Односторонние пределы, правосторонний предел, левосторонний
Содержание:
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:
Решение задач по математике |
определении предела функции f(x) в конечной точке а б R не было наложено никаких ограничений на закон изменения аргумента х 6 R при х а в пределах проколотой окрестности этой точки. Но точка а может не иметь проколотой окрестности в области D(f) определения функции (например, для функции . Тогда изменение аргумента х при х а имеет смысл лишь в расположенной по одну сторону от точки а проколотой полуокрестности этой точки.
Но даже в случае, когда функция определена в проколотой окрестности точки а, для анализа особенностей поведения функции при х а бывает целесообразно ограничить „свободу" изменения аргумента х одной из проколотых полуокрестностей этой точки. Такое ограничение приводит к понятию одностороннего предела. Пусть область определения функции f(x) включает не- которую левую проколотую полуокрестность , конечной точки a £ R. Определение 7.7.
Точку 6 € R расширенной числовой прямой называют левосторонним пределом функции f(x) в точке а и пишут lim Qf{x) = Ь (или f(x) b при х а - 0), если, какова бы ни была окрестность V(ft) точки 6, найдется положительное число S, такое, что для всех точек проколотой левой полуокрестности (а - 8У а) точки а значения функции принадлежат окрестности V(b), или Ясно, что определение 7.7 можно конкретизировать для случаев, когда точка Ь конечна или не является таковой, как это сделано в (7.3), (7.8) и (7.9).
Правосторонний предел функции
Аналогично определяют правосторонний предел функции в точке а, когда область определения этой функции включает правую проколотую Односторонние пределы, правосторонний предел, левосторонний полуокрестность U+(a) = (a, a-f Л) точки a6R при Л>0. Односторонние пределы для краткости часто называют просто левым и правым и для их значений используют обозначения Чтобы отличить от односторонних, пределы в (7.3), (7.8) и (7.9) называют двусторонними.
Связь между существованием двустороннего и односторонних пределов функции в точке устанавливает следующая теорема.
Теорема 7.1. Точка Ь € R является двусторонним пределом функции f(x) в конечной точке а £ R тогда и только тогда, когда b является и левым, и правым пределами этой функции в точке а, или ^ Предположим сначала, что в точке а существует двусторонний предел функции f(x) и этим пределом является точка Ь. Тогда, согласно определению 7.1, какова бы ни была окрест- ность V(6) точки bf существует проколотая окрестность U(a) о точки a , такая, что /(U(a)) с V(6).
Стало быть, существует при S > 0 левая полуокрестность (а - 6, а), такая, что f(x) € V(6) для всех х € (а - 5, а). По определению 7.7, это означает, что существует левый предел /(а - 0) и им является точка 6. Подобно этому заключаем, что существует и правый предел /(а + 0) и им также является точка b. Предположим теперь, что существуют пределы /(а - 0) и /(а + 0) и каждым из них является точка Ь.
По определению 7.7, это означает, что, какова бы ни была окрестность V(6) точки 6, существуют при 8\ > 0 и > 0 проколотые левая (a-£i,a) и правая (а, а-Мг) полуокрестности точки Таким образом, имеем проколотую окрестность U(a) точки Односторонние пределы, правосторонний предел, левосторонний a , такую, что /(U(a)) € V(6). Согласно определению 7.1 это означает, что точка b является двусторонним пределом данной функции в точке а.
Возможно вам будут полезны данные страницы:
Коррозия металлов и сплавов |
Допускаемые напряжения условие прочности |
Выберем систему координат. Искомое расстояние. Проекция ускорения |
Площадь криволинейной трапеции 2 |
Отметим, что пределы lim f(x) и lim f(x) часто считают односторонними пределами функции f(x) при х оо и в случае их равенства обозначают "двусторонним" пределом lim f(x), что формально не противоречит теореме 7.1. И обратно, если существует предел функции при х оо, то существуют равные ему пределы этой функции при х -оо и х -foo.
При необходимости более детального |
изучения поведения функции в окрестности точки а € R расширенной числовой прямой вводят в рассмотрение верхнюю V+(6) и нижнюю V - (6) полуокрестности точки Ъ € R. Ясно, что для конечной точки b 6 R при е > О Пусть область определения функции f(x) включает неко- торую проколотую окрестность U(a) точки a€ R. Определение 7.8.
Функцию f(x) называют стремящейся к точке б€ R сверху при стремлении аргумента х к точке а£К и пишут lim f(x) = 6 + 0 (или f(x)->b+ О при х а), если, какова бы ни была верхняя полуокрестность V+(b) точки 6, найдется проколотая окрестность U (а) точки а , такая, что для всех ее точек значения функции принадлежат V+(fc), или . Вместо (7.15) в случае конечной точки а можно написать На рис. 7.8 показано, как выбрать 6 = min {а - х\, xi - а}, чтобы удовлетворить условию определения 7.8.
Аналогичным обраг зом можно сформулировать определе- у ния, соответствующие обозначениям и им подобным. Окрестности бесконечных точек +оо и -оо расширенной числовой прямой можно считать соответственно нижней V_(oo) = V(+oc) и верхней V+(oo) = = V(-oo) полуокрестностями для оо.
Тогда функцию /(х), удовлетворяющую определению 7.4, следует назвать стремящейся к оо снизу при х а, поскольку при изменении х значения функции остаются в нижней полуокрестности V_(oo), а в случае lim f(x) = -оо можно говорить о стремлении функции f(x) к оо сверху при х -> а, так как при изменении х значения функции остаются в верхней полуокрестности V+(oo). Случаи lim f(x) = +оо и lim f(x) = -оо соответствуют стремлению функции к оо снизу и сверху при стремлении аргумента х к оо слева, а случаи lim при стремлении аргумента г к оо справа.
Пример 7.3. а:
Покажем, что при т.е. что функция а1/* стремится к нулю сверху при стремлении аргумента х к нулю справа и стремится к +оо (к оо снизу) при стремлении х к нулю слева. Рассмотрим произвольное число е 6 (О, 1) и предположим, что . Йтак, а это и означает, что первое равенство в (7.17) верно. Теперь при произвольном Е > 1 предположим, что .
Тогда Это означает справедливость и второго равенства в (7.17). Поведение функции а1/* в окрестности точки я = 0 иллюстрирует рис. 7.9. б. Убедимся, что т.е. функция arctg(l/ar) стремится к тг/2 снизу при стремлении х к нулю справа. При произвольном € > 0 предположим, что справедливо неравенство тг. Функция tgx возрастает в интервале (0, тг/2). Поэтому при выполнении предыдущего условия . Итак, Односторонние пределы, правосторонний предел, левосторонний а это и означает, что (7.18) верно.
Отметим, что для доказательства того или иного предельного соотношения мы предполагаем выполнение требуемого в определении предела неравенства (вида т.п.) и находим ограничения, которые следует наложить на изменение аргумента х. Эти ограничения позволяют выбрать значения S (или М), о которых идет речь в соответствующих определениях предела, а затем ^обратным ходом убеждаемся, что при выбранных 6 (или М) справедливы требуемые неравенства для функции.