Основные законы механики

Основные законы механики

Основные законы механики. масса и сила

Механика опирается на небольшое число основных законов, которые невозможно вывести непосредственно и к которым пришли длинным путем индукций. Полученные из них следствия подтверждаются наблюдениями. Первая идея этих законов принадлежит Галилею, который при исследовании законов падения тел (наклонная плоскость, маятник, параболическое движение) ввел понятия инерции, ускорения, сложения движений. Гюйгенс был продолжателем Галилея в теории движения точки. Он же первый изучал движение материальной системы. Наконец, Ньютон расширил область механики открытием закона всемирного тяготения.

Мы не ставим своей целью дать критический анализ основных законов механики. Это один из наиболее тонких вопросов, требующий дальнейших исследований.

Основные законы

Неподвижные оси. Мы будем относить положение всех тел к некоторой системе осей, которые, по определению, мы будем считать абсолютно неподвижными осями. Эта система осей является триэдром, с вершиной в центре тяжести солнечной системы и с ребрами, направленными на три звезды, называемые неподвижными звездами.

Время. Время, которым мы будем пользоваться, есть среднее время, определяемое в космографии.

Материальная точка. Для того чтобы начать с наиболее простых задач рассматривают сперва движение настолько малой частицы материи, что ее положение, без существенной ошибки, может быть определено как положение геометрической точки. Такую частицу материи называют материальной тонкой. В дальнейшем тела рассматриваются как совокупность очень большого числа материальных точек.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теоретической механике:

Предмет теоретическая механика: формулы и лекции и примеры заданий с решением

Одновременно с изменением положения материальная точка может вращаться и деформироваться, но мы будем здесь заниматься только ее положением, не интересуясь тем, как она вращается и деформируется.

Наблюдения и опыт показывают, что материальные точки воздействуют друг на друга. Так, например, -материальные точки, образующие тело, называемое твердым, действуют друг на друга таким образом, что форма тела почти сохраняется, когда его пытаются деформировать; две наэлектризованные точки притягиваются или отталкиваются; и т. д.

Основные законы. Первый основной закон. Все материальные точки, предоставленные самим себе, не имеют ускорения.

Этот закон может быть выражен еще так: материальная точка, предоставленная самой себе, сохраняет свою скорость по величине и направлению; она совершает относительно неподвижных осей прямолинейное равномерное движение; в частном случае движения может и не быть. Этот закон известен под названием закона инерции.

Основные законы механики

Второй основной закон. Две материальные точки сообщают друг другу ускорения, лежащие вдоль прямой, их соединяющей» и направленные в противоположные стороны (см. оба чертежа на рис. 52).

  • Изучение условий, при которых эти ускорения возникают, является предметом экспериментальной физики. Ускорения могут возникнуть вследствие того, что точки наэлектризованы или вследствие тою, что они друг на друга давят, или вследствие ньютоновского притяжения и т. д.

Третий основнрй закон. Отношение численных значений ускорений, которые две произвольные материальные точки Основные законы механики и Основные законы механики сообщают друг другу, постоянно. Другими словами, это отношение будет одним и тем же, каковы бы ни были физические условия возникновения ускорений, будь то наэлектризованность, взаимное давление, ньютоновское действие и т. д.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Теормех мгту мфти лэти политех

Теоретическая механика контрольные работы с решением

Определение реакций опор балки

Применение принципа Даламбера

Вследствие этого мы можем выразить отношение ускорения точки Основные законы механики к ускорению точки Основные законы механики при помощи дроби, числителем которой является произвольно выбранная величина, которую мы обозначим Основные законы механики а знаменателем другая величина Основные законы механики зависящая только от природы точек Основные законы механики и Основные законы механики.

Таким образом, имеем

Основные законы механики

Если теперь, сохраняя точку Основные законы механики, возьмем вместо точки Основные законы механики другую материальную точку Основные законы механики то мы сможем опять выразить отношение ускорений точек Основные законы механики и Основные законы механики дробью, числитель которой есть уже избранная величина тл, а знаменатель другое число тс, характеризуемое совокупностью точек Основные законы механики и Основные законы механики. Имеем, таким образом,

Основные законы механики

То же самое справедливо для всех точек Основные законы механики присоединенных к точке Основные законы механики. Для каждой из них будет свой знаменатель Основные законы механики

Образуем таблицу величин Основные законы механики полученных, как мы сейчас говорили:

Основные законы механики

Эта таблица позволяет нам ответить на следующий вопрос. К точке Основные законы механики присоединена какая-нибудь точка Основные законы механики требуется найти отношение ускорений, которые они сообщают друг другу. Для этого следует только написать

Основные законы механики

Однако составленная таблица может служить для решения проблемы значительно более общего вида, благодаря следующему предложению, которое дополняет третий закон.

