Основы матричных методов расчета электрических цепей

Основы матричных методов расчета электрических цепей

Рассмотренные методы расчета электрических цепей - непосредственно по законам Кирхгофа, методы контурных токов и узловых потенциалов - позволяют принципиально рассчитать любую схему. Однако их применение без использования введенных ранее топологических матриц рационально для относительно простых схем. Использование матричных методов расчета позволяет формализовать процесс составления уравнений электромагнитного баланса цепи, а также упорядочить ввод данных в ЭВМ, что особенно существенно при расчете сложных разветвленных схем.

Основы матричных методов расчета электрических цепей
Переходя к матричным методам расчета цепей, запишем закон Ома в матричной форме.

Пусть имеем схему по рис. 1, где Основы матричных методов расчета электрических цепей - источник тока. В соответствии с рассмотренным нами ранее законом Ома для участка цепи с ЭДС для данной схемы можно записать:

Основы матричных методов расчета электрических цепей
Однако, для дальнейших выкладок будет удобнее представить ток Основы матричных методов расчета электрических цепей как сумму токов Основы матричных методов расчета электрических цепейй ветви и источника тока, т.е.:

Основы матричных методов расчета электрических цепей
Подставив (2) в (1), получим:

Основы матричных методов расчета электрических цепей
Формула (3) представляет собой аналитическое выражение закона Ома для участка цепи с источниками ЭДС и тока (обобщенной ветви).

Соотношение (3) запишем для всех л ветвей схемы в виде матричного равенства

Основы матричных методов расчета электрических цепей

или

Основы матричных методов расчета электрических цепей

где Основы матричных методов расчета электрических цепей- диагональная квадратная (размерностью Основы матричных методов расчета электрических цепей) матрица сопротивлений ветвей, все элементы которой (взаимную индуктивность не учитываем), за исключением элементов главной диагонали, равны нулю.

Соотношение (4) представляет собой матричную запись закона Ома.

Если обе части равенства (4) умножить слева на контурную матрицу В и учесть второй закон Кирхгофа, согласно которому

Основы матричных методов расчета электрических цепей

то

Основы матричных методов расчета электрических цепей

то есть получили новую запись в матричной форме второго закона Кирхгофа.

Метод контурных токов в матричной форме

В соответствии с введенным ранее понятием матрицы главных контуров В, записываемой для главных контуров, в качестве независимых переменных примем токи ветвей связи, которые и будут равны искомым контурным токам.

Уравнения с контурными токами получаются на основании второго закона Кирхгофа; их число равно числу независимых уравнений, составляемых для контуров, т.е. числу ветвей связи Основы матричных методов расчета электрических цепей. Выражение (6) запишем следующим образом:

Основы матричных методов расчета электрических цепей
В соответствии с методов контурных токов токи всех ветвей могут быть выражены как линейные комбинации контурных токов или в рассматриваемом случае токов ветвей связи. Если элементы Основы матричных методов расчета электрических цепейго столбца матрицы В умножить соответствующим образом на контурные токи, то сумма таких произведений и будет выражением тока Основы матричных методов расчета электрических цепейй ветви через контурные токи (через токи ветвей связи). Сказанное может быть записано в виде матричного соотношения

Основы матричных методов расчета электрических цепей
где Основы матричных методов расчета электрических цепей - столбцовая матрица контурных токов; Основы матричных методов расчета электрических цепей -транспонированная контурная матрица.

С учетом (8) соотношение (7) можно записать, как:

Основы матричных методов расчета электрических цепей
Полученное уравнение представляет собой контурные уравнения в матричной форме. Если обозначить

Основы матричных методов расчета электрических цепей

Основы матричных методов расчета электрических цепей

то получим матричную форму записи уравнений, составленных по методу контурных токов:

Основы матричных методов расчета электрических цепей
где Основы матричных методов расчета электрических цепей - матрица контурных сопротивлений; Основы матричных методов расчета электрических цепей - матрица контурных ЭДС.

В развернутой форме (12) можно записать, как:

Основы матричных методов расчета электрических цепей

Основы матричных методов расчета электрических цепей

то есть получили известный из метода контурных токов результат.

Рассмотрим пример составления контурных уравнений.

