Особенности расчета методом сил многопролетных неразрезных балок

Особенности расчета методом сил многопролетных неразрезных балок

Особенности расчета методом сил многопролетных неразрезных балок

Особенности расчета методом сил многопролетных неразрезных балок

Особенности расчета методом сил многопролетных неразрезных балок

Особенности расчета методом сил многопролетных неразрезных балок

Особенности расчета методом сил многопролетных неразрезных балок

Особенности расчета методом сил многопролетных неразрезных балок

Особенности расчета методом сил многопролетных неразрезных балок

Особенности расчета методом сил многопролетных неразрезных балок

Особенности расчета методом сил многопролетных неразрезных балок

Особенности расчета методом сил многопролетных неразрезных балок

Особенности расчета методом сил многопролетных неразрезных балок

Особенности расчета методом сил многопролетных неразрезных балок

Особенности расчета методом сил многопролетных неразрезных балок

Особенности расчета методом сил многопролетных неразрезных балок

Особенности расчета методом сил многопролетных неразрезных балок

Особенности расчета методом сил многопролетных неразрезных балок

Особенности расчета методом сил многопролетных неразрезных балок

Особенности расчета методом сил многопролетных неразрезных балок

Особенности расчета методом сил многопролетных неразрезных балок

Особенности расчета методом сил многопролетных неразрезных балок

Особенности расчета методом сил многопролетных неразрезных балок

Особенности расчета методом сил многопролетных неразрезных балок

Особенности расчета методом сил многопролетных неразрезных балок

Особенности расчета методом сил многопролетных неразрезных балок

Особенности расчета методом сил многопролетных неразрезных балок

Особенности расчета методом сил многопролетных неразрезных балок

Особенности расчета методом сил многопролетных неразрезных балок

Особенности расчета методом сил многопролетных неразрезных балок

Особенности расчета методом сил многопролетных неразрезных балок

Особенности расчета методом сил многопролетных неразрезных балок

Особенности расчета методом сил многопролетных неразрезных балок

Особенности расчета методом сил многопролетных неразрезных балок

Особенности расчета методом сил многопролетных неразрезных балок

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Решение задач по математике

При конструировании строительных и мостовых сооружений, а также различного технологического оборудования возникает необходимость расчета на прочность многопролётных неразрезных балок. Под неразрезной балкой понимают статически неопределимую балку с заделкой или шарнирным опиранием по концам. Расчетная схема одной из таких балок с заделкой на левом конце представлена на рис. 7.20. В зависимости от числа дополнительных опор система может быть один, два, три, ..., п раз статически неопределимой.

Для расчета неразрезной балки методом сил основную систему можно получить путем отбрасывания лишних связей (рис. 1.28, а) или путем их перерезания, например введением шарниров над промежуточными опорами и в заделке (рис. 1.28, б). Возможна комбинация этих двух путей (рис. 1.28, в). Эквивалентные системы для этих схем показаны на рис. 1.29, а, 1.29, б, 1.29, в соответственно.

В первом случае при раскрытии статистической неопределимости удается установить значения реакций опор, что облегчает построение эпюры поперечных сил для заданной системы. Эпюру изгибающих моментов строят стандартным способом. Однако при большом количестве опорных связей эпюры изгибающих моментов, построенные для основной системы метода сил от внешней нагрузки и единичных реакций отброшенных связей, получаются громоздкими, осложняющими расчет.

Решение задачи значительно упрощается, если основная система метода сил будет получена путем введения шарниров над промежуточными опорами (рис. 1.28, б). В этом случае заданная система разбивается на ряд простейших балочек, что облегчает построение эпюр изгибающих моментов для основной системы и снижает трудоемкость дальнейшего решения. Канонические уравнения метода сил (математическая запись эквивалентности основной и заданной систем) всегда записываются стандартным способом, однако в данном случае они могут содержать особый смысл.

