Помощь по начертательной геометрии

Помощь по начертательной геометрии онлайн

 

Если у вас нету времени на задания по начертательной геометрии вы всегда можете попросить меня, вам нужно написать мне, и я вам помогу онлайн или в срок 1-3 дня всё зависит что там у вас за работа, вдруг она огромная! Чуть ниже размещён теоретический и практический материал, который вам поможет сделать работу если у вас много свободного времени и желания!

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Заказать работу по начертательной геометрии помощь в учёбе

 

Теоретические основы и практика графического решения задач взаимного расположения прямой и плоскости

 

Прямая линия и плоскость являются одними из основных геометрических фигур, образующих поверхности большинства деталей машин и приборов.

При построении проекционных чертежей различного рода деталей довольно часто приходится решать метрические и позиционные задачи, связанные с определением как натуральных (истинных) величин отрезков прямых и граней (плоскостей) поверхности детали, углов их наклона относительно друг друга, так и их взаимного расположения.

  • Для успешного решения этих задач немаловажное значение имеет установление характера расположения в пространстве прямой линии и плоскости относительно друг друга и заданной системы плоскостей проекций по их комплексным чертежам. Такой анализ позволяет проводить операции графического решения задач в определенной последовательности.

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Заказать чертежи по начертательной геометрии

 

Положение прямой в пространстве и ее комплексные чертежи

 

Общие сведения

 

Рассматривая положение прямой линии в пространстве (рис. 1) относительно заданной системы плоскостей проекций: горизонтальной – П1, фронтальной – П2, профильной – П3, выделяют прежде всего особые (частные) положения, в которых прямая либо параллельна, либо перпендикулярна какой-либо плоскости проекций.

Помощь по начертательной геометрии

Прямую линию, расположенную в пространстве таким образом, что она не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций, называют прямой общего положения.

Положение прямой m относительно заданной системы плоскостей проекций однозначно определяется положением двух ее произвольных (случайных) точек, например, точек А и В. Этот вывод сделан на основе аксиомы сочетания: через каждые две точки можно провести прямую и притом только одну. Тогда для построения горизонтальной m1, фронтальной m2 и профильной m3 проекций прямой m достаточно построить методом прямоугольного (ортогонального) проецирования горизонтальные, фронтальные и профильные проекции точек А и В.

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Начертательная геометрия

 

Построение проекций прямой общего положения

Помощь по начертательной геометрии

Вначале через точки А и В (рис. 2) проводят проецирующие лучи в направлении, перпендикулярном горизонтальной П1 плоскости проекций, и отмечают точки А1 и В1 пересечения соответствующих лучей с горизонтальной плоскостью проекций.

Соединив точки А1 и В1 прямой, получают горизонтальную m1 проекцию прямой m.

Затем (рис. 3) через точки А и В проводят проецирующие лучи в направлении, перпендикулярном фронтальной П2 плоскости проекций. Отмечают точки А2 и В2 пересечения соответствующих проецирующих лучей с фронтальной плоскостью проекций.

Соединив точки А2 и В2 прямой, получают фронтальную m2 проекцию прямой m.

Для построения профильной m3 проекции прямой через точки А и В проводят проецирующие лучи в направлении, перпендикулярном профильной П3 плоскости проекций (рис. 4). Отмечают через точки А3 и В3 пересечения соответствующих проецирующих лучей с профильной плоскостью проекций.

Соединив точки А3 и В3 прямой, получают профильную m3 проекцию прямой m.

Строят (рис. 5) проекции отрезков проецирующих лучей АА1, АА2, АА3, ВВ1, ВВ2, ВВ3 на каждую из плоскостей проекций.

Проекции этих отрезков являются линиями связи, соединяющими разноименные проекции точек А и В.

Для получения изображения, выполненного в одной плоскости, поворачивают на 90° профильную П3 плоскость проекций вокруг оси Z, а горизонтальную П1 плоскость проекций – вокруг оси Х и получают трехкартинный комплексный чертеж (рис. 6).

На чертеже линии, соединяющие разноименные проекции точек А и В, например, А12, А23, А13, В12, В23, В13, называются линиями связи. Они располагаются перпендикулярно соответствующим осям проекций. Оси проекций Х, Y и Z образуют прямоугольную систему координат с точкой О – начало отсчета.

Из анализа расположения проекций m1, m2, m3 прямой m относительно осей проекций Х, Y и Z следует, что ни одна из проекций прямой m не параллельна и не перпендикулярна ни одной из осей проекций.

Такое положение проекций прямой на чертеже свидетельствует о том, что в пространстве прямая m не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций, т. е. занимает положение прямой общего положения. Непараллельность и неперпендикулярность проекций прямой ни одной из осей проекций является чертежным (эпюрным) признаком прямой общего положения.

Помощь по начертательной геометрии

Рассматриваемый (рис. 7) чертеж прямой m (m1, m2, m3) общего положения, выполненный методом прямоугольного проецирования, является не только вполне определенным, но и обратимым, т.е. по нему можно сконструировать положение (иначе – построить наглядное изображение) прямой m пространства относительно заданной системы трех взаимно перпендикулярных плоскостей проекций: горизонтальной, фронтальной и профильной.

Для этого по чертежу измеряют в определенном масштабе (например, в мм) координаты точек: А (ХА, YА, ZА) и В (ХВ, YВ, ZВ). Строят (рис. 8) наглядное изображение – аксонометрическую проекцию (например, косоугольную фронтальную диметрию) системы трех взаимно перпендикулярных плоскостей проекций П1, П2, П3 с коэффициентами искажения по аксонометрическим осям Х и Z, равным 1, а по оси Y – 0,5.

Помощь по начертательной геометрии

Вначале по оси Х в масштабе 1:1 откладывают абсциссы ХА и ХВ и проводят прямые линии в плоскости ХОY параллельно оси Y.

На этих прямых в масштабе 1:2 откладывают соответствующие ординаты YА и YВ. В результате получают горизонтальные А1 и В1 проекции точек А и В.

Затем из точек А1 и В1 проводят прямые линии в направлении, параллельном оси проекций Z, и на них в масштабе 1:1 откладывают соответствующие аппликаты ZА и ZВ. Получают точки А и В пространства. И, наконец, соединив точки А и В пространства прямой линией, получают прямую m пространства, расположенную не параллельно и не перпендикулярно ни одной из плоскостей проекций, т. е. прямую общего положения.

Помощь по начертательной геометрии

Рассматривая трехкартинный комплексный чертеж прямой общего положения (рис. 7), необходимо сделать следующие выводы: во-первых, положение проекций прямой на чертеже однозначно определяется положением проекций двух ее произвольных точек; во-вторых, если точка принадлежит прямой, то проекции этой точки должны располагаться на соответствующих проекциях прямой. Последнее положение является эпюрным признаком принадлежности точки прямой.

Помощь по начертательной геометрии

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Решение задач по начертательной геометрии с примерами онлайн

 

 

Построение проекций прямых уровня

 

Прямая линия, расположенная в пространстве параллельно какой-либо плоскости проекций, называется прямой уровня. Все точки этой прямой находятся на одинаковом уровне (одинаковом расстоянии) от параллельной ей плоскости проекций. Прямая уровня проецируется на параллельную ей плоскость проекций в натуральную величину. Прямая h, параллельная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонталью.

Помощь по начертательной геометрии

Для построения проекций горизонтали h (рис. 9) выбирают две произвольные точки, например А и В, ей принадлежащие. Через них проводят проецирующие лучи в направлениях, перпендикулярных плоскостям проекций П1 и П2.

Отметив точки пересечения проецирующих лучей в с соответствующими плоскостями проекций, получают горизонтальные А1 и В1 и фронтальные А2 и В2 проекции точек А и В. Соединив прямой линией одноименные проекции точек А и В, получают горизонтальную h1 и фронтальную h2 проекции горизонтали.

Если теперь в плоскости АА2В2В провести через точку А прямую, параллельную А2В2, то угол, образованный этой прямой и прямой h, представляет собой натуральную величину угла наклона горизонтали к фронтальной плоскости проекций.

Двухкартинный комплексный чертеж горизонтали h выглядит следующим образом (рис. 10): так как все точки горизонтальной прямой расположены на одинаковом расстоянии от горизонтальной П1 плоскости проекций, то ее фронтальная h2 проекция располагается параллельно оси Х.

Помощь по начертательной геометрии

Параллельность фронтальной h2 проекции оси Х является эпюрным признаком горизонтальной прямой.

Расстояние фронтальной h2 проекции до оси Х есть возвышение прямой над горизонтальной П1 плоскостью проекций.

На горизонтальную плоскость проекций горизонталь проецируется в натуральную величину. Угол наклона горизонтальной h1 проекции горизонтали к оси Х есть натуральная величина угла наклона горизонтальной прямой h в пространстве к фронтальной плоскости проекций.

Прямая f, расположенная в пространстве параллельно фронтальной плоскости проекций, называется фронтальной прямой (фронталью).

Для построения проекций прямой f (рис. 11) на ней выбирают две произвольные точки, например, А и В, и через них проводят проецирующие лучи в направлениях, перпендикулярных плоскостям проекций П1 и П2. Отметив положения точек пересечения проецирующих лучей с соответствующими плоскостями проекций, получают горизонтальные А1 и В1, фронтальные А2 и В2, проекции выбранных точек. Соединив одноименные проекции точек А и В прямыми, получают горизонтальную f1 и фронтальную f2 проекции прямой f.

Если теперь в плоскости АА1В1В через точку А провести прямую, параллельную А1В1, то угол, образованный этой прямой и прямой f , будет представлять собой натуральную величину угла наклона фронтали f к горизонтальной П1 плоскости проекций.

Помощь по начертательной геометрии

Двухкартинный комплексный чертеж фронтали f (рис. 12) выглядит следующим образом: горизонтальная f1 проекция фронтали располагается параллельно оси проекций Х, так как все точки фронтальной прямой одинаково удалены от фронтальной П2 плоскости проекций.

Параллельность горизонтальной f1 проекции фронтали оси проекций Х и является эпюрным признаком фронтальной прямой. На фронтальную плоскость проекции фронталь проецируется в натуральную величину.

Угол наклона фронтальной f1 проекции фронтали и оси проекций есть натуральная величина угла наклона фронтальной прямой пространства к горизонтальной П1 плоскости проекций.

Помощь по начертательной геометрии

Прямая р (рис. 13), расположенная в пространстве параллельно профильной П3 плоскости проекций, называется профильной. Для построения проекций этой прямой на ней выбирают две произвольные точки, например, А и В. Через них проводят проецирующие лучи в направлениях, перпендикулярных плоскостям проекций. Отметив точки пересечения проецирующих лучей с соответствующими плоскостями проекций, получают горизонтальные А1, В1, фронтальные А2, В2 и профильные А3, В3 проекции точек А и В, принадлежащих прямой р.

Соединив одноименные проекции точек А и В прямыми, получают горизонтальную р1, фронтальную р2, профильную р3 проекции профильной прямой р.

Помощь по начертательной геометрии

Если в плоскости АА2В2В через точку А и в плоскости АА1В1В через точку провести прямые, параллельные соответственно А2В2 и А1В1, то углы, образованные этими прямыми с прямой р, представляют собой натуральную величину углов наклона профильной прямой р к фронтальной и горизонтальной плоскостям проекций. И так как плоскости АА2В2В и АА1В1В параллельны профильной плоскости проекций, то на нее углы наклона профильной прямой р к фронтальной П2 и горизонтальной П1 плоскостям проекций спроецируются в натуральную величину.

Трехкартинный комплексный чертеж профильной прямой (рис. 14) выглядит следующим образом: фронтальная р2 и горизонтальная р1 проекции прямой располагаются перпендикулярно оси проекций Х, так как все точки профильной прямой одинаково удалены от профильной плоскости проекций. Это обстоятельство и является эпюрным признаком профильной прямой.

Помощь по начертательной геометрии

Расстояние горизонтальной р1 проекции прямой до оси проекций Y и фронтальной р2 проекции прямой до оси проекций Z есть удаление прямой р пространства от профильной плоскости проекций. На профильную плоскость проекций профильная прямая проецируется в натуральную величину. Углы, образованные профильной р3 проекцией прямой с осями проекций Z и Y, представляют собой натуральные величины углов наклона профильной прямой р соответственно к фронтальной и горизонтальной плоскостям проекций.

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Контрольная работа по начертательной геометрии заказать

 

 

Построение проекций проецирующих прямых

 

Прямая линия, перпендикулярная какой-либо плоскости проекций, называется проецирующей. Прямая l (рис. 15), перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтально-проецирующей.

Помощь по начертательной геометрии

Для построения проекций этой прямой на ней выбирают две произвольные точки, например, А и В. Через них проводят проецирующие лучи в направлениях, перпендикулярных плоскостям проекций. Отметив точку пересечения проецирующих лучей с соответствующими плоскостями проекций, получают горизонтальные А1, В1, фронтальные А2, В2 и профильные А3, В3 проекции точек А и В, принадлежащих прямой l. Так как прямая l располагается в пространстве перпендикулярно горизонтальной П1 плоскости проекций, то горизонтальные А1 и В1 проекции точек А и В совпадают.

Точки, расположенные на одной проецирующей прямой, называются конкурирующими. С помощью конкурирующих точек устанавливается видимость проекций геометрических фигур на чертеже. Из двух проекций конкурирующих точек видимой является проекция точки, наиболее удаленной от соответствующей плоскости проекций. Точка А наиболее удалена от горизонтальной плоскости проекций, поэтому горизонтальная А1 проекция точки А является видимой. Горизонтальная В1 проекция точки В является невидимой, так как она закрывается точкой А. Невидимые проекции точек заключают в круглые скобки.

Помощь по начертательной геометрии

С горизонтальными проекциями точек А и В совпадает и горизонтальная l1 проекция прямой l. Соединив прямыми линиями одноименные проекции точек А и В на фронтальной П2 и профильной П3 плоскостях проекций, получают фронтальную l2 и профильную l3 проекции прямой l.

На чертеже (рис. 16) горизонтально проецирующая прямая l выглядит следующим образом: горизонтальная l1 проекция прямой представляет собой точку, тогда как фронтальная l2 и профильная l3 проекции прямой располагаются перпендикулярно соответственно осям проекций Х и Y. Такое расположение на чертеже проекций горизонтально проецирующей прямой и является ее эпюрным признаком.

Помощь по начертательной геометрии

Так как горизонтально-проецирующая прямая располагается параллельно фронтальной и профильной плоскостям проекций, то на них она проецируется в натуральную величину.

Прямая n (рис. 17), перпендикулярная фронтальной П2 плоскости проекций, называется фронтально-проецирующей.

Для построения проекций этой прямой на ней выбирают две произвольные точки, например, А и В. Через них проводят проецирующие лучи в направлениях, перпендикулярных плоскостям проекций. Отметив точки пересечения проецирующих лучей с плоскостями проекций, получают горизонтальные, профильные и фронтальные проекции точек А и В, принадлежащих прямой n.

Так как прямая n перпендикулярна фронтальной П2 плоскости проекций, то фронтальные А2 и В2 проекции точек совпадают. С этими проекциями точек А и В совпадает и фронтальная n2 проекция прямой n.

На чертеже (рис. 18) фронтально-проецирующая прямая n выглядит следующим образом: горизонтальная n1 и профильная n3 проекции располагаются перпендикулярно соответственно осям проекций Х и Z. Фронтальная n2 проекция прямой представляет собой точку. Эти особенности расположения проекций фронтально-проецирующей прямой и составляет ее эпюрный признак. Так как фронтально-проецирующая прямая располагается в пространстве параллельно горизонтальной и профильной плоскостям проекций, то на них она проецируется в натуральную величину.

Прямая m (рис. 19), перпендикулярная профильной плоскости проекций, называется профильно-проецирующей.

Помощь по начертательной геометрии

Для построения проекций этой прямой на ней выбирают две произвольные точки и через них проводят проецирующие лучи в направлениях, перпендикулярных плоскостям проекций.

Отметив положения точек пересечения проецирующих лучей с плоскостями проекций, получают горизонтальные, фронтальные и профильные проекции точек А и В, принадлежащих прямой m. Так как прямая m перпендикулярна профильной плоскости проекций, то профильные А3 и В3 проекции точек совпадают. С профильными проекциями точек А и В совпадает и профильная m3 проекция прямой m. Соединив одноименные проекции точек А и В на горизонтальной и фронтальной плоскостях проекций, получают горизонтальную m1 и фронтальную m2 проекции прямой m.

Помощь по начертательной геометрии

На чертеже (рис. 20) профильно-проецирующая прямая m выглядит следующим образом: профильная m3 проекция прямой представляет собой точку, а горизонтальная m1 и фронтальная m2 проекции прямой располагаются параллельно оси проекций Х. Такое расположение на чертеже проекций профильно-проецирующей прямой и составляет эпюрный признак этой прямой.

 

Помощь по начертательной геометрии

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Курсовая работа по начертательной геометрии заказать готовую онлайн

 

Положение плоскости в пространстве и ее комплексные чертежи

 

Способы задания плоскости на чертеже

 

Всякая геометрическая фигура, погруженная в пространство, состоит из некоторого множества точек пространства. Плоскость как одна из геометрических фигур, представляет собой совокупность множества точек. Из этого определения плоскости можно установить способы задания ее положения в пространстве. Для этого достаточно вспомнить аксиому сочетания – через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость и притом только одну.

Помощь по начертательной геометрии

На рис. 21 представлены способы задания положения плоскости в пространстве:

  • а – тремя точками, не лежащими на одной прямой;
  • б – прямой и точкой, взятой вне прямой;
  • в – двумя пересекающимися прямыми;
  • г – двумя параллельными прямыми.

На комплексном чертеже (рис. 22) плоскость может быть задана:

  • а – проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой;
  • б – проекциями прямой и точки, взятой вне прямой;
  • в – проекциями двух пересекающихся прямых;
  • г – проекциями двух параллельных прямых.

Каждый из представленных на рис. 22 способов задания плоскости на чертеже может быть преобразован из одного в другой. Так, например, проведя через точки А и В (рис. 22, а) прямую, получают задание плоскости, представленное на рис. 22, б. От него можно перейти к способу, представленному на рис. 22, г, если через точку С провести прямую, параллельную прямой АВ. Если точки А, В и С соединить попарно прямыми, то получают треугольник АВС – плоскую фигуру (рис. 23), проекциями которой может быть задана плоскость на чертеже.

Помощь по начертательной геометрии

 

 

При этом всегда следует помнить о том, что плоскость, как геометрическая фигура, безгранична и поэтому нельзя ограничиваться построениями только в пределах площади этого треугольника, так как в общем случае проекции плоскости занимают всю каждую из плоскостей проекций: горизонтальную ПI, фронтальную П2 и профильную П3.

Более наглядно плоскость может быть задана при помощи прямых, по которым она пересекает плоскости проекций (рис. 24, а).

Эти прямые называются следами плоскости. В общем случае оба следа должны пересекаться между собой в точке на оси проекций, которую называют «точкой схода следов».

Из всего многообразия положений плоскости относительно заданной системы плоскостей проекций обычно выделяют такие, когда:

  • - плоскость перпендикулярна одной из плоскостей проекций;
  • - плоскость параллельна одной из плоскостей проекций;
  • - плоскость не перпендикулярна и не параллельна ни одной из плоскостей проекций.

Помощь по начертательной геометрии

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

РГР по начертательной геометрии расчетно графическая работа

 

Проецирующие плоскости

 

Плоскость, перпендикулярная какой-либо плоскости проекций, называют проецирующей. Если плоскость перпендикулярна горизонтальной ПI плоскости проекций, она называется горизонтально-проецирующей (рис. 25, а).

Точки, лежащие в горизонтально-проецирующей плоскости, проецируются на горизонтальную плоскость проекции в прямую линию, которая является горизонтальным следом этой плоскости. Таким образом, след проецирующей плоскости как бы «собирает на себя» проекции геометрических фигур, расположенных в этой плоскости.

Помощь по начертательной геометрии

«Собирательное» свойство проецирующих плоскостей широко используется для решения целого ряда метрических и позиционных задач. Положение горизонтально-проецирующей плоскости на чертеже вполне однозначно определяется положением горизонтального следа этой плоскости, так как на горизонтальной плоскости проекций можно измерить натуральные величины углов наклона ее к фронтальной и профильной плоскостям проекций. Поэтому на комплексном чертеже (рис. 25, б) горизонтально-проецирующая плоскость a задается только одним своим горизонтальным a1 следом.

Помощь по начертательной геометрии

Горизонтальная проекция любой геометрической фигуры, например, прямой l (рис. 26, а), лежащей в горизонтально-проецирующей плоскости a, совпадает с горизонтальным a1 следом этой плоскости. На фронтальную и профильную плоскости проекций прямая l проецируется с искажением, так как проецирующая плоскость a наклонена к ним под некоторыми углами.

На рис. 26, б представлен комплексный чертеж прямой l, лежащей в горизонтально-проецирующей плоскости a.

Плоскость, перпендикулярную фронтальной П2 плоскости проекций, называют фронтально-проецирующей (рис. 27, а), эта плоскость проецируется на фронтальную плоскость проекций в прямую линию, являющуюся фронтальным следом плоскости.

Положение фронтально-проецирующей плоскости вполне однозначно определяется положением фронтального следа этой плоскости, так как на фронтальной П2 плоскости проекций можно измерить натуральные величины углов наклона этой плоскости к горизонтальной и профильной плоскостям проекций.

Помощь по начертательной геометрии

На комплексном чертеже (рис. 27, б) фронтально-проецирующая плоскость β задается только одним своим фронтальным β2 следом.

Фронтальная проекция любой геометрической фигуры, например, прямой m (рис. 28, а), лежащей во фронтально-проецирующей плоскости β, совпадает с фронтальным β2 следом этой плоскости.

На горизонтальную ПI и профильную П3 плоскости проекций прямая m проецируется с искажением, так как проецирующая плоскость наклонена к ним под некоторыми углами.

На рис. 28, б представлен комплексный чертеж прямой m, лежащей во фронтально-проецирующей плоскости β.

Плоскость, перпендикулярную профильной П3 плоскости проекций, называют профильно-проецирующей. Эта плоскость (рис. 29, а) проецирует все свои точки на профильную плоскость проекций в одну прямую линию, являющуюся профильным следом плоскости.

Положение профильно-проецирующей плоскости вполне однозначно определяется положением профильного следа этой плоскости, так как на профильной плоскости проекций можно измерить натуральные величины углов наклона ее к фронтальной П2 и горизонтальной П1 плоскостям проекций.

Помощь по начертательной геометрии

На комплексном чертеже (рис. 29, б) профильно-проецирующая плоскость γ задаётся своим профильным g3 следом.

Профильная проекция любой геометрической фигуры, например, прямой n (рис. 30, а), лежащей в профильно-проецирующей плоскости γ, совпадает с профильным γ3 следом этой плоскости.

На горизонтальную П1 и на фронтальную П2 плоскости проекций прямая n проецируется с искажением, так как проецирующая плоскость g наклонена к ним под некоторыми углами.

На рис. 30, б представлен комплексный чертёж прямой n, лежащей в профильно-проецирующей плоскости g.

Помощь по начертательной геометрии

 

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Задачи по начертательной геометрии с решением

 

Плоскости уровня

Плоскость, параллельную какой-либо плоскости проекций, называют плоскостью уровня. Все точки этой плоскости одинаково удалены от той плоскости проекций, которой она параллельна. Любая геометрическая фигура, лежащая в плоскости уровня, проецируется на параллельную ей плоскость проекций в натуральную величину.

В системе трёх взаимно перпендикулярных плоскостей проекций плоскость уровня, параллельная одной из них, является одновременно проецирующей по отношению к двум другим. Поэтому на комплексном чертеже плоскость уровня задаётся следом на плоскости проекций, по отношению к которой является проецирующей.

Плоскость, параллельную горизонтальной П1 плоскости проекций, называют горизонтальной плоскостью (рис. 31, а). Любая геометрическая фигура, лежащая в горизонтальной плоскости, например, в плоскости d, проецируется на горизонтальную плоскость проекций без искажения, т.е. в натуральную величину.

Помощь по начертательной геометрии

Фронтальный d2 и профильный d3 следы горизонтальной плоскости d располагаются соответственно параллельно осям проекций X и Y.

На рис. 31, б представлен чертёж горизонтальной плоскости, в которой лежит треугольник ABC. На горизонтальную плоскость проекций он проецируется в натуральную величину.

Плоскость, параллельную фронтальной П2 плоскости проекций, называют фронтальной (рис. 32, а).

Любая геометрическая фигура, лежащая во фронтальной плоскости, проецируется на фронтальную плоскость проекций в натуральную величину.

Горизонтальный h1 и профильный h3 следы фронтальной плоскости располагаются параллельно соответственно осями проекций X и Z.

На рис. 32, б представлен комплексный чертёж фронтальной плоскости h, в которой лежит треугольник ABC. На фронтальную плоскость проекций он проецируется в натуральную величину. Горизонтальная A1B1C1 проекция треугольника совпадает с горизонтальным следом h1 плоскости.

Помощь по начертательной геометрии

Плоскость, параллельную профильной П3 плоскости проекций, называют профильной (рис. 33, а).

Всякая геометрическая фигура, лежащая в профильной плоскости, проецируется на П3 без искажения в натуральную величину.

Фронтальный u2 и горизонтальный u1 следы профильной плоскости u располагаются перпендикулярно оси проекций X.

На рис. 33, б представлен комплексный чертёж профильной плоскости u, в которой лежит треугольник ABC. На профильную плоскость проекций он проецируется в натуральную величину.

 

Плоскости общего положения

 

Плоскость, не перпендикулярную и не параллельную ни одной из плоскостей проекций, называют плоскостью общего положения (рис. 34).

Помощь по начертательной геометрии

Плоскость общего положения пересекает каждую из осей проекций X, Y, Z. Следы плоскости общего положения не параллельны и не перпендикулярны ни одной из осей проекций.

Всякая геометрическая фигура, например прямая m, лежащая в плоскости общего положения, проецируется на любую из плоскостей с искажением.

На рис. 35 представлен комплексный чертёж плоскости общего положения, заданной треугольником ABC. На любую из плоскостей проекций он проецируется с искажением.

Помощь по начертательной геометрии

Взаимное положение прямой и плоскости

 

Прямая линия в пространстве относительно плоскости может занимать различные положения. Она может принадлежать плоскости, быть ей параллельной или пересекаться с плоскостью.

 

Принадлежность прямой и точки плоскости

 

Известно, что принадлежность прямой линии плоскости устанавливает аксиома сочетания – если две точки прямой располагаются непосредственно на плоскости, то и сама прямая принадлежит этой плоскости. На основании принадлежности точки прямой можно сформулировать и признак принадлежности точки плоскости – если точка принадлежит плоскости, то она должна принадлежать прямой, лежащей в этой плоскости.

С помощью признаков принадлежности прямой и точки плоскости успешно решаются многие метрические и позиционные задачи начертательной геометрии. Так, при рассмотрении вопроса о принадлежности точки М (рис. 36, а) плоскости общего положения, заданной треугольником АВС, исходят из того, что точка М будет принадлежать плоскости только в том случае, если она располагается непосредственно на прямой, принадлежащей этой плоскости. Отсюда следует план решения задачи – провести через тоску М прямую, принадлежащую плоскости треугольника АВС. Если это условие выполнимо, тогда точка М будет принадлежать плоскости.

Помощь по начертательной геометрии

На чертеже (рис. 36, б) необходимые условия выполняют в следующей последовательности: на горизонтальной или фронтальной плоскости проекций через соответствующую проекцию точки М проводят произвольную прямую таким образом, чтобы она проходила через две точки, заведомо принадлежащие плоскости треугольника АВС.

Например, на фронтальной плоскости проекций через точку М2 проведена произвольная прямая n2 так, что она проходит через точки А2 и I2, определяющие принадлежность прямой n заданной плоскости. Затем с помощью точек I1 и А1 построена горизонтальная n1 проекция прямой, принадлежащей плоскости.

В результате выполненных построений оказалось, что проекции точки М (М2, М1) располагаются на соответствующих проекциях прямой n (n2, n1), принадлежащей плоскости треугольника АВС. На основании этого можно сделать вывод о том, что точка М принадлежит заданной плоскости. В случае несовпадения расположения проекций точки М на соответствующих проекциях прямой n, принадлежащей плоскости, следовало бы сделать вывод о том, что точка М плоскости треугольника АВС не принадлежит.

Среди множества прямых, принадлежащих плоскости, наибольший практический интерес представляет построение прямых наибольшего наклона плоскости к той или иной плоскости проекций.

Прямые линии, расположенные перпендикулярно прямым уровня плоскости, называются прямыми наибольшего наклона плоскости к плоскостям проекций.

 

Прямая наибольшего наклона плоскости

 

На рис. 37 прямая АВ расположена перпендикулярно горизонтали h плоскости a общего положения и образует наибольший угол jо с горизонтальной плоскостью проекций.

Эпюрным признаком прямой наибольшего наклона плоскости общего положения к горизонтальной плоскости проекций является перпендикулярность горизонтальной проекции этой прямой к горизонтальной проекции горизонтали плоскости. Соответственно фронтальная проекция прямой наибольшего наклона плоскости общего положения к фронтальной плоскости проекций должна быть перпендикулярна фронтальной проекции фронтали этой плоскости.

Помощь по начертательной геометрии

Прямая наибольшего наклона образует со своей проекцией линейный угол двугранного угла наклона плоскости пространства к соответствующей плоскости проекций. Поэтому измерение наибольшего угла наклона плоскости к какой-либо плоскости проекций может быть сведено к измерению линейного угла между соответствующей прямой наибольшего наклона и её проекцией.

 

Определение натуральной величины угла наибольшего наклона плоскости к плоскостям проекций

 

Рассмотрим пример (рис. 38, а) построения прямой наибольшего наклона плоскости общего положения, заданной треугольником АВС, к горизонтальной плоскости проекций и последовательность определения натуральной величины угла её наклона.

Помощь по начертательной геометрии

Так как эпюрным признаком прямой наибольшего наклона плоскости общего положения к горизонтальной плоскости проекций является перпендикулярность горизонтальной проекции этой прямой горизонтальной проекции горизонтали плоскости, то на чертеже вначале строят произвольную горизонталь h, например, А-I (A2-I2, A1-I1) треугольника АВС (рис. 38, б) и на ней выбирают произвольную, например, точку К (К1, К2). Затем на горизонтальной плоскости проекций (рис. 38, в) через К1 проводят прямую, например 21-31, перпендикулярную горизонтальной A1-I1 проекции горизонтали, и строят фронтальную 22-32 проекцию прямой наибольшего наклона заданной плоскости к горизонтальной плоскости проекций. С помощью способа прямоугольного треугольника (рис. 38, г) определяют на горизонтальной плоскости проекций натуральную величину прямой 2–3.

В прямоугольном треугольнике 313121 угол 312131 и представляет собой натуральную величину угла наклона прямой 2-3 к горизонтальной плоскости проекций, равную наибольшему углу наклона заданной плоскости к горизонтальной плоскости проекций.

Помощь по начертательной геометрии

Параллельность прямой плоскости

 

Через каждую из двух параллельных прямых пространства можно провести множество плоскостей, каждая из которых будет параллельна другой прямой. На основании этого положения можно сформулировать признак параллельности прямой плоскости – прямая параллельна плоскости только в том случае, если она параллельна хотя бы одной прямой, лежащей в этой плоскости.

Так, в случае необходимости (рис. 39, а) проведения через точку М прямой, параллельной плоскости, заданной, например, треугольником АВС, исходят из положения о том, что искомая прямая должна быть параллельна хотя бы одной прямой, лежащей в заданной плоскости. В свою очередь, плоскость треугольника АВС образована тремя прямыми : АВ, ВС и СА. Следовательно, если через точку М провести прямую, параллельную хотя бы одной из прямых, ограничивающих плоскость, тогда и сама прямая будет параллельна заданной плоскости. Эпюрным же признаком двух параллельных прямых является параллельность их одноимённых проекций.

Помощь по начертательной геометрии

Вначале (рис. 39, б) на фронтальной плоскости проекций через М2 проводят прямую n2 параллельно, например, фронтальной В22 проекции прямой ВС. На горизонтальной плоскости проекций через М1 проводят прямую n1 параллельно соответствующей горизонтальной В11 проекции этой же прямой. Таким образом получают прямую n (n2, n1), параллельную прямой ВС, принадлежащей плоскости. Отсюда следует, что прямая n параллельна плоскости, заданной треугольником АВС.

 

Пересечение прямой с плоскостью

 

Если прямая не принадлежит плоскости и не параллельна ей, то естественно предположить, что она пересекается с плоскостью в некоторой точке, принадлежащей одновременно прямой и плоскости.

Но прямая и плоскость в пространстве могут занимать различные положения относительно заданной системы плоскостей проекций и друг друга. Рассмотрим возможные случаи пересечения прямой и плоскости.

 

 

Пересечение прямой общего положения с проецирующей плоскостью

 

Известно, что проецирующие плоскости обладают «собирательным» свойством. Оно состоит в том, что след проецирующей плоскости «собирает на себе» проекции геометрических фигур, расположенных в ней.

