ГОТОВЫЕ РЕШЕНИЯ В.Ф. Чудесенко Сборник Задачник

Готовые решения В.Ф. Чудесенко Сборник Задачник

 

 

Все задачи готовые, оформление подробное в Word.

 

*цена  за один готовый вариант -  750 рублей если не нашли готовой я могу решить в срок от 2 дней.

 

Вот готовые варианты которые решены 3, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 21, 23.

 



Инструкция как выкупить задачи;

1) напишите мне Вконтакт https://vk.com/id4171783 или на Почту 89650492597@mail.ru Номера вариантов которые вам нужны и я покажу 50% решения

2) Вносите деньги на мой мобильный телефон

3) отсылаю вам готовые задачи


 

 



Задача 1. Найти в указанной области отличные от тождественного нуля решения дифференциального уравнения, удовлетворяющие задан-ным краевым условиям (задача Штурма-Лиувилля): Решение. Уравнение задачи Штурма-Лиувилля – линейное однородного уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение имеет вид . Рассмотрим три случая. 1 случай. Пусть . Тогда уравнение имеет два действи-тельных корня , и общее решение уравнения есть Находим Тогда из краевых условий получим систему Условие существования нетривиального решения задачи Штурма-Лиувилля эквивалентно условию существования нетривиального решения этой системы, а условие нетривиальной разрешимости квадратной однород-ной системы – это равенство нулю её определителя. Итак, задача Штурма-Лиувилля при будет иметь нетривиальные решения тогда и только то-гда, когда Раскрывая определитель, получим уравнение Последнее уравнение решений не имеет, поскольку , а при всех . Значит, при не существует нетривиальных решений заданного дифференциального уравнения, удовлетворяющих заданным краевым усло-виям. 2 случай. Пусть . Общее решение уравнения в этом слу-чае есть Находим Тогда из краевых условий получим систему Поскольку то эта система имеет только тривиальное решение , а значит, при не существует нетривиальных решений заданного дифференциального уравнения, удовлетворяющих заданным краевым условиям. 3 случай. Пусть . Тогда уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня и общее решение уравнения есть Находим Готовые решения В.Ф. Чудесенко Сборник Задачник Тогда из краевых условий получим систему Требование нетривиальной разрешимости этой системы приводит к уравнению или, раскрывая определитель, откуда (с учётом того, что ) Итак, при , , существуют нетривиальные решения системы для определения , . Поскольку при этих определи-тель системы равен нулю, то второе уравнение системы пропорционально первому и система примет вид Тогда общее решение системы , , а нетривиальные решения заданного дифференциального уравнения, удовлетворяющие заданным кра-евым условиям, есть Задача 2. Найти общее решение уравнения, приведя его к канониче-скому виду Решение. Для нахождения общего решения дифференциального урав-нения в частных производных второго порядка приведем его к каноническо-му виду. У нас , , . Определим тип уравнения. Поскольку , то во всей плоскости уравнение является парабо-лическим. Дифференциальные уравнения характеристик имеют вид решаем его: Для приведения к каноническому виду сделаем в уравнении замену при этом Выражаем частные производные по старым переменным через частные производные по новым переменным: Значения производных подставляем в заданное дифференциальное уравнение: каноническая форма параболического уравнения. Обозначим . Тогда уравнение примет вид Значит, откуда Возвращаясь к переменным и , получим общее решение заданного уравнения в виде где , – произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции. Задача 3. Найти общее решение уравнения, приведя его к канониче-скому виду . Решение. Для нахождения общего решения дифференциального урав-нения в частных производных второго порядка приведем его к каноническо-му виду. У нас , , . Определим тип уравнения. Поскольку , то во всей плоскости уравнение является ги-перболическим. Дифференциальные уравнения характеристик имеют вид решаем их: Для приведения к каноническому виду сделаем в уравнении замену Выражаем частные производные по старым переменным через частные производные по новым переменным: Значения производных подставляем в заданное дифференциальное уравнение: каноническая форма гиперболического уравнения. Обозначим . Тогда уравнение примет вид Тогда . Значит, откуда Готовые решения В.Ф. Чудесенко Сборник Задачник Возвращаясь к переменным и , получим общее решение заданного уравнения в виде где , – произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции. Задача 4. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа в круге: Решение. Уравнение Лапласа в полярных координатах , ( , ) имеет вид Из условия однозначности решения вытекает условие периодичности Для нахождения решения этой задачи используем метод Фурье. Нетривиальные решения уравнения будем искать в виде Подставляем в уравнение и разделяем переменные: откуда Из условия периодичности следует, что Таким образом, для получаем задачу на собственные значения Если , то Применяем условие периодичности: Отсюда, Если , то Готовые решения В.Ф. Чудесенко Сборник Задачник Следует взять иначе не выполнится условие периодичности. При ненулевых периодических решений нет. Окончательно имеем Чтобы решить уравнение для при , сделаем замену . Получим откуда При получим . Таким образом, функции являются частными решениями уравнения . Составим функцию которая вследствие линейности и однородности уравнения Лапласа также будет его решением. Поскольку задача рассматривается внутри круга радиуса 1, то следует положить равными нулю коэффициенты при частных решениях, которые яв-ляется неограниченными в области , т.