадлежит множеству значений функции Помощь по высшей математике если и только если уравнение Помощь по высшей математике имеет хотя бы одно решение на отрезке Помощь по высшей математике Заметим, что при Помощь по высшей математике знаменатель не обращается в ноль. Поэтому уравнение Помощь по высшей математике приводится к виду

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

Рассмотрим квадратичную функцию Помощь по высшей математике Уравнение Помощь по высшей математике имеет хотя бы одно решение на промежутке [-1; 1] тогда и только тогда, когда дискриминант уравнения Помощь по высшей математике и значение функции Помощь по высшей математике на конце отрезка [-1; 1] неотрицательны.

Помощь по высшей математике

то есть Помощь по высшей математике

Ответ: Помощь по высшей математике

Помощь с примером 102.

Найдите все значения Помощь по высшей математике при каждом из которых множество значений функции

Помощь по высшей математике

содержит отрезок [0; 1].

Решение:

Запишем уравнение, задающее функцию, в виде Помощь по высшей математике Область определения функции есть всё множество действительных чисел, и на нём эта функция непрерывна. Следовательно, если при некоторых значениях Помощь по высшей математике существуют такие числа Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике что выполняются равенства Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике то весь отрезок [0; 1] будет принадлежать множеству значений данной функции. С другой стороны, понятно, что существование таких Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике необходимо.

Рассмотрим уравнение Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

Оно имеет решение при любом Помощь по высшей математике

Рассмотрим уравнение Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

Это уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен:

Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике

Таким образом, поскольку Помощь по высшей математике условию задачи удовлетворяют значения Помощь по высшей математике

Ответ: Помощь по высшей математике

Помощь с примером 103.

Найдите все значения Помощь по высшей математике при каждом из которых множество значений функции

Помощь по высшей математике

содержит отрезок [1; 2].

Решение:

Пусть Помощь по высшей математике

Поскольку Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике то для любого Помощь по высшей математике функция Помощь по высшей математике определена на всём отрезке [-1; 1] и непрерывна на нём. Следовательно, если при некоторых значениях Помощь по высшей математике на отрезке [-1; 1] существуют такие числа Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике что выполняются равенства Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике то весь отрезок [1; 2] будет принадлежать множеству значений данной функции. С другой стороны, понятно, что существование таких Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике необходимо.

Рассмотрим уравнение Помощь по высшей математике С учётом того, что Помощь по высшей математике оно эквивалентно уравнению Помощь по высшей математике Дискриминант этого уравнения

Помощь по высшей математике

при всех значениях Помощь по высшей математике Значит, оно имеет хотя бы одно решение на отрезке [-1; 1] тогда и только тогда, когда значение функции Помощь по высшей математике хотя бы на одном из концов отрезка [-1; 1] неотрицательно:

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике

Рассмотрим уравнение Помощь по высшей математике С учётом того, что Помощь по высшей математике оно эквивалентно уравнению Помощь по высшей математике Дискриминант этого уравнения

Помощь по высшей математике

при всех значениях Помощь по высшей математике Значит, оно имеет хотя бы одно решение [-1; 1] на отрезке тогда и только тогда, когда значение функции Помощь по высшей математике хотя бы на одном из концов отрезка [-1; 1 ] неотрицательно:

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике

Поскольку Помощь по высшей математике получим все значения параметра Помощь по высшей математике при каждом из которых множество значений функции Помощь по высшей математике содержит отрезок-[1; 2]: Помощь по высшей математике

Ответ: Помощь по высшей математике

Помощь с примером 104.

Найдите все значения Помощь по высшей математике при каждом из которых множество решений неравенства

Помощь по высшей математике

содержит отрезок Помощь по высшей математике

Решение:

Условие задачи выполнено тогда и только тогда, когда для любого Помощь по высшей математике данное неравенство верно.

Пусть Помощь по высшей математике тогда Помощь по высшей математике исходное неравенство принимает вид

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

При Помощь по высшей математике имеем: Помощь по высшей математике поэтому исходное неравенство эквивалентно неравенству Помощь по высшей математике Таким образом, необходимо найти все значения параметра Помощь по высшей математике при каждом из которых неравенство Помощь по высшей математике справедливо для всех Помощь по высшей математике принадлежащих отрезку [0; 1].