Тогда на следе проецирующей плоскости должна находиться и одна из проекций точки пересечения прямой общего положения с этой плоскостью. И так как точка пересечения является общей для плоскости и прямой, то другая проекция точки должна находиться на соответствующей проекции этой прямой.

Помощь по начертательной геометрии

На чертеже (рис. 40, а, б) след a1 горизонтально-проецирующей плоскости пересекается с горизонтальной m1 проекцией прямой m общего положения в точке I1. Фронтальная I2 проекция точки I должна располагаться на фронтальной m2 проекции прямой m. Только в этом случае точка I будет принадлежать прямой m. И так как горизонтальная Ii проекция точки I совпадает со следом a1 горизонтально-проецирующей площади, то она и является искомой точкой пересечения прямой общего положения с горизонтально-проецирующей плоскостью.

 

Пересечение проецирующей прямой с плоскостью общего положения

 

Построение проекции точки пересечения плоскости общего положения, например, с горизонтально-проецирующей прямой l (рис. 41, а), основано на том, что точка пересечения должна принадлежать одновременно обеим фигурам: прямой и плоскости.

На чертеже (рис. 41, б) уже имеется горизонтальная К1 проекция точки пересечения проецирующей прямой с плоскостью – она совпадает с горизонтальной l1 проекцией этой прямой. Построение же фронтальной проекции точки пересечения выполняют на основании принадлежности точки плоскости.

Помощь по начертательной геометрии

Так как точка пересечения принадлежит плоскости, то ее горизонтальная К1 проекция должна располагаться на горизонтальной проекции прямой, например А1-I1, принадлежащей заданной плоскости. Тогда фронтальная К2 проекция точки К выявляется взаимным пересечение на фронтальной плоскости проекций прямых I2-A2 и l2. Таким образом, точка К (К2, К1) является искомой точкой пересечения горизонтально-проецирующей прямой l с плоскостью общего положения, заданной на чертеже проекциями треугольника АВС.

 

Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения

 

Построение проекций точки взаимного пересечения прямой и плоскости общих положений обычно выполняют с помощью вспомогательной секущей плоскости, в качестве которой чаще всего используют проецирующие плоскости. Суть построений сводится к заключению прямой общего положения во вспомогательную проецирующую секущую плоскость и рассмотрению взаимного расположения двух прямых: заданной и линии пересечения плоскости общего положения со вспомогательной секущей плоскостью. Точка пересечения проекций указанных прямых и является одной из проекций точки взаимного пересечения заданных прямой и плоскости общих положений. Одновременно этот способ позволяет выявить взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве: если проекции рассматриваемых прямых совпадают или параллельны друг другу, то это будет свидетельствовать о том, что прямая общего положения либо принадлежит заданной плоскости, либо ей параллельна.

Помощь по начертательной геометрии

Так, для построения проекций точки пересечения прямой общего положения (рис. 42, а) с плоскостью общего положения, заданной треугольником АВС, прямая l заключена во вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость a (рис. 42, б).

На следе a2 секущей плоскости располагается фронтальная 12-22 проекция линии ее пересечения с заданной плоскостью. Построение горизонтальной 11-21 проекция линии взаимного пересечения двух плоскостей выполняют на основании принадлежности точек 1 и 2 соответствующим прямым треугольника АВС.

В результате полученных построений прямые 1-2 и l оказались расположенными в одной фронтально-проецирующей плоскости и на горизонтальной плоскости проекций представляется возможным рассмотреть их взаимное расположение (рис. 42, в).

Помощь по начертательной геометрии

Оказалось, что горизонтальные 11-21 и l1 проекции прямых пересекаются в точке К1. Фронтальная К2 проекция точки пересечения прямых должна располагаться непосредственно на следе a2 фронтально-проецирующей плоскости. Проекции К1 и К2 являются проекциями искомой точки К пересечения прямой l с плоскостью треугольника АВС, так как они принадлежат обеим фигурам.

 

Определение видимости проекций прямой и плоскости

 

Рассматривая плоскость, как непрозрачную геометрическую фигуру, видимость проекций прямой относительно проекций плоскости выявляют на чертеже с помощью конкурирующих точек (рис. 42, г).

Видимость горизонтальной l1 проекции прямой l определяют со стороны фронтальной плоскости проекций. Для этого на горизонтальной плоскости проекций выбирают точку пересечения прямой l1 с проекцией какой-либо прямой, принадлежащей плоскости, например, с проекцией

Помощь по начертательной геометрии
А11 прямой АВ треугольника АВС. В действительности прямые АВ и l в пространстве не пересекаются, так как не имеют общей точки пересечения фронтальные проекции этих прямых. Поэтому точка пересечения горизонтальных проекций прямых представляет собой проекции двух конкурирующих точек, например 3 и 4, первая из которых принадлежит прямой АВ, а вторая – прямой l. Через точку пересечения прямых А11 и l1 проводят линию связи и отмечают положения фронтальных 42 и 32 проекций конкурирующих точек на основании принадлежности их соответствующим прямым. Далее рассматривают на чертеже положения этих точек относительно горизонтальной плоскости проекций и устанавливают, что точка 3 расположена выше точки 4 и поэтому горизонтальная 41 проекция точки 4 является невидимой. А так как точка 4 принадлежит прямой l, то отрезок горизонтальной l1 проекции этой прямой от точки 41 до К1 является невидимым и обозначается на чертеже линией невидимого контура – штриховой линией.

Видимость фронтальной l2 проекции прямой l относительно проекции треугольника АВС определяют со стороны горизонтальной плоскости проекций. Теперь уже на фронтальной плоскости проекций выбирают точку пересечения прямой l2 с проекцией какой-либо прямой, принадлежащей плоскости, например, с проекцией В22 прямой ВС треугольника АВС. В действительности прямые l и ВС в пространстве не пересекаются, так как не имеют общей точки пересечения горизонтальные проекции этих прямых. Поэтому точка пересечения фронтальных проекций прямых представляет собой проекции двух конкурирующих точек, например, 2 и 5, принадлежащих соответственно прямым ВС и l.

Через точку пересечения прямых l2 и В2С2 проводят линию связи и отмечают на чертеже положения горизонтальных 21 и 51 проекций конкурирующих точек на основании принадлежности их соответствующим прямым. Далее рассматривают положения этих точек относительно фронтальной плоскости проекций и устанавливают, что точка 5, принадлежащая прямой l, расположена дальше точки 2, а поэтому ее фронтальная 52 проекция на чертеже является видимой. И так как точка 5 принадлежит прямой l, то отрезок фронтальной l2 проекции этой прямой от точки 52 до К2 является видимым и обозначается на чертеже линией видимого контура – сплошной толстой линией.

 

Перпендикулярность прямой плоскости

 

Прямая линия в пространстве может располагаться перпендикулярно плоскости. Положение же плоскости в пространстве однозначно определяется положением двух пересекающихся прямых, принадлежащих этой плоскости. Таким образом, в случае перпендикулярности прямой плоскости она должна располагаться перпендикулярно двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. С другой стороны, прямой угол между пересекающимися прямыми проецируется в натуральную величину только в том случае, когда одна из его сторон является прямой уровня.

Таким образом, если некоторая прямая m (рис. 43) перпендикулярна

плоскости a, то она должна быть перпендикулярна двум пересекающимся прямым уровня этой плоскости, одна из которых является горизонталью h, а другая – фронталью f. Эта перпендикулярность прямой двум пересекающимся прямым уровня сохраняется: для горизонтали на горизонтальной плоскости проекций – m1 ^ h1, а для фронтали f на фронтальной П2 плоскости проекций – m2 ^ f2.

Справедливо и обратное положение: если горизонтальная проекция какой-либо прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали данной плоскости, а фронтальная проекция той же прямой перпендикулярна фронтальной проекции фронтальной плоскости, то прямая и плоскость взаимно перпендикулярны.

Рассмотрим пример. Через точку А (рис. 44, а) плоскости, заданной треугольником АВС, требуется провести прямую m, перпендикулярную плоскости.

Вначале (рис. 44, б) в плоскости треугольника строят произвольную горизонталь h плоскости, проходящую, например, через точку А (А2-I2,
I1-A1), и на горизонтальной плоскости проекций через А1 проводят прямую m1, перпендикулярную h1 (A1-I1). Затем (рис. 44, в) строят произвольную фронталь f плоскости, также проходящую через точку А (A1-21, 22-A2), и на фронтальной плоскости проекций через А2 проводят прямую m2, перпендикулярную f2 (A2-22) – фронтальной проекции фронтали плоскости. Проекции m1, m2 и являются проекциями искомой прямой m, перпендикулярной плоскости, заданной треугольником АВС.

Помощь по начертательной геометрии

Если же точка, через которую требуется провести прямую, перпендикулярную заданной плоскости, находится вне ее, то построение проекций этой прямой выполняют согласно условиям: горизонтальная проекция прямой должна располагаться перпендикулярно горизонтальной

проекции произвольной горизонтали плоскости, а фронтальная проекция прямой – перпендикулярно фронтальной проекции произвольной фронтали той же плоскости. Для определения положения на чертеже основания перпендикуляра строят проекции точки пресечения его с заданной плоскостью.

Рассмотрим пример решения другой задачи: через точку А (рис. 45, а) требуется провести плоскость, перпендикулярную прямой l общего положения.

В начале (рис. 45, б) на фронтальной плоскости проекций через А2 проводят фронтальную f2 проекцию произвольной фронтали f, перпендикулярно фронтальной l2 проекции прямой l. Горизонтальную f1 проекцию этой фронтали проводят через А1 параллельно оси проекций Х.

Помощь по начертательной геометрии

Затем (рис. 45, в) на горизонтальной плоскости проекций через А1 проводят горизонтальную h1 проекцию произвольной горизонтали h, перпендикулярно горизонтальной l1 проекции прямой l. Тогда фронтальную h2 проекцию этой горизонтали проводят через А2 параллельно оси Х.

Пересекающиеся в точке А прямые h и f однозначно определяют положение произвольной плоскости, перпендикулярной заданной прямой l общего положения.

 

 

Последовательность выполнения построений графического решения задачи

 

Задача – построить линию пересечения треугольников АВС и ЕДК и показать видимость их в проекциях. Определить натуральную величину треугольника АВС.

 

Построение исходного чертежа задачи

 

Решение задачи выполняют на листе чертежной бумаги формата А3 (297´420 мм). Длинную сторону формата располагают горизонтально и карандашом тонкими линиями проводят рамки формата и чертежа. В правом нижнем углу поля чертежа располагают рамку основной надписи, а в левом нижнем углу (рис. 46, а) вычерчивают таблицу и записывают в нее числовые значения координат точек А, В, С, Е, Д и К (в мм) согласно варианту задачи, представленные в табл. I методических указаний [1]. Устанавливают максимальные значения координат по осям Х и Z. К ним прибавляют по 15…20 мм и в левом верхнем углу поля чертежа проводят оси X, Y и Z прямоугольной системы координат. Отмечают положение точки 0 – начало отсчета координат и согласно числовым значениям координат точек в масштабе 1:1 строят их горизонтальные и фронтальные проекции. Положения проекций точек на чертеже выделяют кружками с просветом диаметром 1,5…2,0 мм, выполненными от руки или с помощью трафарета.

Отрезками прямых (рис. 46, б) попарно соединяют одноименные проекции точек и получают исходный чертеж задачи – фронтальные и горизонтальные проекции треугольников АВС и ДЕК. При этом оси прямоугольной системы координат X, Y и Z приобретают значения осей проекций, а прямые, соединяющие разноименные проекции вершин треугольников, являются линиями связи.

После построения исходного чертежа приступают к составлению плана решения задачи, определяющего последовательность выполнения графических построений.

 

Построение проекций линии пересечения треугольников

 

Построение проекций линии пересечения двух треугольников – плоскостей основано на том, что, во-первых, две плоскости пересекаются друг с другом по прямой, принадлежащей обеим фигурам, и, во-вторых, положения проекций прямой пересечения однозначно определяются положениями проекций двух точек, принадлежащих этой прямой.

Поэтому линию пересечения треугольников строят по точкам пересечения сторон каждого из треугольников с плоскостью другого. Это позволяет определить положения на чертеже проекций двух точек, одновременно принадлежащих обоим треугольникам. Соединив прямой одноименные проекции указанных точек, получают фронтальную и горизонтальную проекции прямой пересечения двух треугольников.

Построению проекций точки пересечения стороны одного из треугольников с плоскостью другого должен предшествовать анализ расположения на чертеже проекций сторон треугольников относительно площади наложения контуров проекций треугольников. Это обстоятельство объясняется тем, что проекции прямой пересечения двух треугольников должны располагаться внутри площади наложения проекций этих треугольников. Если же проекции каких-либо сторон треугольников не пересекают площадь взаимного наложения их проекций, то эти стороны одного треугольника не пересекают плоскость другого. Так (рис. 47), фронтальные Д2Е2 и В2С2 проекции сторон ДЕ и ВС не пересекают площадь взаимного наложения фронтальных А2В2С2 и Д2Е2К2 проекций треугольников АВС и ДЕК. На основании этого делают вывод о том, что сторона ВС не пересекается с плоскостью треугольника ДЕК.

Для выявления характера взаимного расположения треугольника АВС и стороны КЕ последнюю заключают во вспомогательную (фронтально- или горизонтально- проецирующую) секущую плоскость. На чертеже (рис. 47) выбрана фронтально-проецирующая плоскость Р (ро). Выбор в качестве секущей фронтально-проецирующей плоскости обусловлен лишь наглядностью последующих графических построений.

След P2 вспомогательной фронтально-проецирующей плоскости совпадает с фронтальной К2Е2 проекцией прямой КЕ и графически обозначен разомкнутой линией (ГОСТ 2.303-68) толщиной 1,5 мм и длиной 12…15 мм.

На следе Р2 располагается фронтальная проекция прямой взаимного пересечения двух плоскостей: треугольника АВС и фронтально-проецирующей плоскости Р. Её положение на чертеже определяется точками 12 и 22 пересечения сторон АВ и АС в пространстве с секущей плоскостью Р.

На основании принадлежности точки 1 стороне АВ и точки 2 стороне АС построена горизонтальная 11-21 проекция прямой взаимного пересечения двух плоскостей. Прямые 1-2 и КЕ оказались расположенными в одной фронтально-проецирующей плоскости. Такие прямые называются конкурирующими. Фронтальные проекции этих прямых совпадают и поэтому на горизонтальной плоскости проекций представляется возможность выявить характер их взаимного расположения в пространстве.

Помощь по начертательной геометрии

Так как на чертеже горизонтальные 11-21 и К11 проекции прямых не пересекаются, то и в пространстве сторона КЕ не пересекается с треугольником АВС.

Помощь по начертательной геометрии

С помощью аналогично рассмотренных выше графических построений выявляют характер взаимного расположения стороны КД и треугольника АСВ (рис. 48).

В качестве секущей выбрана фронтально-проецирующая плоскость N (ню). Прямая 3-4 (32-42), (31-41) является прямой взаимного пересечения вспомогательной секущей плоскости N с плоскостью треугольника АВС. Горизонтальные К11 и 31-41 проекции прямых пересекаются в точке F1. С помощью линии связи на следе N2 секущей плоскости определяется положение фронтальной F2 проекции точки.

В результате выполненных построений становится вполне очевидным, что точка F (F2, F1) принадлежит прямой КД, так как проекции точки располагаются на соответствующих проекциях этой прямой. В то же время точка F принадлежит и плоскости треугольника АВС, так как проекции точки располагаются на соответствующих проекциях прямой
3–4, принадлежащей этому треугольнику. На основании этого обстоятельства делают вывод о том, что точка F (F
1, F2) является искомой точкой пересечения стороны КД с треугольником АВС.

Помощь по начертательной геометрии

Таким образом, выполненные графические построения позволили установить факт пересечения с плоскостью треугольника АВС лишь стороны КД треугольника ДЕК.

Теперь приступают к выявлению характера взаимного расположения сторон АС и АВ с плоскостью треугольника ДЕК.

На чертеже (рис. 49) сторона АС заключена во вспомогательную фронтально-проецирующую секущую плоскость Ф (фи). Прямая 5-6 (52-62, 51-61) является прямой пересечения плоскости треугольника ДЕК с фронтально-проецирующей плоскостью Ф. Она принадлежит плоскости треугольника ДЕК и является конкурирующей по отношению к стороне АС. Горизонтальные 51-61 и А11 проекции конкурирующих прямых не пересекаются друг с другом. Это свидетельствует о том, что сторона АС с плоскостью треугольника ДЕК в пространстве не пересекается.

И, наконец, сторону АВ (рис. 50) заключают во вспомогательную фронтально-проецирующую секущую плоскость Т (τ - тау). Строят проекции 72-82 и 71-81 прямой пересечения фронтально-проецирующей плоскости Т с плоскостью ДЕК. В пересечении проекций 71-81 и А11 конкурирующих прямых выявляют положение точки М1. При помощи линии связи определяют положение фронтальной М2 проекции точки на следе Т2 вспомогательной секущей плоскости. Точка М (М1, М2) является искомой точкой пересечения стороны АВ с треугольником ДЕК.

Таким образом, в результате выполненных графических построений на чертеже выявлены положения проекций двух точек F и М пересечения сторон каждого из треугольников с плоскостью другого.

Помощь по начертательной геометрии

Соединив прямой одноимённые проекции точек F и М, получают фронтальную F22 и горизонтальную F11 проекции прямой F-М пересечения треугольников АВС и ДЕК.

 

РЕКОМЕНДАЦИИ:

1. Началу графических построений должен предшествовать анализ расположения на исходном чертеже задачи проекций сторон каждого из треугольников относительно общей площади наложения одноимённых проекций треугольников. Это позволяет выявить стороны каждого из треугольников, не пересекающиеся с плоскостью другого.

2. Выбор вида вспомогательной секущей плоскости – горизонтально- или фронтально-проецирующей, зависит лишь от удобства выполнения последующих графических построений.

3. Не следует затенять исходный чертеж задачи графическими построениями, не дающими желаемого результата – положения проекций точек пересечения стороны одного из треугольников с плоскостью другого. Такие построения следует предварительно выполнить либо на черновике, либо с помощью пяти-шестигранных карандашей.

 

Определение видимости проекций треугольников

 

В начертательной геометрии плоскость принято считать непрозрачной фигурой. В связи с этим возникает необходимость определения на чертеже видимости проекций прямых, ограничивающих плоскости треугольников АВС и ДЕК. Видимость проекций геометрических фигур определяют по их расположению относительно плоскостей проекций с помощью конкурирующих точек. При этом видимость фронтальных проекций геометрических фигур определяют со стороны горизонтальной плоскости проекций, а видимость горизонтальных проекций – со стороны фронтальной плоскости проекций.

Для определения видимости проекций фигур используют конкурирующие точки и их линии связи. Конкурирующие точки принадлежат разным геометрическим фигурам, например прямым, но располагаются на одной и той же фронтально- или горизонтально-проецирующей прямой – линии связи.

Невидимой считают проекцию конкурирующей точки, расположенной ближе к плоскости проекций, относительно которой прямая является проецирующей. На чертеже невидимые проекции точек принято заключать в круглые скобки.

С помощью конкурирующих точек определяют лишь видимость проекций прямых, расположенных внутри контура наложения одноимённых проекций треугольников. Внешний (наружный) контур проекций треугольников является видимым и выполняется на чертеже сплошной толстой линией – линией видимого контура.

 

Определение видимости фронтальных проекций треугольников

 

Внешний контур наложения фронтальных А2В2С2 и Д2Е2К2 проекций треугольников (рис. 51) выполняется сплошной толстой линией. Толстой линией вычерчивают проекцию М2-F2 прямой взаимного пересечения треугольников. Для выявления характера начертания отрезков проекций сторон, находящихся внутри контура наложения фронтальных проекций треугольников, на чертеже выделяют проекции двух отрезков сторон, например, B2-M2 и Д2-F2. Отмечают точку их пересечения кружком с просветом. От неё в направлении горизонтальной плоскости проекций проводят линию связи и отмечают положения точек пересечения её с горизонтальными В11 и Д1-F1 проекциями отрезков. Получают точки 31 и 71, принадлежащие соответствующим отрезкам сторон треугольников. Точки 3 (31, 32) и 7 (71, 72) принадлежат разным прямым и располагаются в пространстве на одинаковом расстоянии от горизонтальной плоскости проекций, т. е. располагаются на одной фронтально-проецирующей прямой и поэтому являются конкурирующими.

Из них точка 3 расположена ближе к фронтальной плоскости проекций, поэтому её фронтальная 32 проекция является видимой и заключена в круглые скобки. А так как точка 3 принадлежит отрезку В-М, то на чертеже отрезок 322 выполнен штриховой линией – линией невидимого контура. Тогда отрезок М22 выполняется толстой линией.

Точка 7 (72, 71) принадлежит стороне КД. Фронтальная 72 проекция точки является видимой, поэтому на чертеже отрезок 72-F2 выполняют толстой линией. А до пересечения с проекцией А22 – штриховой линией. Тогда проекция А22 в пределах наложения проекций треугольников выполняется толстой линией. И так как сторона К-Е не пересекается с треугольником АВС, то на чертеже часть её фронтальной проекции, расположенной внутри контура наложения фронтальных проекций треугольников, выполняется линией невидимого контура – штриховой линией.

Таким образом, в результате выполненных графических построений видимость фронтальных проекций треугольников АВС и ДЕК оказалась полностью выявленной.

Помощь по начертательной геометрии

 

Определение видимости горизонтальных проекций треугольников

 

Внешний контур наложения горизонтальных А1В1С1 и Д1Е1К1 проекций треугольников (рис. 52) выполняется сплошной толстой линией. Толстой линией вычерчивают проекцию М1-F1 прямой взаимного пересечения треугольников. Для выявления характера начертания отрезков проекций сторон, находящихся внутри контура наложения горизонтальных проекций треугольников, на чертеже выделяют проекции двух отрезков сторон, например В11 и Е11. Отмечают кружком с просветом точку их пересечения. В направлении фронтальной плоскости проекций проводят линию связи и отмечают положения точек пересечения её с фронтальными В22 и Е22 проекциями отрезков. Получают точки 92 и 102, принадлежащие соответствующим отрезкам сторон треугольников. Точки 9 (92, 91) и 10 (102, 101) принадлежат разным прямым и располагаются на одинаковом расстоянии от фронтальной плоскости проекций, т. е. располагаются на одной горизонтально-проецирующей прямой и поэтому являются конкурирующими. Точка 10 расположена ближе к горизонтальной плоскости проекций, поэтому её горизонтальная 101 проекция является невидимой и заключена в круглые скобки. А так как точка 101 принадлежит отрезку Е11, то в пределах наложения горизонтальных проекций треугольников он выполняется штриховой линией. Точка 91 принадлежит отрезку В11. Её горизонтальная проекция является видимой, поэтому отрезок В11 выполняется толстой линией. А отрезок М11 в пределах контуров наложения проекций треугольников до пересечения с проекцией Е11 выполняется штриховой линией.

Отмечают точку пересечения проекций К1-F1 и В11. В направлении фронтальной плоскости проекций проводят линию связи и отмечают положения точек пересечения её с фронтальными проекциями отрезков
К2-F
2 и В22. Получают конкурирующие точки 11 (111, 112) и 12 (121, 122). Из них видимой является горизонтальная 111 проекция точки, принадлежащей прямой В-С. Поэтому горизонтальная проекция отрезка прямой В11, расположенного внутри контура наложения проекций треугольников, выполняется толстой линией. Горизонтальная 121 проекция точки, принадлежащей отрезку 121-F1, является невидимой. Поэтому на чертеже отрезок 121-F1 выполняется штриховой линией, а отрезок F11 – сплошной толстой линией. И так как прямая А-С не пересекается с треугольником ДЕК, то часть горизонтальной проекции А11, расположенной внутри контура наложения проекций треугольников, выполняется штриховой линией.

Таким образом, в результате выполненных графических построений видимость горизонтальных проекций треугольников АВС и ДЕК оказалась полностью выявленной.

 

 

Определение натуральной величины треугольника АВС

 

Для определения натуральной величины треугольника АВС с изображением линии пересечения его с треугольником ДЕК используют способы преобразования проекционного чертежа: способ вращения вокруг проецирующей прямой и способ плоскопараллельного перемещения. Первый обеспечивает возможность графического преобразования плоскости треугольника АВС общего положения в проецирующую плоскость, а затем – проецирующей плоскости в плоскость уровня. Плоскость уровня располагается в пространстве параллельно какой-либо плоскости проекций и на неё она проецируется в натуральную величину. Способ плоскопараллельного перемещения позволяет выполнить необходимые графические построения в стороне от исходного чертежа задачи.

С целью преобразования плоскости общего положения в проецирующую плоскость в ней строят произвольную прямую уровня, например, горизонтальную прямую, проходящую через вершину С треугольника (рис. 53). Её фронтальная С2-142 проекция располагается параллельно оси проекций Х. Горизонтальная С1-141 проекция прямой построена на основании принадлежности точки 14 стороне АВ. Через вершину С проводят горизонтально-проецирующую прямую i1 и поворачивают плоскость треугольника АВС в пространстве так, чтобы горизонтальная прямая С-14 расположилась бы перпендикулярно фронтальной плоскости проекций. При этом горизонтальная прямая С-14 плоскости преобразуется во фронтально-проецирующую прямую, а треугольник АВС из плоскости общего положения преобразуется во фронтально-проецирующую плоскость.

В связи с тем, что возвышение точек А, В, С – вершин треугольника и точки 14 относительно горизонтальной плоскости проекций при повороте сохраняется, становится возможным перемещать плоскость треугольника АВС параллельно горизонтальной плоскости проекций, удаляя или приближая её относительно фронтальной плоскости проекций. Поэтому для сохранения ранее выполненных графических построений – проекций линии взаимного пересечения треугольников – определение натуральной величины треугольника АВС проводят несколько в стороне от исходного чертежа задачи.

Ось проекций Х продолжают вправо от точки О, сохраняя тем самым положение заданной системы плоскостей проекций. На кальку (лучше

карандашную) копируют с исходного чертежа задачи горизонтальную А1В1С1 проекцию треугольника АВС вместе с проекцией С1-141 горизонтали. Можно на отдельном листе бумаги (чертежной или писчей) при помощи циркуля построить треугольник А1В1С1 и в нем обязательно показать положение проекции горизонтали С1-141. Затем, отступив по 1…2 мм от проекций сторон, при помощи ножниц вырезать шаблон треугольника. Копировка или шаблон выполняется с целью рационального расположения на свободном поле чертежа последующих графических построений.

Копировку или шаблон горизонтальной проекции треугольника АВС располагают на свободном поле горизонтальной плоскости проекций таким образом, чтобы, во-первых, вершина треугольника, через которую была проведена горизонталь плоскости, находилась бы на расстоянии 0…15 мм от оси проекций Х, а проекция С1-141 горизонтали была бы направлена перпендикулярно оси проекций Х. И, во-вторых, крайняя левая вершина треугольника А1В1С1 находилась бы на расстоянии 15…20 мм от оси проекций Ү.

Уколом иголки циркуля отмечают на поле чертежа новое положение горизонтальной С1 проекции вершины треугольника, через которую была проведена горизонталь плоскости. Убирают кальку (шаблон), отмечают положение точки и проводят через нее прямую, перпендикулярную оси проекций Х.

На этой прямой вниз от точки отрезок С1-141 горизонтальной проекции горизонтали плоскости. Получают новое положение точки 14. С помощью циркуля выполняют построения новых проекций других вершин и точек треугольника А1В1С1. Попарно соединив отрезками прямых новые проекции вершин треугольника, получают горизонтальную АВС проекцию треугольника АВС, повернутого в пространстве вокруг горизонтально-проецирующей прямой i1 так, что горизонталь С-14 плоскости расположилась перпендикулярно фронтальной плоскости проекций. На чертеже отмечают совпадение горизонтальных проекций С вершины С треугольника АВС и i горизонтально-проецирующей прямой i1 – оси вращения треугольника.

При построении на чертеже новых фронтальных проекций вершин треугольника АВС исходят из того, что поворот и перемещение треугольника в новое положение происходит без изменения расстояний его вершин до горизонтальной плоскости проекций. Тогда фронтальные проекции траекторий поворота и перемещений вершин треугольника представляют собой прямые линии, расположенные параллельно оси проекций Х. На этом основании на чертеже через фронтальные А2В2С2 проекции вершин треугольника проводят прямые линии, параллельные оси проекций Х. Через горизонтальные А, В и С проекции вершин проводят прямые – линии связи в направлении, перпендикулярном оси проекций Х. В пересечении указанных прямых получают положения новых фронтальных А, В и С проекций вершин треугольника.

Попарно соединив точки А, В и С отрезками прямых, получают новую фронтальную проекцию треугольника АВС. Но теперь фронтальная проекция треугольника АВС представляет собой прямую линию, а это свидетельствует о том, что в результате выполненных графических построений плоскость треугольника АВС из общего положения преобразована во фронтально-проецирующую плоскость.

Помощь по начертательной геометрии

Последующее вращение фронтально-проецирующей плоскости в положение, параллельное горизонтальной плоскости проекций, обеспечивает возможность определения натуральной величины треугольника АВС.

Для этого на чертеже обозначают положения проекций новой i2 оси вращения, представляющей собой фронтально-проецирующую прямую. Ее следует провести через крайнюю правую вершину фронтально-проецирующей плоскости треугольника А1В1С1. В рассматриваемом примере такой вершиной является точка А1. На чертеже фронтальная i проекция оси вращения совпадает с фронтальной А проекцией этой точки. Горизонтальная i проекция оси вращения совпадает с линией связи точки А1. При вращении фронтально-проецирующей плоскости А1В1С1 вокруг оси i2 в положение, параллельное горизонтальной плоскости проекций, вершины В1 и С1 описывают окружности, плоскости которых располагаются параллельно фронтальной плоскости проекций. Поэтому на нее они проецируются без искажения – в натуральную величину. Горизонтальные проекции этих окружностей представляют собой прямые линии, проходящие через горизонтальные В и С проекции точек параллельно оси проекций Х.

Вначале строят новые фронтальные В и С проекции вершин треугольника. Они должны располагаться на прямой, параллельной оси проекций Х. В рассматриваемом примере новые проекции вершин треугольника располагаются непосредственно на оси проекций Х, так как на ней находятся фронтальная А проекция вершины А1 треугольника, через которую проходит новая i2 ось вращения. Затем через фронтальные С и В проекции проводят линии связи в направлении, перпендикулярном оси проекций Х. В пересечении последних с горизонтальными проекциями траекторий вращения точек В1 и С1 определяют положения новых горизонтальных В и С проекций вершин треугольника. Попарно соединив отрезками прямых горизонтальные А, В и С проекции вершин, получают новую горизонтальную проекцию треугольника АВС. На основании принадлежности точек соответствующим прямым определяют положения новых горизонтальных проекций других прямых плоскости, в частности, положение горизонтальной М-F проекции прямой пересечения треугольников.

В результате выполненных графических построений фронтально-проецирующая плоскость преобразована в горизонтальную плоскость уровня.

Следовательно, горизонтальная А, В, С проекция плоскости уровня и представляет собой натуральную величину треугольника АВС, что и требовалось определить по условию задачи.

Помощь по начертательной геометрии

На этом графические построения решения задачи считаются полностью выполненными, и производится окончательная обводка линий чертежа (рис. 54). При этом линии графических построений – линии связи, проекции траекторий перемещения и вращения точек, необходимо сохранить. Проекции сторон треугольника АВС, определяющих его натуральную величину, в целях большей выразительности и наглядности следует обвести карандашом красного цвета. Красным карандашом следует обвести и натуральную величину прямой взаимного пересечения треугольников АВС и ДЕК.

 

Многогранные поверхности

 

Образование многогранных поверхностей и построение их комплексных чертежей

 

Многогранником называется совокупность таких плоских многоугольников, у которых каждая из сторон является одновременно стороной другого многоугольника, но только одного.

Многоугольники эти называются гранями, стороны их – ребрами, а вершины – вершинами многогранника. Совокупность всех граней многогранника называется его поверхностью.

В дальнейшем будем рассматривать только выпуклые многогранники, т. е. такие, которые можно расположить по одну сторону от плоскости любой из его граней.

Образование поверхностей некоторых многогранников подчинено определенным законам. Так, боковая поверхность призм (призматическая поверхность) образуется (рис. 55, а) при таком движении прямой l – образующей по ломаной направляющей m, когда прямая l остается во время движения параллельной своему первоначальному положению.

Помощь по начертательной геометрии

Боковая поверхность пирамид (пирамидальная поверхность) получается (рис. 55, б) при движении прямолинейной образующей l, проходящей через фиксированную точку S, по направляющей m.

Таким образом, по способу образования поверхности многогранников относятся к линейчатым поверхностям, так как в образовании их участвует прямая линия – образующая.

Построение проекции многогранника на некоторой плоскости сводится обычно к построению проекций точек – вершин многогранника (рис. 56).

Например, проецируя пирамиду SABC на плоскость П¢, строят вначале проекции вершин: S’, A’, B’, C’. Соединив затем проекции точек отрезками прямых, получают проекцию пирамиды.