Отношение ускорений, которые две произвольные материальные точки Основные законы механики и Основные законы механики сообщают друг другу, равно отношению ускорений точки Основные законы механики и какой-нибудь другой точки, например Основные законы механики деленному на отношение ускорений точек Основные законы механики и Основные законы механики т. е.

отношение ускорении точек Основные законы механики и Основные законы механики Основные законы механики

Следовательно, таблица величин Основные законы механики позволяет нам ответить на следующий вопрос: каково отношение ускорений двух произвольных материальных точек? Это отношение равно обратному отношению соответствующих величин т таблицы. (Можно заметить аналогию между свойствами этой таблицы и свойствами таблицы химических эквивалентов.)

Величины Основные законы механики называются массами точек Основные законы механики *)

Подведем итоги сказанному. Отношение масс двух точек равно, по определению, обратному отношению ускорений, которые эти точки друг другу сообщают. Если численное значение одной из масс выбрать произвольно, то численные значения всех остальных масс станут вполне определенными.

Четвертый основной закон. Ускорение, сообщаемое произвольной материальной точке Основные законы механики совокупностью нескольких материальных систем Основные законы механики получается сложением по правилам сложения векторов ускорений, которые сообщили бы точке Основные законы механики каждая из систем Основные законы механики ..., если бы она действовала отдельно.

Все это будет строго верным лишь для абсолютных движений относительно указанных выше неподвижных осей. Однако только в астрономии и в некоторых исключительных опытах (например, в маятнике Фуко) приходится действительно пользоваться указанными осями. В огромном большинстве случаев в качестве неподвижных осей можно принимать оси, связанные с Землей. Как показывают наблюдения, в согласии с теорией относительных движений никаких заметных неточностей при этом не получается.

Силы.

Слово сила не входит в основные законы динамики, которые мы только что указали. В действительности, можно обойтись и без него. Предметом динамики является следующее: «Зная движения, которые происходят при некоторых заданных условиях, определить, какими они будут при других заданных условиях». В эту задачу входят только тела и движения и нет необходимости вводить сюда третьи элементы.

Тем не менее представляется удобным, с точки зрения краткости, условиться о следующем. Если какая-нибудь точка Основные законы механики массы Основные законы механики вследствие присутствия одной или нескольких других материальных точек, испытывает ускорение Основные законы механики то мы будем условно говорить, что точка Основные законы механики подвергается со стороны этой одной или этих нескольких материальных точек действию силы, равной по величине и направлению Основные законы механики Этот вектор Основные законы механики и есть, по определению, сила, действующая на точку Основные законы механики. Если обозначить ее через Основные законы механики то Основные законы механики (рис. 53). Мы видим, что сила есть понятие производное, определяемое при помощи других величин. Вектор силы есть вектор пол'ярный, так же, как и ускорение.

Основные законы механики

Закон равенства действия и противодействия.

Ньютон под названием начала равенства действия и противодействия провозгласил следующий закон. Если точка Основные законы механики подвергается действию силы Основные законы механики вызванной присутствием другой точки Основные законы механики то эта сила направлена по Основные законы механики а вторая точка Основные законы механики подвергается со стороны точки Основные законы механики действию силы, равной и прямо противоположной силе Основные законы механики Ньютон выразил это, говоря, что противодействие равно и противоположно действию. Это начало уже содержится неявно в данных выше законах. В самом деле, если точка Основные законы механики массы Основные законы механики подвергается действию силы Основные законы механики то это означает, что она имеет ускорение Основные законы механики равное геометрически Основные законы механики Согласно второму основному закону точка Основные законы механики испытывает ускорение, направленное в противоположную сторону и определяемое соотношением

Основные законы механики

т. е. эта точка подвержена действию силы Основные законы механики равной и прямо противоположной силе Основные законы механики Это и есть закон Ньютона.

Закон равенства действия и противодействия непосредственно распространяется на взаимное действие двух произвольных систем точек Основные законы механики и Основные законы механики.