Рассмотрим функцию Помощь по высшей математике Её графиком является парабола, ветви которой направлены вверх. Для того, чтобы при всех Помощь по высшей математике принадлежащих отрезку [0; 1], выполнялось неравенство Помощь по высшей математике необходимо и достаточно, чтобы выполнялась система неравенств

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике

Ответ: Помощь по высшей математике

Помощь с примером 105.

Найдите все неотрицательные значения Помощь по высшей математике при каждом из которых множество решений неравенства

Помощь по высшей математике

состоит из одной точки, и найдите это решение.

Решение:

Если неравенство выполняется в точке Помощь по высшей математике то оно выполнено и в точке Помощь по высшей математике Следовательно, чтобы неравенство выполнялось только в одной точке, необходимо, чтобы оно выполнялось только при Помощь по высшей математике = 0.

Таким образом, должно быть выполнено неравенство

Помощь по высшей математике

Поскольку Помощь по высшей математике знаменатель дроби положителен, а значит, неравенство эквивалентно следующему неравенству:

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике = 0 или Помощь по высшей математике = 2.

При Помощь по высшей математике = 0 или Помощь по высшей математике = 2 имеем: Помощь по высшей математике

При Помощь по высшей математике = 0 неравенство принимает вид

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике = 0.

При Помощь по высшей математике = 2 неравенство принимает вид

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике = 0.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют Помощь по высшей математике = 0 и а = 2.

Ответ: Помощь по высшей математике = 0, Помощь по высшей математике = 0 или Помощь по высшей математике = 2, Помощь по высшей математике = 0.

Помощь с примером 106.

Найдите все значения Помощь по высшей математике для каждого из которых уравнение

Помощь по высшей математике

имеет хотя бы одно решение.

Решение:

Пусть Помощь по высшей математике тогда Помощь по высшей математике и уравнение принимает вид

Помощь по высшей математике

Таким образом, необходимо найти все значения параметра Помощь по высшей математике при которых последнее уравнение имеет хотя бы одно решение на отрезке [0; 3].

При Помощь по высшей математике = 0 уравнение принимает вид Помощь по высшей математике и имеет решение Помощь по высшей математике = 2 на отрезке [0; 3].

Рассмотрим функцию Помощь по высшей математике

Если Помощь по высшей математике то при Помощь по высшей математике эта функция убывает, а при Помощь по высшей математике она возрастает. Значит, функция достигает наименьшего значения в точке Помощь по высшей математике Если Помощь по высшей математике т. е. Помощь по высшей математике то для того, чтобы уравнение имело хотя бы одно решение на отрезке [0; 3], необходимо, чтобы Помощь по высшей математике и достаточно, чтобы хотя бы на одном из концов отрезка [0; 3] функция Помощь по высшей математике принимала неотрицательное значение:

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике

Если Помощь по высшей математике т. е. Помощь по высшей математике то функция Помощь по высшей математике убывает на всем отрезке [0; 3], а значит, чтобы уравнение имело на нём решение, неодходимо и достаточно, чтобы Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике нет решении.

Если Помощь по высшей математике то при Помощь по высшей математике функция Помощь по высшей математике возрастает. Значит, эта функция возрастает на всём промежутке [0; 3]. Следовательно, чтобы уравнение Помощь по высшей математике имело хотя бы одно решение на отрезке [0; 3], необходимо, чтобы Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

откуда Помощь по высшей математике

Таким образом, уравнение Помощь по высшей математике имеет хотя бы одно решение при Помощь по высшей математике

Ответ: Помощь по высшей математике

Помощь с примером 107.

Найдите все значения Помощь по высшей математике при каждом из которых система уравнений

Помощь по высшей математике

имеет ровно два решения.

Решение:

Преобразуем систему уравнений:

Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике

Заметим, что вторая система в совокупности получается из первой заменой Помощь по высшей математике на Помощь по высшей математике а Помощь по высшей математике на Помощь по высшей математике Значит, если первая система имеет решение Помощь по высшей математике то решением второй будет Помощь по высшей математике Следовательно, исходная система уравнений имеет ровно два решения тогда и только тогда, когда система

Помощь по высшей математике имеет ровно одно нетривиальное решение.

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

Последняя система имеет ровно одно решение тогда и только тогда, когда Помощь по высшей математике то есть при Помощь по высшей математике = 0, Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике

При Помощь по высшей математике = 0 получаем, что последняя система имеет тривиальное решение.