Помощь по начертательной геометрии

Таким образом, на комплексном чертеже многогранники изображаются проекциями своих вершин и ребер.

Для большей выразительности проекции вершин многогранника на чертеже рекомендуется отмечать кружками с просветом диаметром
1,5…2 мм, выполненными от руки или с помощью трафарета.

Для облегчения реконструкции многогранника, т. е. построения его положения в пространстве относительно заданной системы плоскостей проекций, следует на чертежах обозначать проекции его вершин прописными буквами латинского алфавита (рис. 57). Это условие особенно необходимо соблюдать в тех случаях, когда некоторые из ребер многогранника являются проецирующими прямыми.

В этом случае при реконструкции многогранника можно получить по комплексному чертежу не одно, а несколько решений.

Например, по комплексному чертежу куба (рис. 57, а), на котором проекции его вершин не обозначены, при реконструкции можно получить четыре различно расположенные в пространстве призмы (рис. 57, б, в, г, д).

Таким образом, если у многогранника имеются ребра профильного или проецирующего положения, а также при совпадении проекций каких-либо вершин или ребер, то обратимость чертежа достигается либо введением буквенных обозначений проекций вершин многогранника (рис. 58), либо построением профильной проекции многогранника (рис. 59).

Помощь по начертательной геометрии

 

Определение видимости проекций ребер многогранника

 

Видимость проекций ребер многогранника на комплексном чертеже определяют следующим образом (рис. 60, а):

- внешний контур проекций многогранника является видимым и выполняется сплошными толстыми линиями (рис. 60, б);

- видимость ребер внутри контура проекций многогранника определяется с помощью проецирующих лучей (линий связи), проведенных перпендикулярно той или иной плоскости проекций (перпендикулярно соответствующей оси проекций).

Помощь по начертательной геометрии

Так, для определения видимости ребер внутри каждой из проекций, например, трехгранной пирамиды SABC, поступают следующим образом (рис. 60, в).

Устанавливая видимость горизонтальных А1В1 и S1C1 прямых, расположенных внутри контура горизонтальной проекции пирамиды, проводят линию связи, пересекающую разноименные проекции указанных прямых.

Отмечают проекции точек, например 1 и 2, лежащих на одной линии связи, но принадлежащих разным прямым: точка 1 принадлежит прямой SC, а точка 2 – прямой АВ. Затем рассматривают видимость горизонтальных проекций точек 1 и 2 со стороны фронтальной П2 плоскости проекций (по направлению стрелки). Так как фронтальная 12 проекция точки 1 расположена выше точки 22, то горизонтальная проекция последней будет невидимой. Но точка 2 принадлежит прямой АВ, а поэтому горизонтальная А1В1 проекция этой прямой будет невидимой. Следовательно, на чертеже (рис. 60, г) горизонтальная А1В1 проекция прямой АВ должна быть выполнена штриховой линией – линией невидимого контура, а горизонтальная S1C1 проекция прямой SC – линией видимого контура.

Помощь по начертательной геометрии

Для определения видимости проекций S2C2 и А2C2 прямых, расположенных внутри фронтальной проекции контура пирамиды, через них проводят линию связи до пересечения с горизонтальными А1С1 и S1B1 проекциями этих же прямых (рис. 60, д). Отмечают проекции точек 3 и 4, расположенных на одной линии связи, но принадлежащих разным прямым. Теперь уже со стороны горизонтальной плоскости проекций (по направлению стрелки) рассматривают видимость фронтальных 32 и 42 проекций точек. Точка 4 расположена ближе к фронтальной плоскости проекций, поэтому ее проекция 42 будет невидимой. Но точка 4 принадлежит прямой АС, а значит и ее проекция А2С2 должна быть невидимой. Следовательно, на чертеже (рис. 60, е) фронтальная А2С2 проекция прямой АС должна быть выполнена штриховой линией, а проекция S2B2 прямой SB – сплошной толстой линией.

 

Принадлежность точки и прямой многогранной поверхности

 

В связи с тем, что многогранная поверхность представляет собой некоторую совокупность множества отдельных граней – плоскостей, то решение вопроса о принадлежности точки и прямой многогранной поверхности обычно сводят к решению вопроса о принадлежности точки и прямой плоскости.

Известно, что точка принадлежит плоскости только в том случае, когда она лежит на прямой, принадлежащей этой плоскости. В свою очередь, признаком принадлежности прямой плоскости является принадлежность двух произвольных точек этой прямой плоскости. Ниже в качестве примеров рассматриваются задачи на построение проекций прямых, принадлежащих трехгранной пирамиде SABC. На чертеже (рис. 61, а) задана горизонтальная А1К1 проекция прямой АК. Требуется построить ее фронтальную проекцию.

Помощь по начертательной геометрии

Так как положение прямой на чертеже определяется проекциями двух ее точек, то достаточно построить фронтальную К2 проекцию точки К, принадлежащей прямой SC, и затем соединить точки А2 и К2 отрезком прямой. В результате получают фронтальную А2К2 проекцию прямой АК, принадлежащую грани SAC пирамиды. Так как на фронтальной плоскости проекций эта грань пирамиды невидима, то проекция прямой А2К2 должна быть выполнена штриховой линией.

На чертеже (рис. 61, б) задана фронтальная E2F2 проекция прямой EF, принадлежащей грани SAC пирамиды. При этом точка Е принадлежит прямой SA, а точка F – прямой SC

Помощь по начертательной геометрии

На основании принадлежности точек соответствующим прямым строят их горизонтальные Е1 и F1 проекции.

 

Соединив затем отрезком прямой точки E1 и F1, получают горизонтальную E1F1 проекцию прямой EF, принадлежащую грани SAC пирамиды.

На чертеже (рис. 62, а) задана фронтальная К2 проекция точки К, принадлежащей пирамиде SABC. В связи с тем, что точка К2 на чертеже не заключена в круглые скобки, т. е. фронтальная проекция точки К является видимой, становится очевидной принадлежность её грани SAB пирамиды.

На основании принадлежности точки плоскости, через К2 проводят прямую, например S2F2 (рис. 62, б), лежащую в грани S2A2B2. Затем строят горизонтальную S1F1 проекцию этой прямой и на ней определяют положение горизонтальной К1 проекции точки К, принадлежащей грани SAB.

 

Пересечение многогранника с прямой и плоскостью. Общие положения

 

Рассматривая в общем случае вопрос о пересечении какого-либо многогранника, например пирамиды SABC (рис. 63), с плоскостью ∑ (сигма) общего положения, нетрудно убедиться в том, что в сечении получается многоугольник. Вершинами его служат точки пересечения рёбер многогранника с секущей плоскостью, а сторонами – отрезки прямых пересечения граней многогранника с секущей плоскостью.

Помощь по начертательной геометрии

Таким образом, задачу на построение сечения многогранника плоскостью общего положения можно свести либо к многократному решению задачи на пересечение прямой с плоскостью, либо к многократному решению задачи на взаимное пересечение двух плоскостей.

Помощь по начертательной геометрии

Так как решение первой задачи значительно проще, нежели решение второй, то обычно при построении сечения многогранника плоскостью общего положения вначале строят вершины сечения, как точки пересечения рёбер многогранника с секущей плоскостью, а затем соединяют отрезками прямых каждые две вершины, лежащие в одной и той же грани многогранника. При этом стороны многоугольника сечения, лежащие в видимых проекциях граней многогранника, на чертеже будут видимыми, а лежащие в невидимых гранях – невидимыми.

 

 

Пересечение многогранника с проецирующей плоскостью

 

При построении сечения многогранника, например пирамиды SABC (рис. 64, а), проецирующей плоскостью ∑, исходят из того, что со следом ∑2 этой фронтально-проецирующей плоскости совпадает одна из проекций сечения многогранника. Вершины многоугольника сечения представляют собой точки пересечения прямых SA, SB, и SC – рёбер многогранника, с секущей фронтально-проецирующей плоскостью ∑.

На следе ∑2 секущей плоскости (рис. 64, б) выявляют положения фронтальных 12, 22, и 32 проекций вершин многоугольника сечения.

На основании принадлежности точек 1, 2 и 3 соответственно прямым SA, SB, SC (рис. 64, в) строят их горизонтальные 11, 21 и 31 проекции.

Попарно соединив (рис. 64, г) отрезками прямых горизонтальные проекции вершин, лежащих в одной грани, получают вторую – горизонтальную проекцию сечения пирамиды SABC фронтально-проецирующей плоскостью.

Помощь по начертательной геометрии

На чертеже (рис. 65) представлен пример построения проекций сечения пирамиды SABC горизонтально-проецирующей плоскостью.

Помощь по начертательной геометрии

 

Пересечение многогранника с прямой. Общие положения

 

В связи с тем, что любой многогранник представляет собой некоторую совокупность отдельных граней – плоскостей (рис. 66, а), вопрос о пересечении прямой с многогранником может быть сведён к нахождению точек пересечения этой прямой с соответствующими гранями многогранника.

Тогда, по аналогии с определением точки пересечения прямой с плоскостью, задачу на построение точек пересечения прямой с многогранником осуществляют в следующей последовательности:

  • - заданную прямую (рис. 66, б) заключают во вспомогательную секущую плоскость, чаще всего в проецирующую;
  • - строят сечение многогранника вспомогательной секущей плоскостью (рис. 66, в);
  • - определяют точки пересечения прямой с контуром сечения


(рис. 66, г). Рассмотрим примеры построения проекций точек пересечения прямых частного и общего положений с многогранником на конкретных примерах.

Помощь по начертательной геометрии

 

Пересечение многогранника с проецирующей прямой

 

На чертеже (рис. 67, а) заданы пирамида SABC и горизонтально-проецирующая прямая m. Требуется построить проекции точек пересечения прямой с многогранником. Из анализа расположения проекций фигур относительно друг друга и плоскостей проекций следует, что прямая пересекается с гранью SAB боковой поверхности пирамиды. А так как прямая m является горизонтально-проецирующей, то с горизонтальной m1 проекцией этой прямой совпадает и горизонтальная К1 проекция точки К пересечения прямой m с гранью SAB пирамиды (рис. 67, б). Для построения фронтальной проекции точки К исходят из принадлежности её плоскости – грани SAB.

На горизонтальной плоскости проекций через К1 проводят произвольную прямую, принадлежащую грани S1A1B1, например – прямую S1F1, и строят её фронтальную S1F1 проекцию.

Помощь по начертательной геометрии

В том месте, где фронтальные проекции прямых m и SF пересекаются, находится фронтальная К2 проекция точки пересечения горизонтально-проецирующей прямой m с пирамидой SABC.

Помощь по начертательной геометрии

На рис. 68 представлен пример построения проекций точек пересечения фронтально-проецирующей прямой n с пирамидой SABC.

Из анализа взаимного расположения проекций фигур на чертеже следует, что прямая n пересекается с гранями SAB и SAC пирамиды.

С фронтальной n2 проекцией прямой совпадают проекции 32 и 42 точек пересечения её с гранями пирамиды.

На основании принадлежности точек 3 и 4 соответствующим граням строят их горизонтальные проекции.

В точках пересечения горизонтальных проекций прямой n и прямых S1 и S2 находятся проекции 31 и 41 точек пересечения фронтально-проецирующей прямой n с пирамидой SABC.

 

Пересечение многогранника с прямой общего положения

 

На чертеже (рис. 69, а) представлены проекции пирамиды SABC и прямой m общего положения.

Из анализа взаимного расположения проекций фигур на чертеже следует, что прямая m пересекается с гранями SAB и SBC пирамиды.

Помощь по начертательной геометрии

 

Задачу на построение проекций точек пересечения прямой m общего положения с гранями пирамиды решают в следующей последовательности:

  • 1. Заключают прямую общего положения во вспомогательную проецирующую плоскость. На чертеже (рис. 69, б) прямая m заключена в горизонтально-проецирующую плоскость ∑, след которой совпадает с горизонтальной m1 проекцией прямой m.
  • 2. Строят многоугольник сечения пирамиды плоскостью ∑ (рис. 69, в).
  • 3. Определяют положение проекций точек 4 и 5 пересечения прямой m с контуром фигуры сечения пирамиды вспомогательной секущей плоскостью ∑ (рис. 69, г). Отмеченные точки являются искомыми точками пересечения прямой m общего положения с многогранником – пирамидой SABC.

Помощь по начертательной геометрии

На чертеже (рис. 70) представлен пример решения той же задачи, но прямая общего положения заключена теперь уже во вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость.

Помощь по начертательной геометрии

 

Пересечение многогранника с плоскостью общего положения

 

Выше отмечалось, что задачу на построение сечения многогранника (рис. 71), например пирамиды SABC, плоскостью общего положения обычно сводят к многократному решению задачи на пересечение прямой с плоскостью. Для этого вначале строят вершины многоугольника сечения, как точки пересечения рёбер SA, SB и SC многогранника с секущей плоскостью. А затем соединяют отрезками прямых каждые две вершины многоугольника сечения, лежащие в одной и той же грани многогранника.

Рассмотрим решение конкретных задач на построение проекций сечения многогранника плоскостью общего положения.

Помощь по начертательной геометрии

На чертеже (рис. 72, а) изображены: трёхгранная пирамида АВС и секущая плоскость a (альфа) общего положения, заданная двумя пересекающимися прямыми: фронталью – f и горизонталью – h.

Анализируя расположение заданных фигур на чертеже (рис. 72, б), устанавливают, что основание пирамиды – треугольник АВС и прямая h расположены в горизонтальной плоскости проекций, так как их фронтальные проекции совпадают с осью X.

Это позволяет определить на чертеже положения точек E и F пересечения прямой h, принадлежащей плоскости a, с гранью АВС многогранника.

Помощь по начертательной геометрии

Выявив горизонтальные Е1 и F1 проекции точек, строят их фронтальные Е2 и F2 проекции. Прямая EF (E1F1, E2F2) представляет собой линию пересечения пирамиды плоскостью общего положения.

Далее предполагают, что с секущей плоскостью a пересекаются рёбра SA, SB и SC боковой поверхности пирамиды.

Проекции прямых SA, SB и SC не параллельны и не перпендикулярны оси проекций X. Это значит, что каждая из прямых занимает в пространстве общее положение.

Тогда для построения проекций вершин сечения боковой поверхности пирамиды необходимо определить положения на чертеже проекций точек пересечения каждой из трёх прямых: SA, SB и SC, – с плоскостью a.

Так как прямые SA, SB и SC и плоскость a занимают общие положения, то для построения проекций точек их взаимного пересечения используют способ вспомогательных секущих плоскостей, в качестве которых чаще всего применяют проецирующие плоскости.

На чертеже (рис. 72, в) прямая SA заключена во вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость ∑.

След ∑2 секущей плоскости совпадает с фронтальной S2A2 проекцией прямой SA.

Прямая 1222 представляет собой фронтальную проекцию линии взаимного пересечения двух плоскостей: заданной – a и вспомогательной – ∑.

Помощь по начертательной геометрии

Строят горизонтальную 1121 проекцию линии пересечения плоскостей и на горизонтальной плоскости проекций рассматривают взаимное расположение проекций прямых SA и 1-2 .

Горизонтальные 1121 и S1A1 проекции прямых пересекаются в точке 41. Фронтальная 42 проекция точки пересечения располагается на следе ∑2 вспомогательной секущей плоскости.

Точка 4 (41, 42) является искомой точкой пересечения прямой SA с плоскостью a, так как она принадлежит обеим фигурам:

- прямой SA, потому что проекции точки 4 расположены на соответствующих проекциях этой прямой,

- плоскости a, потому что проекции точки 4 расположены на соответствующих проекциях 1 2, принадлежащей плоскости a.

Для построения точки пересечения прямой SC с плоскостью a заключает прямую во вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость θ (тэта) (рис. 72, г).

След θ2 секущей плоскости совпадает с фронтальной S2C2 проекцией прямой SС. Прямая 1222 представляет собой фронтальную проекцию линии взаимного пересечения двух плоскостей: заданной – a и вспомогательной – θ.

Строят горизонтальную 1121 проекцию линии взаимного пересечения двух плоскостей и на горизонтальной плоскости проекций рассматривают взаимное расположение проекций прямых S C и 1-2. Горизонтальные 1121 и S1C1 проекции прямых пересекаются в точке 51. Фронтальная 52 проекция точки пересечения располагается на следе θ2 секущей плоскости.

Точка 5 (51, 52) является искомой точкой пересечения прямой SС с плоскостью a, так как она принадлежит обеим фигурам:

- прямой SС, потому что проекции точки 5 располагаются на соответствующих проекциях этой прямой;

- плоскости a, потому что проекции точки 5 располагаются на
соответствующих проекциях прямой 1-2, принадлежащей плоскости a.

Для построения точки пересечения прямой SB с плоскостью a
(рис. 72, д) заключают прямую во вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость Ф (фи).

След Ф1 секущей плоскости совпадает с горизонтальной S1B1 проекцией прямой SВ.

Прямая 1121 представляет собой горизонтальную проекцию линии взаимного пересечения двух плоскостей: заданной a и вспомогательной – Ф.

Строят фронтальную 1222 проекцию линии взаимного пересечения двух плоскостей и на фронтальной плоскости проекций рассматривают взаимное расположение проекций прямых SB и 1-2. Фронтальные 1222 и S2B2 проекции прямых не пересекаются. Это означает, что в пространстве прямая SB не пересекается с плоскостью a.

Помощь по начертательной геометрии

Итак, (рис. 72, e) в результате выполненных построений выявлены положения проекций вершин – точки F, 4, 5, E многоугольника, который должен получиться при рассечении пирамиды SABC плоскостью a общего положения.

Попарно соединив отрезками прямых каждые две одноименные проекции точек, лежащих в одной и той же грани многогранника, получают проекции F1, 41, 51, E1, F1 и F2, 42, 52, E2, F2 многоугольника сечения пирамиды SABC плоскостью общего положения, заданной двумя пересекающимися прямыми: фронталью – f и горизонталью – h.

Известно, что от расположения фигур в пространстве относительно заданной системы плоскостей проекций – общего или частного – в значительной степени зависит трудоемкость решения той или иной метрической или позиционной задачи.

Помощь по начертательной геометрии

На чертеже (рис. 73, а) секущая плоскость a (a1, a2) и ребра боковой поверхности пирамиды: SА ( S1A1, S2A2), SC ( S1C1, S2C2 ) и SB (S1B1, S2B2) занимают общие положения относительно заданной системы плоскостей проекций.

Если же секущую плоскость a общего положения преобразовать в проецирующую (рис. 73, б), то трудоёмкость построения проекций точек пересечения ребер пирамиды с плоскостью a, весьма существенно уменьшится. В связи с тем, что секущая плоскость a задана на чертеже двумя пересекающимися прямыми: фронталью – f и горизонталью – h, её легко преобразовать в проецирующую, например, способом замены плоскостей проекций.

Для этого достаточно на чертеже на горизонтальной плоскости проекций провести новую ось проекций П14 перпендикулярно горизонтальной h1 проекции горизонтали h и построить новую проекцию f4 прямой f, так как горизонтальная прямая h преобразуется в новой П14 системе плоскостей проекций в точку h4 расположенную непосредственно на новой оси проекций. Таким образом, в новой системе плоскостей проекций П14 плоскость a общего положения является проецирующей, так как теперь одна из её проекций a4 представляет собой прямую линию, совпадающую с проекцией f4 фронтальной прямой. В новой системе плоскостей проекций П14 строят проекцию пирамиды: S4 A4 B4 C4.

Помощь по начертательной геометрии

Выполненное преобразование позволяет не только сразу выявить положения проекций 44 и 54 точек пересечения соответственно прямых SА и SC с секущей плоскостью (рис. 73, в), но и установить, что прямая SB в пространстве вовсе не пересекается с плоскостью a, так как прямая S4 B4 не пересекается со следом a4 секущей плоскости. Значит, прямая SВ с плоскостью a не пересекается. А в решении задачи по первому варианту не пересечение прямой SВ с плоскостью a выявилось только с помощью построения линии пересечения плоскости a вспомогательной горизонтально-проецирующей плоскостью Ф, проходящей через прямую SB. На основании принадлежности точек 1, 4, 2 и 5 соответствующим прямым строят их фронтальные проекции: 12, 42, 52 и 22. Попарно соединив отрезками прямых одноимённые проекции точек, лежащих в одной и той же грани, получают проекции: 11, 41, 51, 11 и 12, 42, 52, 12 – многоугольника сечения пирамиды SABC плоскостью a общего положения.

 

Взаимное пересечение многогранных поверхностей.

Общие положения

 

В связи с тем, что любая многогранная поверхность (рис. 74) представляет собой некоторую совокупность отдельных граней – плоскостей, ограниченных их сторонами – рёбрами, вопрос о построении линии взаимного пересечения многогранных поверхностей обычно сводят к многократному решению задачи либо на построение линии взаимного пересечения двух плоскостей, либо на пересечение рёбер одного многогранника с гранями другого.

Помощь по начертательной геометрии

Так как решение второй задачи значительно проще, нежели первой, то обычно при построении линии взаимного пересечения многогранников вначале строят вершины сечения, как точки пересечения рёбер одного из многогранников с гранями другого. А затем соединяют отрезками прямых каждые две вершины, лежащие в грани первого многогранника и одной грани второго многогранника.

Линиями пересечения двух многогранников в общем случае являются пространственные многоугольники. В зависимости от вида многогранников и их взаимного расположения, линиями пересечения могут быть один или несколько пространственных многоугольников. Линиями пересечения двух выпуклых многогранников являются один или два многоугольника.

Помощь по начертательной геометрии

Если один из многогранников полностью пересекается вторым, то получают две линии пересечения – линию входа одного многогранника в другой и линию выхода. Такое взаимное пересечение геометрических фигур называют полным проницанием. Если же один многогранник частично пересекается, т. е. как бы не полностью врезается в поверхность другого, то получают лишь одну замкнутую линию их взаимного пересечения. Такое взаимное пересечение выпуклых многогранников называют неполным проницанием или врезкой.

Проекции линии пересечения двух многогранников располагаются внутри контуров наложения одноименных проекций многогранников. Причем, если проекция какого-либо ребра одного из многогранников не пересекает контур наложения проекций, то ребро не пересекает контур наложения проекций и не пересекает другой многогранник. Вместе с тем, если проекция ребра одного из многогранников пересекает даже обе проекции контура наложения, то это вовсе не означает, что данное ребро пересекает второй многогранник.

Помощь по начертательной геометрии

Таким образом, линии взаимного пересечения многогранников – пространственные многоугольники – представляют собой некоторую совокупность отрезков прямых, по которым пересекаются между собой грани многогранников. Вершинами многоугольников являются точки пересечения ребер одного многогранника с гранями другого и ребер второго многогранника с гранями первого. Стороны многоугольников строятся как отрезки прямых, соединяющих только те пары вершин, которые принадлежат одной и той же грани первого многогранника, а также и одной грани второго многогранника.

 

 

Взаимное пересечение пирамидальных и призматических поверхностей

 

Определённые трудности в построении линий взаимного пересечения пирамидальных поверхностей обусловлены тем обстоятельством, что в подавляющем большинстве случаев грани и рёбра пирамид занимают в пространстве общие положения.

В значительной степени трудоёмкость решения задач на построение линий взаимного пересечения многогранных поверхностей уменьшается в том случае, когда одна из них представляет собой призматическую поверхность. Используя тот или иной способ преобразования проекционных чертежей, представляется возможным преобразовать грани призматической поверхности общего положения в проецирующие. В этом случае трудоемкость графических построений проекций линий пересечения пирамидальной и призматической поверхностей весьма значительно сокращается, так как в этом случае на чертеже уже имеется одна из проекций фигуры взаимного пересечения поверхностей.

На чертеже (рис. 75) представлены проекции пирамиды SABC и трехгранной призмы. Грани призмы представляют собой фронтально-проецирующие плоскости.

Из анализа взаимного расположения одноименных проекций многогранников относительно друг друга и относительно плоскостей проекций следует, что многогранники в пространстве пересекаются. Свидетельством тому является факт наложения друг на друга их одноименных проекций. При их пересечении происходит полное проницание, в результате чего должны образоваться две пространственные ломаные линии. Одна из них – линия входа, вторая – линия выхода.

Характер взаимного расположения фронтальных проекций многогранников относительно друг друга свидетельствует о том, что эти линии образуются при пересечении граней боковой поверхности пирамиды SABC с гранями I-II-III-I призмы и пересечения ребра III призмы с гранями SAC и SCB пирамиды. И так как грани трехгранной призмы представляют собой фронтально-проецирующие плоскости, то построение проекций линий взаимного пересечения многогранников, по сути дела, сводится лишь к построению недостающих проекций вершин пространственных многоугольников, представляющих собой проекции точек пересечения прямых SA, SB, SC пирамиды с гранями I-II, II-III, III-I призмы и ребра III призмы с гранями SAC и SCB пирамиды. Это обстоятельство предопределяет выполнение графических построений в следующей последовательности.

На фронтальной плоскости проекций (рис. 76) отмечают точки: 12, 22, 32 пересечения прямых S2-A2, S22 и S22 пирамиды с проекцией I2-II2 грани призмы.

На основании признака принадлежности точки прямой (рис. 77) строят их недостающие – горизонтальные 12, 22 и 32 проекции.

Попарно соединив прямыми (рис. 78) горизонтальные 21 и 31 проекции точек, лежащих в одной грани, получают проекции линии взаимного пересечения граней боковой поверхности пирамиды ABC с гранью I-II призмы.

Далее (рис. 79) на фронтальной плоскости проекций отмечают положения точек: 42 и 52 пересечения прямых S2-A2 и S22 пирамиды с проекцией I2-IΙI2 грани призмы.

На основании признака принадлежности точек прямым SA и SB строят (рис. 80) их недостающие – горизонтальные 41 и 51 проекции. Соединив затем точки 41 и 51 штриховой линией (линией невидимого контура), получают горизонтальную проекцию линии взаимного пересечения грани SAB пирамиды с гранью I-III призмы.

Затем строят проекции точек пересечения ребра III призмы с гранями SBC и SCA пирамиды (рис. 81).

Ребро III призмы является фронтально-проецирующей прямой и поэтому с ее фронтальной IΙI2 проекцией совпадают проекции 62 и 72 точек пересечения этого ребра с гранями SBC и SCA пирамиды.

Для построения горизонтальных проекций точек 6 и 7 ребро III призмы заключают во вспомогательную горизонтальную секущую плоскость (сигма). В этом случае в сечении пирамиды SABC плоскостью образуется треугольник, стороны которого должны быть параллельны сторонам треугольника ABC основания пирамиды, лежащего в горизонтальной плоскости проекций. Соответственно и горизонтальные проекции сторон треугольника сечения должны быть параллельны горизонтальным проекциям сторон треугольника основания пирамиды.

В месте пересечения следа секущей плоскости с прямой S22 отмечают точку 92 и строят её горизонтальную 91 проекцию. Затем на горизонтальной плоскости проекций из точки 91 проводят прямые, параллельные проекциям А11 и С11 сторон основания пирамиды, до пересечения с проекцией IΙI1 ребра призмы.

Помощь по начертательной геометрии

 

Помощь по начертательной геометрии

 

Помощь по начертательной геометрии

В результате получают положения на чертеже проекций 61 и 71 точек пересечения ребра III призмы с гранями SBC и SCA пирамиды.

Помощь по начертательной геометрии

И, наконец, на фронтальной плоскости проекций (рис. 82) отмечают точку 82 пересечения прямой S22 пирамиды с гранью IΙI2-II2 призмы. А затем на основании принадлежности точки 8 прямой SC строят ее горизонтальную 81 проекцию.

Теперь, попарно соединив линиями невидимого контура (штриховыми линиями) проекции точек 4, 5, 6, 7, и 4, лежащих в одних и тех же гранях пирамиды или призмы, получают проекции второй линии пересечения пирамиды с призмой – линию входа пирамиды SABC в призму.

Таким образом, наличие проецирующих граней у одного из многогранников весьма существенно снижает трудоемкость графических построений линий взаимного пересечения двух многогранных поверхностей.

На рис. 83 представлена аксонометрическая проекция (прямоугольная диметрия) полного проницания рассмотренных выше пирамидальной и призматической поверхностей.

 

Последовательность выполнения построений графического решения задачи 3 [1]

 

Задача – построить линию пересечения пирамиды с прямой призмой.

 

Построение исходного чертежа задачи

 

Построение исходного чертежа задачи выполняют на листе чертежной бумаги формата А3 (297´420 мм). На нем карандашом твердостью Т или 2Т тонкими линиями проводят рамки формата и чертежа, расположив длинную сторону формата горизонтально. В правом нижнем углу поля чертежа выполняют рамку основной надписи, а в левом нижнем углу – таблицу числовых значений размеров координат вершин А, В, С, Д, Е, К, G, U многогранников (рис. 84). В нее записывают числовые значения координат вершин соответствующего варианта задачи, взятые из табл. 3 «Методических указаний».

От линии, делящей длинную сторону формата пополам, на расстоянии (190 - Хмакс): 2 мм проводят тонкую вертикальную линию. На этой линии на расстоянии 105 мм от верхней рамки поля чертежа отмечают положение точки 0 – начало отсчета координат и проводят горизонтальную линию.

На вертикальной линии наносят обозначение оси проекций Х, а на вертикальной линии – вверх от точки 0 обозначение оси проекций Z, вниз от точки 0 – оси проекций Y.

В результате на поле чертежа в левой его половине получают прямоугольную систему осей проекций X, Y, и Z и приступают к построению горизонтальных и фронтальных проекций вершин трехгранной пирамиды ДАВС. Проекции вершин многогранников обозначают на чертеже кружками с диаметром просвета 1,5…2 мм, выполненными от руки или с помощью трафарета. Вначале строят горизонтальную Д1 и фронтальную Д2 проекции вершины Д пирамиды. А затем проекции вершин треугольника АВС – основания пирамиды.

Для этого на оси проекций Х влево от точки 0 откладывают в масштабе 1:1 числовое значение координаты соответствующей точки, например, ХВ и проводят линию связи, перпендикулярную оси проекций Х.

Вниз от оси проекций Х по линии связи откладывают числовое значение координаты YВ той же точки. Получают горизонтальную В1 проекцию точки В.

Вверх от оси проекций Х на линии связи откладывают числовое значение координаты ZB. Получают фронтальную В2 проекцию точки В. Попарно соединив (рис. 85) отрезками прямых одноимённые проекции точек

Помощь по начертательной геометрии

Помощь по начертательной геометрии

А, В и С, получают горизонтальную А1В1С1 и фронтальную А2В2С2 проекции основания пирамиды – треугольника АВС.

Тонкими линиями попарно соединяют одноимённые проекции вершин основания А, В, С с вершиной Д (ДI, Д2) пирамиды. Получают горизонтальную Д1А1В1С1 и фронтальную Д2А2В2С2 проекции трехгранной пирамиды ДАВС.

Анализируют видимость проекций ребер основания и боковой поверхности пирамиды отдельно для каждой из плоскостей проекций. При этом видимость проекций ребер и граней пирамиды на горизонтальной П1 плоскости проекций определяют со стороны фронтальной П2 плоскости проекций, а видимость фронтальных проекций – со стороны горизонтальной П1 плоскости проекций.

На фронтальной плоскости проекций все ребра основания и боковой поверхности пирамиды являются видимыми. Их выполняют сплошными тонкими линиями. Проекции А2В2С2, Д2В2С2 и Д2С2А2 граней пирамиды являются видимыми. Проекция Д2В2А2 грани боковой поверхности пирамиды является невидимой, так как в пространстве эта грань пирамиды закрывается другими гранями пирамиды.

На горизонтальной плоскости проекций все ребра основания и боковой поверхности пирамиды, за исключением проекции ребра ДА, являются видимыми. Горизонтальная Д1А1 проекция ребра ДА располагается внутри контура проекции пирамиды. Видимость горизонтальной проекции ребра ДА легко устанавливается с помощью конкурирующих точек, принадлежащих ребру ВС и ребру ДА пирамиды. На основании этого проекция Д1А1 выполняется линией невидимого контура – штриховой линией.

Проекции Д1В1А1 и Д1А1С1 граней боковой поверхности пирамиды являются невидимыми, так как в пространстве они закрываются относительно горизонтальной плоскости проекций гранями ДВС и АВС.

Видимость на чертеже горизонтальных и фронтальных проекций ребер и граней пирамиды учитывается в последующих графических построениях. Это объясняется тем, что точки и прямые линии, расположенные на невидимых проекциях ребер и гранях пирамиды, являются невидимыми.

Аналогичным образом (рис. 86) строят на чертеже проекции четырехгранной прямой призмы ЕКGU, высотой 85 мм.

По отношению к горизонтальной плоскости проекций ребра боковой поверхности призмы являются проецирующими. Их горизонтальные Е1, К1, G1, U1 проекции представляют собой точки. Нижнее основание призмы располагается непосредственно в горизонтальной плоскости проекций, поэтому фронтальная проекция основания совпадает с осью проекций Х. Верхнее основание призмы располагается на высоте 85 мм от оси проекций Х. Разноименные проекции ребер боковой поверхности призмы расположены на соответствующих линиях связи. Попарно соединив отрезками

Помощь по начертательной геометрии

Помощь по начертательной геометрии

Помощь по начертательной геометрии

Помощь по начертательной геометрии

 

прямых одноименные проекции ребер боковой поверхности и вершины верхнего и нижнего оснований, получают горизонтальную и фронтальную проекции четырехгранной прямой призмы ЕКGU.

