Параллельность и перпендикулярность

Содержание:

  1. Точка
  2. Изображения элементов пространства на эпюре
  3. Координаты точки и её проекции
  4. Образование эпюра точки 
  5. Методы построение третьей проекции точки по её двум данным
  6. Метод переноса проекций
  7. Метод координатный
  8. Метод с применением постоянной прямой чертежа
  9. Решение прямой задачи Н.Г. (построение чертежа)
  10. Решение обратной задачи Н.Г. (чтение чертежа)
  11. Принадлежность точек элементам трёхгранного угла (первого октанта)
  12. Прямая
  13. Положение прямых относительно плоскостей проекций
  14. Прямая общего положения
  15. Горизонтальная прямая
  16. Фронтальная прямая
  17. Профильная прямая
  18. Прямые проецирующие
  19. Горизонтально проецирующая прямая
  20. Фронтально проецирующая прямая
  21. Профильно проецирующая прямая
  22. Определение натуральной величины отрезка прямой общего положения и углов наклона его к плоскостям проекций
  23. Метод прямоугольного треугольника
  24. Метод Монжа
  25. Деление отрезка в заданном соотношении
  26. Следы прямой
  27. Следы прямых частного положения
  28. Взаимное положение прямых
  29. Параллельные прямые
  30. Пересекающиеся прямые 
  31. Скрещивающиеся прямые
  32. Графическое исследование параметров прямой линии
  33. Плоскость
  34. Способы задания плоскости
  35. Следы плоскостей
  36. Плоскость общего положения (П.О.П)
  37. Прямые и точки в плоскости
  38. Признаки принадлежности прямой к плоскости 
  39. Признак принадлежности точки к плоскости
  40. Прямые частного положения в плоскости
  41. Горизонталь
  42. Фронталь
  43. Перезадание плоскости
  44. Линия наибольшего наклона (ЛНН) плоскости
  45. Плоскость частного положения
  46. Проецирующие плоскости
  47. Горизонтально проецирующая плоскость
  48. Фронтально проецирующая плоскость
  49. Свойства проецирующих плоскостей
  50. Плоскости уровня
  51. Выводы относительно плоскостей уровня
  52. Взаимное расположение плоскостей
  53. Совпадающие отсеки (принадлежат одной плоскости)
  54. Плоскости которые параллельны
  55. Плоскости, которые пересекаются
  56. Общий метод построения линии пересечения плоскостей (ЛПП)
  57. На пространственном изображении
  58. На эпюре
  59. Построение линии пересечения двух плоскостей, заданных следами
  60. Построение линии пересечения двух плоскостей с парой параллельных одноименных следов
  61. Построение линии пересечения плоскости уровня с плоскостью общего положения
  62. Построение линии пересечения проецирующей плоскости с плоскостью общего положения
  63. Построение линий пересечения проецирующей плоскости общего положения, заданной не следами
  64. Положение прямой и плоскости
  65. Прямая и плоскость пересекаются
  66. Прямая и плоскость параллельны
  67. Параллельность прямой к плоскости
  68. Параллельность плоскости к прямой
  69. Перпендикулярность прямых и плоскостей
  70. Проекции прямого угла
  71. Перпендикулярность прямой и плоскости (перпендикулярность вида 1)
  72. Перпендикулярность вида 1.1,
  73. Перпендикулярность вида 1.2,
  74. Перпендикулярность двух прямых (перпендикулярность вида 2)
  75. Перпендикулярность вида 2.1
  76. Перпендикулярность вида 2.2
  77. Перпендикулярность двух плоскостей (перпендикулярность вида 3)
  78. Перпендикулярность вида 3.1, 
  79. Перпендикулярность вида 3.2,
  80. Задачи на перпендикулярность вида 1.1
  81. Задачи на перпендикулярность вида 1.2
  82. Задача на перпендикулярность вида 2.1
  83. Задачи на перпендикулярность вида 2.2
  84. Задача на перпендикулярность вида 3.1
  85. Задача на перпендикулярность вида 3.2
  86. Геометрические места пространства (ГМП)
  87. Геометрические места точек пространства (ГМТП)
  88. Геометрические места прямых пространства (ГМПП)
  89. Геометрические места плоскостей пространства (ГМПлП)

Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Точка

Точка — одно из фундаментальных понятий математики, абстрактный объект в пространстве, не имеющий никаких измеримых характеристик (нульмерный объект).

Изображения элементов пространства на эпюре

Рассматривая пространственный объект, например, многогранник, для его отображения проекций нужно построить проекции каждой его грани, которыми являются отрезки прямых; а для построения проекции отрезка необходимо уметь строить проекции точек. Таким образом, задав одну точку в пространстве получим проекции одной вершины объекта. Соединив с другой заданной вершиной, - получим проекцию отрезка ребра объекта. Построив проекции трёх и больше ребер, - получим проекции целого объекта. Поэтому рассмотрение построения проекции объекта (доли пространства) начнем с рассмотрения построения проекции точки. 

Координаты точки и её проекции

Пусть заданы первый октант и точка А в его пространстве. Применяем прямоугольный параллельный метод проецирования.

Когда проецирующие лучи направлены сверху вниз и перпендикулярны к Параллельность и перпендикулярность, то один из лучей проходит через точку А и идет дальше к пересечению с Параллельность и перпендикулярность и при пересечении с ней образуется точка Параллельность и перпендикулярность. Часть луча от точки А к Параллельность и перпендикулярность как дротик, называется высотой точки, которая определяет расстояние от точки А к плоскости Параллельность и перпендикулярность, а Параллельность и перпендикулярность - горизонтальная проекция точки А

Когда проецирующие лучи направлены от образца перпендикулярно к Параллельность и перпендикулярность, один луч проходит через точку А и идет дальше к пересечению с Параллельность и перпендикулярность и при пересечении с ней образуется точка Параллельность и перпендикулярность. Часть луча от точки А к Параллельность и перпендикулярность (как второй дротик) называется глубина точки и она определяет расстояние от точки А к плоскости Параллельность и перпендикулярность, а Параллельность и перпендикулярность - фронтальная проекция точки А.

Когда проецирующие лучи перпендикулярны к Параллельность и перпендикулярность, один луч проходит через точку А и дальше идет к пересечению с Параллельность и перпендикулярность, а при пересечении с ней образуется точка Параллельность и перпендикулярность. часть луча от точки А к Параллельность и перпендикулярность (как третий дротик) называется широта точки и она определяет расстояние от точки А к плоскости Параллельность и перпендикулярность, а Параллельность и перпендикулярность - профильная проекция точки А.

Полученные три координаты, которые как дротики, удерживают точку А в пространстве первого октанта.

Снова вернемся к проецирующим лучам, с помощью которых на плоскости проекций проецируется не только точка А, но и её координаты (дротики).

При этом (на рис. 1-1 показано):

- на Параллельность и перпендикулярность проецируются координаты широты (ш) и глубины (г);

- на Параллельность и перпендикулярность проецируются координаты высоты (в) и широты (ш);

- на Параллельность и перпендикулярность проецируются координаты высоты (в) и глубины (г).

Параллельность и перпендикулярность

Таким образом, получим в первом октанте: точку А и ее проекции Параллельность и перпендикулярность, Параллельность и перпендикулярность, Параллельность и перпендикулярность; три координаты точки В, Г и Ш и их проекции, которые видно на пространственном изображении:

А - точка в пространстве;

Параллельность и перпендикулярность - горизонтальная проекция точка А;

Параллельность и перпендикулярность - фронтальная проекция точки А;

Параллельность и перпендикулярность - профильная проекция точки А;

Параллельность и перпендикулярность - высота (в) точки А;

Параллельность и перпендикулярность- глубина (г) точки А;

Параллельность и перпендикулярность - широта (ш) точки А;

Параллельность и перпендикулярность - точки схода проекций координат точки на осях. 

Координата Ш = координате Параллельность и перпендикулярность

Координата Г = координате Параллельность и перпендикулярность

Координата В = координате Параллельность и перпендикулярность

Образование эпюра точки 

В дальнейшем, чтобы перейти от пространственного изображения к эпюру, выполняется самая важная "операция" начертательной геометрии. Условно, как "ножницами" разрезаем пополам ось у вместе с сточкой Параллельность и перпендикулярность до точки О. Одна половина оси Параллельность и перпендикулярность и точки Параллельность и перпендикулярность остается с Параллельность и перпендикулярность, а вторая половина оси Параллельность и перпендикулярность та Параллельность и перпендикулярность остается с Параллельность и перпендикулярность. Плоскость Параллельность и перпендикулярность, вместе с проекциями Параллельность и перпендикулярность, Ш и Г, вращаем вокруг оси Параллельность и перпендикулярность до совмещения Параллельность и перпендикулярность с Параллельность и перпендикулярность, а плоскость Параллельность и перпендикулярность вместе с проекцией Параллельность и перпендикулярность, В и Г, вращаем вокруг оси Параллельность и перпендикулярность до совмещения с Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность.

Точка А вместе с "дротиками" - координатами условно убирается с поля зрения образца, а развернутые плоскости Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность до совпадения с Параллельность и перпендикулярность совмещаются с листом и получаем изображение, приведенное на рис. 1-2.

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность- и называется вертикальная линия связи (В.Л.С.). Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность- и называется горизонтальная линия связи (Г.Л.С.). Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность- и называется горизонтально-вертикальная линия связи (Г-В.Л.С.). Параллельность и перпендикулярность

Принимая во внимание, что прямоугольные ограничения развернутых плоскостей проекций Параллельность и перпендикулярность являются условными, эти плоскости могут быть продлены бесконечно, то полученное изображение полей плоскостей разделяем осями координат, это дает возможность перейти к следующему изображению на рис. 1-3.

Параллельность и перпендикулярность

Полученное изображение - эпюр точки А спроектированной на три плоскости проекций. Саму точку А, заданную тремя координатами записывают определителем Параллельность и перпендикулярность

Учитывая, что на эпюре Параллельность и перпендикулярность координате Параллельность и перпендикулярность, а Параллельность и перпендикулярность, то Параллельность и перпендикулярность, из тех же соображений: Параллельность и перпендикулярность координате Параллельность и перпендикулярность, а Параллельность и перпендикулярность, то от эпюра с тремя полами изображений есть возможность перейти к эпюру с двумя полами, разделенных осью Параллельность и перпендикулярность, что дает сокращение объема построения, при таком исполнении эпюр имеет вид (рис. 1-4)

Параллельность и перпендикулярность

Это изображение и есть эпюр точки А, спроектированной на две плоскости проекций Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность. Над осью Параллельность и перпендикулярность есть пола плоскости Параллельность и перпендикулярность, а под осью Параллельность и перпендикулярность есть пола плоскости Параллельность и перпендикулярность.

Параллельность и перпендикулярность

Когда есть потребность вернуться от эпюра рис. 1-4 к эпюру точки, спроецированной на три плоскости (на Параллельность и перпендикулярность), это возможно выполнить одним из нижеприведенных методов.

Методы построение третьей проекции точки по её двум данным

Метод переноса проекций (рис. 1-5)

Параллельность и перпендикулярность

От точки О вниз пройдет ось Параллельность и перпендикулярность, а вправо от нее ос Параллельность и перпендикулярность, вверху от О лежит ось Параллельность и перпендикулярность. С точки Параллельность и перпендикулярность проводим горизонтальную линию связи, перпендикулярную Параллельность и перпендикулярность. С Параллельность и перпендикулярность проводит горизонтальную часть (горизонтально-вертикальной линии связи), получаем Параллельность и перпендикулярность.

Циркулем, радиус которого равен Параллельность и перпендикулярность, с точки О как из центра, точку Параллельность и перпендикулярность переносим на Параллельность и перпендикулярность, получаем Параллельность и перпендикулярность, с которой проводим перпендикулярно Параллельность и перпендикулярность вертикальную часть горизонтально-вертикальной линии связи и ее точка пересечения с горизонтальной Л.С. есть искомая Параллельность и перпендикулярность - профильная проекция точки А.

Метод координатный (рис. 1-6).

Параллельность и перпендикулярность

Выполняются построение оси Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность и с Параллельность и перпендикулярность проводится горизонтальная Л.С. как показано в предыдущем методе. Размер координаты Параллельность и перпендикулярностьоткладываем от Параллельность и перпендикулярность на горизонтальной Л.С, и получаем Параллельность и перпендикулярность.

Метод с применением постоянной прямой чертежа (рис. 1-7)

Построив оси  Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность и с Параллельность и перпендикулярность проведя горизонтальную Л.С. Параллельность и перпендикулярность, проводим с точки  О постоянную прямую чертежа под углом Параллельность и перпендикулярность к Параллельность и перпендикулярность. С Параллельность и перпендикулярность проводим горизонтальную часть Л.С. до пересечения с постоянной, из точки пересечения проводим вертикальную часть Г-В Л.С. до пересечения с Г.Л.З, проведенную с Параллельность и перпендикулярность, полученная точка пересечения есть Параллельность и перпендикулярность.

Параллельность и перпендикулярность

Решение прямой задачи Н.Г. (построение чертежа)

Допустим, что конструктор выполняет проекцию объекта, в конструкции которого одна из характерных точек - точка А, имеет координаты в ммПараллельность и перпендикулярность20. Необходимо построить эпюр точки А.

Решение: учитывая, что определитель А (30, 20, 10), выбираем масштаб измерения: 10, строится ось Параллельность и перпендикулярность (рис. 1-8). 

Параллельность и перпендикулярность

От начала координат О откладывается координата Х = 30 мм, получаем точку Параллельность и перпендикулярность.

Через Параллельность и перпендикулярность проводим В.Л.С., на которой на расстоянии Параллельность и перпендикулярность вниз откладываем координату Параллельность и перпендикулярность получаем Параллельность и перпендикулярность, а вверх от Параллельность и перпендикулярность откладываем координату Параллельность и перпендикулярностьи получаем Параллельность и перпендикулярность. Получен эпюр точки А заданной координатами, - это и есть решение прямой задачи, которую выполняет конструктор. 

Решение обратной задачи Н.Г. (чтение чертежа)

Допустим, что технолог получил чертеж и по изображению пространственного объекта, необходимо определить координаты точки А его конструкции.

Определяем на эпюре (рис. 1-9):Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Это и есть координаты точки А (30, 10, 20). 

По эпюрному изображению точки А определены её координаты, решена обратная задача Н.Г., которую выполняет технолог.

Принадлежность точек элементам трёхгранного угла (первого октанта)

Когда точка из трёх координат имеет одну координату, которая равна нулю, то эта точка принадлежит плоскости, а когда точка имеет две координаты, которые равны нулю, то она принадлежит оси координат (рис. 1-10).

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Прямая

Прямая линия или просто прямая – это линия, вдоль которой расстояние между двумя точками является кратчайшим.

Положение прямых относительно плоскостей проекций

Прямая может быть задана отрезком, или лучом. По отношению к плоскостям проекций прямая может занимать:

- общее положение;

- частное положение: прямая уровня, или прямая проецирующая

Ориентация прямой относительно плоскостей проекций определяется её углами наклона: Параллельность и перпендикулярность - к плоскости Параллельность и перпендикулярность, Параллельность и перпендикулярность - к плоскости Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность - к плоскости Параллельность и перпендикулярность

Прямая общего положения

Это прямая не параллельная ни одной плоскости проекций. Проекции прямой (её отрезка) не параллельны и не перпендикулярны осям координат. Каждая из проекций по величине меньше самого отрезка. Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность не параллельны оси Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярностьменьше натуральной величины АВ (рис. 2-1).

Параллельность и перпендикулярность

Точка принадлежит прямой, если её проекции принадлежат одноименным проекциям этой прямой и находятся между собой в проекционной связи (рис. 2-1).

Точка С принадлежит отрезку АВ, если проекции точки С принадлежат одноименным проекциям отрезка АВ, то есть:

если 

Параллельность и перпендикулярность

то:

Параллельность и перпендикулярность

2.3. Прямая уровня

Такая прямая, параллельная одной плоскости проекций. Своим расположением относительно плоскостей проекций, прямые делятся на: горизонтальные, фронтальные и профильные прямые. Если точки прямой имеют координату:

Параллельность и перпендикулярность - постоянную - это горизонталь;

Параллельность и перпендикулярность - постоянную - это фронталь;

Параллельность и перпендикулярность- постоянную - профильная прямая

Горизонтальная прямая

Такая прямая параллельна горизонтальной плоскости проекций Параллельность и перпендикулярность (рис. 2-2).

Параллельность и перпендикулярность

Прямая, заданная отрезком Параллельность и перпендикулярность, на эпюре:

Параллельность и перпендикулярность

то есть: фронтальная проекция Параллельность и перпендикулярностьпараллельна оси Параллельность и перпендикулярность, а Параллельность и перпендикулярность параллельна Параллельность и перпендикулярность, при этом величина Параллельность и перпендикулярностьи Параллельность и перпендикулярностьменьше н.в. АВ (н.в. - натуральная величина). 

Фронтальная прямая

Такая прямая параллельна фронтальной плоскости проекций Параллельность и перпендикулярность (рис. 2-3).

Параллельность и перпендикулярность

Отрезок Параллельность и перпендикулярностьна эпюре:

Параллельность и перпендикулярность

Профильная прямая

Такая прямая параллельна профильной плоскости проекций Параллельность и перпендикулярность (рис. 2-4).

Параллельность и перпендикулярность

Отрезок Параллельность и перпендикулярность на эпюре:

Параллельность и перпендикулярность

ВЫВОДЫ КАСАТЕЛЬНО ПРЯМЫХ УРОВНЯ:

- Если отрезок прямой параллельный одной из плоскостей проекций, то он на эту плоскость проецируется в натуральную величину, а углы, которые эта проекция образует с соответствующими осями, равны натуральной величине углов наклона отрезка к двум другим плоскостям проекций. 

- Если у прямой постоянна одна бегущая координата, то такая прямая называется прямой уровня. 

