Неподвижная точка отображения

Неподвижная точка отображения

Неподвижная точка отображения

Неподвижная точка отображения

Неподвижная точка отображения

Неподвижная точка отображения

Неподвижная точка отображения

Неподвижная точка отображения

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Решение задач по математике

Пусть заданы отображения Теорема 2.4. Если gof = Ix : д сюръективно, а / инъективно. Бели д несюръективно, то в X найдется элемент- х € X, такой, что х $ д(У) 3g(f(X)) = Ix(X) = X. Это противоречие доказывает сюръективность д. Бели то по определению тождественного отображения Ix(zi) Ф 1х(х2)- Но тогда g(f(xi)) ф Ф 9{f(x*))* Отсюда с учетом определения 2.1 отображения нмеем f(xi) ф /(яг)» т.е. отображение / инъективно.

Теорема 2.6. Отображения / : X У и g : У X биективны и взаимно обратны тогда и только тогда, когда fof-Ix и fogzzly. 4 По теореме 2.2 имеем сюръективность и инъективность каждого из отображений / и д, т.е. их биективность. Обратно, биективность отображений / и д означает в данном случае, что они взаимно обратны, т.е. их композиции являются тождественными отображениями. Обсуждение этих вопросов имеет определенное практическое значение, так как они связаны с разрешимостью уравнений вида относительно х 6 X при заданном у 6 Y.

Если имеется отображение д : У Х) такое, что fog = Iy) то решение обязаг тельно существует, но необязательно единственное. Наоборот, существование такого отображения д: У -4 Х} что д of = 1хУ означает: если решение существует, то оно единственно. И лишь одновременное выполнение условий fog = Iy и gof = Ix гарантирует существование и единственность решения не только (2.10), но и обратного к нему уравнения д(у) = х относительно у € У при заданном х € X.

Итак, для однозначного решения (2.10) достаточно построить отображение д, такое, чтобы / и д были взаимно обратными отображениями. Но сделать это не всегда просто, а в слу-когда / небиективно, невозможно. Путем тождеств преобразований задачу можно свести к поиску так называемой неподвижной точки х* € X отображения : X X множества X в себя (см. 2.2), для которой х* = ). Отметим сразу, что в отличие от преобразования множества X на себя, которое является биекцией, отображение может быть произвольным.

Особенность неподвижной точки отображения состоит в том, что при отображении она переходит сама в себя, то- гда как прочие точки при отображении сдвигаются, например х\ переходит в x(х). (2.11) В частности, это множество может быть пустым (X* = 0) или содержать единственный элемент (3!х* € X* С X: х* =), т.е. решение (2.11) может отсутствовать или быть единственным. Многие задачи вычислительной математики можно свести к отысканию неподвижных точек отображений, для чего используют метод последовательных приближений, или метод итераций, суть которого состоит в построении итерационного алгоритма.

Бели задать первое приближение х\ 6 Х) то можно построить так называемую итерационную последовательность (см. рис. 2.13) элементов хп € X, п € N. Будут ли приближаться (или, как говорят, сходиться) элементы этой последовательности к неподвижной точке отображения ? Ответ на этот непростой вопрос зависит от свойств множества X, отображения и выбора элемента х\ € X в качестве первого приближения (см. Д.8.1 и Д.8.2). Здесь ограничимся лишь иллюстрацией. Пример 2.13. Пусть отображению в (2.11) отвечает функция 0.

Сразу видно, что одна из неподвижных точек этого отображения Xq = 0, а вторая х* = 1 - 1/А имеет смысл лишь при ^Х > 1. Но обратившись к методу итераций и выбрав в качестве первого приближения х\ € (0, 1), получим итерационную последовательность {зп}, для которой хп^ = Ххп(1-хп)у п€ N. (2.12) Отметим, что (2.12) можно рассматривать как упрощенную математическую модель эволюции биологической популяции с коэффициентом Л размножения особей, относительная численность хп которых уменьшается через равные промежутки времени пропорционально множителю (1 - хп) из-за ограниченности ресурсов при „перенаселении".