Грани боковой поверхности призмы расположены определенным образом по отношению к плоскостям проекций. Это обусловливает вполне конкретную видимость их проекций на чертеже. Так, по отношению к горизонтальной плоскости проекций, грани боковой поверхности призмы являются проецирующими. Поэтому горизонтальные проекции точек и прямых, принадлежащих этим граням, совпадут с горизонтальными проекциями граней призмы. Фронтальные Е2Ē2Ū2U2 и U2Ū22G2 проекции граней являются видимыми, а проекции граней Е222К2 и К222G2 – невидимыми.

Производится корректировка видимости проекций отдельных элементов заданных геометрических фигур на чертеже (рис. 87), обусловленная их взаимным расположением относительно плоскостей проекций.

Так, на горизонтальной плоскости проекций ребра пирамиды, находящиеся внутри контура проекции призмы, выполняются штриховой линией. На фронтальной поверхности проекций проекция ребра U2Ū2 призмы является полностью видимой и выполняется сплошной линией, а проекция К22 полностью невидимой и выполняется штриховой линией.

Часть проекции G22 ребра призмы, расположенная внутри контура проекции пирамиды, выполняется штриховой линией, так как ребро призмы расположено за гранями пирамиды по отношению к фронтальной плоскости проекций. Проекцию ребра Е призмы, расположенного внутри контура горизонтальной проекции пирамиды, на фронтальной плоскости проекции следует предварительно выполнить тонкой линией.

Таким образом, в результате выполненных графических построений получают исходный чертеж задачи – фронтальную и горизонтальную проекции пирамиды ДАВС и призмы ЕКGU.

 

 

Построение проекций линии пересечения многогранников

 

Из рассмотренных выше теоретических положений взаимного пересечения многогранных поверхностей следует, что для построения проекций линии пересечения пирамиды ДАВС с призмой EKGU (рис. 88) необходимо выполнить следующее:

- построить проекции точек пересечения рёбер пирамиды с гранями призмы;

- построить проекции точек пересечения рёбер призмы с гранями пирамиды;

- соединить попарно отрезками прямых одноимённые проекции точек пересечения ребер многогранников с гранями каждого из них, расположенных в одной и той же грани каждого из многогранников.

Помощь по начертательной геометрии

Помощь по начертательной геометрии

 

На чертеже проекции пирамиды и призмы расположены относительно друг друга таким образом, что происходит полное проницание призмы пирамидой. Это подтверждается взаимным расположением горизонтальных проекций геометрических фигур. В результате образуются две пространственные линии пересечения – линия входа и линия выхода.

Рассматривая расположение горизонтальных проекций рёбер пирамиды относительно горизонтально-проецирующих граней призмы, становится вполне очевидным, что с гранями последней пересекаются только рёбра ДВ, ДА и ДС боковой поверхности пирамиды. А так как грани призмы являются горизонтально-проецирующими, то с горизонтальными E111K1, E11Ū1U1 и U1Ū11G1 проекциями граней призмы совпадают горизонтальные 11, 21, 31, 41, 51 и 61 проекции точек пересечения рёбер ДВ, ДА и ДС пирамиды.

Фронтальные 12, 22, 32, 42, 52, 62 проекции точек (рис. 89) строят на основании принадлежности их соответственно рёбрам ДВ, ДА и ДС пирамиды, проведя в направлении фронтальных проекций рёбер линии связи. Фронтальная 22 проекция точки 2 пересечения ребра ДВ пирамиды с гранью EK призмы является невидимой, так как фронтальная проекция этой грани призмы является невидимой. Проекцию 22 точки заключают в круглые скобки.

Далее (рис. 90) анализируют расположение рёбер прямой призмы относительно граней пирамиды. Из расположения горизонтальных проекций фигур относительно друг друга следует, что ребра K, G и UŪ призмы с поверхностью пирамиды вообще не пересекаются. Горизонтальные проекции этих рёбер находятся вне контура проекции пирамиды.

С гранями ДВС и ДВА боковой поверхности пирамиды пересекается только ребро E призмы. А так как ребро E призмы является горизонтально-проецирующей прямой, то с её E11 проекцией совпадают проекции 71 и 81 точек пересечения последней соответственно с гранями ДВС и ДВА пирамиды.

При этом точка 7 принадлежит грани ДСВ, а точка 8 – грани ДВА пирамиды. Но горизонтальная Д1В1А1 проекция грани пирамиды на чертеже является невидимой, поэтому и горизонтальная 81 проекция точки, принадлежащей этой грани, тоже является невидимой и заключается в круглые скобки.

Построить фронтальные проекции точек 7 и 8, как принадлежащие проецирующему ребру E призмы, невозможно. Но точки 7 и 8

Помощь по начертательной геометрии

принадлежат одновременно граням ДВС и ДВА пирамиды. Поэтому построение фронтальных проекций этих точек выполняют на основании принадлежности последних граням пирамиды – плоскостям, заданным на чертеже треугольниками ДВС и ДВА (рис. 91).

Известно, что точка принадлежит плоскости только в том случае, если она располагается на прямой, лежащей в этой плоскости. Поэтому, для построения фронтальных 72 и 82 проекций точек 7 и 8 на горизонтальной плоскости проекций через совпадающие проекции точек 7 и 8 и вершину Д пирамиды в каждой из граней проводят прямую линию. Она пересекает горизонтальную В1С1 проекцию стороны ВС треугольника основания пирамиды в точке 91 и горизонтальную В1А1 проекцию стороны АВ в точке 101. На основании принадлежности точки 9 стороне ВС и точки 10 стороне АВ строят фронтальные 92 и 102 проекции этих точек.

Соединив на фронтальной плоскости проекций точки 92 и 102 с точкой Д2 прямыми линиями, получают фронтальные 92Д2 и 102Д2 проекции прямых, на которых должны располагаться фронтальные 72 и 82 проекции принадлежащих этим прямым точек.

В том месте, где фронтальная Е22 проекция ребра призмы пересекает прямые 92Д2 и 102Д2, находятся искомые фронтальные 72 и 82 проекции точек пересечения горизонтально-проецирующего ребра E призмы с гранями ДВС и ДВА пирамиды. При этом фронтальная 72 проекция точки 7 является видимой, а проекция 82 точки 8 – невидимой, так как принадлежит невидимой на плоскости П2 грани ДВА пирамиды. Проекцию 82 заключают в круглые скобки.

В результате выполненных построений определены положения на чертеже проекций точек пересечения ребра E призмы с гранями ДВС и ДВА пирамиды.

Теперь на фронтальной П2 плоскости проекций (рис. 92) отрезками прямых соединяют проекции точек пересечения рёбер пирамиды с гранями призмы и ребра E призмы с гранями пирамиды. При этом следует помнить о том, что соединять можно только точки, лежащие в одной грани многогранника.

Прямые, расположенные на видимых проекциях граней, выполняются линиями видимого контура – сплошной толстой линией, а на невидимых проекциях граней – штриховой линией.

В результате получают горизонтальные и фронтальные проекции двух пространственных линий взаимного пересечения пирамиды ДАВС с прямой призмой EKGU.

После построения проекций линий пересечения многогранников приступают к окончательной обводке простым карандашом соответствующей твердости проекций заданных геометрических фигур с учётом их видимости на чертеже. При этом, сплошные толстые линии выполняют мягкими (М, 2М) карандашами, выдерживая толщину этих линий в пределах 0,8….1,2 мм. Штриховые линии выполняют карандашом средней (ТМ) твёрдости толщиной 0,4.....0,5 мм. Линии связи, оси проекций и линии дополнительных построений выполняют твёрдыми
(Т, 2Т) карандашами толщиной 0,2….0,3 мм.

Все буквенные и цифровые обозначения должны быть выполнены стандартным (ГОСТ 2.304-81) чертёжным шрифтом размера: 3,5; 5 или
7 мм.

Правую половину поля чертежа (рис. 92) оставляют свободной для последующих графических построений – определения натуральных величин рёбер основания и боковой поверхности пирамиды ДАВС, необходимых для решения задачи 4 [1].

На чертеже представлены графические построения определения натуральных величин рёбер ДВ и ДА пирамиды способом плоскопараллельного перемещения.

 

Построение развёрток многогранных поверхностей.

Общие положения

 

В инженерной практике проектирования и изготовления различных деталей и металлических конструкций из листового материала довольно часто возникает задача построения развёрток различного рода поверхностей с нанесением на них линий пересечения.

Если поверхность представить не в виде абсолютно жёсткой оболочки, а как гибкую, но не растяжимую плёнку, то оказывается, что некоторые из поверхностей можно путём постепенного деформирования (разгибания) совместить с плоскостью так, что при этом не будет ни складок, ни разрывов.

Поверхности, обладающие этим свойством, называются развёртывающимися, а фигура, полученная от совмещения поверхности с плоскостью – развёрткой.

При этом, если рассматривать поверхность и её развёртку как точечные множества, то между ними устанавливается взаимно однозначное соответствие. Это означает, что каждой точке на поверхности соответствует единственная точка развёртки, каждой линии на поверхности соответствует линия на развёртке.

При этом прямая на поверхности переходит в прямую на развёртке, параллельные прямые также переходят в параллельные. Сохраняются длины линий, расположенных на поверхности, величины углов между линиями и площади фигур, ограниченных замкнутыми линиями.

К числу развёртывающихся поверхностей относятся все многогранные поверхности. Развёрткой многогранной поверхности называется плоская фигура, полученная последовательным совмещением с одной и той же плоскостью всех её граней. Поэтому построение развёртки многогранной поверхности сводится, прежде всего, к определению натурального вида каждой из отдельных её граней.

 

Построение развёрток пирамидальных поверхностей

 

Боковыми гранями пирамиды (рис. 93, а) являются треугольники, для построения натуральной величины которых достаточно определить истинные длины их сторон – рёбер боковой поверхности и основания пирамиды.

Анализируя расположение рёбер пирамиды относительно плоскостей проекций, приходим к выводу о том, что все они являются прямыми общего положения, так как ни одна из проекций рёбер не параллельна и не перпендикулярна оси проекций Х. Отсюда возникает задача определения

Помощь по начертательной геометрии

натуральной (истиной) величины каждого из рёбер поверхности пирамиды.

Для этих целей можно использовать любой из известных способов определения натуральной длины прямой, в частности, способ прямоугольного треугольника; способ замены плоскостей проекций; способ вращения вокруг прямых, перпендикулярных или параллельных плоскостям проекций; способ плоскопараллельного перемещения и другие. При этом можно определить натуральную величину каждого отдельного ребра или каждой отдельной грани поверхности пирамиды.

Выделим на чертеже (рис. 93, б) основание пирамиды – треугольник АВС, представляющий собой плоскость общего положения, так как ни одна из его проекций – ни фронтальная, ни горизонтальная, не представляет собой прямую линию.

Для определения натуральной величины треугольника АВС воспользуемся способом замены плоскостей проекций (рис. 94).

Известно, что для определения натуральной величины плоскости общего положения её необходимо вначале преобразовать в проецирующую плоскость, а затем проецирующую плоскость преобразовать в плоскость уровня.

Решение этой задачи осуществляем в следующей последовательности.

Вначале в плоскости треугольника АВС строим произвольную горизонтальную прямую, например, горизонталь 1-B (12-B2, 11-B1).

Перпендикулярно горизонтальной проекции B1-11 горизонтали проводим новую ось проекций П14 и строим проекцию треугольника АВС на плоскости П4.

В новой системе плоскостей проекций П14 треугольник АВС преобразован в проецирующую плоскость, так как теперь одна из его проекций, а именно проекция А444, представляет собой прямую линию.

Для преобразования проецирующей плоскости в плоскость уровня на чертеже проводим новую ось проекций П45 параллельно А44 и строим новую проекцию треугольника АВС на плоскости П5 .

 

В новой системе плоскостей проекций П45 проецирующая плоскость преобразована в плоскость уровня, поэтому треугольник АВС на плоскость П5 спроецировался в натуральную величину.

Тем самым определены натуральные длины рёбер АВ (А5В5), ВС (В5С5) и СА (С5А5) основания пирамиды – треугольника АВС.

Для определения натуральной длины рёбер боковой поверхности пирамиды (рис. 95) – прямых SA (S2A2, A1S1), SC (S2C2, C1S1) и SB (S2B2, B1S1) – воспользуемся способом прямоугольного треугольника.

Вспомним суть этого способа. Если определять натуральную величину, например, прямой SA, на горизонтальной плоскости проекций, то вначале на фронтальной П2 плоскости проекций определяют разницу Z1 расстояний точек S2 и A2 до оси проекций Х. Затем на горизонтальной плоскости проекций через точку S1 проводят прямую, перпендикулярную прямой S1A1. На этом перпендикуляре откладывают отрезок Z1, равный разнице расстояний точек S и A до плоскости П1, и получают точку 1. Соединив точку 1 с точкой A1, получают прямоугольный треугольник, гипотенуза которого – прямая 1A1 и есть натуральная величина прямой SA.

С тем, чтобы не затенять проекционный чертёж, будем строить подобные прямоугольные треугольники для каждой из сторон несколько в стороне от чертежа.

Для этого вначале на фронтальной плоскости проекций через точки А2, В2 и С2 проведем прямые, параллельные оси Х, до пересечения с линией связи проекций S2 и S1 точки S. Тем самым определим длины отрезков Z1, Z2 и Z3, равных разнице расстояний точки S и соответственно точек А, В и С до горизонтальной плоскости проекций.

Затем, в стороне от проекционного чертежа, проведём взаимно перпендикулярные горизонтальную и вертикальную прямые.

На вертикальной прямой отложим отрезки Z1, Z2 и Z3. Получим соответственно точки АZ″, ВZ″, СZ″.

На горизонтальной прямой отложим отрезки, равные горизонтальным проекциям прямых S1A1, S1В1, S1С1. Получим соответственно точки Ā1, 1 и 1.

Соединив теперь прямыми одноименные точки вертикальной и горизонтальной прямых, получаем гипотенузы Ā1Z″, 1Z″ и 1Z″ прямоугольных треугольников, представляющие собой натуральные длины соответственно прямых SA, SB и SC.

Таким образом, помимо натуральной величины основания определены и натуральные длины рёбер боковой поверхности пирамиды SABC.

Это делает возможным построение развёртки поверхности пирамиды.

Для этого (рис. 96, а) на плоскости чертежа выбираем произвольную точку. Обозначим ее буквой, соответствующей вершине S пирамиды.

Разворотом циркуля, равным натуральной длине прямой SВ, проводим дугу окружности и в произвольном месте её отмечаем положение точки В. Соединив точки S и В прямой, получаем натуральную величину ребра SB пирамиды.

Затем из точки S раствором циркуля, равным натуральной длине прямой SA, проводим дугу. Из точки В проводим дугу раствором циркуля, равным натуральной длине прямой ВА. В месте пересечения дуг радиусами RBA и RSA получаем точку А.

Помощь по начертательной геометрии

Помощь по начертательной геометрии

 

Соединив точку А (рис. 96, б) прямыми с точками В и S, получаем треугольник SBA, представляющий собой натуральную величину грани SBA пирамиды.

Затем (рис. 96, в) из точки S и точки А раствором циркуля, равным соответственно натуральным длинам прямых SС и АС, проводим дуги, которые пересекаются в точке С.

Соединив точку С (рис. 96, г) с точками А и S прямыми, получаем треугольник SАС, представляющий собой натуральную величину грани SAC пирамиды.

Подобным образом на чертеже (рис. 96, д) построены натуральные величины грани SCB и основания пирамиды.

Таким образом, в результате последовательного совмещения с плоскостью чертежа натуральных величин треугольников – граней, построена развёртка пирамидальной поверхности.

Следует обратить внимание на то, что натуральные величины треугольников – граней боковой поверхности пирамиды, специально не определялись. Они выявились путём построения их с помощью натуральных величин прямых, ограничивающих треугольники – ребер граней пирамидальной поверхности.

В связи с этим данный этот способ построения разверток многогранных поверхностей получил название – способ треугольников.

Довольно часто при построении развёрток пирамидальных поверхностей возникает необходимость перенесения на них отдельных точек или линий, принадлежащих поверхностям.

Рассмотрим пример (рис. 97, а) построения на развёртке точки K, лежащей на поверхности пирамиды SABC.

Известно, что если точка принадлежит плоскости – грани пирамиды, то она должна лежать на прямой, проведенной в этой плоскости.

На чертеже точка К (K2, КI) принадлежит грани SАВ пирамиды.

Через вершину S пирамиды и точку К проведена прямая S-1 (S2-12, S1-11) которая пересекает ребро АВ основания в точке 1.

Для того, чтобы построить на развертке в грани SAB прямую S1, необходимо определить натуральную величину отрезка 1-A (12-A2, 11-A1), принадлежащего прямой АB.

Определив затем натуральную длину отрезка SK (S2K2, S1K1),можно на прямой S-1, построенной на развертке грани SАВ, найти истинное положение точки К, принадлежащей поверхности пирамиды.

Натуральная длина отрезка 1-А определена на чертеже (рис. 97, б) при построении натуральной величины основания ABC пирамиды способом замены плоскостей проекций.

Помощь по начертательной геометрии

Помощь по начертательной геометрии

Для определения натуральной длины отрезка SК (рис. 97, в) необходимо решить задачу на определение натуральной длины прямой
S-1(S2-12), (SI-11), на которой расположена точка K (K2, K1).

Решение этой задачи выполнено с помощью способа плоскопараллельного перемещения.

Тогда на развёртке пирамиды (рис. 97, г) в грани SAB из точки А раствором циркуля, равным натуральной длине отрезка А-1, делают засечку и получают точку 1 на прямой АВ.

Соединив затем точку 1 с точкой S прямой, получают на развёртке прямую 1-S, на которой должна быть расположена точка К, принадлежащая грани SAB пирамиды.

Для определения положения точки К на прямой S1 из точки S раствором циркуля, равным натуральной длине отрезка SK, делают засечку и отмечают положение точки К.

 

Указанным способом на развертке можно построить любое множество точек, принадлежащих пирамидальной поверхности.

 

Построение развёртки призматической поверхности
способом нормального сечения

 

Построение развёрток призматических поверхностей имеет свои особенности, которые в значительной степени определяются способом их образования.

Известно, что призматическая поверхность образуется при движении по ломаной направляющей прямолинейной образующей, сохраняющей параллельность заданному направлению. Отсюда вытекает взаимная параллельность ребер боковой поверхности призм.

Используя в общем случае способ замены плоскостей проекций, представляется возможным определить натуральную величину сразу всех ребер боковой поверхности призмы.

С другой стороны, при рассечении призмы плоскостью, перпендикулярной (нормальной) граням боковой поверхности, в сечении образуется многогранник, стороны которого перпендикулярны ребрам призмы.

Вершинами многогранника нормального сечения являются точки пересечения ребер боковой поверхности призмы с секущей плоскостью.

Если теперь стороны многогранника нормального сечения, представляющие собой натуральные величины расстояний между ребрами, расположить на одной прямой, а затем в точках, соответствующих вершинам сторон, провести перпендикулярные прямые, отложить на них натуральные величины соответствующих ребер и соединить попарно крайние точки ребер отрезками прямых, получим натуральные величины граней боковой поверхности

Помощь по начертательной геометрии

призмы, совмещенные с плоскостью чертежа, то есть получим, таким образом, развертку боковой поверхности призмы.Пристроив к ней натуральные величины оснований, получим полную развертку призматической поверхности.Рассмотрим пример (рис. 98, а) построения развертки поверхности трехгранной наклонной призмы ABCДEF по вышеуказанной схеме.Для определения натуральной величины ребер боковой поверхности наклонной призмы воспользуемся способом замены плоскостей проекций.

На чертеже (рис. 98, б) расположим новую ось проекций П14 параллельно горизонтальной проекции одного из ребер, например C11, и построим новую проекцию призмы на плоскости П4. Отметим на новой проекции призмы и точку К (К4), принадлежащую грани АЕДС.Ребра боковой поверхности призмы в новой системе плоскостей проекций П14 являются прямыми уровня, а поэтому их проекции A44, C44 и В4-F4 представляют собой натуральные величины ребер АЕ, СД и ВF.

Следовательно, только одним преобразованием проекционного чертежа удалось определить натуральные величины одновременно всех ребер боковой поверхности наклонной призмы.

Далее (рис. 98, г) пересечем призму в новой системе плоскостей проекций П14 плоскостью a (альфа), перпендикулярной ребрам боковой поверхности и новой плоскости проекций П4.

На чертеже след a4 секущей плоскости располагается перпендикулярно проекциям ребер A4-E4,C44 и В4-F4. Отметим точки 14, 34 и 24 пересечения соответственно ребер A4-E4,C44 и В4-F4 со следом a4 секущей плоскости. В сечении призмы проецирующей плоскостью a получится треугольник 1,2,3 (11,21,31; 14,24,34), представляющий собой нормальное сечение.

Продолжим след a4 секущей плоскости (рис. 98, г) до пересечения с осью проекций П1/П4 в точке i4 и повернем секущую плоскость вместе с треугольником 14,34,24 до совмещения с горизонтальной плоскостью проекций.Тогда в плоскости П1 получим натуральную величину нормального сечения – треугольник 1,1,1.

Одновременно перенесем на прямую 1-1 сечения проекцию 1 точки K4, лежащей в грани A4E4Д4C4 .Затем (рис. 98, д) на произвольной горизонтальной прямой отложим натуральные величины сторон треугольника 11,21,31 и точки K1.Через точки 1, 2, 3 и К (рис. 98, е) проведем прямые, перпендикулярные горизонтальной прямой, и отложим на них натуральные величины

Помощь по начертательной геометрии

Помощь по начертательной геометрии

расстояний вершин A4, В4, C4, E4, F4, Д4 и точки К4 до следа a4 секущей плоскости.

Соединив попарно прямыми вершины нижнего основания точки A, B, С, А и верхнего основания – точки Е, F, Д, Е, получим развёртку боковой поверхности наклонной призмы и точку К, лежащую в грани АСДЕ (рис. 98, ж).

Прямые, соединяющие на развёртке точки нижнего и верхнего оснований призмы, представляют собой натуральные величины сторон треугольников оснований. Они непосредственно выявились на развертке, что существенно сократило трудоёмкость выполненных построений.

Пристроив натуральные величины треугольников верхнего и нижнего оснований к развёртке боковой поверхности, получаем полную развёртку призматической поверхности.

Рассмотренный способ построения разверток призматических поверхностей получил название способ нормального сечения.

 

 

Построение развёртки призматической поверхности способом раскатки

 

Особенности образования призматических поверхностей предопределили возможность использования в практике построения разверток многогранных поверхностей другого способа – способа раскатки боковых поверхностей призм.Рассмотрим сущность этого метода на примере построения развертки той же трехгранной наклонной призмы АВСДЕF (рис. 99, а).

На чертеже представлены проекции призмы и точки М, лежащей на поверхности призмы в грани ВСДF. С целью определения натуральной длины ребер боковой поверхности призмы произведено преобразование чертежа с помощью способа замены плоскостей проекций. Далее было

выполнено сечение призмы плоскостью a (альфа), перпендикулярной ребрам боковой поверхности и новой плоскости проекции П4, и определена натуральная величина сечения – треугольника 1,1,1.

На чертеже след a4 секущей плоскости располагается перпендикулярно проекциям ребер А44, С44 и В4-F4. Продолжим
(рис. 99, б) след a
4 секущей плоскостью влево и отложим на нем натуральные величины сторон нормального сечения – треугольника 1,1,1 и точку 1, лежащую на прямой 1-1 сечения. Получим точки: 3, 1, 2, 1. Тем самым на следе a4 секущей плоскости мы как бы развернули (раскатали) нормальное сечение – натуральную величину треугольника 1,1,1.

Теперь (рис. 99, в) повернем грань С4А4Е4Д4 вокруг ребра А44 и совмести ее с плоскостью П4. Тогда точка 34 займет положение точки 3 на прямой a4, а отрезок 14-3 этой прямой есть не что иное, как натуральная величина стороны 1- треугольника нормального сечения.

Вместе с гранью С4А4Е4Д4 вокруг ребра А4Е4 будут вращаться крайние точки ребра С44. Траектория их вращения представляет собой дуги окружностей, плоскости которых параллельны следу a4 секущей плоскости.

В связи с этим плоскости окружностей вращения точек С4 и Д4 спроецируются на П4 в прямые линии, проходящие через точки С4 и Д4 параллельно следу α4.

Так как ребра боковой поверхности призмы параллельны друг другу, то через точку 3 на следе a4 проводим прямую параллельную ребру С44. В пересечении этой прямой с проекциями траекторий вращений точек С4 и Д4 получаем точки С и Д. Прямая С-Д представляет собой натуральную величину одного из ребер боковой поверхности призмы.

Аналогичным образом (рис. 99, г) поворачиваем до совмещения с плоскостью П4 следующую грань призмы – В4С4Д4F4, теперь уже вокруг

Помощь по начертательной геометрии

Помощь по начертательной геометрии

Помощь по начертательной геометрии

ребра С44. Получаем на П4 положение натуральной величины ребра В4-F4 – прямую ВF и точку М, лежащую на грани ВСДF. И, наконец, (рис. 99, д) вокруг ребра В4-F4 поворачиваем до совмещения с плоскостью П4 последнюю грань призмы – В4А4Е4F4.

 

Получаем на П4 положение натуральной величины ребра А4Е4 – прямую АЕ.

Соединив (рис. 99, е) попарно прямыми точки Е, F, Д, Е верхнего и точки А, В, С, А нижнего оснований и пристроив к развертке боковой поверхности верхнее и нижнее основания, получаем полную развертку трехгранной наклонной призмы.

Выбор того или иного способа построения развертки призматической поверхности в значительной степени зависит от вида и расположения призмы относительно плоскостей проекций.

Необходимо отметить, что трудоемкость построения развертки наклонной призматической поверхности можно весьма существенно сократить, преобразовав грани боковой поверхности призмы в проецирующие плоскости.

 

 

Последовательность выполнения построений графического решения задачи 4 [1]

 

Задача – построить развертки пересекающихся многогранников – прямой призмы с пирамидой. Показать на развертках линию их пересечения.

 

Как отмечалось выше, разверткой многогранной поверхности является плоская фигура, полученная последовательным совмещением с плоскостью чертежа всех ее граней.

В связи с этим, построение развертки многогранной поверхности сводится к определению натуральной величины каждой из отдельных ее граней, ограниченной отрезками прямых.

Для построения натуральной величины граней многогранников – пирамиды ДАВС и призмы ЕКGU (рис. 100), необходимо, прежде всего определить натуральную величину отрезков прямых – ребер каждой из граней этих многогранников.

Ребра основания и боковой поверхности пирамиды ДАВС, за исключением ребра ДС, являются прямыми общего положения.

Для определения натуральной величины прямых общего положения используют различные способы: способ прямоугольного треугольника, способ замены плоскостей проекций, способ вращения вокруг проецирующих прямых или прямых уровня, способ плоскопараллельного перемещения.

Помощь по начертательной геометрии

Выбор того или иного способа определения натуральной величины прямой общего положения зависит прежде всего от трудоемкости выполнения необходимых графических построений и наличия свободного поля чертежа.

В графическом решении рассматриваемой задачи используется способ плоскопараллельного перемещения. Он определяет собой совокупность двух способов преобразования проекционного чертежа: способа замены плоскостей проекций и способа вращения вокруг проецирующих прямых.

На свободном поле чертежа (рис. 100) графического решения задачи 3 ось проекций ОX продолжена вправо. На расстоянии 45 мм от оси проекций ОZ проведена прямая линия, перпендикулярная продолжению оси ОX. Тем самым сохраняется заданная система плоскостей проекций: над продолжением оси ОX располагается фронтальная плоскость проекций, а под горизонтальная плоскость проекций. На новых положениях фронтальной и горизонтальной плоскостей проекций и определяется натуральная величина каждого из ребер или каждой из прямых, принадлежащих поверхности пирамиды ДАВС. Причем натуральную величину отрезков прямых можно определить на каждой из указанных плоскостей проекций.

 

Так, натуральная величина каждого из ребер основания пирамиды – треугольника АВС, представлена на горизонтальной плоскости проекций, а натуральная величина ребер ДВ, ДА и прямых Д9, Д10 боковой поверхности – на фронтальной плоскости проекции.

Для определения натуральной величины ребер АС, АВ и ВС основания пирамиды на новом поле фронтальной плоскости проекций на высоте проекции В2 вершины В, как наиболее удаленной от горизонтальной плоскости проекций, проведена прямая линия , параллельная продолжению оси проекций ОX. На ней отложены длины отрезков А2121, А2121 и В2122 прямых, равных соответственно длинам фронтальных А22, А22 и В22 проекций сторон АС, АВ и ВС треугольника основания пирамиды.

Через точки С21, В21, С22, ограничивающие длины этих отрезков, а также точки 1021 и 921, лежащие на них, проведены линии связи в направлении, перпендикулярном продолжению оси проекций ОX.

На горизонтальной плоскости проекций через горизонтальные А1, В1, С1, 91 и 101 проекции точек проведены линии связи в направлении, параллельном продолжению оси проекций ОX. В пересечении соответствующих линий связи образуются новые горизонтальные А11, В11, С11 и С12 проекции вершин треугольника АВС основания пирамиды.

 

Попарно соединив отрезками прямых новые горизонтальные проекции вершин треугольника АВС, получаем новые горизонтальные
А1111, А1111 и В1112 проекции ребер основания пирамиды, с расположенными на них проекциями точек 9 и 10 .

Проекции А1111, А1111 и В1112 и представляют собой натуральные величины ребер АС, АВ и ВС основания пирамиды .

Подобным способом определены натуральные величины ребер ДВ и ДА боковой поверхности пирамиды, а также натуральные величины прямых Д9 и Д10, лежащих соответственно в гранях ДВС и ДВА.

При этом, с целью рационального использования свободного поля чертежа, определение натуральной величины ребер боковой поверхности пирамиды выполнялось на фронтальной плоскости проекций, расположенной над продолжением оси проекций ОX.

Для этого на свободном поле горизонтальной плоскости проекций проводились линии, параллельные продолжению оси проекций ОX. На каждой из них откладывались отрезки Д112, Д112, Д1-91 и Д1-101, равные по длине соответственно горизонтальным Д11, Д11, Д1-91 и Д1-101 проекциям ребер ДВ, ДА и прямых Д9, Д10, с лежащими на них точками 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Через новые горизонтальные проекции этих точек проводились линии связи в направлении, перпендикулярном продолжению оси проекции ОX.

На фронтальной плоскости проекций через фронтальные Д2, В2, А2, 92 и 102 проекции точек проводились линии связи в направлении, параллельном продолжению оси проекций ОX. В пересечении соответствующих линий связи образуются новые фронтальные Д2, А22, В22, 92 и 102 проекции точек, ограничивающих длины ребер и прямых боковой поверхности пирамиды.

Попарно соединив отрезками прямых новые фронтальные проекции точек, получают новые фронтальные Д222, Д222, Д2-92 , Д2-102 проекции ребер ДВ, ДА и прямых Д9, Д10 боковой поверхности пирамиды с расположенными на них проекциями точек 12, 22, 32, 42, 72, 82.

Указанные новые фронтальные проекции ребер ДВ, ДА и прямых Д9, Д10 боковой поверхности пирамиды и представляют собой их натуральные величины.

Ребро ДС боковой поверхности пирамиды является отрезком горизонтальной прямой уровня, так как фронтальная Д2С2 проекция ребра располагается на чертеже параллельно оси проекции X. Поэтому горизонтальная Д1С1 проекция и представляет собой натуральную длину ребра ДС пирамиды.

В результате выполненных графических построений определены натуральные величины всех ребер и прямых поверхности трехгранной пирамиды. В связи с этим представляется возможность построения развертки пирамиды ДАВС (рис. 101).

Помощь по начертательной геометрии

На листе чертежной бумаги формата А3 выполняют карандашом (твердости Т или 2Т) тонкими линиями рамки формата и чертежа, расположив длинную сторону формата горизонтально. В правом нижнем углу поля чертежа выполняют рамку основной надписи.

В левой стороне поля чертежа отмечают положение вершины Д пирамиды и приступают к построению развертки и нанесению линии пересечения с призмой, используя рекомендации, изложенные в параграфе «Построение развёрток пирамидальных поверхностей».

Построение развёртки поверхности пирамиды можно начинать с любой из её граней. В рассматриваемом примере графического решения задачи построение развёртки пирамиды выполнялось с грани ДАБ. С целью рационального расположения развёрток пирамиды и призмы на поле чертежа целесообразно выполнить эти графические построения предварительно на черновике.

Для построения развертки призмы EKGU не требуется определять натуральные величины ребер и прямых ее поверхности. Это объясняется тем, что по условию задачи четырехгранная призма EKGU является прямой. Нижнее основание призмы располагается непосредственно в горизонтальной плоскости проекций, а верхнее основание – параллельно нижнему. Поэтому на чертеже горизонтальные проекции нижнего и верхнего оснований не только совпадают, но и представляют собой их натуральные величины.

