Первая квадратичная форма. Площадь поверхности. Кривизна

Первая квадратичная форма. Площадь поверхности. Кривизна

Первая квадратичная форма. Площадь поверхности. Кривизна

Первая квадратичная форма. Площадь поверхности. Кривизна

Первая квадратичная форма. Площадь поверхности. Кривизна

Первая квадратичная форма. Площадь поверхности. Кривизна\

Первая квадратичная форма. Площадь поверхности. Кривизна

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Решение задач по математике

Пусть 5 — регулярная поверхность, заданная векторным уравнением Первой квадратичной формой поверхности 5 называется выражение Запишем последнеесоотнЬшение подробнее. Так нвк Выражение (1) вхаждой точке поверхности S представляет собой квадра тиэдую форму от дифференциалов du и dv. Эта квадратичная форма является знакоположительной, так как ее дискриминант.

Первая Вторая квадратичная форма Площадь поверхности Кривизна Для коэффициентов первой квадратичной формы используют следующие обозначения: так что выражение (1) для формы I можно переписать в виде где Пжнцдд* поверхности Разобьем область D изменения переменных и и v на части прямым и*, параллельными координатным осям и и v (рис.45). Кривыми r будет разбита на части и поверхность 5 (рис. 46).

Произвольному четырехугольнику Dm параметрической плоскости соответствует на поверхности S криволинейный четырехугольник Sik, мало отличающийся от пара л- Рис. 45 лелограмма Рд со сторонами, определяемыми векторами гв . Этот параллелограмм лежит в касательной плоскости поверхности S в точке ). Примем его площадь за приближенное значение площади криволинейного четырехугол ьника , а за приближенное значение площади поверхности 6 сумму Приор 1.

Переея иедре тичиее форме поверхности. заде иной уравнением имеет вид площадей всех таких параллелограммов. Площадью поверхности 5 назовем предел этих сумм при стре лени и к нулю величин Для регулярной поверхности этот предел всегда существует и равен то формулу для вычисления площади поверхности можно записать в виде Путем простых вычислений находим Если поверхность 5 представляет собой график гладкой функции z — f{x, у), заданной в области D, то ее площадь можно вычислить по формуле § 7.

Вторая квадратичная форма. Кривизна поверхности Пусть 5 — 2-регулярная поверхность, заданная векторным уравнением В каждой точке такой поверхности помимо единичного вектора нормали определен и второй дифференциал векторной функции Второй квадратичной формой поверхности S называется скалярное произведение векторов . Ясно, что в каждой точке поверхности S форма (2) является квадратичной формой относительно дифференциалов du и dv.

Для коэффициентов второй квадратичной формы приняты обозначения Это позволяет записать ее в следующем виде Приведем несколько формул для вычисления коэффициентов L, М и N. Заменяя в формулах (3) вектор п его выражением (1), получаем Если поверхность является графиком гладкой функции Вторая квадратичная форма является эффективным средством исследования геометрических свойств регулярной поверхности. Посредством этой формы можно ввести важные геометрические характеристики, измеряющие степень и вид отклонения поверхности от касательной плоскости.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Связь между силой и ускорением. Второй закон Ньютона
Предельные точки последовательности. Числовая прямая
Векторное поле. Векторные линии и их дифференциальные уравнения
Поверхностное натяжение, смачивание, капиллярные явления

Остановимся на двух понятиях — гауссовой кривизны поверхности и нормальной кривизны поверхности в заданном направлении. Гауссовой кривизной поверхности называется отношение дйскриминантов первой и второй квадратичных форм Если поверхность задана уравнением Первая Вторая квадратичная форма Площадь поверхности Кривизна то гауссова кривизна этой поверхности вычисляется по формуле Гауссову кривизну удобно использовать для классификации точек регулярной поверхности: знак гауссовой кривизны поверхности в данной ее точке указывает на характер поведения поверхности в этой точке.

Точка Мо поверхности S, отвечающая значениям ио и vo параметров, В КОТОРОЙ называется эллиптической', называется гиперболической; но отличен от нуля хотя бы один из коэффициентов втор ой квадратичной формы, называется параболической.

Пусть По — касательная плоскость поверхности S в точке Все точки поверхности 5 в окрестности эллиптической точки лежат по одну сторону от плоскости По. Точки поверхности S в окрестности гиперболической точки лежат по обе стороны от плоскости По. Все точки поверхности S в окрестности параболической точки кроме (возможно) одной кривой лежат по одну сторону от плоскости По- Пример 1.

Все точки эллиптического параболоида являются эллиптическими (рис. 47), все точки гиперболического параболоида являются гиперболическими (рис. 48). вое точки цилиндрической поверхности являются параболическими (рис.49). Возьмем нерегулярной поверхности 5, заданной векторным уравнением произвольную точку и проведем через нее касательную плоскость По. Производные и г„(«о, Vo) векторной функции r(u,v), вычисленные в точке («о» v0), лежат в плоскости По (рис. 50).

Построим на плоскости По линейную комбинацию этих векторов (рис. 51) и проведем через определяемую ей прямую I и нормаль поверхности в этой точке плоскость П. Эта плоскость рассечет поверхность S по кривой — нормальному сечению поверхности в направлении I, определяемом парой чисел (и»/ (рис. 52). Рис. 51 Кривизна кп построенной кривой — нормальная кривизна поверхно-стив данном направлении —вычисляется по формуле Пример 2. Найти нормальные кривизны эллиптического параболоида в точке 4 Вычислим в точке О коэффициенты первой и второй квадратичных форм. Имеем .

Тем самым. Первая Вторая квадратичная форма Площадь поверхности Кривизна Ясно, что в данной точке величина кп изменяется вместе с изменением прямой /. Направления, в которых нормальная кривизна принимает наибольшее и наименьшее значения, называются главными. В общем случае главные направления на поверхности в каждой точке ортогональны.

Соответствующие им нормальные

кривизны называются мавными кривизнами поверхности в рассматриваемой точке. Пример 3. В приведенном выше примере главными направлениями эллиптического параболоида а точка 0(0,0,0) будут направления координатных осей . Главные кривизны рваны соответственно Упражнения 1. Найдите кривизну: а) цепной линии у = ch х\ б) эллипса 2. Найдите соприкасающуюся окружность эллипса в его вершине _Л(а, 0) (при t = 0). 3. Найдите уравнения эволюты эллипса.

4. Найдите уравнения касательной и нормальной плоскости кривой с уравнением 8. Найдите единичные векторы сопровождающего трехгранника в точке ) кривой, зада иной уровне ннсм на геликоиде в. Найдите кривизну и кручение кривой с уравнениями: 7. Найдите уравнения касательной плоскости и нормали геликоида: 8. Найдите первую квадратичную форму: а) параболоида вращения Найдите площадь криволинейного четырехугольника на геликоиде, ограниченного линиями и 10. Найдите вторую квадра тичную форму: а) параболоида вращения 11. Найдите гауссову кривизну геликоида.