Помощь по теории вероятности
Ответы на вопросы по заказу заданий по теории вероятности:
Сколько стоит помощь?
- Цена зависит от объёма, сложности и срочности. Присылайте любые задания по любым предметам - я изучу и оценю.
Какой срок выполнения?
- Мне и моей команде под силу выполнить как срочный заказ, так и сложный заказ. Стандартный срок выполнения – от 1 до 3 дней. Мы всегда стараемся выполнять любые работы и задания раньше срока.
Если требуется доработка, это бесплатно?
- Доработка бесплатна. Срок выполнения от 1 до 2 дней.
Могу ли я не платить, если меня не устроит стоимость?
- Оценка стоимости бесплатна.
Каким способом можно оплатить?
- Можно оплатить любым способом: картой Visa / MasterCard, с баланса мобильного, google pay, apple pay, qiwi и т.д.
Какие у вас гарантии?
- Если работу не зачли, и мы не смогли её исправить – верну полную стоимость заказа.
В какое время я вам могу написать и прислать задание на выполнение?
- Присылайте в любое время! Я стараюсь быть всегда онлайн.
Содержание:
- Ответы на вопросы по заказу заданий по теории вероятности:
- Случайные события
- Пример:
- Операции над событиями
- Помошь с примером 1.
- Решение:
- Помошь с примером 2.
- Решение:
- Помошь с примером 3.
- Решение:
- Классическое определение вероятности
- Помошь с примером 4.
- Решение:
- Помошь с примером 5.
- Решение:
- Геометрическое определение вероятности
- Помошь с примером 6.
- Решение:
- Помошь с примером 7.
- Решение:
- Статистическое определение вероятности
- Помошь с примером 8.
- Решение:
- Помошь с примером 9.
- Решение:
- Элементы комбинаторики и их применение в теории вероятностей
- Помошь с примером 10.
- Решение:
- Помошь с примером 11.
- Решение:
- Помошь с примером 12.
- Решение:
- Помошь с примером 13.
- Решение:
- Помошь с примером 14.
- Решение:
- Помошь с примером 15.
- Решение:
- Помошь с примером 16.
- Решение:
- Формулы сложения и умножения вероятностей
- Помошь с примером 17.
- Решение:
- Помошь с примером 18.
- Решение:
- Формула полной вероятности. Формула Байеса
- Помошь с примером 19.
- Решение:
- Помошь с примером 20.
- Решение:
- Помошь с примером 21.
- Решение:
Случайные события
Обеспечение определённого комплекса, условий называют испытанием или опытом, а возможный результат исиытания — событием. Например, подбрасывание монеты — испытание, а выпадение «герба» или «номинала» — событие. События будем обозначать большими латинскими буквами: А, В, С.
Событие называют случайным, если оно может состояться или не состояться в данном испытании.
Достоверным называют событие, которое обязательно состоится в данном испытании.
Невозможным называют событие, которое точно не состоится в данном испытании.
Отметим, что любое событие связано с определённым испытанием.
Два события называют совместимыми, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.
Два события называют несовместимыми, если они не могут выполняться одновременно в одном и том же испытании.
- Попарно несовместимые случайные события образуют полную группу событий, если вследствие испытания одно из них обязательно состоится. Например, события «выигрыш», «проигрыш» и «ничья» (для определённого игрока) образуют полную группу событий в испытании — игре в шахматы двух соперников.
Элементарными событиями в определённом испытании называют все возможные результаты этого испытания, которые нельзя разложить на более простые. Множество всех возможных элементарных событий называют пространством элементарных событий, которое обозначают . Например, при подбрасывании игрального кубика пространство элементарных событий образуют события
= 1,2,3,4,5,6.
Элементарные события, при появлении которых происходит определённое событие, называют благоприятными для этого события. Например, при подбрасывании игрального кубика для события А = {выпадет нечётное число очков} благоприятными являются элементарные события
Каждое событие можно рассматривать как некоторое подмножество пространства, элементарных событий в данном испытании. В частности, событие А = — достоверное, а событие В = — невозможное.