На рис. 1.30, а показана заданная система, являющаяся один раз статически неопределимой. Под действием внешней нагрузки балка деформируется, и сечение над средней опорой поворачивается на угол φ. Основную систему получаем путем введения шарнира над промежуточной опорой (рис. 1.30, б), тем самым, разрезая балку на две простейшие балочки. Эквивалентная система представлена на рис. 1.30, в. 29 Рис. 1.30 При загружении основной системы внешней нагрузкой балка деформируется и торцевые сечения, примыкающие к шарниру, повернутся относительно друг друга на угол (рис. 1.30, г).

Поворот этих же сечений под действием моментов X1 показан на рис. 1.30, г. Эквивалентность основной и заданной систем подтверждается уравнением: где – угол поворота рассматриваемых сечений от действия единичного момента – угол поворота рассматриваемых сечении от внешней нагрузки. Таким образом, приведенное каноническое уравнение отрицает возможность взаимного поворота смежных сечений (левого и правого) в основной системе (рис. 1.30, е), но действительный угол поворота этих сечений (угол ) имеет место.

В результате решения канонического уравнения (1.8) находим неизвестное усилие X1 и строим действительную эпюру изгибающих моментов M, используя формулу (1.6). Деформационную проверку правильности решения выполняем по методике, изложенной в п. 2.8. Эпюру поперечных сил строим по эпюре изгибающих моментов путем вырезания стержней по ранее изложенной методике. 30 Находим реактивные усилия во всех связях по эпюрам поперечных сил и изгибающих моментов и выполняем статическую проверку.

Под действием внешних сил и найденных усилий балка должна находиться в равновесии: Пример.1.2 Для заданной балки (рис. 1.31) построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил и выполнить проверки расчета, если нагрузка, жесткость и размеры балки известны. Порядок расчета 3.1. Устанавливаем степень статической неопределимости: где Х – число неизвестных реакций, равное 6; 3 – число независимых уравнений статики, которые можно составить для заданной системы; ш – число одиночных шарниров Тогда .

Задача три раза статически неопределима. 3.2. Преобразуем заданную систему в основную путем введения шарниров в заделке 1 и над промежуточными опорами 2 и 3. Основная система представляет собой совокупность трех статически определимых шарнирно опертых балочек (рис. 1.32, а). 3.3. Образуем эквивалентную систему путем загружения основной системы усилиями перерезанных связей Х1, Х2, Х3 и внешней нагрузкой Р и q (рис. 1.32, б). 3.4.

Записываем канонические уравнения метода сил: Рис. 1.31 31 3.5. Строим эпюры изгибающих моментов для основной системы метода сил. Для этого загружаем принятую основную систему единичными безразмерными моментами , направление которых выбираем произвольно. Эпюры изгибающих моментов от этого загружения показаны на рис. 1.33. Рис. 1.33 Для построения эпюры изгибающих моментов от внешней нагрузки (Мр) рассматриваем каждый из пролетов как шарнирно опертые балочки, которые нагружаем внешней нагрузкой Р и q.

Строим для них эпюры изгибающих моментов и переносим на основную систему (рис. 1.34). Вычисления значений изгибающих моментов в сечениях каждой из балочек от внешней нагрузки приведены ниже: – посередине 1-го пролета 20 6 30 кН м, – посередине 2-го пролета При определении изгибающих моментов в сечениях 3-й балки удобно использовать принцип независимости действия сил. Так, от распределенной нагрузки внутри пролета значение изгибающего момента посередине пролета составляет:

Значение изгибающего момента в сечении балки над правой опорой от действия консольной нагрузки Посередине третьего пролета значение изгибающего момента от этой же нагрузки составит: Окончательная эпюра изгибающих моментов для балочки 3-го пролета определяется алгебраическим суммированием вышеуказанных эпюр и представлена на рис. 1.35, в. 3.6. Вычисляем значения коэффициентов канонических уравнений метода сил по формулам: 3.7.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Кинематический расчет привода
Формула Грина. Площадь плоской области. Масса кривой
Расчет по предельным состояниям
Уравнение Функции Бесселя. Дифференциальное уравнение Функции Неймана

Грузовые коэффициенты канонических уравнений метода сил находим по формуле 3.8. Записываем систему канонических уравнений метода сил: После сокращения канонических уравнений на величину 3EI получим: 3.9. Решаем систему уравнений известными методами и находим неизвестные усилия: 3.10. Выполняем проверку правильности решения системы уравнений. Для этого подставляем найденные значения Хi в исходные уравнения, например во второе уравнение, и получаем:

