Первые научные системы – геометрия Евклида и математика Пифагора

Содержание:

1. Греческая математика
2. Средневековье и Ренессанс
3. Начало современной математики
4. Современная математика
5. Заключение

 

По этой ссылке вы сможете посмотреть на образец титульного листа реферата и научиться его оформлять:

 

Титульный лист реферата

 

Посмотрите похожие темы возможно они вам могут быть полезны:

Докажите что одно прилагательное может относиться к 3м разрядам

Лидерство и руководство в организации

Романтизм в Русской литературе 19 века

Этические проблемы в искусственном интеллекте и когнитивных вычислениях

 

Введение:

Самым древним математическим занятием был счет. Счет должен был вести учет скота и торговли. Некоторые примитивные племена подсчитывали количество предметов, сравнивая различные части тела, главным образом пальцы рук и ног. Наскальная живопись, сохранившаяся со времен каменного века, изображает 35 из 35 палочек расположенных в ряд.

Первыми значительными достижениями в арифметике стали концептуализация чисел и изобретение четырех основных операций: сложения, вычитания, умножения и деления. Первые достижения геометрии связаны с такими простыми понятиями, как прямые линии и окружности. Дальнейшее развитие математики началось около 3000 года до нашей эры, благодаря вавилонянам и египтянам.

Греческая математика

Классическая Греция. С точки зрения 20-го века. предками математики были греки классического периода (6 - 4 века до н. э.). Математика, существовавшая в прежние времена, представляла собой совокупность эмпирических выводов. Напротив, в дедуктивном рассуждении новые утверждения выводятся из принятых допущений таким образом, что исключается возможность их отклонения.

Греческая претензия на дедуктивное доказательство была экстраординарным шагом. Другие цивилизации не пришли к идее делать выводы только на основе дедуктивных рассуждений, основанных на явно выраженных аксиомах. Одно из объяснений того, что греки придерживаются дедуктивного метода, можно найти в структуре греческого общества в классический период. Математики и философы (часто одни и те же люди) принадлежали к высшим слоям общества, и практическая деятельность считалась недостойной профессией.

Математика предпочитала абстрактные рассуждения числам, а пространственные отношения - решению практических задач.

Математика была разделена на арифметико-теоретические аспекты и логистико-вычислительные аспекты. Материально-техническое обеспечение было предоставлено Вольнорожденным низшим классам и рабам.

Греческая система счисления была основана на использовании букв в алфавите. Аттическая система, которая использовалась с VI-III века до н. э.,использовала вертикальную линию для обозначения единиц измерения, а в ионной системе счисления после греческих имен для обозначения чисел 5,10, 100, 1000 и 10 000 использовались 24 буквы греческого алфавита и три архаичные буквы для обозначения чисел. Кратные от 1000 до 9000 обозначались как первые девять целых чисел от 1 до 9, но каждой букве предшествовала вертикальная линия. Десятки тысяч обозначаются буквой М (от греческого myrioi-10 000), после чего в нее кладется миллион

Дедуктивный характер греческой математики полностью сформировался во времена Платона и Аристотеля. Изобретение дедуктивной математики обычно приписывают Фалесу Милетскому (ок. 640-546 до н. э.), как и многие древнегреческие математики классической эпохи, был также философом. Это сомнительно, но Фалесу было предложено использовать дедукцию для доказательства некоторых результатов геометрии.

 

Еще одно великое греческое слово, название которого связано с развитием математики, Пифагор.

 

Считается, что он может быть знаком с Вавилонской и египетской математикой во время своих долгих путешествий. Пифагор основал движение осеннего цветения примерно в период о. В 550-300 годах до нашей эры пифагорейцы создали чистую математику в виде чисел и теорий геометрии. Они представляют целые числа в виде точек или камешков и классифицируют эти числа в соответствии с формой результирующей фигуры ("число фигур"). Слово "расчет" (расчет, расчет) происходит от греческого слова, означающего"галька". Пифагорейцы называют числа 3, 6, 10 и так далее. Треугольники, камни соответствующего числа могут быть расположены в виде треугольников, поэтому цифры 4, 9, 16 и т. д. - Потому что соответствующее количество квадратов, камней и т. д., можно расположить как квадрат.

