Помощь по теории вероятности

Помощь по теории вероятности онлайн

Не всегда есть у студента время разобраться быстро в теории вероятности или другом предмете и подготовиться к сложной работе, я смогу помочь, вам остаётся только написать мне!

Кстати можете сами попробовать научится решать задания я подготовила ниже хороший теоретический курс по теорверу.

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Заказать работу по теории вероятности помощь в учёбе

Случайные события

Обеспечение определённого комплекса, условий называют испытанием или опытом, а возможный результат исиытания — событием. Например, подбрасывание монеты — испытание, а выпадение «герба» или «номинала» — событие. События будем обозначать большими латинскими буквами: А, В, С.

Событие называют случайным, если оно может состояться или не состояться в данном испытании.

Достоверным называют событие, которое обязательно состоится в данном испытании.

Невозможным называют событие, которое точно не состоится в данном испытании.

Отметим, что любое событие связано с определённым испытанием.

Два события называют совместимыми, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Два события называют несовместимыми, если они не могут выполняться одновременно в одном и том же испытании.

  • Попарно несовместимые случайные события Помощь по теории вероятности образуют полную группу событий, если вследствие испытания одно из них обязательно состоится. Например, события «выигрыш», «проигрыш» и «ничья» (для определённого игрока) образуют полную группу событий в испытании — игре в шахматы двух соперников.

Элементарными событиями в определённом испытании называют все возможные результаты этого испытания, которые нельзя разложить на более простые. Множество всех возможных элементарных событий Помощь по теории вероятности называют пространством элементарных событий, которое обозначают Помощь по теории вероятности. Например, при подбрасывании игрального кубика пространство элементарных событий образуют события

Помощь по теории вероятности= 1,2,3,4,5,6.

Элементарные события, при появлении которых происходит определённое событие, называют благоприятными для этого события. Например, при подбрасывании игрального кубика для события А = {выпадет нечётное число очков} благоприятными являются элементарные события Помощь по теории вероятности

Каждое событие можно рассматривать как некоторое подмножество пространства, элементарных событий в данном испытании. В частности, событие А = Помощь по теории вероятности— достоверное, а событие В = Помощь по теории вероятности— невозможное.

Пример:

Монету подбрасывают дважды. Для данного исиытания описать пространство элементарных событий.

Решение:

При двукратном подбрасывании монеты возможны четыре элементарных исхода:

(А, А); (А, Р); (Р,А); (Р,Р),

где А — выпадение аверса (изображение «герба»); Р — выпадение реверса (изображение «номинала»). Очевидно, они образуют полную группу событий, поэтому

Помощь по теории вероятности= {(А,А);(А,Р);(Р,А);(Р,Р)} -

пространство элементарных событий данного испытания.

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Решение задач по теории вероятности с примерами онлайн

Операции над событиями

Суммой двух случайных событий А и В называют такое событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из событий А или В. Эту операцию обозначают А+В (или A Помощь по теории вероятности В).

Суммой Помощь по теории вероятностислучайных событий Помощь по теории вероятности называют такое событие, которое состоит в появлении по крайней мере одного из этих событий (обозначается Помощь по теории вероятности).

Произведением двух случайных событий А и В называют такое событие, которое состоит в совместном появлении обоих событий А и В. Эту операцию обозначают А•В (или А Помощь по теории вероятности В).

Произведением Помощь по теории вероятностислучайных событий Помощь по теории вероятности называют такое событие, которое состоит в совместном появлении всех этих событий (обозначается Помощь по теории вероятности). Разностью двух случайных событий А и В называют событие, которое состоит в том, что происходит событие А и не происходит событие В. Эту операцию обозначают А — В (или А\В).

Событие Помощь по теории вероятностиназывают противоположным к событию А в данном испытании экзамена, если оно происходит тогда., когда не происходит событие А, т. е. Помощь по теории вероятности Очевидно, что противоположные события несовместимы и образуют полную группу событий.

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Контрольная работа по теории вероятности заказать

Пример помощи студенту 1.

В ящике находятся шарики белого и чёрного цвета. Наугад из него вынимают один шарик. Событие А = {вынут шарик белого цвета}, событие В = {вынут шарик чёрного цвета}. Совместимы или несовместимы эти события?