Отсюда следует, что решение системы уравнений выполнено верно. 3.11. Строим действительную эпюру изгибающих моментов для заданной системы. Для этого используем принцип независимости действия сил. Предварительно строим эпюры Mi iX с учетом знаков неизвестных усилий (рис. 1.36, а) и вычисляем действительные значения моментов в расчетных сечениях, как и ранее, по формуле: P i.i Эпюра действительных изгибающих моментов показана на рис. 1.36. 35 Рис. 1.36 3.12.

Выполняем деформационную проверку правильности построения эпюры изгибающих моментов М по методу, изложенному в п. 2.8. Для этого определяем перемещение по направлению отброшенных (перерезанных) связей. Например, находим перемещение сечения над 4-й опорой. 36 Основную систему (рис. 1.37, а) нагружаем единичной силой P 1 и строим эпюру единичных моментов M i (рис. 1.37, б). Тогда: Рис. 1.37 Погрешность счета составляет 349,9 345,5 100 1,35% , что вполне допустимо. Примечание.

Для определения перемещения по методу Мора можно использовать любую основную систему, в том числе и применяемую в предыдущих расчетах. 3.13. Строим эпюру поперечных сил Q по эпюре изгибающих моментов М путем вырезания стержней по методике, изложенной в п. 2.9. УЧАСТОК 1–С–2 (рис. 1.38). Значение поперечной силы находим по дифференциальной зависимости: Рис. 1.38 Строим эпюру поперечных сил на участке 1–С–2: Проверка подтверждает правильность определения реакций опор балочки. Строим эпюру поперечных сил на участке 2–3 (рис. 1.39). УЧАСТОК 2–3 (рис. 1.39).

Координата сечения, где поперечная сила меняет знак: УЧАСТОК 3–4 (рис. 1.40) Реакции опор найдены верно. Строим эпюру поперечных сил на участке 3–4. Координата сечения, где поперечная сила меняет знак Переносим эпюры поперечных сил, построенные для отдельных пролетов, на заданную систему. Эпюра поперечных сил для заданной системы показана на рис. 1.41. Рис. 1.41 По эпюре поперечных сил производим уточнение эпюры изгибающих моментов в сечениях, где Q = 0.

Для этого вычисляем значения изгибающих моментов в этих сечениях: Эпюра действительных изгибающих моментов после уточнения показана на рис. 1.42. Рис. 1.42 3.14. Определяем реакции опор, для чего используем эпюру изгибающих моментов и эпюру поперечных сил (рис. 1.42): 3.15. Выполняем статическую проверку (рис. 1.43): Рис. 1.43 Результаты проверки подтверждают правильность решения. 40 1.5. Использование свойств симметрии при раскрытии статической неопределимости стержневых систем.

Статически неопределимые стержневые системы называют симметричными, если они имеют геометрическую ось (плоскость) симметрии, относительно которой симметрично расположены наложенные на систему связи и жесткости симметрично расположенных стержней равны (рис. 1.44, а).

Рис. 1.44 В этом случае правая часть системы может рассматриваться как зеркальное отображение левой части относительно оси симметрии. Рамы, представленные на рис. 1.44, б и 1.44, в, не являются симметричными. В первом случае нарушена симметрия наложенных на раму связей, а во втором случае различаются жесткости симметрично расположенных стержней. При расчете симметричных систем оказывается возможным упростить решение задачи и снизить число искомых силовых факторов Х1, Х2, ..., Хп.

Рассмотрим случаи нагружения симметричной трижды статически неопределимой рамы (рис. 1.44, а) симметричной и кососимметричной нагрузками. Под симметричной нагрузкой будем понимать такую, при которой все внешние силы, приложенные к правой части рамы, являются зеркальным отображением сил, приложенных к левой части (рис. 1.45, а). Под кососимметричной нагрузкой будем понимать такую, при которой силы, приложенные к правой половине рамы, также являются зеркальным отображением сил, приложенных к левой половине, но противоположны им по знаку (рис. 1.45, б).