От простой геометрической конфигурации остались некоторые характеристики целых чисел. Например, Пифагор обнаружил, что сумма числа двух последовательных треугольников всегда равна числу нескольких квадратов. Они обнаружили, что если (в современной нотации) n2-квадратное число, то n2+2n+1=(n+1)2. Пифагорейцы называли число совершенным, которое равно сумме всех подходящих делителей, кроме самого этого числа. Примером идеального числа может служить целое число, например 6, 28 или 496. Пифагор называл эти два числа дружественными, когда каждое из них равно сумме других делителей; например, 220 и 284 являются дружественными числами (здесь само число исключается из правильного делителя).

Для Пифагора любое число представляло собой нечто большее, чем количественное значение. Например, номер 2, согласно их взглядам, демонстрировал различия,и поэтому был отождествлен с мнениями. Четыре означает справедливость, потому что это первое число, равное произведению двух одинаковых множителей.

Пифагорейцы также обнаружили, что сумма квадратов определенной пары снова является квадратным числом. Например, сумма 9 и 16 равна 25, а сумма 25 и 144 равна 169. Тройки чисел, такие как 3,4 и 5, или 5, 12 и 13, называются числами Пифагора. Они имеют геометрическую интерпретацию: если три числа равны длине каттата прямоугольного треугольника, то третье число равно длине его гипотенузы. Эта интерпретация, по-видимому, привела пифагорейцев к осознанию более общего факта, известного теперь как теорема Пифагора, а именно длины прямоугольного треугольника.

Когда Пифагор исследовал прямоугольный треугольник с одним катетом, они обнаружили, что его гипотенуза была равна по длине, это привело их в замешательство, поэтому пифагорейцы называли сумму, не представленную в виде отношения целых чисел. Примерно в 300 году до нашей эры Евклид доказал, что это число невозможно доказать. Пифагорейцы имели дело с иррациональным числом, представляющим все величины геометрических образов. Если длина некоторых отрезков считать равной 1 то разница между рациональными и иррациональными числами сглаживается. Произведение чисел и представляет собой прямоугольную область со сторонами длины и .Даже сегодня мы иногда говорим о числе 25 как о 5 квадратах, а о числе 27 как о 3 кубах.

Древние греки решали уравнения неизвестного с помощью геометрических построений. Разработана специальная конфигурация для выполнения сложения, вычитания, умножения и деления отрезков, извлечения квадратного корня из длины отрезков.

Сведение этой проблемы к геометрическим фигурам привело ко многим важным результатам. В частности, числа стали рассматривать отдельно от геометрии, поскольку с невозможными соотношениями можно было справиться только с помощью геометрических методов. Геометрия стала основой почти всей строгой математики по крайней мере до 1600 года. Даже в XVIII веке, когда алгебра и математический анализ были уже достаточно развиты, строгая математика рассматривалась как геометрия, и слово "геометр" было эквивалентно слову "математик".

Пифагору нужно много математики, систематизированной и доказанной евклидовым принципом. Теперь у них есть основания полагать, что они открыли так называемую теорему о треугольниках, параллельных линиях, многоугольниках, кругах, сферах и правильных многогранниках.

Одним из наиболее выдающихся пифагорейцев является Платон (ок. 427-347 до н. э.). Платон был убежден, что физический мир может быть понят только с помощью математики. Считается, что именно ему принадлежит заслуга изобретения методов анализа доказательств. (Метод анализа начинается с утверждения, которое должно быть доказано, и результаты последовательно выводятся до тех пор, пока они не достигнут известных фактов; доказательство получается с помощью обратного procedure.It считается, что последователи Платона изобрели метод доказательства под названием "Доказательство от противного". Заметное место в истории математики занимает Аристотель, ученик Платона. Аристотель заложил основы науки логики и высказал много идей о возможностях определения, аксиом, бесконечностей и геометрических построений.

Полученные результаты величайшего греческого математика классического периода, следуя значению Архимеда, Евдокса (ок. 408-355 до н. э.). Именно он ввел понятие размера объектов, таких как прямые линии и углы. Евдокс с помощью понятия величины логически и строго обосновал способы обращения с иррациональным числом Пифагора.

