ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ

Если две прямые лежат в одной плоскости, они либо пересекаются, либо параллельны. В стереометрии возможен и третий случай. Например, если ABCD — тетраэдр, то прямые АВ и CD не пересекаются и не параллельны. Они не лежат в одной плоскости.Две прямые, которые не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися.Плоскость, проходящая через одну из двух скрещивающихся прямых и какую-нибудь точку на другой, пересекает другую прямую. Свойства скрещивающихся прямых рассмотрим далее. А здесь займемся изучением параллельных прямых в пространстве.Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.Из определения следует, что через две параллельные прямые всегда можно провести. Ведь если допустить, что через параллельные прямые а и Ь проведены две различные плоскости, из этого следовало бы, что через прямую а и некоторую точку прямой Ь проведены две различные плоскости. Но этого не может быть (теорема 44). Итак, к перечисленным способам задания плоскости можно прибавить еще один: плоскость можно однозначно задать двумя параллельными прямыми. Из аксиомы параллельности Евклида следует, что в плоскости через данную точкуможно провести не более одной прямой, параллельной данной. А сколько таких прямых можно провести в пространстве?Теорема 46. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну.Доказательство. Пусть даны прямая а и не лежащая на ней точка АЧерез них можно провести единственную плоскость . В этой плоскости через А можно провести единственную прямую аи параллельную прямой а. Первая часть теоремы доказана.Каждая иная прямая, проходящая через точку Л и отличная от аь или не лежит с прямой а в одной плоскости, или пересекается с а, т. е. не параллельна а. Значит, прямая а\ единственная из всех прямых, проходящих через точку А и параллельных прямой а.Две параллельные прямые всегда лежат в одной плоскости. А три или более? Могут и не лежать в одной плоскости. Например, все ребра прямозубой цилиндрической шестерни лежат на параллельных прямых, но не принадлежат одной плоскости. То же можно сказать о продольных ребрах шпунтовых досок, стержнях атомного реактора, вертикальных колоннах строящегося дома и т. д.Теорема. Две прямые, параллельные третьей, параллельны.Доказательство*. Пусть а\\Ь и Ь\\с. Докажем, что দс. Прямые а и с не могут пересекаться. В противном случае через точку их пересечения проходили бы две разные прямые, параллельные Ь, что противоречило бы теореме .Предположим, что прямые а и с скрещивающиеся. Через параллельные прямые а и b, b и с проведем плоскости у и а, а через прямую а и какую-нибудь точку С прямой с — плоскость р. Пусть плоскости аир пересекаются по прямой т. Прямые Ь, с, т лежат в одной плоскости а, причем Ь\\с. Поэтому прямая т, пересекающая с, пересекает в некоторой точке