Решение:

Эти события несовместимы, так как появление события А исключает возможность появления события В, и наоборот. В данном испытании события А к В являются противоположными:
Помощь по теории вероятности

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Курсовая работа по теории вероятности заказать готовую онлайн

Пример помощи студенту 2.

Подбрасывают два игральных кубика. Пусть события Помощь по теории вероятности = {выпадет Помощь по теории вероятностиочков на первом кубике}, Помощь по теории вероятности= 1,2,3,4,5,6, Помощь по теории вероятности = {выпадет Помощь по теории вероятностиочков на втором кубике}, Помощь по теории вероятности= 1,2,3,4,5,6. Выразить через Помощь по теории вероятности такие события:

а) сумма очков на. двух кубиках равняется пяти;

б) выпадет в сумме хотя бы десять очков;

в) выпадет в сумме не более трёх очков.

Решение:

а) Пусть Помощь по теории вероятности = {сумма очков на двух кубиках равняется пяти}. Это событие возможно лишь тогда, когда на. первом кубике выпадет Помощь по теории вероятностиочков, а. на. втором —Помощь по теории вероятности очков так, чтобы Помощь по теории вероятности, т. е. Помощь по теории вероятности, или Помощь по теории вероятности, или Помощь по теории вероятности, или Помощь по теории вероятности. Итак,

Помощь по теории вероятности

б) Обозначим Помощь по теории вероятности = {выпадет в сумме хотя бы десять очков}. Событие Помощь по теории вероятности состоится тогда, когда на двух кубиках в сумме выпадет или 10, или 11, или 12 очков, т. е. Помощь по теории вероятности, илиПомощь по теории вероятности, или Помощь по теории вероятности, или Помощь по теории вероятности, илиПомощь по теории вероятности, или Помощь по теории вероятности. Поэтому

Помощь по теории вероятности

в) Пусть Помощь по теории вероятности = {выпадет в сумме не более трёх очков}. Поскольку наименьшее количество очков, которое может выпасть на каждом кубике, равняется единице, то событие Помощь по теории вероятности возможно лишь тогда, когда, сумма, очков на. двух кубиках будет равняться или двум, или трём. Поэтому

Помощь по теории вероятности

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

РГР по теории вероятности расчетно графическая работа

Пример помощи студенту 3.

Два стрелка стреляют в мишень по одному разу. Событие А = {в мишень попал первый стрелок}, событие В = {в мишень попал второй стрелок}. Выразить через А и В такие события: С = {два попадания в мишень}, D = {ни одного попадания в мишень}, Е = {хотя бы одно попадание в мишень}, F = {лишь одно попадание в мишень}.

Решение:

Пространство элементарных событий состоит из четырёх событий:

Помощь по теории вероятности

Событие С состоится тогда, когда оба стрелка попадут в мишень. Поэтому оно является произведением двух событий А и В. Итак,

Помощь по теории вероятности

Событие D состоит в том, что в мишень не попадёт ни один стрелок, т. е. не попадёт ни первый (Помощь по теории вероятности), ни второй (Помощь по теории вероятности). Поэтому

Помощь по теории вероятности

Событие Е состоится тогда, когда, в мишень попадёт хотя бы один стрелок. Это может случиться тогда, когда или оба стрелка попадут в мишень, или первый попадёт, а второй не попадёт, или первый не попадёт, а второй попадёт. Поэтому

Помощь по теории вероятности

т. е.

Помощь по теории вероятности

Событие F состоит в том, что первый стрелок попадёт в мишень, а второй не попадёт или второй попадёт, а первый не попадёт. Поэтому

Помощь по теории вероятности

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Задачи по теории вероятности с решением

Классическое определение вероятности

Пусть все элементарные исходы равновозможны.

Вероятность события А равняется отношению количества, элементарных исходов, благоприятствующих этому событию, к количеству всех равновозможных элементарных исходов в данном испытании.

Вероятность события А обозначают Помощь по теории вероятности, поэтому по определению

Помощь по теории вероятности(1)

где Помощь по теории вероятности— количество элементарных событий, благоприятствующих событию А; Помощь по теории вероятности— количество всех элементарных событий в данном испытании.