Работа Евдокса позволила установить дедуктивную структуру математики на основе явно сформулированных аксиом. Он также изобрел метод вычисления площади и объема, названный "методом исчерпания", поэтому он сделал первые шаги в создании математического анализа. Евдокс также принадлежит к первой астрономической теории, объясняющей движение наблюдаемых планет, поскольку этот метод заполняет площадь или объем фигуры или объекта, являющегося объектом исследования ("выхлопа"), и строит плоскую форму или космическое тело, вписанное и описанное. Он показал, как комбинация вращающихся сфер с различными радиусами и осями вращения может объяснить кажущееся случайным движение Солнца, Луны и планет.

Около 300 года до нашей эры результаты многих греческих математиков были объединены в единое целое Евклидом, который написал первый математический шедевр. Из некоторых тщательно подобранных аксиом Евклид сделал вывод, что теорема примерно 500 охватывает все наиболее важные результаты классического периода. Евклид начал свою работу с определения таких терминов, как прямые линии, углы и круги. Затем он сформулировал такую самоочевидную истину, как "целое больше любой части. И из этих десяти аксиом Евклид сумел вывести все теоремы. Для математиков текст евклидова принципа, вплоть до 19 века, считался возможным использовать таким серьезным образом, как бессознательное использование неформатированных предположений.

Аполлоний (ок. 262-200 до н. э.) жил в Александрийский период, но его основное произведение выдержано в духе классической традиции. Его анализ круглых, эллиптических, параболических, гиперболико-конических сечений был кульминацией развития греческой геометрии. Аполлоний также стал основоположником количественной математической астрономии.

Александрийские Времена. В этот период, который начался около 300 года до нашей эры, греческие математические символы были изменены. Александрийская математика возникла из слияния классической греческой математики с Вавилонской и египетской математикой. Вообще, математики Александрийской эпохи склонны были решать чисто технические проблемы, а не философские. Великие александрийские математики - Эратосфен, Архимед, Гиппарх, Птолемей, Диофант и Папп-были среди греческих гениев теоретической абстракции.

Эратосфен нашел простой способ точно рассчитать окружность Земли. Он также владеет календарем, который имеет больше дней, чем другие каждые четыре года. Астроном Аристарх (310-230 гг. до н. э.) написал исследование о размерах и расстояниях солнца и Луны, в том числе одну из первых попыток определить эти размеры и расстояния.

Величайшим математиком древности был Архимед. Он сформулировал множество теорем о сложных формах, площади и количестве тел и доказал их строго методом усталости. Архимед всегда стремился получить точное решение и находил верхний и нижний пределы неразумных чисел. Например, работая с правильным 96-Гон, он прекрасно доказал, что точное значение числа π находится между 31/7 и 310/71. Архимед также доказал несколько теорем, в том числе новые результаты геометрической алгебры. Она предполагает постановку задачи о рассечении сфер в плоскости таким образом, чтобы объемы сегментов находились в заданном соотношении друг с другом. Архимед решил эту задачу, найдя пересечение гиперболы параболы и равнобедренного треугольника.

Архимед был Величайшим математическим физиком древности. Для доказательства теоремы механики он использовал геометрические соображения. Его эссе о плавающих телах заложили основы гидростатики. Согласно легенде, Архимед открыл закон, который носит его имя. Во время купания, находясь в ванной, и не в силах справиться с радостью открытия, он голый выбежал на улицу с криком: "Эврика! ("Открытие!»)

Во времена Архимеда они уже не ограничивались геометрическими конструкциями, которые можно было сделать только с помощью циркуля и линейки. Архимед использовал в своей конструкции спирали, а Диокл (конец 2-го века до н. э.) решил задачу удвоения куба с помощью введенных им кривых.

В Александрийскую эпоху арифметика и алгебра считались независимыми от геометрии. Греки классического периода имели логическую теорию целых чисел, но Александрийские греки, принявшие арифметику и алгебры Вавилонии и Египта, жили между 100 г. до н. э. и 100 г. н. э., а Александрийский цапля превратил многие греческие геометрические фигуры в откровенно расплывчатые вычислительные процедуры. Однако, доказывая новую теорему евклидовой геометрии, он все же следовал критерию логической строгости классического периода.

