Особенности составления матричных уравнений

Содержание:

  1. Матрицы сопротивлений и проводимостей для цепей со взаимной индукцией
  2. Составление матричных соотношений при наличии ветвей с идеальными источниками

Матрицы сопротивлений и проводимостей для цепей со взаимной индукцией

Как было показано ранее (см. лекцию N 6), для схем, не содержащих индуктивно связанные элементы, матрицы сопротивлений и проводимостей ветвей являются диагональными, т.е. все их элементы, за исключением стоящих на главной диагонали, равны нулю.

В общем случае разветвленной цепи со взаимной индукцией матрица сопротивлений ветвей имеет вид

Особенности составления матричных уравнений Здесь элементы главной диагонали , Особенности составления матричных уравнений - комплексные сопротивления ветвей схемы; элементы вне главной диагонали Особенности составления матричных уравнений - комплексные сопротивления индуктивной связи i- й и k - й ветвей (знак “+” ставится при одинаковой ориентации ветвей относительно одноименных зажимов, в противном случае ставится знак "-”). Матрица проводимостей ветвей в цепях со взаимной индукцией определяется согласно

Особенности составления матричных уравнений Зная матрицы и Y, можно составить контурные уравнения, а также узловые, т.е. в матричной форме метод узловых потенциалов распространяется на анализ цепей с индуктивно связанными элементами.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теоретическим основам электротехники (ТОЭ):

Основы электротехники: формулы и лекции и примеры заданий с решением

Следует отметить, что обычно не все ветви схемы индуктивно связаны между собой. В этом случае с помощью соответствующей нумерации ветвей графа матрице Z целесообразно придать квазидиагональную форму

Особенности составления матричных уравнений

что облегчает ее обращение, поскольку

Особенности составления матричных уравнений

где подматрицы Особенности составления матричных уравнений могут быть квадратными диагональными или недиагональными.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Векторные и топографические диаграммы. Преобразование линейных электрических цепей

Анализ цепей с индуктивно связанными элементами

Методы расчета, основанные на свойствах линейных цепей

Метод эквивалентного генератора. Теорема вариаций

В качестве примера составим матрицы Z и Y для схемы на рис. 1,а, граф которой приведен на рис. 1,б.

Особенности составления матричных уравнений Для принятой нумерации ветвей матрица сопротивлений ветвей

Особенности составления матричных уравнений В этой матрице можно выделить три подматрицы, обращая которые, получим

Особенности составления матричных уравнений

Особенности составления матричных уравнений

Особенности составления матричных уравнений Таким образом, матрица проводимостей ветвей

Особенности составления матричных уравнений Отметим, что при принятой ориентации ветвей Особенности составления матричных уравнений

Особенности составления матричных уравнений В качестве примера матричного расчета цепей с индуктивными связями запишем контурные уравнения в матричной форме для цепи рис. 2,а.

Решение

1. Для заданной цепи составим граф (см. рис. 2,6), выделив в нем дерево, образованное ветвью 3.

Тогда матрица главных контуров имеет вид

Особенности составления матричных уравнений 2. Запишем матрицу сопротивлений ветвей с учетом их принятой ориентации

Особенности составления матричных уравнений 3. Определим матрицу контурных сопротивлений

Особенности составления матричных уравнений 4. Запишем столбцовую матрицу контурных ЭДС

Особенности составления матричных уравнений 5. Подставив найденные выражения в Особенности составления матричных уравнений, окончательно получим

Особенности составления матричных уравнений

Что такое теоретические основы электротехники (ТОЭ) вы узнаете по этой ссылке:

Составление матричных соотношений при наличии ветвей с идеальными источниками

В цепи могут иметь место ветви, содержащие только идеальные источники ЭДС или тока. При написании уравнений без использования матричных отношений такие бифуркации не вводят функциональность в конфигурацию. Однако, если уравнения записываются по второму закону Кирхгофа в матричной форме или используется матричная форма контурных уравнений, то в матрице сопротивлений ветвей Z ветвям, содержащим идеальные источники тока, будут соответствовать диагональные элементы Особенности составления матричных уравнений. Поэтому при наличии таких ветвей исходная схема перед составлением уравнений должна быть подвергнута соответствующему преобразованию, иллюстрируемому рис. 3.

Особенности составления матричных уравнений Здесь идеальный источник тока Особенности составления матричных уравнений (см. рис. 3,а) включен между узлами кип. Подключение к узлам I и m по два одинаковых по величине и противоположно направленных источника тока Особенности составления матричных уравнений (см. рис. 3,б) не влияет на режим работы цепи, что указывает на эквивалентность замены исходной цепи на рис. 3,а схемой на рис. 3,б.

Есть и другие случаи, когда матричное уравнение формы записывается в соответствии с первым законом Кирхгофа, или используется матричная форма формы узла, и цепочка имеет ветви, содержащие только идеальные источники ЭДС. Для таких ветвей соответствующие им диагональные элементы матрицы Y будут равны Особенности составления матричных уравнений. Поэтому при наличии таких ветвей исходную схему перед составлением уравнений необходимо подвергнуть преобразованию, поясняемому рис. 4.

Здесь участок исходной цепи (см. рис. 4,а) содержит ветвь с идеальным источником ЭДС Особенности составления матричных уравнений Включение в каждую ветвь, соединенную с узлом п, источника с ЭДС, равной Особенности составления матричных уравнений, и направлением действия, указанным на рис. 4,6, позволяет (в силу того, что Особенности составления матричных уравнений) трансформировать исходную цепь в схему, представленную на рис. 4,в.

Особенности составления матричных уравнений