Из классического определения вероятности вытекает, что

Помощь по теории вероятности

причем Помощь по теории вероятности, когда А = 0 — невозможное событие, и Помощь по теории вероятности, когда А = Помощь по теории вероятности— достоверное событие.

Пример помощи студенту 4.

В урне находится 5 белых, 3 чёрных и 4 красных шара. Наугад вынимают один. Найти вероятность того, что наугад вынутый шар красный экзамен.

Решение:

Пусть событие А = {вынутый из урны шар красный}. Общее количество шаров в урне — 5 + 3 + 4 = 12, причём вынуть можно любой из них с одинаковой вероятностью. Поэтому в данном испытании есть 12 равновозможных исходов, т. е. Помощь по теории вероятности= 12. Количество событий, которые благоприятствуют событию А, определяется количеством красных шаров, т. е. Помощь по теории вероятности= 4. Итак, по определению (1) вероятность

Помощь по теории вероятности

Пример помощи студенту 5.

Найти вероятность того, что выбранное случайным образом двузначное число делится на:

а) 3;

б) 5.

Решение:

В данном случае испытание состоит в том, что выбирают случайным образом двузначное число. Исходом такого исиытания является одно из чисел от 10 до 99. Поскольку таких чисел 90, то Помощь по теории вероятности= 90.

а) Пусть событие А = {выбранное двузначное число делится на 3}. Поскольку каждое третье с 90 двузначных чисел делится на 3, то благоприятными для события А являются 30 исходов, т. е. Помощь по теории вероятности= 30. Тогда по формуле (1) вероятность события А

б) Пусть событие В = {выбранное двузначное число делится на 5}. Общее количество исходов испытания, как и в предыдущем случае, Помощь по теории вероятности= 90. Определим количество чисел, которые делятся на. 5. Очевидно, что таких чисел будет Помощь по теории вероятности= 18 (каждое пятое число делится на. 5). Итак,

Помощь по теории вероятности

Классическое определение вероятности предусматривает, что количество элементарных исходов конечное. Если множество всех элементарных исходов испытания бесконечное, применяют геометрическое определение вероятности.

Геометрическое определение вероятности

Пусть множество всех элементарных событий испытания бесконечно и образует некоторое множество Помощь по теории вероятности, все элементарные события равновозможны, причём событию Помощь по теории вероятностиблагоприятствуют те элементарные события, которые образуют множество Помощь по теории вероятности. Тогда вероятность события Помощь по теории вероятностиравняется отношению меры множества. А к мере множества Помощь по теории вероятности, т. е.

Помощь по теории вероятности (2)

Мерой множества на прямой, плоскости, в пространстве является соответственно длина, площадь, объём геометрической фигуры, которую образует это множество.

Пример помощи студенту 6.

Два действительных числа случайным образом выбирают из интервала. [0;5]. Какая вероятность того, что:

а) сумма двух чисел меньше 4;

б) произведение двух чисел больше 5;

в) разность двух чисел меньше 2, а их произведение больше 3?

Решение:

Обозначим через Помощь по теории вероятностипервое число, выбранное случайным образом из интервала [0;5], а через Помощь по теории вероятности— второе число. Тогда Помощь по теории вероятности Вследствие бесконечного количества таких действительных чисел надо воспользоваться определением геометрической вероятности. В этом случае множеством всех возможных исходов исиытания является квадрат (рис. 1—3) со стороной 5, площадь которого равняется 25, т. е.

Помощь по теории вероятности

а) Пусть событие А = {сумма двух чисел меньше 4}. Тогда.