Прямые проецирующие

Такие прямые, перпендикулярные к одной плоскости проекций (при таком расположении эти прямые будут параллельны двум другим плоскостям проекций). Проецирующая прямая сливается с проецирующим лучом. 

Проецирующие прямые бывают:

- горизонтально проецирующая Параллельность и перпендикулярность, у нее любая точка имеет координаты Параллельность и перпендикулярность- постоянные;

- фронтально проецирующая Параллельность и перпендикулярность, у нее координаты Параллельность и перпендикулярность- постоянные;

- профильно проецирующая Параллельность и перпендикулярность, у нее координата Параллельность и перпендикулярность- постоянна для любой её точки.

Горизонтально проецирующая прямая

Такая прямая перпендикулярна к горизонтальной плоскости проекций Параллельность и перпендикулярность (рис. 2-5).

Параллельность и перпендикулярность

Отрезок Параллельность и перпендикулярностьна эпюре:

Параллельность и перпендикулярность

то есть: его горизонтальная проекция Параллельность и перпендикулярность воспроизведена в виде точки, так как точки А и В сливаются с одним проецирующим лучом Параллельность и перпендикулярность к Параллельность и перпендикулярность. Фронтальная проекция Параллельность и перпендикулярность расположена Параллельность и перпендикулярностьк Параллельность и перпендикулярность, а Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярностьк Параллельность и перпендикулярность. Величина Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность равна натуральной величине отрезка АВ. Угол между Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность равен Параллельность и перпендикулярность = углу наклона АВ к Параллельность и перпендикулярность.

Фронтально проецирующая прямая

Такая прямая перпендикулярна к фронтальной плоскости проекций Параллельность и перпендикулярность (рис. 2-6).

Параллельность и перпендикулярность

Отрезок Параллельность и перпендикулярностьна эпюре: фронтальная проекция его - точка,

Параллельность и перпендикулярность

Профильно проецирующая прямая

Такая прямая перпендикулярна к профильной плоскости проекций Параллельность и перпендикулярность (рис. 2-7).

Параллельность и перпендикулярность

Отрезок Параллельность и перпендикулярностьна эпюре: профильная проекция его - точка,Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

ВЫВОД ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОЕЦИРУЮЩИХ ПРЯМЫХ:

- Если отрезок прямой перпендикулярен плоскости проекций, то он проецируется на эту плоскость в виде точки, а две его другие проекции расположены параллельно (или перпендикулярно) соответствующим осям координат и по размеру эти две проекции равны натуральной величине отрезка. 

Определение натуральной величины отрезка прямой общего положения и углов наклона его к плоскостям проекций

Метод прямоугольного треугольника

Угол наклона прямой к горизонтальной плоскости проекций является углом наклона её отрезка АВ к Параллельность и перпендикулярность, который равен углу наклона АВ к его проекции Параллельность и перпендикулярность на эту плоскости и является Параллельность и перпендикулярность

Изображение задачи по определению Параллельность и перпендикулярность, и её решения приведено на пространственном изображении (рис. 2-8). Для определения Параллельность и перпендикулярность проведем из точки В прямую Параллельность и перпендикулярность, полученный Параллельность и перпендикулярность- прямоугольный.

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность - как проецирующие лучи параллельны между собой и перпендикулярны к Параллельность и перпендикулярность.

Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность - высота точки Параллельность и перпендикулярность - высота точки Параллельность и перпендикулярность.

Параллельность и перпендикулярность- разница высот точек А и В.

У прямоугольного треугольника АВС известны два катета: Параллельность и перпендикулярностьи Параллельность и перпендикулярность, гипотенуза прямоугольного треугольника - натуральная величина АВ, а угол Параллельность и перпендикулярность.

Соответственно, отрезок АВ - это гипотенуза прямоугольного треугольника, у которого один катет-проекция равен проекции отрезка на плоскость, а второй катет равен разности расстояний концов отрезка к этой плоскости проекций, а натуральная величина угла наклона отрезка к этой плоскости проекций - это угол между гипотенузой треугольника и его катетом - проекцией. 

Построение натуральной величина АВ и его углов наклона к плоскости проекций приведена на эпюре (рис. 2-9).

Параллельность и перпендикулярность

Для определения н.в. АВ и Параллельность и перпендикулярность:

- Параллельность и перпендикулярность принимаем за катет;

- с точки Параллельность и перпендикулярность проводится вспомогательная прямая Параллельность и перпендикулярность;

- на прямой Параллельность и перпендикулярность от точки Параллельность и перпендикулярность откладывается Параллельность и перпендикулярность, определенная на поле Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность 

Полученный треугольник Параллельность и перпендикулярность, у которого Параллельность и перпендикулярность - натуральная величина АВ, Параллельность и перпендикулярность.

Для определения н.в. АВ и Параллельность и перпендикулярность:

- Параллельность и перпендикулярность - один катет;

- Параллельность и перпендикулярность (что определяется на поле Параллельность и перпендикулярность) - второй катет;

Параллельность и перпендикулярность у которого Параллельность и перпендикулярность = н.в. АВ, Параллельность и перпендикулярность

Для определения Параллельность и перпендикулярность - строится треугольник на полке Параллельность и перпендикулярность, а Параллельность и перпендикулярность берут с Параллельность и перпендикулярность.

Для определения натуральной величины отрезка прямой общего положения, заданного своими проекциями, необходимо построить прямоугольный треугольник, в котором один катет - проекция отрезка на одну из плоскостей проекций, а вторым катетом является разность расстояний концов отрезка к этой плоскости, гипотенуза такого отрезка равна натуральной величине отрезка. 

Так, если определяется натуральная величина отрезка и угол Параллельность и перпендикулярность его наклона к Параллельность и перпендикулярность, то горизонтальная проекция Параллельность и перпендикулярность принимается за один катет (катет-проекция) прямоугольного треугольника, а второй его катет нужно взять как Параллельность и перпендикулярность - разность высот его концов, то есть Параллельность и перпендикулярность (рис. 2-8).

При определении н.в. АВ и Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность - один катет, а Параллельность и перпендикулярностьопределеная на Параллельность и перпендикулярность является вторым катетом. Натуральная величина отрезка определяется как гипотенуза построенного прямоугольного треугольника. 

Угол между натуральной величиной отрезка АВ - гипотенузой и катетом-проекцией равен углу наклона отрезка к плоскости проекций (к той плоскости проекций, на которой проекция принята за катет-проекцию прямоугольного треугольника).

Пример 2-1:

Дано отрезок Параллельность и перпендикулярность(рис. 2-10):

Определить: н.в. АВ и Параллельность и перпендикулярность.

Параллельность и перпендикулярность

Решение (рис. 2-11)

Параллельность и перпендикулярность

Решение выполняется с помощью метода прямоугольного треугольника. Параллельность и перпендикулярность принимается за один катет. С точки А проводят прямую Параллельность и перпендикулярность под прямым углом к Параллельность и перпендикулярность. На поле Параллельность и перпендикулярность определяют Параллельность и перпендикулярностьОт точки Параллельность и перпендикулярность на Параллельность и перпендикулярность откладываем Параллельность и перпендикулярность и получаем точку Параллельность и перпендикулярность, которую соединяем с точкой Параллельность и перпендикулярность. Получаем Параллельность и перпендикулярность, у которого Параллельность и перпендикулярность - гипотенуза является натуральной величиной АВ, а угол Параллельность и перпендикулярность - натуральная величина угла Параллельность и перпендикулярность - угол наклона АВ к Параллельность и перпендикулярность

Если бы нужно было определить н.в. АВ и Параллельность и перпендикулярность, то за катет проекцию было бы принято Параллельность и перпендикулярность, а второй катет имел бы величину Параллельность и перпендикулярность, которая определяется на Параллельность и перпендикулярность (рис. 2-11-а)

Для определения н.в. АВ и Параллельность и перпендикулярность за катет-проекцию принимаем Параллельность и перпендикулярность, а второй катет равен Параллельность и перпендикулярность, которая определяется на Параллельность и перпендикулярность (рис. 2-11-б).

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Метод Монжа (показан на рис. 2-12)

Задано: отрезок АВ (Параллельность и перпендикулярность, Параллельность и перпендикулярность): Параллельность и перпендикулярность- г - горизонтальная проекция; 

Параллельность и перпендикулярность - ф - фронтальная проекция.

Определить: н.в. АВ, Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность.Параллельность и перпендикулярность

Решение: На поле Параллельность и перпендикулярность от точки 2 Параллельность и перпендикулярность откладываем Параллельность и перпендикулярностьи получаем точку 4, соединив ее с Параллельность и перпендикулярность получили н.в. АВ, а угол между Ф и Параллельность и перпендикулярностьи на поле Параллельность и перпендикулярность; аналогично получаем Параллельность и перпендикулярность н.в. АВ и Параллельность и перпендикулярность.

Построение выполнено с учетом того, что треугольник Параллельность и перпендикулярность.4 прямоугольный и у него один катет равен Ф = Параллельность и перпендикулярность, а другой катет Параллельность и перпендикулярность = разности координат до Параллельность и перпендикулярность, аналогично на поле Параллельность и перпендикулярность - Параллельность и перпендикулярность

Деление отрезка в заданном соотношении

Согласно свойствам параллельных проекций: соотношение отрезков прямой равно соотношению их проекций. Соответственно, чтобы разделить на эпюре проекции отрезка, достаточно разделить в заданном соотношении одну из проекций отрезка и полученную точку раздела перенести на другую проекцию отрезка (по теореме Фалеса).

Пример: Дано: проекции отрезка АВ на полях Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность.

Необходимо: поделить проекции АВ в соотношении АС/СВ = 1/3. 

Параллельность и перпендикулярность

Решение: Например с Параллельность и перпендикулярность проводим произвольную вспомогательную прямую Параллельность и перпендикулярность и от точки Параллельность и перпендикулярность откладываем произвольные четыре одинаковых отрезка (их количество равно сумме числителя и знаменателя заданного соотношения). Полученную точку 4 соединяем с точкой Параллельность и перпендикулярность, с точки 3 проводим прямую, параллельную к Параллельность и перпендикулярность, и точка ее пересечения с Параллельность и перпендикулярность является Параллельность и перпендикулярность, которая делить Параллельность и перпендикулярность в соотношении 1/3, с Параллельность и перпендикулярность проводится вертикальная линия связи и на Параллельность и перпендикулярность получаем Параллельность и перпендикулярность, которая делит фронтальную проекцию Параллельность и перпендикулярность в том же соотношении, 1/3.

Следы прямой

Следы прямой - это точки пересечения прямой с плоскостями проекций (рис. 2-14).

Параллельность и перпендикулярность

Точка пересечения прямой Параллельность и перпендикулярность с плоскостью Параллельность и перпендикулярность - точка М - горизонтальный след прямой, Параллельность и перпендикулярность

Точка пересечения прямой Параллельность и перпендикулярность с плоскостью Параллельность и перпендикулярность - точка Параллельность и перпендикулярность - фронтальный след прямой, Параллельность и перпендикулярность

Точка пересечения прямой Параллельность и перпендикулярность с плоскостью Параллельность и перпендикулярность - точка Р - профильный след, Параллельность и перпендикулярность

Прямая общего положения имеет три следа Параллельность и перпендикулярность

На эпюре (рис. 2-15), когда задано две проекции отрезка АВ, построение следов на Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность следующее:

Параллельность и перпендикулярность

Для построения проекций горизонтального следа прямой продлеваем Параллельность и перпендикулярность до пересечения с осью Параллельность и перпендикулярность, получаем Параллельность и перпендикулярность - фронтальную проекцию горизонтального следа, с Параллельность и перпендикулярность перпендикулярно к Параллельность и перпендикулярность проводим вспомогательную линию связи Параллельность и перпендикулярность, которую проводим до пересечения с продолжением горизонтальной проекции Параллельность и перпендикулярность, - полученная точка Параллельность и перпендикулярность - горизонтальная проекция горизонтального следа Параллельность и перпендикулярность.

Для построения проекций фронтального следа: продлеваем горизонтальную проекцию Параллельность и перпендикулярность до пересечения с Параллельность и перпендикулярность - полученная точка Параллельность и перпендикулярность - горизонтальная проекция фронтального следа; с Параллельность и перпендикулярность проводится под прямым углом кПараллельность и перпендикулярность вспомогательная прямая Параллельность и перпендикулярность, пересечения продолжения Параллельность и перпендикулярность с Параллельность и перпендикулярность - точка Параллельность и перпендикулярность - фронтальная проекция фронтального следа, Параллельность и перпендикулярность

Следы прямых частного положения

Прямая уровня, параллельная одной плоскости проекций, имеет только два следа, так как пересекается только с двумя плоскостями проекций.

Параллельность и перпендикулярность

Например, горизонтальная прямая (рис. 2-16) пересекается с двумя плоскостями проекций, с фронтальной Параллельность и перпендикулярность - образует фронтальный след Параллельность и перпендикулярность, с профильной - Параллельность и перпендикулярность- образует профильный след Р. Построение следов Параллельность и перпендикулярность и Р показано на эпюре (рис. 2-17) 

Параллельность и перпендикулярность

Прямая проецирующая, параллельная двум плоскостям проекций, имеет только один след, так как пересекается только с одной плоскостью проекций. 

Например, горизонтально проецирующая прямая (рис. 2-18) пересекается с одной плоскостью проекций Параллельность и перпендикулярность, (к которой она перпендикулярна) и имеет только горизонтальный след М.

Параллельность и перпендикулярность

Построение следа М показано на эпюре (рис. 2-19):

Параллельность и перпендикулярность

Взаимное положение прямых

В пространстве две прямые (или больше) взаимно могут быть:

- параллельными

- пересекающимися

- скрещивающимися 

Параллельные прямые

Из свойств параллельного проектирования известно, если прямые параллельны между собой, то и одноименные их проекции тоже параллельны между собой. 

Если на эпюре (рис. 2-20) Параллельность и перпендикулярность, а Параллельность и перпендикулярность, то в пространстве Параллельность и перпендикулярность и наоборот. Параллельность прямых общего положения подчеркивается параллельностью их проекций на двух полях плоскостей проекций. 

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность двух прямых частного положения определяется и по той проекции, на которой прямые параллельны плоскости проекции, и по другой. 

Если прямые параллельны одной плоскости проекций, то их параллельность определяется по проекции на той плоскости, относительно которой прямые параллельные, и по другой проекции.  

Пересекающиеся прямые 

Если АВ пересекается с Параллельность и перпендикулярность, то точка их пересечения точка К имеет свои проекции Параллельность и перпендикулярностьи Параллельность и перпендикулярность, которые расположены на линии Параллельность и перпендикулярность(Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярностьрасположены на одной линии связи).

Если две прямые пересекаются между собой, то точки пересечения их одноименных проекций на эпюре расположены на одной линии связи, то есть проекции точки пересечения одноименных проекций этих прямых на одном поле и другом связаны одной линией связи, которая перпендикулярна соответствующей оси координат (рис. 2-21). 

Параллельность и перпендикулярность

Если одна из прямых, которые пересекаются, прямая уровня, то про взаимное расположение этих прямых на эпюре судят по проекции на той плоскости проекций, относительно которой одна из прямых (или обе) параллельна, и другой проекции. 

Скрещивающиеся прямые

Такие прямые между собой не пересекаются и не параллельны. Точки пересечения одноименных проекций прямых не принадлежат одному перпендикуляру к оси, то есть не связаны между собой одной линией связи.

Точка пересечения одноименных проекций скрещивающихся прямых - проекция двух точек, одна из которых принадлежит одной прямой, а вторая другой. Эти точки называются - конкурирующие точки. Такие точки применяются для выяснения, какая из двух скрещивающихся прямых проходит выше другой, или ближе в местах их воображаемого пересечения.

На рис. 2-22, из рассмотренных точек 1 и 2 видно, что точка 1 имеет большую глубину Параллельность и перпендикулярность, она перед точкой 2 и на фронтальной проекции точка 1 закрывается точку 2, Параллельность и перпендикулярность, а точка 3 имеет большую высоту Параллельность и перпендикулярность, чем высота точки 4, которая равна Параллельность и перпендикулярность, потому что точка 3 выше точки 4 и на горизонтальной проекции точка Параллельность и перпендикулярность закрывает точку Параллельность и перпендикулярность, то есть на Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность накрыла Параллельность и перпендикулярность, потому что Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Графическое исследование параметров прямой линии

Пример:

Дано: отрезок прямой общего положения АВ (Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность), (рис. 2-23).

Определить: н.в. АВ, Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Возможны два решения:

- методом прямоугольного треугольника (рис. 2-24), 

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность - принимается за катет проекцию, на поле Параллельность и перпендикулярность определяется Параллельность и перпендикулярность, с Параллельность и перпендикулярность проводим вспомогательную прямую Параллельность и перпендикулярность, на Параллельность и перпендикулярность от Параллельность и перпендикулярность откладываемПараллельность и перпендикулярность и получаем Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность, а угол между гипотенузой Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность равен углу Параллельность и перпендикулярность, образованному АВ с Параллельность и перпендикулярность

Для определения угла Параллельность и перпендикулярность и н.в. АВ применяется треугольник Параллельность и перпендикулярность

- метод треугольника Монжа, (рис. 2-25), который строится на базе катета - разности координат и другого катета - проекции.

Параллельность и перпендикулярность

Пример:

Дано: А Параллельность и перпендикулярность и н.в. АВ (рис. 2-26)

Параллельность и перпендикулярность

Определить: Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность

Построение (рис. 2-27): с Параллельность и перпендикулярность, как из центра радиусом Параллельность и перпендикулярность н.в. АВ проводится дуга до пересечения с проведенной Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность переносим на поле Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность строится на Параллельность и перпендикулярность.

Параллельность и перпендикулярность

Аналогично решается задача, когда вместо н.в. АВ, известен угол Параллельность и перпендикулярность.

Пример:

Дано:Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность, отрезок АВ Параллельность и перпендикулярность

Построить: Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность.

I-й этап: определение Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность.

