Переходные процессы в линейных электрических цепях

Переходные процессы в линейных электрических цепях. Классический метод расчета переходных процессов

При всех изменениях в электрической цепи: включении, выключении, коротком замыкании, колебаниях величины какого-либо параметра и т.п. - в ней возникают переходные процессы, которые не могут протекать мгновенно, так как невозможно мгновенное изменение энергии, запасенной в электромагнитном поле цепи. Таким образом, переходный процесс обусловлен несоответствием величины запасенной энергии в магнитном поле катушки и электрическом поле конденсатора ее значению для нового состояния цепи.

При переходных процессах могут возникать большие перенапряжения, сверхтоки, электромагнитные колебания, которые могут нарушить работу устройства вплоть до выхода его из строя. С другой стороны, переходные процессы находят полезное практическое применение, например, в различного рода электронных генераторах. Все это обусловливает необходимость изучения методов анализа нестационарных режимов работы цепи.

Основные методы анализа переходных процессов в линейных цепях:

  1. Классический метод, заключающийся в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих электромагнитное состояние цепи.
  2. Операторный метод, заключающийся в решении системы алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных с последующим переходом от найденных изображений к оригиналам.
  3. Частотный метод, основанный на преобразовании Фурье и находящий широкое применение при решении задач синтеза.
  4. Метод расчета с помощью интеграла Дюамеля, используемый при сложной форме кривой возмущающего воздействия.
  5. Метод переменных состояния, представляющий собой упорядоченный способ определения электромагнитного состояния цепи на основе решения системы дифференциальных уравнений первого прядка, записанных в нормальной форме (форме Коши).

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теоретическим основам электротехники (ТОЭ):

Основы электротехники: формулы и лекции и примеры заданий с решением

Классический метод расчета

Классический метод расчета переходных процессов заключается в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих изменения токов и напряжений на участках цепи в переходном процессе.

В общем случае при использовании классического метода расчета составляются уравнения электромагнитного состояния цепи по законам Ома и Кирхгофа для мгновенных значений напряжений и токов, связанных между собой на отдельных элементах цепи соотношениями, приведенными в табл. 1.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах

Резонансные явления в цепях несинусоидального тока. Высшие гармоники в трехфазных цепях

Методика и примеры расчета переходных процессов классическим методом.

Определение постоянной времени. Переходные процессы в R-L-C-цепи

Таблица 1. Связь мгновенных значений напряжений и токов на элементах электрической цепи

Резистор (идеальное активное сопротивление)

Переходные процессы в линейных электрических цепях
Катушка индуктивности (идеальная индуктивность)

Переходные процессы в линейных электрических цепях
при наличии магнитной связи с катушкой, обтекаемой током Переходные процессы в линейных электрических цепях,

Переходные процессы в линейных электрических цепях
Конденсатор (идеальная емкость)

Переходные процессы в линейных электрических цепях

Переходные процессы в линейных электрических цепях
Для последовательной цепи, содержащей линейные резистор R, катушку индуктивности L и конденсатор С, при ее подключении к источнику с напряжением и (см. рис. 1) можно записать

Переходные процессы в линейных электрических цепях
Подставив в (1) значение тока через конденсатор

Переходные процессы в линейных электрических цепях

получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка относительно Переходные процессы в линейных электрических цепях

Переходные процессы в линейных электрических цепях
В общем случае уравнение, описывающее переходный процесс в цепи с п независимыми накопителями энергии, имеет вид:

Переходные процессы в линейных электрических цепях

где х - искомая функция времени (напряжение, ток, потокосцепление и т.п.); /(t) - известное возмущающее воздействие (напряжение и (или) ток источника электрической энергии); Переходные процессы в линейных электрических цепяхк-й постоянный коэффициент определяемый параметрами цепи.

Порядок данного уравнения равен числу независимых накопителей энергии в цепи, под которыми понимаются катушки индуктивности и конденсаторы в упрощенной схеме, получаемой из исходной путем объединения индуктивностей и соответственно емкостей элементов, соединения между которыми являются последовательным или параллельными.

В общем случае порядок дифференциального уравнения определяется соотношением

Переходные процессы в линейных электрических цепях

где Переходные процессы в линейных электрических цепях и Переходные процессы в линейных электрических цепях- соответственно число катушек индуктивности и конденсаторов после указанного упрощения исходной схемы; Переходные процессы в линейных электрических цепях - число узлов, в которых сходятся только ветви, содержащие катушки индуктивности (в соответствии с первым законом Кирхгофа ток через любую катушку индуктивности в этом случае определяется токами через остальные катушки); Переходные процессы в линейных электрических цепях - число контуров схемы, ветви которых содержат только конденсаторы (в соответствии со вторым законом Кирхгофа напряжение на любом из конденсаторов в этом случае определяется напряжениями на других).

