Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных

Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных

Переменный ток долгое время не находил практического применения. Это было связано с тем, что первые генераторы электрической энергии вырабатывали постоянный ток, который вполне удовлетворял технологическим процессам электрохимии, а двигатели постоянного тока обладают хорошими регулировочными характеристиками. Однако по мере развития производства постоянный ток все менее стал удовлетворять возрастающим требованиям экономичного электроснабжения. Переменный ток дал возможность эффективного дробления электрической энергии и изменения величины напряжения с помощью трансформаторов. Была возможность производить электроэнергию на большой электростанции, и последующее экономическое распределение среди потребителей увеличило объем поставок электроэнергии.

В настоящее время центральное производство и распределение электрической энергии в основном осуществляется с помощью переменного тока. Цепи, которые имеют переменный переменный ток по сравнению с цепями постоянного тока, имеют много особенностей. Переменные токи и напряжения вызывают переменные электрические и магнитные поля. В результате изменения этих полей в цепях возникают явления самоиндукции и взаимной индукции, которые оказывают самое существенное влияние на процессы, протекающие в цепях, усложняя их анализ.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теоретическим основам электротехники (ТОЭ):

Основы электротехники: формулы и лекции и примеры заданий с решением

Переменным током (напряжением, ЭДС и т.д.) называется ток (напряжение, ЭДС и т.д.), изменяющийся во времени. Токи, значения которых повторяются через равные промежутки времени в одной и той же последовательности, называются периодическими, а наименьший промежуток времени, через который эти повторения наблюдаются, -периодом Т. Для периодического тока имеем

Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных
Величина, обратная периоду, есть частота, измеряемая в герцах (Гц):

Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных
Диапазон частот, применяемых в технике: от сверхнизких частот (0.01} 10 Гц - в системах автоматического регулирования, в аналоговой вычислительной технике) - до сверхвысоких (3000 } 300000 МГц - миллиметровые волны: радиолокация, радиоастрономия). В РФ промышленная частота f = 50ГЦ.

Мгновенное значение переменной величины есть функция времени. Ее принято обозначать строчной буквой:

Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных - мгновенное значение тока Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных;

Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных - мгновенное значение напряжения Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных;

Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных - мгновенное значение ЭДС Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных;

Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных - мгновенное значение мощности Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных.

Наибольшее мгновенное значение переменной величины за период называется амплитудой (ее принято обозначать заглавной буквой с индексом Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных)

Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных - амплитуда тока;

Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных -амплитуда напряжения;

Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных - амплитуда ЭДС.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Элементы электрических цепей

Топология электрических цепей

Элементы цепи синусоидального тока, векторные диаграммы и комплексные соотношения для них

Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов

Действующее значение переменного тока

Значение периодического тока, равное такому значению постоянного тока, который за время одного периода произведет тот же самый тепловой или электродинамический эффект, что и периодический ток, называют действующим значением периодического тока:

Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных
Аналогично определяются действующие значения ЭДС и напряжения.

Синусоидально изменяющийся ток

Из всех возможных форм периодических токов наибольшее распространение получил синусоидальный ток. По сравнению с другими видами тока синусоидальный ток имеет то преимущество, что позволяет в общем случае наиболее экономично осуществлять производство, передачу, распределение и использование электрической энергии. Только при использовании синусоидального тока удается сохранить неизменными формы кривых напряжений и токов на всех участках сложной линейной цепи. Теория синусоидального тока является ключом к пониманию теории других цепей.

Изображение синусоидальных ЭДС, напряжений и токов на плоскости декартовых координат

Синусоидальные токи и напряжения можно изобразить графически, записать при помощи уравнений с тригонометрическими функциями, представить в виде векторов на декартовой плоскости или комплексными

Векторное изображение синусоидально изменяющихся величин

На декартовой плоскости из начала координат проводят векторы, равные по модулю амплитудным значениям синусоидальных величин, и вращают эти векторы против часовой стрелки (в ТОЭ данное направление принято за положительное) с угловой частотой, равной w. Фазовый угол при вращении отсчитывается от положительной полуоси абсцисс. Проекции вращающихся векторов на ось ординат равны мгновенным значениям ЭДС Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных (рис. 3). Последовательность векторов, представляющих синусоидально изменяющуюся ЭДС, напряжение и ток, называется векторной диаграммой. При создании векторной диаграммы полезно разместить вектор в первый момент Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных, что вытекает из равенства угловых частот синусоидальных величин и эквивалентно тому, что система декартовых координат сама вращается против часовой стрелки со скоростью Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных. Таким образом, в этой системе координат векторы неподвижны (рис. 4). Векторные диаграммы нашли широкое применение при анализе цепей синусоидального тока. Их применение делает расчет цепи более наглядным и простым. Это упрощение заключается в том, что сложение и вычитание мгновенных значений величин можно заменить сложением и вычитанием соответствующих векторов.

Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных
Пусть, например, в точке разветвления цепи (рис. 5) общий ток Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных равен сумме токов Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных двух ветвей:

Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных
Каждый из этих токов синусоидален и может быть представлен уравнением

Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных

Результирующий ток также будет синусоидален:

Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных

Определение амплитуды Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных и начальной фазы Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных этого тока путем соответствующих тригонометрических преобразований получается довольно громоздким и мало наглядным, особенно, если суммируется большое число синусоидальных величин. Значительно проще это осуществляется с помощью векторной диаграммы.

Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных
На рис. 6 изображены начальные положения векторов токов, проекции которых на ось ординат дают мгновенные значения токов для t-О. При вращении этих векторов с одинаковой угловой скоростью w их взаимное расположение не меняется, и угол сдвига фаз между ними остается равным а- .

Так как алгебраическая сумма проекций векторов на ось ординат равна мгновенному значению общего тока, вектор общего тока равен геометрической сумме векторов токов:

Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных

Построение векторной диаграммы в масштабе позволяет определить значения Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных из диаграммы, после чего может быть записано решение для мгновенного значения Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных путем формального учета угловой частоты:

Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных

Что такое теоретические основы электротехники (ТОЭ) вы узнаете по этой ссылке:

Представление синусоидальных ЭДС, напряжений и токов комплексными числами

Геометрические операции с векторами можно заменить алгебраическими операциями с комплексными числами, что существенно повышает точность получаемых результатов.

Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных
Каждому вектору на комплексной плоскости соответствует определенное комплексное число, которое может быть записано в:

показательной Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных

тригонометрической Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных или

алгебраической Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных - формах.

Например, ЭДС Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных, изображенной на рис. 7 вращающимся вектором, соответствует комплексное число

Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных

Фазовый угол Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных определяется по проекциям вектора на оси “+1” и “+j” системы координат, как

Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных

В соответствии с тригонометрической формой записи мнимая составляющая комплексного числа определяет мгновенное значение синусоидально изменяющейся ЭДС:

Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных

Комплексное число Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных удобно представить в виде произведения двух комплексных чисел:

Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных

Параметр Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных , соответствующий положению вектора для t=0 (или на вращающейся со скоростью w комплексной плоскости), называют комплексной амплитудой: Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных а параметр Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных - комплексом мгновенного значения.

Параметр Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных является оператором поворота вектора на угол Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных относительно начального положения вектора.

Вообще говоря, умножение вектора на оператор поворота ±,а есть его поворот относительно первоначального положения на угол Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных

Следовательно, мгновенное значение синусоидальной величины равно мнимой части без знака “j” произведения комплекса амплитуды Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных и оператора поворота Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных :

Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных

Переход от одной формы записи синусоидальной величины к другой осуществляется с помощью формулы Эйлера:

Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных

Если, например, комплексная амплитуда напряжения задана в виде комплексного числа в алгебраической форме:

Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных

-то для записи ее в показательной форме, необходимо найти начальную фазу Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных .т.е.угол, который образует

вектор Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных с положительной полуосью +1:

Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных

Тогда мгновенное значение напряжения:

Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных

где Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных

При записи выражения для определенности было принято, что Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных ,т.е. что изображающий вектор находится в от

первом или четвертом квадрантах. Если Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных , то при Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных (второй квадрант)

Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных

а при Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных (третий квадрант)

Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных

или

Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных

Если задано мгновенное значение тока в виде Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных то комплексную амплитуду записывают сначала в показательной форме, а затем (при необходимости) по формуле Эйлера переходят к алгебраической форме:

Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных

Следует указать, что при сложении и вычитании комплексов следует пользоваться алгебраической формой их записи, а при умножении и делении удобна показательная форма.

Итак, применение комплексных чисел позволяет перейти от геометрических операций над векторами к алгебраическим над комплексами. Так при определении комплексной амплитуды результатирующего тока Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных по рис. 5 получим:

Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных

Действующее значение синусоидальных ЭДС, напряжений и токов

В соответствии с выражением (3) для действующего значения синусоидального тока запишем:

Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных

Аналогичный результат можно получить для синусоидальныхЭДС и напряжений. Таким образом, действующие значения синусоидальных тока, ЭДС и напряжения меньше своих амплитудных значений в Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных раз:

Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных

Поскольку, как будет показано далее, энергетический расчет цепей переменного тока обычно проводится с использованием действующих значений величин, по аналогии с предыдущим введем понятие комплекса действующего значения

Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных