Плоский изгиб

Содержание:

  1. Пример решения задачи 1.
  2. Пример решения задачи 2.
  3. Пример решения задачи 3.
  4. Напряжения и деформации при чистом изгибе
  5. Физическая сторона задачи.

Деформация прямого изгиба возникает в том случае, когда на стержень действует поперечная нагрузка, расположенная в одной плоскости (силовой плоскости), проходящей через ось симметрии сечения (рис. 8.1, а). В этой же плоскости располагается изогнутая ось стержня (упругая линия) - рис. 8.1, б. Стержень, работающий на изгиб, называется балкой.

  • При деформации прямого изгиба в поперечном сечении балки возникают два внутренних силовых фактора (рис. 8.1, в): поперечная сила Плоский изгиб

где Плоский изгиб - ось симметрии (главная центральная ось), и действующий в силовой плоскости изгибающий момент Плоский изгиб где Плоский изгиб - другая главная центральная ось сечения, нормальная к оси симметрии.

Плоский изгиб

Вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса действует только изгибающий момент, называется чистым изгибом.

Деформация изгиба является наиболее распространенной при расчете элементов конструкций. Балки широко используются как несущие элементы в строительных и машиностроительных конструкциях.

Правило знаков для Плоский изгиб

Изгибающий момент Плоский изгиб в поперечном сечении балки считается положительным, когда на левом торце правой отсеченной части балки он направлен по часовой стрелке, а на правом торце левой отсеченной части -против часовой стрелки (рис. 8.1, в). При таком направлении момента растягиваются (удлиняются) нижние волокна балки, помеченные пунктирной линией, а верхние волокна сжаты (укорачиваются).

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по сопротивлению материалов:

Предмет сопротивление материалов (сопромат): формулы и лекции и примеры заданий с решением

Поперечная сила Плоский изгиб в поперечном сечении балки положительна, когда на левом торце правой отсеченной части балки она направлена снизу вверх, а на правом торце левой отсеченной части - сверху вниз (рис. 8.1, в). Положительная поперечная сила стремится вращать выделенную часть балки по часовой стрелке относительно любой точки, расположенной внутри выделенной части балки.

Определение Плоский изгиб методом сечений

На основании метода сечений поперечная сила и изгибающий момент в сечении балки могут быть определены через внешние силы, действующие на отсеченную часть балки с использованием соответствующих уравнений равновесия.

Изгибающий момент Плоский изгиб действующий в поперечном сечении балки, по величине равен сумме моментов всех внешних сил, приложенных к рассматриваемой отсеченной части бруса, относительно центральной оси Плоский изгиб этого сечения:

Плоский изгиб

Если внешняя сила в данном сечении растягивает нижние волокна балки, то момент этой силы в этом сечении считается положительным, если растягиваются верхние волокна балки, то момент этой силы будет отрицательным.

Поперечная сила Плоский изгиб в сечении бруса, по величине равна сумме

проекций всех внешних сил, действующих на отсеченную часть бруса, на ось перпендикулярную оси бруса (ось Плоский изгиб

Плоский изгиб

Если данная внешняя сила вращает выделенную часть балки относительно центра тяжести рассматриваемого сечения по часовой стрелке, то она учитывается со знаком плюс, если против часовой стрелки, то со знаком минус.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Задачи на косой изгиб по сопромату примеры и решения

Поперечный изгиб решение задач по сопромату

Расчет фермы: примеры с решением

Олег македонский решение задач по сопромату

Дифференциальные зависимости при изгибе

Двумя бесконечно близкими сечениями выделим элемент балки длиной Плоский изгиб с распределенной нагрузкой (рис. 8.2) и рассмотрим его равновесие.