Помощь по теории вероятности

или

Помощь по теории вероятности

Итак, элементарные события испытания, которые благоприятствуют событию А, образуют фигуру (заштрихованную на рис. 1), площадь которой Помощь по теории вероятности

Применяя формулу (2) для геометрической вероятности, получаем

Помощь по теории вероятности

б) Пусть событие В = {произведение двух чисел больше 5}. Тогда

Помощь по теории вероятности

или

Помощь по теории вероятности

Помощь по теории вероятности
Множеству всех событий, которым благоприятствует событие В отвечает фигура ABC, заштрихованная на. рис. 2, где линия АС — график функцииПомощь по теории вероятности. Вычислим площадь этой фигуры с помощью определённого интеграла:

Помощь по теории вероятности

Итак,

Помощь по теории вероятности

в) Пусть событие С = {разность двух чисел меньше 2, а. их произведение больше 3}, тогда

Помощь по теории вероятности
откуда получаем неравенства

Помощь по теории вероятности
Множество точек, координаты которых удовлетворяют указанным неравенствам, образует фигуру ABCDE (рис. 3). Прямая АЕ
Помощь по теории вероятности
задана уравнением Помощь по теории вероятности, прямая CD — уравнением Помощь по теории вероятности, а линия MEDN — графиком функции Помощь по теории вероятности. Абсциссу точки М определяем из равенства Помощь по теории вероятности, т. е. Помощь по теории вероятности . Ординату точки N находим из равенства, Помощь по теории вероятности. Абсциссу точки Е как точки пересечения двух линий Помощь по теории вероятности и Помощь по теории вероятности определяем из уравнения Помощь по теории вероятности, откуда имеем Помощь по теории вероятности. Аналогично находим абсциссу точки D как точки пересечения двух линий Помощь по теории вероятности и Помощь по теории вероятности т.е. Помощь по теории вероятности.

Для определения вероятности события С вычислим площадь области ABCDE. Очевидно, что

Помощь по теории вероятности

поскольку Помощь по теории вероятности Тогда

Помощь по теории вероятности

Помощь по теории вероятности

Помощь по теории вероятности

Итак,

Помощь по теории вероятности

a

Помощь по теории вероятности

Пример помощи студенту 7.

Два студента назначили встречу в определённом месте между тремя и четырьмя часами дня. Тот, кто прийдёт первым, ждёт другого в течение 15 мин, после чего покидает место встречи. Найти вероятность того, что встреча, состоится.

Решение:

Обозначим через Помощь по теории вероятностивремя прихода на место встречи первого студента, а. через Помощь по теории вероятности— второго. Предположим также, что время, когда может состояться встреча, несущественно, т. е. студенты могут встретиться на протяжении одного часа. Тогда для Помощь по теории вероятности и Помощь по теории вероятности выполняются условия

Помощь по теории вероятности и Помощь по теории вероятности

Пусть событие А состоит в том, что встреча состоялась. Это возможно лишь тогда, когда разность между временем прихода на место встречи первого и второго студентов меньше 15 мин, илиПомощь по теории вероятности, т. е.Помощь по теории вероятности

Отсюда получаем неравенства
Помощь по теории вероятности и Помощь по теории вероятности
Множество точек, координаты которых удовлетворяют этим неравенствам, образует фигуру ABCDOE, изображённую на рис. 4.
Помощь по теории вероятности
Поскольку

Помощь по теории вероятности

причем

Помощь по теории вероятности

Итак, вероятность того, что встреча состоится, Помощь по теории вероятности

Статистическое определение вероятности

Поскольку классическое определение вероятности предусматривает, что все элементарные исходы испытания равновозможны, что трудно обосновать, то рассматривают ещё и статистическое определение вероятности.

Относительной частотой события А называют отношение количества испытаний, в которых событие А состоялось, к количеству всех проведенных испытаний. Относительную частоту события А обозначают Помощь по теории вероятности. Тогда

Помощь по теории вероятности

где Помощь по теории вероятности— количество испытаний, в которых состоялось событие А; Помощь по теории вероятности — количество всех проведенных испытаний.

Число, вокруг которого группируется значение частоты события А при большом количестве испытаний, называют вероятностью события А:

Помощь по теории вероятности

Пример помощи студенту 8.

При проверке готовой продукции было выявлено 5 бракованных единиц товара из 200 проверенных. Найти относительную частоту бракованных единиц товара.

Решение:

Пусть событие А состоит в том, что выявлена бракованная единица товара. Тогда относительная частота события А

Помощь по теории вероятности

Пример помощи студенту 9.

При стрельбе но мишени было выявлено, что относительная частота попаданий равняется 0,85. Проведено 100 выстрелов. Сколько выстрелов были точны?

Решение:

Пусть событие А состоит в том, что выстрел был точным. Тогда по формуле для относительной частоты события А получаем, что количество точных выстрелов

Помощь по теории вероятности

Элементы комбинаторики и их применение в теории вероятностей

При определении вероятностей событий довольно часто нужно подсчитывать количество элементарных событий (благоприятных для некоторого события или всех возможных событий). В большинстве случаев это сопряжено со значительными трудностями, преодолеть которые помогает комбинаторика, изучающая способы подсчёта количества размещений, перестановок, сочетаний.

Прежде чем представить детали, напомним, что выражение Помощь по теории вероятности читается «эн-факториал» и означает произведение всех натуральных чисел до Помощь по теории вероятности:

Помощь по теории вероятности

причём считают, что 0! = 1.

Размещениями из Помощь по теории вероятностиэлементов по Помощь по теории вероятностиназывают множества из Помощь по теории вероятностиэлементов, выбранных из Помощь по теории вероятностиэлементов, которые могут различаться между собой как составом элементов, так и их порядком. Например, размещениями из трёх элементов по два будут такие множества: {1; 2}, {1; 3}, {2; 1}, {2;3}, {3; 1}, {3; 2}. Количество всех размещений из Помощь по теории вероятностиэлементов по Помощь по теории вероятностиопределяют по формуле

Помощь по теории вероятности

Перестановками из Помощь по теории вероятностиэлементов называют множества из Помощь по теории вероятностип элементов, которые различаются лишь их порядком. Например, перестановками из трёх элементов будут такие множества: {1;2;3},

{1; 3; 2}, {2; 1; 3}, {2;3;1}, {3; 1; 2}, {3;2;1}. Количество всех перестановок из п элементов определяют так:

Помощь по теории вероятности (4)

Сочетаниями из Помощь по теории вероятностиэлементов по Помощь по теории вероятности называют множества из Помощь по теории вероятности элементов, выбранных из Помощь по теории вероятностиэлементов, которые различаются между собой только составом элементов. Например, сочетаниями из трёх элементов по два будут такие множества: {1;2}, {1;3}, {2;3}. Количество всех сочетаний из Помощь по теории вероятностиэлементов по Помощь по теории вероятностиопределяют по формуле

Помощь по теории вероятности

Между перечисленными понятиями существуют такие соотношения:

Помощь по теории вероятности

Пример помощи студенту 10.

Согласно учебному плану студенты на протяжении семестра изучают 10 дисциплин. На каждый день планируются 4 пары ио разным дисциплинам. Сколькими способами можно составить расписание занятий на один день?

Решение:

Все возможные расписания занятий на один день — это размещения из 10 элементов ио 4, поскольку они могут различаться дисциплинами или порядком. Поэтому количество способов составления расписания на один день определяется ио формуле (3), т. е.

Помощь по теории вероятности

Пример помощи студенту 11.

Сколько пятизначных чисел можно образовать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, если любая из них в числе встречается лишь один раз?

Решение:

Разные пятизначные числа, образованные с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, можно получить лишь перестановкой этих цифр в числе. Поэтому их количество определяется перестановкой из пяти элементов. Согласно формуле (4)

Помощь по теории вероятности

Пример помощи студенту 12.

В группе 15 студентов. Сколькими способами можно избрать:

а) студенческий совет в количестве трёх студентов;

б) председателя, заместителя и секретаря студенческого совета?

Решение:

а) В этом случае студенческий совет из трёх студентов, выбранных из 15 студентов группы, различается лишь составом. Порядок выбранных студентов не имеет значения. Поэтому количество возможных выборов определяется количеством сочетаний из 15 элементов ио 3, которое согласно формуле (5) равняется

Помощь по теории вероятности

б) В этом случае студенческий совет из трёх студентов, выбранных из 15 студентов группы, различается не только составом, но и тем, кто будет председателем, заместителем и секретарем. Порядок выбранных студентов имеет значение. Поэтому количество возможных выборов определяется количеством размещений из 15 элементов ио 3, которое согласно формуле (3) равняется

Помощь по теории вероятности

Пример помощи студенту 13.

В урне находится 8 чёрных и 5 белых шаров. Наугад вынимают 4 шара. Какая вероятность того, что вынули:

а) 4 чёрных шара;

б) 2 чёрных и 2 белых шара?