Пример:
Монету подбрасывают дважды. Для данного исиытания описать пространство элементарных событий.
Решение:
При двукратном подбрасывании монеты возможны четыре элементарных исхода:
(А, А); (А, Р); (Р,А); (Р,Р),
где А — выпадение аверса (изображение «герба»); Р — выпадение реверса (изображение «номинала»). Очевидно, они образуют полную группу событий, поэтому
= {(А,А);(А,Р);(Р,А);(Р,Р)} -
пространство элементарных событий данного испытания.
Операции над событиями
Суммой двух случайных событий А и В называют такое событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из событий А или В. Эту операцию обозначают А+В (или A В).
Суммой случайных событий называют такое событие, которое состоит в появлении по крайней мере одного из этих событий (обозначается ).
Произведением двух случайных событий А и В называют такое событие, которое состоит в совместном появлении обоих событий А и В. Эту операцию обозначают А•В (или А В).
Произведением случайных событий называют такое событие, которое состоит в совместном появлении всех этих событий (обозначается ). Разностью двух случайных событий А и В называют событие, которое состоит в том, что происходит событие А и не происходит событие В. Эту операцию обозначают А — В (или А\В).
Событие называют противоположным к событию А в данном испытании экзамена, если оно происходит тогда., когда не происходит событие А, т. е. Очевидно, что противоположные события несовместимы и образуют полную группу событий.
Помошь с примером 1.
В ящике находятся шарики белого и чёрного цвета. Наугад из него вынимают один шарик. Событие А = {вынут шарик белого цвета}, событие В = {вынут шарик чёрного цвета}. Совместимы или несовместимы эти события?
Решение:
Эти события несовместимы, так как появление события А исключает возможность появления события В, и наоборот. В данном испытании события А к В являются противоположными:
Помошь с примером 2.
Подбрасывают два игральных кубика. Пусть события = {выпадет очков на первом кубике}, = 1,2,3,4,5,6, = {выпадет очков на втором кубике}, = 1,2,3,4,5,6. Выразить через такие события:
а) сумма очков на. двух кубиках равняется пяти;
б) выпадет в сумме хотя бы десять очков;
в) выпадет в сумме не более трёх очков.
Решение:
а) Пусть = {сумма очков на двух кубиках равняется пяти}. Это событие возможно лишь тогда, когда на. первом кубике выпадет очков, а. на. втором — очков так, чтобы , т. е. , или , или , или . Итак,
б) Обозначим = {выпадет в сумме хотя бы десять очков}. Событие состоится тогда, когда на двух кубиках в сумме выпадет или 10, или 11, или 12 очков, т. е. , или, или , или , или, или . Поэтому
в) Пусть = {выпадет в сумме не более трёх очков}. Поскольку наименьшее количество очков, которое может выпасть на каждом кубике, равняется единице, то событие возможно лишь тогда, когда, сумма, очков на. двух кубиках будет равняться или двум, или трём. Поэтому
Помошь с примером 3.
Два стрелка стреляют в мишень по одному разу. Событие А = {в мишень попал первый стрелок}, событие В = {в мишень попал второй стрелок}. Выразить через А и В такие события: С = {два попадания в мишень}, D = {ни одного попадания в мишень}, Е = {хотя бы одно попадание в мишень}, F = {лишь одно попадание в мишень}.
Решение:
Пространство элементарных событий состоит из четырёх событий:
Событие С состоится тогда, когда оба стрелка попадут в мишень. Поэтому оно является произведением двух событий А и В. Итак,
Событие D состоит в том, что в мишень не попадёт ни один стрелок, т. е. не попадёт ни первый (), ни второй (). Поэтому
Событие Е состоится тогда, когда, в мишень попадёт хотя бы один стрелок. Это может случиться тогда, когда или оба стрелка попадут в мишень, или первый попадёт, а второй не попадёт, или первый не попадёт, а второй попадёт. Поэтому
т. е.
