Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов

Содержание:

1. Основы символического метода расчета цепей синусоидального тока
2. Символический метод расчета цепей синусоидального тока основан на законах Кирхгофа и законе Ома в комплексной форме.
3. Пример задачи с решением
4. Специальные методы расчета
5. Метод контурных токов
6. Метод узловых потенциалов

Возьмем два участка цепи и (см, рис. 1) и составим для них уравнения 8 комплексной форме с учетом указанных на рмс. 1 положительных направлений напряжений и токов.

Объединяя оба случая, получим

или для постоянного тока

Формулы (1) и (2) являются аналитическим выражением закона Ома для участка цепи с источником ЭДС, согласно которому ток на участке цепи с источником ЭДС равен алгебраической сумме напряжения на зажимах участка цепи и ЭДС, деленной на сопротивление участка. В случае переменного тока все указанные величины суть комплексы. При этом ЭДС и напряжение берут со знаком '+'если их направление совпадает с выбранным направлением тока, и со знаком если их направление противоположно направлению тока.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теоретическим основам электротехники (ТОЭ):

Основы электротехники: формулы и лекции и примеры заданий с решением

Основы символического метода расчета цепей синусоидального тока

Расчет целей переменного синусоидального тока может производиться не только путем построения векторных диаграмм, но и аналитически - путем операций с комплексами, символически изображающими синусоидальные ЭДС, напряжения и токи. Достоинством векторных диаграмм является их наглядность, недостатком - малая точность графических построений. Применение символического метода позволяет производить расчеты цепей с большой степенью точности.

Символический метод расчета цепей синусоидального тока основан на законах Кирхгофа и законе Ома в комплексной форме.

Уравнения, выражающие законы Кирхгофа в комплексной форме, имеют совершенно такой же вид. как и соответствующие уравнения для цепей постоянного тока. Только токи, ЭДС, напряжения и сопротивления входят в уравнение в видекомплексньи величин.

1. Первый закон Кирхгофа в комплексной форме:

2. Второй закон Кирхгофа в комплексной форме:

или применительно к схемам замещения с источниками ЭДС

3. Соответственно матричная запись законов Кирхгофа в комплексной форме имеет вид:

• первый закон Кирхгофа:

• второй закон Кирхгофа

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Элементы цепи синусоидального тока, векторные диаграммы и комплексные соотношения для них

Основы символического метода расчета. Методы контурных токов и узловых потенциалов

Мощность в электрических цепях

Резонансные явления в цепях синусоидального тока

Пример задачи с решением

Дано:

Определить:

1) полное комплексное сопротивление цепи ;

2) токи

Решение:

1.

2.

3.

4. Принимая начальную фазу напряжения за нуль, запишем:

Тогда

5. Поскольку ток распределяется обратно пропорционально сопротивлению ветвей (это вытекает из закона Ома), то

6.

7. Аналогичный результат можно получить, составив для данной схемы уравнения по законам Кирхгофа в комплексной форме

или после подстановки численных значений параметров схемы

Специальные методы расчета

Режим работы любой цепи полностью характеризуется уравнениями, составленными на основании законов

Кирхгофа. При этом необходимо составить и решить систему с неизвестными, что может оказаться весьма трудоемкой задачей при бол ьшом числе ветвей схемы. Однако, число уравнений, подлежащих решению, может быть сокращено, если воспользоваться специальными методами расчета, к которым относятся методы контурных токов и узловых потенциалов.

Что такое теоретические основы электротехники (ТОЭ) вы узнаете по этой ссылке:

• Теоретические основы электротехники

Метод контурных токов

Идея метода контурных токов: уравнения составляются тол ько по второму закону Кирхгофа, но не для действительных, а для воображаемых токов, циркулирующих по замкнутым контурам, т.е. о случае выбора главных контуров равных токам ветвей связи. Число уравнений равно числу независимых контуров, т.е. числу ветвей связи графа Первый закон Кирхгофа выполняется автоматически. Контуры можно выбирать произвольно, лишь бы их число было равно и чтобы каждый новый контур содержал хотя бы одну ветвь, не входящую в предыдущие. Такие контуры называются независимыми. Их выбор облегчает использование топологических понятий дерева и ветвей связи.