Решение:

а) Количество шаров в урне — 13. Определим, сколькими способами можно получить 4 шара из 13 (без возвращения их в урну). Поскольку при этом не имеет значения порядок вынутых шаров, количество сочетаний определяем по формуле (5), т. е. количество всех элементарных событий в данном испытании

Помощь по теории вероятности

Пусть событие А состоит в том, что вынуто 4 чёрных шара. Эти шары можно вынуть из урны, в которой находится восемь чёрных шаров. Поэтому количество событий, благоприятствующих событию А, определяем ио формуле (5), т. е.

Помощь по теории вероятности

Итак, вероятность того, что вынули 4 чёрных шара,

Помощь по теории вероятности

б) В этой задаче количество всех возможных событий такое же, как и в предыдущем пункте: Помощь по теории вероятности = 715. Пусть событие В состоит в том, что вынуто 2 чёрных и 2 белых шара. Определим, сколькими способами это можно сделать. Два чёрных шара, можно вынуть из восьми шаров, которые находятся в урне,

Помощь по теории вероятности

способами, а два белых — из пяти белых, которые находятся в урне,

Помощь по теории вероятности

способами. Тогда 2 белых и 2 чёрных шара можно вынуть

Помощь по теории вероятности

способами. Поэтому количество событий, благоприятствующих событию В, Помощь по теории вероятности = 280.

Итак, вероятность события В

Помощь по теории вероятности

Пример помощи студенту 14.

Шестнадцать вариантов контрольной работы написаны на отдельных карточках и распределяются случайным образом среди 14 студентов, которые сидят в одном ряду. Каждый студент получает одну карточку. Найти вероятность того, что:

а) варианты 1 и 2 не будут использованы;

б) варианты 1 и 2 выдадут студентам, которые сидят рядом.

Решение:

Имеем испытание — распределение 16 билетов среди 14 студентов. В этом случае события отличаются друг от друга не только номерами вариантов, которые распределяются среди студентов, но и порядком распределения. Поэтому такие соединения называют размещениями, а количество таких размещений определяется по формуле (3):

Помощь по теории вероятности

а) Обозначим через А событие, которое состоит в том, что варианты 1 и 2 останутся нераспределёнными. Тогда другие 14 билетов будут распределены среди 14 студентов. Такие соединения называют перестановками, а их количество определяют по формуле (4):

Помощь по теории вероятности

Итак, применив классическую формулу вероятности (1), получим

Помощь по теории вероятности

б) Пусть событие В состоит в том, что варианты 1 и 2 выданы студентам, которые сидят рядом. В ряду из 14 мест есть 13 пар соседних мест, причём в каждой паре варианты могут быть распределены двумя способами:

Помощь по теории вероятности

Другие 14 вариантов билетов распределяются между 12 студентами

Помощь по теории вероятности

способами. Поэтому событию В благоприятствуют

Помощь по теории вероятности

событий.

Итак, вероятность события В

Помощь по теории вероятности

Пример помощи студенту 15.

Комплект состоит из восьми разных изделий, 3 из которых стоят ио 4 грн, ещё 3 — по 5 грн и 2 остальных — ио 3 грн. Найти вероятность того, что взятые наугад 2 изделия стоят 7 грн.

Решение:

Выбор двух изделий из восьми является сочетанием, количество сочетаний

Помощь по теории вероятности

Это общее количество событий в испытании — выборе двух изделий из восьми.

Пусть событие А состоит в том, что стоимость двух выбранных изделий составляет 7 грн. Это возможно лишь тогда, когда одно изделие стбит 4 грн, а другое — 3 грн. Поскольку изделий стоимостью 4 грн в комплекте три, а изделий стоимостью 3 грн — два, то выбрать два изделия стоимостью 7 грн можно Помощь по теории вероятности = 3Помощь по теории вероятности2 = 6 способами. Итак,

Помощь по теории вероятности

Пример помощи студенту 16.

В группе 10 парней и 5 девушек, среди которых выбирают двух студентов для участия в конференции. Какая вероятность того, что:

а) выберут двух парней;

б) выберут парня и девушку?

Решение:

В группе 15 студентов, среди которых 10 парней и 5 девушек. Выбор двух студентов из 15 является сочетанием, количество сочетаний

Помощь по теории вероятности

Это общее количество событий в испытании — выборе двух студентов из 15.

а) Пусть событие А = {выбрали двух парней}. Общее количество событий, которые благоприятствуют событию А, определяется количеством выборов двух парней из 10:

Помощь по теории вероятности

Итак,

Помощь по теории вероятности

б) Пусть событие В = {выбрали парня и девушку}. Это возможноПомощь по теории вероятностиспособами.

Следовательно,

Помощь по теории вероятности

Формулы сложения и умножения вероятностей

Вероятность суммы двух произвольных случайных событий А и В равняется сумме их вероятностей минус вероятность их произведения, т. е.

Помощь по теории вероятности

Если события А и В несовместимы, тоПомощь по теории вероятности. Тогда

Помощь по теории вероятности

Если случайные события Помощь по теории вероятности попарно несовместимы, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий равняется сумме их вероятностей:

Помощь по теории вероятности

Сумма вероятностей случайных событий Помощь по теории вероятности, образующих полную группу, равняется единице, т. е.

Помощь по теории вероятности

В частности, для противоположных событий А и Помощь по теории вероятностивыполняется равенство

Помощь по теории вероятности

Случайные события А и В называются зависимыми, если вероятность появления одного из них зависит от появления или непоявления другого. В противном случае события А и В называются независимыми.

Вероятность события В рассчитанную при условии появления события А, называют условной вероятностью события В (при условии появления события А) и обозначают Помощь по теории вероятности или Помощь по теории вероятности.

Если события А и В независимы, то Помощь по теории вероятности, и наоборот, Помощь по теории вероятности.

Вероятность произведения двух случайных событий А и В равняется произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого события при условии, что первое событие состоялось, т. е.

Помощь по теории вероятности

Если события независимы, то

Помощь по теории вероятности

Пусть есть п независимых случайных событий Помощь по теории вероятности. Вероятность появления хотя бы одного из этих событий определяется ио формуле

Помощь по теории вероятности

Пример помощи студенту 17.

Мишень состоит из трех областей. Вероятность попадания стрелком в первую область мишени равняется 0,45, во вторую — 0,35, в третью — 0,15. Какая вероятность того, что при одном выстреле стрелок:

а) попадёт в первую или во вторую область;

б) не попадёт в мишень?

Решение:

Введем обозначения:

событие Помощь по теории вероятности = {попадание в первую область};

событие Помощь по теории вероятности = {попадание во вторую область};

событие Помощь по теории вероятности = {попадание в третью область};

событие Помощь по теории вероятности = {непопадание в мишень}.

Тогда

Помощь по теории вероятности

а) При одном выстреле события Помощь по теории вероятности несовместимы. Поэтому

Помощь по теории вероятности

б) События Помощь по теории вероятности попарно несовместимы и образуют полную группу случайных событий. Поэтому

Помощь по теории вероятности

Итак,

Помощь по теории вероятности

Пример помощи студенту 18.

Для выполнения работы заказчик обратился к двум исполнителям. Вероятность того, что первый исполнитель выполнит заказ, равняется 0,8, а второй — 0,9. Найти вероятность того, что заказ будет выполнен.

Решение:

Обозначим событие А = {заказ будет выполнен}; Помощь по теории вероятности = {заказ выполнит первый исполнитель}; Помощь по теории вероятности = {заказ выполнит второй исполнитель}. Тогда

Помощь по теории вероятности

Поскольку выполнение заказа первым исполнителем не исключает выполнения этого же заказа вторым, события совместимы. Тогда

Помощь по теории вероятности

Однако события Помощь по теории вероятности и Помощь по теории вероятности независимы, так как вероятность выполнения заказа первым исполнителем не зависит от того, выполнит ли этот заказ второй исполнитель. Поэтому

Помощь по теории вероятности

Итак,

Помощь по теории вероятности

Формула полной вероятности. Формула Байеса

Если случайное событие А может произойти только совместно с одним из несовместимых между собою событий Помощь по теории вероятности, образующих полную группу, то вероятность появления события А определяется ио формуле полной вероятности

Помощь по теории вероятности (6)

В условиях теоремы неизвестно, с каким из несовместимых событий Помощь по теории вероятности состоится событие А. Поэтому появление любого из этих событий можно считать гипотезой, а Помощь по теории вероятности— вероятностью Помощь по теории вероятности-й гипотезы.