Горизонтальные E1, K1, G1 и U1 проекции вершин четырёхугольника основания призмы представляют собой горизонтальные проекции ребер её боковой поверхности, которые по отношению к горизонтальной плоскости проекций являются проецирующими.

На горизонтальной плоскости проекций имеются также натуральные величины расстояний вершин четырёхугольника оснований до образующих боковой поверхности призмы, на которых располагаются точки взаимного пересечения заданных многогранников.

Натуральные величины расстояний точек 1…6 пересечения рёбер ДВ, ДА и ДС пирамиды с гранями боковой поверхности призмы и точек 7, 8 пересечения ребра Е призмы с гранями ДВС и ДВА пирамиды по высоте от нижнего или верхнего оснований призмы измеряют непосредственно на фронтальной плоскости проекций. И так как нижнее и верхнее основания призмы представляют собой по сути дела натуральную величину её нормального сечения, то построение развертки призмы выполняют способом раскатки (см. параграф «Построение развертки призматической поверхности способом раскатки»).

На развертку поверхности призмы наносят положения точек пересечения рёбер пирамиды с гранями призмы и положения точек пересечения ребра Е призмы с гранями пирамиды. Попарно соединив отрезками прямых точки пересечения, принадлежащие одной и той же грани призмы, получают на развертке линию пересечения призмы EKGU с пирамидой ДАВС.

После выполнения рассмотренных графических построений приступают к окончательной обводке линий чертежа. При этом сплошные толстые линии выполняют мягкими карандашами (твердостью М и 2М), выдерживая толщину этих линий равной 0,8…1,2 мм. Тонкие линии вспомогательных построений на чертеже должны быть сохранены.

Все цифровые и буквенные обозначения выполняются стандартным (ГОСТ 2.304-81) чертежным шрифтом размера: 3,5; 5 или 7 мм.

 

 

Теоретические основы и практика графического решения задач пересечения поверхностей вращения с прямой и плоскостью

 

 

Способы образования и задания на чертеже поверхностей вращения

 

Поверхности вращения (рис. 102) – цилиндрические, конические, сферические и другие – являются принадлежностью большого количества деталей машин и приборов самых разнообразных устройств, механизмов и изделий.

Помощь по начертательной геометрии

Это объясняется, с одной стороны, довольно широким распространением вращательного движения в технике и, с другой стороны, сравнительной простотой обработки поверхностей вращения на токарных и круглошлифовальных станках.

Поверхностью вращения называется такая поверхность, которая образуется при вращении какой-либо прямолинейной или криволинейной образующей вокруг неподвижной прямой линии – оси (рис. 103, а).

Проекциями образующей, например, плоскости кривой m, и оси вращения i поверхность вращения может быть задана на чертеже.

Для удобства построения чертежей ось вращения i обычно располагается перпендикулярно какой-либо плоскости проекций. В рассматриваемом примере ось вращения i (i2, i1) расположена перпенди-кулярно горизонтальной П1 плоскости проекций, а криволинейная образующая m (m2, m1) расположена своей плоскостью параллельно фронтальной П2 плоскости проекций.

Однако такой способ задания на чертеже поверхности вращения не дает полного представления о её конфигурации (очертании). Вместе с тем, зная характер движения образующей m относительно оси i, представляется возможным построение проекций очерков заданной поверхности вращения на фронтальную П2 и горизонтальную П1 плоскости проекций.

Известно, что любая образующая – прямая или кривая линия – представляет собой некоторую совокупность множества точек. При вращении образующей вокруг оси каждая из точек этого множества будет совершать движение по окружности, плоскость которой располагается перпендикулярно оси вращения. Окружность, по которой каждая из точек образующей поверхности вращается вокруг оси, называют параллелью поверхности вращения. Наибольшую параллель называют экватором. Каждая точка поверхности имеет свою параллель.

Помощь по начертательной геометрии

Выделим на чертеже (рис. 103, б) некоторые из точек криволинейной образующей m. Например, точки А (А2, А1) и В (В2, В1), ограничивающие криволинейную образующую на высоте относительно горизонтальной П1 плоскости проекций, и точки 1 (12, 11), 2 (22, 21), имеющие соответственно наименьший и наибольший радиусы вращения вокруг оси i.

Траектории вращения точек А, В, 1 и 2 представляют собой окружности (параллели) (рис. 104, а), центры которых располагаются на оси вращения i. В связи с тем, что ось вращения поверхности расположена на чертеже перпендикулярно горизонтальной П1 плоскости проекций, то параллели точек А, В, 1 и 2 располагаются на чертеже следующим образом:

- фронтальные проекции параллелей – точки А (А22), точки
В (В22), точки 1 (12-12) и точки 2 (22-22) представляют собой прямые линии, расположенные перпендикулярно проекции
i1 оси вращения;

- горизонтальные проекции параллелей этих же точек представляют собой окружности, центры которых совпадают с проекцией i1 оси вращения.

И так как плоскости окружностей – параллелей точек располагаются перпендикулярно оси вращения, а последняя в свою очередь расположена на чертеже перпендикулярно горизонтальной П1 плоскости проекций, то параллели всех точек образующей m проецируются на горизонтальную плоскость проекций без искажения – в натуральную величину и определяют сочетание поверхности вращения на этой плоскости проекций.

Отсюда следует вывод о том, что проекции параллелей определяют очертание поверхности вращения на той плоскости проекций, которая перпендикулярна оси вращения.

Помощь по начертательной геометрии

Если теперь на чертеже соединить плавной кривой линией крайние правые точки фронтальных проекций параллелей, например, точки и другие из множества точек, принадлежащих образующей m поверхности, то получим новую m2 проекцию образующей m вращения (рис. 104, б). Это будет соответствовать повороту в пространстве заданной образующей m поверхности на угол, равный 180°.

С другой стороны, подобное очертание поверхности вращения получается при рассечении её плоскостью, проходящей через ось i и расположенной параллельно фронтальной П2 плоскости проекций.Сечение поверхности вращения плоскостью, проходящей через её ось, называется меридианом, а секущая плоскость – меридиональной.

Поверхность вращения симметрична относительно любой меридиональной плоскости, а все меридианы поверхности равны между собой. Через точку, лежащую на поверхности вращения, можно провести только один меридиан.Если же меридиональная плоскость параллельна плоскости проекций, то она называется главной меридиональной плоскостью, а сечение поверхности вращения этой плоскостью – главным меридианом.

Проекция главного меридиана определяет очертание (контур) поверхности вращения на той плоскости проекций которой параллельна ось вращения.Плоскости главного меридиана и экватора определяют видимость точек поверхности вращения на соответствующих плоскостях проекций.Следовательно, любая поверхность вращения может быть задана на чертеже не только проекциями её образующей и оси вращения, но и проекциями главного меридиана и параллелей (рис. 105, б). Сопоставляя очертания (контуры) поверхности вращения на плоскостях проекций, не трудно представить (риc. 105, б) и наглядное изображение фигуры в пространстве.

Рассмотрим пример образования поверхности вращения с использованием в качестве образующей прямой линии (рис. 106, а), которая в пространстве располагается так, что она не параллельна и не пересекается с осью вращения, то есть является по отношению к ней скрещивающейся прямой.

По-прежнему ось вращения i (i2, i1) поверхности располагается перпендикулярно горизонтальной П1 плоскости проекций. На чертеже образующая – прямая П – ограничена отрезком А-В.

При вращении отрезка А-В (рис. 106, б) вокруг оси i траектории движения точек А (А2, А1) и В (В2, В1) представляют собой окружности – параллели, проецирующиеся на горизонтальную П1 плоскость проекций в натуральную величину.

На чертеже горизонтальные проекции параллелей точек А и В совпадают. Это означает, что радиусы параллелей этих точек одинаковые – равны между собой.

Фронтальные проекции параллелей точек А и В представляют собой прямые линии, проходящие через точки А2 и В2 в направлении, перпендикулярном проекции i2 оси вращения, и должны соответствовать натуральной величине диаметров параллелей этих точек.

Для определения их размеров отмечаем на горизонтальной плоскости проекции точек Помощь по начертательной геометрии пересечения параллельных точек А и В со следом главной меридиональной плоскости поверхности. Затем при помощи линий связи, проведённых через эти точки, находим положения их

Помощь по начертательной геометрии

Помощь по начертательной геометрии

проекций на соответствующих фронтальных проекциях параллелей точек А и В.

Отрезки и представляют собой фронтальные проекции параллельных точек А и В, равные по своим значениям натуральной величине их диаметров.

Рассматривая на чертеже (рис. 107, а) горизонтальную А1–В1 проекцию отрезка А-В, нетрудно установить, что среди множества точек образующей имеется только одна точка с минимальным радиусом параллели. Для определения положения горизонтальной проекции этой точки достаточно из точки i1 опустить перпендикуляр на прямую А1–В1. Это построение выполнено на том основании, что параллель любой точки образующей А–В проецируется на горизонтальную плоскость проекций в натуральную величину.

Помощь по начертательной геометрии

 

Основание этого перпендикуляра – точка С1 и есть горизонтальная проекция точки С отрезка А-В с минимальным радиусом параллели.

Теперь раствором циркуля, равным отрезку i1-C1, проведем эту параллель и отметим точки 1 и 1 пересечения параллели со следом меридиональной плоскости поверхности.

Для построения фронтальной 2-2 проекции этой параллели вначале, на основании признака принадлежности точки С отрезку А-В, строим ее фронтальную С2 проекцию и проводим через неё прямую в направлении, перпендикулярном проекции i2 оси вращения, а затем при помощи линий связи, проведенных через точки 1, 1 до пересечения с этой прямой, определяем их расположение на фронтальной плоскости проекций. Получаем точки 2 и 2.

Отрезок 2-2 и есть фронтальная проекция параллели точки С отрезка А-В с минимальным радиусом вращения.

На рис. 107, б представлено наглядное изображение отрезка А-В и параллелей его точек А, В, С.

Подобным образом (рис. 108, а) можно построить на горизонтальной и фронтальной плоскостях проекций параллелей некоторого множества точек отрезка А-В образующей.

Помощь по начертательной геометрии

При этом необходимо обратить внимание на то, что главная меридиональная плоскость определяет видимость проекций точек отрезка А-В на фронтальной плоскости проекций. Точкой же видимости проекций А22 отрезка образующей является точка пересечения горизонтальной проекции А11 со следом главной меридиональной плоскости – точка Д1.

На основании признака принадлежности точки Д отрезку А-В построена на чертеже её фронтальная Д2 проекция.

Если теперь (рис. 108, б) соединить плавной кривой линией крайние правые и крайние левые точки фронтальных проекций параллелей этого множества, то получим очертание (проекцию контура) главного меридиана поверхности вращения, представляющего собой гиперболу.

В связи с этим поверхность, полученная вращением скрещивающейся прямой – образующей вокруг неподвижной оси, называется однополостным гиперболоидом вращения.

На рис. 109, а представлено наглядное изображение – прямоугольная диметрическая проекция однополостного гиперболоида вращения.

При использовании в качестве образующей поверхности вращения прямой (рис. 109, б), расположенной в пространстве параллельно оси вращения, образуется цилиндр вращения. Каждая из точек образующей, например, точки А, С, В прямой m, совершают вращательное движение вокруг оси i. Траектории их движения представляют собой окружности – параллели, плоскости которых перпендикулярны оси вращения. Если ось вращения цилиндра перпендикулярна какой-либо плоскости проекций, он называется прямым, а его поверхность является проецирующей.

Помощь по начертательной геометрии

На комплексном чертеже (рис. 110) цилиндр вращения задан проекциями своего контура на фронтальной и горизонтальной плоскостях проекций. В нашем примере главный меридиан прямого цилиндра вращения представляет собой прямоугольник, а горизонтальная проекция – окружность, являющуюся геометрическим местом горизонтальных проекций параллелей точек образующей поверхности.

Коническая поверхность вращения – конус вращения (рис. 111, а) образуется вращением прямолинейной образующей, пересекающейся с осью вращения в постоянной точке. При заданном на чертеже (рис. 111, б) расположении оси вращения конус вращения называется прямым.

Главным меридианом такого конуса является треугольник, вторая проекция его представляет собой проекцию окружности основания.

Помощь по начертательной геометрии

Широкое распространение получило использование в качестве криволинейных образующих поверхностей вращения плоских кривых линий (рис. 112, а), в частности, окружностей и их дуг, эллипсов, парабол, гипербол.

Вращением окружности вокруг оси, проходящей через её центр, образуется сферическая поверхность вращения – сфера. На комплексном чертеже (рис. 112, б) сфера задается проекциями двух окружностей равного диаметра.

Помощь по начертательной геометрии

Помощь по начертательной геометрии

Вращением окружности (рис. 113) вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности, но не проходящей через её центр, образуется тор. При этом, если ось вращения проходит так, как показано на чертеже, вне окружности, тор называется кольцом.

На чертеже (рис. 114) изображена поверхность, образующей которой является дуга окружности радиуса R. Такая поверхность вращения называется глобоидом.

Помощь по начертательной геометрии

Вращением параболы (рис. 115, а) вокруг её оси образуется поверхность, которая называется параболоидом вращения. Параболоид вращения используется в качестве отражающей поверхности в прожекторах и фарах автомобилей для получения параллельного светового пучка.

При вращении эллипса (рис. 115, б, в) вокруг одной из его осей – большей или меньшей, образуется эллипсоид вращения.

Если осью вращения является большая ось эллипса (рис. 115, б), то эллипсоид вращения называется вытянутым, а если меньшая ось
(рис. 115, в), то эллипсоид вращения называется сжатым или сфероидом. В частности, земной шар по форме близок к сфероиду.

Использованием в качестве образующей поверхности вращения плоской кривой линии – гиперболы получают гиперболоид вращения (рис. 116). При этом различают: однополостный и двуполостный гиперболоиды вращения.

Вращение гиперболы вокруг её мнимой оси (рис. 116, а) образуется однополостный гиперболоид вращения. На наглядном изображении помимо гиперболоида показан его асимптотический конус вращения, образованный вращением асимптот гиперболы, являющихся образующими гиперболы. Во внешней части этого конуса и расположен однополостный гиперболоид вращения.

Помощь по начертательной геометрии

Двуполостный гиперболоид вращения (рис. 116, б) образуется вращением гиперболы вокруг её действительной оси. На наглядном изображении действительная ось гиперболоида расположена перпендикулярно горизонтальной плоскости проекций. При вращении асимптот гиперболы вокруг действительной оси получают асимптотический конус вращения, во внутренней части которого и расположен двуполостный гиперболоид вращения.

В качестве образующих поверхности вращения могут быть использованы не только плоские, но и любые пространственные кривые линии.

Рассматривая в целом особенности образования и задания на чертеже поверхностей вращения, можно сделать вывод о том, что меридианы и параллели составляют каркас поверхности вращения
(рис. 117), то есть представляют собой множество линий, заполняющих поверхность вращения так, что через каждую точку этой поверхности в общем случае проходит только одна линия этого множества.

 

Это положение позволяет сформулировать признак принадлежности точки поверхности вращения: если точка принадлежит поверхности вращения, то через неё можно провести только одну параллель и только один меридиан.

 

Принадлежность точки поверхности вращения

 

Рассмотрим этот вопрос применительно к построению на чертежах недостающих проекций точек, расположенных на поверхностях вращения (рис. 118). При этом необходимо иметь в виду, что точки, принадлежащие поверхности вращения, располагаются только на наружных поверхностях фигур.

Помощь по начертательной геометрии

Исходя из ранее сформулированного признака принадлежности точки поверхности вращения, через точку А, лежащую, например, на наружной поверхности прямого конуса вращения, можно провести только один меридиан или только одну параллель. На проекциях этих линий и должны располагаться соответствующие проекции точки поверхности вращения.

Для поверхностей, образованных вращением прямолинейной образующей (иначе их ещё называют линейчатыми поверхностями вращения), можно установить и другой признак принадлежности точки. Он состоит в том, что через точку, лежащую на линейчатой поверхности, можно провести только одну прямолинейную образующую, например, прямую l.

Исключение из этого положения составляет линейчатая поверхность однополостного гиперболоида вращения – через точку, лежащую на его поверхности, можно провести две прямолинейные образующие.

Однако для конических и цилиндрических поверхностей вращения это положение довольно часто используется для построения на чертежах этих поверхностей недостающих проекций точек.

На чертеже (рис. 119, а) заданы положения фронтальных А2 и В2 проекций точек А и В, принадлежащих цилиндру вращения.

Анализируя расположение проекций точек А и В на фронтальной П2 плоскости проекций, приходим к выводу о том, что точка А находится на видимой по отношению к плоскости П2 части поверхности цилиндра, а точка В – на невидимой, так как её фронтальная В2 проекция заключена в круглые скобки.

Помощь по начертательной геометрии

Вспомним о том, что по отношению к фронтальной плоскости проекций поверхность вращения делится главной меридиональной плоскостью на две части: видимую и невидимую.

На чертеже горизонтальный след этой плоскости мысленно можно провести через проекцию i1 оси вращения параллельно оси проекций Х. То есть горизонтальный след плоскости главного меридиана совпадает с осью симметрии, параллельной оси проекций Х, окружности, являющейся горизонтальной проекцией прямого цилиндра вращения.

Следовательно, горизонтальные проекции точек А и В должны быть расположены соответственно на видимой и невидимой частях окружности – горизонтальной проекции цилиндра.

С другой стороны, на чертеже ось вращения цилиндра перпендикулярна одной из плоскостей проекций. Это означает, что цилиндрическая поверхность является проецирующей. И так как в рассматриваемом примере она является горизонтально-проецирующей поверхностью, то горизонтальная проекция прямолинейной образующей m, проведенной через любую точку поверхности, например, точку А или точку В (рис. 119, б), будет располагаться только на горизонтальной проекции прямого цилиндра – окружности, соответственно на видимой или невидимой её частях.

Исходя из проведённого анализа расположения цилиндра вращения относительно заданной системы плоскостей проекций и обозначения на чертеже видимости фронтальных проекций точек А и В, также на основании положения о том, что через точку, расположенную на поверхности цилиндра вращения, можно провести только одну образующую, проводим на фронтальной плоскости проекций через точки А2 и В2 прямые линии, параллельные проекции i2 оси вращения. Эти прямые 2А и 2B и представляют собой фронтальные проекции образующей m поверхности цилиндра вращения, проходящей соответственно через точки А и В.

При помощи линий связи, проведённых в направлении горизонтальной П1 плоскости проекций, определяем положение горизонтальной проекции образующей 1A, проходящей через точку А, на видимой части окружности и на невидимой 1B – для образующей, проходящей через точку В.

Так как образующая поверхности является горизонтально-проецирующей прямой, то с горизонтальными проекциями 1А и 1B образующей совпадают и горизонтальные А1 и В1 проекции точек А и В (рис. 119, в).

В связи с тем, что заданная на чертеже цилиндрическая поверхность вращения является горизонтально-проецирующей, задачу на построение фронтальной проекции какой-либо точки по заданной её горизонтальной проекции решить невозможно, так как горизонтальная проекция образующей поверхности представляет собой геометрическое место множества конкурирующих точек этой прямой.

На рис. 120, а представлены чертеж прямого конуса вращения и фронтальная проекция точки С, принадлежащей его поверхности. Так как фронтальная С2 проекция точки не заключена в круглые скобки, становится очевидным, что точка С располагается на видимой по отношению к П2 части конической поверхности, то есть находится между главной меридиональной плоскостью и наблюдателем.

Для определения положения на чертеже горизонтальной проекции точки (рис. 120, б) на фронтальной плоскости проекций через вершину конуса и точку С2 проведена прямая и отмечена точка I2 пересечения её с основанием конуса. Прямая I2-S2 представляет собой проекцию образующей l конической поверхности, проходящей через точку С. Затем (рис. 120, в) при помощи линии связи, проведённой через точку I2 в направлении горизонтальной плоскости проекций, определяют положение проекции I1 точки, расположенной на видимой части основания конуса.

Соединив точку I1 с проекцией S1 вершины конуса (рис. 120, г), совпадающей с проекцией i1 оси вращения, получают горизонтальную I1-S1 проекцию образующей, проходящей через точку С.

Помощь по начертательной геометрии

Теперь на основании признака принадлежности точки С образующей конической поверхности – прямой I-S (рис. 120, д), определяют с помощью линии связи положение горизонтальной С1 проекции точки С.

И так как проекции точки С (С2, С1) располагаются на соответству-ющих проекциях образующей I-S конической поверхности, то вполне очевидным будет утверждение о принадлежности точки С заданной на чертеже поверхности прямого конуса вращения.

На рис. 120, е представлено наглядное изображение рассмотренной выше последовательности построения горизонтальной проекции точки С, принадлежащей конической поверхности, с помощью её образующей. В аналогичной последовательности осуществляется процесс построения фронтальной проекции точки конуса вращения (рис. 121, а) по заданной её горизонтальной проекции.

Помощь по начертательной геометрии

Теперь уже на горизонтальной П1 плоскости проекций (рис. 121, б) через точку В1 проводят прямую I1-S1, представляющую собой горизонтальную проекцию образующей конической поверхности, проходящей через точку В. Затем (рис. 121, в) строят фронтальную I2-S2 проекцию этой образующей, расположенной на видимой части поверхности конуса, и с помощью линии связи, проведённой через точку В1 в направлении фронтальной плоскости проекций, в месте пересечения с проекцией I2-S2 образующей определяют положение точки В2, являющейся второй проекцией точки В, принадлежащей поверхности прямого конуса вращения.

Для построения недостающих проекций точек (рис. 122, а), принадлежащих поверхности вращения, можно воспользоваться и тем положением, что через точку поверхности вращения можно провести только одну параллель (рис. 122, б). Для этого через фронтальную А2 проекцию точки, принадлежащей поверхности прямого конуса вращения и расположенной на видимой части его поверхности, проводят прямую линию в направлении, перпендикулярном проекции i2 оси вращения. Отрезок этой прямой, ограниченный главным меридианом поверхности вращения, представляет собой фронтальную проекцию параллели точки А. Причём длина этого отрезка равна натуральной величине диаметра окружности параллели. Осью вращения этот отрезок делится пополам и равен, соответственно, натуральной величине радиуса окружности параллели. На основании этого положения строят горизонтальную проекцию параллели точки А.

Помощь по начертательной геометрии

Затем (рис. 122, в) через проекцию А2 проводят линию связи до пересечения с горизонтальной проекцией параллели, расположенной на видимой части поверхности конуса.

Получают недостающую – горизонтальную А1 проекцию точки А, принадлежащей поверхности прямого конуса вращения.

На рис. 122, г представлено наглядное изображение рассмотренной выше последовательности построения недостающей проекции точки, принадлежащей конической поверхности вращения, с помощью ее параллели.

Помощь по начертательной геометрии

Рассмотренный пример построения недостающей проекции точки с помощью её параллели является иллюстрацией эпюрного признака принадлежности точки поверхности вращения: проекции точки располагаются на соответствующих проекциях её параллели.

На рис. 123 представлена последовательность построения на чертеже сферической поверхности недостающей – горизонтальной проекции точки В, принадлежащей этой поверхности.

Помощь по начертательной геометрии

Вначале следует остановиться на рассмотрении вопроса о видимости точек, расположенных на сфере, относительно заданной системы плоскостей проекций. Вспомним установленное ранее положение о том, что плоскость экватора поверхности, то есть параллели с наибольшим радиусом вращения, определяет видимость проекций точек на горизонтальной плоскости проекций, а главная меридиональная плоскость поверхности определяет видимость проекций точек на фронтальной плоскости проекций.

На чертеже (рис. 123, а) фронтальная В2 проекция точки не заключена в круглые скобки, то есть фронтальная проекция точки является видимой. Это значит, что точка В находится на той части поверхности сферы, которая располагается перед главной меридиональной плоскостью.

С другой стороны, фронтальная В2 проекция точки располагается на чертеже над плоскостью экватора сферы, а поэтому ее горизонтальная проекция должна быть видимой, и, как это было установлено выше, должна находиться перед главной меридиональной плоскостью.

Теперь (рис. 123, б) строят вначале фронтальную проекцию параллели точки В, а затем (рис. 123, в) и ее горизонтальную проекцию.

При помощи линии связи (рис. 123, г), проведенной через проекцию В2 точки, определяют положение ее горизонтальной В1 проекции.

Помощь по начертательной геометрии

На рис. 123, д представлено наглядное изображение рассмотренной выше последовательности построения недостающей проекции точки, принадлежащей сферической поверхности, с помощью ее параллели.

На рис. 124, а, б, в показана последовательность построения на чертеже сферы недостающей, теперь уже фронтальной, проекции точки А.

Таким образом, представленные выше примеры построения недостающих проекций точек, расположенных на поверхностях вращения, подтверждают вывод о том, что установленный при рассмотрении особенностей образования поверхностей вращения эпюрный признак принадлежности точек поверхности позволяет однозначно определять на чертежах положения их проекций. Выбор того или иного способа построения проекций точек, принадлежащих поверхностям вращения, определяется в основном трудоемкостью или точностью выполнения графических построений.

Учитывая особую важность эпюрного признака принадлежности точки поверхности для изучения последующих вопросов темы «Поверхности вращения», напомним его еще раз: проекции точки, принадлежащей поверхности вращения, должны обязательно располагаться на одноименных проекциях – образующей, меридиана или параллели, проходящих через эту точку.

Помощь по начертательной геометрии

 

Пересечение поверхностей вращения с плоскостью.

Общие положения

 

Аналогично тому, как при пересечении многогранника с плоскостью (рис. 125) в сечении получается плоская геометрическая фигура, так и линия пересечения поверхности вращения с плоскостью представляет собой в общем случае плоскую геометрическую фигуру, но теперь уже кривую линию. Ее можно рассматривать как геометрическое место точек пересечения таких линий поверхности вращения, как прямолинейные образующие, меридианы или параллели с секущей плоскостью.

Помощь по начертательной геометрии

 

Для построения на чертеже проекций кривой пересечения вначале находят положения отдельных ее точек и затем, соединяя одноименные проекции точек плавными кривыми (обычно по лекалу), получают проекции искомой линии.

Среди точек кривой пересечения, например, прямого конуса вращения с плоскостью общего положения, представленных на рис. 125, имеются такие точки, которые либо выделяются своим особым расположением по отношению к плоскостям проекции и наблюдателю, либо занимают особые места на поверхности вращения. Такие точки кривой пересечения называют опорными. К ним относятся так называемые экстремальные точки и точки видимости. Экстремальными точками являются такие точки линии пересечения, о которых обычно говорят, что они – самые, самые. Самая высшая (например, точка 3) и самая низшая (точка 1), а также самая дальняя (например, точка 2) и самая ближняя (точка 5), самая левая и самая правая точки по отношению к наблюдателю, расположенному лицом к фронтальной плоскости проекций. Точки видимости (например, точки 2 и 4) разграничивают проекции линии пересечения на видимую и невидимую части по отношению к той или иной плоскости проекций. Остальные точки кривой пересечения называются произвольными.

Если все произвольные точки кривой пересечения могут быть найдены одним общим приемом, рассмотренным ниже, то для нахождения положения опорных точек приходится для каждой из них искать свой особый прием построения, зависящий не только от вида самой поверхности вращения, но и от расположения поверхности и секущей плоскости друг относительно друга и плоскостей проекций.

Рассмотрим некоторые особенности построения опорных и произвольных точек кривой сечения на примере пересечения прямого конуса вращения с плоскостью общего положения (рис. 126, а).

Помощь по начертательной геометрии

На чертеже секущая плоскость å (сигма) задана следами: фронтальным – å2 и горизонтальным – å1. Это – один из способов задания плоскости на чертежах. Вспомним, что следом плоскости называется прямая линия, которая получается при пересечении заданной плоскости с какой-либо плоскостью проекций. И так как на чертеже оба следа плоскости располагаются под некоторым углом к оси проекции Х, то плоскость представляет собой плоскость общего положения. А поэтому кривая пересечения спроецируется на обе плоскости проекции: фронтальную и горизонтальную – в искаженном виде.

Анализ взаимного расположения заданных фигур и их расположения относительно плоскостей проекций позволяет установить на чертеже положения проекций самых низших точек кривой пересечения (рис. 126, б).

Обратите внимание на то, что фронтальная проекция основания конуса располагается непосредственно на оси проекции Х. Это значит, что основание конуса – окружность – не только лежит в горизонтальной плоскости проекции, но и пересекается со следом Σ1 секущей плоскости в точках А1 и В1. Фронтальные А2 и В2 проекции точек располагаются на оси проекций Х. На этом основании можно сделать вывод о том, что точки
А (А1, А2) и В (В1, В2) являются самыми низшими точками кривой пересечения.

Вместе с тем, рассматривая расположение горизонтальных проекций точек А и В на чертеже, устанавливаем, что точка В является, кроме того, самой близкой к наблюдателю точкой, располагающейся на видимой части поверхности конуса. Поэтому ее фронтальная проекция будет видимой, а проекция точки А2 – невидимой. Таким образом, одна и та же точка кривой пересечения в некоторых случаях может быть, с одной стороны, самой низшей, а с другой – самой близкой.

Естественно предположить, что если кривая пересечения имеет самые низшие точки, то должна же быть и самая высокая точка. Как определит ее положение на чертеже? Опять-таки на основании анализа расположения на чертеже проекций заданных геометрических фигур.

Секущая плоскость Σ (сигма) является плоскостью общего положения. Она определенным образом наклонена к горизонтальной плоскости проекций и по отношению к наблюдателю является восходящей. Поэтому самая высшая точка кривой пересечения фигур, как принадлежащая секущей плоскости, должна находиться, с одной стороны, на линии наибольшего наклона плоскости Σ к горизонтальной плоскости проекции. А эта линия заданной секущей плоскости располагается перпендикулярно горизонтальному Σ1 ее следу. С другой стороны, самая высшая точка кривой пересечения принадлежит и конической поверхности, и поэтому должна располагаться на одном из меридианов. А что такое меридиан? Это есть сечение поверхности вращения плоскостью, проходящей через ось вращения.

При заданном на чертеже расположении оси вращения конуса эта плоскость является горизонтально-проецирующей. Значит, след меридиональной плоскости, в которой находится самая высшая точка кривой пересечения фигур, должен расположиться на чертеже обязательно перпендикулярно горизонтальному Σ1 следу секущей плоскости.

Помощь по начертательной геометрии

Для определения конкретного положения на чертеже проекций точки видимости кривой пересечения воспользуемся вспомогательной секущей плоскостью, которая по сути дела является как бы продолжением главной меридиональной плоскости конуса. На чертеже эта вспомогательная секущая плоскость обозначена своим горизонтальным λ1 (лямбда – 1) следом.

В пересечении вспомогательной фронтальной плоскости λ с плоскостью Σ образуется фронтальная прямая m с проекциями m1 и m2. Линия пересечения плоскости λ (лямбда) с конусом есть не что иное, как его главный меридиан, фронтальной проекцией которого является треугольник, с одной из сторон которого в точке Д2 пересекается прямая m2. Горизонтальная Д1 проекция располагается на следе λ1.

Точка Д (Д1, Д2) принадлежит секущей плоскости Σ и прямому конусу вращения. И так как проекция точки Д располагается на соответствующих проекциях главного меридиана поверхности вращения, она является следующей искомой точкой кривой пересечения, а именно – точкой видимости.

Таким образом, посредством выполнения определенных приемов, обусловленных изображением геометрических фигур на чертеже, удалось выявить положения проекций основных опорных точек кривой пересечения.

Для определения положения на чертеже проекций произвольных точек кривой пересечения используют известный способ вспомогательных секущих плоскостей.

Сущность его, применительно к рассматриваемому примеру – пересечению конической поверхности с плоскостью общего положения, состоит в том, что заданная плоскость и поверхность вращения пересекаются одной вспомогательной секущей плоскостью, чаще всего проецирующей или плоскостью уровня. Однако в некоторых случаях в качестве секущей плоскости может быть использована и плоскость общего положения.

Выбор вида и положения на чертеже вспомогательной секущей плоскости определяется условием: в пересечении поверхностей вращения с этой плоскостью должны получаться простые геометрические линии – прямые или окружности. Это условие относится непосредственно только к поверхностям вращения, так как плоскости пересекаются друг с другом в любом случае по прямой. Важно при этом, чтобы окружности сечения – параллели – проецировались бы на одну из плоскостей проекций в натуральную величину.

Для рассматриваемого примера (рис. 126, г) указанным выше условиям отвечает горизонтальная секущая плоскость, заданная на чертеже своим фронтальным T21 (тау) следом, расположенным параллельно оси проекции Х.

Именно в сечении прямого конуса вращения этой плоскостью образуется плоская геометрическая линия – окружность, представляющая собой параллель конической поверхности, так как ось вращения конуса перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций.

Можно было бы использовать в качестве вспомогательной секущей плоскости либо горизонтально-проецирующую плоскость, проходящую через ось вращения конуса, то есть конкурирующую с меридиональной плоскостью конической поверхности, либо плоскость общего положения, проходящую через вершину конуса. В сечении конуса каждой из указанных плоскостей также образуются простые геометрические фигуры – треугольники. Однако применение таких вспомогательных секущих плоскостей несколько увеличивает трудоемкость выполнения графических построений.

