Односторонние пределы, правосторонний предел, левосторонний

Содержание:

  1. Правосторонний предел функции
  2. Пример 7.3. а:

Односторонние пределы, правосторонний предел, левосторонний

Односторонние пределы, правосторонний предел, левосторонний

Односторонние пределы, правосторонний предел, левосторонний

Односторонние пределы, правосторонний предел, левосторонний

Односторонние пределы, правосторонний предел, левосторонний

 

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Решение задач по математике

 

определении предела функции f(x) в конечной точке а б R не было наложено никаких ограничений на закон изменения аргумента х 6 R при х а в пределах проколотой окрестности этой точки. Но точка а может не иметь проколотой окрестности в области D(f) определения функции (например, для функции . Тогда изменение аргумента х при х а имеет смысл лишь в расположенной по одну сторону от точки а проколотой полуокрестности этой точки.

Но даже в случае, когда функция определена в проколотой окрестности точки а, для анализа особенностей поведения функции при х а бывает целесообразно ограничить „свободу" изменения аргумента х одной из проколотых полуокрестностей этой точки. Такое ограничение приводит к понятию одностороннего предела. Пусть область определения функции f(x) включает не- которую левую проколотую полуокрестность , конечной точки a £ R. Определение 7.7.

Точку 6 € R расширенной числовой прямой называют левосторонним пределом функции f(x) в точке а и пишут lim Qf{x) = Ь (или f(x) b при х а - 0), если, какова бы ни была окрестность V(ft) точки 6, найдется положительное число S, такое, что для всех точек проколотой левой полуокрестности (а - 8У а) точки а значения функции принадлежат окрестности V(b), или Ясно, что определение 7.7 можно конкретизировать для случаев, когда точка Ь конечна или не является таковой, как это сделано в (7.3), (7.8) и (7.9).

Правосторонний предел функции

Аналогично определяют правосторонний предел функции в точке а, когда область определения этой функции включает правую проколотую Односторонние пределы, правосторонний предел, левосторонний полуокрестность U+(a) = (a, a-f Л) точки a6R при Л>0. Односторонние пределы для краткости часто называют просто левым и правым и для их значений используют обозначения Чтобы отличить от односторонних, пределы в (7.3), (7.8) и (7.9) называют двусторонними.

Связь между существованием двустороннего и односторонних пределов функции в точке устанавливает следующая теорема.

Теорема 7.1. Точка Ь € R является двусторонним пределом функции f(x) в конечной точке а £ R тогда и только тогда, когда b является и левым, и правым пределами этой функции в точке а, или ^ Предположим сначала, что в точке а существует двусторонний предел функции f(x) и этим пределом является точка Ь. Тогда, согласно определению 7.1, какова бы ни была окрест- ность V(6) точки bf существует проколотая окрестность U(a) о точки a , такая, что /(U(a)) с V(6).

Стало быть, существует при S > 0 левая полуокрестность (а - 6, а), такая, что f(x) € V(6) для всех х € (а - 5, а). По определению 7.7, это означает, что существует левый предел /(а - 0) и им является точка 6. Подобно этому заключаем, что существует и правый предел /(а + 0) и им также является точка b. Предположим теперь, что существуют пределы /(а - 0) и /(а + 0) и каждым из них является точка Ь.

По определению 7.7, это означает, что, какова бы ни была окрестность V(6) точки 6, существуют при 8\ > 0 и > 0 проколотые левая (a-£i,a) и правая (а, а-Мг) полуокрестности точки Таким образом, имеем проколотую окрестность U(a) точки Односторонние пределы, правосторонний предел, левосторонний a , такую, что /(U(a)) € V(6). Согласно определению 7.1 это означает, что точка b является двусторонним пределом данной функции в точке а.

 

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Коррозия металлов и сплавов
Допускаемые напряжения условие прочности
Выберем систему координат. Искомое расстояние. Проекция ускорения
Площадь криволинейной трапеции 2

 

Отметим, что пределы lim f(x) и lim f(x) часто считают односторонними пределами функции f(x) при х оо и в случае их равенства обозначают "двусторонним" пределом lim f(x), что формально не противоречит теореме 7.1. И обратно, если существует предел функции при х оо, то существуют равные ему пределы этой функции при х -оо и х -foo.

При необходимости более детального

изучения поведения функции в окрестности точки а € R расширенной числовой прямой вводят в рассмотрение верхнюю V+(6) и нижнюю V - (6) полуокрестности точки Ъ € R. Ясно, что для конечной точки b 6 R при е > О Пусть область определения функции f(x) включает неко- торую проколотую окрестность U(a) точки a€ R. Определение 7.8.

Функцию f(x) называют стремящейся к точке б€ R сверху при стремлении аргумента х к точке а£К и пишут lim f(x) = 6 + 0 (или f(x)->b+ О при х а), если, какова бы ни была верхняя полуокрестность V+(b) точки 6, найдется проколотая окрестность U (а) точки а , такая, что для всех ее точек значения функции принадлежат V+(fc), или . Вместо (7.15) в случае конечной точки а можно написать На рис. 7.8 показано, как выбрать 6 = min {а - х\, xi - а}, чтобы удовлетворить условию определения 7.8.

Аналогичным обраг зом можно сформулировать определе- у ния, соответствующие обозначениям и им подобным. Окрестности бесконечных точек +оо и -оо расширенной числовой прямой можно считать соответственно нижней V_(oo) = V(+oc) и верхней V+(oo) = = V(-oo) полуокрестностями для оо.

Тогда функцию /(х), удовлетворяющую определению 7.4, следует назвать стремящейся к оо снизу при х а, поскольку при изменении х значения функции остаются в нижней полуокрестности V_(oo), а в случае lim f(x) = -оо можно говорить о стремлении функции f(x) к оо сверху при х -> а, так как при изменении х значения функции остаются в верхней полуокрестности V+(oo). Случаи lim f(x) = +оо и lim f(x) = -оо соответствуют стремлению функции к оо снизу и сверху при стремлении аргумента х к оо слева, а случаи lim при стремлении аргумента г к оо справа.

Пример 7.3. а:

Покажем, что при т.е. что функция а1/* стремится к нулю сверху при стремлении аргумента х к нулю справа и стремится к +оо (к оо снизу) при стремлении х к нулю слева. Рассмотрим произвольное число е 6 (О, 1) и предположим, что . Йтак, а это и означает, что первое равенство в (7.17) верно. Теперь при произвольном Е > 1 предположим, что .

Тогда Это означает справедливость и второго равенства в (7.17). Поведение функции а1/* в окрестности точки я = 0 иллюстрирует рис. 7.9. б. Убедимся, что т.е. функция arctg(l/ar) стремится к тг/2 снизу при стремлении х к нулю справа. При произвольном € > 0 предположим, что справедливо неравенство тг. Функция tgx возрастает в интервале (0, тг/2). Поэтому при выполнении предыдущего условия . Итак, Односторонние пределы, правосторонний предел, левосторонний а это и означает, что (7.18) верно.

Отметим, что для доказательства того или иного предельного соотношения мы предполагаем выполнение требуемого в определении предела неравенства (вида т.п.) и находим ограничения, которые следует наложить на изменение аргумента х. Эти ограничения позволяют выбрать значения S (или М), о которых идет речь в соответствующих определениях предела, а затем ^обратным ходом убеждаемся, что при выбранных 6 (или М) справедливы требуемые неравенства для функции.