Первая довольно объемистая книга, в которой арифметика была представлена независимо от геометрии, была написана Никомахом и представляла собой введение в арифметику. В истории арифметики ее роль сравнима с евклидовым принципом в истории геометрии. Более 1000 лет она служила стандартным учебником, поскольку в ней четко, ясно и всесторонне излагалось учение о целых числах(простых, сложных, взаимно-простых и пропорциях). Никомах также видел отношения более распространенными, поэтому он привел их без доказательств, но повторил многие утверждения Пифагора, введение Никомаха пошло дальше.

Александрия является важной вехой в греческой алгебре Диофанта. Одно из его главных достижений связано с введением в алгебру принципа символизма. В своей работе Диофант не привел общего метода. Он положил начало так называемому Диофантовому анализу-изучению неопределенных уравнений.

Лучшим достижением Александрийского математика было создание количественной астрономии. До Гиппарха (ок. 161-126 гг. до н. э.) Мы обязаны изобретением тригонометрии. Его метод был основан на теореме, указывающей, что в таком треугольнике отношение длин одной стороны равно отношению длин соответствующих сторон другой. В частности, отношение длины катетера к острому углу а прямоугольного треугольника к длине гипотенузы не является одинаковым для всех правильных треугольников с одинаковым острым углом а отношение длины других сторон прямоугольного треугольника называется Косинусом и касательной угла А. Гиппарх изобрел способ вычисления такого отношения,и с помощью этих таблиц и легко измеримых расстояний на поверхности Земли он смог вычислить длину ее Большого Круга и расстояние до Луны. По современным данным, соотношение радиусов Луны и Земли составляет 27/1000. Гиппарх определил продолжительность солнечного года с погрешностью 61/2 минуты;считается, что именно он ввел широту и долготу.

Греческое применение тригонометрии и астрономии достигло своего пика в Альмагесте Клавдия Птолемея В Египте. В Альмагесте была опубликована теория движения небесных тел, которая была популярна вплоть до XVI века, когда ее сменила теория Коперника. Птолемей попытался построить простейшую математическую модель, и его теория победила именно потому, что было легче моделировать, что просто удобное математическое описание астрономических явлений соответствовало наблюдениям.

Упадок Греции. После римского завоевания Египта в 31 году до н. э. Великая греческая Александрийская цивилизация пришла в упадок. Цицерон, в отличие от греков, с гордостью утверждал, что римляне не были мечтателями и что они практиковали математические знания, чтобы извлечь реальную пользу. Однако вклад римлян в развитие самой математики был незначителен. Римская система счисления была основана на тревожных числах. Его главной особенностью был аддитивный принцип. Даже принцип вычитающего письма в виде числа 9, например IX, начал широко использоваться только после изобретения наборной формы букв в 15 веке. Римские цифры использовались в некоторых европейских школах примерно до 1600 года и были сохранены столетием позже.

Средневековье и Ренессанс

Средневековая Европа. Римская цивилизация не оставила заметного следа в математике, поскольку была слишком заинтересована в решении практических задач. Цивилизация, возникшая в раннесредневековой Европе не был продуктивен по противоположной причине: интеллектуальная жизнь была сосредоточена почти исключительно на теологии и загробной жизни. Уровень математических знаний не поднимался выше арифметических и простых разделов с самого начала Евклида. Наиболее важной отраслью средневековой математики считалась астрология. А поскольку врачебная практика основывалась в основном на астрологических показаниях или противопоказаниях, то медицинским специалистам ничего не оставалось, как стать математиком.

Около 1100 года Европа получила обширную математическую литературу, потому что арабы владели почти всеми трудами древних греков, в то время как западноевропейская математика начала почти трехвековой период освоения древнего мира и Восточного наследия, сохраненного арабами и византийцами. Перевод этих работ на латынь способствовал развитию математических исследований. Великие ученые того времени признавали, что они были вдохновлены писаниями греков.

Стоит упомянуть Леонардо первого европейского математика Пизы (Фибоначчи). В своей работе "книга счетов" (1202) он познакомил европейцев с арабской алгеброй, а также с индийско-арабскими цифрами и методами вычисления.

В течение следующих нескольких столетий математическая активность Европы снизилась. Набор математических знаний той эпохи, составленный Лукой Пачоли в 1494 году, не включал в себя алгебраические новшества, которыми Леонардо не обладал.