Если в результате проведенного испытания состоялось событие А, то условная вероятность Помощь по теории вероятности может не равняться Помощь по теории вероятности. Чтобы получить условную вероятность, используют формулу Байеса:

Помощь по теории вероятности

Пример помощи студенту 19.

В нервом ящике 30 деталей, из которых 20 стандартных. Во втором — 15 деталей, из которых 10 стандартных. Из второго ящика берут наугад одну деталь и перекладывают её в первый ящик.

а) Найти вероятность того, что наугад взятая после этого деталь из первого ящика стандартная.

б) Пусть известно, что из первого ящика взята стандартная деталь. Найти вероятность того, что в первый ящик переложили:

• стандартную деталь;

• нестандартную деталь.

Решение:

Введем такие события: А = {из первого ящика взята стандартная деталь}; Помощь по теории вероятности = {из второго ящика переложили в первый стандартную деталь}; Помощь по теории вероятности = {из второго ящика переложили в первый нестандартную деталь}.

а) По условию задачи из первого ящика деталь берут лишь после того, как в него положат деталь, взятую из второго ящика, т. е. событие А состоится лишь тогда, когда состоится событие Помощь по теории вероятности или событие Помощь по теории вероятности. Эти события несовместимы, а событие А может состояться только совместно с одним из них. Поэтому для определения вероятности события А можно воспользоваться формулой полной вероятности (6):

Помощь по теории вероятности

Найдем нужные вероятности:

Помощь по теории вероятности

Итак,

Помощь по теории вероятности

б) Если событие А уже состоялось, то условная вероятность того, что в первый ящик переложена стандартная деталь,

Помощь по теории вероятности

а если деталь нестандартная, то

Помощь по теории вероятности

Пример помощи студенту 20.

В урне 10 шаров — 3 белых и 7 чёрных. Наугад вынимают два шара. Найти вероятность того, что второй шар оказался чёрным, если:

а) первый шар возвращали в урну;

б) первый шар не возвращали в урну.

Решение:

Пусть событие Помощь по теории вероятности состоит в том, что в Помощь по теории вероятности-й раз взят белый шар, а событие Помощь по теории вероятности — в Помощь по теории вероятности-й раз взят чёрный шар.

а) Если шар, взятый первым, возвращают в урну, то вероятность появления второго чёрного шара не зависит от того, какой шар взят первым. Поэтому

Помощь по теории вероятности

б) Если первый шар не возвращать, то вероятность появления второго чёрного шара уже зависит от того, какой шар был взят первым. Если первым взяли белый шар, то в урне осталось 2 белых и 7 чёрных шаров. Поэтому

Помощь по теории вероятности

Если первым взяли чёрный шар, то

Помощь по теории вероятности

Вероятность того, что первым взяли белый шар,

Помощь по теории вероятности

чёрный шар —

Помощь по теории вероятности

Поскольку события Помощь по теории вероятности и Помощь по теории вероятности несовместимы и образуют полную группу, то ио формуле полной вероятности (6) получаем

Помощь по теории вероятности

Пример помощи студенту 21.

Детали, изготовленные цехом завода, попадают для проверки их стандартности к одному из двух контролёров. Вероятность того, что деталь попадёт к первому контролёру, равняется 0,6, ко второму — 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет признана. стандартной первым контролёром, равняется 0,94, вторым — 0,98. Годная деталь при проверке признана стандартной. Найти вероятность того, что деталь проверял:

• первый контролёр;

• второй контролёр.

Решение:

Обозначим такие события:

Помощь по теории вероятности= {годная деталь признана стандартной};

Помощь по теории вероятности = {деталь проверял первый контролёр};

Помощь по теории вероятности = {деталь проверял второй контролёр}.
Тогда в соответствии с условием задачи

Помощь по теории вероятности

Согласно формуле Байеса (7) имеем
Помощь по теории вероятности