Событие F состоит в том, что первый стрелок попадёт в мишень, а второй не попадёт или второй попадёт, а первый не попадёт. Поэтому
Классическое определение вероятности
Пусть все элементарные исходы равновозможны.
Вероятность события А равняется отношению количества, элементарных исходов, благоприятствующих этому событию, к количеству всех равновозможных элементарных исходов в данном испытании.
Вероятность события А обозначают , поэтому по определению
(1)
где — количество элементарных событий, благоприятствующих событию А; — количество всех элементарных событий в данном испытании.
Из классического определения вероятности вытекает, что
причем , когда А = 0 — невозможное событие, и , когда А = — достоверное событие.
Помошь с примером 4.
В урне находится 5 белых, 3 чёрных и 4 красных шара. Наугад вынимают один. Найти вероятность того, что наугад вынутый шар красный экзамен.
Решение:
Пусть событие А = {вынутый из урны шар красный}. Общее количество шаров в урне — 5 + 3 + 4 = 12, причём вынуть можно любой из них с одинаковой вероятностью. Поэтому в данном испытании есть 12 равновозможных исходов, т. е. = 12. Количество событий, которые благоприятствуют событию А, определяется количеством красных шаров, т. е. = 4. Итак, по определению (1) вероятность
Помошь с примером 5.
Найти вероятность того, что выбранное случайным образом двузначное число делится на:
а) 3;
б) 5.
Решение:
В данном случае испытание состоит в том, что выбирают случайным образом двузначное число. Исходом такого исиытания является одно из чисел от 10 до 99. Поскольку таких чисел 90, то = 90.
а) Пусть событие А = {выбранное двузначное число делится на 3}. Поскольку каждое третье с 90 двузначных чисел делится на 3, то благоприятными для события А являются 30 исходов, т. е. = 30. Тогда по формуле (1) вероятность события А
б) Пусть событие В = {выбранное двузначное число делится на 5}. Общее количество исходов испытания, как и в предыдущем случае, = 90. Определим количество чисел, которые делятся на. 5. Очевидно, что таких чисел будет = 18 (каждое пятое число делится на. 5). Итак,
Классическое определение вероятности предусматривает, что количество элементарных исходов конечное. Если множество всех элементарных исходов испытания бесконечное, применяют геометрическое определение вероятности.
Геометрическое определение вероятности
Пусть множество всех элементарных событий испытания бесконечно и образует некоторое множество , все элементарные события равновозможны, причём событию благоприятствуют те элементарные события, которые образуют множество . Тогда вероятность события равняется отношению меры множества. А к мере множества , т. е.
(2)
Мерой множества на прямой, плоскости, в пространстве является соответственно длина, площадь, объём геометрической фигуры, которую образует это множество.
Помошь с примером 6.
Два действительных числа случайным образом выбирают из интервала. [0;5]. Какая вероятность того, что:
а) сумма двух чисел меньше 4;
б) произведение двух чисел больше 5;
в) разность двух чисел меньше 2, а их произведение больше 3?
Решение:
Обозначим через первое число, выбранное случайным образом из интервала [0;5], а через — второе число. Тогда Вследствие бесконечного количества таких действительных чисел надо воспользоваться определением геометрической вероятности. В этом случае множеством всех возможных исходов исиытания является квадрат (рис. 1—3) со стороной 5, площадь которого равняется 25, т. е.
а) Пусть событие А = {сумма двух чисел меньше 4}. Тогда.