Пусть имеем схему по рис. 2. Данная схема имеет четыре узла Основы матричных методов расчета электрических цепей и шесть обобщенных ветвей Основы матричных методов расчета электрических цепей. Число независимых контуров, равное числу ветвей связи,

Основы матричных методов расчета электрических цепей

Граф схемы с выбранным деревом (ветви 1,2,3) имеет вид по рис. 3.

Основы матричных методов расчета электрических цепей
Запишем матрицу контуров, которая будет являться матрицей главных контуров, поскольку каждая ветвь связи входит только в один контур. Принимая за направление обхода контуров направления ветвей связи, получим:

Основы матричных методов расчета электрических цепей
Диагональная матрица сопротивлений ветвей

Основы матричных методов расчета электрических цепей
Матрица контурных сопротивлений

Основы матричных методов расчета электрических цепей
Матрицы ЭДС и токов источников

Основы матричных методов расчета электрических цепей

Основы матричных методов расчета электрических цепей
Тогда матрица контурных ЭДС

Основы матричных методов расчета электрических цепей
Матрица контурных токов

Основы матричных методов расчета электрических цепей
Таким образом, окончательно получаем:

Основы матричных методов расчета электрических цепей

где Основы матричных методов расчета электрических цепей

Основы матричных методов расчета электрических цепей
Анализ результатов показывает, что полученные три уравнения идентичны тем, которые можно записать непосредственно из рассмотрения схемы по известным правилам составления уравнений по методу контурных токов.

Что такое теоретические основы электротехники (ТОЭ) вы узнаете по этой ссылке:

Метод узловых потенциалов в матричной форме

На основании полученного выше соотношения (4), представляющего собой, как было указано, матричную запись закона Ома, запишем матричное выражение:Основы матричных методов расчета электрических цепей

где Основы матричных методов расчета электрических цепей - диагональная матрица проводимостей ветвей, все члены которой, за исключением элементов главной диагонали, равны нулю.

Матрицы Основы матричных методов расчета электрических цепей взаимно обратны.

Умножив обе части равенства (14) на узловую матрицу А и учитывая первый закон Кирхгофа, согласно которому

Основы матричных методов расчета электрических цепей

получим:

Основы матричных методов расчета электрических цепей
Выражение (16) перепишем, как:

Основы матричных методов расчета электрических цепей
Принимая потенциал узла, для которого отсутствует строка в матрице А, равным нулю, определим напряжения на зажимах ветвей:

Основы матричных методов расчета электрических цепей
Тогда получаем матричное уравнение вида:

Основы матричных методов расчета электрических цепей
Данное уравнение представляет собой узловые уравнения в матричной форме. Если обозначить

Основы матричных методов расчета электрических цепей

Основы матричных методов расчета электрических цепей

то получим матричную форму записи уравнений, составленных по методу узловых потенциалов:

Основы матричных методов расчета электрических цепей

где Основы матричных методов расчета электрических цепей- матрица узловых проводимостей; Основы матричных методов расчета электрических цепей - матрица узловых токов.

В развернутом виде соотношение (22) можно записать, как:

Основы матричных методов расчета электрических цепей

то есть получили известный из метода узловых потенциалов результат.

Рассмотрим составление узловых уравнений на примере схемы по рис. 4.

Основы матричных методов расчета электрических цепей
Данная схема имеет 3 узла Основы матричных методов расчета электрических цепей и 5 ветвей Основы матричных методов расчета электрических цепей. Граф схемы с выбранной ориентацией ветвей представлен на рис. 5.

Узловая матрица (примемОсновы матричных методов расчета электрических цепей)

Основы матричных методов расчета электрических цепей
Диагональная матрица проводимостей ветвей:

Основы матричных методов расчета электрических цепей
где Основы матричных методов расчета электрических цепей

Матрица узловых проводимостей

Основы матричных методов расчета электрических цепей
Матрицы токов и ЭДС источников

Основы матричных методов расчета электрических цепей

Основы матричных методов расчета электрических цепей
Следовательно, матрица узловых токов будет иметь вид:

Основы матричных методов расчета электрических цепей
Таким образом, окончательно получаем:

Основы матричных методов расчета электрических цепей

где Основы матричных методов расчета электрических цепей
Анализ результатов показывает, что полученные уравнения идентичны тем, которые можно записать непосредственно из рассмотрения схемы по известным правилам составления уравнений по методу узловых потенциалов.