Если точки системы Основные законы механики действуют на точки системы Основные законы механики некоторыми силами, то и наоборот, точки Основные законы механики оказывают действие на Основные законы механики, выражаемое силами, равными и прямо противоположными первым.

Так, например, если рукой давить на стену, то со стороны стены рука будет испытывать противодействие, выражаемое силой, равной и противоположной давлению руки. Когда лошадь тянет экипаж, то действие постромок на экипаж равно и противоположно действию экипажа на постромки и т. д.

Основные законы механики

Сложение сил. Равнодействующая. Четвертый закон приводит непосредственно к правилу сложения сил.

Допустим, что система Основные законы механики действуя одна на материальную точку Основные законы механики сообщает ей ускорение Основные законы механики Следовательно, она действует на точку с силой Основные законы механики (рис. 54), определяемой векторным равенством

Основные законы механики

Точно так же вторая система Основные законы механики действуя одна, сообщает точке Основные законы механики при том же положении и той же скорости ускорение Основные законы механики и действует на нее с силой

Основные законы механики

и т. д. и, наконец, система Основные законы механики действуя одна, сообщает точке Основные законы механики ускорение Основные законы механики и действует на нее с силой

Основные законы механики

Если все эти силы будут приложены к точке Основные законы механики одновременно, то при тех ;ке условиях они сообщат ей ускорение Основные законы механики равное геометрической сумме ускорений Основные законы механики

Основные законы механики

Сила Основные законы механики которая одна сообщает точке такое же ускорение Основные законы механики (рис. 54), будет

Основные законы механики

и, следовательно,

Основные законы механики

Эта единственная сила Основные законы механики называемая равнодействующей данных: сил Основные законы механики представляется результирующим вектором системы векторов Основные законы механики

Таким образом, к сложению и разложению сил можно применить-все, что было сказано о сложении и разложении сходящихся векторов.

Уравнения движения.

Допустим, что на точку Основные законы механики массы Основные законы механики действуют силы, представляемые в момент Основные законы механики векторами Основные законы механики обозначим через Основные законы механики координаты точки Основные законы механики, а через Основные законы механики проекции сил на оси координат. Проекции Основные законы механики равнодействующей Основные законы механики будут

Основные законы механики

а проекции ускорения Основные законы механики

Основные законы механики

Следовательно, векторное равенство Основные законы механики после проектирования на оси приводится к соотношениям

Основные законы механики

которые являются уравнениями движения.

В наиболее общем случае, который может представиться, равнодействующая Основные законы механики зависит от положения точки, т. е. от ее координат Основные законы механики от скорости точки, т. е. от Основные законы механики и от времени. В этом случае имеем

Основные законы механики

и два аналогичных выражения для Основные законы механики и Основные законы механики Для того чтобы найти движение точки под действием заданных сил, нужно проинтегрировать уравнения движения, которые являются дифференциальными уравнениями второго порядка, определяющими Основные законы механики в функции Основные законы механики

Мы ограничиваемся здесь только указанием этой задачи. Подробно она будет рассмотрена в начале динамики.

Равновесие.

Несколько сил находятся в равновесии, если, будучи приложены к точке, находящейся в покое, они не сообщат ей никакого движения. Геометрическая сумма ускорений, вызываемых этими силами, равна нулю. Следовательно, геометрическая сумма

этих сил, т. е. их равнодействующая, гоже равна нулю. Это условие, необходимое для равновесия, будет, очевидно, и достаточным.

Вообще, материальная система находится в равновесии, если, будучи в покое, она не получит никакого движения от сил, которые на нее подействуют.

Статика. Динамика.

Та часть механики, где изучаются условия, которым должны удовлетворять действующие на систему точек силы, для того чтобы система находилась в равновесии, называется статикой. Та часть механики, где изучаются соотношения между силами и вызываемыми ими движениями, называется динамикой.

Мы начнем с изучения статики, которая является не чем иным, как особого вида геометрией. После этого мы будем изучать динамику. Этот порядок оправдывается теми соображениями, что благодаря принципу Даламбера составление уравнений какой-нибудь задачи динамики может быть приведено к решению задачи статики.

С исторической точки зрения статика является наиболее древней частью механики. Действительно, статика восходит еще к Архимеду, установившему в своем труде De cequiponderantibus принцип рычага. Что же касается динамики, то ее возникновение стало возможным лишь после открытий Галилея.

