Площадь криволинейной трапеции 2

Площадь криволинейной трапеции 2

Площадь криволинейной трапеции 2

Площадь криволинейной трапеции 2

Площадь криволинейной трапеции 2

Площадь криволинейной трапеции 2

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Решение задач по математике

Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную осью Ох, кривой y=f(x) и двумя прямыми: х=а и х=Ь (рис. 85). Возьмем произвольное значение х (только не а и не Ь). Дадим ему приращение h = dx и рассмотрим полоску, ограниченную прямыми АВ и CD, осью Ох и дугой BD, принадлежащей рассматриваемой кривой.

Эту полоску будем называть элементарной полоской. Площадь элементарной полоски отличается от площади прямоугольника ACQB на криволинейный треугольник BQD, а площадь последнего меньше площади прямоугольника BQDM со сторонами BQ = =h=dx} QD=Ay и площадью, равной hAy = Ay dx. С уменьшением стороны h сторона Ду также уменьшается и одновременно с h стремится к нулю. Поэтому площадь BQDM является бесконечно малой второго порядка.

Площадь элементарной полоски есть приращение площади, а площадь прямоугольника ACQB, равная АВ-АС==/(х) dx> есть дифференциал площади. Следовательно, саму площадь найдем, интегрируя ее дифференциал. В пределах рассматриваемой фигуры независимое переменное л: меняется от а до b, поэтому искомая площадь 5 будет равна 5= \f(x) dx. (I)

Пример 1. Вычислим площадь, ограниченную параболой у — 1 —х*, прямыми X =--Fj-, х = 1 и осью О* (рис. 86). у Рис. 87. Рис. 86. 1 Здесь f(x)= 1 — л?, пределы интегрирования а = — и £=1, поэтому J [*-т]\- -fl —— Г —1—±Л_ 1V1 -l-l-Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Пример 2. Вычислим площадь, ограниченную синусоидой y = sinXy осью Ох и прямой (рис. 87). Применяя формулу (I), получаем Л 2 S= J sinxdx= [—cos x]Q =0 —(—1) = lf Пример 3. Вычислим площадь, ограниченную дугой синусоиды ^у = sin jc, заключенной между двумя соседними точками пересечения с осью Ох (например, между началом координат и точкой с абсциссой я).

Заметим, что из геометрических соображений ясно, что эта площадь будет в два раза больше площади предыдущего примера.

Однако проделаем вычисления: я 5= | s\nxdx= [ — cosх}* — — cos я—(—cos 0)= 1 + 1 = 2. о Действительно, наше предположение оказалось справедливым. Пример 4. Вычислить площадь, ограниченную синусоидой и ^ осью Ох на одном пе-х риоде (рис. 88). Предварительные рас-рис суждения позволяют предположить, что площадь получится в четыре раза больше, чем в пр. 2. Однако, произведя вычисления, получим «я Г ,*я S — \ sin х dx = [ — cos х]0 = = —cos 2л —(—cos 0) = — 1 + 1 = 0.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Односторонние пределы, правосторонний предел, левосторонний
Выберем систему координат. Искомое расстояние. Проекция ускорения
Стехиометрические соотношения в химии
Построение прямой линии параллельно плоскости

Этот результат требует разъяснений. Для выяснения сути дела вычисляем еще площадь, ограниченную той же синусоидой у = sin л: и осью Ох в пределах от л до 2я. Применяя формулу (I), получаем 2л $2л sin хdx=[ — cosх]л =—cos 2я~}-с05я=— 1—1 =—2. я Таким образом, видим, что эта площадь получилась отрицательной. Сравнивая ее с площадью, вычисленной в пр. 3, получаем, что их абсолютные величины одинаковы, а знаки разные.

Если применить свойство V (см. гл. XI, § 4), то получим 2л я 2л J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (— 2) = 0То, что получилось в этом примере, не является случайностью. Всегда площадь, расположенная ниже оси Ох, при условии, что независимое переменное изменяется слева направо, получается при вычислении с помощью интегралов отрицательной. В этом курсе мы всегда будем рассматривать площади без знаков. Поэтому ответ в только что разобранном примере будет таким: искомая площадь равна 2 + |—2| = 4. Пример 5.

Вычислим площадь ОАВ, указанную

на рис. 89. Эта площадь ограничена осью Ох, параболой у = — хг и прямой у — =—х+\. Площадь криволинейной трапеции Искомая площадь ОАВ состоит из двух частей: ОАМ и МАВ. Так как точка А является точкой пересечения параболы и прямой, то ее координаты найдем, решая систему уравнений 3 2 У = тх. (нам нужно найти только абсциссу точки А).

Решая систему, находим л; = ~. Поэтому площадь приходится вычислять по частям, сначала пл. ОАМ, а затем пл. МАВ: .... Г 3 2 , 3 Г хП 3 1 / 2 У 2 . QAM-^х [TJo -T-tUJ =27> пл. МАВ 7 и \ 2 ) \ 3 2*9/ Т8# Следовательно, искомая площадь равна пл. ОАВ— пл. ОАМ + пл. = ^ + = Пример б. Вычислим площадь, ограниченную параболой у = х2 — 2х и прямой у = 2х—3 (рис. 90). Искомая площадь ABCD. Она частично расположена над осью Ох, частично — под ней.

Поэтому вычисления нельзя Площадь криволинейной трапеции провести сразу. Рассмотрим вместо площади ABCD две площади: ABD и DBC. Каждая из них не является криволинейной трапецией (см. гл. IX, § 4), а при помощи определенного интеграла можно вычислять площади только криволинейных трапеций. Следовательно, надо поступить иначе.

Представим площадь ABCD так: пл. ABCD = ил. ABE— — пл. ADE + пл. DMC— — пл. ВМС. Рис> 90, Теперь все четыре части яв- ляются криволинейными трапециями (две из них, ADE и DMC> просто треугольники). Вычислим площадь каждой из них, для этого нам потребуются точки Е (1,0), £>( у, о), В(2,0), ЛГ(3,0). Получим: г . АВЕ=~, так как j (хг — 2х) dx = * = —1, Поэтому