Наличие индуктивных связей на порядок дифференциального уравнения не влияет.

Как известно из математики, общее решение уравнения (2) состоит из частного решения исходного гетерогенного уравнения и исходного однородного уравнения, полученного путем приведения его левой части к нулю. Это сумма общих решений Переходные процессы в линейных электрических цепях. С математической точки зрения нет предела выбору конкретного решения (2), применяемого к электротехнике, поэтому в качестве последнего решения удобно принять решение Переходные процессы в линейных электрических цепях

Частное решение Переходные процессы в линейных электрических цепях уравнения (2) определяется видом функции Переходные процессы в линейных электрических цепях, стоящей в его правой части, и поэтому называется принужденной составляющей. Для цепей с заданными постоянными или периодическими напряжениями (токами) источников принужденная составляющая определяется путем расчета стационарного режима работы схемы после коммутации любым из рассмотренных ранее методов расчета линейных электрических цепей.

Вторая составляющая Переходные процессы в линейных электрических цепях общего решения хуравнения (2) - решение (2) с нулевой правой частью - соответствует режиму, когда внешние (принуждающие) силы (источники энергии) на цепь непосредственно не воздействуют. Влияние источников проявляется здесь через энергию, запасенную в полях катушек индуктивности и конденсаторов. Данный режим работы схемы называется свободным, а переменная Переходные процессы в линейных электрических цепях - свободной составляющей.

В соответствии с вышесказанным, общее решение уравнения (2) имеет вид

Переходные процессы в линейных электрических цепях
Соотношение (4) показывает, что при классическом методе расчета послекоммутационный процесс рассматривается как наложение друг на друга двух режимов - принужденного, наступающего как бы сразу после коммутации, и свободного, имеющего место только в течение переходного процесса.

Необходимо подчеркнуть, что, поскольку принцип наложения справедлив только для линейных систем, метод решения, основанный на указанном разложении искомой переменной х, справедлив только для линейных цепей.

Начальные условия. Законы коммутации

В соответствии с определением свободной составляющей Переходные процессы в линейных электрических цепях в ее выражении имеют место постоянные интегрирования Переходные процессы в линейных электрических цепях , число которых равно порядку дифференциального уравнения. Постоянные интегрирования находятся из начальных условий, которые принято делить на независимые и зависимые. К независимым начальным условиям относятся потокосцепление (ток) для катушки индуктивности и заряд (напряжение) на конденсаторе в момент времени Переходные процессы в линейных электрических цепях (момент коммутации). Независимые начальные условия определяются на основании законов коммутации (см. табл. 2).

Таблица 2. Законы коммутации

Название закона Формулировка закона
Первый закон коммутации (закон сохранения потокосцепления) Магнитный поток, сцепленный с катушками индуктивности контура, в момент коммутации сохраняет то значение, которое имел до коммутации, и начинает изменяться именно с этого значения: Переходные процессы в линейных электрических цепях
Второй закон коммутации (закон сохранения заряда) Электрический заряд на конденсаторах, присоединенных к любому узлу, в момент коммутации сохраняет то значение, которое имел до коммутации, и начинает изменяться именно с этого значения: Переходные процессы в линейных электрических цепях


Доказать законы коммутации можно от противного: если допустить обратное, то получаются бесконечно большие значения Переходные процессы в линейных электрических цепях, что приводит к нарушению законов Кирхгофа.

На практике, за исключением особых случаев (некорректные коммутации), допустимо использование указанных законов в другой формулировке, а именно:

первый закон коммутации - в ветви с катушкой индуктивности ток в момент

коммутации сохраняет свое докоммутационное значение и в дальнейшем начинает изменяться с него:

Переходные процессы в линейных электрических цепях

второй закон коммутации - напряжение на конденсаторе в момент

коммутации сохраняет свое докоммутационное значение и в дальнейшем начинает изменяться с него:

Переходные процессы в линейных электрических цепях

Необходимо подчеркнуть, что более общей формулировкой законов коммутации является положение о невозможности скачкообразного изменения в момент коммутации для схем с катушкой индуктивности -потокосцеплений, а для схем с конденсаторами - зарядов на них. В качестве иллюстрации сказанному могут служить схемы на рис. 2, переходные процессы в которых относятся к так называемым некорректным коммутациям (название произошло от пренебрежения в подобных схемах малыми параметрами, корректный учет которых может привести к существенному усложнению задачи).