Единицы массы и силы; однородность

Тяжесть. Вес. Тяжелая точка, падающая без начальной скорости с небольшой высоты, совершает по отношению к Земле прямолинейное равноускоренное движение по вертикали. Ускорение Основные законы механики этого движения, изменяющееся с широтой места и с высотой над уровнем океана, имеет для Парижа значение Основные законы механики. Вследствие движения Земли этому относительному движению соответствует абсолютное движение, которое не является прямолинейным и равномерным. Отсюда следует заключить, что на тяжелую точку со стороны Земли действует некоторая сила; эта сила есть притяжение Земли.

Если тяжелая материальная точка удерживается каким-нибудь препятствием, то действие Земли на нее продолжается, но эффект этой силы изменяется. Это получается вследствие того, что препятствие также оказывает на точку некоторое действие. Так, например, если тяжелая точка, подвешенная к концу нити, неподвижна относительно Земли, то нить оказывает на нее некоторое действие, которое является натяжением нити. Абсолютным весом точки называют силу, равную и противоположную этому натяжению.

Если бы Земля была неподвижна, то материальная точка, подвешенная к нити, находилась бы в равновесии под действием натяжения нити и притяжения Земли. Последнее было бы, следовательно, равно и противоположно натяжению нити, т. е. равнялось бы абсолютному весу точки. Но в действительности материальная точка ли неподвижна, ни движется прямолинейно и равномерно; натяжение и притяжение не находятся в равновесии и абсолютный вес отличен от притяжения.

Эта разница, однако, весьма мала и в большинстве явлений ею можно пренебрегать. Мы увидим ниже, что тяжелая материальная точка, падающая в пустоте с небольшой высоты, движется относительно Земли почти так же, как если бы Земля была неподвижна и точка находилась под действием своего абсолютного веса. Так как это движение обладает постоянным ускорением Основные законы механики то абсолютный вес Основные законы механики является для одного и того же места постоянной силой

Основные законы механики

Этот вес и ускорение Основные законы механики изменяются с широтой места и с высотой над уровнем океана.

  • Можно представить себе абсолютный вес еще таким образом. Допустим, что материальная точка положена на неподвижную относительно Земли руку. Рука окажет на точку действие, являющееся вертикальной силой, направленной кверху и равной по интенсивности абсолютному весу точки.

Наоборот, по закону равенства действия и противодействия, рука будет испытывать со стороны точки давление, направленное вниз и равное абсолютному весу по интенсивности и направлению. Это ощущаемое рукой давление и дает некоторое представление об абсолютном весе. Точно так же, если точку положить на чашу весов, то давление будет совпадать с абсолютным весом.

Технические единицы. Килограмм-сила.

В технике обычно принимают следующие основные единицы:

Основные законы механики

По определению, килограмм-сила — это абсолютный вес одного килограмма в Париже, т. е. сумма абсолютных весов в Париже материальных точек, составляющих один литр воды при ее наибольшей плотности. Необходимо указывать, что этот абсолютный вес взят в определенном месте земного шара, например в Париже, так как абсолютный вес материальной точки изменяется с изменением места.

В этой системе единица массы является производной единицей. Масса точки определяется формулой

Основные законы механики

где Основные законы механики — абсолютный вес, выраженный в килограмм-силах, a Основные законы механики — ускорение тяжести. Если сделать Основные законы механики то Основные законы механики Единица массы есть, следовательно, масса точки, абсолютный вес которой равен Основные законы механики килограмм-силам. В Париже, где Основные законы механики, единица массы есть масса Основные законы механики литров дистиллированной воды при Основные законы механики

Неудобство этой системы состоит в том, что единица силы — килограмм является величиной, определение которой требует указания определенного места земного шара. Более того, масса тела, являющаяся физическим свойством, присущим самому телу, выражается различными числами в зависимости от того, в какой точке земного шара определен килограмм силы. Этого неудобства можно избежать, как это показал еще Гаусс, если в качестве основных единиц принять единицы длины, времени и массы и уже из них вывести единицу силы.

Абсолютные единицы. Дина.

