Область определения функции

Содержание:

1. Область определения функции
2. Примеры с решением

Функции являются одним из наиболее важных математических понятий. Напомним, что функции вызывают такие зависимости переменных от переменной при которой каждому значению переменной соответствует единственное значение переменной

Переменную называют независимой переменной или аргументом. Переменную называют зависимой переменной. Говорят также, что переменная является функцией от переменной Значения зависимой переменной называют значениями функции.

Если зависимость переменной от переменной является функцией, то коротко это записывают так: (Читают: равно от ) Символом обозначают значение функции, соответствующее значению аргумента, равному

Пусть, например, функция задается формулой Тогда можно записать, что Найдем значения функции для значений равных, например, т. е. найдем

Заметим, что в записи вида вместо употребляют и другие буквы: и т. п.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Высшая математика: лекции, формулы, теоремы, примеры задач с решением

Все значения независимой переменной образуют область определения функции. Все значения которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции.

Если функция задана формулой и ее область определения не указана, то считают, что область определения функции состоит из всех значений аргумента, при которых формула имеет смысл. Например, областью определения функции является множество всех чисел; областью определения функции служит множество всех чисел, кроме

Область определения функции, описывающей реальный процесс, зависит от конкретных условий его протекания. Например, зависимость длины железного стержня от температуры нагревания выражается формулой где — начальная длина стержня, а — коэффициент линейного расширения. Указанная формула имеет смысл при любых значениях

Однако областью определения функции является промежуток в несколько десятков градусов, для которого справедлив закон линейного расширения.

Напомним, что график функции - это множество всех точек в координатной плоскости, абсцисса равна значению аргумента, а ордината - это соответствующее значение функции.

На рисунке 1 изображен график функции областью определения которой является промежуток С помощью графика можно найти, например, что Наименьшее значение функции равно а наибольшее равно при этом любое число от до является значением данной функции. Таким образом, областью значений функции служит промежуток

Мы изучили некоторые важные виды функций: линейную функцию, т. е. функцию, задаваемую формулой где и — некоторые числа; прямую пропорциональность — это частный случай линейной функции, она задается формулой обратную пропорциональность — функцию

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Обратная матрица примеры решения

Определенный интеграл примеры решений

Нормальное распределение примеры решения

Пределы функций примеры решения

Область определения функции

Областью определения функции называется совокупность значений независимой переменной, при которых эта функция определена, т. е. область изменения независимой переменной (п. 1.5). Обычно эта переменная является непрерывной, и тогда, как было указано в п. 1.5, эта область определения состоит из одного или нескольких интервалов.

В некоторых случаях область определения функции выясняется из физического или геометрического смысла этой функции. Например, если рассматривать зависимость площади круга от длины его радиуса, то областью определения этой функции будет интервал так как по геометрическому смыслу может принимать именно такие значения.

Если рассматривается зависимость плотности р атмосферы надданной точкой земной поверхности от высоты над уровнем моря, то областью определения этой функции будет интервал где — высота земной поверхности, а — условная высота, принимаемая за границу атмосферы, и т. д. Если функция задана просто формулой, то областью определения служит совокупность значений аргумента, при которых формула дает определенное вещественное (действительное) значение функции. (Мы пока будем рассматривать только вещественные функции от вещественного аргумента, т. е. функции, у которых зависимая и независимая переменные принимают лишь вещественные значения.)

Например, если то может принимать любые значения, т. е. областью определения служит вся числовая ось Если то при вычислении у встретится препятствие в извлечении корня, если окажется, что значит, должно быть а это справедливо при или т. е. область определения в данном случае состоит из двух интервалов: (на рис. 1.10 эта область заштрихована).

При нахождении области определения в аналогичных случаях надо выяснить, что может препятствовать получению значения функции, после чего выписывать неравенства (как в последнем примере ), гарантирующие возможность этого получения. Тогда задача сведется к решению этих неравенств.

Если независимая переменная дискретна, то область определения функции состоит из дискретных (отдельных)точек. Например, если то может принимать только значения 1,2, 3,... Если, как в этом примере, дискретный аргумент принимает лишь целые значения, то обычно его обозначают не а буквами и т. п., а вместо пишут и говорят, что дана последовательность; например, последовательностью служит геометрическая прогрессия и т. п. График функции от дискретного аргумента не является линией, а состоит из дискретных точек (рис. 1.11).