Переходные процессы в линейных электрических цепях
Действительно, при переводе в схеме на рис. 2,а ключа из положения 1 в положение 2 трактование второго закона коммутации как невозможность скачкообразного изменения напряжения на конденсаторе приводит к невыполнению второго закона Кирхгофа Переходные процессы в линейных электрических цепях. Аналогично при размыкании ключа в схеме на рис. 2,6 трактование первого закона коммутации как невозможность скачкообразного изменения тока через катушку индуктивности приводит к невыполнению первого закона Кирхгофа Переходные процессы в линейных электрических цепях. Для данных схем, исходя из сохранения заряда и соответственно потокосцепления, можно записать:

Переходные процессы в линейных электрических цепях
Зависимыми начальными условиями называются значения остальных токов и напряжений, а также производных от искомой функции в момент коммутации, определяемые по независимым начальным условиям при помощи уравнений, составляемых по законам Кирхгофа для Переходные процессы в линейных электрических цепях. Необходимое число начальных условий равно числу постоянных интегрирования. Поскольку уравнение вида (2) рационально записывать для переменной, начальное значение которой относится к независимым начальным условиям, задача нахождения начальных условий обычно сводится к нахождению значений этой переменной и ее производных до (п-1) порядка включительно при Переходные процессы в линейных электрических цепях.

Переходные процессы в линейных электрических цепях
Пример. Определить токи и производные Переходные процессы в линейных электрических цепях в момент коммутации в схеме на рис. 3, если до коммутации конденсатор был не заряжен.

В соответствии с законами коммутации

Переходные процессы в линейных электрических цепях

На основании второго закона Кирхгофа для момента коммутации имеет место

Переходные процессы в линейных электрических цепях

откуда

Переходные процессы в линейных электрических цепях
Для известных значений и Переходные процессы в линейных электрических цепях из уравнения

Переходные процессы в линейных электрических цепях

определяется Переходные процессы в линейных электрических цепях .

Значение производной от напряжения на конденсаторе в момент коммутации (см. табл. 1)

Переходные процессы в линейных электрических цепях

Что такое теоретические основы электротехники (ТОЭ) вы узнаете по этой ссылке:

Корни характеристического уравнения. Постоянная времени

Выражение свободной составляющей Переходные процессы в линейных электрических цепях общего решения х дифференциального уравнения (2) определяется видом корней характеристического уравнения (см. табл. 3).

Таблица 3. Выражения свободных составляющих общего решения

Вид корней характеристического уравнения Выражение свободной составляющей
Корни Переходные процессы в линейных электрических цепях вещественные и различные Переходные процессы в линейных электрических цепях

Корни Переходные процессы в линейных электрических цепях вещественные и Переходные процессы в линейных электрических цепях

Переходные процессы в линейных электрических цепях

Пары комплексно-сопряженных корней Переходные процессы в линейных электрических цепях

Переходные процессы в линейных электрических цепях


Необходимо помнить, что, поскольку в линейной цепи с течением времени свободная составляющая затухает, вещественные части корней характеристического уравнения не могут быть положительными.

При вещественных корнях Переходные процессы в линейных электрических цепях монотонно затухает, и имеет место апериодический переходный процесс. Наличие пары комплексно сопряженных корней обусловливает появление затухающих синусоидальных колебаний (колебательный переходный процесс).

Поскольку физически колебательный процесс связан с периодическим обменом энергией между магнитным полем катушки индуктивности и электрическим полем конденсатора, комплексно-сопряженные корни могут иметь место только для цепей, содержащих оба типа накопителей. Быстроту затухания колебаний принято характеризовать отношением

Переходные процессы в линейных электрических цепях

которое называется декрементом колебания, или натуральным логарифмом этого отношения

Переходные процессы в линейных электрических цепях

называемым логарифмическим декрементом колебания, где Переходные процессы в линейных электрических цепях
Важной характеристикой при исследовании переходных процессов является постоянная времени t, определяемая для цепей первого порядка, как:

Переходные процессы в линейных электрических цепях

где р - корень характеристического уравнения.

Постоянную времени можно интерпретировать как временной интервал, в течение которого свободная составляющая уменьшится в е раз по сравнению со своим начальным значением. Теоретически переходный процесс длится бесконечно долго. Однако на практике считается, что он заканчивается при Переходные процессы в линейных электрических цепях