Плоский изгиб

Плоский изгибОткуда, пренебрегая бесконечно-малыми второго порядка малости, получим Плоский изгиб

Первая производная от изгибающего момента по абсциссе Плоский изгиб равна поперечной силе. Плоский изгиб Полученные дифференциальные зависимости широко используются при проверке правильности построения эпюр внутренних сил при изгибе. Так первая дифференциальная зависимость позволяет определять на участке балки сечения с наибольшим по модулю значением изгибающего момента. Если в сечении балки поперечная сила равна нулю, то функция момента в этом сечении имеет экстремум (максимум или минимум по знаку деформации).

Построение эпюр Плоский изгиб при изгибе

Эпюра внутренней силы - график, показывающий изменение этой силы по длине балки.

Для построения эпюр балка разбивается на участки, в пределах которых функция внутренней силы не меняет своего аналитического выражения. За границы участков принимаются сечения, в которых приложены внешние нагрузки: сосредоточенные силы, сосредоточенные моменты, начинается или заканчивается распределенная нагрузка одного направления и изменяющаяся по одному закону, а также начало и конец балки.

Последовательно на каждом участке вводится скользящая система координатных осей (начало координат совмещается с началом участка) и для произвольного сечения составляются выражения для определения поперечной силы и изгибающего момента.

Затем по этим выражениям в пределах каждого участка строятся графики (эпюры) внутренних сил.

Рассмотрим несколько характерных примеров построения эпюр внутренних сил при изгибе.

Пример решения задачи 1.

Рассмотрим консоль - балку, жестко заделанную одним концом, свободную на другом конце и загруженную силой Плоский изгиб (рис. 8.3, а). Для построения эпюр имеем один участок.

Плоский изгиб

После мысленного рассечения участка балки нормальным сечением удобнее рассмотреть равновесие правой отсеченной части (рис. 8.3, б). В этом случае не придется определять реакции в заделке, да и сил, приложенных к оставленной части, меньше - будут проще выражения для

Плоский изгиб

Начало координат совмещаем с правым концевым сечением балки Плоский изгибТогда, из уравнений равновесия получим Плоский изгиб

Плоский изгиб аналогично для Плоский изгиб имеем Плоский изгиб Плоский изгиб

Можно сразу определить Плоский изгиб по формуле Плоский изгиб Знак плюс у Плоский изгиб появился потому что сила Плоский изгиб вращает правую часть балки

относительно центра тяжести сечения Плоский изгиб по часовой стрелке и поэтому положительна.

Аналогично Плоский изгиб Для определения знака Плоский изгиб в сечении Плоский изгиб мысленно вводим заделку (рис. 8.4, а). Видно, что сила Плоский изгиб растягивает в сечении Плоский изгиб верхние волокна, что соответствует отрицательному изгибающему моменту. Плоский изгиб

При построении Плоский изгиб положительные ординаты откладываем

вверх, а отрицательные вниз. Обязательно по концам участка указываем значения ординат и на эпюре в кружке ставим знак (рис. 8.3, г).

Выражение для Плоский изгиб - уравнение прямой линии. Для ее построения определим значения изгибающего момента в начале и конце участка: Плоский изгиб

По этим значениям строим Плоский изгиб (рис. 8.3, д). Отрицательные

значения моментов откладываем вверх, со стороны растянутых волокон. Знак на эпюре не ставим, так как направление момента уже определено. Если растянуты нижние волокна, то момент будет положителен (рис. 8.4, б). Таким образом, принято правило построения Плоский изгиб на растянутых волокнах.

Те же результаты получим, если рассмотрим равновесие левой части балки (рис. 8.3, в), предварительно определив реакции в жесткой заделке (рис. 8.3, а).

Плоский изгиб

Знак минус у реактивного момента Плоский изгиб означает, что действительное его направление противоположное, поэтому изменяем его на действительное и в дальнейших расчетах знак минус не учитываем (рис. 8.3, в). Делаем проверку реакций- Плоский изгиб

Выражения для Плоский изгиб принимают следующий вид:

Плоский изгиб

Таким образом, на участке поперечная сила положительная и постоянная, а внутренний изгибающий момент изменяется по линейному закону.

