Переходные процессы в нелинейных цепях

Содержание:

  1. Особенности расчета переходных процессов в нелинейных цепях
  2. Аналитические методы расчета
  3. Метод условной линеаризации
  4. Метод аналитической аппроксимации
  5. Метод кусочно-линейной аппроксимации

Особенности расчета переходных процессов в нелинейных цепях

Переходные процессы в нелинейных электрических цепях описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, общих методов интегрирования которых не существует. На нелинейные цепи не распространяется принцип суперпозиции, поэтому основанные на нем методы, в частности классический или с использованием интеграла Дюамеля, для расчета данных цепей не применимы.

Анализ переходных режимов в электрических целях требует использования динамических характеристик нелинейных элементов, которые, в свою очередь, зависят от происходящих в них динамических процессов и, следовательно, в общем случае наперед неизвестны. Указанное изначально обусловливает в той или иной степени приближенный характер расчета переходных процессов.

Переходный процесс в нелинейной цепи может характеризоваться переменной скоростью его протекания в различные интервалы времени. Поэтому понятие постоянной времени в общем случае не применимо для оценки интенсивности протекания динамического режима.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теоретическим основам электротехники (ТОЭ):

Основы электротехники: формулы и лекции и примеры заданий с решением

Отсутствие общности подхода к интегрированию нелинейных дифференциальных уравнений обусловило наличие в математике большого числа разнообразных методов их решения, нацеленных на различные типы уравнений. Применительно к задачам электротехники все методы расчета по своей сущности могут быть разделены на три группы:

- аналитические методы, предполагающие либо аналитическое выражение характеристик нелинейных элементов, либо их кусочно-линейную аппроксимацию;

- графические методы, основными операциями в которых являются графические построения, часто сопровождаемые вспомогательными вычислительными этапами;

- численные методы, основанные на замене дифференциальных уравнений алгебраическими для приращений переменных за соответствующие интервалы времени.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Нелинейные цепи переменного тока

Метод кусочно-линейной аппроксимации. Метод гармонического баланса

Основные термины и определения электротехники

Классификация электрических цепей

Аналитические методы расчета

Аналитическими называются методы решения, базирующиеся на аналитическом интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих состояние нелинейной цепи с использованием аналитических выражений характеристик нелинейных элементов.

Основными аналитическими методами, используемыми при решении широкого круга задач электротехники, являются:

  • - метод условной линеаризации;
  • - метод аналитической аппроксимации;
  • - метод кусочно-линейной аппроксимации.

Метод условной линеаризации

Метод условной линеаризации применяется в случаях, когда в нелинейном уравнении одно из слагаемых в левой части мало по сравнению с другими, вследствие чего, без внесения существенной погрешности, его можно соответствующим образом линеаризовать. Благодаря этому все уравнение становится линейным для одной из переменных, определяющих характеристику Переходные процессы в нелинейных цепях нелинейного элемента, например Переходные процессы в нелинейных цепях. С использованием этой характеристики находится затем временная зависимость Переходные процессы в нелинейных цепях для второй определяющей ее переменной по алгоритму:

Переходные процессы в нелинейных цепях

Метод отличается простотой, однако получаемое с его использованием решение является достаточно приближенным, вследствие чего он в основном применяется для ориентировочных расчетов.

В качестве примера использования метода определим максимальное значение тока в цепи на рис. 1, если Переходные процессы в нелинейных цепях ,где Переходные процессы в нелинейных цепях. Вебер-амперная характеристика нелинейной катушки индуктивности приведена на рис. 2.

Переходные процессы в нелинейных цепях 1. Запишем уравнение состояния цепи после коммутации

Переходные процессы в нелинейных цепях 2. Используя методусловной линеаризации, определим второе слагаемое в левой части (1) как

Переходные процессы в нелинейных цепях где Переходные процессы в нелинейных цепях - амплитуды потокосцепления и тока в установившемся послекоммутационном режиме; Переходные процессы в нелинейных цепях

3. Подставив (2) в (1), получим линейное дифференциальное уравнение

Переходные процессы в нелинейных цепях

решением которого на основании классического метода расчета переходных процессов является

Переходные процессы в нелинейных цепях 4. Принужденная составляющая Переходные процессы в нелинейных цепях определяется соотношением

Переходные процессы в нелинейных цепях

где Переходные процессы в нелинейных цепях

Для определения Переходные процессы в нелинейных цепях и Переходные процессы в нелинейных цепях предположим (с последующей проверкой), что Переходные процессы в нелинейных цепях. При этом условии

Переходные процессы в нелинейных цепях. По зависимости Переходные процессы в нелинейных цепях для полученного значения Переходные процессы в нелинейных цепях найдем Переходные процессы в нелинейных цепях. Тогда Переходные процессы в нелинейных цепях, т.е. сделанное выше предположение корректно.

Следует отметить, что в общем случае значения Переходные процессы в нелинейных цепях могут быть определены, например, итерационным методом.

Определив Переходные процессы в нелинейных цепях, запишем

Переходные процессы в нелинейных цепях Поскольку по условию Переходные процессы в нелинейных цепях.

