Необходимое условие Лежандра

Необходимое условие Лежандра

Необходимое условие Лежандра

Необходимое условие Лежандра

Необходимое условие Лежандра

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Решение задач по математике

Вернемся опять к рассмотрению простейшей задачи классического вариационного исчисления — задаче об экстремуме интегрального функционала на множестве гладких функций, удовлетворяющих условиям закрепления на концах промежутка. Как и выше, будем предполагать что функция L(us v, ю) дважды непрерывно дифференцируема. Докажем, что при этом предположении интегральный функционал обладает второй вариацией.

Для определения второй вариации рассмотрим приращение первой Необходимое условие Лежандра Объединяя интегралы и заменяя приращения производных дифференциалами (существование вторых производных у функции L(u, vy w) позволяет это сделать) получим где функционал, образовавшийся от интегрирования остаточных членов формулы Тейлора, полученных при замене приращений производных дифференциалами. Можно показать, что .

Отсюда заключаем, что у интегрального функционала существует вторая вариация, задаваемая выражением Воспользуемся теперь специальной формой второго слагаемого под знаком интеграла и преобразуем подынтегральное выражение. Интегрируя по частям и учитывая условие закрепления концов, из которого следует, что допустимые приращения удовлетворяют нулевым граничным условиям,получим Итак, вторая вариация интегрального функционала может быть записана в виде Теорема (необходимое условие Лежандра).

Пусть выполнены оговоренные выше условия, обеспечивающие существование второй вариации интегрального функционапа, и пусть в точке х0 функционал достигает своего экстремального значения.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Аммиак Фосфин
Дифференциальные уравнения первого порядка. Понятие о методе Рунге—Кутта
Вязкость
Диссоциация малорастворимых веществ

Тогда выполняется неравенство , если х о — точка минимума, и неравенство если xQ — точка максимума. 4 Пусть для определенности xq — точка минимума. Как было установлено, вторая вариация в точке минимума должна быть неотрицательна. # Допуская, что в некоторой точке г отрезка [а, 6], заключаем, что в силу непрерывности Lzizt это неравенство остается справедливым и в некоторой окрестности точки т.

Но если мы теперь в качестве h(t) возьмем

функцию, равную нулю вне этой окрестности, маленькую по модулю внутри этой окрестности и с большой производной2),то в выражении для второй вариации основной вклад в интеграл будет вносить слагаемое . В силу сделанного допущения об отрицательности это приводит к отрицательности второй вариации в точке минимума, чего не может быть.

Запишите уравнение Эйлера и найдите экстремали функционалов в Необходимое условие Лежандра a В качестве такой функции можно ьэятъ.например. функцию при достаточно малом 6. Запишите уравнение Эйлера, условия трансверсальности и найдите экстремали функционалов в Найдите экстремали фуншионалов и проверьте выполнение условия Лежандра: не удовлетворяет граничным условиям; равнение Эйлера имеет вид