Помощь по математике

Помощь по математике онлайн

Я и моя команда поможем вам по математике и другим предметам, вам нужно всего лишь написать мне. Если вы хотите попробовать всё сделать самостоятельно то ниже подробный теоретический материал, но если нету времени или вам лень то всегда можете рассчитывать на меня, вам остаётся только написать мне и всё будет сделано за короткий срок!


Производной функции Помощь по математике называется предел отношения её приращения Помощь по математике к соответствующему приращению Помощь по математике независимой переменной, когда Помощь по математике.

Производная обозначается:

Помощь по математике

Помощь по математике

где Помощь по математике - приращение функцииПомощь по математике, Помощь по математике - приращение аргумента х.

Касательной к графику функции Помощь по математике в точке Мо называется предельное положение секущей Помощь по математике при стремлении точки М по кривой к точке Помощь по математике (рис. 2.1.1).

Помощь по математике

Геометрически производная Помощь по математике функции Помощь по математике представляет угловой коэффициент касательной к графику этой функции: Помощь по математике

Уравнение касательной в точке Помощь по математике

Помощь по математике

Механический смысл производной', производная пути по времени Помощь по математике есть скорость точки в момент Помощь по математике

Функция называется дифференцируемой в некоторой точке х, если в этой точке она имеет определённую производную, при этом функция будет непрерывной в этой точке.

Непрерывность функции есть необходимое (но недостаточное) условие дифференцируемости функции.

Например, в точках а, Ь, с и d функция не дифференцируема (рис. 2.1.2) экзамен. В точке а не существует Помощь по математике , нет определённой касательной, есть две различные односторонние касательные; в точках b, с, d функция имеет бесконечные производные, график функции имеет вертикальные касательные.

Помощь по математике

Понятие производной широко применяется для решения разнообразных задач в математике, физике, технике, экономике и т.д. Однако практически производную находят не путём предельного перехода, а по формулам и правилам дифференцирования.

Основные правила дифференцирования

Пусть с - константа, а Помощь по математике имеют производные в некоторой точке х. Тогда функции Помощь по математике и

Помощь по математике также имеют производные в этой точке, причем:

Помощь по математике

4. Помощь по математике функция Помощь по математике имеет производную в точке Помощь по математике, а функция Помощь по математике

5. Логарифмическое дифференцирование:

а) прологарифмировать по основанию е обе части уравнения

Помощь по математике


Производные основных элементарных функций

Помощь по математике

  • б) продифференцировать обе части полученного равенства, где Помощь по математике -сложная функция от х;
  • в) заменить у его выражением через х и определить Помощь по математике.

6. Производная от функции, заданной параметрически:

Помощь по математике

Помощь по математике

7. Производная от функции, заданной неявно: Помощь по математике где Помощь по математике:

Помощь по математике частные производные функции Помощь по математике).

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Заказать работу по математике помощь в учёбе

Дифференциал функции

Из определений производной Помощь по математике и предела переменной

следует, что Помощь по математике

Главная часть приращения функции, линейная относительно приращения независимой переменной, называется дифференциалом функции и обозначается Помощь по математике

Дифференциал экзамена первого порядка (dy} функции равен произведению её производной и дифференциала независимой переменной: Помощь по математике

Так как дифференциал функции отличается от её приращения на бесконечно малую высшего порядка по сравнению с величиной dx, то Помощь по математике

Полученная формула часто применяется для приближенного вычисления значения функции при малом приращении Помощь по математике независимой переменной х.

Дифференциалом Помощь по математике-го порядка функции y = f(x) называется дифференциал от дифференциала (Помощь по математике -1) -го порядка этой функции, т.е. Помощь по математике

Если функция Помощь по математике - независимая переменная, то

Помощь по математике

Если функция Помощь по математике где дифференцирование функции у выполняется по переменной и. (Это имеет место и для дифференциалов более высоких порядков).

Теоремы о дифференцируемых функциях

Применение дифференциального исчисления в естествознании и технике основывается на теоремах Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши и Тейлора (таблица 2.3.1). В каждой из них утверждается существование некоторого среднего значения аргумента х = с (поэтому они называются теоремами о среднем).

Помощь по математике

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Решение задач по математике помощь с примерами онлайн

Правило Лопиталя

Помощь по математике

Таблица 2.4.1

Случаи нахождения предела по правилу Лопиталя

Помощь по математике

Исследование функции и построение графика

Исследование функции является одним из важнейших приложений теории пределов, непрерывности функции и производных. При построении графика функции чаще всего, оказывается, недостаточно знать только простейшие свойства функций, такие как монотонность, чётность, нечётность, периодичность, нули функции, а строить график по произвольным точкам слишком нерационально. Поэтому для получения полной картины поведения функции привлекается теория пределов и непрерывности функции, производные первого и второго порядков.

Асимптоты

Асимптота данной кривой - прямая, к которой неограниченно приближается точка кривой при неограниченном удалении её от начала координат.