Среди лучших географов возрождения Ренессанса был художник, развивший идею о перспективе сближения параллельных прямых линий и требовательных геометрических фигур. Художник Леон Баттиста Альберти ввел понятие проекции и сечения. Прямой луч света из глаза наблюдателя образует проекцию на различные точки сцены. Для того чтобы нарисованная картина выглядела реалистично, она должна была иметь такое поперечное сечение. Понятие проекции и сечения вызвало чисто математический вопрос. Например, каковы общие геометрические свойства сечений и свойства двух различных сечений одной и той же проекции на ранних стадиях, чем обусловлена проективная геометрия, исходя из таких вопросов различных углов. Его основатель - Ж.Дезарг унифицировал подходы к различным типам конических сечений с использованием проекций и секционного доказательства.

Начало современной математики

Начало XVI века в Западной Европе ознаменовалось значительными достижениями в области алгебры и арифметики. В оборот были введены десятичные дроби и правила их арифметических операций. Настоящая победа была одержана в 1614 г. это было изобретение логарифмов Блаватской.Напье к концу XVII века окончательно сформировалось понимание логарифмов как экспоненты с любым положительным числом, отличным от положительного числа в качестве основы. С начала XVI века абсурдные числа стали более широко использоваться. Б. Паскаль и И. Барроу , преподаватели Кембриджского университета И. Ньютона утверждали, что такое число

как , можно трактовать лишь как геометрическую величину. Однако в те же годы Р.Декарт (1596–1650) и Дж.Валлис (1616–1703) считали, что иррациональные числа допустимы и сами по себе, без ссылок на геометрию. В 16 в. продолжались споры по поводу законности введения отрицательных чисел. Еще менее приемлемыми считались возникавшие при решении квадратных уравнений комплексные числа, такие как , названные Декартом «мнимыми». Эти числа были под подозрением даже в 18 в., хотя Л.Эйлер (1707–1783) с успехом пользовался ими. Комплексные числа окончательно признали только в начале 19 в., когда математики освоились с их геометрическим представлением.

Достижения в алгебре. В 16 в. итальянские математики Н.Тарталья (1499–1577), С.Даль Ферро (1465–1526), Л.Феррари (1522–1565) и Д.Кардано (1501–1576) нашли общие решения уравнений третьей и четвертой степеней. Чтобы сделать алгебраические рассуждения и их запись более точными, было ведено множество символов, в том числе +, –, , , =, > и <. Самое важное новшество-это французский математик F.It было систематическое использование букв для обозначения неизвестных и постоянных величин Виета (1540-1603). Это нововведение позволило нам найти единственный способ решения уравнений второй, третьей и четвертой степени. Затем математики пришли к уравнению, сила которого была выше четвертой. Работая над этим вопросом, Кардано, Декарт, И. Ньютон (1643-1727) опубликовали несколько результатов о числе и типе корней уравнения (без доказательств). Ньютон, то есть выражение ax2+bx+c=0 дискриминант b2-4ac является равным вещественным числом, другим вещественным числом или 1799C, в зависимости от того, является ли выражение нулем, больше или меньше zero.In Фридрих Гаусс (1777-1855), алгебраические доказательства так называемых фундаментальных теорем: все многочлены n-го порядка имеют ровно n корней.

Основная задача алгебры, поиск общих решений алгебраических уравнений, продолжала занимать математиков и в начале XIX века. Когда мы говорим об общем решении второго уравнения ax2+bx+c=0, то обнаруживаем, что каждый из двух его корней имеет конечное число операций вычитания, умножения и деления, кроме того, существует множество специальных типов уравнений выше 4, допускающих такие решения.

Накануне своей смерти на дуэли молодой французский математик Э. Галуа (1811-1832) дал решающий ответ на вопрос, какие уравнения могут быть решены радикалами. Теория Галуа ввела понятие групп, использующих корневые перестановки или перестановки, найдя широкое применение во многих областях математики.

Развитие теории групп является хорошим примером непрерывности творческой работы в математике. Основываясь на работе Лагранжа (1736-1813) Абеля, Галуа построил свою теорию, основанную на работе Абеля. Многие выдающиеся математики, в том числе Лежандр (1752-1833), неявно использовали понятие группы в своих работах. В то время Ньютон не был чрезмерно скромным, но он был "гигантом на моих плечах."