Направления истинных и контурных токов выбираются произвольно. Выбор положительных направлений перед началом расчета может не определять действительные направления токов в цепи. Если в результате расчета какой-либо из токов, как и при использовании уравнений по законам Кирхгофа, получится со знаком это означает, что его истинное направление противоположно.

Пусть имеем схему по рис. 3.

Выразим токи ветвей через контурные токи:

Обойдя контур aeda. по второму закону Кирхгофа имеем

Поскольку

то

Таким образом, получили уравнение для первого контура относительно контурных токов. Аналогично можно составить уравнения для второго, третьего и четвертого контуров:

совместно с первым решить их относительно контурных токов и затем по уравнениям, связывающим контурные токи и токи ветвей, найти последние.

Однако данная система уравнений может быть составлена формальным путем:

При составлении уравнений необходимо помнить следующее:

- сумма сопротивлений, входящих в контур;

- сумма сопротивлений, общих для и контуров, примем ;

члены на главной диагонали всегда пишутся со знаком

знак перед остальными членами ставится в случае, если через общее сопротивление и контурные токи проходят водном направлении, в противном случае ставится знак ;

если и контуры не имеют общих сопротивлений, то ;

в правой части уравнений записы вается алгебраическая сумма ЭДС. входящих в контур: со знаком . если направление ЭДС совпадает с выбранным направлением контур»юго тока, и если не совпадает.

В нашем случае, для первого уравнения системы, имеем:

Следует обратить внимание на то, что, поскольку коэффициенты контурных уравнений всегда

симметричны относительно главной диагонали.

Если в цепи содержатся помимо источников ЭДС источники тока, то они учитываются в левых частях уравнений как известные контурные токи: - й контурный ток. проходящий через ветвь с - м источником тока равен этому току

Метод узловых потенциалов

Данный метод вытекает из первого закона Кирхгофа. В качестве неизвестных принимаются потенциалы узлов, по найденным значениям которых с помощью закона Ома для участка цепи с источником ЭДС затем находят токи в ветвях. Поскольку потенциал - величина относительная, потенциал одного из узлов (любого) принимается равным нулю. Таким образом, число неизвестных потенциалов, а следовательно, и число уравнений равно , т.е. числу ветвей дерева

Пусть имеем схему по рис. я. в которой примем

Допусти,что и известны. Тогда значения токов на основании закона Ома для участка цепи с источником ЭДС

Запишем уравнение по первому закону Кирхгофа для узла

и подставим значения входящих в него токов, определенных выше:

Сгруппировав соответствующие члены, получим:

Аналогично можно записать для узла

Как и по методу контурных токов, система уравнений по методу узловых потенциалов может быть составлена формальным путем. При этом необходимо руководствоваться следующими правилами:

1. В левой части -го уравнения записывается со знаком потенциал узла, для которого составляется данное -е уравнение, умноженный на сумму проводимостей ветвей, присоединенных к данному -му узлу, и со знаком потенциал соседних узлов, каждый из которых умножен на сумму проводимостей ветвей, присоединенных к -му и -му узлам.

Из сказанного следует, что все члены стоящие на главной диагонали в левой части системы уравнений, записываются со знаком а все остальные - со знаком причем . Последнее равенство по аналогии с методом контурных токов обеспечивает симметрию коэффициентов уравнений относительно главной диагонали.

2. 8 правой части -го уравнения записывается так называемый узловой ток , равный сумме произведений ЭДС ветвей, подходящих к му узлу, и проводимостей этих ветвей. При этом член суммы записывается со знаком если соответствующая ЭДС направлена к му узлу, в противном случае ставится знак Если в подходящих к му узлу ветвях содержатся источники тока, то знаки токов источников токов, входящих в узловой ток простыми слагаемыми, определяются аналогично.

В заключение отметим, что выбор того или иного из рассмотренных методов определяется тем, что следует найти, а также тем. какой из них обеспечивает меньший порядок системы уравнений. При расчете токов при одинаковом числе уравнений предпочтительнее использовать метод контурных токов, так как он не требует дополнительных вычислений с использованием закона Ома. Метод узловых потенциалов очень удобен при расчетах многофазных цепей, но не удобен при расчете цепей со взаимной индуктивностью.