или
Итак, элементарные события испытания, которые благоприятствуют событию А, образуют фигуру (заштрихованную на рис. 1), площадь которой
Применяя формулу (2) для геометрической вероятности, получаем
б) Пусть событие В = {произведение двух чисел больше 5}. Тогда
или
Множеству всех событий, которым благоприятствует событие В отвечает фигура ABC, заштрихованная на. рис. 2, где линия АС — график функции. Вычислим площадь этой фигуры с помощью определённого интеграла:
Итак,
в) Пусть событие С = {разность двух чисел меньше 2, а. их произведение больше 3}, тогда
откуда получаем неравенства
Множество точек, координаты которых удовлетворяют указанным неравенствам, образует фигуру ABCDE (рис. 3). Прямая АЕ задана уравнением , прямая CD — уравнением , а линия MEDN — графиком функции . Абсциссу точки М определяем из равенства , т. е. . Ординату точки N находим из равенства, . Абсциссу точки Е как точки пересечения двух линий и определяем из уравнения , откуда имеем . Аналогично находим абсциссу точки D как точки пересечения двух линий и т.е. .
Для определения вероятности события С вычислим площадь области ABCDE. Очевидно, что
поскольку Тогда
Итак,
a
Помошь с примером 7.
Два студента назначили встречу в определённом месте между тремя и четырьмя часами дня. Тот, кто прийдёт первым, ждёт другого в течение 15 мин, после чего покидает место встречи. Найти вероятность того, что встреча, состоится.
Решение:
Обозначим через время прихода на место встречи первого студента, а. через — второго. Предположим также, что время, когда может состояться встреча, несущественно, т. е. студенты могут встретиться на протяжении одного часа. Тогда для и выполняются условия
и
Пусть событие А состоит в том, что встреча состоялась. Это возможно лишь тогда, когда разность между временем прихода на место встречи первого и второго студентов меньше 15 мин, или, т. е.
Отсюда получаем неравенства и Множество точек, координаты которых удовлетворяют этим неравенствам, образует фигуру ABCDOE, изображённую на рис. 4. Поскольку
причем
Итак, вероятность того, что встреча состоится,
Статистическое определение вероятности
Поскольку классическое определение вероятности предусматривает, что все элементарные исходы испытания равновозможны, что трудно обосновать, то рассматривают ещё и статистическое определение вероятности.
Относительной частотой события А называют отношение количества испытаний, в которых событие А состоялось, к количеству всех проведенных испытаний. Относительную частоту события А обозначают . Тогда
где — количество испытаний, в которых состоялось событие А; — количество всех проведенных испытаний.
Число, вокруг которого группируется значение частоты события А при большом количестве испытаний, называют вероятностью события А:
Помошь с примером 8.
При проверке готовой продукции было выявлено 5 бракованных единиц товара из 200 проверенных. Найти относительную частоту бракованных единиц товара.
Решение:
Пусть событие А состоит в том, что выявлена бракованная единица товара. Тогда относительная частота события А
Помошь с примером 9.
При стрельбе но мишени было выявлено, что относительная частота попаданий равняется 0,85. Проведено 100 выстрелов. Сколько выстрелов были точны?
Решение:
Пусть событие А состоит в том, что выстрел был точным. Тогда по формуле для относительной частоты события А получаем, что количество точных выстрелов
Элементы комбинаторики и их применение в теории вероятностей
При определении вероятностей событий довольно часто нужно подсчитывать количество элементарных событий (благоприятных для некоторого события или всех возможных событий). В большинстве случаев это сопряжено со значительными трудностями, преодолеть которые помогает комбинаторика, изучающая способы подсчёта количества размещений, перестановок, сочетаний.
Прежде чем представить детали, напомним, что выражение читается «эн-факториал» и означает произведение всех натуральных чисел до :
причём считают, что 0! = 1.
Размещениями из элементов по называют множества из элементов, выбранных из элементов, которые могут различаться между собой как составом элементов, так и их порядком. Например, размещениями из трёх элементов по два будут такие множества: {1; 2}, {1; 3}, {2; 1}, {2;3}, {3; 1}, {3; 2}. Количество всех размещений из элементов по определяют по формуле
Перестановками из элементов называют множества из п элементов, которые различаются лишь их порядком. Например, перестановками из трёх элементов будут такие множества: {1;2;3},
{1; 3; 2}, {2; 1; 3}, {2;3;1}, {3; 1; 2}, {3;2;1}. Количество всех перестановок из п элементов определяют так:
(4)
Сочетаниями из элементов по называют множества из элементов, выбранных из элементов, которые различаются между собой только составом элементов. Например, сочетаниями из трёх элементов по два будут такие множества: {1;2}, {1;3}, {2;3}. Количество всех сочетаний из элементов по определяют по формуле
Между перечисленными понятиями существуют такие соотношения:
Помошь с примером 10.