ПриПомощь по высшей математике получаем, что последняя система имеет решение Помощь по высшей математике а значит, исходная система имеет ровно два решения.

При Помощь по высшей математике получаем, что последняя система имеет решение Помощь по высшей математике а значит, исходная система имеет ровно два решения.

Таким образом, исходная система имеет ровно два решения только при Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике

Ответ: Помощь по высшей математике

Помощь с примером 108.

Найдите все значения Помощь по высшей математике при каждом из которых система уравнений

Помощь по высшей математике

имеет ровно два различных решения.

Решение:

Запишем первое уравнение в виде

Помощь по высшей математике

При Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике левая часть не имеет смысла. При Помощь по высшей математике уравнение задает прямые Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике (см. рисунок).

Помощь по высшей математике

При каждом значении Помощь по высшей математике уравнение Помощь по высшей математике задает прямую, параллельную прямой Помощь по высшей математике или совпадающую с ней. При Помощь по высшей математике такая прямая пересекает прямую Помощь по высшей математике при Помощь по высшей математике пересекает прямую Помощь по высшей математике при Помощь по высшей математике пересекает прямую Помощь по высшей математике при любом значении Помощь по высшей математике При этом прямые Помощь по высшей математике проходят через точки пересечения прямых Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике при Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике = 8.

Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямых Помощь по высшей математике = 3, Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике с прямой Помощь по высшей математике при условии Помощь по высшей математике

Таким образом, исходная система имеет ровно два решения при Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике = 8; Помощь по высшей математике

Ответ: Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

Помощь с примером 109.

Найдите все значения Помощь по высшей математике при каждом из которых система уравнений

Помощь по высшей математике

имеет более двух решений.

Решение:

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.

Рассмотрим два случая:

1) Если Помощь по высшей математике то получаем уравнение

Помощь по высшей математике

Полученное уравнение задает окружность с центром в точке Помощь по высшей математике(1;-1) и радиусом 1.

2) Если Помощь по высшей математике то получаем уравнение

Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике

Полученное уравнение задает окружность с центром в точке Помощь по высшей математике и радиусом Помощь по высшей математике

Полученные окружности пересекаются в двух точках А(1; 0) и В(0; -1), лежащих на окружности Помощь по высшей математике, поэтому в первом случае получаем дугу Помощь по высшей математике с концами в точках А и В, во втором — дугу Помощь по высшей математике с концами в тех же точках (см. рисунок).

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задает прямую Помощь по высшей математике которая проходит через точку Помощь по высшей математике и угловой коэффициент которой равен Помощь по высшей математике

При Помощь по высшей математике = 1 прямая Помощь по высшей математике проходит через точки Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике то есть исходная система имеет два решения.

При Помощь по высшей математике = 2 прямая Помощь по высшей математике перпендикулярна прямой Помощь по высшей математике угловой коэффициент которой равен Помощь по высшей математике значит, прямая Помощь по высшей математике касается дуги Помощь по высшей математике в точке Помощь по высшей математике и пересекает дугу Помощь по высшей математике в двух точках (одна из которых — точка Помощь по высшей математике), то есть исходная система имеет два решения.

При Помощь по высшей математике прямая Помощь по высшей математике пересекает каждую из дуг Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике в точке Помощь по высшей математике и еще в одной точке, отличной от точки Помощь по высшей математике то есть исходная система имеет три решения.

При Помощь по высшей математике прямая Помощь по высшей математике не пересекает дуги Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике в точках, отличных от точки Помощь по высшей математике то есть исходная система имеет одно решение.

При Помощь по высшей математике < 0 или Помощь по высшей математике > 2 прямая Помощь по высшей математике пересекает дугу Помощь по высшей математике в двух точках и не пересекает дугу Помощь по высшей математике в точках, отличных от точки Помощь по высшей математике то есть исходная система имеет два решения.

Значит, исходная система имеет более двух решений при 1 < Помощь по высшей математике < 2.

Ответ: 1 < Помощь по высшей математике < 2.

Помощь с примером 110.

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений

Помощь по высшей математике

имеет более двух решений.

Решение:

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.

Рассмотрим два случая:

1) Если Помощь по высшей математике то получаем уравнение

Помощь по высшей математике

Полученное уравнение задает окружность с центром в точке Помощь по высшей математике(8; -4) и радиусом 5.

2) Если Помощь по высшей математике то получаем уравнение

Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике

Полученное уравнение задает окружность с центром в точке Помощь по высшей математике (0; 0) и радиусом 5.