В круге (рис. 2-28) диаметром Параллельность и перпендикулярность строится с Параллельность и перпендикулярность Параллельность и перпендикулярность и прямоугольный треугольник, вписанный в круг и опирается на диаметр, имеет один катет, который равен горизонтальной проекции, а второй = Параллельность и перпендикулярность. Аналогично определяется Параллельность и перпендикулярность.

На рис. 2-29 показано решение задачи.

Параллельность и перпендикулярность

От точки Параллельность и перпендикулярность вверх и вниз откладываем отрезок длиной Параллельность и перпендикулярность, от Параллельность и перпендикулярность вверх и вниз откладываем Параллельность и перпендикулярность.

Через конечные точки построенных отрезком проводим линии параллельные оси Параллельность и перпендикулярность. Из точек Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность прочерчиваем засечки на линиях Параллельность и перпендикулярностьи Параллельность и перпендикулярность, получим точки Параллельность и перпендикулярностьи Параллельность и перпендикулярность. Задача имеет четыре решения. Эту задачу можно решать, не задавая Параллельность и перпендикулярность, при этом остаются неопределенными н.в. АВ, но угол Параллельность и перпендикулярностьи Параллельность и перпендикулярность будут выдержаны.

- Равнонаклоненная прямая имеет Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность, то Параллельность и перпендикулярностьВ таких прямых, когда их  Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность, имеет место Параллельность и перпендикулярностьотрезки Г-горизонтальных и Ф-фронтальных проекций одинаковы между собой (рис. 2-30). 

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

У равнонаклоненных прямых проекции взаимно параллельны, или одинаково наклонены к оси проекций (рис. 2-31).

Параллельность и перпендикулярность

Биссекторная плоскость двухгранного угла, образованного плоскостями Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность является геометрическим местом (Г.М.) прямых, у которых Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность. таким же Г.М. будут плоскости, параллельные биссекторной плоскости и ей перпендикулярны (рис. 2-32,а). 

Прямые с параллельными проекциями расположены в плоскостях, перпендикулярных биссекторной (рис. 2-32, б), а с равнонаклоненными проекциями к оси - расположены в биссекторной плоскости или ей параллельных плоскостях (рис. 2-32,а, б, в). 

Параллельность и перпендикулярность

Плоскость

Плоскость — это поверхность или фигура, образованная кинематическим движением образующей по направляющей, представляющей собой прямую (начертательная геометрия).

Плоскость относительно плоскостей проекций может быть расположена по разному и ее положение определяется в зависимости от углов наклона заданной плоскости к плоскостям проекций. Принимается: кут наклона плоскости к Параллельность и перпендикулярность- Параллельность и перпендикулярность; к Параллельность и перпендикулярность- Параллельность и перпендикулярность; к Параллельность и перпендикулярность- Параллельность и перпендикулярность

В зависимости от углов наклона плоскости к плоскости проекций, плоскость в пространстве может быть:

- общего положения, когда углы ее наклона Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность произвольные, но отличаются от Параллельность и перпендикулярностьи Параллельность и перпендикулярность

- частного положения: 

- плоскости уровня - параллельные к одной плоскости проекций, когда один из углов равен Параллельность и перпендикулярность, а другие Параллельность и перпендикулярность;

- плоскости проецирующие - плоскости перпендикулярны к одной плоскости проекций, когда один из углов наклона = Параллельность и перпендикулярность, а два другие больше Параллельность и перпендикулярностьи меньше Параллельность и перпендикулярность

Способы задания плоскости

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Следы плоскостей

Положение плоскости в пространстве определяется ее следами, которые являются прямыми линиями, образованными при пересечении произвольной плоскости с плоскостями проекций.

При пересечении плоскости, например Параллельность и перпендикулярность(рис. 3.1), с плоскостями проекций, образуются прямые линии, которые называют следами, в том числе:

- если плоскость Параллельность и перпендикулярностьпересекается с горизонтальной плоскостью проекцийПараллельность и перпендикулярность, то образуется прямая линия, которую называют горизонтальный след плоскости Параллельность и перпендикулярность, то есть: 

- если: Параллельность и перпендикулярность - горизонтальный след плоскости Параллельность и перпендикулярность;

- если: Параллельность и перпендикулярность - фронтальный след плоскости Параллельность и перпендикулярность;

- если: Параллельность и перпендикулярность - профильный след плоскости Параллельность и перпендикулярность.

При пересечении плоскости с плоскостью проекций, к которой плоскость перпендикулярна, образуется след-проекция с которым совпадает проекция всей плоскости на эту плоскость проекций. Обозначение такого следа-проекции, при необходимости его выделения среди других следов, выполняется с подчеркиванием обозначения:

- когда плоскость Параллельность и перпендикулярность- горизонтальный след-проекций;

- когда плоскость Параллельность и перпендикулярность- фронтальный след-проекций;

- когда плоскость Параллельность и перпендикулярность- профильный след-проекций.

При изображении плоскости своим одним следом-проекцией допускается его обозначение без подчеркивания. 

Изображение следов плоскостей предлагается выполнять как приведено в следующей таблице: 

Параллельность и перпендикулярность

Обозначение следов произвольной плоскости состоит из её буквенного обозначения (выполненное прописной буквой греческого алфавита) с индексом, таким же, какой имеет плоскость проекций, с которой пересекается плоскость. Возможно обозначение следов плоскости общего положения строчными буквами Параллельность и перпендикулярностьи Параллельность и перпендикулярность, которые являются линиями нулевого положения этих линий уровня плоскости (см. п. 3.3.2). Добавление индекса Параллельность и перпендикулярность подчеркивает "нулевое" положение этих линий уровня плоскости. То есть линии нулевого уровня - это линии уровня плоскости, которые совпадают с линиями пересечения исследуемой заданной плоскости с плоскостью проекций. 

Рекомендованы преимущественно разграничительные обозначения следов: 

- Параллельность и перпендикулярностьи другие - обозначение следов общего (п.3.3) и частного (п. 3.6) положения;

- Параллельность и перпендикулярность- обозначения следов плоскостей общего (п.3.3) положения, в которых преимущественно рассматриваются их промежуточные линии уровня (п.3.3.2).

Каждая пара следов плоскости Параллельность и перпендикулярность пересекается (например) с осью проекций х в одной точке Параллельность и перпендикулярностьх - то такая точка называется точкой схода следов на оси Параллельность и перпендикулярность.

Следы произвольных прямых, которые лежат в заданной плоскости, обязательно должны располагаться на одноименных следах плоскости, это и показано на рис. 3-1 и 3-2.

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Для построение на эпюре следов плоскости, которая задана не следами, достаточно построить следы двух прямых, которыми она задана, и через эти одноименные следы прямых провести одноименные следы плоскости (рис. 3-2).

Через фронтальные проекции фронтальных следов Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярностьпроведено Параллельность и перпендикулярность- фронтальный след плоскости, а через горизонтальные проекции горизонтальных следов Параллельность и перпендикулярностьи Параллельность и перпендикулярность проведено Параллельность и перпендикулярность - горизонтальный след плоскости Параллельность и перпендикулярность.

Если рассматривать плоскость в системе Параллельность и перпендикулярность,Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность, то плоскость имеет следы на трех соответствующих плоскостях проекций и три точки схода следов на трёх осях координат (рис. 3-3, рис. 3-4)

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Плоскость общего положения (П.О.П)

Плоскость, наклоненная ко всем плоскостям проекций под углами, которые Параллельность и перпендикулярность, но Параллельность и перпендикулярность, называется плоскостью общего положения.

В пространстве плоскость общего положения может быть расположена произвольно, но не параллельно и не перпендикулярно относительно плоскостей проекций Параллельность и перпендикулярностьНа эпюре (рис. 3-5) её следы располагаются соответственно произвольно, но не параллельно и не перпендикулярно относительно осей координат.

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Прямые и точки в плоскости

Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямаяТочки обозначаются прописными латинскими буквами: A, B, C,... . Прямые обозначаются строчными латинскими буквами a, b, c,... .

Признаки принадлежности прямой к плоскости 

- прямая принадлежит плоскости, если она имеет с ней две общие точки; 

- прямая принадлежит плоскости, если она имеет с ней одну общую точку и параллельна другой прямой, которая лежит в этой плоскости или в плоскости ей параллельной;

- прямая принадлежит плоскости, если её следы лежат на одноименных следах плоскости. Такими общими для прямой АВ и плоскости будут следы Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность прямой АВ, которые лежат на следах Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность плоскости Параллельность и перпендикулярность.

Если проведем (на рис. 3-4) Параллельность и перпендикулярность, то есть она будет параллельна Параллельность и перпендикулярностьи будет иметь следы Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность на Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность, которые сольются со следами Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность.

Параллельность и перпендикулярность

Из этого:

прямая принадлежит плоскости, если она параллельна одному из следов этой плоскости, а с другим следом имеет общую точку (рис. 3-6). 

Признак принадлежности точки к плоскости

Точка принадлежит плоскости, если она лежит на произвольной прямой, которая принадлежит этой плоскости. 

Точка Е (на рис. 3-7) принадлежит плоскости заданной Параллельность и перпендикулярность, так как лежит на прямой Параллельность и перпендикулярность, которая лежит на плоскости Параллельность и перпендикулярность (при этом Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность).

Параллельность и перпендикулярность

Точка Параллельность и перпендикулярность - не принадлежит плоскости Параллельность и перпендикулярность, так как она расположена в 3-м октанте, потому что на эпюре её горизонтальная проекция Параллельность и перпендикулярность лежит на фронтальной проекции Параллельность и перпендикулярность

Прямые частного положения в плоскости

Прямые частного положения - это прямые, лежащие в плоскости, параллельной одной из основных плоскостей проекций.

Горизонталь

Горизонталь - это прямая в плоскости, параллельная горизонтальной плоскости проекций (рис. 3-8).

Параллельность и перпендикулярность

В плоскости Параллельность и перпендикулярность Параллельность и перпендикулярность- горизонталь (обозначается - Параллельность и перпендикулярность), так как параллельна горизонтальному следу Параллельность и перпендикулярность (рис. 3-9).

Параллельность и перпендикулярность

Так как горизонталь плоскости параллельна плоскости проекций Параллельность и перпендикулярность, то проекция горизонтали всегда параллельна горизонтальному следу плоскости (как проекции параллельных прямых). 

То есть Параллельность и перпендикулярность(горизонтальному следу плоскости).

Алгоритм построение произвольной горизонтали плоскости Параллельность и перпендикулярность (рис. 3-9).

Если Параллельность и перпендикулярность - горизонталь плоскости Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярностьна эпюре: Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность

Для построение произвольной горизонтали Параллельность и перпендикулярность в плоскости Параллельность и перпендикулярность (рис. 3-10) необходимо произвольно провести Параллельность и перпендикулярность, например, с точки Параллельность и перпендикулярность, а Параллельность и перпендикулярность построим по принадлежности ее к плоскости Параллельность и перпендикулярность, то есть Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность

Все горизонтали, принадлежащие одной плоскости, параллельны между собой. 

Для построения на эпюре горизонтали Параллельность и перпендикулярность, сначала строят Параллельность и перпендикулярность, потом строится Параллельность и перпендикулярность (по принадлежности Параллельность и перпендикулярность к плоскости), что и показано на рис. 3-11 и рис. 3-12.

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Фронталь

Фронталь - это линия, принадлежащая плоскости и параллельна фронтальной плоскости проекций Параллельность и перпендикулярность.

На плоскости Параллельность и перпендикулярность МВ - фронталь (обозначается Параллельность и перпендикулярность), так как она параллельна фронтальному следу Параллельность и перпендикулярность (рис. 3-13).

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность всегда параллельна оси Параллельность и перпендикулярность, а фронтальная проекция фронтали Параллельность и перпендикулярность всегда параллельна фронтальному следу плоскости:

То есть: Параллельность и перпендикулярность

Если Параллельность и перпендикулярность-фронталь плоскостиПараллельность и перпендикулярность, то Параллельность и перпендикулярность На эпюре (рис. 3-14) Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Пример:

Допустим, что плоскостьПараллельность и перпендикулярность задана двумя параллельными прямыми Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность, то есть Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность. Необходимо построить фронталь этой плоскости. 

Для построение произвольной фронтали Параллельность и перпендикулярностьв плоскости Параллельность и перпендикулярность(рис. 3-15), произвольно проводим Параллельность и перпендикулярность Параллельность и перпендикулярность построим по принадлежности её к плоскости Параллельность и перпендикулярность, то есть:Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность построив Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Одновременно отметим, что профильная прямая плоскости - это прямая р в плоскости, параллельная профильной плоскости проекций (рис. 3-15, а) (профильная прямая, приведенная на рис. 2-4). 

Параллельность и перпендикулярность

Эта же плоскость может быть задана линиями уровня Параллельность и перпендикулярностьи Параллельность и перпендикулярность, а может быть задана двумя пересекающимися прямыми Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность.

То есть, плоскость Параллельность и перпендикулярностьзадана следами: Параллельность и перпендикулярность - задана промежуточными линиями уровня, Параллельность и перпендикулярность - задана линиями нулевого уровня, Параллельность и перпендикулярность - задана двумя произвольными прямыми Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность, которые пересекаются между собой. Одна и та же плоскость Параллельность и перпендикулярность, но задана она разными прямыми, которые пересекаются (рис. 3-16).

Параллельность и перпендикулярность

Примем во внимание, что след Параллельность и перпендикулярность - это тоже фронталь этой плоскости, принадлежащая Параллельность и перпендикулярность, то есть фронтальный след Параллельность и перпендикулярность- это фронталь нулевого уровня и обозначаем ее в дальнейшем Параллельность и перпендикулярность, то есть Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность - это одна и та же линия пересечения Параллельность и перпендикулярность с Параллельность и перпендикулярность, при этом Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность Из этих же соображений Параллельность и перпендикулярностьвона же и есть Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность

Перезадание плоскости

Если на эпюре плоскость Параллельность и перпендикулярность задана промежуточными линиями уровня и необходимо построить её следы, то выполняется построение горизонтального следа фронтали, через который параллельно горизонтали пройдет Параллельность и перпендикулярность при пересечении которого с осью Параллельность и перпендикулярность образуется Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность с которой параллельно фронтали пройдет Параллельность и перпендикулярность- фронтальный след плоскости. 

Когда Параллельность и перпендикулярность, то на эпюре Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Возможно выполнение перезадания плоскости путем построения фронтального следа Параллельность и перпендикулярностьгоризонтали и дальше, как видно на рис. 3-17. 

Параллельность и перпендикулярность

Перезадание плоскости Параллельность и перпендикулярностьпоказано на рис. 3-17, для этого: произвольно, взяв Параллельность и перпендикулярность на Параллельность и перпендикулярность, строим Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Произвольно, выбираем Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность

Выполним на эпюре перезадание плоскости Параллельность и перпендикулярность

Это показано на рис. 3-18.

Параллельность и перпендикулярность

На произвольной высоте проведем Параллельность и перпендикулярность получим Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность точки пересечения этой горизонтали с прямыми Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность; горизонтальную проекцию горизонтали строим по принадлежности Параллельность и перпендикулярность к плоскости по точкам 1 и 2, которые принадлежат заданной плоскости, соединив Параллельность и перпендикулярность с Параллельность и перпендикулярность и получаем Параллельность и перпендикулярность.

Аналогично выполняем построение фронтали: произвольно проводим: Параллельность и перпендикулярность строим Параллельность и перпендикулярность

Таким образом, выполнено перезадание плоскости, заданной двумя пересекающимися прямыми Параллельность и перпендикулярность на условие задания этой плоскости, линиями уровня Параллельность и перпендикулярность которые тоже пересекаются и принадлежат заданной плоскости Параллельность и перпендикулярность, то есть:

Параллельность и перпендикулярность

Линия наибольшего наклона (ЛНН) плоскости

Линия наибольшего наклона - это прямая в плоскости перпендикулярная одному следу этой плоскости (или к ее промежуточной линии уровня). 

Например, на рис. 3-19 линия наибольшего ската (наклона) плоскости Параллельность и перпендикулярность к Параллельность и перпендикулярность - это прямая Параллельность и перпендикулярность в плоскости, перпендикулярна к горизонтальному следу Параллельность и перпендикулярность плоскости и её всех промежуточных горизонталей. 

Параллельность и перпендикулярность

Линия Параллельность и перпендикулярность может быть применена, например, для определения Параллельность и перпендикулярность- угла наклона плоскости Параллельность и перпендикулярность к Параллельность и перпендикулярность

В плоскости Параллельность и перпендикулярность - Параллельность и перпендикулярность - линия наибольшего наклона (ЛНН).

Параллельность и перпендикулярность- угол наклона плоскости Параллельность и перпендикулярность к Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярностьто Параллельность и перпендикулярность- строим, как отсутствующую проекцию прямой Параллельность и перпендикулярность - принадлежащей плоскости Параллельность и перпендикулярность.

На эпюре (рис. 3-20) при помощи прямоугольного треугольника Параллельность и перпендикулярность определяем натуральную величину Параллельность и перпендикулярность как гипотенузу Параллельность и перпендикулярность, при этом Параллельность и перпендикулярность = н.в Параллельность и перпендикулярность, а угол этой гипотенузы с катетом - проекцию Параллельность и перпендикулярность - равен Параллельность и перпендикулярность- угол наклона. 

Параллельность и перпендикулярность

Приклад: 

Задано: плоскость Параллельность и перпендикулярность(рис. 3-21). Необходимо построить ЛНН к Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Решение: 

- сначала строим горизонталь этой плоскости, для этого с Параллельность и перпендикулярность проводится Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность, получаем при этом точку Параллельность и перпендикулярность, построив Параллельность и перпендикулярность, через Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность пройдет Параллельность и перпендикулярность;

- с Параллельность и перпендикулярность строим горизонтальную проекцию ЛНН, которая пройдет Параллельность и перпендикулярность к Параллельность и перпендикулярность - получим точку Параллельность и перпендикулярность

- фронтальную проекцию ЛНН получим как отсутствующую проекцию прямой Параллельность и перпендикулярность.