Согласно учебному плану студенты на протяжении семестра изучают 10 дисциплин. На каждый день планируются 4 пары ио разным дисциплинам. Сколькими способами можно составить расписание занятий на один день?
Решение:
Все возможные расписания занятий на один день — это размещения из 10 элементов ио 4, поскольку они могут различаться дисциплинами или порядком. Поэтому количество способов составления расписания на один день определяется ио формуле (3), т. е.
Помошь с примером 11.
Сколько пятизначных чисел можно образовать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, если любая из них в числе встречается лишь один раз?
Решение:
Разные пятизначные числа, образованные с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, можно получить лишь перестановкой этих цифр в числе. Поэтому их количество определяется перестановкой из пяти элементов. Согласно формуле (4)
Помошь с примером 12.
В группе 15 студентов. Сколькими способами можно избрать:
а) студенческий совет в количестве трёх студентов;
б) председателя, заместителя и секретаря студенческого совета?
Решение:
а) В этом случае студенческий совет из трёх студентов, выбранных из 15 студентов группы, различается лишь составом. Порядок выбранных студентов не имеет значения. Поэтому количество возможных выборов определяется количеством сочетаний из 15 элементов ио 3, которое согласно формуле (5) равняется
б) В этом случае студенческий совет из трёх студентов, выбранных из 15 студентов группы, различается не только составом, но и тем, кто будет председателем, заместителем и секретарем. Порядок выбранных студентов имеет значение. Поэтому количество возможных выборов определяется количеством размещений из 15 элементов ио 3, которое согласно формуле (3) равняется
Помошь с примером 13.
В урне находится 8 чёрных и 5 белых шаров. Наугад вынимают 4 шара. Какая вероятность того, что вынули:
а) 4 чёрных шара;
б) 2 чёрных и 2 белых шара?
Решение:
а) Количество шаров в урне — 13. Определим, сколькими способами можно получить 4 шара из 13 (без возвращения их в урну). Поскольку при этом не имеет значения порядок вынутых шаров, количество сочетаний определяем по формуле (5), т. е. количество всех элементарных событий в данном испытании
Пусть событие А состоит в том, что вынуто 4 чёрных шара. Эти шары можно вынуть из урны, в которой находится восемь чёрных шаров. Поэтому количество событий, благоприятствующих событию А, определяем ио формуле (5), т. е.
Итак, вероятность того, что вынули 4 чёрных шара,
б) В этой задаче количество всех возможных событий такое же, как и в предыдущем пункте: = 715. Пусть событие В состоит в том, что вынуто 2 чёрных и 2 белых шара. Определим, сколькими способами это можно сделать. Два чёрных шара, можно вынуть из восьми шаров, которые находятся в урне,
способами, а два белых — из пяти белых, которые находятся в урне,
способами. Тогда 2 белых и 2 чёрных шара можно вынуть
способами. Поэтому количество событий, благоприятствующих событию В, = 280.
Итак, вероятность события В
Помошь с примером 14.
Шестнадцать вариантов контрольной работы написаны на отдельных карточках и распределяются случайным образом среди 14 студентов, которые сидят в одном ряду. Каждый студент получает одну карточку. Найти вероятность того, что:
а) варианты 1 и 2 не будут использованы;
б) варианты 1 и 2 выдадут студентам, которые сидят рядом.