Анализ геометрии. Анализ, или координаты, геометрии Р для расширения возможностей Евклидовой геометрии в задачах строительства.Ферма (1601-1665) и был создан независимо Декартом. Однако ферма считал свою работу Реформацией работы Аполлония. Настоящее открытие-реализация всей мощи алгебраического метода-принадлежит Декарту. Евклидова геометрия алгебра для каждой конструкции требовала изобретения своего собственного метода и не могла дать количественную информацию, требуемую наукой. Декарт решил эту задачу: он сформулировал геометрическую задачу алгебраически, решил алгебраическое уравнение, затем Декарт искомое решение-отрезок с подходящей длиной.

Аналитическая геометрия использует алгебраические уравнения для представления и исследования кривых и поверхностей. Декарт считается допустимой кривой, которую можно записать с помощью одного алгебраического уравнения для x и y.в результате многие важные новые кривые, такие как циклоидные и цепные линии, вошли в научный обиход в XVII и XVIII веках.

Первым математиком, который использовал уравнения для доказательства свойств поперечного сечения конуса, был J.R.R.It кажется, так оно и было Tolkien.By в Вале 1865 года он получил все результаты, которые были представлены в V-й книге принципов Евклида в алгебраических терминах.

Аналитическая геометрия полностью изменила роль геометрии и алгебры. Великий французский математик Лагранж заметил: "до тех пор, пока алгебра и геометрия шли своими отдельными путями, ее прогресс замедлялся, ее применение заимствовалось из усилий этих объединенных наук, новая жизненная сила является самым прекрасным местом, откуда она быстро движется."

Математический анализ. Коперник, Кеплер, Галилей и Ньютон, основоположники современной науки, подходили к изучению природы как к математике. Изучая движение, математики разработали основные понятия, такие как функции или отношения между переменными, например d=kt2. Понятие функции быстро стало центром, определяющим скорость данного времени и ускорение движущегося тела. Математическая сложность этой задачи заключалась в том, что в любой момент времени тело проходило нулевое расстояние за нулевые промежутки времени. Таким образом, если вы разделите путь на время и сразу определите значение скорости, то получите математически бессмысленное выражение 0/0.

Проблема определения и вычисления мгновенной скорости изменения различных величин привлекла внимание почти всех математиков XVII века, включая Барроу, ферма, Декарта и Уоллиса. Их несходные идеи и методы, Ньютон и Г. Лейбниц (1646-1716), систематический, универсально применимый формальный метод создателей дифференциального исчисления, в сочетании с приоритетным вопросом в развитии этого исчисления, горячо спорили между собой, причем Ньютон осуждал плагиат Лейбница. Однако, как показали исследования историков науки, Лейбниц создал математический анализ независимо от Ньютона. В результате конфликта обмен идеями между Европейским континентом и математиками Англии был приостановлен на многие годы в ущерб английской стороне. Математики континентальной Европы, включая Бернулли (1667-1748), Эйлера и Лагранжа, придерживались алгебраического или аналитического подхода, добившись при этом беспрецедентно больших успехов.

В основе всего математического анализа лежит понятие пределов. Скорость времени определяется как предел, на который средняя скорость d/t возрастает, когда значение t приближается к нулю. Дифференциальное исчисление обеспечивает удобный общий метод расчета скорости изменения функции f(x) для любого значения x. из общности ввода f (x) одним из основных применений функционального исчисления отношений, например некоторых соотношений из экономической теории, а также задач, связанных с необходимостью нахождения скорости или ускорения, является так называемая задача максимального и минимального значения, а другим важным кругом задач является нахождение касательной линии к заданной кривой.

Используя производные, изобретенные специально для решения задач движения, можно также найти области и объемы, окруженные кривыми и поверхностями соответственно. Благодаря усилиям математиков XVII века был создан ряд специальных методов, позволивших найти область фигуры, окруженную определенной кривой, а в некоторых случаях, однако, как и в случае дифференциального метода, именно Ньютон и Лейбниц осознали общность этого метода и заложили основы интегрального метода.