Плоскость частного положения

Плоскости частного положения, это плоскости:

- проецирующие - которые перпендикулярные к одной плоскости проекций; 

- уровня - которые параллельны к одной плоскости проекций.

Плоскость в пространстве занимает частное положение, если её один (или два) следа расположены параллельно (или перпендикулярно) к одной оси координат.

Проецирующие плоскости

Плоскость, перпендикулярная к одной из плоскостей проекций называется проецирующей. Смотря к какой плоскости проекций плоскость перпендикулярная, она может быть:

- горизонтально проецирующая Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность;

- фронтально проецирующая Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность;

- профильно проецирующая Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность.

Горизонтально проецирующая плоскость

Горизонтально проецирующая плоскость (ГПП), это плоскость перпендикулярна к горизонтальной плоскости проекций.

Допустим, что плоскость Параллельность и перпендикулярность, тогда её наглядное изображение и эпюр имеют вид, приведенный соответственно на рис. 3-22 и рис. 3-23. 

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Горизонтальная проекция точки, прямой, фигуры, которые принадлежат горизонтально проецирующей плоскости - это точка или прямая, которые располагаются на её горизонтальном следе, поэтому горизонтальный след горизонтально проецирующей плоскости называется след-проекция (с этим следом совпадают горизонтальные проекции элементов, принадлежащих горизонтально проецирующей плоскости), а их проекции на Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность не лежат на следах. 

Угол, образованный следом-проекцией и осью Параллельность и перпендикулярность, то есть равен углу наклона горизонтально проецирующей плоскости к плоскости проекций Параллельность и перпендикулярность, а угол образованный горизонтально проецирующей плоскостью и Параллельность и перпендикулярность равен Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность.

Для того, чтобы через точку, или прямую АВ (рис.3-24) на эпюре провести горизонтально проецирующую плоскость (рис. 3-25), достаточно через горизонтальную проекцию точки прямой провести след-проекцию горизонтально проецирующей плоскости, другие следы располагаются перпендикулярно оси Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность.

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Если задано проекции отрезка АВ, то для проведения горизонтально проецирующей плоскости через этот отрезок: Параллельность и перпендикулярность продлеваем до пересечения с осью Параллельность и перпендикулярность. Получили Параллельность и перпендикулярность, с которой Параллельность и перпендикулярность оси Параллельность и перпендикулярность пролегает Параллельность и перпендикулярность, при этом Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность

Фронтально проецирующая плоскость

Фронтально проецирующая плоскость (ФПП) - это плоскость, перпендикулярная к фронтальной плоскости проекций. 

Допустим, что плоскость Параллельность и перпендикулярность, то ее наглядное изображение и эпюр имеют вид, приведенный соответственно на рис. 3-26 и рис. 3-27. 

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Фронтальная проекция точки, прямой, фигуры, которые принадлежат фронтально проецирующей плоскости, - это точка или соответственно прямая, которые располагаются (сливаются) на ее фронтальном следе, поэтому фронтальный след фронтально проецирующей плоскости называется след-проекция, а проекции на Параллельность и перпендикулярностьи Параллельность и перпендикулярностьне лежат на ее следах. 

Угол, образованный следом-проекцией Параллельность и перпендикулярность фронтально проецирующей плоскости с осью Параллельность и перпендикулярность, то есть равен углу наклону плоскости Параллельность и перпендикулярность к плоскости проекций Параллельность и перпендикулярность, а угол, образованный ФПП и Параллельность и перпендикулярностьравен Параллельность и перпендикулярность

Свойства проецирующих плоскостей

- След проецирующей плоскости на той плоскости проекций, к которой она перпендикулярна, называется следом-проекцией. 

- На эпюре след-проекция располагается под острым углом к осям, два других следа - всегда перпендикулярны соответствующим осям. 

- Угол, образованный следом-проекцией и осью координат, равен углу наклона проецирующей плоскости к соответствующей плоскости проекций, на которой след плоскости перпендикулярен к заданной оси. 

- Все, что расположено в проецирующей плоскости, проецируется на её след-проекцию, при этом на следе-проекции располагаются только одноименные с ним проекции точек, прямых, фигур, принадлежащих проецирующей плоскости, а другие их проекции не сливаются со следами.

- Для того, чтобы через точку или прямую провести проецирующую плоскость, достаточно на эпюре через проекцию точки или прямой провести одноименный след-проекцию проецирующей плоскости, другие два её следа располагаются перпендикулярно соответствующим осям.

- Через прямую, перпендикулярную плоскости проекции, проходить плоскость, перпендикулярная к той же плоскости проекций. 

Плоскости уровня

Плоскость, параллельная одной плоскости проекций, называется плоскостью уровня, она одновременно перпендикулярна двум другим плоскостям проекции.

Зависимо от того, к какой плоскости проекций заданная плоскость параллельна, эти плоскости уровня бывают: - горизонтальные, фронтальные или профильные.

Горизонтальная плоскость - параллельная горизонтальной плоскости проекций (одновременно она перпендикулярна Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность, то есть проецирующая относительно их).

Если заданная плоскость Параллельность и перпендикулярностьпараллельна горизонтальной плоскости проекций Параллельность и перпендикулярность (рис. 3-28), то на эпюре она будет воспроизведена двумя следами-проекциями, фронтальным следом-проекцией Параллельность и перпендикулярность и профильным следом-проекцией Параллельность и перпендикулярность (рис. 3-29), а точка  А, расположенная в плоскости Параллельность и перпендикулярность, на эпюре имеет свои проекции: на поле Параллельность и перпендикулярность, на поле Параллельность и перпендикулярность.

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Плоская фигура, например треугольник АВС, расположенный в плоскости Параллельность и перпендикулярность, имеет горизонтальную проекцию оооо, которая равна натуральной величине треугольника АВС, а фронтальная и профильная проекции этого треугольника - отрезки прямой, которые сливаются со следами-проекциями, соответственно Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность(рис. 3-30). 

Параллельность и перпендикулярность

Фронтальная плоскость - параллельная фронтальной плоскости проекций (одновременно перпендикулярная Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность, то есть дважды проецирующая).

Если заданная плоскость Параллельность и перпендикулярность параллельна фронтальной плоскости проекций Параллельность и перпендикулярность, то на эпюре она будет воспроизведена двумя следами-проекциями, - горизонтальным следом-проекцией Параллельность и перпендикулярность и профильным следом Параллельность и перпендикулярность (рис. 3-31), а точка В, расположенная в плоскости Параллельность и перпендикулярность, на эпюре имеет свои проекции: на поле Параллельность и перпендикулярность, на поле Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Плоская фигура, например, треугольник АВС, расположенный на плоскости Параллельность и перпендикулярность, имеет фронтальную проекцию Параллельность и перпендикулярность, которая равна натуральной величине треугольника АВС, а горизонтальная и профильная проекции этого треугольника - отрезки, совпадающие со следами-проекциями, соответственно Параллельность и перпендикулярность, а Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность(рис. 3-32)

Параллельность и перпендикулярность

Профильная плоскость параллельна профильной плоскости проекций Параллельность и перпендикулярность (одновременно перпендикулярна Параллельность и перпендикулярностьи Параллельность и перпендикулярность, то есть проецирующая относительно этих плоскостей).

Если заданная плоскость Р параллельна профильной плоскости проекций Параллельность и перпендикулярность, то на эпюре она будет воспроизведена двумя следами-проекциями, - горизонтальным следом-проекцией Параллельность и перпендикулярностьи фронтальным следом-проекцией Параллельность и перпендикулярность(рис. 3-33), то есть Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность а точка С расположенная в плоскости Р, на эпюре имеет свои проекции: на поле Параллельность и перпендикулярность, на поле Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность.

Параллельность и перпендикулярность

Плоская фигура, например, треугольник АВС, расположенный в плоскости Параллельность и перпендикулярностьимеет профильную проекцию Параллельность и перпендикулярность, которая равна натуральной величина треугольника АВС, а горизонтальная и профильная проекции этого треугольника - отрезки, которые сливаются со следами-проекциями соответственно Параллельность и перпендикулярность, а Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность(рис. 3-34). 

Параллельность и перпендикулярность

Выводы относительно плоскостей уровня

- Плоскость уровня на эпюре отображается двумя следами- проекциями, которые параллельны тем двум осям, которые определяют плоскость проекций, относительно которой плоскость уровня параллельна, а на эпюре из двух полей плоскость уровня определяется одним следом, который параллелен оси, которая разделяет эти два поля. 

- Любая плоская фигура, расположенная в плоскости уровня, проецируется на ту плоскость проекций, относительно которой плоскость уровня параллельна в натуральную величину, а на две остальные - в виде отрезков прямых, которые не сходятся с ее следами-проекциями. 

Примеры решения задач:

Пример 3-1

Дано: точку Параллельность и перпендикулярностьи угол Параллельность и перпендикулярность(рис. 3-35)

Необходимо: построить плоскость Параллельность и перпендикулярность, которая проходит через точку А и наклоненную к Параллельность и перпендикулярностьпод Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Рассмотрим обобщенное решение задачи на пространственной модели (рис. 3-36).

Параллельность и перпендикулярность

Плоскость Параллельность и перпендикулярность может быть построена при помощи вспомогательной прямой АВ общего положения, для этого:

1. Через точку А проведем прямую АВ так, чтобы она с Параллельность и перпендикулярностьобразовала Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность (рис. 3-37).

Параллельность и перпендикулярность

2. Через точку А, перпендикулярно прямой АВ проводим плоскость Параллельность и перпендикулярность, которая и есть искомой плоскостью (Параллельность и перпендикулярность) (рис. 3-38).

Параллельность и перпендикулярность

Задача имеет множество решений, потому что с точки А к Параллельность и перпендикулярностьпод Параллельность и перпендикулярность возможно провести множество дополнительных прямых, и к каждой из них проведенная плоскость через точку А под прямым углом к АВ, будет искомой плоскостью. 

Алгоритм решения (по пространственной модели, рис. 3-37 и эпюре решения приведенного на рис. 3-38) 

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность(ГМПП - геометрическое место прямых пространства, - Параллельность и перпендикулярность- поверхность прямого кругового конуса с вершиной в точке А и осью Параллельность и перпендикулярность, все образующие этого конуса равны АС и являются прямыми, проведенными с точки А к плоскости Параллельность и перпендикулярностьпод углом Параллельность и перпендикулярность).

Параллельность и перпендикулярность(Параллельность и перпендикулярность- окружность основания конуса с центров в  Параллельность и перпендикулярность; Параллельность и перпендикулярность - радиус окружности основания, Параллельность и перпендикулярность)

Параллельность и перпендикулярность(окружность с центром в Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность(Параллельность и перпендикулярностьпроизвольно взята на Параллельность и перпендикулярность)

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Пример 3-2

Дано: точку Параллельность и перпендикулярность(рис. 3-35), угол Параллельность и перпендикулярностьи угол Параллельность и перпендикулярность.

Необходимо: построить плоскость Параллельность и перпендикулярность, которая проходит через точку А и наклоненную к Параллельность и перпендикулярностьпод Параллельность и перпендикулярность, а к Параллельность и перпендикулярность под Параллельность и перпендикулярность.

Решение этого примера выполняется с применением методики и последовательность решения предыдущего примера №3-1.

Искомая плоскость Параллельность и перпендикулярность пройдет через точку А и расположится перпендикулярно к вспомогательной прямой АВ, которая будет занимать конкретное положение относительно Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность, при котором угол наклона прямой АВ к Параллельность и перпендикулярностьравен Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность, а к Параллельность и перпендикулярность. Построение АВ показано на пространственной модели рис. 3-39.

Параллельность и перпендикулярность

Согласно п.1 алгоритма решения примера №3-1, с точки А (рис. 3-40):

Параллельность и перпендикулярность

- относительно Параллельность и перпендикулярностьстроим конус Параллельность и перпендикулярность с основанием Параллельность и перпендикулярность, все образующие этого конуса по размеру равны Параллельность и перпендикулярностьи наклонены к Параллельность и перпендикулярностьпод Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность ;

- относительно Параллельность и перпендикулярность построим второй конус Параллельность и перпендикулярность с основанием Параллельность и перпендикулярность, все образующие этого конуса по размеру равны АС (при условии АС = Параллельность и перпендикулярность) и наклонены к Параллельность и перпендикулярность под Параллельность и перпендикулярность

Пересечение двух конусов  Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярностьс общей вершиной в точке А дает конкретное направление вспомогательной прямой АВ. Построение которой следует из определения общих образующих построенных конусов, которые легко выполнить в том случае, когда длины образующих обоих конусов одинаковы, поэтому натуральную величину образующей Параллельность и перпендикулярность, которая равна Параллельность и перпендикулярность(как фронтальная проекция фронтальной абрисной образующей), откладываем по направлению горизонтальной проекции Параллельность и перпендикулярность горизонтальной очерченной образующей конуса Параллельность и перпендикулярность, получаем Параллельность и перпендикулярность. Таким образом, образующая Параллельность и перпендикулярность конуса Параллельность и перпендикулярность равна образующей Параллельность и перпендикулярность конуса Параллельность и перпендикулярность. Пересечение двух оснований конусов на поле Параллельность и перпендикулярность(Параллельность и перпендикулярность) определит точки В и Параллельность и перпендикулярность, через которые пройдут искомые образующие АВ и Параллельность и перпендикулярность. Согласно п.2 алгоритма решения примера №3-1, через точку А проводим искомую плоскость Параллельность и перпендикулярность, перпендикулярную к прямой АВ (и Параллельность и перпендикулярность). 

На рис. 3-40 приведены два решения задачи.

Если: 

Параллельность и перпендикулярность - задача может иметь четыре решения;

Параллельность и перпендикулярность - задача может иметь два решения;

Параллельность и перпендикулярность - задача решения не имеет.

Пример 3-3

Дано: точку Параллельность и перпендикулярность

Необходимо: построить плоскость Параллельность и перпендикулярность, которая проходит параллельно оси Параллельность и перпендикулярность и равнонаклоненная к Параллельность и перпендикулярностьи Параллельность и перпендикулярность(без применения Параллельность и перпендикулярность).

Рассматривая пространственное изображение первого решения задачи на рис. 3-41, выясняем, что искомая плоскость Параллельность и перпендикулярность, параллельная оси Параллельность и перпендикулярность - профильно проецирующая и ее следы Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярностьпройдут параллельно оси Параллельность и перпендикулярность, и расположатся на одинаковом расстоянии от Параллельность и перпендикулярность Параллельность и перпендикулярность.

Параллельность и перпендикулярность

Исходя из свойства о принадлежности точки А к плоскости Параллельность и перпендикулярность, через точку А проведем произвольную прямую и построим ее горизонтальный след Параллельность и перпендикулярность и фронтальный след Параллельность и перпендикулярность. Построив горизонтальную Параллельность и перпендикулярностьи фронтальную Параллельность и перпендикулярностьпроекции прямой Параллельность и перпендикулярность, выясняем, что треугольник Параллельность и перпендикулярность прямоугольный, и треугольник Параллельность и перпендикулярностьтоже прямоугольный. В этих треугольника катет Параллельность и перпендикулярность- общий, а катет Параллельность и перпендикулярность равен катету Параллельность и перпендикулярность отсюда: Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность, гипотенуза Параллельность и перпендикулярность образует угол с общим катетом Параллельность и перпендикулярность, который сливается с осью Параллельность и перпендикулярность, и гипотенуза Параллельность и перпендикулярностьс общим катетом Параллельность и перпендикулярность образуют ровные углы. Взяв произвольную прямую, которая проходит через точку А в плоскости Параллельность и перпендикулярность, получили фронтальную и горизонтальную проекции, равнонаклоненные к оси Параллельность и перпендикулярность, и проходящие через одноименные проекции точки А, что и видно на эпюре (рис. 3-42). 

Параллельность и перпендикулярность

Построив следы произвольной прямой Параллельность и перпендикулярность, через точку Параллельность и перпендикулярностьпройдет фронтальный след Параллельность и перпендикулярность и точку Параллельность и перпендикулярность, через которую пройдет горизонтальный след Параллельность и перпендикулярность

Рассмотрим второе решение задачи, когда через точку А пройдет плоскость Параллельность и перпендикулярность, параллельная биссекторной плоскости Параллельность и перпендикулярностьдвухгранного угла Параллельность и перпендикулярностьи Параллельность и перпендикулярность, которая также равнонаклоненная кПараллельность и перпендикулярностьи Параллельность и перпендикулярность и параллельна оси Параллельность и перпендикулярность (рис. 3-43)

Параллельность и перпендикулярность

На этом рисунке видно, что биссекторная плоскость Параллельность и перпендикулярностьимеет горизонтальный след Параллельность и перпендикулярностьи фронтальный Параллельность и перпендикулярность, которые сливаются между собой и осью Параллельность и перпендикулярность. Профильный след Параллельность и перпендикулярностьрасположен под углом Параллельность и перпендикулярностьк оси Параллельность и перпендикулярностьи Параллельность и перпендикулярность

Учтя, что плоскость Параллельность и перпендикулярностьи Параллельность и перпендикулярностьпроходит через точку А, то Параллельность и перпендикулярность(во втором октанте).

Точка Параллельность и перпендикулярность, а точка Параллельность и перпендикулярностьи, принимая во внимание, что Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярностьи при повороте плоскости Параллельность и перпендикулярностьдо совпадения с Параллельность и перпендикулярность, то Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность(рис. 3-44).

Параллельность и перпендикулярность

На рис. 3-45 показано изображение следов плоскости Параллельность и перпендикулярность, которая проходит через точку А, где видно, что следы Параллельность и перпендикулярность и следы отдалены от оси Параллельность и перпендикулярность на расстояние, которое равно разности координат точки А, то есть Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Одновременно подчеркнем, если координата Параллельность и перпендикулярностьбольше координаты Параллельность и перпендикулярность(то есть точка А расположена перед биссекторной плоскостью Параллельность и перпендикулярность), то след Параллельность и перпендикулярностьбудет расположен ниже оси Параллельность и перпендикулярность на расстоянии Параллельность и перпендикулярность.