Решение:
Имеем испытание — распределение 16 билетов среди 14 студентов. В этом случае события отличаются друг от друга не только номерами вариантов, которые распределяются среди студентов, но и порядком распределения. Поэтому такие соединения называют размещениями, а количество таких размещений определяется по формуле (3):
а) Обозначим через А событие, которое состоит в том, что варианты 1 и 2 останутся нераспределёнными. Тогда другие 14 билетов будут распределены среди 14 студентов. Такие соединения называют перестановками, а их количество определяют по формуле (4):
Итак, применив классическую формулу вероятности (1), получим
б) Пусть событие В состоит в том, что варианты 1 и 2 выданы студентам, которые сидят рядом. В ряду из 14 мест есть 13 пар соседних мест, причём в каждой паре варианты могут быть распределены двумя способами:
Другие 14 вариантов билетов распределяются между 12 студентами
способами. Поэтому событию В благоприятствуют
событий.
Итак, вероятность события В
Помошь с примером 15.
Комплект состоит из восьми разных изделий, 3 из которых стоят ио 4 грн, ещё 3 — по 5 грн и 2 остальных — ио 3 грн. Найти вероятность того, что взятые наугад 2 изделия стоят 7 грн.
Решение:
Выбор двух изделий из восьми является сочетанием, количество сочетаний
Это общее количество событий в испытании — выборе двух изделий из восьми.
Пусть событие А состоит в том, что стоимость двух выбранных изделий составляет 7 грн. Это возможно лишь тогда, когда одно изделие стбит 4 грн, а другое — 3 грн. Поскольку изделий стоимостью 4 грн в комплекте три, а изделий стоимостью 3 грн — два, то выбрать два изделия стоимостью 7 грн можно = 32 = 6 способами. Итак,
Помошь с примером 16.
В группе 10 парней и 5 девушек, среди которых выбирают двух студентов для участия в конференции. Какая вероятность того, что:
а) выберут двух парней;
б) выберут парня и девушку?
Решение:
В группе 15 студентов, среди которых 10 парней и 5 девушек. Выбор двух студентов из 15 является сочетанием, количество сочетаний
Это общее количество событий в испытании — выборе двух студентов из 15.
а) Пусть событие А = {выбрали двух парней}. Общее количество событий, которые благоприятствуют событию А, определяется количеством выборов двух парней из 10:
Итак,
б) Пусть событие В = {выбрали парня и девушку}. Это возможноспособами.
Следовательно,
Формулы сложения и умножения вероятностей
Вероятность суммы двух произвольных случайных событий А и В равняется сумме их вероятностей минус вероятность их произведения, т. е.
Если события А и В несовместимы, то. Тогда
Если случайные события попарно несовместимы, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий равняется сумме их вероятностей:
Сумма вероятностей случайных событий , образующих полную группу, равняется единице, т. е.
В частности, для противоположных событий А и выполняется равенство
Случайные события А и В называются зависимыми, если вероятность появления одного из них зависит от появления или непоявления другого. В противном случае события А и В называются независимыми.
Вероятность события В рассчитанную при условии появления события А, называют условной вероятностью события В (при условии появления события А) и обозначают или .
Если события А и В независимы, то , и наоборот, .
Вероятность произведения двух случайных событий А и В равняется произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого события при условии, что первое событие состоялось, т. е.
Если события независимы, то
Пусть есть п независимых случайных событий . Вероятность появления хотя бы одного из этих событий определяется ио формуле
Помошь с примером 17.
Мишень состоит из трех областей. Вероятность попадания стрелком в первую область мишени равняется 0,45, во вторую — 0,35, в третью — 0,15. Какая вероятность того, что при одном выстреле стрелок:
а) попадёт в первую или во вторую область;
б) не попадёт в мишень?
Решение:
Введем обозначения:
событие = {попадание в первую область};
событие = {попадание во вторую область};
событие = {попадание в третью область};
событие = {непопадание в мишень}.
Тогда
а) При одном выстреле события несовместимы. Поэтому
б) События попарно несовместимы и образуют полную группу случайных событий. Поэтому
Итак,
Помошь с примером 18.
Для выполнения работы заказчик обратился к двум исполнителям. Вероятность того, что первый исполнитель выполнит заказ, равняется 0,8, а второй — 0,9. Найти вероятность того, что заказ будет выполнен.