Отметим скачки (разрывы функции первого рода) на Плоский изгиб в тех сечениях, где приложены сосредоточенные силы на величину этих сил, и на Плоский изгиб в тех сечениях, где приложены сосредоточенные моменты на величину этих моментов.

Сечение в жесткой заделке является наиболее опасным в данной расчетной схеме Плоский изгиб

Пример решения задачи 2.

Рассмотрим балку, шарнирно опертую по концам и загруженную силой Плоский изгиб в пролете (рис. 8.5, а). Для построения эпюр имеем два участка.

При действии вертикальной нагрузки в шарнирно неподвижной опоре Плоский изгиб горизонтальная составляющая опорной реакции равна нулю (рис. 8.5, а). Начнем расчет с определения опорных реакций:

Плоский изгиб

Обязательно должна быть выполнена проверка найденных реакций:

Плоский изгибПлоский изгиб реакции найдены верно.

Для упрощения вычислений на первом (левом) участке будем идти слева, начало участка полагая на опоре Плоский изгиб (рис. 8.5, б), на втором (правом) участке будем идти справа, начало участка полагая на опоре Плоский изгиб (рис. 8.5, в).

Участок № 1, Плоский изгибПлоский изгиб

Участок № 2, Плоский изгибПлоский изгиб

Эпюры для Плоский изгиб представлены соответственно на рис. 8.5, г и 8.5, д.

Отметим скачки на Плоский изгиб в тех сечениях, где приложены сосредоточенные силы на величину этих сил.

Опасным в данном примере является сечение балки с Плоский изгиб (т. е. сечение, где приложена сосредоточенная сила Плоский изгиб

Очевидно, что по этому сечению и произойдет разрушение балки при достаточно большой величине внешней нагрузки.

Плоский изгиб

Пример решения задачи 3.

Рассмотрим балку, шарнирно опертую по концам и загруженную равномерно распределенной нагрузкой Плоский изгиб в пролете (рис. 8.6, а). Для построения эпюр имеем один участок.

При действии вертикальной нагрузки в шарнирно неподвижной опоре Плоский изгиб горизонтальная составляющая опорной реакции равна нулю (рис. 8.6, а). Начнем расчет с определения опорных реакций:

Плоский изгиб

Обязательно должна быть выполнена проверка найденных реакций: Плоский изгиб реакции найдены верно.

Начало участка совместим с опорным сечением Плоский изгиб (рис. 8.6, б). Равнодействующая распределенной нагрузки на участке длиной Плоский изгиб равна Плоский изгиб и приложена посредине участка так, что расстояние от нее до центра тяжести поперечного сечения Плоский изгиб будет равно Плоский изгиб Плоский изгиб

Участок № 1, Плоский изгибПлоский изгиб

Получено уравнение прямой, которую строим по значениям в начале и в конце участка: Плоский изгиб (рис. 8.6, в).

Проводя прямую замечаем, что на участке есть сечение в котором поперечная сила равна нулю. Найдем положение этого сечения, приравняв нулю выражение для поперечной силы:

Плоский изгиб

В этом сечении, как следует из дифференциальной зависимости между Плоский изгиб изгибающий момент имеет экстремальное значение.

Следуя методике, принятой ранее, получим Плоский изгиб

Изгибающий момент меняется по закону квадратной параболы. Так будет всегда на участках с равномерно распределенной нагрузкой. Для построения эпюры определяем значение момента в трех точках: Плоский изгиб

На обоих опорах изгибающий момент отсутствует. Положительное значение момента в центре пролета откладываем вниз (растянутые волокна нижние) и проводим параболу так, чтобы в сечении с экстремальным (в

данном случае максимум) значением момента касательная к эпюре моментов была параллельна оси балки. Знак на эпюре не ставим (рис. 8.6,

г).

Отметим скачки на Плоский изгиб в тех сечениях, где приложены сосредоточенные силы на величину этих сил.