Аналогично классифицируются и внутренние силовые факторы. Тогда у симметричной рамы в плоскости симметрии при симметричной внешней нагрузке обращаются в нуль кососимметричные внутренние силовые факторы, а при кососимметричной внешней нагрузке - симметричные силовые факторы. Так, у рамы (рис. 1.45, а) в плоскости симметрии обращается в нуль поперечная сила (эпюра моментов симметричная и момент достигает экстремального значения), а у рамы (рис. 1.45, б) в плоскости симметрии обращается 41 в нуль изгибающий момент.

Если для них выбрать основную систему путем рассечения рамы в плоскости симметрии, то степень статической неопределимости можно понизить до двух (рис. 1.46, а и 1.46, б соответственно). При несимметричной основной системе (рис. 1.47, а) имеем три неизвестных усилия, для определения которых необходимо решать систему из трех канонических уравнений с тремя неизвестными. Если же выбрать симметричную основную систему (рис. 1.47, б), то при перемножении симметричных и кососимметричных единичных эпюр (рис. 1.48) получим симметричных единичных эпюр (рис. 1.48) получим: и система канонических уравнений упрощается: Рис. 1.48

Таким образом, если выбрать основную систему симметричную, то и при произвольной нагрузке решение задачи упрощается. Учет свойств симметрии также используется и при решении статически неопределимых балок. Рис. 1.48 На рис. 1.49 показаны симметричные и кососимметричные заданные системы, выбор рациональной основной системы для них и общий вид эквивалентных систем. Заданная система (рис. 1.49, а) является симметричной, следовательно, и эпюра изгибающих моментов будет симметричной, а эпюра поперечных сил – кососимметричной.

Тогда посередине 2-го пролета поперечная сила будет отсутствовать. Если в общем случае эта система дважды статически неопределима, то при выборе симметричной основной системы в сечении посередине пролета будет иметь место одно неизвестное X1 – изгибающих момент. При аналогичных рассуждениях систему, представленную на рис. 1.49, б, также можно привести к системе 1 раз статически неопределимой. Для кососимметричной системы (рис. 1.49, в) эпюра изгибающих моментов будет кососимметричной, посередине пролета изгибающий момент будет отсутствовать и в рекомендуемой основной системе будет одно известное Х1 – поперечная сила.

Заданная система (рис. 1.49, г) является симметричной, в общем случае 5 раз статически неопределимой. Учитывая отсутствие продольной силы и выбирая 43 симметричную основную систему, задачу можно привести к дважды статически неопределимой. При аналогичных рассуждениях (но используя косую симметрию) система, представленная на рис. 1.49, д, является дважды статически неопределимой. Рис. 1.49 44 1.6. Расчет методом сил статически неопределимых систем, работающих на растяжение или сжатие Алгоритм решения таких задач аналогичен ранее рассмотренным, однако можно отметить некоторые особенности.

Основная система метода сил выбирается, как правило, путем рассечения стержней, т. е. за неизвестные усилия принимаются внутренние силовые факторы – продольные силы. Поскольку стержни прямолинейные и в пределах длины одного стержня ЕА = const, то при определении коэффициентов P интегрирование можно опустить и определять эти коэффициенты путем простого перемножения усилий, действующих в отдельных стержнях от разного вида нагрузок, с учетом длины и жесткости этих стержней, и суммированием результатов перемножения, например: где NiP – усилие в i-том стержне в основной системе метода сил от внешней нагрузки; – усилие в i-том стержне от силы X1 1; – длина i-го стержня; – жесткость i-го стержня.

Рис. 1.50 Примеры выбора основной системы и общий вид эквивалентных систем показаны на рис. 1.50−1.53. Рассмотрим примеры расчета некоторых стержневых систем. Пример 1.3. 45 Балка большой жесткости шарнирно прикреплена к стене и удерживается тремя упругими стержнями (рис. 1.51, а). Рис. 1.51 Требуется определить усилия в упругих стержнях. Нагрузку q, размеры стержней и их жесткость считаем известными. Решение 5.1. Устанавливаем степень статической неопределимости п. На систему наложены две внешние связи, тогда 2. Система дважды статически неопределима. 5.2.

