Помощь по математике
Ответы на вопросы по заказу заданий по математике:
Сколько стоит помощь?
- Цена зависит от объёма, сложности и срочности. Присылайте любые задания по любым предметам - я изучу и оценю.
Какой срок выполнения?
- Мне и моей команде под силу выполнить как срочный заказ, так и сложный заказ. Стандартный срок выполнения – от 1 до 3 дней. Мы всегда стараемся выполнять любые работы и задания раньше срока.
Если требуется доработка, это бесплатно?
- Доработка бесплатна. Срок выполнения от 1 до 2 дней.
Могу ли я не платить, если меня не устроит стоимость?
- Оценка стоимости бесплатна.
Каким способом можно оплатить?
- Можно оплатить любым способом: картой Visa / MasterCard, с баланса мобильного, google pay, apple pay, qiwi и т.д.
Какие у вас гарантии?
- Если работу не зачли, и мы не смогли её исправить – верну полную стоимость заказа.
В какое время я вам могу написать и прислать задание на выполнение?
- Присылайте в любое время! Я стараюсь быть всегда онлайн.
Содержание:
- Ответы на вопросы по заказу заданий по математике:
- Производная функции
- Основные правила дифференцирования
- Производные основных элементарных функций
- Дифференциал функции
- Теоремы о дифференцируемых функциях
- Правило Лопиталя
- Исследование функции и построение графика
- Асимптоты
- Экстремум функции
- Схема нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции
- Достаточные условия выпуклости и вогнутости
- Схема нахождения точек перегиба
- Помощь с заданием 1
- Решение:
- Помощь с заданием 2
- Решение:
- Помощь с заданием З
- Решение:
- Помощь с заданием 4
- Решение:
- Помощь с заданием 5
- Решение:
Производная функции
Производной функции называется предел отношения её приращения к соответствующему приращению независимой переменной, когда .
Производная обозначается:
где - приращение функции, - приращение аргумента х.
Касательной к графику функции в точке Мо называется предельное положение секущей при стремлении точки М по кривой к точке (рис. 2.1.1).
Геометрически производная функции представляет угловой коэффициент касательной к графику этой функции:
Уравнение касательной в точке
Механический смысл производной', производная пути по времени есть скорость точки в момент
Функция называется дифференцируемой в некоторой точке х, если в этой точке она имеет определённую производную, при этом функция будет непрерывной в этой точке.
Непрерывность функции есть необходимое (но недостаточное) условие дифференцируемости функции.
Например, в точках а, Ь, с и d функция не дифференцируема (рис. 2.1.2) экзамен. В точке а не существует , нет определённой касательной, есть две различные односторонние касательные; в точках b, с, d функция имеет бесконечные производные, график функции имеет вертикальные касательные.
Понятие производной широко применяется для решения разнообразных задач в математике, физике, технике, экономике и т.д. Однако практически производную находят не путём предельного перехода, а по формулам и правилам дифференцирования.
Основные правила дифференцирования
Пусть с - константа, а имеют производные в некоторой точке х. Тогда функции и
также имеют производные в этой точке, причем:
4. функция имеет производную в точке , а функция
5. Логарифмическое дифференцирование:
а) прологарифмировать по основанию е обе части уравнения
Производные основных элементарных функций
- б) продифференцировать обе части полученного равенства, где -сложная функция от х;
- в) заменить у его выражением через х и определить .
6. Производная от функции, заданной параметрически:
7. Производная от функции, заданной неявно: где :
частные производные функции ).
Дифференциал функции
Из определений производной и предела переменной
следует, что
Главная часть приращения функции, линейная относительно приращения независимой переменной, называется дифференциалом функции и обозначается
Дифференциал экзамена первого порядка (dy} функции равен произведению её производной и дифференциала независимой переменной:
Так как дифференциал функции отличается от её приращения на бесконечно малую высшего порядка по сравнению с величиной dx, то
Полученная формула часто применяется для приближенного вычисления значения функции при малом приращении независимой переменной х.
Дифференциалом -го порядка функции y = f(x) называется дифференциал от дифференциала ( -1) -го порядка этой функции, т.е.
Если функция - независимая переменная, то
Если функция где дифференцирование функции у выполняется по переменной и. (Это имеет место и для дифференциалов более высоких порядков).
Теоремы о дифференцируемых функциях
Применение дифференциального исчисления в естествознании и технике основывается на теоремах Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши и Тейлора (таблица 2.3.1). В каждой из них утверждается существование некоторого среднего значения аргумента х = с (поэтому они называются теоремами о среднем).