Опасным будет сечение, в котором изгибающий момент больший по величине Плоский изгиб Это центр пролета при Плоский изгиб

Напряжения и деформации при чистом изгибе

При чистом изгибе в поперечном сечении балки возникает только изгибающий момент Плоский изгиб а поперечная сила Плоский изгиб Для тех участков

однородной балки, где соблюдается это условие, Плоский изгиб следовательно, изменение кривизны будет одним и тем же. Таким образом, упругая линия однородной балки принимает форму дуги окружности.

Для наглядного представления характера деформаций стержней при изгибе, а также для установления упрощающих предпосылок проведем следующий опыт.

На боковые поверхности модели стержня из низкомодульного материала наносится сетка продольных и поперечных линий на равных расстояниях друг от друга (рис. 8.7, а).

Плоский изгиб

При изгибе такого бруса двумя парами сил Плоский изгиб приложенными по концам (рис. 8.7, б), можно видеть, что продольные линии искривляются по дуге окружности, причем расстояние между ними не меняется (справедлива гипотеза о ненадавливании продольных волокон Плоский изгиб

У выпуклой стороны бруса (снизу) эти волокна удлиняются, тогда как у вогнутой (сверху) - укорачиваются. Так как переход от удлинения к укорочению происходит непрерывно, то внутри бруса существует слой волокон, которые искривляются, но не меняют своей длины. Такой слой называется нейтральным слоем, а его след на плоскости сечения - нейтральной (нулевой) линией или осью (волокно Плоский изгиб

Деформации удлинения и укорочения обусловлены нормальными растягивающими напряжениями на выпуклой части балки, и сжимающими - на вогнутой. В нейтральном слое нормальные напряжения равны нулю Плоский изгиб

Поперечные же линии сетки, оставаясь прямыми и перпендикулярными к искривленным продольным линиям, только поворачиваются на некоторые углы по отношению к первоначальному положению (справедлива гипотеза плоских сечений).

Ортогональность продольных и поперечных линий до и после деформирования (как отражение гипотезы плоских сечений) указывает также на отсутствие сдвигов, касательных напряжений в поперечных и продольных сечениях балки.

Естественно предположить, что картина распределения деформаций, наблюдаемая на поверхности бруса, имеет место и внутри него (по ширине сечения деформации не изменяются).

Заметим, что так как волокна, лежащие выше и ниже нейтральной оси соответственно, сжимаются и растягиваются, то в этом случае наблюдается эффект Пуассона, т. е. в верхней половине поперечные размеры увеличиваются, а в нижней - уменьшаются (рис. 8.7, б).

Прежде чем приступить к определению нормальных напряжений, действующих в поперечном сечении при чистом изгибе, сформулируем основные предположения (в том числе и те, которые помог установить опыт), которыми мы будем пользоваться:

1) справедлив закон Гука ( Плоский изгибдля каждого продольного волокна,

2) продольные волокна друг на друга не давят Плоский изгиб

3) справедлива гипотеза плоских сечений,

4) при чистом изгибе в поперечном сечении возникают только нормальные напряжения Плоский изгиб

5) по ширине сечения деформации и напряжения постоянны.

6) силовая плоскость совпадает с плоскостью симметрии Плоский изгиб

Статическая сторона задачи.

Рассмотрим условия равновесия выделенного элемента балки длиной Плоский изгиб который находится в условиях чистого изгиба (рис. 8.8).

Действие левой отброшенной части представим в виде изгибающего момента Плоский изгиб который является равнодействующей нормальных напряжений (статическим эквивалентом напряжений).

Действие правой отброшенной части балки на элемент Плоский изгиб представим в виде элементарных сил Плоский изгиб (рис. 8.8), приложенных к каждой элементарной площадке Плоский изгиб поперечного сечения и параллельных оси балки Плоский изгиб в соответствии с предположением о наличии в поперечном сечении только нормальных напряжений).