Таким образом,

Переходные процессы в нелинейных цепях 6. Не решая трансцендентное уравнение, будем считать, что максимальное значение потокосцепления имеет место примерно через полпериода своего изменения, т.е. при Переходные процессы в нелинейных цепях. Подставив это время в (3), получим:

Переходные процессы в нелинейных цепях По кривой Переходные процессы в нелинейных цепях найдем максимальное значение тока Переходные процессы в нелинейных цепях, которое в imax Переходные процессы в нелинейных цепях раз превышает амплитуду тока в установившемся послекоммутационном режиме. Напомним, что для линейной цепи Переходные процессы в нелинейных цепях

Примечания: 1. Обычно при использовании метода условной линеаризации для расчета переходного процесса при подключении нелинейной катушки индуктивности к источнику синусоидального напряжения эквивалентная линейная индуктивность Переходные процессы в нелинейных цепях определяется исходя из амплитудных значений тока и потокосцепления в установившемся послекоммутационном режиме, как это и было сделано в рассмотренном выше примере. Однако если необходимо оценить максимально возможное значение тока, то величину индуктивности следует определять по начальному участку вебер-амперной характеристики, где Переходные процессы в нелинейных цепях максимальна.

2. Если сопротивление резистора в ветви с нелинейной катушкой достаточно велико, так что Переходные процессы в нелинейных цепях, то следует пренебречь нелинейностью слагаемого Переходные процессы в нелинейных цепях, положив Переходные процессы в нелинейных цепях. В этом случае нелинейное уравнение (1) сводится к линейному вида

Переходные процессы в нелинейных цепях

и соответственно кривая Переходные процессы в нелинейных цепях определяется по кривым Переходные процессы в нелинейных цепях.

Что такое теоретические основы электротехники (ТОЭ) вы узнаете по этой ссылке:

Метод аналитической аппроксимации

Метод основан на аппроксимации характеристики нелинейного элемента аналитической функцией, которая должна, с одной стороны, достаточно точно отображать исходную нелинейную характеристику на участке перемещения рабочей точки, а с другой стороны, обеспечивать возможность достаточно несложного интегрирования полученного дифференциального уравнения (в частности, с использованием табличных интегралов).

Метод применим к нелинейным цепям с одним накопителем энергии, описываемым дифференциальными уравнениями первого порядка, а также к цепям, описываемым уравнениями, сводящимися к уравнениям первого порядка путем замены переменных.

Переходные процессы в нелинейных цепях Ценность метода заключается в получении выражения исследуемой величины в общем виде, что позволяет осуществлять требуемый анализ процессов при варьировании параметров схемы.

В качестве примера использования метода определим ток в схеме на рис. 3, полагая, что характеристика Переходные процессы в нелинейных цепях нелинейной катушки имеет вид типовой кривой на рис. 2.

1. Для решения задачи выберем выражение аналитической аппроксимации вида Переходные процессы в нелинейных цепях. Определяя параметр а из условия соответствия данной функции точке установившегося послекоммутационного режима, получим

Переходные процессы в нелинейных цепях где Переходные процессы в нелинейных цепях

2. Подставив в уравнение переходного процесса

Переходные процессы в нелинейных цепях

аналитическое выражение тока с учетом (4), получим

Переходные процессы в нелинейных цепях Разделяя переменные и решая (5) относительно времени, запишем

Переходные процессы в нелинейных цепях

где Переходные процессы в нелинейных цепях - начальное значение потокосцепления, соответствующее значению тока в момент коммутации Переходные процессы в нелинейных цепях.

Выражение (6) соответствует табличному интегралу; в результате получаем

Переходные процессы в нелинейных цепях Подставив в последнее соотношение выражение потокосцепления в виде

Переходные процессы в нелинейных цепях

перепишем (7) как

Переходные процессы в нелинейных цепях

Метод кусочно-линейной аппроксимации

Данный метод основан на замене характеристики нелинейного элемента отрезками прямых, на основании чего осуществляется переход от нелинейного дифференциального уравнения к нескольким (по числу прямолинейных отрезков) линейным, которые отличаются друг от друга только значениями входящих в них коэффициентов. Необходимо помнить, что каждое из линейных уравнений справедливо для того временного интервала, в течение которого рабочая точка перемещается по соответствующему линеаризованному участку. Временные границы для каждого сечения определяются на основе свойств нелинейного элемента, достижения одной (или любой) из переменных, определяющих граничные значения рассматриваемого прямого сечения. Согласно закону переключения, значение тока в ветви с напряжением на индуктивности или конденсаторе в этих точках является начальным значением соответствующей переменной в соседнем линейном участке, из которого определяется константа интегрирования. Значение параметра линеаризуемого нелинейного элемента для каждого участка ломаной определяется тангенсом угла, образованного рассматриваемым прямолинейным отрезком с соответствующей осью системы координат.

В качестве примера рассмотрим применение данного метода для решения предыдущей задачи.

1. Заменим рабочий участок зависимости Переходные процессы в нелинейных цепях (см. рис. 2) двумя прямолинейными отрезками Переходные процессы в нелинейных цепях. Первому из них соответствует уравнение Переходные процессы в нелинейных цепях, второму - Переходные процессы в нелинейных цепях. При этом начальная точка Переходные процессы в нелинейных цепях определяется током Переходные процессы в нелинейных цепях а конечная точка Переходные процессы в нелинейных цепях - током Переходные процессы в нелинейных цепях.

Соответствующие этим участкам индуктивности

Переходные процессы в нелинейных цепях 2. В соответствии с указанной линеаризацией нелинейное дифференциальное уравнение состояния цепи

Переходные процессы в нелинейных цепях

заменяется двумя линейными:

Переходные процессы в нелинейных цепях 3. Решением первого уравнения является

Переходные процессы в нелинейных цепях

и второго -

Переходные процессы в нелинейных цепях где Переходные процессы в нелинейных цепях

Время tl, соответствующее моменту перехода с первого участка на второй, определим из уравнения

Переходные процессы в нелинейных цепях

откуда

Переходные процессы в нелинейных цепях