Односторонняя непрерывность. Точки разрыва

Односторонняя непрерывность. Точки разрыва

Односторонняя непрерывность. Точки разрыва

Односторонняя непрерывность. Точки разрыва

Односторонняя непрерывность. Точки разрыва

Односторонняя непрерывность. Точки разрыва

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Решение задач по математике

Пусть функция f(x) определена, по крайней мере, в правой (левой) полуокрестности точки а 6 R числовой прямой. Определение 0.5. Функцию f(x) называют непрерывной справа в точке а, если в этой точке существует конечный правый предел функции и он совпадает с ее значением /(а), т.е. если Аналогично определяют функцию, непрерывную слева в точке а, как функцию, для которой Если функция определена на отрезке [о, 6], то по отношению к его граничным точкам а и b можно говорить лишь о непрерывности функции справа в точке а или слева в точке 6.

Непрерывность функции в любой внутренней точке промежутка равносильна непрерывности функции в такой точке справа и слева, поскольку существование предела в точке равносильно существованию и равенству правого и левого пределов в этой точке (см. теорему 7.1). Односторонняя непрерывность.

Точки разрыва Точку, в которой функция непрерывна, называют точкой непрерывности этой функции. В точке а непрерывности функции f(x) должны быть выполнены все следующие условия: 1) функция определена в точке а и некоторой ее окрестности; 2) существуют оба односторонних предела функции в точке а и они конечны; 3) оба односторонних предела функции в точке о совпадают, т.е. /(а-0) = /(а + 0); 4) совпадающие односторонние пределы функции в точке а равны значению функции в этой точке, т.е.

Определение 9.6. Функцию, не являющуюся непрерывной в точке а € R, называют разрывной в этой точке, а саму точку а — точкой разрыва этой функции. Говоря о точке а как о точке разрыва, будем предполагать, что любая сколь угодно малая ее окрестность содержит точки из области определения функции /(х), отличные от а (т.е. точка а , по определению 5.10, является предельной для области определения этой функции).

Такое требование к точке а не исключает возможность того, что функция f(x) определена, в частности, или в некоторой окрестности точки о, или в полуокрестности этой точки, или в проколотой окрестности, или, наконец, в проколотой полуокрестности точки а.

Односторонняя непрерывность. Точки разрыва Сопоставляя определение 9.6 с предшествующими ему условиями 1-4 непрерывности функции в точке, можно усмотреть, при каких обстоятельствах функция разрывна в точке а, или, как иногда говорят, функция терпит разрыв в точке а. Определение 9.7. Точкой разрыва первого рода называют такую точку разрыва функции, в которой существуют оба односторонних предела этой функции и они конечны.

Итак, для точки разрыва первого рода выполнено, по крайней мере, условие 2 непрерывности функции в точке (рис. 9.4). Разность /(о -|-0) - /(а — 0) конечна, и ее называют скачком функции в точке разрыва первого рода, а про функцию иногда говорят, что она терпит разрыв с конечным скачком. Если скачок равен нулю (см. рис. 9.4, г и д)} т.е. в точке о выполнено еще и условие 3 непрерывности функции, а поэтому существует конечный предел функции в этой точке, то имеем точку устранимого разрыва.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Каркас это несущая конструкция здания. Вертикальные и горизонтальные нагрузки
Предел сложной функции
Примеры расчетов при растяжении (сжатии)
Дифференцируемость функции. Дифференциал функции

Если в этом случае для функции д(х), совпадающей в некоторой проколотой окрестности точки а с /(я), положить, согласно (9.15), д(а) = /(а + 0) = /(а-0), то ^(ж) будет непрерывна в точке а, поскольку все условия 1-4 непрерывности функции в точке а будут выполнены. Про возможность введения такой непрерывной функции д(х) говорят, что разрыв непрерывности f(x) в точке а можно устранить.

Замечание 9.1. Может случиться, что все точки области определения функции в некоторой окрестности точки а лежат по одну сторону от точки а. В этом случае рассматривают только один из односторонних пределов, указанных в определении 9.7. Например, согласно такой договоренности, точку х = 0, как правило, не называют точкой разрыва функции у = sfx, а говорят, что эта функция непрерывна в данной точке справа. Пример 9.5.

Функция д(х) = (sinz)/z не определена

в точке х = 0, но из (7.36) с учетом теоремы 7.1 имеем д(-f0) = Следовательно, х=0 — точка устранимого разрыва этой функции. Доопределим функцию д(х) по условию (9.15), положив «/(О) = 1 и записав [ 1 при х = 0. Тогда функция 7(3) будет непрерывна в точке х = 0 (рис. 9.5). Все точки разрыва функции, не являющиеся точками разрыва первого рода, относят к точкам разрыва второго рода.

Учитывая определение 9.7 точки разрыва первого рода, сформулируем следующее определение. Определение 0.8. Точкой разрыва второго рода называют такую точку разрыва функции, в которой хотя бы один из односторонних пределов функции бесконечен или не существует. Пример 9.6. Определим точки разрыва и выясним их характер для следующих функций. а. у = 1/х.

Эта функция непрерывна при любом х ф 0. Найдем односторонние пределы этой функции в точке х = 0: Односторонняя непрерывность. Точки разрыва Оба односторонних предела не являются конечными, т.е., по определению 9.8, х = 0 — точка разрыва второго рода (см. рис. 7.7). б. у = а1^г при .

Функция непрерывна при любом х ф 0 ив силу (7.17) у +0 при х +0, а при х -4 -0 у + оо. По определению 9.8, х = 0 является точкой разрыва второго рода (см. рис. 7.9). в. y = 8in(l/x). В точке г = 0 не существуют ни двусторонний, ни односторонние пределы (см. пример 7.5). По определению 9.8, х = 0 является точкой разрыва второго рода (см. рис.