Плоский изгиб

Поскольку силовая плоскость совпадает с координатной плоскостью Плоский изгиб то из шести независимых уравнений равновесия три обращаются в

тождества: Плоский изгиб

Остаются

Плоский изгиб

Полученных интегральных зависимостей не хватает для определения напряжений, поскольку неизвестных больше чем уравнений равновесия. Поэтому для получения дополнительных уравнений необходимо рассмотреть геометрическую и физическую стороны задачи.

Геометрическая сторона задачи.

Рассмотрим вырезанный из стержня элемент длиной Плоский изгиб который в масштабе с искаженными в интересах наглядности пропорциями изображен на рис. 8.9.

Пусть его крайние поперечные сечения под действием под действием момента Плоский изгиб симметрично повернутся на угол Плоский изгиб Причем продолжение сторон этих поперечных сечений пересекутся в точке Плоский изгиб которая является центром кривизны продольных волокон элемента Плоский изгиб В нашем случае верхние волокна окажутся растянутыми, а нижние -сжатыми. Волокна некоторого промежуточного слоя Плоский изгиб перпендикулярные к плоскости действия изгибающего момента, сохраняют свою длину и называются нейтральными Плоский изгиб как мы отмечали раннее.

Ввиду малости Плоский изгиб считаем, что точки поперечного сечения при повороте на этот угол перемещаются не по дугам, а по соответствующим касательным.

Здесь Плоский изгиб - радиус кривизны нейтрального волокна Плоский изгиб (изогнутой оси балки).

При чистом изгибе это постоянная величина и волокна изгибаются по дугам окружности этого радиуса. Очевидно, что Плоский изгиб Величина обратная радиусу кривизны называется кривизной нейтральной оси балки и определяется так — Плоский изгиб Плоский изгиб

Рассмотрим относительную деформацию волокна Плоский изгиб находящегося на расстоянии Плоский изгиб от нейтрального волокна Плоский изгиб

Плоский изгиб

Отсюда видно, что удлинение волокон балки по высоте сечения прямо пропорциональны расстоянию от нейтрального волокна.

Полученное выражение и есть искомое геометрическое уравнение. Оно отражает условие совместности деформаций волокон, расположенных на расстоянии Плоский изгиб от нейтральной оси. Оно позволяет определить относительную линейную деформацию любого волокна при изгибе.

Физическая сторона задачи.

Связать между собой статические и геометрическое уравнения поможет закон Гука, на основании которого Плоский изгиб

Итак, после рассмотрения трех сторон задачи, мы получили следующую совместную систему из пяти уравнений (три статические, одно геометрическое и одно физическое), решая которую получаем все необходимые формулы для определения положения нулевого слоя, напряжений и деформаций, геометрических характеристик, которые соответствуют деформации чистого изгиба.

Нормальное напряжение, растягивающее волокно Плоский изгиб с учетом закона Гука будет равно Плоский изгиб

Эта формула не пригодна для практического использования, так как содержит две неизвестные: кривизну нейтрального слоя Плоский изгиб и положение нейтральной оси Плоский изгиб от которой отсчитывается координата Плоский изгиб Для определения этих неизвестных воспользуемся тремя уравнениями равновесия. Первое статическое уравнение дает

Плоский изгиб

Этот интеграл представляет собой статический момент сечения относительно нейтральной оси. Поскольку он равен нулю, то нейтральная линия проходит через центр тяжести сечения и т. о. является центральной.

Определимся с системой координат Плоский изгиб связанной с сечением. Начало координат совместим с центром тяжести сечения. Ось Плоский изгиб направим по нормали к сечению, а ось Плоский изгиб по нейтральной линии. Ось Плоский изгиб перпендикулярна оси Плоский изгиб и совпадает с осью симметрии и следовательно лежит в силовой плоскости, которая одновременно является и плоскостью изменения кривизны (рис. 8.9).

