Полиномиальная формула

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Теорема 2. Для любых натуральных чисел пики любых чисы справедливо равенство Пояснение. Суммирование производится по всем решениям уравнения неотрицательных целых числах. Таким образом, в силу результатов § 3 число слагаемых в данной сумме равно СЦ. Запишем п-ю степень суммы как произведение п множителей, после чего раскроем скобки, не приводя подобных и не меняя порядка множителей:

Если каждое слагаемое рассматривать как n-буквенное «слово», то в полученной сумме присутствуют все «слова» из п букв, в которых каждая буква принимает одно из к значений: Х\, , причем каждое такое слово встречается ровно один раз. После приведения подобных коэффициент при хпк будет равен числу n-буквенных слов, в которых буква х\ встречается п\ раз, . числу перестановок с повторениями Полиномиальная формула Теорема доказана.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Замечание 1. Частным случаем полиномиальной формулы является формула бинома Ньютона Действительно, если в полиномиальной формуле положить Замечание 2. Другим широко известным частным случаем рассматриваемой формулы является формула квадрата суммы к слагаемых Полиномиальная формула Пример 1.

Полунить формулу куба суммы трех слагаемых.

Уравнение имеет решений в неотрицательных целых числах: а также тройки чисел, получающиеся из указанных перестановками элементов. Таким образом, в формуле три различных полиномиальных коэффициента: Искомая формула: Пример 2. В разложении многочлена найти коэффициент при х4 Применяя полиномиальную формулу, получаем: (О Для того чтобы определить, какие слагаемые в полученной сумме содержат х5, нужно решить в неотрицательных целых числах систему двух линейных уравнений с тремя неизвестными.

Из второго уравнения следует нечетность т»2; в силу неотрицательности переменных п2 принимает значения: ], 3 или 5. Все решения системы удобно записать в виде табл. 2, к которой припишем столбец значений коэффициентов при г5 в отвечающих каждому решению слагаемых в (1). Таким образом, коэффициент при г5 равен