Образуем основную систему метода

сил путем перерезания упругих стержней 1 и 2 (рис. 1.51, б). Требования к основной системе те же, что и в ранее рассмотренных примерах. 5.3. Образуем эквивалентную систему путем загружения основной системы усилиями отброшенных связей Х1, Х2 и внешней нагрузкой q (рис. 1.51, в). 5.4. Записываем канонические уравнения метода сил: 5.5. Находим усилия в упругих стержнях от действия единичных усилий X1 1 и X 2 1 и от внешней нагрузки q.  Первое единичное состояние Загружаем основную систему усилием (рис. 1.52) и находим продольные силы во всех стержнях: Из условия равновесия 3 (деформация сжатия).

Второе единичное состояние Аналогично загружаем основную систему усилием X 2 1 (рис. 1.53) и находим продольные силы во всех стержнях: 47 Из условия равновесия находим 32 (деформация сжатия). Грузовое состояние Загружаем основную систему внешней нагрузкой q (рис. 1.54) и находим продольные силы во всех стержнях: 1 Из условия равновесия находим 3 8 . Рис.1.54 5.6. Вычисляем коэффициенты канонических уравнений и грузовые коэффициенты по формуле (1.8): 5.7. Записываем систему канонических уравнений. Для этого подставляем значения полученных коэффициентов в уравнение (1.3).

После сокращения канонических уравнений на величину 9EA получаем: 5.8. Решаем систему канонических уравнений и находим неизвестные усилия: 5.9. Находим действительные значения усилий в упругих стержнях заданной системы по формулам: 5.10. Выполняем деформационную проверку по формулам: условие правильности решения выполняется. 5.11. Выполняем проверку на статическое равновесие (рис. 1.55): Условие равновесия выполняется. Пример 1.4 Система состоит из трех стержней, соединяемых концами в шарнире С (рис. 1.56). 50 Стержень 1 изготовлен короче требуемого размера на величину.

После сборки стержневой системы в стержне 1 возникают растягивающие напряжения, а в стержнях 2 и 3 – сжимающие. Такие напряжения называют монтажными. Размеры стержней: 1 1,154 . Жесткости стержней одинаковы (ЕА = const). Требуется найти усилия в стержнях. Решение 5.12. Заданная система показана на рис. 1.57, а. Усилия трех упругих стержней пересекаются в одной точке (шарнир С). Для такой системы можно составить только два независимых уравнения статики Рис. 1.57 Задача один раз статически неопределима. 5.13.

Выбираем основную систему путем перерезания, например, стержня 1, т. е. удаляем одну лишнюю связь (рис. 1.57, б). 5.14. Образуем эквивалентную систему путем нагружения основной системы усилием в перерезанной связи X1 (рис. 1.57, в).(Если бы в узле С действовала внешняя нагрузка, то её необходимо учесть). 5.15. Записываем каноническое уравнение метода сил 1X , где величина в правой части уравнения показывает, что перемещение в направлении неизвестного усилия X1 уже произошло при сборке конструкции. 5.16.

Определяем усилия в упругих стержнях от единичного воздействия X 1 1. Рассмотрим равновесие вырезанного узла С (рис. 1.58): Таким образом, 177(знак минус указывает на деформацию сжатия). 5.17. Определяем значение коэффициента канонического уравнения по формуле (7.8): 5.18. Записываем каноническое уравнение 5.19. Решаем уравнение и находим неизвестное усилие 5.20. Определяем действительные значения усилий в упругих стержнях заданной системы по формуле (1.9): 5.21.

Выполняем деформационную проверку по формуле: Отсюда следует, что расчетное перемещение узла не равно заданному. Погрешность расчета составляет что допустимо. 5.22. Выполняем проверку на статическое равновесие вырезанного узла С (рис. 1.59): Условие равновесия выполняется. Примечание. При наличии внешней узловой нагрузки дополнительно определяем усилия в стержнях NiP, вычисляем грузовой коэффициент , а каноническое уравнение принимает вид:

Пример 1. 5 53 Усилия в элементах статически неопределимой стержневой системы могут возникать при отсутствии внешней нагрузки и от изменения температуры окружающей среды (так называемые температурные напряжения). Рассмотрим стержень, составленный из разнородных материалов и жестко защемленный по торцам (рис. 1.60). Рис. 1.60 Размеры стержня: Длина: Площадь поперечного сечения: Aст Коэффициент продольной упругости: 52 Коэффициент линейного расширения: . Требуется найти усилия, возникающие в стержнях при положительном температурном градиенте C. Решение 5.23.

Задача 1 раз статически неопределима. 5.24. Преобразуем заданную систему в основную путем отбрасывания одной внешней связи (рис. 1.61, а). Рис. 1.61 5.25. Образуем эквивалентную систему. Для этого нагружаем основную систему усилием отброшенной связи Х1 (рис. 1.61, б). 5.26. Записываем каноническое уравнение метода сил: 5.27. Нагружаем основную систему единичным усилием X1 1. Тогда 5.28. Вычисляем коэффициент канонического уравнения: 5.29. Определяем деформацию стержня от воздействия положительного значения температурного градиента . 5.30. Записываем каноническое уравнение метода сил: 5.31.

Решаем уравнение и находим неизвестное усилие: 5.32. Выполняем проверку правильности решения задачи по формуле (1.13): погрешность счета составляет что допустимо 55 1.7. Расчет статически неопределимых стержневых систем методом сил в матричной форме 1.6.1. Матричная форма определения перемещений в стержневых системах. При определении перемещений в балках и рамах (без учета продольных и поперечных сил) интеграл Мора записывается в виде где EIk , k – жесткость сечения при изгибе и длина k-го участка соответственно; m – число участков системы.

Вычислим интеграл Мора для k-гo участка по формуле Симпсона, полагая жесткость сечения EIk постоянной, а подынтегральные MP и M i функции непрерывными и в сумме не выше третьего порядка. В этом случае получаем точное значение интеграла Мора: где M a, M в, M с – ординаты эпюр моментов в расчетных сечениях (в начале, конце и посередине) участка (рис. 1.62). Представим правую часть выражения в виде произведения трех матриц или сокращенно – матрица-строка (транспонированный столбец), состоящая из ординат единичной эпюры моментов на k-м участке от силы Pi 1; – матрица податливости – матрица-столбец (вектор), состоящая из ординат эпюры моментов на k-м участке от нагрузки Р. 56 Рис. 1.62

Для получения полного перемещения iP просуммируем интеграл Мора в матричной форме на всех m участках системы где M iT – матрица-строка (транспонированный столбец), состоящая из ординат единичной эпюры моментов M iT в расчетных сечениях системы от силы Pi 1. Расчетные сечения системы представляют собой совокупность расчетных сечений всех участков, занумерованных по порядку; B – квазидиагональная матрица податливости системы, состоящая из матриц податливости отдельных участков Bk ;

M P – матрица-столбец (вектор), состоящая из ординат эпюры моментов MP в расчетных сечениях системы от нагрузки P . Формулой (1.18) определяется одно перемещение какой-либо точки по направлению i от нагрузки P . Для вычисления полного вектора перемещений , состоящего из совокупности перемещений P нужно в формуле (1.17) вместо одной строки M iT записать все n строк матриц M1T , M T2 , …, M Tn . Тогда получим или сокращенно .

Перемещения в формах (с учетом постоянных продольных сил N и жесткостей сечения стержней EAk в пределах участков) определяются по формуле По аналогии с (1.17) формула (1.20) в матричной форме записывается так: или сокращенно 1 , где NiT – матрица-строка (транспонированный столбец), состоящая из величин продольных сил в элементах формы от силы Pi 1; BN – диагональная матрица податливости системы; NP – матрица-столбец (вектор), состоящая из продольных сил в элементах формы от нагрузки P . 7.6.2. Матричная форма расчета статически неопределимых систем методом сил.

При расчете статически неопределимых стержневых систем, имеющих большую степень статической неопределимости и значительное число участков нагружения, целесообразно перейти к матричной форме записи канонических 58 уравнений метода сил. Такой переход позволяет не только формализовать процесс построения эпюр внутренних силовых факторов, но и эффективно использовать вычислительные машины. Канонические уравнения метода сил, записанные в форме можно представить в форме или в компактной форме записи ) где – матрица единичных перемещений в основной системе;

X – вектор лишних неизвестных; P – вектор перемещений в основной системе от нагрузки P ; Перемещения сечений для балок и рам определяются по формуле (1.23). Для определения элементов матрицы воспользуемся той же формулой (1.23). Подставив в эту формулу вместо вектора M P вектор M1, состоящий из ординат первой единичной эпюры моментов M1, получим первый столбец матрицы : Аналогично подстановкой в (1.20) векторов M 2, M 3, …, M n получим последующие столбцы матрицы , Или сокращенно: Решение уравнения (7.22) представляется в виде: где 1 – обратная матрица.

После подстановки выражений ) в уравнение (1.29) получим вектор неизвестных: Действительные значения изгибающих моментов в заданной системе определяются по матричной формуле т. е. после подстановки выражения X из (1.18) окончательно получим Деформационная проверка правильности расчета выполняется по формуле: Для рамы, представленной на рис. 1.63 построить эпюры M, Q, N. Исходные данные: q 30кН/м, P const. 60 Рис. 1.63 Решение 1.

Устанавливаем степень статической неопределимости по формуле: 6 (наличие внешних связей); Ш 1(один одиночный шарнир). Тогда 2. Образуем основную систему путем рассечения ригеля по шарниру (рис. 1.64, а). Рис. 1.64 3. Образуем эквивалентную систему путем нагружения основной системы усилиями отброшенных связей X1, X2 и внешней нагрузкой P и q (рис. 1.64, б). 4. Записываем каноническое уравнение метода сил: XP0. 5. Намечаем и нумеруем участки и сечения, а также знаки моментов, исходя из положения точки наблюдателя (рис. 1.65). 61 Рис. 1.65 Рис. 1.66

В рассматриваемом примере принимаем, что положение точки наблюдателя расположено внутри контура, поэтому за положительные значения моментов принимаем моменты, которые вызывают в расчетном сечении растяжение внутренних волокон. 6. Строим эпюры изгибающих моментов для основной системы от действия единичных усилий отброшенных связей от внешней нагрузки P и q (рис. 1.66). 7. Формируем матрицы M i и M P из ординат полученных эпюр с учетом их знака: 8. Составляем матрицы податливости для отдельных участков системы: 9. Матрица податливости для всей системы принимает следующий вид: (1.36) 10.

Транспонируем матрицу M i (1.34) в матрицу M it (каждый i -й столбец матрицы M i становится i -й строкой матрицы M it : 11. Перемножаем последовательно по формуле (1.28) матрицы MT и построим матрицу единичных перемещений в основной системе: Перемножаем матрицы MTP и строим вектор перемещений в основной системе от нагрузки P : 12. Решаем векторное уравнение (1.24) и находим вектор неизвестных усилий: 13. Находим вектор действительных изгибающих моментов в расчетных сечениях по формулам (1.31), (1.32): 14.

Строим эпюру изгибающих моментов по компонентам вектора M (рис. 1.67): Рис. 1.67 65 15. Выполняем проверку правильности вычислений компонент вектора M. Используем условие, что перемещение по направлению отброшенных (перерезанных) связей отсутствует: Условие деформационной проверки выполняются. 16. Строим эпюру поперечных сил по эпюре изгибающих моментов вырезанием стержней, а эпюру продольных сил – вырезанием узлов по методике, изложенной в п. 2.11 (рис. 1.67, б; 1.67, в). 17.

Уточняем эпюру изгибающих моментов по эпюре поперечных сил. Для этого находим координаты сечения, где поперечная сила меняет знак (рис. 1.68): Xk4 6,7: 46,7:30 1,56q м, и в этом сечении вычисляем изгибающий момент. 18. Выполняем статическую проверку Для этого рассматриваем равновесие части рамы, узлов или в целом всей рамы, как показано ниже (рис. 1.69). Внутренние усилия берем из эпюр М, Q, N. (рис. 7.59). Применительно к представленной схеме уравнения статики имеют вид: Условие равновесия выполняется, что подтверждает правильность произведенных расчетов.