Отыскание оригинала по изображению

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Задача ставится так: дана функция F(p), надо найти функцию /(<)> изображением которой является F(p). Сформулируем условия, достаточные для того, чтобы функция F(p) комплексного переменного р служила изображением. Теорема 12. Если аналитическая в полуплоскости функция F(p) 1) стремится к нулю при в любой полуплоскости.

Rep = а > s0 равномерно относительно arg Отыскание оригинала по изображению 2) интеграл а-«сю сходится абсолютно, то F(p) является изображением некоторой функции-оригинала f{t). Задач*. Может ли функция F(p) = ^ служить изображением некоторой функции-оригинала? Укажем некоторые способы отыскания оригинала по изображению. 3.1. Отыскание оригинала с помощью таблиц изображений Прежде всего стоит привести функцию F(p) к более простому, «табличному» виду.

Например, в случае, когда F(p) — дробно-рациональная функция аргумента р,ее разлагают на элементарные дроби и пользуются подходящими свойствами преобразования Лапласа. Пример 1. Найти оригинал для Запишем функцию F(p) в виде Пользуясь теоремой смещения и свойством линейности преобразования Лапласа, получаем Пример 2.

Найти оригинал для функции М Запишем F(p) в виде Отсюда / 3.2. Использование теоремы обращения и следствий из нее Теорема 13 (обращения). /Гош функция fit) есть функция-оригинал с показателем роста s0 и F(p) — ее изображение, то в любой точке непрерывности функции f(t) выполняется соотношение где интеграл берется вдоль любой прямой и понимается в смысле главного значения, т. е. как Формула (1) называется формулой обращения преобразования Лапласа, или формулой Меллина.

В самом деле, пусть, например, f(t) — кусочно-гладкая на каждом конечном отрезке [0, а) функция-оригинал-с показателем роста s0.

Рассмотрим функцию любое. Функция ip(t) удовлетворяет условиям применимости интегральной формулы Фу-, и, следовательно, справедлива формула обращения преобразования Фурье, Подставляя в (3) выражение найдем где F(p) — преобразование Лапласа функции f(t) при p = 8 + if Формулу (2) можно переписать в виде откуда получаем формулу обращения преобразования Лапласа Как следствие из теоремы обращения получаем теорему единственности.

Теорема 14. Две непрерывные функции , имеющие одно и то же изображение F(p), тождественны. Непосредственное вычисление интеграла обращения (1) обычно затруднительно. Отыскание оригинала по изображению упрощается при некоторых дополнительных ограничениях на F(p). Теорема 15. Пусть изображение F(p) — дробно-рациональная функция с пмюсами Рп- Тогда оригиналом для F(p) будет функция f(t) 77(f), где.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пусть изображение F(p) — дробно-рациональная функция, F(p) = jfy, где А(р), В(р) — многочлены относительно р (взаимно простые), причем степень числителя А(р) меньше степени знаменателя £(р), т.к. для всякого изображения должно выполняться предельное соотношение Пусть корни знаменателя В(р), являющиеся полюсами изображения а их кратности равны гп соответственно. Если число 5, фигурирующее в формуле (1), взять большим всех то по формуле обращения, которая в этих условиях применима, получим.

Рассмотрим замкнутый контур Гл (рис.7), состоящий из дуги CR окружности радиуса R с центром в начале координат и стягивающей ее хорды АВ (отрезка прямой Re р = s), и проходимый в положительном направлении, причем радиус R настолько велик, что все полюсы F(p) лежат внутри Гл. По теореме Коши о вычетах при любом R, удовлетворяющем указанному условию, будем иметь Рис.7 Второе слагаемое слева в равенстве (5) стремится к нулю при R оо.

Это следует из леммы Жордана, если в ней заменить р на iz и учесть, что F(p) 0 при Rep +оо. Переходя в равенстве (5) к пределу при R-* оо, мы получим слева а справа,— сумму вычетов по всем полюсам функции F(p) Замечание. Воспользовавшись формулой для вычисления вычетов, найдем, что Если все полюсы простые, то и формула (6) принимает вид Пример 3. Найти оригинал для функции Отыскание оригинала по изображению Теорема 16. Пусть изображение F(p) является аналитической функцией в бесконечно удаленной точке р = оо, причем ее ра^гожение в окрестности > R бесконечно удаленной точки имеет вид Тогда оригиначом для F{p) будет функция где Пример 4. Имоом так что в силу (9)