Помощь по математике

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Контрольная работа по математике заказать

Экстремум функции

Многие функции изменяются не монотонно. В одних интервалах изменения независимой переменной они возрастают, а в других убывают. Возрастание и убывание функции Помощь по математике характеризуется знаком её производной.

Помощь по математике
Пусть Помощь по математике - некоторая внутренняя точка, Помощь по математике

Функция имеет в точке Помощь по математике, если значение функции в

этой точке является Помощь по математике по сравнению со значениями

функции в соседних точках, т.е. Помощь по математике

Функция имеет в точке Помощь по математике экстремум, если она имеет в этой точке Помощь по математике

Условия существования экстремума непрерывной в точке х0 и ее окрестности функции у = f(х)

Помощь по математике

Наибольшее и наименьшее значение функции на интервале Помощь по математике

Схема нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции

1) Найти точки экстремума функции;

2) Найти значения функции в точках экстремума, принадлежащих интервалу Помощь по математике;

3) Найти значения функции на концах промежутка Помощь по математике;

4) Сравнить значения, найденные в п. 2), 3);

5) Выбрать наибольшее (наименьшее) значения функции.

Выпуклость, вогнутость. Точки перегиба

Кривая называется выпуклой в

Помощь по математике

интервале, если все ее точки лежат ниже любой касательной, проведенной к этой кривой в данном интервале Кривая называется вогнутой в интервале, если все ее точки лежат выше любой касательной, проведенной к этой кривой в данном интервале

Точки на кривой, разделяющие участки выпуклости у и вогнутости, называются точками перегиба

Если информацию об интервалах возрастания и убывания функции, наличия точек экстремума мы получаем из ее первой производной, то информацию об интервалах выпуклости, вогнутости и точках перегиба можно получить только из второй производной функции.

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

РГР по математике расчетно графическая работа

Достаточные условия выпуклости и вогнутости

Пусть функция Помощь по математике - дважды дифференцируема в интервале Помощь по математике,тогда:

а) если вторая производная функция Помощь по математике, то линия, являющаяся графиком функции Помощь по математике выпуклая в данном интервале;

б) если вторая производная функции Помощь по математике, то линия, являющаяся графиком функции Помощь по математике, вогнута в данном интервале.

Условия существования точек перегиба

Для того чтобы точка с абсциссой х0 являлась точкой перегиба графика функции Помощь по математике:

необходимо, чтобы вторая производная функции в этой точке Помощь по математике не существовала;

достаточно, чтобы вторая производная функция при переходе через эту точку меняла свой знак.

Схема нахождения точек перегиба

1) Находим область определения функции Помощь по математике.

2) Находим первую и следом вторую производные функции и из условий Помощь по математике не существует, определяем абсциссы точек возможного перегиба.

3) Наносим абсциссы полученных точек и точек разрыва функции (если они есть) на числовую ось и определяем знак второй производной в окрестностях каждой из этих точек.

4) По смене знака второй производной делаем вывод о наличии или отсутствии перегиба в отмеченных точках.

5) Вычисляем значения функции в отмеченных точках.

Помощь по математике

Замечание 1. Параллельно отысканию точек перегиба по знаку второй производной определяем интервалы выпуклости и вогнутости кривой у = /(х).

Замечание 2. Точки, в которых функция терпит разрыв, или граничные точки области определения не могут являться точками перегиба.

Помощь по математике

Помощь с заданием 1.

Вычислить производную функции Помощь по математике непосредственно (по определению).

Решение:

По определению Помощь по математике

Помощь по математике

Следовательно, для любого х имеем Помощь по математике

Помощь с заданием 2.

Записать уравнение касательной к графику функции Помощь по математике в точке с абсциссой Помощь по математике

Решение:

Уравнение касательной к графику функции у = f(x) в точке Помощь по математике Помощь по математике

Для заданной функции: Помощь по математике

Следовательно, уравнение касательной в точке Помощь по математике к графику данной функции имеет вид:

Помощь по математике

Помощь с заданием З.

Тело движется по закону Помощь по математике (Помощь по математике - в секундах, S - в метрах). Найти скорость движения тела через 2 секунды после начала движения.

Решение:

Скорость движения вычисляется по формуле Помощь по математике Получаем, Помощь по математике

Помощь по математике

Помощь с заданием 4.

Вычислить производные функций:

Помощь по математике

Решение:

Вычисления выполним, применяя правила дифференцирования и таблицу производных.

Помощь по математике

Помощь с заданием 5.

Вычислить производную функций:

Помощь по математике

Решение:

а) Функцию Помощь по математике можно записать как сложную функцию в виде Помощь по математике. По правилу дифференцирования сложной функции получаем

Помощь по математике

Помощь по математике

в) Данную функцию можно представить в виде Помощь по математике

Тогда Помощь по математике

Помощь по математике