Полученные окружности пересекаются в двух точках Помощь по высшей математике(5; 0) и В(3; -4), лежащих на прямой Помощь по высшей математике поэтому в первом случае получаем дугу Помощь по высшей математике с концами в точках Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике во втором — дугу Помощь по высшей математике с концами в тех же точках (см. рисунок).

Заметим, что точка Помощь по высшей математике лежит на дуге Помощь по высшей математике и прямая Помощь по высшей математике перпендикулярна прямой Помощь по высшей математике

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задает прямую Помощь по высшей математике параллельную прямой Помощь по высшей математике или совпадающую с ней.

При Помощь по высшей математике = 5 прямая Помощь по высшей математике пересекает каждую из дуг Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике в точке Помощь по высшей математике и еще в одной точке, отличной от точки Помощь по высшей математике, то есть исходная система имеет три решения.

Аналогично, при Помощь по высшей математике = -5 прямая Помощь по высшей математике проходит через точку Помощь по высшей математике и исходная система имеет три решения.

При Помощь по высшей математике прямая Помощь по высшей математике проходит через точку С, значит, прямая Помощь по высшей математике касается дуг Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике то есть исходная система имеет два решения.

Аналогично, при Помощь по высшей математике прямая Помощь по высшей математике касается дуг Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике то есть исходная система имеет два решения.

При Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике прямая Помощь по высшей математике пересекает каждую из дуг Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике в двух точках, отличных от точек Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике то есть исходная система имеет четыре решения.

При -5 < Помощь по высшей математике < 5 прямая Помощь по высшей математике пересекает каждую из дуг Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике в точке, отличной от точек Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике то есть исходная система имеет два решения.

При Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике прямая Помощь по высшей математике не пересекает дуги Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике, то есть исходная система не имеет решений.

Значит, исходная система имеет более двух решений при Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике

Ответ: Помощь по высшей математике

Помощь с примером 111.

Найдите все значения Помощь по высшей математике при каждом из которых система уравнений

Помощь по высшей математике

имеет более двух решений.

Решение:

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.

Рассмотрим четыре случая:

1) Если Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике то получаем уравнение

Помощь по высшей математике

Полученное уравнение задает прямую Помощь по высшей математике

2) Если Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике то получаем уравнение

Помощь по высшей математике

Полученное уравнение задает параболу Помощь по высшей математике

3) Если Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике то получаем уравнение

Помощь по высшей математике

Полученное уравнение задает параболу Помощь по высшей математике

4) Если Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике то получаем уравнение

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

Полученное уравнение задает пару прямыхПомощь по высшей математике и Помощь по высшей математике

Точки Помощь по высшей математике(-1; 2), Помощь по высшей математике(2; -1) и Помощь по высшей математике(0; 0) являются точками пересечения полученных парабол с полученными прямыми и лежат на прямых Помощь по высшей математике = 2, Помощь по высшей математике = 2 или Помощь по высшей математике = 0 и Помощь по высшей математике = 0 соответственно, поэтому искомое множество состоит из прямой Помощь по высшей математике задаваемой уравнением Помощь по высшей математике, лучей Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике прямой Помощь по высшей математике с концами в точках Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике соответственно, дуги Помощь по высшей математике параболы Помощь по высшей математике с концами в точках Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике и дуги Помощь по высшей математике параболы Помощь по высшей математике с концами в точках Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике (см. рисунок).

Помощь по высшей математике

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задает прямую Помощь по высшей математике параллельную прямой Помощь по высшей математике или совпадающую с ней.

Заметим, что при Помощь по высшей математике = 0 прямая Помощь по высшей математике касается парабол Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике в точке Помощь по высшей математике.

При Помощь по высшей математике= 1 прямая Помощь по высшей математике содержит лучи Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике то есть исходная система имеет бесконечное число решений.

При Помощь по высшей математике = 0 прямая Помощь по высшей математике касается дуг Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике в точке Помощь по высшей математике, пересекает прямую Помощь по высшей математике в точке Помощь по высшей математике и не имеет общих точек с лучами Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике то есть исходная система имеет одно решение.

При 0 < Помощь по высшей математике < 1 прямая Помощь по высшей математике не имеет общих точек с лучами Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике пересекает прямую Помощь по высшей математике в точке, отличной от точки Помощь по высшей математике, пересекает каждую из дуг Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике в одной точке, отличной от точки Помощь по высшей математике, то есть исходная система имеет три решения.

При Помощь по высшей математике < 0 или Помощь по высшей математике > 1 прямая Помощь по высшей математике пересекает прямую Помощь по высшей математике в одной точке и не имеет общих точек с дугами Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике и лучами Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике то есть исходная система имеет одно решение.

Значит, исходная система имеет более двух решений при Помощь по высшей математике

Ответ: Помощь по высшей математике

Помощь с примером 112.

Найдите все значения Помощь по высшей математике при каждом из которых система

Помощь по высшей математике

имеет более двух решений.

Решение:

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.

Рассмотрим два случая:

1) Если Помощь по высшей математике то получаем уравнение

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

Полученное уравнение задает окружность с центром в точке (1; 0) и радиусом Помощь по высшей математике

2) Если Помощь по высшей математике то получаем уравнение

Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике

Полученное уравнение задает пару прямых Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике

Помощь по высшей математике

Полученная окружность пересекает полученные прямые в точках Помощь по высшей математике(-1; 1), Помощь по высшей математике(2; 2), Помощь по высшей математике(2; -2) и Помощь по высшей математике(-1; -1), поэтому в первом случае получаем две дуги Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике окружности Помощь по высшей математике с концами в точках Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике, Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике соответственно, во втором - четыре луча Помощь по высшей математике Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике с концами в точках Помощь по высшей математике, Помощь по высшей математике, Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике соответственно.

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задает прямую Помощь по высшей математике параллельную прямой Помощь по высшей математике или совпадающую с ней.

Заметим, что прямая Помощь по высшей математике касается окружности Помощь по высшей математике при Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике

При Помощь по высшей математике = 0 прямая Помощь по высшей математике содержит лучи Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике то есть исходная система имеет бесконечное число решений.

При Помощь по высшей математике = -2 прямая Помощь по высшей математике пересекает дугу Помощь по высшей математике в двух точках (одна из которых — точка А), пересекает луч Помощь по высшей математике в точке Помощь по высшей математике и не имеет общих точек с дугой Помощь по высшей математике и лучами Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике то есть исходная система имеет два решения.

При Помощь по высшей математике = 4 прямая Помощь по высшей математике пересекает дугу Помощь по высшей математике и луч Помощь по высшей математике в точке Помощь по высшей математике и не имеет общих точек с дугой Помощь по высшей математике и лучами Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике то есть исходная система имеет одно решение.

При Помощь по высшей математике прямая Помощь по высшей математике касается дуги Помощь по высшей математике, пересекает луч Помощь по высшей математике в точке, отличной от точки Помощь по высшей математике и не имеет общих точек с дугой Помощь по высшей математике и лучами Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике то есть исходная система имеет два решения.

При Помощь по высшей математике прямая Помощь по высшей математике пересекаег луч Помощь по высшей математике в одной точке и не имеет общих точек с дугами Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике и лучами Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике то есть исходная система имеет одно решение.

При Помощь по высшей математике прямая Помощь по высшей математике пересекает дугу Помощь по высшей математике в двух точках, отличных от точки Помощь по высшей математике пересекает луч Помощь по высшей математике в точке, отличной от точки Помощь по высшей математике и не имеет общих точек с дугой Помощь по высшей математике и лучами Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике то есть исходная система имеет три решения.

При -2 < Помощь по высшей математике < 0 прямая Помощь по высшей математике пересекает дугу Помощь по высшей математике в одной точке и не имеет общих точек с дугой Помощь по высшей математике и лучами Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике то есть исходная система имеет одно решение.

При 0 < Помощь по высшей математике < 4 прямая Помощь по высшей математике пересекает дугу Помощь по высшей математике в одной точке и не имеет общих точек с дугой Помощь по высшей математике, и лучами Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике то есть исходная система имеет одно решение.

При Помощь по высшей математике > 4 прямая Помощь по высшей математике пересекает луч Помощь по высшей математике в точке, отличной от точки Помощь по высшей математике и не имеет общих точек с дугами Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике и лучами Помощь по высшей математике и Помощь по высшей математике то есть исходная система имеет одно решение.

Значит, исходная система имеет более двух решений при Помощь по высшей математике или Помощь по высшей математике = 0.

Ответ: Помощь по высшей математике

Возможно, вас также заинтересует: