Операторный метод расчета переходных процессов

Содержание:

  1. Некоторые свойства изображений
  2. Изображения производной и интеграла
  3. Закон Ома в операторной форме
  4. Законы Кирхгофа в операторной форме
  5. Переход от изображений к оригиналам

Сущность операторного метода заключается в том, что функции Операторный метод расчета переходных процессов вещественной переменной t, которую называют оригиналом, ставится в соответствие функция Операторный метод расчета переходных процессов комплексной переменной Операторный метод расчета переходных процессов, которую называют изображением. В результате исходные производные и интегралы заменяются соответствующими алгебраическими функциями изображения (производная заменяется умножением и делением на оператор p). Это определяет переход от системы интегрально-дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений для изображения искомой переменной. Решение этих уравнений находит изображение, а обратный переход находит исходное изображение. Важнейшим моментом при этом в практическом плане является необходимость определения только независимых начальных условий, что существенно облегчает расчет переходных процессов в цепях высокого порядка по сравнению с классическим методом. Изображение Операторный метод расчета переходных процессов заданной функции Операторный метод расчета переходных процессов определяется в соответствии с прямым преобразованием Лапласа:

Операторный метод расчета переходных процессов В сокращенной записи соответствие между изображением и оригиналом обозначается, как:

Операторный метод расчета переходных процессов Следует отметить, что если оригинал Операторный метод расчета переходных процессов увеличивается с ростом t, то для сходимости интеграла (1) необходимо более быстрое убывание модуля Операторный метод расчета переходных процессов. Функции, с которыми встречаются на практике при расчете переходных процессов, этому условию удовлетворяют.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теоретическим основам электротехники (ТОЭ):

Основы электротехники: формулы и лекции и примеры заданий с решением

В качестве примера в табл. 1 приведены изображения некоторых характерных функций, часто встречающихся при анализе нестационарных режимов.

Таблица 1. Изображения типовых функций

Оригинал Операторный метод расчета переходных процессов Изображение Операторный метод расчета переходных процессов
Операторный метод расчета переходных процессов Операторный метод расчета переходных процессов
Операторный метод расчета переходных процессов Операторный метод расчета переходных процессов
Операторный метод расчета переходных процессов Операторный метод расчета переходных процессов
Операторный метод расчета переходных процессов Операторный метод расчета переходных процессов
Операторный метод расчета переходных процессов Операторный метод расчета переходных процессов
Операторный метод расчета переходных процессов Операторный метод расчета переходных процессов

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Методика и примеры расчета переходных процессов классическим методом.

Определение постоянной времени. Переходные процессы в R-L-C-цепи

Последовательность расчета переходных процессов операторным методом. Формулы включения. Переходные проводимость и функция по напряжению

Интеграл Дюамеля. Метод переменных состояния

 

Некоторые свойства изображений

1. Изображение суммы функций равно сумме изображений слагаемых:

Операторный метод расчета переходных процессов 2. Приумножении оригинала на коэффициент на тот же коэффициент умножается изображение:

Операторный метод расчета переходных процессов С использованием этих свойств и данных табл. 1, можно показать, например, что

Операторный метод расчета переходных процессов

Изображения производной и интеграла

В курсе математики доказывается, что если Операторный метод расчета переходных процессов где Операторный метод расчета переходных процессов - начальное значение функции Операторный метод расчета переходных процессов

Таким образом, для напряжения на индуктивном элементе можно записать

Операторный метод расчета переходных процессов

или при нулевых начальных условиях

Операторный метод расчета переходных процессов Отсюда операторное сопротивление катушки индуктивности

Операторный метод расчета переходных процессов Аналогично для интеграла: если Операторный метод расчета переходных процессов С учетом ненулевых начальных условий для напряжения на конденсаторе можно записать:

Операторный метод расчета переходных процессов Тогда

Операторный метод расчета переходных процессов

или при нулевых начальных условиях

Операторный метод расчета переходных процессов

откуда операторное сопротивление конденсатора

Операторный метод расчета переходных процессов

Закон Ома в операторной форме

Пусть имеем некоторую ветвь т-п (см. рис. 1), выделенную из некоторой

сложной цепи. Замыкание ключа во внешней цепи приводит к переходному процессу, при этом начальные условия для тока в ветви и напряжения на конденсаторе в общем случае ненулевые.

Для мгновенных значений переменных можно записать:

Операторный метод расчета переходных процессов Тогда на основании приведенных выше соотношений получим:

Операторный метод расчета переходных процессов Отсюда

Операторный метод расчета переходных процессов

где Операторный метод расчета переходных процессов - операторное сопротивление рассматриваемого участка цепи.