При пересечении вспомогательной секущей плоскости Т (τ - тау) с плоскостью Σ (сигма) образуется прямая частного положения, а именно – горизонтальная прямая. Это обстоятельство также имеет весьма существенное значение для уменьшения трудоемкости графических построений, так как проекции прямых уровня в плоскостях общего положения, заданных на чертеже следами, очень легко строить – горизонтальная проекция горизонтальной прямой плоскости Σ, например, должна располагаться параллельно ее горизонтальному Σ1 следу.

На фронтальной плоскости проекций между точкой С2 – самой высшей точкой и точками А2 и В2 – самыми низшими проекциями точек кривой пересечения проводят след – Τ21 первой вспомогательной горизонтальной секущей плоскости. И строят горизонтальные проекции линий сечения фигур плоскостью Т (тау), представляющие собой: окружность – горизонтальную проекцию параллели конической поверхности и прямую n1 – проекцию горизонтальной прямой n плоскости.

Рассматривают их взаимное расположение и устанавливают, что горизонтальная проекция параллели конуса – окружность и прямая n1 пересекаются в точках Е1 и F1. Фронтальные проекции этих точек: Е2 и F2 находят на следе Τ21 секущей плоскости.

На основании того, что проекции точек F (F1, F2) и Е (Е1, Е2) располагаются на соответствующих проекциях прямой n (n1, n2), принадлежащей плоскости Σ, и проекциях параллели конуса, делают вывод о том, что точки E и F принадлежат одновременно плоскости Σ, и поверхности конуса вращения. А это значит, что точки E и F принадлежат кривой пересечения прямого конуса вращения с плоскостью общего положения.

Подобным образом (рис. 126, д) определяют положения на чертеже ещё двух произвольных точек N (N1, N2 ) и М (М1, М2) кривой пересечения с помощью всё той же вспомогательной горизонтальной секущей плоскости Т (тау), но теперь уже проведённой несколько ниже фронтальных проекций точек F2 и Е2.

С помощью способа вспомогательной секущей плоскости можно определить положения на чертеже проекций некоторого множества произвольных точек кривой пересечения. Соединив затем плавной кривой линией по лекалу одноимённые проекции точек с учётом видимости их на чертеже, получают (рис. 126, е) фронтальную и горизонтальную проекции кривой пересечения прямого конуса вращения с плоскостью Σ общего положения.

На рис. 127 представлено наглядное изображение – прямоугольная изометрия заданных на чертеже фигур: прямого конуса вращения и секущей плоскости общего положения, а также кривая линия, полученная в результате их взаимного пересечения. На кривой обозначены положения её опорных и произвольных точек.

Таким образом, рассмотренный пример построения на чертеже проекций кривой пересечения поверхности вращения с плоскостью общего положения свидетельствует о значительной трудоемкости выполненных при этом графических построений.

Помощь по начертательной геометрии

Вместе с тем трудоёмкость решения подобной задачи удаётся значительно сократить преобразованием секущей плоскости общего положения в проецирующую или плоскость уровня. Это объясняется тем, что в случае использования в качестве секущей плоскости проецирующей или плоскости уровня, на чертеже всегда имеется одна из проекций кривой пересечения этой плоскости с поверхностью вращения. Тогда использование способа вспомогательных секущих плоскостей для определения положения проекций произвольных точек кривой пересечения вовсе отпадает, так как построение второй проекции кривой пересечения по сути дела сводится лишь к построению недостающих проекций её точек. Выполнение же этих построений на основании эпюрного признака принадлежности точки поверхности вращения не вызывает особых затруднений. Значительно упрощается при этом и решение такой сложной задачи, как определение положения на чертеже опорных точек кривой пересечения: экстремальных и точек видимости.

Рассмотрим конкретные примеры построения проекций линий пересечения поверхностей вращения с секущими плоскостями частного положения: проецирующими или плоскостями уровня.

 

 

Пересечение поверхностей вращения с плоскостями частного положения

 

На рис. 128, а представлен чертеж прямого цилиндра вращения, который пересекается горизонтальной секущей плоскостью Т (тау). На чертеже секущая плоскость задана фронтальным Т2 следом, расположенным перпендикулярно фронтальной i2 проекции оси вращения цилиндра. В результате этого в сечении образуется параллель цилиндрической поверхности, а так как ось вращения цилиндра перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций, то горизонтальная проекция параллели – окружность – совпадает с горизонтальной проекцией контура цилиндрической поверхности.

Таким образом, линия пересечения цилиндра плоскостью, расположенной перпендикулярно оси его вращения, представляет собой окружность.

На чертеже (рис. 129) тот же цилиндр вращения пересекается горизонтально-проецирующей плоскостью Ө (тэта), заданной на чертеже горизонтальным Ө1 следом. Проецирующая плоскость параллельна оси вращения цилиндра. Поэтому она пересекает цилиндрическую поверхность по её образующим прямым, горизонтальные проекции которых 1 и совпадают с точками пересечения следа Ө1 секущей плоскости с проекцией контура цилиндра – окружностью. Фронтальные проекции образующих 2 и располагаются параллельно проекции i2 оси вращения. И так как образующая располагается на невидимой части цилиндра, ее фронтальная проекция выполняется на чертеже штриховой линией.

Помощь по начертательной геометрии

Таким образом, при пересечении цилиндрической поверхности плоскостью, расположенной параллельно оси вращения, в сечении образуются прямые линии. В рассматриваемом примере фигура сечения представляет собой прямоугольник.

На чертеже (рис. 130, а) прямой цилиндр вращения пересекается с фронтально-проецирующей плоскостью λ (лямбда), расположенной под некоторым углом к оси вращения. Известно, что в этом случае линия сечения представляет собой эллипс – плоскую кривую линию. Построение проекций кривой пересечения начинают с определения на чертеже проекций опорных точек: экстремальных и точек видимости. Прежде всего анализируют расположение заданных геометрических фигур относительно друг друга и относительно плоскостей проекций. Так как секущая плоскость является фронтально-проецирующей, на чертеже уже имеется фронтальная проекция кривой пересечения, представляющая собой отрезок прямой – следа секущей плоскости, ограниченный точками А2 и В2 пересечения следа λ2 с главным меридианом прямого цилиндра
(рис. 130, б). Их горизонтальные проекции А1 и В1 располагаются на горизонтальном следе главной меридиональной плоскости. Точки:
А (А1, А2) и В (В1, В2) относятся к числу опорных точек кривой пересечения, так как они являются соответственно самой низшей – точка А и самой высшей – точка В, точками кривой пересечения. С другой стороны, точка А кривой пересечения по отношению к наблюдателю является самой левой, а точка В – самой правой.

В связи с тем, что точки кривой пересечения располагаются только на наружной цилиндрической поверхности, являющейся проецирующей по отношению к горизонтальной плоскости проекций, горизонтальная проекция эллипса совпадает с горизонтальной проекцией контура цилиндра – окружностью. Поэтому для выявления конфигурации проекций кривой пересечения возникла необходимость построения третьей – профильной проекции цилиндрической поверхности. Ее главный меридиан представляет собой прямоугольник, так как в этом случае главная меридиональная плоскость, проходящая через ось вращения цилиндра, располагается параллельно теперь уже профильной плоскости проекций.

При помощи линий связи построены профильные А3 и В3 проекции высшей и низшей опорных точек.

Известно, что эллипс имеет большую и малую оси, пересекающиеся под прямым углом, и что точка их пересечения делит оси пополам.

И, наконец, точки кривой располагаются симметрично относительно большой и малой осей эллипса. Проекции прямой А-В (А22, А11) представляют собой проекции на чертеже большой оси эллипса. Прямая А22, соответствующая натуральной величине большой оси эллипса, пересекается с проекцией i2 оси вращения в точке, представляющей собой проекции

Помощь по начертательной геометрии

двух конкурирующих точек С2 и Д2, ограничивающих по длине малую ось эллипса. Их горизонтальные проекции С1и Д1 располагаются соответственно на видимой и невидимой частях цилиндра.

Проекция прямой С11 соответствует натуральной величине малой оси эллипса, а точки С и Д являются соответственно самой ближней и самой дальней по отношению к наблюдателю опорными точками кривой пересечения.

Профильные проекции точек С и Д должны лежать на главном меридиане цилиндра, а положение на чертеже проекций С3 и Д3 определено с помощью линии связи, проведённой через проекции С2 и Д2 в направлении, параллельном оси проекций Х.

По отношению к профильной плоскости проекций главная меридиональная плоскость также делит цилиндр на видимую и невидимую части. Точки С и Д, лежащие в этой плоскости, являются по отношению к профильной плоскости проекций опорными точками кривой пересечения – точками видимости. Поэтому профильные проекции точек кривой пересечения, расположенные на чертеже выше точек С3 и Д3, будут невидимыми, а ниже их – видимыми.

Остальные точки кривой пересечения прямого цилиндра вращения с фронтально-проецирующей плоскостью относятся к числу произвольных точек, и положение их проекций на чертеже можно без особых трудностей определить с помощью линий связи, выделив предварительно положения фронтальных или горизонтальных проекций этих точек.

В связи с тем, что секущая плоскость является проецирующей, предоставляется возможность построения натурального вида сечения преобразованием проецирующей плоскости в плоскость уровня (рис. 130, в).

Опуская выполнение некоторых построений преобразования проецирующей плоскости в плоскость уровня, на фронтальной плоскости проекций параллельно следу λ2 секущей плоскости проведена прямая и на ней отложена натуральная величина отрезка А-В – большой оси эллипса, равная проекции А22. Перпендикулярно отрезку А-В в точке, делящей его пополам, проведена прямая и на ней отложен отрезок С-Д, представляющий собой натуральную величину малой оси эллипса, равный отрезку С11.

Затем (рис. 130, г), на чертеже обозначены положения фронтальных проекций некоторых произвольных точек кривой пересечения. С помощью линий связи определены их положения на горизонтальной и профильной плоскостях проекций. Затем на прямой А-В построены натуральные величины отрезков, соединяющих симметричные точки кривой пересечения, взятые с горизонтальной плоскости проекций. Подобным приёмом (рис. 130, д) построено некоторое количество произвольных точек кривой

Помощь по начертательной геометрии

Помощь по начертательной геометрии

пересечения и отмечена их видимость на соответствующих плоскостях проекций.

Соединив (рис. 130, е) плавной линией по лекалу профильные проекции точек, получают вырожденную проекцию кривой пересечения прямого цилиндра вращения с фронтально-проецирующей плоскостью, представляющую собой искажённую проекцию эллипса. На этом же чертеже представлен натуральный вид кривой пересечения.

Таким образом (рис. 130, ж, з) при пересечении поверхности прямого цилиндра плоскостью, расположенной под некоторым углом к оси вращения, в сечении образуется эллипс. В связи с тем, что секущая плоскость является проецирующей, проекции кривой были построены лишь на основании эпюрного признака принадлежности точки поверхности вращения, без использования способа вспомогательных секущих плоскостей.

Построение проекций линий пересечения прямого конуса вращения (рис. 131, а) с фронтально проецирующей плоскостью å, проходящей через его вершину S, осуществляется следующим образом. На фронтальной плоскости проекций (рис. 131, б) отмечают конкурирующие точки А22 пересечения следа S2 секущей плоскости с проекцией основания конуса. При помощи линий связи строят их горизонтальные проекции: А1, В1.

Прямая А11, по сути дела, есть не что иное, как горизонтальный å1 след фронтально-проецирующей плоскости S.

Точки А (А1, А2) и В (В1, В2) располагаются на конической поверхности и поэтому каждую из них можно соединить прямой линией с вершиной конуса S (рис. 131, в). Тогда прямые SA (S1A1, S2A2) и SB (S1B1, S2B2) будут представлять собой образующую конической поверхности, проходящей через точку А или точку В, и на этом основании можно сделать вывод о том, что при пересечении прямого конуса вращения с плоскостью, проходящей через его вершину, в сечении образуется треугольник.

На чертеже (рис. 132) прямой конус вращения пересекается горизонтально-проецирующей плоскостью, проходящей через ось вращения.

Горизонтальный Т1 след секущей плоскости (рис. 132, б) пересекает горизонтальную проекцию основания конуса – окружность в точках А1 и В1. Их фронтальные проекции должны располагаться на оси проекции Х, а положения определяются с помощью линий связи. Причём фронтальная В2 проекция точки будет невидимой, так как она располагается на невидимой части конической поверхности. Поэтому проекция S2B2 образующей поверхности конуса, проходящей через точку В, на чертеже выполнена штриховой линией. В сечении получается треугольник ASB, представляющий собой меридиан прямого конуса вращения (рис. 132, в).

В случае пересечения прямого конуса вращения (рис. 133, а) горизонтальной секущей плоскостью q (тэта) в сечении образуется окружность, представляющая собой параллель конической поверхности. Это объясняя-

Помощь по начертательной геометрии

ется тем, что ось вращения конической поверхности располагается на чертеже перпендикулярно горизонтальной плоскости проекций. Тогда фронтальная i2 проекция оси вращения на чертеже перпендикулярна оси проекций C. В свою очередь, фронтальный след q2 горизонтальной секущей плоскости на чертеже должен располагаться параллельно оси C. Поэтому след q2 секущей плоскости проходит перпендикулярно проекции i2 оси вращения. Тогда отрезок следа q2 секущей плоскости, находящийся внутри главного меридиана прямого конуса, есть фронтальная проекция параллели поверхности. Для построения горизонтальной проекции этой параллели отмечают точку 12 пересечения следа q2 с главным меридианом – одной из сторон треугольника, и с помощью линии связи определяют расположение её горизонтальной 11 проекции на следе главной меридиональной плоскости. Затем радиусом, равным отрезку 11-i1, проводят окружность, представляющую собой горизонтальную проекцию линии сечения прямого конуса вращения плоскостью, проведённой перпендикулярно оси вращения.

При пересечении конической поверхности (рис. 134) плоскостью, параллельной оси вращения, получается кривая линия-гипербола. На чертеже прямой конус вращения пересекается фронтальной плоскостью S, которая по отношению к горизонтальной плоскости проекций является проецирующей. Горизонтальный след S1 фронтальной секущей плоскости располагается на чертеже параллельно оси проекций C. На следе S1 находится горизонтальная проекция кривой пересечения, а на фронтальную плоскость проекций кривая пересечения спроецируется в натуральную величину.

Построение фронтальной проекции кривой пересечения начинают с выявления положения горизонтальных проекций опорных точек. К ним, в первую очередь, относятся точки А1 и В1 пересечения следа S1 с проекцией контура основания конуса – окружностью. Их фронтальные проекции должны располагаться на оси проекций C, а положения определяются с помощью линий связи. Точка А (А1, А2) является самой левой, а точка В (В1, В2) – самой правой опорными точками прямой пересечения.

Для прямого конуса вращения, заданного на чертеже, самая высокая точка кривой пересечения должна иметь наименьший радиус параллели. Точка С1 является горизонтальной проекцией такой точки. Положение фронтальной С2 проекции установлено с помощью параллели этой точки.

Остальные точки прямой пересечения (рис. 134, г, д) относятся к числу произвольных. Положения фронтальных проекций произвольных точек кривой пересечения установлены с помощью параллелей, на основании эпюрного признака принадлежности точки поверхности вращения. Так как секущая плоскость пересекает видимую часть конической поверхности, фронтальные проекции всех точек кривой сечения являются видимыми.

Помощь по начертательной геометрии

Помощь по начертательной геометрии

Соединив (рис. 134, ж) плавной кривой линией фронтальные проекции точек, получают фронтальную проекцию сечения – гиперболу.

В случае пересечения конической поверхности (рис. 135, а) плоскостью, параллельной её прямолинейной образующей, в сечении получается кривая линия – парабола.

На чертеже секущая плоскость l (лямбда), пересекающая поверхность прямого конуса вращения, является фронтально-проецирующей. Отрезок А22, (С2) фронтального l2 следа секущей плоскости (рис. 135, б), находящийся внутри контура главного меридиана конической поверхности, представляет собой фронтальную проекцию кривой пересечения.

Построения горизонтальных проекций точек кривой пересечения не вызывает особых затруднений. На основании эпюрного признака принадлежности точек поверхности прямого конуса эти построения очень легко выполняются.

Однако вначале на чертеже (рис. 135, в) определяют положение опорных точек кривой пересечения. Вполне очевидно, что к таким точкам следует отнести прежде всего конкурирующие точки В и С, а также точку А. Точка А является самой высшей, а точки В и С – самыми низшими точками кривой пересечения.

Горизонтальная А1 проекция точки А должна располагаться на следе главной меридиональной плоскости. Проекции В1 и С1 – на горизонтальной проекции основания конуса – окружности. Причём точка С располагается на невидимой части конической поверхности, а точка В – на видимой. Из них точка С является самой дальней, а точка В – самой близкой по отношению к наблюдателю.

Остальные точки кривой пересечения являются произвольными. Для построения горизонтальных проекций произвольных точек вначале на чертеже выделяют некоторые из них на следе l2 секущей плоскости, между проекциями высшей и низшими опорными точками. При этом необходимо иметь в виду, что при заданном расположении геометрических фигур на чертеже кривая пересечения имеет ось симметрии, лежащую в главной меридиональной плоскости. Поэтому произвольные точки кривой пересечения являются конкурирующими по отношению к фронтальной плоскости проекций и их проекции совпадают.

На рис. 135, г, д, е представлен процесс построения горизонтальных проекций некоторых произвольных точек кривой пересечения с помощью параллелей.

И, наконец (рис. 135, ж, з), соединив плавной кривой линией горизонтальные проекции точек, получают горизонтальную проекцию кривой пересечения прямого конуса вращения с фронтально-проецирующей секущей плоскостью.

Помощь по начертательной геометрии

Обратите внимание на положение проекций конкурирующих точек 1 и 2 кривой пересечения. Их фронтальные проекции 12 и 22 располагаются на проекции i2 оси вращения. Для данного чертежа эти точки кривой пересечения являются произвольными. Но если возникает необходимость в построении профильной проекции кривой пересечения, точки 1 и 2 будут относиться уже к числу опорных точек. Они определяют видимость кривой пересечения на профильной плоскости проекций.

На чертеже (рис. 136) прямой конус вращения пересекается с фронтально-проецирующей плоскостью Т (тау), расположенной под некоторым углом к оси вращения. След Т2 секущей плоскости располагается при этом не параллельно прямолинейной образующей конической поверхности. В этом случае кривая пересечения представляет собой эллипс.

В связи с тем, что секущая плоскость является проецирующей, на чертеже уже имеется одна из проекций кривой пересечения, ограниченная отрезком А22 следа Т2 секущей плоскости, находящегося внутри главного меридиана конической поверхности. Тогда горизонтальные А1 и В1 проекции точек располагаются на следе главной меридиональной плоскости.

В главной меридиональной плоскости располагается ось симметрии кривой пересечения прямого конуса вращения. Это значит, что помимо точек А и В, все другие точки кривой пересечения являются конкурирующими, а поэтому их фронтальные проекции совпадают.

Известно также, что большая и малая оси эллипса пересекаются друг с другом под прямым углом и точка пересечения делит оси пополам. Отрезок А22 представляет собой натуральную длину большой оси эллипса. Если разделить его пополам известным приёмом (рис. 136, в), то на чертеже выявится положение фронтальных проекций точек 12 и 22, ограничивающих по длине малую ось эллипса.

С помощью параллели (рис. 136, г) определяется положение на чертеже горизонтальных 11 и 21 проекций этих точек. А сам отрезок 11-21 есть не что иное, как натуральная величина малой оси эллипса.

Точки А, В, 1 и 2 относятся к числу опорных точек кривой пересечения. Действительно, рассматривая положение их проекций на чертеже, убеждаемся в том, что точка А – самая высшая, точка В – самая низшая, точка 1– самая близкая и точка 2 – самая дальняя.

Остальные точки кривой пересечения можно отнести к числу произвольных точек. Для построения их проекций на чертеже, вначале выделяют положение их фронтальных проекций на следе Т2 секущей плоскости. Например, проекция конкурирующих точек 32 и 42 (рис. 136, д, е). Затем с помощью параллели поверхности вращения строят их горизонтальные 31 и 41 проекции.

Аналогичным приёмом (рис. 136, ж, з) определяют положения на чертеже других произвольных точек, например, точек 5 (52, 51) и 6 (62, 61).

Помощь по начертательной геометрии

 

Таким образом, получают на чертеже (рис. 136, и) положение проекций некоторого количества точек кривой пересечения.

Соединив затем (рис. 136, к) плавной кривой линией горизонтальные проекции точек, получают горизонтальную проекцию кривой пересечения, представляющую собой искажённую проекцию эллипса. Совмещением секущей плоскости Т (тау) с горизонтальной плоскостью проекций способом вращения получают натуральный вид эллипса – кривой пересечения прямого конуса вращения с плоскостью, пересекающей его поверхность под некоторым углом к оси вращения.

На чертеже (рис. 137) сферическая поверхность пересекается с горизонтальной плоскостью q (тэта). В сечении образуется окружность. Так как ось вращения сферы перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций, то на чертеже фронтальный след q2 секущей плоскости располагается перпендикулярно проекции i2 оси вращения. Отрезок следа q2 секущей плоскости, находящийся внутри главного меридиана сферы, представляет собой фронтальную проекцию окружности пересечения. Причём длина этого отрезка соответствует натуральной величине диаметра окружности – кривой пересечения.

Отметив точку 12 пересечения следа q2 с главным меридианом и построив горизонтальную 11 проекцию точки на следе главной меридиональной плоскости, раствором циркуля, равным отрезку 11–i1, проводят окружность, представляющую собой горизонтальную проекцию линии пересечения сферы горизонтальной секущей плоскостью.

В случае расположения секущей плоскости (рис. 138) под углом к одной из плоскостей проекции, кривая пересечения – окружность проецируется в искаженном виде и представляет собой эллипс.

На представленном чертеже сфера пересекается фронтально-проецирующей плоскостью å (сигма), наклонённой под некоторым углом к горизонтальной плоскости проекций. Фронтальная проекция окружности сечения ограничена отрезком А22 следа å2 секущей плоскости. Горизонтальная проекция окружности сечения, естественно, будет представлять собой эллипс, построение которого производят по точкам.

Среди них выделяют прежде всего точки, ограничивающие большую и малую оси эллипса. При заданном на чертеже расположении геометрических фигур: сферы и секущей плоскости, относительно плоскостей проекций, положение горизонтальной А11 проекции большой оси эллипса совпадает со следом главной меридиональной плоскости.

Деление отрезка А22 пополам позволяет выявить положение фронтальных проекций точек С2 и Д2, ограничивающих малую ось эллипса. Положение горизонтальных С1 и Д1 проекций точек определяют с помощью параллели сферической поверхности.

Помощь по начертательной геометрии

Помощь по начертательной геометрии

Помощь по начертательной геометрии

В пересечении следа å2 секущей плоскости с экватором сферы выделяют положения фронтальных проекций точек 12 и 22, являющихся точками видимости проекции кривой пересечения относительно горизонтальной плоскости проекций. Горизонтальные 11 и 21 проекции этих точек располагаются на горизонтальной проекции экватора сферы.

Остальные точки кривой пересечения (рис. 138, г) являются произвольными. Выделив их положения на фронтальной плоскости проекций, с помощью параллелей строят горизонтальные проекции некоторого количества произвольных точек. И, наконец, (рис. 138, д), соединив горизонтальные проекции точек плавной кривой линией, получают горизонтальную проекцию кривой пересечения в виде эллипса.

Для построения натурального вида сечения сферы фронтально-проецирующей плоскостью å (сигма) последнюю поворачивают в положение, при котором она оказывается параллельной горизонтальной плоскости проекций.

При таком положении секущей плоскости кривая пересечения – окружность – проецируется на горизонтальную плоскость проекции в натуральную величину.

Помощь по начертательной геометрии

Таким образом, рассмотренные примеры построения проекций линий пересечения поверхностей вращения с плоскостями частного положения – проецирующими или плоскостями уровня, свидетельствуют о том, что, во-первых, при частных положениях секущих плоскостей значительно сокращается трудоёмкость графических построений, и,
во-вторых, что для построения проекций произвольных точек кривой пересечения в большинстве случаев достаточно воспользоваться одним из приёмов, например, свойством параллелей поверхностей вращения, а для нахождения положений на чертеже проекций опорных точек приходится в каждом конкретном случае использовать свои, особые приёмы.

В заключение обратим внимание на тот факт (рис. 139), что при пересечении некоторых поверхностей вращения плоскостью в сечении образуются графически простые линии: прямые или окружности.

Отметим эти поверхности вращения и положения секущих плоскостей. Цилиндрическая поверхность пересекается по графически простым линиям в случае, если секущая плоскость располагается параллельно или перпендикулярно оси вращения.

Коническая поверхность – если секущая плоскость располагается перпендикулярно оси вращения или проходит через вершину конуса.

Сферическая поверхность в любом случае пересекается с плоскостью только по окружности.

Кроме того, при пересечении любой поверхности вращения с плоскостью, расположенной перпендикулярно оси вращения, в сечении образуется окружность – параллель поверхности вращения.

 

Пересечение поверхностей вращения с прямой.

Общие положения

 

Аналогично тому, как в случае пересечения прямой с многогранной поверхностью образуются точки, принадлежащие обеим фигурам: прямой и многограннику, так и при пересечении поверхностей вращения с прямой (рис. 140) образуются точки, принадлежащие и прямой, и поверхности вращения.

В связи с этим для построения проекций точек пересечения прямой с поверхностью вращения представляется возможным использовать в общем случае способ вспомогательной секущей плоскости. Тогда графические построения проекций точек пересечения прямой с поверхностью вращения осуществляются в следующей последовательности:

- прямую заключают во вспомогательную секущую плоскость;

- строят проекции линии пересечения вспомогательной секущей плоскости с поверхностью вращения;

- рассматривают взаимное расположение проекций прямой и линии пересечения поверхности вращения вспомогательной секущей плоскостью;

- точки взаимного пересечения одноимённых проекций прямой и фигуры сечения представляют собой проекции искомых точек пересечения поверхности вращения с прямой;

- на основании эпюрного признака принадлежности точки прямой или поверхности вращения строят вторые проекции искомых точек.

В качестве вспомогательной секущей плоскости используются чаще всего плоскости частного положения – проецирующие или плоскости уровня. Однако в некоторых случаях успешно применяются и плоскости общего положения.

Выбор вида и положения вспомогательной секущей плоскости определяется условием – поверхность вращения должна пересекаться плоскостью по графически простым линиям: прямым или окружности.

Если при пересечении многогранника плоскостью (рис. 141) в любом случае в сечении образуются графически простые фигуры – многоугольники, то сечение поверхности вращения плоскостью представляет собой графически простые фигуры – треугольники, параллелограммы, окружности, лишь при некоторых особых положениях секущей плоскости.

Так, в сечении прямого цилиндра вращения образуются графически простые фигуры – прямоугольник или окружность, только в случае пересечения его плоскостью, параллельной или перпендикулярной оси вращения.

В сечении прямого конуса вращения (рис. 142) образуются графически простые фигуры – треугольник или окружность, только в случае пере-

Помощь по начертательной геометрии

сечения его плоскостью, проходящей через вершину или расположенной перпендикулярно оси вращения.

В тех случаях, когда в сечении поверхности вращения плоскостью невозможно получить графически простые фигуры сечения, приходится строить проекции кривой пересечения – эллипса, параболы, гиперболы и других, а затем определять положения точек пересечения проекций прямой с кривой линией сечения.

В некоторых случаях применение способов преобразования проекционных чертежей, в частности, способа замены плоскостей проекций, позволяют вообще отказаться от использования способа вспомогательной секущей плоскости для определения положения на чертеже проекций точек пересечения прямой с поверхностью вращения.

Рассмотрим особенности построения проекций точек пересечения поверхности вращения с прямой, занимающей в пространстве различные положения, на конкретных примерах.

 

 

Пересечение поверхностей вращения с проецирующей прямой

 

На чертеже (рис. 143, а) прямой конус вращения пересекается с горизонтально-проецирующей прямой n .

Известно, что точка пересечения должна принадлежать обеим фигурам – прямой n и конусу.

А так как прямая n является горизонтально-проецирующей, то с горизонтальной n1 проекцией прямой должна совпадать и горизонтальная А1 проекция точки пересечения.

С другой стороны, точка пересечения принадлежит и поверхности вращения, поэтому через горизонтальную А1 проекцию точки (рис. 143, б) можно провести окружность, представляющую собой горизонтальную проекцию параллели точки А. Тогда точка пересечения фронтальной проекции параллели с прямой n2 (рис. 143, в) определит положение на чертеже искомой фронтальной А2 проекции точки А.

Горизонтальная А1 и фронтальная А2 проекции определяют положения на чертеже проекций точки пересечения горизонтально-проецирующей прямой n с поверхностью прямого конуса вращения. Точка А является общей для прямой n и конуса, так как положения на чертеже её проекций удовлетворяют эпюрным признакам принадлежности точки прямой и поверхности вращения.

Действительно, проекции точки А располагаются на соответству-ющих проекциях параллели прямого конуса вращения и прямой.

На чертеже (рис. 144, а) сферическая поверхность пересекается с фронтально-проецирующей прямой l. Пересечение происходит в двух точках, например, точках А и В, расположенных симметрично относительно

Помощь по начертательной геометрии

главной меридиональной плоскости сферы.

Так как точки А и В принадлежат фронтально-проецирующей прямой, то их фронтальные А2 и В2 проекции совпадают с фронтальной l2 проекцией прямой. С другой стороны, точки пересечения принадлежат и сферической поверхности, и поэтому через их фронтальные А2 и В2 проекции можно провести фронтальную проекцию параллели сферы.

Точки пересечения горизонтальной проекции параллели с прямой l1 (рис. 144, в) определяют положения на чертеже горизонтальных А1 и В1 проекций точек пересечения фронтально-проецирующей прямой l со сферой. Таким образом, для построения на чертеже проекций точек пересечения поверхности вращения с проецирующей прямой вовсе не требуется применения каких-либо особых приёмов. Построения выполняют на основании использования эпюрных признаков принадлежности точек пересечения прямой и поверхности вращения.

 

 

Пересечение поверхностей вращения с прямой уровня

 

На чертеже (рис. 145, а) сферическая поверхность пересекается с фронтальной прямой f. В этом случае для определения положения на чертеже проекций точек пересечения необходимо воспользоваться способом вспомогательной секущей плоскости.

По расположению проекций f1 и f2 на чертеже следует, что прямую можно заключить либо во вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость, либо во вспомогательную фронтальную плоскость, плоскость уровня. В обоих случаях кривая пересечения сферы плоскостью представляет собой окружность. Но фронтально-проецирующая плоскость наклонена к горизонтальной плоскости проекций, поэтому кривая пересечения – окружность спроецируется на горизонтальную плоскость проекций в искажённом виде и будет представлять собой эллипс. Построение же эллипса сопряжено со значительной трудоемкостью определения положений проекций его опорных и произвольных точек.

В случае использования в качестве вспомогательной фронтальной секущей плоскости, кривая пересечения – окружность спроецируется на фронтальную плоскость без искажения – в натуральную величину.

Диаметр окружности сечения равен отрезку горизонтального Λ1 следа секущей плоскости, находящегося внутри проекций экватора сферы.

Построив фронтальную проекцию окружности сечения, отмечают на чертеже точки пересечения её с фронтальной f1 проекцией прямой.

Горизонтальные проекции точек пересечения должны располагаться на горизонтальном Λ1 следе вспомогательной секущей плоскости.

Точки А (А1, А2) и В (В2, В1) являются искомыми точками пересечения сферы с фронтальной прямой f, так как положения проекций этих точек на

Помощь по начертательной геометрии

чертеже полностью удовлетворяют эпюрным признакам принадлежности их обеим фигурам – сфере и прямой.

На чертеже (рис. 146, а) прямой конус вращения пересекается с горизонтальной прямой h. Если прямую заключить во вспомогательную горизонтальную плоскость q (тэта), то сечение ею прямого конуса вращения будет представлять собой окружность- параллель (рис. 146, б).

Пересечение горизонтальной проекции параллели с проекцией h1 прямой выявит положение на чертеже (рис. 146, в) горизонтальных А1 и В1 проекций точек пересечения прямой h с конусом.

Фронтальные А2 и В2 проекции точек пересечения располагаются на фронтальном θ2 следе вспомогательной секущей плоскости.

Точки А (А1, А2) и В (В21) являются искомыми точками пересечения прямого конуса вращения с горизонтальной прямой h, так как положения проекций точек на чертеже полностью отвечают эпюрным признакам принадлежности обеим фигурам: прямому конусу вращения и прямой h.

На чертеже (рис. 147, а) прямой конус вращения пересекается с фронтальной прямой f. Использование в качестве вспомогательных секущих плоскостей частного положения: фронтально-проецирующей или плоскости уровня, не приносит желаемого результата (рис. 147, б). В сечении образуются графически сложные линии – эллипс или гипербола.