Второе уравнение равновесие дает

Плоский изгиб

Здесь Плоский изгиб представляет собой осевой момент инерции поперечного сечения балки относительно нейтральной оси Плоский изгиб проходящей через центр тяжести сечения. Т. о. кривизна нейтрального слоя Плоский изгиб является мерой деформации балки и она Плоский изгиб тем меньше, чем больше величина Плоский изгиб называемая жесткостью поперечного сечения при изгибе (по аналогии с жесткостью поперечного сечения при растяжении - Плоский изгиб

Подставив значение Плоский изгиб в формулу для напряжений получим

Плоский изгиб

Таким образом, нормальные напряжения в поперечном сечении изменяются по линейному закону. Причем, наибольшие растягивающие или наибольшие сжимающие напряжения возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси и расположенных по обе стороны от нее (рис. 8.9).

Заметим, что в полученную формулу для напряжений следует подставлять абсолютные значения изгибающего момента Плоский изгиб и ординаты Плоский изгиб Знак же напряжений всегда легко устанавливается по знаку момента Плоский изгиб или по характеру деформации балки. И наконец

Плоский изгиб Интеграл представляет центробежный момент инерции площади сечения относительно осей Плоский изгиб и он равен нулю. Следовательно, оси Плоский изгиб - главные центральные оси инерции этого сечения (действительно, ось Плоский изгиб является осью симметрии поперечного сечения балки, а ось Плоский изгиб -центральной).

Формула, определяющая нормальное напряжение в произвольной точке рассматриваемого поперечного сечения балки, применима при условии, что плоскость действия изгибающего момента Плоский изгиб (которая совпадает с силовой плоскостью) проходит через ось симметрии сечения Плоский изгиб (которая одновременно является и главной центральной).

При этом другая главная центральная ось Плоский изгиб - перпендикулярна к плоскости действия изгибающего момента и является нейтральной осью поперечного сечения.

При чистом изгибе Плоский изгиб балки постоянного сечения Плоский изгиб

радиус кривизны Плоский изгиб изогнутой оси балки имеет постоянное

значение, т. е. балка изгибается по дуге окружности

Плоский изгиб с учетом Плоский изгиб имеем Плоский изгиб

Таким образом, концевые сечения такой балки длиной Плоский изгиб повернутся

относительно друг друга на угол Плоский изгиб (рис. 8.9).

Условие прочности

По условию прочности наибольшие нормальные напряжения не должны превышать соответствующих допускаемых напряжений:

Плоский изгиб

Здесь Плоский изгиб - осевой момент сопротивления сечения при изгибе (зависит только от размеров и формы поперечного сечения) Плоский изгиб - расстояние от нейтральной оси до наиболее удаленной точки сечения (рис. 8.9); Плоский изгиб -допускаемое нормальное напряжение, задаваемое нормами проектирования и зависящее от материала балки, Плоский изгиб - максимальное значение изгибающего момента (легко определяемое по его эпюре).

Записанное выше условие прочности справедливо для балок из материала, одинаково сопротивляющегося растяжению и сжатию.

Как это принято при расчетах на прочность в сопротивлении материалов, должно соблюдаться следующее неравенство, позволяющее обеспечить экономичное расходование материала при выполнении условия прочности

Плоский изгиб

Определим осевые моменты сопротивления для прямоугольного и круглого сечений.

Для прямоугольного сечения шириной Плоский изгиб и высотой Плоский изгиб

Плоский изгиб

Для круглого сечения диаметром Плоский изгиб

Плоский изгиб

Если материал балок по разному сопротивляется растяжению и сжатию, то следует различать наибольшие растягивающие Плоский изгиб и наибольшие сжимающие Плоский изгиб напряжения, которые определяются по модулю непосредственно и сравниваются с допускаемыми. Условие прочности в этом случае будет иметь вид:

Плоский изгиб

Здесь Плоский изгиб - расстояние от нейтральной оси до наиболее удаленных растянутых волокон, Плоский изгиб расстояние от нейтральной оси до наиболее удаленных сжатых волокон, Плоский изгиб - допускаемые напряжения на растяжение, Плоский изгиб - допускаемые напряжения на сжатие.