Следует обратить внимание, что операторное сопротивление Операторный метод расчета переходных процессов соответствует комплексному сопротивлению Операторный метод расчета переходных процессовветви в цепи синусоидального тока при замене оператора р на Операторный метод расчета переходных процессов.

Уравнение (2) есть математическая запись закона Ома для участка цепи с источником ЭДС в операторной форме. В соответствии с ним для ветви на рис. 1 можно нарисовать операторную схему замещения, представленную на рис. 2.

Операторный метод расчета переходных процессов

Законы Кирхгофа в операторной форме

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма изображений токов, сходящихся в узле, равна нулю

Операторный метод расчета переходных процессов

Второй закон Кирхгофа:алгебраическая сумма изображений ЭДС, действующих в контуре, равна алгебраической сумме изображений напряжений на пассивных элементах этого контура

Операторный метод расчета переходных процессов При записи уравнений по второму закону Кирхгофа следует помнить о необходимости учета ненулевых начальных условий (если они имеют место). С их учетом последнее соотношение может быть переписано в развернутом виде

Операторный метод расчета переходных процессов В качестве примера запишем выражение для изображений токов в цепи на рис. 3 для двух случаев: 1- Операторный метод расчета переходных процессов ;2-Операторный метод расчета переходных процессов В первом случае в соответствии с законом Ома Операторный метод расчета переходных процессов Тогда

Операторный метод расчета переходных процессов

и

Операторный метод расчета переходных процессов Во втором случае, т.е. при Операторный метод расчета переходных процессов, для цепи на рис. 3 следует составить операторную схему замещения, которая приведена на рис. 4. Изображения токов в ней могут быть определены любым методом расчета линейных цепей, например, методом контурных токов:

Операторный метод расчета переходных процессов

откуда Операторный метод расчета переходных процессов

Что такое теоретические основы электротехники (ТОЭ) вы узнаете по этой ссылке:

Переход от изображений к оригиналам

Переход от изображения искомой величины к оригиналу может быть осуществлен следующими способами:

1. Посредством обратного преобразования Лапласа

Операторный метод расчета переходных процессов которое представляет собой решение интегрального уравнения (1) и сокращенно записывается, как:

Операторный метод расчета переходных процессов На практике этот способ применяется редко.

2. По таблицам соответствия между оригиналами и изображениями

В специальной литературе имеется достаточно большое число формул соответствия, охватывающих практически все задачи электротехники. Согласно данному способу необходимо получить изображение искомой величины в виде, соответствующем табличному, после чего выписать из таблицы выражение оригинала.

Операторный метод расчета переходных процессов Например, для изображения тока в цепи на рис. 5 можно записать

Операторный метод расчета переходных процессов Тогда в соответствии с данными табл. 1

Операторный метод расчета переходных процессов что соответствует известному результату.

3. С использованием формулы разложения

Пусть изображение Операторный метод расчета переходных процессов искомой переменной определяется отношением двух полиномов

Операторный метод расчета переходных процессов где Операторный метод расчета переходных процессов.

Это выражение может быть представлено в виде суммы простых дробей

Операторный метод расчета переходных процессов где Операторный метод расчета переходных процессов - к-й корень уравнения Операторный метод расчета переходных процессов.

Для определения коэффициентов Операторный метод расчета переходных процессов, умножим левую и правую части соотношения (3) на ( Операторный метод расчета переходных процессов ):

Операторный метод расчета переходных процессов При Операторный метод расчета переходных процессов

Операторный метод расчета переходных процессов Рассматривая полученную неопределенность типа 0/0 по правилу Лопиталя, запишем

Операторный метод расчета переходных процессов Таким образом,

Операторный метод расчета переходных процессов

Поскольку отношение Операторный метод расчета переходных процессов есть постоянный коэффициент, то учитывая, что Операторный метод расчета переходных процессов, окончательно получаем

Операторный метод расчета переходных процессов Соотношение (4) представляет собой формулу разложения. Если один из корней уравнения Операторный метод расчета переходных процессов равен нулю, т е Операторный метод расчета переходных процессов , то уравнение (4) сводится к виду

Операторный метод расчета переходных процессов В заключение раздела отметим, что для нахождения начального Операторный метод расчета переходных процессов и конечного Операторный метод расчета переходных процессов значений оригинала можно использовать предельные соотношения

Операторный метод расчета переходных процессов которые также могут служить для оценки правильности полученного изображения.