Аналогичный случай получения в сечении графически сложных линий имеет место и при использовании в качестве вспомогательных секущих плоскостей частного положения для построения проекций точек пересечения прямой общего положения (рис. 148, а) с поверхностью прямого конуса вращения.

Вместе с тем известно, что в случае пересечения конуса вращения с плоскостью, проходящей через его вершину, образуется графически простая фигура сечения – треугольник.

Рассмотрим особенности построения проекций точек пересечения прямой общего положения с поверхностью прямого конуса вращения в случае использования в качестве секущей плоскости общего положения, проходящей через его вершину.

Для этого (рис. 148, б) на прямой m выделяют положения фронтальных и горизонтальных проекций двух произвольных её точек, например, точки А (А2, А1) и В (В2, В1). Затем (рис. 148, в) на фронтальной плоскости проекций вершину конуса – точку S2 соединяют прямыми с точками А2 и В2 и продолжают их до пересечения с осью проекций X в точках 12 и 22.

Далее строят горизонтальные проекции прямых S1A1 и S1B1 (рис. 148, г) и на продолжениях этих прямых с помощью линий связи определяют положения горизонтальных проекций точек 11 и 21.

Соединив затем (рис. 148, д) на горизонтальной плоскости проекций точки 12 и 22 прямой, получают на чертеже проекции треугольника S12

Помощь по начертательной геометрии

Помощь по начертательной геометрии

(S21222 , S11121), представляющего собой плоскость общего положения. Прямая m оказалось заключённой, таким образом, во вспомогательную плоскость общего положения, проходящую через вершину S конуса. Причём прямая 11-21 представляет собой горизонтальный след секущей плоскости, который в точках 31 и 41 пересекается с проекцией основания конуса, расположенного непосредственно в горизонтальной плоскости проекций.

Соединив теперь точки 31 и 41 прямыми с точкой S1, получают треугольник S13141, представляющий собой горизонтальную проекцию фигуры сечения прямого конуса вращения плоскостью, проходящей через его вершину.

На основании принадлежности прямой m вспомогательной секущей плоскости рассматривают взаимное расположение прямой m1 и треугольника S13141. Выявляют точки С1 и Д1 их взаимного пересечения. С помощью линий связи определяют положения фронтальных С2, Д2 проекций точек, принадлежащих m.

Точки С и Д, определённые на чертеже положениями горизонтальных С1, Д1 и фронтальных С2, Д2 проекций, являются искомыми точками пересечения прямого конуса вращения с прямой общего положения.

Этот вывод сделан на том основании, что положения проекций точек С и Д на чертеже соответствуют эпюрным признакам принадлежности их обеим фигурам – прямому конусу вращения и прямой общего положения.

На чертеже (рис. 149, а) прямая l общего положения пересекается с поверхностью прямого цилиндра вращения. Точки пересечения должны располагаться на наружной цилиндрической поверхности, которая в свою очередь является проецирующей по отношению к горизонтальной плоскости проекций. Поэтому (рис. 149, б) в пересечении горизонтальных проекций прямой и цилиндра определяются положения горизонтальных 11 и 21 проекций точек пересечения прямой l с цилиндром.

Положения фронтальных 12 и 22 проекций точек пересечения (рис. 149, в) определены с помощью линий связи на проекции l2 прямой общего положения.

Таким образом, расположение на чертеже проекций точек пересечения прямой общего положения с прямым цилиндром вращения установлено только лишь на основании эпюрных признаков принадлежности точек пересечения поверхности цилиндра и прямой.

На чертеже (рис. 150, а) сферическая поверхность пересекается с прямой n общего положения. Заключение прямой n в горизонтально- или фронтально-проецирующую плоскость неизбежно приведёт к необходимости построения искажённой проекции окружности сечения, представляющей собой эллипс. Однако прямую общего положения можно преобразовать (рис. 150, б) способом замены плоскостей проекций в прямую уровня.

Помощь по начертательной геометрии

Помощь по начертательной геометрии

Помощь по начертательной геометрии

А тогда представится возможность заключить прямую в секущую плоскость уровня, и фигура сечения – окружность спроецируется на соответствующую плоскость проекций без искажения – в натуральную величину.

Для осуществления подобного плана построений проведена новая ось проекций П14 параллельно горизонтальной n1 проекции прямой и построена её новая n4 проекция.

В новой системе плоскостей проекций прямая n, заданная на чертеже теперь уже проекциями n1 и n4, является прямой уровня. Если теперь прямую П заключить во вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость Т (тау), то относительно новой П4 плоскости проекций секущая плоскость окажется плоскостью уровня. И тогда фигура сечения сферы этой плоскостью – окружность, спроецируется на плоскость проекций П4 без искажений в натуральную величину.

Диаметр этой окружности равен отрезку прямой n1 ограниченному экватором сферы.

В пересечении проекций прямой n4 и окружности сечения (рис. 150, в) определяются проекции А4 и В4 точек пересечения прямой со сферой. Их горизонтальные А1 и В1 проекции располагаются на следе T1 секущей, плоскости. Положение фронтальных A2 и B2 проекций точек определяется расположением их на фронтальной n2 проекции прямой с помощью линий связи.

Таким образом, преобразованием прямой общего положения в прямую уровня была обеспечена возможность получения графически простой проекции фигуры сечения в случае использования способа вспомогательной секущей плоскости для определения положения на чертеже проекций точек пересечения сферы с прямой общего положения.

Рассмотренные примеры построения проекций точек пересечения поверхностей вращения с прямой убедительно свидетельствуют о том, что выбор вида и расположения на чертеже вспомогательной секущей плоскости определяется не только необходимостью получения графически простых фигур сечения – треугольников, окружностей, но и возможностью построения их проекций без искажения. Последнее условие непосредственно относится к тому случаю, когда в сечении поверхности вращения плоскостью образуется окружность.

 

 

 

Последовательность выполнения построений графического решения задачи 6 [1]

 

Задача – на трёхпроекционном чертеже построить недостающие проекции сквозного четырёхугольного отверстия в сфере заданного радиуса.

 

Графическое решение задачи начинают с того, что на листе чертежной бумаги (ватмане) формата A3 (297´420 мм) карандашом тонкими линиями выполняют рамки формата и чертежа. В правом нижнем углу длинной стороны формата располагают рамку основной надписи.

В центре поля чертежа (рис. 151) размечают и проводят две взаимно перпендикулярные прямые линии: горизонтальную и вертикальную, пересекающиеся в точке О – начале отсчета координат. Пересекающиеся прямые линии являются осями проекции Х, Y и Z .

По числовым значениям координат центра 0 сферы, взятым из таблицы 5 методических указаний [1] в зависимости от номера варианта задачи, строят его проекции. Получают трехпроекционный чертеж сферы заданного радиуса.

По числовым значениям координат строят фронтальные А2, В2, С2 и Д2 проекции вершин четырехугольника. Попарно соединив отрезками прямых проекции точек, получают на чертеже фронтальную проекцию сквозного отверстия в сфере – многоугольник, представляющий собой вырожденную проекцию линии сквозного отверстия. Такая вырожденная проекция отверстия в сфере получается только в случае пересечения ее четырьмя фронтально-проецирующими плоскостями (отсеками). В пересечении смежных отсеков проецирующих плоскостей образуются ребра А12, В12, С12 и Д12 четырехгранника.

Помощь по начертательной геометрии

Известно, что сфера пересекается плоскостью по окружности. Поэтому линии пересечения сферы с четырехгранником представляют собой отсеки окружностей, соединенные между собой точками пересечения ребер со сферой. В зависимости от расположения секущей плоскости относительно плоскостей проекций окружность сечения проецируется в натуральную величину или в искаженном виде – в виде эллипса.

Таким образом, для построения недостающих проекций линий сквозного четырехугольного отверстия в сфере необходимо построить проекции точек пересечения каждого из ребер четырёхгранника со сферой и проекцией отсеков окружностей пересечения сферы с каждой из четырех граней.

Грань А1А2В1В2 представляет собой отсек фронтально-проецирующей плоскости. Она располагается наклонно к горизонтальной и профильной плоскостям проекций. Окружность сечения сферы этой плоскостью проецируется на них в виде эллипса. Построение проекций эллипса производят по точкам, взятым на фронтальной проекции отсека окружности сечения сферы, совпадающей с фронтальной проекцией грани. Из множества точек окружности выделяют на чертеже положения фронтальных проекций характерных (опорных) точек, ограничивающих большую (точка 5) и малую (точки 11 и 12) оси эллипса, расположенных на экваторе (точки 31 и 32, являющиеся точками видимости для горизонтальной плоскости проекций; точки 21 и 22, являющиеся точками видимости для профильной плоскости проекций) и главных меридианах, а также несколько произвольных точек.

Построение горизонтальных и профильных проекций точек, выделенных на фронтальной плоскости проекций, производят на основании принадлежности последних сферической поверхности. При этом исходят из того, что проекции точки, принадлежащей сферической поверхности, должны располагаться на соответствующих проекциях её параллели или меридиана.

Грани В1В2С1С2В1 и Д1Д2А1А2Д1 являются отсеками горизонтальных плоскостей уровня. Отсеки их фигур сечения – окружности, проецируются на горизонтальную плоскость проекций в натуральную величину с радиусами, равными радиусам параллелей, плоскости которых совпадают с горизонтальными плоскостями уровня. При этом одновременно определяются положения горизонтальных проекций точек пересечения рёбер В12, С12, Д12 со сферой. По имеющимся фронтальным и горизонтальным проекциям ребер и отсеков линий сечений строят их профильные проекции.

Грань С1С2Д1Д2С1 является отсеком профильной плоскости уровня. Отсек окружности, расположенный в этой грани, проецируется на профильную плоскость проекций в натуральную величину. Радиус отсека окружности сечения равен радиусу параллели, плоскость которой совпадает с профильной плоскостью уровня грани.

Окончательную обводку линий сквозного отверстия в сфере выполняют с учётом видимости их проекций на чертеже. Видимость проекций точек и линий сферы определяется расположением последних относительно экватора или главных меридианов. Видимые проекции линий выполняют сплошной толстой линией, а невидимые – штриховой.

 

 

Теоретические основы и практика графического решения задач взаимного пересечения поверхностей вращения

 

 

Взаимное пересечение поверхностей вращения.
Общие положения

 

Линии взаимного пересечения поверхностей вращения (рис. 152) в общем случае представляют собой сложную пространственную кривую, состоящую из двух и более частей. В особых случаях линии пересечения могут представлять собой и плоские кривые.

Помощь по начертательной геометрии

Для построения на чертеже проекций кривой пересечения вначале находят положения отдельных ее точек и затем, соединив одноименные проекции точек плавными кривыми (обычно с помощью лекала), получают проекции искомой линии пересечения.

Среди точек кривой пересечения имеются такие, которые либо выделяются своим особым расположением по отношению к плоскостям проекций и наблюдателю, либо занимают особые места на поверхностях вращения. Известно, что такие точки кривых пересечения относятся к числу опорных. Они, в свою очередь, подразделяются на так называемые «экстремальные точки» и «точки видимости». Остальные точки кривой пересечения относятся к числу произвольных точек.

Для определения положения на чертеже проекций опорных точек приходится для каждой из них применять свой особый прием построения, зависящий не только от вида поверхностей вращения, но и от расположения последних относительно друг друга и плоскостей проекций.

Для определения положений проекций произвольных точек кривой взаимного пересечения поверхностей вращения используют в основном два способа:

  • - способ вспомогательных секущих плоскостей;
  • - способ вспомогательных секущих сфер.

Применение того или иного способа в значительной степени зависит от вида и взаимного расположения поверхностей вращения.

Так, способ вспомогательных секущих плоскостей применяется в том случае, когда при пересечении плоскостью поверхностей вращения в сечении образуются графически простые линии – прямые или окружности. Если это условие не выполняется, то применяется способ вспомогательных секущих сфер.

Каким бы способом ни производилось построение линий взаимного пересечения поверхностей вращения, при нахождении точек этой линии необходимо соблюдать определенную последовательность.

В первую очередь определяют положения опорных точек, так как они дают представление о том, в каких пределах располагаются проекции линии пересечения и где между ними имеет смысл определять положения произвольных точек, для более точного построения проекций линий взаимного пересечения поверхностей вращения.

Определение видимости проекций линий пересечения выполняют отдельно для каждого участка кривой, ограниченного точками видимости. При этом необходимо иметь в виду, что видимость всего участка совпадает с видимостью какой-либо произвольной точки этого участка.

Для построения линии пересечения необходимо также помнить и о том, что её проекции всегда располагаются в пределах площади наложения одноименных проекций пересекающихся поверхностей вращения.

Рассмотрим особенности построения проекций линии взаимного пересечения поверхностей вращения способом вспомогательных секущих плоскостей.

 

 

Построение проекций линии взаимного пересечения поверхностей вращения способом вспомогательных секущих плоскостей

 

Выше отмечалось, что способ вспомогательных секущих плоскостей применяется в тех случаях, когда при пересечении плоскостью поверхностей вращения в сечении образуются графически простые линии - прямые или окружности (рис. 153).

В целом графические построения проекций точек кривой взаимного пересечения поверхностей вращения осуществляются в следующей последовательности:

Помощь по начертательной геометрии

  • - выбирают положение вспомогательной секущей плоскости таким, чтобы в сечении каждой из поверхностей вращения получались графически простые линии - прямые или окружности;
  • - строят проекции линий сечения каждой из поверхностей вращения одной и той же секущей плоскостью;
  • - выявляют точки пересечения одноименных проекций линий сечения; плоскости или соответствующей поверхности вращения строят их недостающие проекции;
  • - точки пересечения одноименных проекций линий сечения являются общими для обеих поверхностей вращения и, следовательно, принадлежат кривой их взаимного пересечения;
  • - на основании принадлежности точек кривой пересечения секущей плоскости или соответствующей поверхности вращения строят их недостающие проекции.

Подобным образом определяют положения проекций необходимого количества произвольных точек кривых взаимного пересечения поверхностей вращения.

В качестве вспомогательных секущих плоскостей чаще всего используются плоскости частного положения – проецирующие или плоскости уровня. В некоторых случаях успешно применяются и плоскости общего положения. При этом необходимо иметь в виду, что выбор вида и положения вспомогательной секущей плоскости определяется только одним условием – обе поверхности должны пересекаться одной и той же секущей плоскостью по графически простым линиям. Поэтому очень важно иметь представление о том, что, например, в сечении цилиндра вращения графически простые линии образуются только в случае пересечения его плоскостью, параллельной или перпендикулярной оси вращения (рис. 154).

Помощь по начертательной геометрии

В сечении конуса вращения образуются графически простые линии только при пересечении его плоскостью, перпендикулярной оси вращения или проходящей через вершину.

Сферическая поверхность вращения при любом положении секущей плоскости пересекается по окружности. Но использовать в качестве секущих целесообразно лишь плоскости уровня. Только в этом случае кривая сечения – окружность – проецируется на соответствующую плоскость проекций без искажения, в натуральную величину.

На чертеже (рис. 155, a) прямой конус вращения пересекается с полусферой. Построение проекций линии взаимного пересечения поверхностей начинают, прежде всего, с определения положения на чертеже опорных точек – экстремальных и точек видимости.

По чертежу устанавливают, что пересекающиеся поверхности вращения имеют общую плоскость симметрии, расположенную параллельно фронтальной плоскости проекций. Это обстоятельство позволяет сделать вывод о том, что, во-первых, плоскость симметрии фигур совпадает с положениями главных меридиональных плоскостей каждой из поверхностей вращения. Тогда горизонтальные проекции точек кривой пересечения окажутся расположенными симметрично относительно горизонтального следа главной меридиональной плоскости, являющейся общей для обеих фигур.

Фронтальные проекции точек кривой пересечения будут совпадать, так как в этом случае они являются конкурирующими по отношению к фронтальной плоскости проекций. Причём проекции точек, расположенных перед главной меридиональной плоскостью фигур, будут видимыми на фронтальной плоскости проекций, а расположенных за ней – невидимыми.

Помощь по начертательной геометрии

Горизонтальные проекции точек кривой пересечения являются видимыми, так как это обусловлено видом и расположением на чертеже заданных поверхностей вращения. Значит, кривая пересечения поверхностей не содержит опорных точек видимости. А поэтому необходимо будет определять положения на чертеже лишь экстремальных точек кривой пересечения.

И во-вторых, фронтальные проекции фигур представляют собой главные меридианы поверхностей вращения, а они, как это следует из чертежа (рис. 155, б) пересекаются в точке А2. Горизонтальная А1 проекция точки располагается на следе главной меридиональной плоскости.

Точка А, определенная на чертеже фронтальной А2 и горизонтальной А1 проекциями, является общей для обеих поверхностей вращения и относится к числу самых высоких точек кривой пересечения.

Таким образом, положение высшей опорной точки А кривой пересечения (рис. 156) определено, по сути дела, с помощью секущей плоскости, совпадающей с плоскостью симметрии фигур и являющейся главной меридиональной плоскостью заданных поверхностей вращения.

То обстоятельство, что основания фигур располагаются непосредственно в горизонтальной плоскости проекций (рис. 157), позволяет выявить положения низших точек В и С кривой пересечения.

Действительно, точки В1 и С1 пересечения горизонтальных проекций основания фигур (рис. 158, а) принадлежат обеим поверхностям вращения и являются низшими точками кривой пересечения, так как их фронтальные В2 и С2 проекции располагаются непосредственно на оси проекций Х.

Помощь по начертательной геометрии

В то же время, по отношению к наблюдателю точка В (В1, В2) является самой близкой, а точка С (С1, С2) – самой дальней.

Выше отмечалось, что кривая взаимного пересечения поверхностей вращения не имеет точек видимости, поэтому все остальные точки, кроме точек А, В и С, относятся к числу произвольных и для определения положения их проекций на чертеже (рис. 158, б) используют вспомогательную горизонтальную секущую плоскость Т (тау). Только при таком положении секущей плоскости (рис. 159) предоставляется возможность получить в сечении обеих поверхностей вращения графически простые линии – окружности.

Помощь по начертательной геометрии

  • Действительно, выбор в качестве секущей горизонтальной плоскости уровня обусловлен тем обстоятельством, что оси вращения фигур располагаются на чертеже перпендикулярно горизонтальной плоскости проекций. Тогда секущая плоскость уровня окажется расположенной перпендикулярно оси вращения каждой из фигур. А именно при таком положении секущей плоскости в сечении конуса и сферы образуются окружности, представляющие параллели этих поверхностей. В пересечении параллелей друг с другом выявляются точки, например, 1 и 2, принадлежащие обеим поверхностям вращения и относящиеся к числу произвольных точек кривой пересечения.

Помощь по начертательной геометрии

На чертеже (рис. 160, а) фронтальный Т12 след первой горизонтальной секущей плоскости проводят несколько ниже фронтальной А2 проекции высшей точки кривой пересечения, и строят горизонтальные проекции параллелей конуса и полусферы. В пересечении горизонтальных проекций параллелей (рис. 160, б) образуются точки 11 и 21, принадлежащие обеим фигурам и относящиеся к числу произвольных точек кривой пересечения. Их фронтальные 11 и 22 проекции располагаются на следе Т12 секущей плоскости. Подобным образом на чертеже (рис. 161, а) определяют положения некоторого количества проекций произвольных точек кривой пересечения. Соединив затем (рис. 161, б) плавной кривой линией одноименные проекции точек, получают фронтальную и горизонтальную проекции кривой пересечения полусферы с прямым конусом вращения.

Таким образом, вид и расположение проекций поверхностей вращения предопределили возможность использования вспомогательных секущих плоскостей для определения положения проекций произвольных точек кривой их взаимного пересечения.

 

Вместе с тем рассмотренный пример построения проекций линии взаимного пересечения поверхностей вращения позволяет сформулировать условие, ограничивающее использование в качестве секущих – плоскостей уровня: оси вращения обеих фигур должны располагаться перпендикулярно одной из плоскостей проекций.

В том случае, когда при пересечении обеих поверхностей вращения одной секущей плоскостью невозможно получить в сечениях графически простые линии – прямые или окружности, применяется способ вспомогательных секущих сфер.

 

 

Построение проекций линии взаимного пересечения поверхностей вращения способом вспомогательных секущих сфер.

Общие положения

 

Основу способа вспомогательных секущих сфер (рис. 162) составляют особенности взаимного пересечения так называемых «соосных поверхностей вращения». К ним относятся поверхности, оси вращения которых совпадают, т. е. несколько поверхностей имеют одну общую ось вращения.

Нетрудно видеть, что две соосные поверхности вращения пересекаются друг с другом по окружностям. Причем количество последних равно числу точек пересечения меридианов поверхностей вращения.

Действительно, если одна поверхность образуется вращением меридиана l (l2), а другая – меридиана D (D2), представляющего в данном случае окружность, вокруг общей оси i (i2), то точки А, В, С и К будут описывать окружности, общие для обеих поверхностей.

Помощь по начертательной геометрии

При этом, если общая ось поверхностей вращения перпендикулярна какой-либо плоскости проекций, то эти окружности проецируются на одну из них в виде отрезков прямых, соединяющих точки пересечения меридианов и перпендикулярных оси вращения, а на другую – без искажения, в натуральную величину.

Эти особенности взаимного пересечения двух соосных поверхностей вращения, одна из которых является сферой, и составляют основу способа вспомогательных секущих сфер.

Сущность применения способа вспомогательных секущих сфер для построения линии взаимного пересечения двух произвольных поверхностей вращения состоит в том, что каждая из поверхностей вращения пересекается одной и той же вспомогательной сферой. При пересечении вспомогательной сферы с каждой из поверхностей вращения образуются окружности. Точки пересечения полученных окружностей являются общими для каждой из поверхностей вращения и поэтому принадлежат линии взаимного пересечения произвольных поверхностей вращения. При этом пересекающиеся поверхности вращения должны иметь общую плоскость симметрии, параллельную одной из плоскостей проекций. Каждая из поверхностей должна содержать семейство окружностей, по которым ее могут пересекать вспомогательные сферы, общие для обеих поверхностей.

В зависимости от расположения осей пересекающихся поверхностей вращения относительно друг друга применяются две разновидности способа вспомогательных секущих сфер.

При взаимном пересечении осей поверхностей вращения применяется способ концентрических секущих сфер, т. е. сфер, проведенных из одного общего центра. Центром проведения таких сфер является точка пересечения осей вращения поверхностей.

Если же оси поверхностей вращения параллельны друг другу или являются скрещивающимися, применяется способ эксцентрических сфер. В этом случае вспомогательные секущие сферы проводятся из разных центров. Рассмотрим особенности применения разновидностей способа вспомогательных секущих сфер для построения линии взаимного пересечения поверхностей вращения.

 

 

Построение проекций линии взаимного пересечения поверхностей вращения способом концентрических секущих сфер

 

На чертеже (рис. 163, а) пересекаются прямой (вертикальный) и наклонный (горизонтальный) конусы вращения. Требуется построить проекции линии взаимного пересечения поверхностей вращения.

Рассматривая положение проекций заданных геометрических фигур относительно друг друга и плоскостей проекций, устанавливаем, что

Помощь по начертательной геометрии

поверхности вращения имеют общую плоскость симметрии, параллельную фронтальной плоскости проекций. В плоскости симметрии располагаются пересекающиеся в точке О (О2, О1) оси вращения поверхностей.

Таким образом, имеются все условия применения в данном случае способа концентрических секущих сфер для построения линии взаимного пересечения поверхностей вращения.

Построение проекций кривой взаимного пересечения поверхностей вращения начинают с определения положения на чертеже проекций опорных точек – экстремальных и точек видимости.

Из анализа расположения фигур на чертеже (рис. 163, б) следует, что их главные меридиональные плоскости совпадают, а поэтому точки 22 и 12 пересечения главных меридианов являются общими для обеих поверхностей и относятся к числу опорных точек кривой пересечения.

Горизонтальные 11 и 21 проекции точек располагаются на следе главной меридиональной плоскости, совпадающей с плоскостью симметрии фигур. При этом точка 1 (12, 11) является высшей, а точка 2 (22, 21) – низшей точками кривой пересечения поверхностей.

Обратите внимание на то, что горизонтальная 21 проекция точки 2 заключена в круглые скобки, т.е. является невидимой. Это обстоятельство свидетельствует о том, что не все точки кривой пересечения будут видимыми на горизонтальной плоскости проекций.

На видимость горизонтальных проекций точек кривой пересечения влияет расположение горизонтального конуса вращения (рис. 163, в).

Действительно, горизонтальная секущая плоскость ∑ (сигма), проведенная через ось вращения горизонтального конуса , делит его поверхность на две части: видимую и невидимую по отношению к горизонтальной плоскости проекций.

Построение (рис. 163, г) горизонтальных проекций фигур сечения заданных поверхностей вращения плоскостью ∑ (сигма) позволяет выявить на чертеже положение точек 3 (31, 32) и 4 (41, 42), являющихся точками видимости кривой пересечения. Справа от точек 31 и 41 горизонтальная проекция кривой пересечения будет видимой, а слева – невидимой. С другой стороны, точка 3 является самой близкой к наблюдателю, а точка 4 – самой дальней. Фронтальные 32 и 42 проекции точек совпадают, так как относительно главной меридиональной плоскости точки кривой пересечения располагаются симметрично.

Точки 1, 2, 3 и 4, определенные на чертеже положением своих горизонтальных и фронтальных проекций, являются опорными. Все остальные точки кривой пересечения относятся к числу произвольных; для определения положения их проекций на чертеже воспользуемся способом вспомогательных концентрических секущих сфер (рис. 164).

Помощь по начертательной геометрии

Центром проведения вспомогательных секущих сфер является точка 02 пересечения фронтальных проекций осей вращения поверхностей.

Напомним, что сущность применяемого способа состоит в том, что каждая из поверхностей вращения пересекается вспомогательной соосной сферой, в связи с чем возникает задача определения значений минимального и максимального радиусов сферы, пересекающейся с каждой из поверхностей вращения.

Для определения значений минимального радиуса секущей сферы на фронтальной плоскости проекций из центра О2 опускают перпендикуляры, представляющие собой радиусы окружностей, вписанных в главные меридианы вертикального и горизонтального конусов.

В качестве минимального радиуса секущей сферы принимают наибольший из радиусов вписанных окружностей. Только в этом случае соблюдается условие пересечения одной сферой каждой из поверхностей вращения.

Действительно, сфера, проведенная радиусом, равным наибольшему радиусу вписанной окружности, будет касаться одной из поверхностей, а с другой – пересекаться.

Если же в качестве минимального радиуса принять наименьший радиус вписанной окружности, то одна из поверхностей вращения с такой сферой вообще не пересечется.

Максимальный радиус секущей сферы (рис. 165) равен расстоянию от центра сфер О2 до наиболее удаленной точки 22 пересечения главных меридианов поверхностей.

Установив значения минимального и максимального радиусов секущих сфер, проводят (рис. 166) первую из них радиусом, равным, например, значению минимального радиуса Rmin. Каждая из поверхностей вращения пересекается с соосной сферой по окружности. При заданном расположении фигур на чертеже фронтальные проекции окружностей пересечения представляют собой отрезки прямых: 152-2 – для вертикального конуса и 162-2 – для горизонтального конуса, соединяющие точки пересечения главных меридианов каждой из заданных поверхностей вращения со вспомогательной сферой.

Точка пересечения отрезков 152-2 и 162-2 представляет собой проекции 52 и 62, двух конкурирующих точек 5 и 6, принадлежащих одновременно сфере и каждой из заданных поверхностей вращения. Поэтому точки 5 и 6 относятся к числу первых двух произвольных точек кривой взаимного пересечения вертикального и горизонтального конусов вращения.

Подобным образом (рис. 167) определяют положение на чертеже некоторого количества фронтальных проекций произвольных точек кривой

Помощь по начертательной геометрии

Помощь по начертательной геометрии

пересечения, проводя концентрические секущие сферы из центра О2 произвольными радиусами, меньшими максимального Rmax и большими минимального Rmin значений.

С помощью вспомогательных секущих сфер, проведенных радиусами R12 и R22, выявлены положения четырех фронтальных 72 и 82, 92 и 102 проекций произвольных точек кривой пересечения.

Затем (рис. 168) приступают к построению на чертеже недостающих, а именно, горизонтальных проекций произвольных точек. Эти построения производятся на основании эпюрного признака принадлежности точек одной из поверхностей вращения.

С меньшей трудоемкостью выполняются графические построения недостающих проекций точек, если рассматривать их принадлежность поверхности вертикального конуса вращения.

Тогда на фронтальной плоскости проекций внутри контура главного меридиана вертикального конуса через точки 52, 62 и 72, 82 проводят прямые линии, перпендикулярные оси вращения iB2. Эти прямые линии представляют собой фронтальные проекции параллелей точек 5, 6 и 7, 8, принадлежащие поверхности вертикального конуса вращения.

Построив затем (рис. 169, а) горизонтальные проекции параллелей, с помощью линий связи определяют положение на них горизонтальных 51, 61, 71, 81 проекций точек.

Соединив теперь (рис. 169, б) плавной линией одноименные проекции точек с учетом их видимости на чертеже, получают фронтальную и горизонтальную проекции кривой взаимного пересечения вертикального и горизонтального конусов вращения.

 

 

Построение проекций линии взаимного пересечения поверхностей вращения способом эксцентрических секущих сфер

 

На рис. 170 представлены фронтальные проекции пересекающихся поверхностей вращения: усеченного конуса и тора (кольца).

Поверхности имеют общую главную меридиональную плоскость, являющуюся одновременно и плоскостью симметрии фигур. Поэтому фронтальные проекции поверхностей вращения представляют собой их главные меридианы.

Оси вращения поверхностей являются скрещивающимися прямыми. Причем ось вращения усеченного конуса (iк) является профильно-проецирующей прямой, а ось вращения тора (iТ) – фронтально-проецирующей прямой.

Задача ограничена построением только фронтальной проекции линии взаимного пересечения поверхностей.

Помощь по начертательной геометрии

Использовать способ вспомогательных секущих плоскостей и способ концентрических секущих сфер для определения положения на чертеже проекций точек кривой взаимного пересечения заданных фигур не представляется возможным.

Так, при пересечении заданных на чертеже поверхностей вращения, например, общей плоскостью, в сечении получаются графически сложные кривые линии при любом её положении.

Способ концентрических секущих сфер здесь неприменим в связи с тем, что оси вращения фигур не пересекаются.

Использование способа эксцентрических секущих сфер предопределяет необходимость выявления наличия для каждой из поверхностей вращения соосной секущей сферы (рис. 171).

Для поверхности усеченного конуса вращения определение положения соосной сферы не вызывает затруднений. Положение центра соосной сферы на чертеже следует из определения соосности двух поверхностей вращения – сфера соосна с конической поверхностью в том случае, когда центр сферы располагается непосредственно на оси вращения конуса. Только в этом случае, в пересечении указанных поверхностей, образуется окружность.

Положение сферы, соосной с поверхностью тора (рис. 172), устанавливают следующим образом.

Известно, что в случае пересечения поверхности вращения плоскостью, проходящей через её ось, в сечении образуется меридиан. Меридианом же тора является окружность. Поэтому при пересечении поверхности тора фронтально-проецирующей плоскостью Ө (тэта), проходящей через его ось iТ, в сечении образуется окружность.

Фронтальная проекция окружности сечения тора плоскостью Ө (тэта) представляет собой отрезок А22. Фронтальная проекция центра окружности сечения располагается в точке С2, представляющей собой точку пересечения следа Ө2 секущей плоскости с проекцией траектории движения (вращения) центра меридиана поверхности. Тогда фронтальная О2 проекция центра соосной сферы, пересекающейся с заданной поверхностью тора по окружности, должна располагаться на прямой l2, проходящей через точку С2 в направлении, перпендикулярном отрезку А22.

Выявив наличие соосных сфер для каждой из поверхностей вращения – усеченного конуса и тора, устанавливают (рис. 173) возможность проведения общей для них соосной секущей сферы.

Для этого вначале определяют положение опорных точек 12 и 22 пересечения главных меридианов поверхностей, ограничивающих положения на чертеже фронтальных проекций произвольных точек кривой взаимного пересечения заданных поверхностей вращения.

Помощь по начертательной геометрии

Помощь по начертательной геометрии

Затем между проекциями опорных точек 12 и 22 проводят след Ө12 первой секущей фронтально-проецирующей плоскости, проходящей через оси вращения тора iТ2. Проведение вспомогательной секущей плоскости Ө позволяет выявить положение на чертеже центра сферы, соосной с поверхностью тора. Если прямую, на которой должна располагаться фронтальная проекция соосной сферы, продолжить до пересечения с проекцией iК2 оси вращения усеченного конуса, то появится новая точка О12, представляющая собой теперь уже центр сферы, соосной с каждой из заданных поверхностей вращения.

Подобным приемом графического построения можно определить положение на чертеже некоторого количества центров секущих сфер, соосных с каждой из заданных поверхностей вращения.

Далее (рис. 174) на чертеже из центра О12 радиусом, равным отрезку О12 -152, проводят первую соосную секущую сферу. Отмечают точки 182 и 192 пересечения сферы с главным меридианом усеченного конуса и соединяют их прямой.