Рациональные формы поперечных сечений при изгибе

Наиболее рациональным следует признать сечение, обладающее минимальной площадью при заданной нагрузке (изгибающем моменте) на балку и у которого получается наибольшая величина момента сопротивления Плоский изгиб

Для этого нужно, чтобы по возможности наибольший объем материала работал при напряжениях, равным допускаемым или близким к ним. Другими словами, возможно большую часть материала переместить в зоны, максимально удаленные от нейтральной оси.

Очевидно, что при этом должно удовлетворяться условие прочности растянутой и сжатой зон балки.

Таким образом, приходим к рациональному для пластичного материала сечению в форме симметричного двутавра, у которого возможно большая часть материала сосредоточена на полках, соединенных стенкой, толщина которой Плоский изгиб назначается из условий прочности стенки по касательным напряжениям, а также из соображений ее устойчивости (рис. 8.10,

Плоский изгиб

К двутавровому сечению близко по критерию рациональности так называемое коробчатое сечение (рис. 8.11, а).

Рассуждая аналогично, приходим к выводу, что для балок из хрупкого материала наиболее рациональным будет сечение в форме несимметричного двутавра (рис. 8.10, б).

Идея рациональности поперечного сечения балок реализована в стандартных тонкостенных профилях, получивших широкое распространение в строительстве, машиностроении, авиационном машиностроении. Широко распространены двутавр (рис. 8.11, б), швеллер (рис. 8.11, в), неравнобокий уголок (рис. 8.11, г), равнобокий уголок (рис. 8.11, д). Плоский изгиб

При расчете на прочность элементов конструкций, работающих на изгиб, возможны три следующих вида задач, различающихся формой использования условия прочности.

Это проверочный расчет {проверка прочности). В этом случае известны внешняя нагрузка, сечение стержня и его материал. Необходимо убедиться, что выполняется условие прочности

Плоский изгиб

Подбор сечения (проектный расчет). По заданной нагрузке определяются размеры поперечного сечения стержня из известного материала через осевой момент сопротивления: Плоский изгиб

Определение допускаемой нагрузки, то есть максимального значения нагрузки, которое допускает данный элемент конструкции при выполнении условия прочности Плоский изгиб

Поперечный изгиб

При поперечном изгибе в сечении балки возникают изгибающий момент Плоский изгиб и поперечная сила Плоский изгиб Поперечная сила представляет

собой равнодействующую неравномерно распределенных по высоте поперечного сечения, лежащих в плоскости сечения касательных напряжений Плоский изгиб

В свою очередь, касательные напряжения способствуют появлению угловых деформаций Плоский изгиб которые также по высоте сечения будут неравномерно распределены. Поперечные сечения не остаются плоскими, они искривляются (депланируются), т. е. гипотеза плоских сечений не выполняется.

Выясним условия, при которых влиянием депланации сечения, вызываемой поперечной силой, можно пренебречь. Для этого выясним зависимость касательных напряжений от поперечной силы и от геометрических характеристик сечения.

Все гипотезы, принятые при выводе формулы для нормальных напряжений при чистом изгибе, остаются справедливыми и в нашем случае.

Выделим из балки, которая испытывает деформацию поперечного изгиба, элемент длиной Плоский изгиб (рис. 8.12, а). Здесь изгибающие моменты, возникающие в левом и правом сечениях элемента, не одинаковы и отличаются на величину Плоский изгиб

Уравнение равновесия элемента Плоский изгиб в виде суммы моментов действующих на него сил относительно точки Плоский изгиб (см. рис. 8.12, а):

Плоский изгиб

Таким образом, первая производная от изгибающего момента по длине балки равна поперечной силе. Эта зависимость называется теоремой Журавского.