Метод Ньютона Лейбница аналогичен методу усталости, изобретенному греками, и точная область, ограниченная областью, определяемой приближающейся последовательностью полилиний, равна пределу суммы площадей N прямоугольников, когда n бесконечно. Ньютон сказал, что это ограничение может быть определено инверсией процесса открытия и скоростью изменения функции. Операция, которая является обратной дифференциации, называется консолидацией. Утверждение о том, что суммы могут быть достигнуты путем обращения дифференциала вспять, называется основной теоремой математического анализа. Так что дифференцирование может быть применено к гораздо более широкому классу задач, чем поиск скорости и ускорения, интегрирование может быть применено к любой задаче суммирования, такой как задача сложения физических сил.

Современная математика

Создание производных и интегралов стало началом "высшей математики". Метод математического анализа был ясен и понятен, в отличие от концепции ограничений, лежащих в его основе. На протяжении многих лет математики, включая Ньютона и Лейбница, тщетно пытались дать точное определение понятия пределов. Хотя существует много вопросов о достоверности математического анализа, все больше и больше людей используют его. Дифференциальный Интеграл стал основой математического анализа, в который вошли такие предметы, как теория дифференциальных уравнений, обыкновенные и частные производные, бесконечные ряды, исчисление флуктуаций, дифференциальная геометрия. Строгое определение ограничений было получено только в 19 веке.

Неевклидова геометрия. К 1800 году математика была основана на двух "китах" - числовых системах и евклидовой геометрии. Евклидова геометрия была наиболее надежной частью математических построений, поскольку многие свойства числовых систем были доказаны как геометрические. Тем не менее аксиома параллелей содержала утверждения о бесконечно вытянутой прямой, которые не могли быть подтверждены опытом. Даже собственная версия этой аксиомы Евклида не утверждает, что прямые линии не пересекаются. Скорее, установите условия для пересечения в определенной конечной точке. На протяжении веков математики пытались найти подходящую альтернативу параллельным аксиомам. Но в каждом варианте всегда был пробел. Честь создания неевклидовой геометрии принадлежит Н. И. Лобачевскому (1792-1856) и Я. Н.Лобачевскому.Каждый бояй (1802-1860) самостоятельно представил свою собственную выставку неевклидовой геометрии. В их геометрии можно было провести бесконечное число параллельных линий через заданную точку. B.In в геометрии Римана (1826-1866) нельзя провести точку вне прямой параллельно.

Никто всерьез не рассматривал физическое применение неевклидовой геометрии. Создание общей теории относительности Эйнштейном (1879-1955) в 1915 году пробудило научное сообщество к реальности неевклидовой геометрии.

Неевклидова геометрия была самым впечатляющим интеллектуальным достижением XIX века. Он ясно продемонстрировал, что математика больше не может рассматриваться как набор неоспоримых истин. В лучшем случае математика может гарантировать эффективность доказательств, основанных на ненадежных аксиомах. Но математики вольны смотреть на них и пытаться апеллировать к ним. Каждый отдельный математик теперь был свободен вводить свою собственную новую концепцию и устанавливать аксиому так, как он считал нужным, теоремы, выведенные из аксиом, противоречили друг другу в конце прошлого века большое расширение математических исследований было по существу результатом этой новой свободы.

Математическая строгость. Примерно до 1870 года математики применяли дедуктивные рассуждения к математическим аксиомам, тем самым гарантируя, что их выводы были столь же надежны, как и сами аксиомы.

Создание неевклидовой геометрии также сопровождалось осознанием существования логических пробелов в евклидовой геометрии. Одним из недостатков принципа Евклида было использование предположений, не высказанных явно. Казалось бы, Евклид не ставил под сомнение качества, которыми обладали его геометрические фигуры, но эти характеристики не были включены в его аксиомы. Кроме того, доказывая сходство двух треугольников, Евклид неявно предполагал, что свойства фигур не изменяются при движении, а суперпозиция одного треугольника, однако, помимо этих логических пробелов, изначально имела место некоторая некорректность доказательства.

Создание новых алгебр, начиная с Квартернионов, вызвало аналогичные сомнения в арифметике обычных числовых систем и логической обоснованности алгебр. Все числа, ранее известные математикам, обладали свойством коммутативности, то есть ab=ba. Кватернионы, которые произвели революцию в традиционном представлении о числах, были открыты в 1843 году.Гамильтон (1805-1865). По этой причине решаемые физические и геометрические задачи по-разному тестируются в свойстве с коммутативным кватернионом. Математики были вольны иметь дело с отрицательными числами и числами, позволяя им выполнять сложные операции, так что они признали, что арифметика и алгебра не имеют собственной аксиоматической основы, за исключением частей, посвященных целым числам и далеких от полного евклидова принципа. Логическая строгость дает возможность продемонстрировать практические преимущества введения сомнительных понятий и процедур.