Решение:
Обозначим событие А = {заказ будет выполнен}; = {заказ выполнит первый исполнитель}; = {заказ выполнит второй исполнитель}. Тогда
Поскольку выполнение заказа первым исполнителем не исключает выполнения этого же заказа вторым, события совместимы. Тогда
Однако события и независимы, так как вероятность выполнения заказа первым исполнителем не зависит от того, выполнит ли этот заказ второй исполнитель. Поэтому
Итак,
Формула полной вероятности. Формула Байеса
Если случайное событие А может произойти только совместно с одним из несовместимых между собою событий , образующих полную группу, то вероятность появления события А определяется ио формуле полной вероятности
(6)
В условиях теоремы неизвестно, с каким из несовместимых событий состоится событие А. Поэтому появление любого из этих событий можно считать гипотезой, а — вероятностью -й гипотезы.
Если в результате проведенного испытания состоялось событие А, то условная вероятность может не равняться . Чтобы получить условную вероятность, используют формулу Байеса:
Помошь с примером 19.
В нервом ящике 30 деталей, из которых 20 стандартных. Во втором — 15 деталей, из которых 10 стандартных. Из второго ящика берут наугад одну деталь и перекладывают её в первый ящик.
а) Найти вероятность того, что наугад взятая после этого деталь из первого ящика стандартная.
б) Пусть известно, что из первого ящика взята стандартная деталь. Найти вероятность того, что в первый ящик переложили:
• стандартную деталь;
• нестандартную деталь.
Решение:
Введем такие события: А = {из первого ящика взята стандартная деталь}; = {из второго ящика переложили в первый стандартную деталь}; = {из второго ящика переложили в первый нестандартную деталь}.
а) По условию задачи из первого ящика деталь берут лишь после того, как в него положат деталь, взятую из второго ящика, т. е. событие А состоится лишь тогда, когда состоится событие или событие . Эти события несовместимы, а событие А может состояться только совместно с одним из них. Поэтому для определения вероятности события А можно воспользоваться формулой полной вероятности (6):
Найдем нужные вероятности:
Итак,
б) Если событие А уже состоялось, то условная вероятность того, что в первый ящик переложена стандартная деталь,
а если деталь нестандартная, то
Помошь с примером 20.
В урне 10 шаров — 3 белых и 7 чёрных. Наугад вынимают два шара. Найти вероятность того, что второй шар оказался чёрным, если:
а) первый шар возвращали в урну;
б) первый шар не возвращали в урну.
Решение:
Пусть событие состоит в том, что в -й раз взят белый шар, а событие — в -й раз взят чёрный шар.
а) Если шар, взятый первым, возвращают в урну, то вероятность появления второго чёрного шара не зависит от того, какой шар взят первым. Поэтому
б) Если первый шар не возвращать, то вероятность появления второго чёрного шара уже зависит от того, какой шар был взят первым. Если первым взяли белый шар, то в урне осталось 2 белых и 7 чёрных шаров. Поэтому
Если первым взяли чёрный шар, то
Вероятность того, что первым взяли белый шар,
чёрный шар —
Поскольку события и несовместимы и образуют полную группу, то ио формуле полной вероятности (6) получаем
Помошь с примером 21.
Детали, изготовленные цехом завода, попадают для проверки их стандартности к одному из двух контролёров. Вероятность того, что деталь попадёт к первому контролёру, равняется 0,6, ко второму — 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет признана. стандартной первым контролёром, равняется 0,94, вторым — 0,98. Годная деталь при проверке признана стандартной. Найти вероятность того, что деталь проверял:
• первый контролёр;
• второй контролёр.
Решение:
Обозначим такие события:
= {годная деталь признана стандартной};
= {деталь проверял первый контролёр};
= {деталь проверял второй контролёр}. Тогда в соответствии с условием задачи
Согласно формуле Байеса (7) имеем
Возможно, вас также заинтересует: