Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов

Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов

Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов

Возьмем два участка цепи Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов и Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов (см, рис. 1) и составим для них уравнения 8 комплексной форме с учетом указанных на рмс. 1 положительных направлений напряжений и токов.

Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов
Объединяя оба случая, получим

Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов

или для постоянного тока

Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов
Формулы (1) и (2) являются аналитическим выражением закона Ома для участка цепи с источником ЭДС, согласно которому ток на участке цепи с источником ЭДС равен алгебраической сумме напряжения на зажимах участка цепи и ЭДС, деленной на сопротивление участка. В случае переменного тока все указанные величины суть комплексы. При этом ЭДС и напряжение берут со знаком '+'если их направление совпадает с выбранным направлением тока, и со знаком Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов если их направление противоположно направлению тока.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теоретическим основам электротехники (ТОЭ):

Основы электротехники: формулы и лекции и примеры заданий с решением

Основы символического метода расчета цепей синусоидального тока

Расчет целей переменного синусоидального тока может производиться не только путем построения векторных диаграмм, но и аналитически - путем операций с комплексами, символически изображающими синусоидальные ЭДС, напряжения и токи. Достоинством векторных диаграмм является их наглядность, недостатком - малая точность графических построений. Применение символического метода позволяет производить расчеты цепей с большой степенью точности.

Символический метод расчета цепей синусоидального тока основан на законах Кирхгофа и законе Ома в комплексной форме.

Уравнения, выражающие законы Кирхгофа в комплексной форме, имеют совершенно такой же вид. как и соответствующие уравнения для цепей постоянного тока. Только токи, ЭДС, напряжения и сопротивления входят в уравнение в видекомплексньи величин.

1. Первый закон Кирхгофа в комплексной форме:

Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов
2. Второй закон Кирхгофа в комплексной форме:

Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов

или применительно к схемам замещения с источниками ЭДС

Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов
3. Соответственно матричная запись законов Кирхгофа в комплексной форме имеет вид:

• первый закон Кирхгофа:

Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов
• второй закон Кирхгофа

Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Элементы цепи синусоидального тока, векторные диаграммы и комплексные соотношения для них

Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов

Мощность в электрических цепях

Резонансные явления в цепях синусоидального тока

Пример задачи с решением.

Дано:

Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов

Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов

Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов
Определить:

1) полное комплексное сопротивление цепи Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов;

2) токи Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов

Решение:

1. Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов

2. Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов

3. Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов

Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов

4. Принимая начальную фазу напряжения за нуль, запишем:

Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов
Тогда

Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов
5. Поскольку ток распределяется обратно пропорционально сопротивлению ветвей (это вытекает из закона Ома), то

Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов
6. Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов

7. Аналогичный результат можно получить, составив для данной схемы уравнения по законам Кирхгофа в комплексной форме

Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов

Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов

или после подстановки численных значений параметров схемы

Специальные методы расчета

Режим работы любой цепи полностью характеризуется уравнениями, составленными на основании законов

Кирхгофа. При этом необходимо составить и решить систему с Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов неизвестными, что может оказаться весьма трудоемкой задачей при бол ьшом числе Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов ветвей схемы. Однако, число уравнений, подлежащих решению, может быть сокращено, если воспользоваться специальными методами расчета, к которым относятся методы контурных токов и узловых потенциалов.

Что такое теоретические основы электротехники (ТОЭ) вы узнаете по этой ссылке:

Метод контурных токов

Идея метода контурных токов: уравнения составляются тол ько по второму закону Кирхгофа, но не для действительных, а для воображаемых токов, циркулирующих по замкнутым контурам, т.е. о случае выбора главных контуров равных токам ветвей связи. Число уравнений равно числу независимых контуров, т.е. числу ветвей связи графа Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов Первый закон Кирхгофа выполняется автоматически. Контуры можно выбирать произвольно, лишь бы их число было равно Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов и чтобы каждый новый контур содержал хотя бы одну ветвь, не входящую в предыдущие. Такие контуры называются независимыми. Их выбор облегчает использование топологических понятий дерева и ветвей связи.

Направления истинных и контурных токов выбираются произвольно. Выбор положительных направлений перед началом расчета может не определять действительные направления токов в цепи. Если в результате расчета какой-либо из токов, как и при использовании уравнений по законам Кирхгофа, получится со знаком Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов это означает, что его истинное направление противоположно.

Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов
Пусть имеем схему по рис. 3.

Выразим токи ветвей через контурные токи:

Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов
Обойдя контур aeda. по второму закону Кирхгофа имеем

Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов
Поскольку

Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов

то

Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов
Таким образом, получили уравнение для первого контура относительно контурных токов. Аналогично можно составить уравнения для второго, третьего и четвертого контуров:

Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов

совместно с первым решить их относительно контурных токов и затем по уравнениям, связывающим контурные токи и токи ветвей, найти последние.

Однако данная система уравнений может быть составлена формальным путем:

Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов
При составлении уравнений необходимо помнить следующее:

Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов - сумма сопротивлений, входящих в Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов контур;

Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов - сумма сопротивлений, общих для Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов и Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов контуров, примем Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов;

члены на главной диагонали всегда пишутся со знаком Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов

знак Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов перед остальными членами ставится в случае, если через общее сопротивление Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов и Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциаловконтурные токи проходят водном направлении, в противном случае ставится знак Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов;

если Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов и Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов контуры не имеют общих сопротивлений, то Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов;

в правой части уравнений записы вается алгебраическая сумма ЭДС. входящих в контур: со знаком Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов. если направление ЭДС совпадает с выбранным направлением контур»юго тока, и Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов если не совпадает.

В нашем случае, для первого уравнения системы, имеем:

Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов

Следует обратить внимание на то, что, поскольку Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов коэффициенты контурных уравнений всегда

симметричны относительно главной диагонали.

Если в цепи содержатся помимо источников ЭДС источники тока, то они учитываются в левых частях уравнений как известные контурные токи: Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов- й контурный ток. проходящий через ветвь с Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов- м источником тока равен этому току Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов

Метод узловых потенциалов

Данный метод вытекает из первого закона Кирхгофа. В качестве неизвестных принимаются потенциалы узлов, по найденным значениям которых с помощью закона Ома для участка цепи с источником ЭДС затем находят токи в ветвях. Поскольку потенциал - величина относительная, потенциал одного из узлов (любого) принимается равным нулю. Таким образом, число неизвестных потенциалов, а следовательно, и число уравнений равно Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов, т.е. числу ветвей дерева Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов

Пусть имеем схему по рис. я. в которой примем Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов

Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов
Допусти,что Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов и Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов известны. Тогда значения токов на основании закона Ома для участка цепи с источником ЭДС

Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов
Запишем уравнение по первому закону Кирхгофа для узла Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов

Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов

и подставим значения входящих в него токов, определенных выше:

Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов

Сгруппировав соответствующие члены, получим:

Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов

Аналогично можно записать для узла Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов

Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов

Как и по методу контурных токов, система уравнений по методу узловых потенциалов может быть составлена формальным путем. При этом необходимо руководствоваться следующими правилами:

1. В левой части Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов-го уравнения записывается со знаком Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов потенциал Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциаловОсновы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов узла, для которого составляется данное Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов-е уравнение, умноженный на сумму проводимостей ветвей, присоединенных к данному Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов-му узлу, и со знаком Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов потенциал Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов соседних узлов, каждый из которых умножен на сумму проводимостей Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов ветвей, присоединенных к Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов-му и Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов-му узлам.

Из сказанного следует, что все члены Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов стоящие на главной диагонали в левой части системы уравнений, записываются со знаком Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов а все остальные - со знаком Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов причем Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов. Последнее равенство по аналогии с методом контурных токов обеспечивает симметрию коэффициентов уравнений относительно главной диагонали.

2. 8 правой части Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов-го уравнения записывается так называемый узловой ток Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов, равный сумме произведений ЭДС ветвей, подходящих к Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциаловму узлу, и проводимостей этих ветвей. При этом член суммы записывается со знаком Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов если соответствующая ЭДС направлена к Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциаловму узлу, в противном случае ставится знак Если в подходящих к Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциаловму узлу ветвях содержатся источники тока, то знаки токов источников токов, входящих в узловой ток простыми слагаемыми, определяются аналогично.

В заключение отметим, что выбор того или иного из рассмотренных методов определяется тем, что следует найти, а также тем. какой из них обеспечивает меньший порядок системы уравнений. При расчете токов при одинаковом числе уравнений предпочтительнее использовать метод контурных токов, так как он не требует дополнительных вычислений с использованием закона Ома. Метод узловых потенциалов очень удобен при расчетах многофазных цепей, но не удобен при расчете цепей со взаимной индуктивностью.