е. Итак, в области имеем Разложим функцию в ряд Фурье на по системе собственных функций : где Находим Значит и тогда из краевого условия имеем: откуда Окончательно решение заданной задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге имеет вид Задача 7. Найти функцию, удовлетворяющую внутри круга уравнению Гельмгольца и принимающую на границе круга заданные значения: Решение. Уравнение в полярных координатах имеет вид Из условия однозначности решения вытекает условие периодичности Согласно методу Фурье нетривиальные решения уравнения ищем в виде Подставляем в уравнение и разделяем переменные: откуда Из условия периодичности следует, что Таким образом, для получаем задачу на собственные значения Если , то Применяем условие периодичности: Отсюда, Если , то Следует взять иначе не выполнится условие периодичности. При ненулевых периодических решений нет. Окончательно имеем Теперь при каждом решаем уравнение для : Уравнение заменой переменной при-водится к уравнению Бесселя Его общее решение может быть записано в виде Тогда Здесь – функция Бесселя, – функция Неймана. Поскольку рассматривается задача для уравнения Гельмгольца внутри круга, а функции Неймана неограниченны при , то следует положить . Тогда решение заданной краевой задачи будем строить в виде ряда по частным решениям, ограниченным при : Коэффициенты найдем из краевого условия Используя указанное краевое условие, получим Значит, Значит, в ряде для будут отличными от нуля только коэффици-енты и : Задача 9. Решить первую смешанную задачу для волнового уравнения на отрезке Решение. Для решения задачи воспользуемся методом Фурье (разделе-ния переменных). Нетривиальные решения уравнения будем искать в виде . Подставляем в уравнение и разделяем перемен-ные: Тогда функции и являются соответственно решениями урав-нений Из граничных условий , получаем граничные усло-вия для функции значит Таким образом, для определения и получаем задачу Штурма-Лиувилля Поскольку (при задача имеет только тривиальные решения), то общее решение уравнения имеет вид Из краевого условия получаем: т.е. . Из краевого условия получаем: Поскольку и то и равенство возможно тогда и только то-гда, когда , откуда получаем т.е. Тогда получим Таким образом, полу-чили решение задачи Штурма-Лиувилля: собственные значения собственные функции Теперь при каждом решаем уравнение для Общее решение этого уравнения имеет вид Тогда Для нахождения коэффициентов воспользуемся начальными условиями Разложим функцию на отрезке в ряд Фурье по си-стеме где Находим Тогда Итак, Тогда начальное условие дает откуда Заметим, что Находим Тогда начальное условие дает откуда Тогда решением задачи является функция Задача 10. Решить первую смешанную задачу для волнового уравне-ния в прямоугольнике Решение. Для решения задачи воспользуемся методом Фурье (разделе-ния переменных). Нетривиальные решения уравнения будем искать в виде . Подставляем в уравнение и разделяем пере-менные: Тогда функции и являются соответственно решениями урав-нений Из граничных условий получаем граничные условия для функции значит. Таким образом, для определения и получаем задачу Штурма-Лиувилля Эту задачу также будем решать методом Фурье. Нетривиальные реше-ния уравнения будем искать в виде . Подставляем в уравнение и раз-деляем переменные: Тогда функции и являются соответственно решениями урав-нений Из граничных условий получаем граничные условия для функций значит Таким образом, для определения и получаем задачи Штурма-Лиувилля Решаем задачу для . Поскольку (при задача имеет только тривиальные решения), то общее решение уравнения имеет вид Из краевого условия получаем: Из краевого условия получаем: . Посколь-ку и , то и равенство возможно тогда и только тогда, когда , откуда получаем т.е. Тогда получим Таким образом, полу-чили решение задачи Штурма-Лиувилля для собственные значения собственные функции Решаем задачу для . Поскольку (при задача имеет толь-ко тривиальные решения), то общее решение уравнения имеет вид Из краевого условия получаем Из краевого условия получаем Поскольку и , то и равенство возможно тогда и только то-гда, когда , откуда получаем т.е. Тогда получим Таким образом, полу-чили решение задачи Штурма-Лиувилля для собственные значения собственные функции Тогда получаем, что решением задачи Штурма-Лиувилля для есть собственные значения собственные функции Теперь при каждом решаем уравнение для Общее решение этого уравнения имеет вид Тогда Для нахождения коэффициентов воспользуемся начальными условиями Разложим функцию при в ряд Фурье по системе где Находим Тогда Итак, Тогда начальное условие дает откуда Заметим, что Находим Тогда начальное условие дает откуда Тогда решением задачи является функция Задача 12. Найти решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности на отрезке Решение. Для решения задачи воспользуемся методом Фурье (разделе-ния переменных). Нетривиальные решения уравнения будем искать в виде . Подставляем в уравнение и разделяем переменные: Тогда функции и являются соответственно решениями урав-нений Из граничных условий , получаем граничные усло-вия для функции значит, Таким образом, для определения и получаем задачу Штурма-Лиувилля Поскольку (при задача имеет только тривиальные решения), то общее решение уравнения имеет вид Из краевого условия получаем: Из краевого условия получаем: Поскольку и , то и равенство возможно тогда и только то-гда, когда , откуда получаем т.е. Тогда получим Таким образом, полу-чили решение задачи Штурма-Лиувилля: собственные значения собственные функции Теперь при каждом решаем уравнение для Общее решение этого уравнения имеет вид Тогда Для нахождения коэффициентов воспользуемся началь-ными условиями Разложим функцию на отрезке в ряд Фурье по системе где Находим Тогда Итак, Готовые решения В.Ф. Чудесенко Сборник Задачник Тогда начальное условие дает откуда Тогда решением задачи является функция Задача 16. Используя формулу Пуассона, найти решение задачи Коши для уравнения теплопроводности: Решение. Решение задачи Коши для одномерного уравнения теплопро-водности на всей прямой представляется формулой Пуассона У нас Тогда Сделаем в последнем интеграле замену Тогда соответствует соответствует . Значит, поскольку .