Взаимное расположение плоскостей

Отличают три взаимных положения плоскостей (или их отсеков):

- совпадающие;

- параллельные (не совпадающие);

- пересекающиеся. 

Методика определения взаимного расположения отсеков двух плоскостей:

Две прямые, которые пересекаются, одной плоскости (её отсека) проверяются на их принадлежность к другой плоскости (к другому отсеку) и дальше анализируют взаимное расположение прямых к одной плоскости и построенных прямых второй плоскости и:

- Если две пересекающиеся прямые принадлежат одному отсеку и второму отсеку (в своем продолжении), то один и второй отсек принадлежат одной плоскости. Такие отсеки называют совпадающими (компланарными).

- Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти две плоскости параллельны между собой.

- Если две пересекающиеся прямые одной плоскости скрещивающиеся (или пересекающие) относительно двух пересекающихся прямых другой плоскости, то такие две плоскости пересекаются между собой. 

Совпадающие отсеки (принадлежат одной плоскости)

А и В - два заданные отсека.

1. П - плоскость-посредник, которая приведена на рис. 4-1. 

Параллельность и перпендикулярность

Линии пересечения заданных отсеков с плоскостью-посредником лежат на одной прямой, отсеки компланарны, так как:

Параллельность и перпендикулярностьпринадлежат одной прямой Параллельность и перпендикулярность

2. Прямые Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность - пересекающиеся, принадлежат отсеку Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярностьПродолжение прямых  Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность принадлежат отсеку В, потому что Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность, которые принадлежат отсеку В, а Параллельность и перпендикулярностьи Параллельность и перпендикулярность, которые принадлежат отсеку А. Согласно признаку принадлежности прямой к плоскости: Параллельность и перпендикулярность, так как Параллельность и перпендикулярность проходит через точки 16 и 17, которые принадлежат отсеку Параллельность и перпендикулярность, так как Параллельность и перпендикулярность проходит через точки 10 и 11, которые принадлежат отсеку В. Считая, что две пересекающиеся прямые Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность принадлежат одному отсеку А, а продолжение прямых Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность  принадлежат отсеку В, то отсеки А и В совпадают (принадлежат одной плоскости Параллельность и перпендикулярность, компланарные)

Плоскости которые параллельны

Рассмотрим взаимное положение плоскостей Р и Параллельность и перпендикулярность на рис. 4-2:

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Если Параллельность и перпендикулярность

То есть, если две параллельные плоскости Р и Параллельность и перпендикулярность пересекаются плоскостью Параллельность и перпендикулярностьили Параллельность и перпендикулярность, то линии их пересечения будут параллельны между собой. 

В плоскости Р: Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность - две пересекающиеся прямые, принадлежащие плоскости Р.

В плоскости Параллельность и перпендикулярность: Параллельность и перпендикулярностьи Параллельность и перпендикулярность - две две пересекающиеся прямые, принадлежащие плоскости Параллельность и перпендикулярность.

Отсюда следует признак параллельности двух плоскостей:

Параллельность и перпендикулярностьдве плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым второй плоскости. 

Такими пересекающимися прямыми могут быть и следы плоскостей, и их прямые уровня или произвольные две прямые этой плоскости (рис. 4-4).

Параллельность и перпендикулярность

Если две плоскости Р и Параллельность и перпендикулярность заданы, например, двумя пересекающимися прямыми, то может быть что: плоскость Р задана Параллельность и перпендикулярностьили Параллельность и перпендикулярность или Параллельность и перпендикулярность, а плоскость Параллельность и перпендикулярность задана Параллельность и перпендикулярность или Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярностьили Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность, то на эпюре:

Если: Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность(рис. 4-3)

Параллельность и перпендикулярность

Если: Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность(рис. 4-5)

Параллельность и перпендикулярность

Если: Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность(рис. 4-6)

Параллельность и перпендикулярность

Если плоскости Р и Параллельность и перпендикулярность - параллельны между собой, то они параллельны, когда параллельны две любые одноименные пары следов, а если Р и Параллельность и перпендикулярность проецирующие, то их параллельность достаточно подчеркивается, когда одна из этих параллельных одноименных пар - это следы на плоскости проекций, к которой Р и Параллельность и перпендикулярность перпендикулярны (рис. 4-7) (когда следы-проекции параллельны). 

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность двух плоскостей (или их отсеков) можно определить при помощи метода вспомогательных плоскостей-посредников, примеренный на рис. 4-10. Если 1...2 и 3...4 параллельны между собой, как и Параллельность и перпендикулярностьтогда плоскости Р и Параллельность и перпендикулярность параллельны. 

Плоскости, которые пересекаются

Когда две плоскости пересекаются, то образуется их линия пересечения - прямая линия, которая является геометрическим местом точек, которые одновременно принадлежат каждой из заданных плоскостей.

Для построения прямой в пространстве достаточно:

- чтобы было задано две точки, соединив которые - получаем прямую. Когда точки А и В задано, то: Параллельность и перпендикулярность(рис. 4-8).

Параллельность и перпендикулярность

- чтобы было задано одну точку и направление прямой, тогда с точки параллельно указанному направлению пройдет прямая (луч). Когда заданы одна точка С направление Параллельность и перпендикулярность то: с Параллельность и перпендикулярность проводим прямую Параллельность и перпендикулярность, получаем луч и дальше прямую Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность  (рис. 4-9)

Параллельность и перпендикулярность

Общий метод построения линии пересечения плоскостей (ЛПП)

Линия пересечения плоскостей - это прямая линия и для её построения определяется две точки, общие для двух пересекающихся плоскостей. Для построения линии пересечения плоскостей применяется метод вспомогательных плоскостей-посредников.

Например, плоскость Р, заданная треугольником Параллельность и перпендикулярность, пересекается с плоскостью Параллельность и перпендикулярность, которая задана двумя параллельными прямыми АВ и Параллельность и перпендикулярность, при этом будет получена линия пересечения плоскостей, заданная отрезком Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Покажем построение линии пересечения плоскостей, воспроизведенную отрезком Параллельность и перпендикулярность.

На пространственном изображении  (рис. 4-10)

Параллельность и перпендикулярность

Решение: выбираем плоскость-посредник Параллельность и перпендикулярность и перерезаем нею плоскости Р и Параллельность и перпендикулярность, при этом:

Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность - точка, которая является общей для плоскостей Р и Параллельность и перпендикулярность

Для построения второй общей точки для плоскостей Р и Параллельность и перпендикулярность, выбираем вторую плоскость-посредник Параллельность и перпендикулярность, при этом:

Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность - это вторая точка, которая является общей для плоскостей Р и Параллельность и перпендикулярность;

Параллельность и перпендикулярность

Плоскость-посредник (секущая плоскость) может быть расположена в пространстве произвольно, но удобнее, чтобы она была плоскостью частного положения, при этом упрощается построение линии пересечения плоскостей.

На эпюре (рис. 4-11)

 Параллельность и перпендикулярность

Алгоритм решения:

Выбираем:

Параллельность и перпендикулярность - плоскость-посредник Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Выбираем:

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Построение линии пересечения двух плоскостей, заданных следами

Для построения этой линии пересечения плоскостей необходимо построить две общие точки для них, для этого могут быть применены плоскости проекций Параллельность и перпендикулярностьи Параллельность и перпендикулярность, которые рассматриваются как вспомогательные плоскости-посредники.

Например:Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность (рис. 4-12).

Параллельность и перпендикулярность

Алгоритм решения:

 Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность- одна точка общая для Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность;

Параллельность и перпендикулярность - расположится на оси Параллельность и перпендикулярность;

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность- вторая точка общая для Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность;

Параллельность и перпендикулярность- расположится на оси Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность - ЛПП Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность.

То есть, соединив: Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность получается Параллельность и перпендикулярность- горизонтальная проекция линии пересечения плоскостей; Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность получается Параллельность и перпендикулярность- фронтальная проекция линии пересечения плоскостей.

Пересечение двух пар одноименных следов плоскостей Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярностьдают две точки Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность, которые одновременно принадлежат одной и второй плоскости, то есть принадлежат линии пересечения плоскостейПараллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность.

Вывод. Если пересекаются две плоскости общего положения, которые заданы своими следами, то их линия пересечения пройдет от точки пересечения одной пары одноименных следов до точки пересечения второй пары одноименных следов.

Построение линии пересечения двух плоскостей с парой параллельных одноименных следов

Линия пересечения таких плоскостей строится по одной точке и известному направлению. Общей точкой является точка пересечения пары следов, которые между собой не параллельны, а известным направлением будет направление, параллельное параллельным следам пересекающихся плоскостей.

Если: Параллельность и перпендикулярностьЛПП, то на эпюре (рис. 4-13):

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Если: Параллельность и перпендикулярность, то на эпюре (рис. 4-14):

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярностьпройдет с Параллельность и перпендикулярность и расположится Параллельность и перпендикулярность.

Вывод. если пересекаются любые две плоскости, заданные следами и когда хотя бы одна пара их одноименных следов параллельны между собой, то линия пересечения таких плоскостей пройдет с точки пересечения не параллельных одноименных следов и расположится параллельно параллельным следам этих плоскостей. 

Построение линии пересечения плоскости уровня с плоскостью общего положения (рис. 4-15)

Параллельность и перпендикулярность

Линия пересечения плоскости строится по одной точке и известным направлением. Если Параллельность и перпендикулярность - плоскость общего положения пересекается с плоскостью Параллельность и перпендикулярность- плоскостью уровня, например, Параллельность и перпендикулярность. При этом плоскость проекций Параллельность и перпендикулярность и плоскость Параллельность и перпендикулярность, параллельные между собой, пересекаются плоскостью Параллельность и перпендикулярность, то линия пересечения плоскостей Параллельность и перпендикулярность с Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность с Параллельность и перпендикулярность- параллельные прямые, то есть Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность, значит линия пересечения плоскостей Параллельность и перпендикулярность, которая параллельна Параллельность и перпендикулярность- это направление линии пересечения плоскостей, а общей точкой является точка пересечения одноименных следов.

Параллельность и перпендикулярность - горизонтальная проекция общей точки Параллельность и перпендикулярность, а Параллельность и перпендикулярность расположится на Параллельность и перпендикулярность. Таким образом, если:

Параллельность и перпендикулярность, то на эпюре: Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность горизонтальной проекции Параллельность и перпендикулярность;

Параллельность и перпендикулярность фронтальной проекции Параллельность и перпендикулярность.

Вывод. Любая плоскость общего положения пересекается с фронтальной плоскостью по фронтали, которая параллельна её фронтальному следу, а с горизонтальной плоскостью - по горизонтали, которая параллельна её горизонтальному следу.

Построение линии пересечения проецирующей плоскости с плоскостью общего положения (рис. 4-16)

Параллельность и перпендикулярность

 Линия пересечения плоскостей строится по двум общим точкам. Принимая во внимание, что одна из плоскостей проецирующая, то одна из проекций линии пересечения плоскостей сливается с её следом-проекцией.

Если плоскость Параллельность и перпендикулярность; а Р - плоскость общего положения

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность а Параллельность и перпендикулярность расположится на Параллельность и перпендикулярность;

Параллельность и перпендикулярность, а Параллельность и перпендикулярность расположится на Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность; соединив одноименные проекции Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность получаем:

Параллельность и перпендикулярность

Вывод. Если одна из плоскостей является плоскостью общего положения, а вторая плоскость проецирующая, то одна проекция линии пересечения плоскостей сливается со следом проекцией проецирующей плоскости (или по выводу к п. 4.3.2), а вторая проекция ЛПП определяется из условия принадлежности этой прямой к плоскости общего положения. 

Построение линий пересечения проецирующей плоскости общего положения, заданной не следами

Параллельность и перпендикулярность(рис. 4-17) 

Параллельность и перпендикулярность

Линия пересечения плоскости пройдет через две точки 1 и 2, которые являются точками пересечения АС с плоскостьюПараллельность и перпендикулярность, и соответственно ВС с Параллельность и перпендикулярность:

На поле: Параллельность и перпендикулярностьстроим Параллельность и перпендикулярность на Параллельность и перпендикулярность, строим Параллельность и перпендикулярностьна Параллельность и перпендикулярность, ФПЛПП пройдет от точки Параллельность и перпендикулярностьк точке Параллельность и перпендикулярность, сливается со следом-проекцией Параллельность и перпендикулярность

На поле Параллельность и перпендикулярность

Выводы:

1. Когда две плоскости пересекаются и обе заданы следами, то строятся точки пересечения одноименных следов и эти точки определяют линию пересечения плоскости;

2. Когда одна плоскость общего положения задана промежуточными прямыми (не следами), а другая плоскость задана следом-проекцией, то строятся точки пересечения промежуточных прямых со следом-проекцией (начиная с поля, на котором дан след-проекция, а на другом поле - строим на независимости точек к плоскости заданной промежуточными прямыми). Полученные точки определяют линию пересечения плоскостей. 

Примеры решения задач:

Пример 4-1. Дано: плоскость Параллельность и перпендикулярностьи точка А, которая не принадлежит этой плоскости  (рис. 4-18)

Параллельность и перпендикулярность

Необходимо через точку А провести плоскость Параллельность и перпендикулярностьпараллельно заданной плоскости Параллельность и перпендикулярность

Через точку А проводим горизонталь искомой плоскости, на эпюре (рис. 4-19).

Параллельность и перпендикулярность

На поле Параллельность и перпендикулярность; на поле Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность, построив Параллельность и перпендикулярность, получаем точку, которая принадлежит фронтальному следу Параллельность и перпендикулярность, который пройдет через Параллельность и перпендикулярность и расположится Параллельность и перпендикулярность. Параллельность и перпендикулярность; Параллельность и перпендикулярность, так как Параллельность и перпендикулярность.

Пример 4-2. Для построения Параллельность и перпендикулярность, когда Параллельность и перпендикулярность, и точка Параллельность и перпендикулярность, достаточно построить Параллельность и перпендикулярностьи расположится Параллельность и перпендикулярность, что показано на рис. 4-20. 

Параллельность и перпендикулярность

Когда задано плоскость Параллельность и перпендикулярность, то плоскость Параллельность и перпендикулярностьпройдет через точек А и расположится Параллельность и перпендикулярность, при этом на эпюре (рис. 4-21)Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность, а Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярностьсоответственно с точками схода следов Параллельность и перпендикулярностьи Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Пример 4-3. Если пересекаются две плоскости, которые заданы следами, и одна пара следов в пределах чертежа не пересекается:

Параллельность и перпендикулярность

На эпюре (рис. 4-22) 

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярностьобщая для Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность, вторую точку строим по общей методики с помощью плоскости-посредника Параллельность и перпендикулярность, построив линию пересечения плоскостей, где Параллельность и перпендикулярностьи линия пересечения плоскостей, где Параллельность и перпендикулярность, на Параллельность и перпендикулярностьполучаем их точку пересечения Параллельность и перпендикулярность, а Параллельность и перпендикулярность. Параллельность и перпендикулярность - линия пересечения двух плоскостей. 

Эта задача может быть решена, как показано на рис. 4-23, при помощи деления в заданном соотношении Параллельность и перпендикулярность точками Параллельность и перпендикулярностьна примере определения линии пересечения двух плоскостей, параллельных заданным, только когда их следы пересекаются в пределах чертежа (рис. 4-24).

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность 

Возможно построения ЛПП при помощи высот треугольников, образованных осью Параллельность и перпендикулярность и одной парой следов на Параллельность и перпендикулярностьи другой парой на Параллельность и перпендикулярность. Точки пересечения треугольников принадлежат проекциями линии пересечения плоскостей. 

Пример 4-4. Дано: Параллельность и перпендикулярность

Определить: Параллельность и перпендикулярность

Решение приведено на рис. 4-25.

Параллельность и перпендикулярность

Одна проекция линии пересечения сливается со следом-проекцией Параллельность и перпендикулярностьплоскости Параллельность и перпендикулярность, а вторая строится из условия принадлежности прямой Параллельность и перпендикулярность к плоскости общего положения Параллельность и перпендикулярность по двум точка - В и С. 

Алгоритм решения:

Параллельность и перпендикулярность

Положение прямой и плоскости

Прямая пересекает плоскостьПрямые линии, принадлежащие плоскости и занимающие частное положение по отношению к плоскостям проекций, называются главными линиями плоскости.

Различают взаимное положение прямой и плоскости, когда:

- прямая и плоскость пересекаются;

- прямая и плоскость параллельны;

- прямая и плоскость совпадают.

Если прямая и плоскость заданы на эпюре своими определителями, то применяется следующая методика определения их взаимного положения (рис. 5-1):

Параллельность и перпендикулярность

- Прямую Параллельность и перпендикулярность включаем во вспомогательную плоскость Параллельность и перпендикулярность;

- строим линию пересечения вспомогательной плоскости Параллельность и перпендикулярностьи заданной плоскости: Параллельность и перпендикулярность;

- сравнивается взаимное расположение проекции заданной прямой Параллельность и перпендикулярность и построенной линии пересечения Параллельность и перпендикулярность.

Если:

- прямая Параллельность и перпендикулярность пересекается с линией Параллельность и перпендикулярность, то Параллельность и перпендикулярность;

- прямая Параллельность и перпендикулярность (на рис. Параллельность и перпендикулярность параллельна линии Параллельность и перпендикулярность, то Параллельность и перпендикулярность;

- прямая Параллельность и перпендикулярность (на рис. Параллельность и перпендикулярность) сливается с линией Параллельность и перпендикулярность, то Параллельность и перпендикулярность

На эпюре выбор вспомогательной плоскости Параллельность и перпендикулярность(её расположение относительно плоскостей проекций) выполняется с таким расчетом, чтобы построения ЛПП были как можно более простыми. При этом, преимущественно, плоскость Параллельность и перпендикулярностьдолжна быть частного положения.

Прямая и плоскость пересекаются

Прямая и плоскость пересекаются (Параллельность и перпендикулярность)

Рассмотрим задачу, когда заданная прямая Параллельность и перпендикулярность пересекается с плоскостью Параллельность и перпендикулярность. Решение такой задачи сводится к построению проекций точки К - точки пересечения прямой Параллельность и перпендикулярность с плоскостью Параллельность и перпендикулярность. Пространственное решение задачи приведено на рис. 5-2.

Параллельность и перпендикулярность

Возьмем в пространстве плоскость Параллельность и перпендикулярность и наклоненную к ней прямую Параллельность и перпендикулярность, для построения точки К - пересечения Параллельность и перпендикулярность с Параллельность и перпендикулярность, - выполняются следующие действия:

1) - через прямую Параллельность и перпендикулярность проведем вспомогательную плоскость Параллельность и перпендикулярность;

2) - строим линию Параллельность и перпендикулярность- линию пересечения заданной плоскости Параллельность и перпендикулярность и вспомогательной плоскости Параллельность и перпендикулярность;

3) - строим точку К, точку пересечения заданной прямой Параллельность и перпендикулярность с построенной линией Параллельность и перпендикулярность; (когда нужно, то строим точку пересечения продолжения этих прямых).

Таким образом задача выполняется решением действий Параллельность и перпендикулярность, а общий алгоритм решения следующий:

Параллельность и перпендикулярность

Решим такую задачу на эпюре. Пусть заданная плоскость Параллельность и перпендикулярность определена на эпюре своими следами Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность, а прямая Параллельность и перпендикулярность - своими проекциями Параллельность и перпендикулярность (рис. 5-3). Для построения проекций точки пересечения Параллельность и перпендикулярность с плоскостьюПараллельность и перпендикулярность, будем решать задачу по выше приведенному алгоритму.

Выполняем действие Параллельность и перпендикулярность, для решения этого действия на эпюре: принимаем во внимание, что в нашем случае плоскость Параллельность и перпендикулярностьвыбрана как фронтально проецирующая Параллельность и перпендикулярность, то есть действие 1) имеет вид Параллельность и перпендикулярность, и выполняется так: Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность, решение действия 1) приведено на рис. 5-4.

Параллельность и перпендикулярность 

Выполняем действие 2) - Параллельность и перпендикулярность, для решения этого действия принимаем во внимание, что в нашем случае плоскость Параллельность и перпендикулярностьзадана своими следами Параллельность и перпендикулярностьи Параллельность и перпендикулярность, плоскость Параллельность и перпендикулярность задана своими следами Параллельность и перпендикулярностьи Параллельность и перпендикулярность. Линия пересечения этих плоскостей строится по двум точкам, что выполняется на эпюре так:

Параллельность и перпендикулярность строим Параллельность и перпендикулярностьна Параллельность и перпендикулярность;

Параллельность и перпендикулярность строим Параллельность и перпендикулярностьна Параллельность и перпендикулярность.

Параллельность и перпендикулярность

эпюрное решение действия 2) приведено на рис. 5-5.

Параллельность и перпендикулярность

Выполняем действие 3) Параллельность и перпендикулярность, решение этого действия выполняется на поле Параллельность и перпендикулярность, где Параллельность и перпендикулярность, с Параллельность и перпендикулярностьпроводим вертикальную линию связи до пересечения с Параллельность и перпендикулярность, при этом получена точка Параллельность и перпендикулярность, это решение действия 3) приведено на рис. 5-6.

Параллельность и перпендикулярность

Приметка: Проекцию точки К строим сначала на том поле, где проекции прямой Параллельность и перпендикулярность и проекция линии пересечения плоскостей, линия Параллельность и перпендикулярность, пересекаются, а не совпадают между собой. На рис. 5-6: сначала Параллельность и перпендикулярность Параллельность и перпендикулярностьпотом при помощи линии связи строим Параллельность и перпендикулярность.

Совмещенные действия Параллельность и перпендикулярность на одном эпюре дают решение поставленной задачи, что приведено на рис. 5-7.

Параллельность и перпендикулярность

Если: Параллельность и перпендикулярность

Алгоритмы решения:

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность - искомая точка.

Пример построения точки пересечения прямой Параллельность и перпендикулярность Параллельность и перпендикулярность с плоскостью Параллельность и перпендикулярность; приведено на рис. 5-8.

Параллельность и перпендикулярность

Решение выполняется по общему алгоритму:

Параллельность и перпендикулярность

Получили искомую точку Параллельность и перпендикулярность

Обращаем внимание на то, что когда заданная плоскость Параллельность и перпендикулярность на эпюре воспроизведена своими следами Параллельность и перпендикулярностьи Параллельность и перпендикулярность(рис. 5-3), то, выполняя действие 1) вспомогательная плоскость Параллельность и перпендикулярностьтоже воспроизводится следами Параллельность и перпендикулярностьи Параллельность и перпендикулярность(рис. 5-4), что дает наипростейшее решение действия 2), а когда плоскость Параллельность и перпендикулярность задана не следами, а, например, двумя пересекающимися прямыми Параллельность и перпендикулярность(рис. 5-8), то вспомогательная плоскость Параллельность и перпендикулярностьвоспроизводится своим следом-проекцией (например Параллельность и перпендикулярность). 

Частные случаи:

- Пересечение прямой проецирующей с площадью общего положения. 

Например:Параллельность и перпендикулярность

Решение этой задачи (рис. 5-9) упрощено тем, что: принимая во внимание, что на Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярностьимеет свою проекцию Параллельность и перпендикулярностьв виде точки. Точка встречи прямой Параллельность и перпендикулярностьс Параллельность и перпендикулярность, точка К - одна из точек прямой Параллельность и перпендикулярность, то на Параллельность и перпендикулярностьгоризонтальная проекция искомой точки Параллельность и перпендикулярностьсовпадает с Параллельность и перпендикулярность. Фронтальную проекцию Параллельность и перпендикулярность строим по признаку принадлежности точки К к плоскости Параллельность и перпендикулярность, например, при помощи горизонтали Параллельность и перпендикулярность. Полученные Параллельность и перпендикулярностьи Параллельность и перпендикулярностьопределяют на эпюре точку встречи (пересечения) прямой Параллельность и перпендикулярностьс плоскостью Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

- Пересечение прямой уровня с плоскостью общего положения.

Например: Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Решение этой задачи (рис. 5-10) выполняется при помощи горизонтали Параллельность и перпендикулярность, принадлежащей плоскости Параллельность и перпендикулярность и проведенной на уровне (по высоте) прямой Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Точка Параллельность и перпендикулярность - искомая точка.

- Построение точки встречи прямой общего положения с плоскостью, которая задана следом-проекцией (плоскостью частного положения).

Решение такой задачи начинается с определения точки пересечения проекций прямой Параллельность и перпендикулярность на том поле, где плоскость задана следом-проекцией. Принимая во внимание, что след-проекция имеет собирательные свойства, то такая точка является проекцией искомой точки на поле построения, а другую проекцию точки определяем по её принадлежности к заданной прямой. 

В нашем случае (рис. 5-11):

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность - искомая точка.

Прямая и плоскость параллельны

Задачи построения проекции прямой, параллельной произвольной плоскости, или решения обратной задачи, базируются на признаках, которые вытекают из теоремы стереометрии: прямая параллельна плоскости, если в плоскости можно провести прямую, ей параллельную. 

Параллельность прямой к плоскости

Первый признак параллельности прямой к плоскости:

Прямая Параллельность и перпендикулярностьпараллельна плоскости Параллельность и перпендикулярность в том случае, если в плоскости Параллельность и перпендикулярность возможно провести прямую Параллельность и перпендикулярность, параллельную Параллельность и перпендикулярность, то есть: если Параллельность и перпендикулярность

На рис. 5-12 приведен пример построения прямой Параллельность и перпендикулярность, проведенной через точку А, и расположенной параллельно плоскостиПараллельность и перпендикулярность (пространственное изображение и решение задачи на эпюре, рис. 5-12).

Параллельность и перпендикулярность

Построение необходимо начинать с проведения произвольной прямой Параллельность и перпендикулярность (в нашем случае прямая Параллельность и перпендикулярность задана отрезком Параллельность и перпендикулярность) в плоскости Параллельность и перпендикулярность, потом через точку А пространства проводим прямую Параллельность и перпендикулярностьпараллельно прямой Параллельность и перпендикулярность, на эпюре:

Параллельность и перпендикулярность

Тогда: Параллельность и перпендикулярность, так как Параллельность и перпендикулярность. Через точку А можно провести множество прямых параллельных плоскости Параллельность и перпендикулярность и все они будут принадлежать другой плоскости, которая параллельна заданной плоскости. 

Второй признак параллельности прямой к плоскости: прямая параллельна плоскости, если через заданную прямую можно провести вторую плоскость, параллельную заданной плоскости. 

Параллельность плоскости к прямой

Признак параллельности плоскости к прямой: плоскость Параллельность и перпендикулярность параллельна прямой Параллельность и перпендикулярность, если эта плоскость содержит прямую Параллельность и перпендикулярность, параллельную данной прямой Параллельность и перпендикулярность.

На рис. 5-13 приведен пример, как через точку А провести плоскость Параллельность и перпендикулярность параллельно прямой Параллельность и перпендикулярность.

Параллельность и перпендикулярность

Чтобы плоскость Параллельность и перпендикулярность была параллельна прямой Параллельность и перпендикулярность, необходимо, чтобы эта плоскость содержала прямую Параллельность и перпендикулярность, которая была бы параллельна заданной прямой Параллельность и перпендикулярность.

Для построения искомой плоскости Параллельность и перпендикулярность достаточно через проекции произвольной точки А провести проекции прямой Параллельность и перпендикулярность, а также через точку А проведем произвольную прямую Параллельность и перпендикулярность.

Прямая Параллельность и перпендикулярность, пересекаясь в точке А с прямой Параллельность и перпендикулярность образуют искомую плоскость Параллельность и перпендикулярность. Так как плоскость Параллельность и перпендикулярность определена Параллельность и перпендикулярность, которая параллельна прямой Параллельность и перпендикулярность.

На эпюре: на поле Параллельность и перпендикулярность- произвольно 

Тогда: Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность, так как Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность. Задача имеет множество решений, потому что прямая Параллельность и перпендикулярность- произвольная. То есть, через точку А возможно провести пучок плоскостей, параллельных прямой Параллельность и перпендикулярность и все они пройдут через прямую Параллельность и перпендикулярность, которая параллельна прямой Параллельность и перпендикулярность

Для определения параллельности прямой и плоскости проводим в этой плоскости некоторую прямую, параллельную заданной прямой. Если такую прямую в плоскости провести невозможно, то заданная прямая и плоскость не параллельны.

Если попробовать построить точку пересечения заданной прямой с плоскостью и такая точка не может быть построена, то заданная прямая и плоскость параллельны между собой. 

Примеры решения задач:

Пример 5-1. Дано: прямая Параллельность и перпендикулярность- общего положения, плоскость Параллельность и перпендикулярность- общего положения.

Построить: точку К - в которой Параллельность и перпендикулярность

Решение (рис. 5-14) выполняется по выше приведенному алгоритму: 

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Точка Параллельность и перпендикулярность- искомая точка. 

Пример 5-2. Дано: прямая Параллельность и перпендикулярность- профильная прямая заданная отрезком АВ, плоскость Параллельность и перпендикулярность - общего положения, задана линиями уровня Параллельность и перпендикулярность

Построить: точку К - в которой Параллельность и перпендикулярность

Первый вариант решения:

Решение выполняется по вышеприведенному алгоритму (п. 5.1) с применением профильной проекции, так как на полах Параллельность и перпендикулярность,Параллельность и перпендикулярность проекции линии Параллельность и перпендикулярность и пересечения плоскостейПараллельность и перпендикулярность, и вспомогательной Параллельность и перпендикулярность - совпадают между собой. На рис. 5-15:

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Точка К, проекции которой построены Параллельность и перпендикулярность - искомая точка. 

Второй вариант решения: когда решение выполняется на полях Параллельность и перпендикулярностьбез применения поля Параллельность и перпендикулярность. На рис. 5-16:

Параллельность и перпендикулярность

1) Параллельность и перпендикулярность; плоскость Параллельность и перпендикулярностьзадана прямой Параллельность и перпендикулярность, проведенной через точку А, то есть Параллельность и перпендикулярность, и прямой Параллельность и перпендикулярность, проведенной через точку Параллельность и перпендикулярность.

2) Параллельность и перпендикулярность

Для построения Параллельность и перпендикулярностьсначала построим точку 1 встречи прямой Параллельность и перпендикулярность с плоскостью Параллельность и перпендикулярность, для этого прямую Параллельность и перпендикулярность включаем во вспомогательную плоскость Параллельность и перпендикулярность, строим Параллельность и перпендикулярность, при этом: 

Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность

Для построения точки 2 строим аналогично точку пересечения прямой Параллельность и перпендикулярность с плоскостью Параллельность и перпендикулярность, для этого прямую Параллельность и перпендикулярность включаем во вспомогательную плоскость Параллельность и перпендикулярность, и дальше получаем точку 2. 

Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность - искомая точка.

Пример 5-3. Дано: точка А и плоскости Параллельность и перпендикулярностьи Параллельность и перпендикулярность общего положения.

Построить: прямую Параллельность и перпендикулярность, которая проходила бы через точку А и была бы параллельна плоскостям Параллельность и перпендикулярностьи Параллельность и перпендикулярность.

Решение выполняется на основании признака параллельности прямой к плоскости. Чтобы искомая прямая Параллельность и перпендикулярность была параллельна двум плоскостям Параллельность и перпендикулярностьи Параллельность и перпендикулярность, строится линия пересечения Параллельность и перпендикулярность этих двух плоскостей и через точку А пройдет прямая Параллельность и перпендикулярность, расположенная параллельно линии Параллельность и перпендикулярность, которая одновременно принадлежит и плоскости  Параллельность и перпендикулярностьи Параллельность и перпендикулярность.

На эпюре, рис. 5-17: Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность- проекции линии пересечения плоскостей  Параллельность и перпендикулярностьи Параллельность и перпендикулярность.

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Такая прямая Параллельность и перпендикулярность параллельна Параллельность и перпендикулярностьи Параллельность и перпендикулярность.

Пример 5-4. Дано: скрещивающиеся прямые Параллельность и перпендикулярностьи точка А.

Необходимо: через точку А провести плоскость Параллельность и перпендикулярность, которая была бы параллельна прямой Параллельность и перпендикулярность и прямой Параллельность и перпендикулярность

Решение выполняется на основании признаков параллельности плоскости к прямой. 

На рис. 5-18 приведено решение, когда с точки А проводим прямую Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность, то Параллельность и перпендикулярность- образуют искомую плоскость Параллельность и перпендикулярность, которая параллельна прямой Параллельность и перпендикулярность и прямой Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

На эпюре: Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность

Построенные проекции прямых Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность - образуют проекции искомой плоскости Параллельность и перпендикулярность.

Перпендикулярность прямых и плоскостей

Перпендикулярность прямой к плоскостиПравить. Определение: Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна всем прямым, лежащим в этой плоскости.

Решение метрических задач с взаимно перпендикулярными элементами рассматривает возможные случаи:

- перпендикулярность прямой и плоскости;

- перпендикулярность двух прямых;

- перпендикулярность двух плоскостей.

Графические построения, которые необходимо при этом выполнять, базируются на применении теоремы про отдельный случай проецирования прямого угла: если угол прямой и одна его сторона параллельна плоскости, а вторая сторона к этой плоскости не перпендикулярна, то проекция прямого угла на эту плоскость равна девяносто градусов. 

Проекции прямого угла

Если Параллельность и перпендикулярность а АВ не перпендикулярно Параллельность и перпендикулярность(рис. 6-1).

Параллельность и перпендикулярность

В таком случае Параллельность и перпендикулярность. Пусть вторая сторона АВ прямого угла пересекает свою проекцию Параллельность и перпендикулярность в точке К. Проводим в плоскости Параллельность и перпендикулярность через точку К прямую, параллельную Параллельность и перпендикулярность. Прямая Параллельность и перпендикулярность, угол Параллельность и перпендикулярность. Согласно с теоремой про три перпендикуляра угол Параллельность и перпендикулярностьпрямой. Соответственно, угол Параллельность и перпендикулярность.

На эпюре: рис. 6-2 АВ - прямая общего положения и имеет проекции Параллельность и перпендикулярностьи Параллельность и перпендикулярность, которые расположены под произвольными острыми углами относительно оси Параллельность и перпендикулярность.

Параллельность и перпендикулярность

ВС - прямая, параллельная Параллельность и перпендикулярность - горизонтальная, имеет Параллельность и перпендикулярность; а Параллельность и перпендикулярность расположена под прямым углом к Параллельность и перпендикулярность- согласно с теоремой про проекции прямого угла, что и показано на рис. 6-2. 

Если рассмотрим угол Параллельность и перпендикулярность. АВ - общая сторона и предварительно рассмотренного угла Параллельность и перпендикулярность, а сторона Параллельность и перпендикулярность, то есть Параллельность и перпендикулярность - фронтальная прямая, то проекции угла Параллельность и перпендикулярность на Параллельность и перпендикулярность будут иметь вид, показанный на рис. 6-3, когда Параллельность и перпендикулярностьпо выше приведенной теореме. 

Параллельность и перпендикулярность

Перпендикулярность прямой и плоскости (перпендикулярность вида 1)

Рассматривая угол Параллельность и перпендикулярность и угол Параллельность и перпендикулярность (п. 6.1.) отмечаем, что АВ может быть общей стороной этих углов, а сторона Параллельность и перпендикулярность, а Параллельность и перпендикулярность. Принимая во внимание, что ВС - горизонталь, а Параллельность и перпендикулярность- фронталь и пересекаются в точке В, то горизонталь и фронталь образуют плоскость, заданную её линиями уровня. Прямая АВ - перпендикуляр к плоскости, образованной линиями уровня, что и показано на рис. 6-4. 

Параллельность и перпендикулярность

Приняв: Параллельность и перпендикулярность- перпендикуляр, а ВС - горизонталь - Параллельность и перпендикулярность; Параллельность и перпендикулярность фронталь - Параллельность и перпендикулярность, то есть Параллельность и перпендикулярность пересекается с Параллельность и перпендикулярностьи тогда: Параллельность и перпендикулярность, если на эпюре Параллельность и перпендикулярность

Признак перпендикулярности прямой к плоскости:

- прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым этой плоскости.

На эпюре Параллельность и перпендикулярность, если горизонтальная проекция перпендикуляра перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция перпендикуляра перпендикулярна к фронтальной проекции фронтали плоскости Параллельность и перпендикулярность.

Перпендикулярность вида 1.1, рис. 6-5

При помощи этого вида решается задача, в которой дано точку и плоскость. Необходимо из заданной точки провести перпендикуляр к плоскости. Модель этой задачи показана на рис. 6-5.

Параллельность и перпендикулярность

Пример 6-1:

Дано: точка А и плоскость Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность (рис. 6-6).

Параллельность и перпендикулярность

Необходимо: провести с точки А перпендикуляр Параллельность и перпендикулярность к Параллельность и перпендикулярность.

Решение выполняется по признаку перпендикулярности прямой к плоскости, когда на эпюре: Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярностьС точки А проводим перпендикуляр Параллельность и перпендикулярность к плоскости Параллельность и перпендикулярность: Параллельность и перпендикулярность; на эпюре: Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность(рис. 6-7).

Параллельность и перпендикулярность

Такая задача имеет возможность определить расстояние от точки А к плоскости Параллельность и перпендикулярность. решение выполняется в следующей последовательности.

1) с точки А проведем перпендикуляр Параллельность и перпендикулярность к плоскости Параллельность и перпендикулярность, при этом Параллельность и перпендикулярность

2) построим точку К - точку встречи прямой Параллельность и перпендикулярность с плоскостью Параллельность и перпендикулярность;

3) определим натуральную величину перпендикуляра от точки А к точке К, что и будет натуральной величиной расстояния от точки А к плоскости Параллельность и перпендикулярность.

Параллельность и перпендикулярность

Развернутый алгоритм решения приведено на примере 6-7. 

Перпендикулярность вида 1.2, рис. 6-8

Параллельность и перпендикулярность

При помощи этого вида решается задача, в которой дано точку и прямую. Необходимо через заданную точку провести плоскость, перпендикулярную заданной прямой.

Решение этой задачи показано в примере 6-2.

Пример 6-2:

Дано: точка А и прямая Параллельность и перпендикулярность (рис. 6-9).

Параллельность и перпендикулярность

Необходимо: с точки А провести плоскость Параллельность и перпендикулярность, перпендикулярную прямой Параллельность и перпендикулярность.

Принимая во внимание, что при проведении плоскости линиями уровня: Параллельность и перпендикулярность. На эпюре (рис. 6-10) это будет выполнено:

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Перпендикулярность двух прямых (перпендикулярность вида 2)

Рассмотрение перпендикулярных прямых выполняется с соблюдением признака перпендикулярности двух прямых: две прямые перпендикулярны между собой, если одна из этих прямых принадлежит плоскости, которая перпендикулярна второй прямой. 

Последовательность построения двух перпендикулярных прямых: если прямая Параллельность и перпендикулярность - задана, то строим плоскость, например, Параллельность и перпендикулярность, перпендикулярную к заданной прямой Параллельность и перпендикулярность, и в этой плоскости проводим вторую прямую Параллельность и перпендикулярность. Заданая прямая Параллельность и перпендикулярность и построенная прямая Параллельность и перпендикулярность перпендикулярны между собой. Бывают перпендикулярные прямые: скрещивающиеся или пересекающиеся. 

Перпендикулярность вида 2.1

При помощи этого вида решается задача, в которой дано точку и прямую. Необходимо из заданной точки А провести прямую, перпендикулярную к заданной прямой Параллельность и перпендикулярность. Построенная прямая относительно заданной прямой будет перпендикулярной скрещивающейся.

Параллельность и перпендикулярность

Решение этой задачи показано на примере 6-3.

Пример 6-3:

Дано: точка А и прямая Параллельность и перпендикулярность (рис. 6-12).

Параллельность и перпендикулярность

Необходимо: через точку А провести прямую Параллельность и перпендикулярность перпендикулярную к Параллельность и перпендикулярность.

Для построения прямой Параллельность и перпендикулярность по признаку перпендикулярности двух прямых, через точку А проводим (рис. 6-13) плоскость Параллельность и перпендикулярность, которая перпендикулярна заданной прямой Параллельность и перпендикулярность, а в полученной плоскости Параллельность и перпендикулярность строим произвольную прямую Параллельность и перпендикулярность (заданную, например, отрезком Параллельность и перпендикулярность) и полученная прямая Параллельность и перпендикулярность, так как Параллельность и перпендикулярность. Прямая Параллельность и перпендикулярность и прямая Параллельность и перпендикулярность - перпендикулярные - скрещивающиеся. Задача имеет множество решений. 

Параллельность и перпендикулярность

Перпендикулярность вида 2.2

При помощи этого вида решается задача, в которой дано точку и прямую, необходимо из данной точки провести перпендикуляр к заданной прямой. Построенный перпендикуляр к заданной прямой (рис.6-14) будет прямой перпендикулярной пересекающейся с заданной прямой. 

Пример 6-4. 

Дано: точка А и прямая Параллельность и перпендикулярность (рис. 6-15).

Параллельность и перпендикулярность

Необходимо: с данной точки А провести перпендикуляр к заданной прямой Параллельность и перпендикулярность, и определить расстояние от точки А к прямой Параллельность и перпендикулярность.

Последовательность решения показано на рис. 6-16. 

1) с точки А проводим плоскость Параллельность и перпендикулярность, перпендикулярную к прямой Параллельность и перпендикулярность.

Параллельность и перпендикулярность

2) строим точку пересечения прямой Параллельность и перпендикулярность с плоскостью Параллельность и перпендикулярность:

Параллельность и перпендикулярность

3) точку А соединим с построенной точкой К, полученная АК и есть прямая Параллельность и перпендикулярность. Прямая Параллельность и перпендикулярность и прямая Параллельность и перпендикулярность - перпендикулярны и пересекающиеся, АК (часть перпендикуляра Параллельность и перпендикулярность) - расстояние от точки А к прямой Параллельность и перпендикулярность, (Параллельность и перпендикулярностьи Параллельность и перпендикулярность- проекции искомого расстояния). Натуральная величина расстояния АК равна Параллельность и перпендикулярность (определена с применением метода прямоугольного треугольника).

Если заданная прямая перпендикулярна к какой-то плоскости проекций, то расстояние от точки пространства к заданной прямой будет спроецировано на эту же плоскость проекций в натуральную величину и будет равно расстоянию от проекции точки к точке, в которую заданная прямая будет спроецирована на плоскость проекций.

Если заданная прямая параллельна какой-то плоскости проекций, то расстояние от точки пространства до прямой уровня равно натуральной величине расстояния от проекции точки к точке пересечения перпендикуляра, проведенного с этой точки к проекции прямой на плоскости проекций, к которой прямая параллельна. 

Перпендикулярность двух плоскостей (перпендикулярность вида 3)

Признак перпендикулярности двух плоскостей: две плоскости перпендикулярны между собой, если одна из плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости.

Если задана плоскость Параллельность и перпендикулярность, то плоскость Параллельность и перпендикулярностьперпендикулярную к заданной плоскости можно построить двумя путями:

- плоскость Параллельность и перпендикулярность проводят через прямую Параллельность и перпендикулярность, перпендикулярную заданной плоскости Параллельность и перпендикулярность;

- или, плоскость Параллельность и перпендикулярность проводят перпендикулярно прямой, которая лежит в заданной плоскости Параллельность и перпендикулярность, или в плоскости параллельной этой плоскости.

Перпендикулярность вида 3.1, рис. 6-17

Параллельность и перпендикулярность

При помощи этого вида решается задача, в которой дано точку и плоскость, точка не принадлежит плоскости. Необходимо через заданную точку провести плоскости, перпендикулярную заданной плоскости.

Решение этой задачи показано на примере 6-5.

Пример 6-5.

Дано: точка А и плоскость Параллельность и перпендикулярность(рис. 6-18), точка А не принадлежит плоскости Параллельность и перпендикулярность.

Необходимо: через точку А провести плоскость Параллельность и перпендикулярностьперпендикулярно Параллельность и перпендикулярность.

Параллельность и перпендикулярность

Последовательность решения показана на рис. 6-19, где с точки А проводим перпендикуляр Параллельность и перпендикулярность, проекция которого на эпюре будет воспроизведена:

на поле Параллельность и перпендикулярность

на поле Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

С точки А проводим произвольную прямую Параллельность и перпендикулярность, проекция которой на эпюре:

на поле Параллельность и перпендикулярность- проведенную произвольно;

на поле Параллельность и перпендикулярность- проведенную произвольно.

Перпендикуляр Параллельность и перпендикулярность, как прямая, пересекаясь с прямой Параллельность и перпендикулярность образуют плоскость Параллельность и перпендикулярностьперпендикулярную плоскости Параллельность и перпендикулярность, так как содержит прямую Параллельность и перпендикулярность перпендикулярную Параллельность и перпендикулярность.

Задача имеет множество решений, поэтому прямая Параллельность и перпендикулярность проведена произвольно. 

Перпендикулярность вида 3.2, рис. 6-20

Параллельность и перпендикулярность

При помощи этого вида перпендикулярности решается задача, в которой дано точку А, плоскость и прямую, принадлежащую этой плоскости. Необходимо через точку провести плоскость, перпендикулярную к заданной плоскости.

Решение этой задачи показано на примере 6-6.

Пример 6-6.

Дано (рис.6-21): точка А и плоскость Параллельность и перпендикулярность, задана двумя пересекающимися прямыми Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность. Прямая Параллельность и перпендикулярность принадлежит  плоскости Параллельность и перпендикулярность.

Необходимо через точку А провести плоскость Параллельность и перпендикулярностьперпендикулярно к Параллельность и перпендикулярность.

Параллельность и перпендикулярность

Плоскость Параллельность и перпендикулярностьбудет перпендикулярна к заданной плоскости Параллельность и перпендикулярность, когда плоскость Параллельность и перпендикулярностьпроведем перпендикулярно к прямой, которая лежит в заданной плоскости Параллельность и перпендикулярность.

Решение на эпюре (рис. 6-22) выполняется согласно перпендикулярности виду 1.2, когда с точки А проведем плоскость Параллельность и перпендикулярность перпендикулярно к прямой Параллельность и перпендикулярность, то построенная плоскость Параллельность и перпендикулярностьбудет перпендикулярна к заданной плоскости Параллельность и перпендикулярность, потому что Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Алгоритм решения:

на поле Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность

на поле Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность

Плоскость Параллельность и перпендикулярность, потому что Параллельность и перпендикулярность.

Если в условии примера заданная прямая Параллельность и перпендикулярность параллельна плоскости Параллельность и перпендикулярность, то решение аналогично предыдущему, только будет:

Параллельность и перпендикулярность, потому что Параллельность и перпендикулярность

Примеры решения задач:

Задачи на перпендикулярность вида 1.1

Пример 6-7

Дано: точка А и плоскость Параллельность и перпендикулярность, определить расстояние от точки А к плоскости Параллельность и перпендикулярность.

Решение проводится в такой последовательности (рис. 6-23):

Параллельность и перпендикулярность

1) с точки А проводим перпендикуляр Параллельность и перпендикулярность к плоскости Параллельность и перпендикулярность (выполняется перпендикулярность вида 1.1);

2) строим точку К - точку пересечения перпендикуляра Параллельность и перпендикулярность с плоскостью Параллельность и перпендикулярность;

3) определяем натуральную величину отрезка перпендикуляра от точки А к точке К, которая строится, например, методом прямоугольного треугольника, полученная натуральная величина АК и есть искомым расстоянием от точки А к плоскости Параллельность и перпендикулярность.

Алгоритм:

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Если в условии задачи плоскость Параллельность и перпендикулярность задана не линиями уровня, то нужно эту плоскость перезадать линиями уровня, как это показано в теми плоскость, п. 3.4. и дальше решать по выше приведенному алгоритму. 

Пример 6-8.

Дано: прямая Параллельность и перпендикулярность и плоскость Параллельность и перпендикулярность, определить угол между прямой и плоскостью Параллельность и перпендикулярность.

Решение проводится в такой последовательности (рис. 6-24 на котором приведено пространственное решение):

Параллельность и перпендикулярность

На прямой Параллельность и перпендикулярность выбирается произвольная точка А;

С точки А проводится прямая Параллельность и перпендикулярность - перпендикуляр к Параллельность и перпендикулярность (это действие выполняется с решением перпендикулярности вида 1.1).

Определяется угол Параллельность и перпендикулярность(угол между Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность), а искомый угол Параллельность и перпендикулярность.

Пример 6-9.

Дано: две точки А и В и плоскость Параллельность и перпендикулярность. Построить луч, который выходит из точки А в точку В, отзеркаливаясь от Параллельность и перпендикулярность.

Решение проводится в такой последовательности (рис. 6-25 на котором приведена схема решения):

Параллельность и перпендикулярность

- с точки А проводят перпендикуляр Параллельность и перпендикулярность к плоскости Параллельность и перпендикулярность (это действие выполняется с решением перпендикулярности вида 1.1) и строят точку К - точку пересечения Параллельность и перпендикулярность с Параллельность и перпендикулярность (то есть Параллельность и перпендикулярность);

- АК продолжается и от точки К откладывается АК - получается точка Параллельность и перпендикулярность, симметричная А относительно плоскости Параллельность и перпендикулярность;

- точка Параллельность и перпендикулярность соединяется с точкой В, образуется точка пересечения Параллельность и перпендикулярность с Параллельность и перпендикулярность;

- путь луча пройдет от А к С, отзеркаливается от плоскости Параллельность и перпендикулярность в точке С и дали пройдет СВ с точки С к точке В.

Пример 6-10.

Построить сферу с центром в данной точке А и касательную к плоскости Параллельность и перпендикулярность.

Решение (на рис. 6-26 приведено схему решения):

Параллельность и перпендикулярность

- С заданной точки А проводится Параллельность и перпендикулярность - перпендикуляр к заданной плоскости Параллельность и перпендикулярность.

- Строится точка пересечения Параллельность и перпендикулярность с Параллельность и перпендикулярность, образуется точка К;

- Определяется натуральная величина АК, что и является радиусом искомой сферы, проведенной с точки Параллельность и перпендикулярность

Пример 6-11

Определить угол между двумя плоскостями Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность.

Решение задачи выполняется по схеме, приведенной на рис. 6-27.

Параллельность и перпендикулярность

- В пространстве между плоскостями Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярностьпроизвольно выбирает точку А;

- С точки А проводим перпендикуляр Параллельность и перпендикулярность к плоскости Параллельность и перпендикулярностьи Параллельность и перпендикулярность до Параллельность и перпендикулярность (задачи на перпендикулярность вида 1.1)

- Определяется угол между Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность, который является дополнительных углом Параллельность и перпендикулярность, а искомый угол Параллельность и перпендикулярность определяется: Параллельность и перпендикулярность

Пример 6-12.

Построить плоскость Р, которая проходит через точку А и расположенную перпендикулярно к плоскостям Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность.

Применяя признак перпендикулярности двух плоскостей, на пространственном рис. 6-28 показано, что искомая плоскость Р будет задана прямой Параллельность и перпендикулярность и прямой Параллельность и перпендикулярность.

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность - искомая плоскость. Задача имеет одно решение. 

Задачи на перпендикулярность вида 1.2

Задача 6-1.

Дано две точки А и В.

Построить плоскость Параллельность и перпендикулярность, которая пройдет через середину расстояния от А до В и расположится к ней перпендикулярно. Решение задачи выполняется с соблюдением признака перпендикулярности плоскости к прямой. Пространственное решение приведено на рис. 6-29, а эпюрное - на рис. 6-30. 

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Алгоритм решения:

Параллельность и перпендикулярность

Задача на перпендикулярность вида 2.1

Задача 6-2

Дано: две прямые Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность и точка А.

С точки А провести прямую Параллельность и перпендикулярность перпендикулярную к прямым Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность.

Пространственное решение приведено на рис. 6-31, с которого видно, что дважды применяется выполнение перпендикулярности вида 2.1, это когда с точки А проводим плоскость Параллельность и перпендикулярность и плоскость Параллельность и перпендикулярность. Линия пересечения Параллельность и перпендикулярность - искомая прямая, которая одновременно принадлежит Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность, проведенных перпендикулярно к прямым Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность.

Параллельность и перпендикулярность

Построенный отрезок Параллельность и перпендикулярность определяет прямую, которая перпендикулярна и скрещивающаяся к прямым Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность, потому что принадлежит к плоскостям перпендикулярных к соответственно заданным прямым.

Задачи на перпендикулярность вида 2.2

Задача 6-3

Дано: точка А и прямая Параллельность и перпендикулярность.

Определить расстояние от точки А к прямой Параллельность и перпендикулярность

Последовательность этого решения показана на рис. 6-32, для этого: 

Параллельность и перпендикулярность

1. Через точку А проводим плоскость Параллельность и перпендикулярность, заданную линиями уровня Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность и расположенную перпендикулярно к заданной прямой Параллельность и перпендикулярность.

2. Строим точку К - точку пересечения прямой Параллельность и перпендикулярность с плоскостью Параллельность и перпендикулярность.

3. Точку А соединяем с построенной точкой К, получаем АК, определяем её натуральную величину, которая и есть искомым расстоянием от точки А к прямой Параллельность и перпендикулярность.