 

С самого начала математического анализа предпринимались неоднократные попытки заложить строгий фундамент.

 

В математический анализ были введены два новых сложных понятия - производная и определенный интеграл. Как и в случае с этими концепциями, Ньютон и Лейбниц боролись с более поздним поколением математиков, которые превратили исчисление в математический анализ. Но, несмотря на все усилия, в понятиях ограничений, непрерывности и Дифференцируемости все еще было много неясного. Кроме того, оказалось, что свойства алгебраических функций не могут быть перенесены на все остальные функции. Почти все математики XVIII и начала XIX веков пытались найти строгую основу для математического анализа, но все они потерпели неудачу. Наконец, в 1821 году О. Коши (1789-1857), используя понятие чисел, вывел строгую основу для всего математического анализа. Однако позже математики обнаружили логический пробел в теории Коши. Желаемая строгость была наконец достигнута в 1859 году.Вейерштрасс (1815-1897).

Вейерштрасс первоначально рассматривал характеристики вещественных и комплексных чисел как тривиальные. Затем г. Кантор (1845-1918) и Р. Дедекинд (1831-1916) осознали необходимость построения абсурдного числа теорий. Они дали правильное определение неразумному числу и установили его характеристики, но свойства рациональных чисел все еще считались самоочевидными. Наконец, логическая структура теории вещественных и комплексных чисел представлена Дедекиндом и его последователями. J.It принимает свою полную форму в работах Пеано (1858-1932). Создание основ числовой системы также позволило решать задачи, демонстрирующие алгебру.

Задача усиления строгости формулировки евклидовой геометрии относительно проста: перечисление определенных терминов, уточнение определений, введение недостающих аксиом и аттестация гусей эта работа была завершена в 1899 году Гилбертом (1862-1943). Почти одновременно были заложены и другие основы геометрии. Гильберт сформулировал понятие формальной аксиомы. Они могут означать любой объект, удовлетворяющий аксиоме. Результатом этой особенности является увеличение абстракции современной математики. Евклидовы и неевклидовы геометрии описывают физическое пространство. Однако в топологии, которая является обобщением геометрии, неопределенный термин "точка" может быть освобожден от геометрических ассоциаций. Для топологов точка может быть функцией или рядом чисел, или чем-то еще. Абстрактное пространство - это совокупность таких "точек»

Аксиоматический метод Гильберта вошел почти во все разделы математики в XX веке. Но вскоре стало ясно, что этот метод имеет свои ограничения. В 1880-х годах Кантор попытался систематически классифицировать бесконечное множество (например, множество всех рациональных чисел, множество действительных чисел и т. д.) относительно количественными средствами, и в то же время он обнаружил противоречие в теории множеств. Таким образом, к началу 20-го века. Математикам приходилось иметь дело с проблемами их решения, а также с другими проблемами, лежащими в основе их науки, такими как неявное использование так называемых аксиом выбора. И все же ... K.It нельзя сравнивать разрушительное действие с теоремой неполноты Геделя (1906-1978). Общепризнано, что достаточно богатая и непротиворечивая формальная система, включающая в себя теорию чисел, неизбежно является неразрешимой пропозицией, то есть ни доказывает, ни опровергает в ее рамках, но в настоящее время в математике нет абсолютного доказательства. Мнения о том, что это за доказательства, расходятся. Однако большинство математиков склонны считать, что проблема основ математики носит философский характер. Это показывает, что в основе математики лежит не логика, а здравая интуиция.

Заключение

Если математика, известная до 1600 года, может быть описана как начальная школа, то по сравнению с теми, которые были созданы позже, эта элементарная математика бесконечно мала и старые поля расширились, появились новые поля. Было издано около 500 математических журналов. Огромное количество опубликованных результатов, не говоря уже о том, что многие результаты могут быть поняты только специалистами узкого профиля, инженеры не могут надеяться узнать больше, чем то, что происходит в очень маленьком уголке науки, где сегодня работают математики.