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Внутренняя и внешняя энергии
Модули силы, равнодействующие силы, сумма внутренних углов параллелограмма
Проекции пирамид
Задачи химия

При А 1 и х € X график функции ) лежит ниже биссектрисы у = х координатного угла хОу (рис. 2.14) и V®! 6 (0, 1) элементы последовательности {хп} приближаются к точке „притяжения zjj = 0 (ломаная со стрелками), т.е. популяция гибнет из-за малости коэффициента размножения. Если Л > 1, то, как бы близко к точке Xq = 0 ни было элементы последовательности {хп} „уходят" от этой „гибельной" точки (она становится точкой „отталкива-ния"), и популяция выживает, причем возможны такие варианты:

1) для 1 ^ 2 численность хп популяции приближается к х9 монотонно, возрастая при х\ (при 1 — х п = 3) и убывая при х* - х* (рис. 2.15,а); а б в Рис. 2.15 2) для 2 Л ^ 3 хп приближается к х* немонотонно, ломаная спираль закручивается по часовой стрелке (рис. 2.15,5); 3) для 3 Л 4 Vari 6 (0, 1) хп не приближается к я*, причем в некоторых случаях итерационный алгоритм „зацикливается44 (рис. 2.15,б), т.е. число особей в популяции периодически повторяется; 4) для А^ 4 итерационный алгоритм (2.12) неработоспособен и может при некоторых п давать значения хп£Х.

Из этого примера видно, насколько важно располагать общим признаком наличия у отображения непо Неподвижная точка отображения движных точек и устанавливать еще до реализации итерационного алгоритма его работоспособность. Вопросы и задачи 2.1. Найти множество, на которое отображает множество X каждая из следующих функций: Для каждой функции найти график отображения и построить его. 2.2. Верны ли равенства f~l(f(A)) = A и /(/-1(5)) = 5, где А — множество из области определения функции /, а 5 — множество из области значений этой функции ? 2.3. Доказать, что п если /: Ak ->Y — взаимно однозначное отображение (к = = Т7п)- 2.4.

Пусть множества X и Y содержат соответственно тип элементов. Найти число отображений множества X в множество У, в том числе сюръекций, инъекций и биекций.

2.5. В каком случае справедливы равенства f(A П В) = жества из области определения функции / ? 2.6. Доказать дистрибутивность произведения произвольных множеств по отношению к операциям объединения, пересечения и разности. 2.7. Являются ли отношениями порядка: а) „х тяжелее у" в множестве гирь; б) „я старше у44 в множестве людей; в) „х подчинен у44 в множестве должностей; г) „я не превосходит Vй в множестве номеров домов на улице; д) „из х следует Vй в множестве высказываний; е) vx находится внутри в множестве окружностей на плоскости? Какие из этих множеств являются частично упорядоченными ?

2.8. В хоккейной команде 2 вратаря, 7 защитников и 10 нападающих. Сколькими способами тренер может образовать стартовую шестерку игроков, состоящую из вратаря, двух защитников и трех нападающих? 2.0. Замок сейфа имеет пять дисков с цифрами 0, 1, 2, ..., 9 на каждом диске. Замок можно открыть при наборе на дисках шифра в виде определенной комбинации цифр. На набор одной комбинации цифр уходит пять секунд. Достаточно ли пяти суток для того, чтобы открыть сейф, не зная шифра?

2.10. Найти сумму квадратов биномиальных

коэффициентов для Vn Е N. 2.11. Существует ли система вложенных интервалов (вь М Э ... D К, Ьп) Э (a„+i, 6n+i) Э п е N, имеющая общую точку ? Всякая ли система вложенных интервалов имеет непустое пересечение? 2.12. Доказать, что для конечного множества Л, содержащего п элементов, мощность cardP(y4) множества Р(А) всех подмножеств множества А равна 2П. 2.13. В каких случаях справедливы равенства: card (A U В) = card А\ card (А П В) = card Л; card (Л \ В) = card А\ card (А х В) = card А?

Неподвижная точка отображения 2.14. Для изображения цифр почтового индекса используют множество из девяти элементов, которые на рис. 2.16,а обозначены буквами а, 6, ..., г (сами цифры изображены на рис. 2.16,5). а. Записать множества Л*, (А: = 0, 9) элементов, используемых для изображения каждой из десяти цифр. Есть ли среди этих множеств непересекающиеся ? б. Записать для каждого из элементов s ( s = а, 6, ..., i) множество Ва цифр, в изображении которых использован элемент s.

Какие элементы использованы наиболее часто и наиболее редко? в. Указать цифры, наименее и наиболее близкие к цифре 3, считая мерой близости цифр число общих элементов в их изображении. Какой операции над множествами /Ц соответствует множество, определяющее меру близости цифр? г. Сколько различных фигур можно построить путем комбинации элементов исходного множества, считая, что в каждой комбинации может участвовать от 0 до 9 элементов?