В этой системе в качестве основных единиц принимаются единицы длины, времени и массы. Единица силы будет тогда производной. Эта система основана на том, что можно различать массы различных тел при помощи весов. В самом деле, допустим, что в определенной точке земного шара Основные законы механики есть ускорение тяжести, а Основные законы механики — абсолютные веса материальных точек с массами Основные законы механикиТогда будет

Основные законы механики

Следовательно, если Основные законы механики, то Основные законы механики если Основные законы механики то Основные законы механики Вообще, массы материальных точек пропорциональны их абсолютным весам в одном и том же месте, т. е. их относительным весам, полученным при помощи взвешивания на весах. Поэтому, выбрав произвольным образом единицу массы, мы получим возможность измерять массы. Интенсивности сил будут тогда выражаться численно по формуле

Основные законы механики

где Основные законы механики — масса точки, на которую действует сила, a Основные законы механики — вызываемое этой силой ускорение. Если положить Основные законы механики и Основные законы механики равными единице, то сила Основные законы механики будет равна 1. Следовательно, в этой системе единица силы есть сила, сообщающая точке единичной массы ускорение, равное единице длины при выбранной единице времени. Сообразно принципам, выработанным Британской комиссией в 1871 г., а затем Конгрессом электриков в 1881 г. за основные единицы приняты: для длины — сантиметр; для массы — грамм-масса, т. е. масса одного кубического сантиметра дистиллированной воды при Основные законы механики для времени — секунда среднего солнечного времени. В этой системе единиц CGS (сантиметр, грамм, секунда) масса тела выражается тем же числом, что и его относительный вес в граммах. Единицей силы, называемой диной, является сила, сообщающая массе в Основные законы механики ускорение, равное Основные законы механики

Абсолютный вес одного грамма в Париже равен Основные законы механики так как такой абсолютный вес сообщает массе в Основные законы механики ускорение Основные законы механики т. е. Основные законы механики

Статическое измерение сил.

Система мер, при которой за единицу принят абсолютный вес, была первой, вошедшей в употребление. Это вызвано было тем, что первое представление о силе человек составил по тому усилию, которое он должен был делать, чтобы удерживать какой-нибудь груз рукой. Отсюда сравнение сил с весом. Это сравнение может быть сделано вполне точно при помощи динамометра. Возьмем вертикальную пружину, удлинение которой может быть измерено при помощи делений. Подвесим к этой пружине в Париже веса в Основные законы механики и отметим соответствующие удлинения. Тогда для измерения произвольной силы, действующей на материальную точку, мы можем закрепить эту точку на конце пружины, установить ось пружины по направлению силы и отметить соответствующее удлинение. Мы получим тогда величину силы в килограммах.

Это статическое измерение сил является очень важным, так как оно показывает, что основное соотношение

Основные законы механики

выражаемое уравнениями (1), не является простым тождеством-Возьмем, например, материальную точку, на которую действует сила, зависящая только от ее положения. Придавая точке различные положения и измеряя статически силу в каждом из этих положений, мы сможем узнать закон изменения силы в зависимости от положения точки. Аналитически мы узнаем проекции Основные законы механики силы в функции координат Основные законы механики точки. Если потом отпустить точку и подвергнуть ее действию указанных сил, то она придет в движение, уравнения которого в конечной форме получатся после интегрирования уравнений (1). В этих уравнениях проекции Основные законы механики являются известными функциями координат Основные законы механики.

Однородность.

Если для приложений имеется необходимость в выборе определенных единиц, то для теории в этом нет надобности. В теоретических исследованиях целесообразнее оставлять основные единицы неопределенными, с тем чтобы получаемые формулы могли быть применены при любой системе единиц. Так как формулы должны оставаться верными при любом выборе трех основных единиц, то они должны обладать троякой однородностью относительно длины, времени и массы. Пусть Основные законы механики — длина, Основные законы механики — время, Основные законы механики — масса, Основные законы механики — скорость, Основные законы механики — ускорение, Основные законы механики — сила, измеренные в какой-нибудь системе основных единиц длины, времени и массы. Если теперь принять единицу длины в Основные законы механики раз меньшую, единицу времени в Основные законы механики раз меньшую и единицу массы в Основные законы механики раз меньшую, то мерами только что указанных величин станут

Основные законы механики

так как скорость есть отношение длины ко времени, ускорение — отношение длины к квадрату времени, а сила — произведение ускорения на массу. Следовательно, если основные единицы не установлены, то формулы должны оставаться справедливыми при любых значениях множителей Основные законы механики

Например, полупериод малых колебаний простого маятника длины Основные законы механики в месте, где ускорение тяжести равно Основные законы механики определяется формулой

Основные законы механики

Если изменить единицы указанным выше способом, то получится

Основные законы механики

т. е. формула не изменяется. Следовательно, она действительно однородна.