Область изменения самой функции называется иначе множеством значений этой функции. Например, для функции областью определения служит интервал а множеством значений — интервал так как в данном случае принимает только такие значения.Выяснение области определения функции важно для построения ее графика, так как эта область — это та часть оси абсцисс, над или под которой пройдет график; точнее говоря, это — проекция графика на ось абсцисс. На рис. 1.12 показаны три простых графика; области определения этих функций заштрихованы. Ясно, что если область определения состоит из нескольких частей, то и график состоит из нескольких кусков.

Если функция задана аналитическим выражением (формулой) без каких-либо дополнительных условий, то под ее областью определения понимают область существования аналитического выражения, т. е. совокупность всех точек, в которых данное аналитическое выражение определено и принимает только действительные значения. Область называется замкнутой, если она включает в себя все свои границы.

Область определения функции 3 переменных представляет собой некоторую пространственную область, в частности некоторый объем. Площадь равна определенным интеграл от функции чьи пределы интеграции являются перехватами.

Если функция положительна на интервале и график функции выше осей, то площадь от функции может быть определена.

Примеры с решением

Пример 1.

Указать область определения функции, выражающей объем кругового конуса через образующую и радиус основания

Решение:

Функция, найденная в примере 1 (п. 3.1), выглядит так: По смыслу задачи переменные и могут принимать только положительные значения, и при этом всегда так как гипотенуза больше катета (рис. 3.2). Следовательно, область определения задается неравенствами т. е. состоит из всех тех точек первой четверти на плоскости которые лежат ниже биссектрисы (рис. 3.3). Границами области служат прямые

которые сами в область не входят, так что эта область незамкнутая.

Пример 2.

Найти область определения функции

Решение:

Поскольку никаких дополнительных ограничений на аргументы и не наложено, область определения будет состоять из всех тех точек плоскости, для которых данное аналитическое выражение принимает действительные значения.

Для этого подкоренное выражение должно быть неотрицательным, т.е. или

Если оставить здесь только знак равенства, то получится уравнение границы области или Эта граница состоит из двух биссектрис координатных углов. Для внутренних точек области должно соблюдаться неравенство или Следовательно, эти точки расположены между биссектрисами ближе к оси так как — расстояние точки до оси и оно меньше расстояния точки до оси Таким образом, область состоит из всех точек 2 углов между биссектрисами заключающими внутри себя ось (рис. 3.4).

Область замкнутая, так как включает в себя обе свои границы.

Замечание.

Хотя аналитические выражения функции в примерах 1 и 2 одинаковые, их области определения разные. Па переменные и в примере 1 были наложены дополнительные условия вытекающие из их геометрического смысла.

Пример 3.

Найти область определения функции

Решение:

Выражение, стоящее справа, теряет смысл при тех значениях и при которых знаменатель обращается в нуль. Отсюда областью определения нашей функции является вся плоскость, из которой выброшена прямая (рис. 3.5).

Пример 4.

Найти область опреде-ления функции

Решение:

Для того чтобы квадратный корень имел вещественные значения, его подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Решая неравенство находим, что либо либо

Решением первой системы неравенств является Чтобы получить изображение искомой области на координатной плоскости, достаточно провести две прямые и Область состоит из 2 квадрантов с общей вершиной в точке (1, —2) (рис. З.б).

Пример 5.

Найти область определения функции

Решение:

Логарифм определен только при положительном значении его аргумента, поэтому или Чтобы изобразить геометрически область найдем сначала ее границу или Полученное уравнение определяет параболу, вершина которой расположена в точке а ось направлена в положительную сторону оси Точки пересечения параболы с осью получаются из условия откуда т.е. (рис.3.7).

Парабола делит всю плоскость на две части — внутреннюю и внешнюю по отношению к параболе. Для точек одной из этих частей выполняется неравенство а для другой (на самой параболе Чтобы установить, какая из этих 2 частей является областью определения данной функции, т.е. удовлетворяет условию достаточно проверить это условие для какой-нибудь одной точки, не лежащей на параболе.

Например, начало координат лежит внутри параболы и удовлетворяет нужному условию Следовательно, рассматриваемая область состоит из внутренних точек параболы. Сама парабола в область входить не может, так как для точек параболы и логарифм не определен.