Окрестности в метрическом пространстве. Свойство отделимости. Шар конечного радиуса

Окрестности в метрическом пространстве. Свойство отделимости. Шар конечного радиуса

Окрестности в метрическом пространстве. Свойство отделимости. Шар конечного радиуса

Окрестности в метрическом пространстве. Свойство отделимости. Шар конечного радиуса

Окрестности в метрическом пространстве. Свойство отделимости. Шар конечного радиуса

Окрестности в метрическом пространстве. Свойство отделимости. Шар конечного радиуса

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Решение задач по математике

Понятие окрестности в произвольном метрическом про-странстве является обобщением аналогичного понятия для точки числовой прямой. Пусть е — некоторое положительное число (е > 0) и а — точка некоторого метрического пространства М (а £ М)). Определение 5.2. Множество называют е-окрестностью точки а. С позиций геометрии множество U(a, е) естественно назвать шаром (точнее, открытым шаром) радиуса е, причем точка а есть центр этого шара.

Множество точек я, Удовлетворяющих неравенству Называют замкнутым шаром радиуса г с центром в точке Наконец, точки, находящиеся на расстоянии г от точки а, Так что р(а, х) = г, образуют сферу радиуса г с центром в точке а. Итак, ^-окрестность точки а в метрическом пространстве есть открытый шар радиуса е с центром в этой точке. В частности, ё-окрестность точки а в R для любой из метрик вида (5.2) и (5.3) представляет собой на числовой прямой интервал с центром в а длины 2е.

На плоскости ^-окрестность точки а € R2 в случае метрики (5.2) есть круг (открытый, без ограничивающей его окружности) радиуса е с центром в этой точке (рис. 5.1,а), а в случаях (5.3) — квадраты (без граничного контура) соответственно со стороной (рис. 5.1,5) и диагональю (рис. 5.1,в), равными 2е. В трехмерном пространстве е-окрестностыо точки а € R3 для метрики (5.2) будет шар (без ограничивающей сферы) радиуса е с центром в этой точке (рис. 5.2,а), а для метрик (5.3) — соответственно куб с ребром 2е (рис. 5.2,6) и октаэдр с диагональю 2е (рис. 5.2,б), так что термин „открытый шар" не нужно понимать буквально.

Пусть теперь U(a, £1) и U(a, £2) —две ^-окрестности од-0ОЙ и той же точки а некоторого метрического пространства. Выбрав нумерацию так, чтобы min{£i, £2} = £1» окрестность U(a, ei) можно включить в U(a, €2) и потому т.е. пересечение любых двух е-окрестностей одной и той же точки есть е-окрестность этой точки. Окрестности в метрическом пространстве, свойство отделимости, шар конечного радиуса.

Теорема 5.1 (свойство отделимости). Для любых двух различных точек х и у некоторого метрического пространства существуют ^-окрестности U(z, е) и U (у, е), имеющие пустое пересечение. 4 Согласно аксиоме а) из определения 5.1 метрического пространства, при х ф у р(х, у) > 0. Положим />(я, у) = Зе. Тогда U (s, е) DU (у, е) = 0. В самом деле, если бы это пересечение содержало какую-нибудь точку г, то с учетом аксиомы в) из определения 5.1 и определения 5.2 е-окрестности мы имели бы , а это невозможно.

Свойство отделимости, принятое как аксиома, выделяет класс пространств, называемых хаусдорфовыми по имени немецкого математика Ф. Хаусдорфа (1868-1942).

Определение 5.3. Множество U С М называют открытым, если оно вместе с каждой своей точкой содержит некоторую ^-окрестность этой точки. Термины „открытый промежуток открытый шар" уже использовались ранее. То, что это было оправдано, доказывает следующая теорема. Теорема 5.2. Открытый шар U = {я € М: р(а, х) par диуса г с центром в точке а метрического пространства М есть открытое множество. Пусть xq € U, так что р(а, Жо) = г0 .

Рассмотрим е-ок-рестность U (а?о, е) точки xq радиуса е — го. Эта е-ок-рестность в силу определения 5.2 будет целиком включена в U. В самом деле1 для любого х 6 V(xq, е) по неравенству треугольника имеем Таким образом, открытый шар вместе с любой своей точкой xq включает и некоторую е-окрестность этой точки, что соответствует определению 5.3 открытого множества. Определение 5.4.

Любое открытое множество метрического пространства М, содержащее точку xq, называют окрестностью этой точки и обозначают обычно U(aro)- Согласно теореме 5.2 любая ^-окрестность U (а?о, £) точки х0 является открытым множеством, содержащим эту точку, а потому окрестностью точки xq. Очевидно, что любая окрестность U(zo) точки xq , согласно определению 5.3 открытого множества, включает некоторую ^-окрестность U(a?o, е) этой точки.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Моменты инерции относительно параллельных осей
Сложное сопротивление
Взаимное положение двух прямых
Внутренняя и внешняя энергии

В силу такой взаимосвязи все утверждения, касающиеся окрестностей точек метрического пространства, достаточно формулировать и доказывать только для е-окрестностей рассматриваемых точек. Утверждать, что объединение любой совокупности окрестностей точки xq и пересечение конечного числа окрестностей этой точки есть окрестность точки xq} позволяет следующая теорема. Теорема 5.3. Объединение любой совокупности открытых множеств и пересечение любой конечной совокупности открытых множеств являются открытыми множествами. Окрестности в метрическом пространстве, свойство отделимости, шар конечного радиуса.

То, что объединение открытых множеств является открытым, следует непосредственно из определения 5.3 открытого множества. Пусть точка xq принадлежит открытым множествам Ui, U2, Un и входит в первое из них вместе со своей -окрестностью U(a?o, £i), во второе — с ^-окрестностью U(zo» £2) и т.д. Тогда е-окрестность U(xo, £) этой точки, где е = min{£iv е2, £п}» содержится в каждом из множеств Ui,U2, Un и, следовательно, содержится в их пересечении.

Таким образом, пересечение конечной совокупности открытых множеств вместе с любой своей точкой хо содержит и некоторую ^-окрестность этой точки, что отвечает определению 5.3 открытого множества. Определение б.б. Множество АС М метрического пространства М называют ограниченным, если расстояния от какой-либо точки хо € М до каждой из точек этого множества ограничены некоторой постоянной С , т.е. если Если выполнено (5.5), то ограничены расстояния между любыми двумя точками а\ и а2 из А.

Действительно, вследствие неравенства

треугольника Ясно, что множество АС М будет неограниченным, если для любого сколь угодно большого действительного числа С > > 0 в А существует пара точек 01,02, для которых р(а\% а2) > > С. В этом случае и для любой фиксированной точки xq бМ при любом С > О можно найти точку a G А} для которой р(х0, а) > С.

Для ограниченного множества А рассматривают величину diamA = sup р(а\%а2)% aj MSA которую называют диаметром этого множества. Итак, все точки ограниченного множества АС М содержатся внутри шара конечного радиуса с центром в некоторой точке хо метрического пространства М. Поэтому можно сформулировать определение, эквивалентное определению 5.5. Определение б.в. Множество АС М называют ограниченным, если все его точки содержатся в некотором шаре конечного радиуса (или если множество А включено в такой шар).

Окрестности в метрическом пространстве, свойство отделимости, шар конечного радиуса. Отметим, что для множества А С R точек числовой прямой сформулированные определения ограниченности равносильны определению 2.5 ограниченного подмножества упорядоченного множества. Определения 5.5 и 5.6 означают, что ограниченное множество А С R включено в некоторый конечный отрезок числовой прямой.