Алгоритм решения:

1. Параллельность и перпендикулярность для этого:

на поле Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность

на поле Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность

2. Параллельность и перпендикулярность для этого:

Параллельность и перпендикулярностьна поле Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярностьна поле Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность

на поле Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярностьна поле Параллельность и перпендикулярность

3. Параллельность и перпендикулярностьдля этого:

на полеПараллельность и перпендикулярность- г.п. расстояния,

на поле Параллельность и перпендикулярность- ф.п. расстояния,

4. Параллельность и перпендикулярностьдля этого:

на поле Параллельность и перпендикулярность

на поле Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Аналогично решаются задачи по определению:

- точки, симметричной заданной относительно прямой;

- шара, касательной к прямой, с центром в заданной точке;

- построение геометрических фигур, два элемента которых расположены под прямым углом (рис. 6-33).

Параллельность и перпендикулярность

Задача на перпендикулярность вида 3.1

Задача 6-4

Дано: отрезок АВ и плоскость Параллельность и перпендикулярность, заданная треугольником Параллельность и перпендикулярность, построить плоскость Параллельность и перпендикулярность, которая пройдет через АВ и расположится перпендикулярно к плоскости Параллельность и перпендикулярность.

Решение задачи приведено на рис. 6-34.

Параллельность и перпендикулярность

Искомая плоскость определяется отрезком АВ и перпендикуляром Параллельность и перпендикулярность к заданной плоскости треугольника (проведенного с Параллельность и перпендикулярность).

Для проведения Параллельность и перпендикулярность - перпендикулярного к треугольнику Параллельность и перпендикулярность, перезададим плоскость заданную треугольником на заданную её линиями уровня Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность. Тогда будет выдержано условие Параллельность и перпендикулярностьи Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность будет Параллельность и перпендикулярность треугольнику Параллельность и перпендикулярность

Задача на перпендикулярность вида 3.2

Задача 6-5

1. Дано: точка К, плоскость Параллельность и перпендикулярность, заданная треугольником АВС.

Построить плоскость Параллельность и перпендикулярность, проведенную через точку К и расположенную перпендикулярно к Параллельность и перпендикулярностьи Параллельность и перпендикулярность.

Решение приведено на рис. 6-35, где искомая плоскость Параллельность и перпендикулярность- горизонтально проецирующая и перпендикулярна к плоскости Параллельность и перпендикулярность, так как проходит перпендикулярно к горизонтали Параллельность и перпендикулярность принадлежной плоскости Параллельность и перпендикулярность.

Параллельность и перпендикулярность

Геометрические места пространства (ГМП)

Геометрическим местом точек, равноудаленных от трех данных точек , и пространства, не лежащих на одной прямой, является прямая , перпендикулярная , в которой лежат эти точки, и проходящие через центр окружности, проведенные через эти точки. Геометрическим местом точек, равноудаленных от граней двугранного угла, является так называемая "биссекторная плоскость" , проходящая через ребро двугранного угла и пересекающая любой линейный угол двугранного угла по биссектрисе.

Геометрическим место точек, прямых или плоскостей в пространстве называется совокупность одноименных элементов (геометрических образов, пространства), которые удовлетворяют заданному условия. Рассмотрим некоторые наиболее характерные ГМП.

Геометрические места точек пространства (ГМТП)

- ГМТП , отдаленных от заданной одной точки на заданное расстояние - эти ГМТП образуют сфера с центром в заданной точке и радиусом, который равен заданному расстоянию. Проекция сферы на все плоскости проекций - это окружность, радиус которого равен заданному расстоянию, а центра - проекции заданной точки. 

- ГМТП , равноудаленных от двух заданных точек - эти ГМТП образуют плоскость, перпендикулярную к отрезку, который соединяет заданные точки и проходит через его середину.

ГМТП - плоскость Параллельность и перпендикулярностьПараллельность и перпендикулярность(рис. 7-1).

Параллельность и перпендикулярность

- ГМТП, равноудаленных от трёх заданных точек, которые не принадлежат одной прямой - эти ГМТП образуют прямую, полученную при пересечении двух плоскостей, которые проходят через середины отрезков, которые попарно соединяют заданные точки и соответственно перпендикулярных к ним.

ГМТП - прямаяПараллельность и перпендикулярность(рис. 7-2)

Параллельность и перпендикулярность

ГМТП, равноудаленных от четырёх заданных точек, которые не принадлежат одной плоскости - таким ГМТП является точка, которая служит центром сферы, на поверхности которой расположены все четыре заданные точки. Строится точка - ГМТП как точка пересечения трех плоскостей, которые проходят через середины отрезков, которые попарно соединяют заданные точки, и соответственно перпендикулярных к ним. ГМТП - точка О на рис. 7-3.

Параллельность и перпендикулярность

- ГМТП, отдаленных от заданной прямой на заданное расстояние, - эти ГМТП образуют поверхность прямого кругового цилиндра, ось которого - заданная прямая, а радиус окружности нормального сечения поверхности равен заданному расстоянию. 

- ГМТП, равноудаленных от заданных двух параллельных прямых, - эти ГМТП образуют плоскость перпендикулярную к плоскости, которая образована заданными прямыми и проходит через середину отрезка, который соединяет заданные прямые,  и им параллельны. ГМТП - плоскость Параллельность и перпендикулярность на рис. 7-4.

-  ГМТП, равноудаленных от заданных трёх параллельных прямых, которые не принадлежат одной плоскости, - эти ГМТП образуют прямую, принятую за ось прямого кругового цилиндра, боковой поверхности которого принадлежат заданные прямые. ГМТП - прямая Параллельность и перпендикулярность на рис. 7-5.

Параллельность и перпендикулярность

- ГМТП, отдаленных от заданной плоскости на заданном расстоянии, - эти ГМТП  образуют две плоскости, которые параллельны заданной плоскости и расположены с двух сторон от нее на заданном расстоянии. ГМТП - плоскости Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность на рис. 7-6.

Параллельность и перпендикулярность

- ГМТП, равноудаленных от двух параллельных плоскостей - это ГМТП  образует плоскость, которая параллельна данным и делит пополам отрезок, выделенный ими на рис. 7-6.

- ГМТП, равноудаленных от двух пересекающихся плоскостей, - это ГМТП  образуют две взаимно перпендикулярных плоскости, которые являются биссекторными плоскостями двухгранных углов, образованных заданными плоскостями. ГМТП  - плоскости Параллельность и перпендикулярность на рис. 7-7.

Параллельность и перпендикулярность

- ГМТП - вершин прямоугольных треугольников, которые имеют общую гипотенузу, - эти ГМТП образуют поверхность сферы, диаметром которой является эта гипотенуза. 

- ГМТП - равноудаленных от боковой поверхности кругового конуса или цилиндра, - эти ГМТП образуют ось этой поверхности. 

- ГМТП - равноудаленных от пересекающихся прямых, - эти ГМТП образуют плоскость, которая проходит через биссектрису угла между заданными прямыми и перпендикулярна к плоскости этих прямых. ГМТП - плоскости -Параллельность и перпендикулярность на рис. 7-8.

Параллельность и перпендикулярность

Геометрические места прямых пространства (ГМПП)

- ГМПП параллельных заданной прямой и удаленных от нее на заданное расстояние, - эти ГМПП, как и ГМТП образуют боковую поверхность прямого кругового цилиндра, ось которого - заданная прямая, а радиус окружности нормального сечения поверхности равен заданному расстоянию. 

- ГМПП, отдаленных от заданной плоскости на заданное расстояние, - эти ГМПП, как МТП, образуют две плоскости, которые параллельны заданной плоскости и расположены с двух сторон от нее на заданном расстоянии.

ГМПП - плоскости Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярностьна рис. 7-6.

- ГМПП, которые проходят через заданную точку и наклонены к заданной прямой под заданным углом, - эти ГМПП образуют совокупность образующих боковой поверхности прямого кругового конуса с вершиной в данной точке и ось его параллельна заданной прямлй, а образующие образуют угол с осью, который равен заданному. В случае, когда заданная точка расположена на заданной прямой, то эта прямая является осью конуса, рис. 7-9.

Параллельность и перпендикулярность

- ГМПП, которые проходят через заданную точку и пересекают заданную прямую, - эти ГМПП образуют плоскость, которая определяется заданной точкой и прямой.

- ГМПП, которые проходят через заданную точку и параллельную заданной плоскости, - эти ГМПП образуют плоскость, которая проходит через заданную точку и параллельна заданной плоскости.

- ГМПП, которые касательные к сфере в данной точке на ней, - эти ГМПП образуют плоскость, которая пройдет через данную точку и перпендикулярную к радиусу сферы, направленного к этой точке.

Геометрические места плоскостей пространства (ГМПлП)

- ГМПлП, параллельных данной прямой и отдаленных от нее на заданное расстояние, - эти ГМПлП образуют многочисленные плоскости, касательные к цилиндрической поверхности вращения, ось которого - данная прямая, а радиус нормального сечения поверхности равен заданному расстоянию.

- ГМПлП, которые проходят через заданную точку под заданным углом к данной плоскости, - эти ГМПлП образуют многочисленные плоскости, касательные к конической поверхности вращения с вершиной в данной точке, ось которой перпендикулярна к данной плоскости, а образующие наклонены к этой плоскости под заданным углом.

- ГМПлП, которые проходят через заданную точку под заданным углом к некоторой прямой, - эти ГМПлП образуют многочисленные плоскости, касательные к конической поверхности вращения с вершиной в заданной точке, и осью, которая параллельна заданной прямой, и образующими, наклоненными к оси под заданным углом.

Примеры решения задач:

Пример 7-1.

Дано: точка Параллельность и перпендикулярность и плоскость Параллельность и перпендикулярность, рис. 7-10.

Параллельность и перпендикулярность

Необходимо: через точку А провести прямую, наклоненную к плоскости Параллельность и перпендикулярностьпод углом 4Параллельность и перпендикулярностьи параллельную плоскости Параллельность и перпендикулярность.

Последовательность решения: принимая во внимание, что искомая прямая через точку А должна пройти параллельно плоскости Параллельность и перпендикулярность, то согласно признаку параллельности прямой к плоскости, прямая будет параллельной к плоскости, когда она будет принадлежать другой плоскости, которая параллельна заданной.

Учитывая это, через точку А проводим плоскость Параллельность и перпендикулярность, параллельную Параллельность и перпендикулярность. Через точку А (которая в плоскости Параллельность и перпендикулярность) возможно провести первое ГМПП, которое даст множество прямых и все они будут параллельны плоскости Параллельность и перпендикулярность. Принимая во внимание то, что искомая прямая проведенная через точку А должна быть наклонена к плоскости Параллельность и перпендикулярность под углом Параллельность и перпендикулярность, то через точку А проведем второе ГМПП наклоненных под углом Параллельность и перпендикулярность к плоскости проекций Параллельность и перпендикулярность, это ГМПП образует боковую поверхность Параллельность и перпендикулярность прямого кругового конуса с вершиной в точке А, а ось его пройдет с точки А и расположится перпендикулярно к Параллельность и перпендикулярность. Все образующие второго ГМПП будут тоже множеством прямых, наклоненных к Параллельность и перпендикулярность под углом Параллельность и перпендикулярность. Далее выбираем из первого ГМПП такую прямую, которая принадлежит второму ГМПП, которое будет получено путем сечения конической поверхности Параллельность и перпендикулярность плоскостью Параллельность и перпендикулярность, которая проходит через его вершину. Образующие, по которым плоскость Параллельность и перпендикулярность пересекает поверхность Параллельность и перпендикулярность - искомые, потому что они одновременно принадлежат плоскости Параллельность и перпендикулярность, которая параллельна плоскости Параллельность и перпендикулярностьи принадлежат поверхности Параллельность и перпендикулярность, образующие которой наклонены к Параллельность и перпендикулярность под углом Параллельность и перпендикулярность. Пространственное изображение решения задачи приведено на рис. 7-11, решение на эпюре приведено на рис. 7-12. 

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Алгоритм решения (развернутый):

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Пример 7-2.

Дано: точка А, принадлежащая плоскости проекций Параллельность и перпендикулярность и точка В в пространстве (рис. 7-13).

Параллельность и перпендикулярность

Необходимо: построить сферу с точками А и В на её поверхности.

Последовательность решения: считая, что точка А принадлежит плоскости Параллельность и перпендикулярность, то по данной горизонтальной проекции точки Параллельность и перпендикулярностьстроим Параллельность и перпендикулярность. Точка А - точка касания искомой сферы к Параллельность и перпендикулярность, то есть центр сферы будет принадлежать перпендикуляру Параллельность и перпендикулярностьк Параллельность и перпендикулярность, проведенного с точки А. Принимая во внимание, что точка А и точка В принадлежат сфере, то центр сферы лежит в плоскости Параллельность и перпендикулярность, которая является ГМТП, равноудаленных от точек А и В, а проходит эта плоскость через точку С - середину отрезка АВ и перпендикулярная ему. Центр сферы - точка О, которая одновременно принадлежит Параллельность и перпендикулярность и Параллельность и перпендикулярность. Точка пересечения Параллельность и перпендикулярность с Параллельность и перпендикулярностьесть точкой О. 

-Пространственное изображение решения задачи приведено на рис. 7-14, решение её на эпюре приведено на рис. 7-15. 

 Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Алгоритм решения:

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность - центр сферы Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность  центр сферы Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность радиуса сферы. 

Эпюр №1

По окончанию изучения раздела №1 "Параллельность и перпендикулярность", каждый студент по варианту, который ему присвоен в группе, выполняет эпюр №1, а также в следующем - эпюр №2 и эпюр №3.

В таблице №1 приложений приведены задание на эпюр №1, где предусмотрено в каждом варианте по три задачи, приведено шифр задачи, её условие, и чертеж условия задачи. Шифр задачи, например, 1.07.2, состоит: первое число 1 - эпюр №1, второе число 07 - седьмой вариант, третье число 2 - порядковый номер задачи в задании.

Решение задач эпюра №1 безметодный, то есть, с применением теоретического материала, изложенного в разделе №1 "Параллельность и перпендикулярность".

Каждая задача эпюр №1 выполняется на отдельном листе формата А4 Параллельность и перпендикулярность, бумага - ватман (чертежная бумага). Оформление каждого листа и компоновка решения каждой задачи приведено на рис. Е-1. На формате, оформленном рамкой и главной надписью, приводится: в левом верхнем углу - условие задачи, справа от условия - пространственное решение задачи, а в правом верхнем угле - обобщенный алгоритм решения задачи.

Эпюр выполняется цветными линиями:

- черной - условие задачи (изображения чертежа условия задачи, который приблизительно в пять раз больше чертежа задания);

- синей - ход решения;

- красной - ответ решения задачи.

Изображение плоскостей (следы, абрисы плоских фигур и другое) - воспроизводится сплошной толстой линией с их цветной заливкой очень светлого прозрачного тона.

Изображение хода построения (линии связи, промежуточные построения и другое) - отображается сплошной тонкой линией.

Все буквы и цифры обозначений выполняются чертежным шрифтом №3,5 или №5 черного цвета (допускается обозначения: черным - то, что задано, синим - промежуточные действия, красным - те, что построено, ответ).

Последовательность выполнения эпюра:

- оформить лист формата А4, как показано на рис. Е-1;

- выяснить условие задачи, провести пространственный анализ условия - что задано и что необходимо построить;

- представить себе решение задачи в пространстве, разбив решение на простые составные задачи (этапы решения), выделить возможные геометрические места при их решении, а объединив их решения - получаем решение поставленной задачи в условии;

- написать обобщенный алгоритм решения, последовательного решения простых составных задач;

- выполнить эпюр решения задачи согласно алгоритму, предварительно выполнив эскиз решения и согласовать его с преподавателем.

Пример выполнения эпюра №1 приведено на рис. Е-1.6. На рис. Е-1.1...Е-1.5 приведено промежуточные этапы последовательного решения эпюра №1 (решение простых составных задач, на которые разбито решение условия задачи эпюра). На каждом из этих промежуточных эпюров сверху символами написано рассматриваемый пункт обобщенного алгоритма решения задачи эпюра и приведено развернутый алгоритм эпюрного решения рассматриваемого этапа. 

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Параллельность и перпендикулярность

Примеры и образцы решения задач:

Услуги по выполнению чертежей:

  1. Заказать чертежи
  2. Помощь с чертежами
  3. Заказать чертеж в компасе
  4. Заказать чертеж в автокаде
  5. Заказать чертежи по инженерной графике
  6. Заказать чертежи по начертательной геометрии
  7. Заказать черчение

Учебные лекции:

  1. Инженерная графика
  2. Начертательная геометрия
  3. Оформление чертежей
  4. Чертеж общего вида и сборочный чертеж
  5. Техническое рисование
  6. Машиностроительные чертежи
  7. Геометрические построения
  8. Деление окружности на равные части
  9. Сопряжение линий
  10. Коробовые кривые линии
  11. Построение уклона и конусности
  12. Лекальные кривые
  13. Методы преобразования ортогональных проекций
  14. Поверхности
  15. Способы проецирования
  16. Метрические задачи
  17. Способы преобразования чертежа
  18. Кривые линии
  19. Кривые поверхности
  20. Трёхгранник Френе
  21. Проецирование многогранников
  22. Проецирование тел вращения
  23. Развёртывание поверхностей
  24. Проекционное черчение
  25. Проецирование
  26. Проецирование точки
  27. Проецирование отрезка прямой линии
  28. Проецирование плоских фигур
  29. Способы преобразования проекций
  30. Аксонометрическое проецирование
  31. Проекции геометрических тел
  32. Сечение геометрических тел плоскостями и развертки их поверхностей
  33. Взаимное пересечение поверхностей тел
  34. Сечение полых моделей
  35. Разрезы
  36. Требования к чертежам деталей
  37. Допуски и посадки
  38. Шероховатость поверхностей и обозначение покрытий
  39. Разъемные и неразъемные соединения деталей
  40. Передачи и их элементы