Прямые 152-162 и 182 и 192 представляют собой фронтальные проекции окружностей сечения каждой из заданных на чертеже поверхностей вращения одной и той же соосной сферой.

В пересечении прямых 152-162 и 182-192 выявлены положения проекций 32 и 42 двух конкурирующих точек. Точки 3 и 4 принадлежат каждой из поверхностей вращения и представляют собой произвольные точки кривой пересечения тора с усеченным конусом.

Подобным образом (рис. 175) определяются на чертеже положения фронтальных проекций некоторого количества произвольных точек кривой пересечения.

Выполненные графические построения свидетельствуют о том, что соосные секущие сферы проводились каждый раз из новых положений своих центров. Проведение соосных секущих сфер из разных центров и предопределило название этого способа – эксцентрических секущих сфер.

Построение горизонтальных проекций точек кривой взаимного пересечения заданных поверхностей, в частности на основании эпюрного признака принадлежности точек поверхности тора, не вызывает особых затруднений.

С целью приобретения практических навыков в построении проекций кривых взаимного пересечения поверхностей вращения Вам предлагается самостоятельно выполнить построения горизонтальных проекций точек.

При этом необходимо иметь в виду, что не все точки кривой пересечения будут видимыми на горизонтальной плоскости проекций. Поэтому вначале необходимо определить положения проекций точек видимости.

Соединив плавной линией одноименные проекции точек, получают фронтальную и горизонтальную проекции кривой пересечения усеченного конуса с тором.

В заключение необходимо отметить, что на последовательность графических построений центров соосных секущих сфер существенным образом влияют вид и расположение на чертеже пересекающихся поверхностей вращения.

 

 

Особые (частные) случаи взаимного пересечения поверхностей вращения

 

Пересечение поверхностей вращения с проецирующей поверхностью вращения

 

Вполне очевидно, что к числу проецирующих поверхностей вращения (рис. 176) может быть отнесена лишь цилиндрическая, ось вращения которой перпендикулярна какой – либо плоскости проекций.

Помощь по начертательной геометрии

Только в этом случае проекция цилиндрической поверхности вращения на одной из плоскостей проекций представляет собой окружность. Это обстоятельство весьма существенно снижает трудоёмкость построения проекций линии взаимного пересечения поверхностей вращения в связи с тем, что в этом случае одна из проекций цилиндра вращения представляет собой окружность, и именно на ней располагаются проекции точек кривой пересечения. Положение недостающих проекций точек кривой пересечения определяются на основании принадлежности их другой поверхности вращения, пересекающейся с цилиндрической.

На чертеже (рис. 177, а) прямой конус вращения пересекается с цилиндрической поверхностью, ось вращения которой является профильно-проецирующей прямой.

Анализ расположения проекций фигур на чертеже позволяет сделать вывод о том, что пересекающиеся поверхности вращения имеют две плоскости симметрии. Одна из них параллельна фронтальной плоскости проекций, проходит через ось вращения цилиндра и совпадает с главной меридиональной плоскостью поверхностей вращения.

Помощь по начертательной геометрии

Фронтальные проекции фигур представляют собой главные меридианы поверхностей вращения, и точки их пересечения: 12, 22, 32 и 42 – являются опорными точками линии их взаимного пересечения, так как принадлежат обеим поверхностям. Горизонтальные проекции 11, 21, 31 и 41 точек располагаются на следе главной меридиональной плоскости.

Точки 1 и 3 являются высшими, а точки 2 и 4 – низшими точками линии пересечения.

Построение третьей, профильной проекции фигур позволяет,
во-первых, выявить положения на чертеже профильных проекций точек линии пересечения, конкурирующей с профильной проекцией цилиндрической поверхности – окружностью, и, во-вторых, установить, что при заданном расположении фигур на чертеже имеет место случай полного проницания, а поэтому линия их взаимного пересечения представляет собой две пространственные кривые: верхнюю и нижнюю.

Профильные проекции поверхностей: треугольник и окружность, – представляют собой, по сути дела, проекции фигур сечения прямого конуса вращения и цилиндра другой плоскостью симметрии, проходящей через ось вращения конуса и параллельной профильной плоскости проекций.

В пересечении профильных проекций фигур сечения образуются точки: 53, 63, 73 и 83. Они ограничивают контур профильных проекций верхней и нижней кривых пересечения, расположенных на боковой профильно-проецирующей поверхности цилиндра. Причём точки 53 и 63 являются низшими точками верхней кривой пересечения, а точки 73 и 83 – высшими точками нижней кривой пересечения.

Остальные профильные проекции точек кривых пересечения, расположенные на окружности – проекции боковой поверхности цилиндра между точками 53 и 63, а также между точками 73 и 83, относятся к числу произвольных.

Построение фронтальных и горизонтальных проекций опорных и произвольных точек кривых пересечения выполняется с помощью параллелей прямого конуса вращения. При этом необходимо отметить, что, во-первых, проекции точек кривых пересечения должны располагаться симметрично ранее выявленным плоскостям симметрии, и, во-вторых, горизонтальные проекции точек нижней кривой пересечения являются невидимыми.

Соединив в определенной последовательности плавными линиями одноименные проекции точек, получают фронтальные и горизонтальные проекции кривых взаимного пересечения заданных на чертеже поверхностей вращения.

На рис. 177, б представлено наглядное изображение заданных на чертеже пересекающихся поверхностей вращения.

Таким образом, в случае пересечения двух поверхностей вращения, одна из которых является цилиндрической, вовсе отпадает необходимость применения каких бы то ни было особых способов построения проекций произвольных точек кривых пересечения.

В том случае, когда цилиндрическая поверхность не является проецирующей, необходимо выполнить предварительное преобразование чертежа, например, с помощью способа замены плоскостей проекций.

 

 

Взаимное пересечение поверхностей вращения двойного соприкосновения

 

Выше отмечалось, что линия взаимного пересечения поверхностей вращения представляет собой в общем случае сложную пространственную кривую линию, состоящую из нескольких частей. Примером тому является, в частности, линия взаимного пересечения прямого конуса вращения с цилиндром. При этом отмечалось также, что в особых случаях линии взаимного пересечения поверхностей вращения могут представлять собой и плоские кривые (рис. 178).

Это происходит в том случае, когда в каждую из пересекающихся поверхностей вращения можно вписать общую сферу. Тогда линия пересечения поверхностей представляет собой пару плоских кривых линий. При расположении плоскости симметрии фигур параллельно, например, фронтальной плоскости проекций, проекции плоских кривых пересечения представляют собой отрезки прямых, соединяющие точки пересечения главных меридианов поверхностей вращения.

Помощь по начертательной геометрии

На чертеже (рис. 179, а) прямой усеченный конус вращения пересекается с цилиндром, ось вращения которого является профильно-проецирующей прямой. Построение профильной проекции заданных на чертеже фигур свидетельствует о том, что пересекающиеся поверхности вращения имеют две общие точки 5 и 6, в которых они касаются друг друга.

Пересекающиеся поверхности вращения, имеющие две общие точки касания, называются поверхностями двойного соприкосновения.

Установлено, что линия пересечения поверхностей двойного соприкосновения распадается на пару плоских кривых, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки прикосновения.

Помощь по начертательной геометрии

Прямая 5-6 (53-63; 52-62) и является такой прямой, через которую проходят плоскости кривых взаимного пересечения поверхностей вращения. При заданном расположении фигур на чертеже фронтальные проекции плоских кривых пересечения представляют собой отрезки прямых: 12-42 и 22-32. Горизонтальные 11, 21, 31 и 41 проекции опорных точек кривых пересечения располагаются на следе главной меридиональной плоскости поверхностей вращения.

Не все проекции точек кривых пересечения будут видимыми на горизонтальной плоскости проекций. Положения фронтальных проекций точек видимости 72, 82, 92 и 102 – определяются в пересечении фронтального Т2 (тау два) следа горизонтальной секущей плоскости, проведённой через ось вращения цилиндра. Построение горизонтальных проекций опорных и произвольных точек плоских кривых пересечения производится с помощью параллелей усеченного конуса вращения. Соединив в определенной последовательности горизонтальные проекции точек, получают недостающие проекции плоских кривых пересечения.

На рис. 179, б представлено наглядное изображение взаимного пересечения поверхностей вращения двойного соприкосновения.

На рис. 180 показаны различные примеры расположения фронтальных проекций взаимного пересечения поверхностей двойного соприкосновения, используемых, например, при конструировании различного рода трубопроводов из листового материала.

Помощь по начертательной геометрии

Сравнительная простота в построении проекций линии взаимного пересечения поверхностей вращения, имеющих двойное соприкосновение, предопределяет необходимость проведения предварительного анализа взаимного расположения проекций заданных на чертеже фигур с целью выявления наличия у них двойного соприкосновения.

 

 

Последовательность выполнения построений графического решения задачи 8 [1]

 

Задача – построить линию пересечения конуса вращения с цилиндром вращения.

 

Графическое решение задачи выполняют на листе чертежной бумаги (ватмане) формата А3 (297´420 мм), расположив длинную сторону формата горизонтально. Карандашом тонкими линиями вычерчивают рамки формата, чертежа и в правом нижнем углу длинной стороны формата рамку основной надписи. Левую половину поля чертежа (рис. 181, а) используют для построения исходного чертежа задачи. С этой целью на расстоянии 130 мм от верхней рамки поля чертежа проводят горизонтальную прямую линию и на ней на расстоянии 150 мм от левой рамки поля чертежа отмечают положение точки 0 – начала отсчета координат. Через точку 0 проводят вертикальную прямую линию, перпендикулярную горизонтальной прямой. Вводят обозначения осей проекций X, Y и Z. Из табл. 7 методических указаний [1] выбирают, согласно номеру варианта задачи, величины, которыми задаются поверхности конуса вращения и цилиндра вращения.

Определяют положение на чертеже проекций центра (точка К) окружности радиуса R основания конуса вращения. На фронтальной плоскости проекций отмечают положение проекции вершины конуса. С помощью циркуля и линейки тонкими линиями вычерчивают фронтальную и горизонтальную проекции прямого конуса вращения. Ось вращения конуса представляет собой горизонтально-проецирующую прямую. Фронтальную проекцию оси вращения конуса выполняют штрихпунктирной линией.

Затем строят проекции оси вращения цилиндра. Осью вращения цилиндра является фронтально-проецирующая прямая точки Е. Основаниями цилиндра являются окружности радиуса R1. Образующие цилиндра имеют длину, равную 3R1, и делятся пополам фронтальной меридиональной плоскостью конуса вращения. Окружности основания и образующие цилиндра выполняют сплошными тонкими линиями. Не следует наносить координатные размеры на исходный чертеж задачи.

Графическому решению задачи должен предшествовать анализ расположения заданных геометрических фигур относительно друг друга и плоскостей проекций.

По условию задачи оси поверхностей вращения – взаимно перпендикулярные скрещивающиеся проецирующие прямые. Ось вращения цилиндра является фронтально-проецирующей прямой. Поэтому цилиндрическая поверхность является проецирующей по отношению к фронтальной плоскости проекций.

Помощь по начертательной геометрии

Расположение на чертеже фронтальной проекции цилиндра внутри контура проекции конуса вращения свидетельствует о том, что заданные поверхности пересекаются друг с другом. Линия их взаимного пересечения представляет собой сложную пространственную кривую, точки которой принадлежат обеим поверхностям. Причем точки кривой взаимного пересечения фигур располагаются только на их наружных поверхностях. И так как цилиндрическая поверхность является фронтально-проецирующей, становится вполне очевидным тот факт, что с фронтальной проекцией цилиндра – окружностью, расположенной внутри контура треугольника – проекции главного меридиана прямого конуса вращения, совпадает фронтальная проекция кривой взаимного пересечения заданных поверхностей.

Для построения горизонтальной проекции кривой пересечения конуса с цилиндром на её фронтальной проекции выделяют положения проекций опорных и нескольких произвольных точек.

На фронтальной плоскости проекций отмечают, прежде всего, положения точек 12 и 22 пересечения фронтальной проекции цилиндра с главным меридианом конуса. Эти точки относятся к числу опорных. Из них: точка 12 является фронтальной проекций самой высокой, а точка 22 – самой правой точек кривой пересечения фигур. Точки 32 и 42 являются проекциями самых низших точек кривой пересечения. Точки 52 и 62 являются проекциями точек видимости горизонтальной проекции кривой пересечения. Точки 72, 82, 92 и 102 являются проекциями произвольных точек кривой. Их положение на чертеже выбирается произвольно.

Дальнейшее графическое решение задачи сводится к построению горизонтальных проекций отмеченных точек кривой пересечения заданных геометрических фигур.

Так как цилиндрическая поверхность является фронтально-проецирующей, то построение горизонтальных проекций точек кривой пересечения возможно лишь на основании принадлежности их боковой поверхности конуса. Поэтому построение горизонтальных проекций отмеченных точек кривой выполняют с помощью параллелей прямого конуса вращения.

Для этого на фронтальной плоскости проекций внутри контура треугольника – главного меридиана прямого конуса вращения, через соответствующие фронтальные проекции точек кривой проводят прямые, перпендикулярные фронтальной проекции оси вращения конуса. Отмечают точки пересечения этих прямых с одной из сторон главного меридиана конуса.

Через эти точки проводят линии связи до пересечения с горизонтальным следом главной меридиональной плоскости конуса. Раствором циркуля, равным расстоянию от этих точек до горизонтальной проекции оси вращения конуса, проводят окружности – горизонтальные проекции параллелей соответствующих точек кривой пересечения. И, наконец, через фронтальную проекцию выбранной точки кривой пересечения проводят линию связи и отмечают точки пересечения её с горизонтальной проекцией точек кривой взаимного пересечения поверхностей.

Соединив с помощью лекала плавной кривой горизонтальные проекции точек, получат горизонтальную проекцию кривой пересечения прямого конуса с цилиндром вращения. При этом видимые проекции точек кривой пересечения соединяют сплошной толстой линией, а невидимые – штриховой линией. После построения горизонтальной проекции кривой взаимного пересечения поверхностей вращения производят окончательную обводку линий чертежа карандашом. Тонкие сплошные линии вспомогательных построений, линии связи на чертеже задачи следует сохранить.

Все цифровые и буквенные обозначения следует выполнить чертежным шрифтом.

 

 

Последовательность выполнения построений графического решения задачи 9 [1]

 

Задача – построить развертки пересекающихся цилиндра вращения и конуса вращения; показать на развертках линии их пересечения.

 

Построение разверток пересекающихся поверхностей вращения производят в следующей последовательности:

  • - в заданный конус вписывают 12-гранную пирамиду, в цилиндр 12-гранную призму;
  • - строят развертки 12-гранной пирамиды и призмы;
  • - наносят на развертки точки кривой взаимного пересечения поверхностей и соединяют их с помощью лекала плавными линиями.

Для этого в правой части поля чертежа решения задачи 8 (рис. 181, б, в) вычерчивают проекции каждой из заданных поверхностей с кривой пересечения. В прямой конус вращения вписывают 12-гранную пирамиду, а в цилиндр вращения – 12-гранную призму. Отмечают на чертежах положение ребер оснований и боковых поверхностей многогранников. При этом некоторые из ранее рассмотренных точек кривой пересечения оказываются расположенными непосредственно на ребрах боковых поверхностей многогранников. Через другие точки кривой проводят прямые в соответствующих гранях многогранников.

Для построения развертки конуса вращения определяют натуральные величины ребер основания и боковой поверхности пирамиды, а также натуральные величины расстояний от точек кривой пересечения до вершины пирамиды – конуса вращения.

Помощь по начертательной геометрии

Основание вписанной 12-гранной пирамиды спроецировалось на горизонтальную плоскость проекций в натуральную величину. Для определения натуральной величины расстояния от точек кривой пересечения до вершины пирамиды используют способ вращения вокруг горизонтально-проецирующей прямой, совпадающей с осью вращения конуса. Ребра и прямые боковой поверхности пирамиды, на которых расположены точки кривой пересечения, поворачивают в положение, параллельное фронтальной плоскости проекций. Графически это преобразование выполняют следующим образом: на фронтальной плоскости проекций через фронтальные проекции точек кривой пересечения проводят прямые линии параллельно оси проекций Х до пересечения с главным меридианом конуса. Расстояние проекции точки на главном меридиане до вершины конуса соответствует натуральной величине расстояния точки кривой пересечения до вершины пирамиды.

В левой части поля чертежа (рис. 182, а) произвольно выбирают положение вершины конуса – пирамиды и раствором циркуля, равным натуральной величине образующей конуса, проводят дугу окружности. На ней откладывают 12 равных отрезков, соответствующих натуральной величине ребра основания пирамиды. Соединив их с центром дуги окружности – вершиной пирамиды, конуса, получают развёртку боковой поверхности 12-гранной пирамиды. На ребрах или прямых боковой поверхности пирамиды откладывают натуральные величины расстояний соответствующих точек кривой пересечения до вершины пирамиды, взятые на фронтальной плоскости проекций, на стороне главного меридиана конуса.

Соединив с помощью лекала в определенной последовательности точки плавной линией, получают на развертке боковой поверхности прямого конуса вращения линию его пересечения с цилиндром вращения.

Последовательность построения развёртки цилиндра вращения
(рис. 182, б) аналогична построениям графического решения задачи 4.

При этом натуральные величины ребер основания призмы, а также натуральные величины расстояний точек кривой пересечения от соответствующего ребра боковой поверхности призмы (рис. 182, в), измеряют на фронтальной плоскости проекций. Натуральные величины расстояний точек кривой пересечения от какого-либо основания призмы измеряют на горизонтальной плоскости проекций.

Соединив в определенной последовательности лекальной линией точки, получают на развертке боковой поверхности кривую пересечения цилиндра вращения с прямым конусом вращения.

После построения на развертках кривых пересечения производят окончательную обводку карандашом линий чертежа. Сплошные тонкие линии вспомогательных построений необходимо сохранить.

Все буквенные и цифровые обозначения следует выполнять чертежным шрифтом.

 

 

Последовательность выполнения построений графического решения задачи 10 [1]

 

Задача – построить линию пересечения фронтально-проецирующего цилиндра вращения с поверхностью открытого тора.

 

Графическое решение задачи выполняют на листе чертежной бумаги (ватмане) формата А3 (297×420 мм), расположив длинную сторону формата горизонтально. Карандашом тонкими линиями вычерчивают рамки формата, чертежа и в правом нижнем углу формата рамку оснований надписи.

Левую половину поля чертежа используют для построения исходного чертежа задачи. На расстояние 180 мм от верхней рамки поля чертежа проводят горизонтальную прямую линию и на ней на расстоянии 145 мм от левой рамки чертежа отмечают положение точки 0 – начало отсчета координат. Через точку 0 проводят вертикальную прямую линию, перпендикулярную горизонтальной прямой. Вводят обозначения осей проекций X, Y и Z. Из табл. 8 методических указаний [1] выбирают, согласно номеру варианта задачи, величины, которыми задаются поверхности тора и цилиндра вращения.

Ось вращения тора располагается на чертеже перпендикулярно фронтальной плоскости проекций. Ее фронтальная проекция совпадает с положением точки 0, а горизонтальная проекция – с положением оси проекций Y. Числовое значение радиуса производящей окружности R1 выбирается из табл. 8 в зависимости от номера варианта задачи. Точка К – центр производящей окружности. Поверхность тора ограничена двумя основаниями, одно из которых располагается в горизонтальной плоскости проекций, другое – в профильной.

Осью вращения цилиндра радиусом r является фронтально-проецирующая прямая, проходящая через точку Е. Образующие цилиндра имеют длину, равную 3r, и делятся пополам фронтальной меридиональной плоскостью тора. Исходный чертеж задачи (рис. 183) выполняют сплошными тонкими линиями. Оси вращения, симметрии – штрих-пунктирными линиями.

Графическому решению задачи предшествует анализ расположения заданных геометрических фигур относительно друг друга и плоскостей проекций.

Известно, что линия взаимного пересечения поверхностей вращения представляет собой сложную пространственную кривую, точки которой

Помощь по начертательной геометрии

принадлежат обеим фигурам и располагаются только на их наружных поверхностях. По условию задачи цилиндрическая поверхность является фронтально-проецирующей. Поэтому вырожденная фронтальная проекция цилиндра – окружность, является фронтальной проекцией искомой линии взаимного пересечения заданных поверхностей вращения.

Для построения горизонтальной проекции кривой пересечения цилиндра вращения с тором на её фронтальной проекции выделяют положения опорных точек и нескольких произвольных точек.

На фронтальной плоскости проекций отмечают прежде всего положение точки касания поверхностей, если это происходит в результате построения исходного чертежа задачи. Для этого через центры окружностей проводят прямую, которая и выявляет положение на чертеже точки I2. Проекция I2 точки касания располагается на главном меридиане тора, а её горизонтальная I1 проекция – на горизонтальном следе главной меридиональной плоскости. Необходимо отметить, что главная меридиональная плоскость делит поверхности и линию их взаимного пересечения на две симметричные части. В связи с этим часть проекций точек кривой пересечения на фронтальной плоскости проекций будут видимыми, другие – невидимыми. Эти точки являются конкурирующими. Невидимые проекции точек заключают в круглые скобки.

На чертеже выделяют положения точек 22, 32 и 42, 52. Эти точки относятся к числу экстремальных точек кривой пересечения. Точки 22 и 32 – самые высокие, а точки 42 и 52 – самые низкие. Точки 62, 72 и 102, 112 являются точками видимости. Они делят горизонтальную проекцию кривой пересечения на видимую и невидимую части. Остальные точки относятся к числу произвольных. Их фронтальные проекции на чертеже выделяются таким образом, чтобы они располагались на дугах окружностей, проведённых из точки 0.

Построение горизонтальных проекций точек кривой пересечения производится на основании принадлежности их наружной поверхности тора. Каждая из точек поверхности тора совершает вращательное движение вокруг оси его вращения. Траектория вращения представляет собой окружность – параллель. Так как ось вращения тора перпендикулярна фронтальной плоскости проекций, параллель – окружность проецируется на фронтальную плоскость проекций без искажения в натуральную величину, а на горизонтальную плоскость проекций – в прямую линию, параллельную оси проекций X. Каждая из точек поверхности тора вращается вокруг оси по окружности определённого радиуса. Поэтому проекции точки поверхности должны располагаться на соответствующих проекциях этой окружности – параллели. Это свойство и положено в основу графических построений горизонтальных проекций точек кривой пересечения по имеющимся на чертеже их фронтальным проекциям. При этом следует помнить о том, что главная меридиональная плоскость тора делит его поверхность на две симметричные части. В связи с этим горизонтальные проекции точек кривой пересечения располагаются на чертеже симметрично относительно горизонтального следа главной меридиональной плоскости тора.

Соединив плавной лекальной кривой горизонтальные проекции точек в порядке расположения их на фронтальной проекции кривой – окружности цилиндра, получают горизонтальную проекцию кривой взаимного пересечения тора с цилиндром вращения. При этом видимые горизонтальные проекции точек соединяют сплошной толстой линией, невидимые – штриховой линией.

После построения горизонтальной проекции кривой взаимного пересечения поверхностей вращения производят окончательную обводку карандашом линий чертежа. Тонкие сплошные линии вспомогательных построений, линии связи на чертеже задачи следует сохранить.

Все цифровые и буквенные обозначения следует выполнять чертёжным шрифтом.

 

 

Последовательность выполнения построений графического решения задачи 11 [1]

 

Задача – построить линию пересечения фронтально-проецирующего цилиндра вращения с поверхностью наклонного конуса с круговым основанием.

 

Графическое решение задачи выполняют на листе чертежной бумаги (ватмане) формата АЗ (297´420 мм), расположив длинную сторону формата горизонтально. Карандашом тонкими линиями вычерчивают рамки формата, чертежа и в правом нижнем углу формата рамку основной надписи. Проводят координатные оси X, Y и Z таким образом, чтобы последующие построения проекций заданных геометрических фигур равномерно располагались бы на поле чертежа. Отмечают положение точки О – начало отсчета координат. Из табл. 9 методических указаний 1 выбирают, согласно номеру варианта задачи, величины, которыми задаются поверхности цилиндра вращения и наклонного конуса.

Определяют положения на чертеже проекций К2, К1 центра К окружности R основания и вершины S2 (S2, SI) конуса. На фронтальной и горизонтальной плоскостях проекций тонкими штрихпунктирными линиями соединяют одноименные проекции вершины и центра окружности основания конуса. Затем на фронтальной плоскости проекций соединяют проекцию S2 вершины конуса с крайними точками проекции окружности основания. Получают фронтальную проекцию конуса. На горизонтальной

Помощь по начертательной геометрии

плоскости проекций вначале вычерчивают тонкой сплошной линией окружность основания конуса, а затем через точку S1 проводят прямые, касательные к этой окружности. Получают горизонтальную проекцию наклонного конуса.

Построение проекций фронтально-проецирующего цилиндра не вызывает затруднений. На исходный чертеж задачи не следует наносить координатные размеры заданных геометрических фигур.

В связи с тем, что по условию задачи поверхность цилиндра вращения является проецирующей, на чертеже задачи (рис. 184) уже имеется одна (фронтальная) проекция линии взаимного пересечения поверхностей. Ее фронтальная проекция располагается на окружности – вырожденной проекции цилиндра, находящейся внутри контура фронтальной проекции наклонного конуса.

Известно, что линия взаимного пересечения поверхностей вращения представляет собой сложную пространственную кривую, точки которой принадлежат обеим фигурам. Построение горизонтальных проекций точек кривой взаимного пересечения заданных геометрических фигур возможно лишь на основании признака принадлежности их поверхности наклонного конуса с круговым основанием.

Это предопределяет использование в качестве вспомогательных секущих плоскостей горизонтальных плоскостей уровня. Именно такие секущие плоскости пересекают поверхность наклонного конуса по окружностям – геометрически простым линиям, параллельным основанию. Окружность сечения на горизонтальную плоскость проекций проецируется без искажения в натуральную величину.

Фронтальная проекция этой окружности сечения представляет собой прямую линию, параллельную оси проекций X и расположенную внутри контура фронтальной проекции наклонного конуса. Натуральная величина диаметра окружности сечения ограничивается точками пересечения горизонтальной секущей плоскости с фронтальной проекцией контура наклонного конуса. Центр окружности сечения располагается на фронтальной проекции оси вращения конуса. Соответственно горизонтальная проекция центра окружности сечения располагается на горизонтальной проекции оси вращения конуса. Проекция точки, через которую проведена вспомогательная горизонтальная секущая плоскость, располагается на соответствующих проекциях окружности сечения.

На фронтальной проекции кривой пересечения отмечают положения опорных и нескольких произвольных точек. Вначале отмечают положения точек взаимного пересечения контуров фронтальных проекций заданных геометрических фигур – точки 12, 22 и 72, 82. Затем отмечают положения экстремальных точек: 32, 42 – самых высоких; 72, 82 – самых правых. Точки 7 и 8 являются одновременно и точками видимости горизонтальной проекции кривой пересечения. Остальные точки, например, 92, 102 и 112, 122, относятся к числу произвольных точек кривой.

Построение горизонтальных проекций точек кривой пересечения производят в следующей последовательности:

- на фронтальной плоскости проекций через выбранную проекцию точки кривой пересечения проводят вспомогательную горизонтальную секущую плоскость, например, Т1 (тау), Т2 и т. д.;

- отмечают точку пересечения её с фронтальной проекцией оси вращения конуса. Эта точка является фронтальной проекцией центра окружности сечения;

- при помощи линии связи определяют положение горизонтальной проекции центра окружности сечения на горизонтальной проекции оси вращения конуса;

- строят горизонтальную проекцию окружности сечения и при помощи линии связи определяют положение горизонтальной проекции точки кривой, через фронтальную проекцию которой была проведена вспомогательная горизонтальная секущая плоскость.

Подобным образом получают на чертеже необходимое количество горизонтальных проекций точек кривой пересечения поверхностей.

Соединив плавной лекальной кривой горизонтальные проекции точек в порядке расположения их на фронтальной проекции кривой – окружности цилиндра, получают горизонтальную проекцию кривой пересечения фронтально-проецирующего цилиндра вращения с поверхностью наклонного конуса с круговым основанием. Видимые горизонтальные проекции точек соединяют сплошной толстой линией, невидимые – тонкой штриховой линией.

После построения горизонтальной проекции кривой взаимного пересечения поверхностей вращения производят окончательную обводку карандашом линии чертежа. Толстыми сплошными линиями обводят наружный контур проекций фигур. Тонкие сплошные линии вспомогательных построений, линии связи на чертеже задачи следует сохранить.

Все цифровые и буквенные обозначения следует выполнять чертёжным шрифтом.

 

 

Последовательность выполнения построений графического решения задачи 12 [1]

 

Задача – построить линию пересечения закрытого тора с поверхностью наклонного цилиндра вращения. Построение исходного чертежа выполняют в правой половине поля чертежа задачи 10, расположив оси проекции так, чтобы свободное поле

Помощь по начертательной геометрии

чертежа было рационально использовано фронтальными и горизонтальными проекциями заданных поверхностей.

Из табл. 10 методических указаний 1 выбирают, согласно номеру варианта задачи, величины, которыми задаются поверхности вращения.

Вначале строят фронтальную К2 и горизонтальную К1 проекции точки К центра окружности R основания тора. Эта окружность представляет собой экваториальную параллель тора, располагающуюся непосредственно в горизонтальной плоскости проекций. Поэтому её фронтальная проекция представляет собой прямую линию, совпадающую с осью проекций X. Строят фронтальную и горизонтальную проекции этой параллели и проводят на чертеже фронтальную проекцию оси вращения тора. Затем строят на фронтальной плоскости проекций главный меридиан тора, представляющий собой замкнутую линию, состоящую из двух пересекающихся на оси вращения дуг окружностей радиуса 2R и отрезка прямой – проекции экваториальной параллели.

На фронтальной плоскости проекций определяют положение фронтальной Е2 проекции точки Е пересечения вертикальной оси тора с наклонной осью цилиндра вращения радиуса r = 2R/3. Ось цилиндра вращения пересекается с осью поверхности тора в точке Е под углом σо, различным для каждого из вариантов задачи. Основание цилиндра вращения касается профильной плоскости проекций. С учётом этих особенностей расположения пересекающихся поверхностей вращения строят их фронтальные и горизонтальные проекции (рис. 185). Построение проекций кривой пересечения производят по точкам, принадлежащим обеим поверхностям вращения.

Представленные на чертеже поверхности вращения имеют общую фронтальную плоскость симметрии, совпадающую с положением их главной меридиональной плоскости. Это обстоятельство позволяет определить на чертеже положения двух опорных точек кривой пересечения.

На фронтальной плоскости проекций в пересечении главных меридианов выявляются положения двух проекций 11 и 21 точек, принадлежащих каждой из поверхности вращения. Их горизонтальные 11 и 21 проекции располагаются на следе главной меридиональной плоскости. Одна из них является высшей, а другая – низшей экстремальными точками кривой пересечения.

Так как ни одна из заданных поверхностей не является проецирующей, положение других точек пересечения кривой определяют с помощью либо вспомогательных секущих плоскостей, либо вспомогательных секущих сфер. Способ вспомогательных секущих плоскостей использовать в данном случае не представляется возможным, так как нельзя обе поверхности пересечь одной плоскостью и получить в сечении геометрически простые линии – окружности или прямые. Так как заданные поверхности имеют общую фронтальную плоскость симметрии и оси вращения пересекаются, применяется способ вспомогательных секущих концентрических сфер.

Точка E2 пересечения фронтальных проекций осей вращения является центром секущих сфер. Максимальный радиус секущей сферы равен наибольшему расстоянию центра сфер до точек пересечения главных меридианов поверхностей вращения. Минимальный радиус секущей сферы равен наибольшему радиусу окружности, вписанной в одну из поверхностей вращения.

Из точки Е2 пересечения фронтальных проекций осей вращения поверхностей проводят последовательно ряд сфер радиусом, меньшим максимального, но большим минимального. Каждая из сфер пересекает обе поверхности вращения по окружностям. Их фронтальные проекции представляют собой отрезки прямых, соединяющие точки пересечения окружности секущей сферы с главными меридианами поверхностей. В пересечении этих отрезков прямых и находятся фронтальные проекции точек, например, 32…82, принадлежащих обеим поверхностям.

Подобным образом определяют на чертеже положения фронтальных проекций некоторого количества промежуточных (случайных) точек кривой пересечения.

Горизонтальные проекции точек кривой пересечения поверхностей строят при помощи параллелей закрытого тора.

Соединив плавной лекальной кривой одноимённые проекции точек с учётом их видимости на чертеже, получают фронтальную и горизонтальную проекции линии пересечения закрытого тора с поверхностью наклонного цилиндра вращения.

В пересечении фронтальных проекций кривой и оси вращения цилиндра определяют положения точек 92 и 102 видимости горизонтальной проекции кривой пересечения.

Видимые проекции точек кривой пересечения соединяют сплошной толстой линией, невидимые – штриховой линией.

Производят окончательную обводку карандашом линий чертежа. Тонкие сплошные линии вспомогательных построений, линии связи на чертеже задачи следует сохранить.

Все цифровые и буквенные обозначения следует выполнять чертежным шрифтом.