Продольным горизонтальным сечением, проведенным на расстоянии Плоский изгиб от нейтральной оси (рис. 8.12, б), разделим элемент на две части и рассмотрим условия равновесия верхней части. Плоский изгиб Равнодействующая нормальных сил в левом сечении Плоский изгиб в пределах заштрихованной площади Плоский изгиб равна, очевидно,

Плоский изгиб

Здесь через Плоский изгиб обозначена в отличие от Плоский изгиб текущая ордината площадки Плоский изгиб в отсеченной части сечения и для простоты индекс Плоский изгиб при Плоский изгиб не указан (рис. 8.12, в).

Полученный интеграл представляет собой статический момент относительно оси Плоский изгиб части площади, расположенной выше продольного сечения (выше уровня Плоский изгиб Обозначим этот статический момент через Плоский изгиб

В правом сечении нормальная сила будет другой

Плоский изгиб

Разность этих сил -Плоский изгиб должна уравновешиваться касательными силами, возникающими в продольном сечении элемента Плоский изгиб

В качестве первого приближения примем, что касательные напряжения распределены по ширине сечения Плоский изгиб равномерно. Тогда

Плоский изгиб

Полученное выражение позволяет вычислить величину касательных напряжений, возникающих в продольных сечениях балки. Напряжения в поперечных сечениях Плоский изгиб равны им, как парные.

Таким образом, величина касательных напряжений Плоский изгиб в поперечных сечениях балки и в сечениях ее плоскостями, параллельными нейтральному слою, определяются по формуле

Плоский изгиб

где Плоский изгиб - поперечная сила в рассматриваемом поперечном сечении балки; Плоский изгиб статический момент (относительно нейтральной оси) отсеченной части поперечного сечения, расположенной по одну сторону от уровня, на котором определяются касательные напряжения; Плоский изгиб - момент инерции всего поперечного сечения относительно нейтральной оси; Плоский изгиб - ширина поперечного сечения на том уровне, на котором определяются касательные напряжения Плоский изгиб Здесь для простоты индекс Плоский изгиб при Плоский изгиб не указан.

Определим в качестве примера касательные напряжения в прямоугольном сечении балки, изображенном на рис. 8.13, а. Плоский изгиб В нашем случае Плоский изгибПлоский изгиб

Тогда Плоский изгиб

Из этого выражения следует, что касательные напряжения изменяя-ются по высоте поперечного сечения по закону квадратной параболы. При Плоский изгиб напряжения Плоский изгиб Наибольшие напряжения имеются в точках нейтральной оси, т. е. при Плоский изгиб

При сечении любой другой формы характер изменения Плоский изгиб по высоте сечения будет зависеть от того, по какому закону изменяется отношение

Плоский изгиб

Таким образом, в случае прямоугольного сечения наибольшие касательные напряжения в 1,5 раза больше среднего его значения, равного

Плоский изгиб

Эпюра касательных напряжений, показывающая их изменение по высоте сечения балки, изображена на рис. 8.13, б.

Для сопоставления абсолютных величин Плоский изгиб возникающих в поперечных сечениях балки, рассмотрим следующий пример (рис. 8.14,

а).

На рис. 8.14, б, в показаны эпюры поперечных сил и изгибающих моментов соответственно. Плоский изгиб а В нашем случае максимальные нормальные напряжения будут равны

Плоский изгиб максимальные касательные напряжения - Плоский изгиб а их отношение дает нам Плоский изгиб

Таким образом, для достаточно больших отношений Плоский изгиб (длинные балки), касательные напряжения существенно меньше нормальных напряжений. Указанная порядковая оценка, за небольшими возможными исключениями, сохраняется вообще для всех нетонкостенных балок.

По этой причине расчет на прочность длинных балок при поперечном изгибе обычно производится только по нормальным напряжениям и формула Плоский изгиб является основной формулой.

Здесь для простоты индекс Плоский изгиб не указан.