Правило Лопиталя
Таблица 2.4.1
Случаи нахождения предела по правилу Лопиталя
Исследование функции и построение графика
Исследование функции является одним из важнейших приложений теории пределов, непрерывности функции и производных. При построении графика функции чаще всего, оказывается, недостаточно знать только простейшие свойства функций, такие как монотонность, чётность, нечётность, периодичность, нули функции, а строить график по произвольным точкам слишком нерационально. Поэтому для получения полной картины поведения функции привлекается теория пределов и непрерывности функции, производные первого и второго порядков.
Асимптоты
Асимптота данной кривой - прямая, к которой неограниченно приближается точка кривой при неограниченном удалении её от начала координат.
Экстремум функции
Многие функции изменяются не монотонно. В одних интервалах изменения независимой переменной они возрастают, а в других убывают. Возрастание и убывание функции характеризуется знаком её производной.
Пусть - некоторая внутренняя точка,
Функция имеет в точке , если значение функции в
этой точке является по сравнению со значениями
функции в соседних точках, т.е.
Функция имеет в точке экстремум, если она имеет в этой точке
Условия существования экстремума непрерывной в точке х0 и ее окрестности функции у = f(х)
Наибольшее и наименьшее значение функции на интервале
Схема нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции
1) Найти точки экстремума функции;
2) Найти значения функции в точках экстремума, принадлежащих интервалу ;
3) Найти значения функции на концах промежутка ;
4) Сравнить значения, найденные в п. 2), 3);
5) Выбрать наибольшее (наименьшее) значения функции.
Выпуклость, вогнутость. Точки перегиба
Кривая называется выпуклой в
интервале, если все ее точки лежат ниже любой касательной, проведенной к этой кривой в данном интервале Кривая называется вогнутой в интервале, если все ее точки лежат выше любой касательной, проведенной к этой кривой в данном интервале
Точки на кривой, разделяющие участки выпуклости у и вогнутости, называются точками перегиба
Если информацию об интервалах возрастания и убывания функции, наличия точек экстремума мы получаем из ее первой производной, то информацию об интервалах выпуклости, вогнутости и точках перегиба можно получить только из второй производной функции.
Достаточные условия выпуклости и вогнутости
Пусть функция - дважды дифференцируема в интервале ,тогда:
а) если вторая производная функция , то линия, являющаяся графиком функции выпуклая в данном интервале;
б) если вторая производная функции , то линия, являющаяся графиком функции , вогнута в данном интервале.
Условия существования точек перегиба
Для того чтобы точка с абсциссой х0 являлась точкой перегиба графика функции :
необходимо, чтобы вторая производная функции в этой точке не существовала;
достаточно, чтобы вторая производная функция при переходе через эту точку меняла свой знак.
Схема нахождения точек перегиба
1) Находим область определения функции .
2) Находим первую и следом вторую производные функции и из условий не существует, определяем абсциссы точек возможного перегиба.
3) Наносим абсциссы полученных точек и точек разрыва функции (если они есть) на числовую ось и определяем знак второй производной в окрестностях каждой из этих точек.
4) По смене знака второй производной делаем вывод о наличии или отсутствии перегиба в отмеченных точках.
5) Вычисляем значения функции в отмеченных точках.
Замечание 1. Параллельно отысканию точек перегиба по знаку второй производной определяем интервалы выпуклости и вогнутости кривой у = /(х).
Замечание 2. Точки, в которых функция терпит разрыв, или граничные точки области определения не могут являться точками перегиба.
Помощь с заданием 1
Вычислить производную функции непосредственно (по определению).
Решение:
По определению
Следовательно, для любого х имеем
Помощь с заданием 2
Записать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой
Решение:
Уравнение касательной к графику функции у = f(x) в точке
Для заданной функции:
Следовательно, уравнение касательной в точке к графику данной функции имеет вид:
Помощь с заданием З
Тело движется по закону ( - в секундах, S - в метрах). Найти скорость движения тела через 2 секунды после начала движения.
Решение:
Скорость движения вычисляется по формуле Получаем,
Помощь с заданием 4
Вычислить производные функций:
Решение:
Вычисления выполним, применяя правила дифференцирования и таблицу производных.
Помощь с заданием 5
Вычислить производную функций:
Решение:
а) Функцию можно записать как сложную функцию в виде . По правилу дифференцирования сложной функции получаем
в) Данную функцию можно представить в виде
Тогда
Возможно, вас также заинтересует: