Некоторые виды уравнений, интегрируемых в квадратурах

Некоторые виды уравнений, интегрируемых в квадратурах

Некоторые виды уравнений, интегрируемых в квадратурах

Некоторые виды уравнений, интегрируемых в квадратурах

Некоторые виды уравнений, интегрируемых в квадратурах

Некоторые виды уравнений, интегрируемых в квадратурах

Некоторые виды уравнений, интегрируемых в квадратурах

Некоторые виды уравнений, интегрируемых в квадратурах

Некоторые виды уравнений, интегрируемых в квадратурах

Некоторые виды уравнений, интегрируемых в квадратурах

Некоторые виды уравнений, интегрируемых в квадратурах

Некоторые виды уравнений, интегрируемых в квадратурах

Некоторые виды уравнений, интегрируемых в квадратурах

Некоторые виды уравнений, интегрируемых в квадратурах

Некоторые виды уравнений, интегрируемых в квадратурах

Некоторые виды уравнений, интегрируемых в квадратурах

Некоторые виды уравнений, интегрируемых в квадратурах

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Решение задач по математике

общем случае, даже зная, что решение уравнения существует, отыскать его довольно трудно. Однако существуют некоторые виды дифференциальных уравнений, методы получения решений которых особенно просты (при помощи интегралов от элементарных функций). Рассмотрим некоторые из них. 5.1. Уравнения с разделяющимися переменными Уравнение вида называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными. Здесь f\(y), /2 (я) — известные непрерывные функции своих аргументов.

Покажем, как найти решение этого уравнения. Пусть F\(y) и F2(x) — первообразные функции f\(y) и /2(2) соответственно. Равенство (1) равносильно тому, что дифференциалы этих функций должны совпадать Отсюда следует, что где С — произвольная постоянная. Разрешая последнее уравнение (2) относительно у, получим функцию (может быть, и не одну) которая обращает уравнение (1) в тождество и значит, является его решением Например, — уравнение с разделенными переменными.

Записав его в виде и интегрируя обе части, найдем общий интеграл данного уравнения: Уравнение вида в котором коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от х и только от уу называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными, так как путем деления на 4>\(y)fi(x) £ 0 оно приводится к уравнению с разделенными переменными Пример 1.

Проинтегрировать уравнение Некоторые виды уравнений, интегрируемых в квадратурах Уравнения с разделяющимися переменными Уравнения, однородные относительно х и у Линейные дифференциальные уравнения Уравнение Бернулли Уравнения в полных дифференциалах Деля обе части уравнения на , приведем его к виду Интегрируя обе части полученного равенства, найдем откуда Заметим, что деление на может привести к потере решений, обращающих в нуль произведение .

Например, разделяя переменные в уравнении получаем а после интегрирования — откуда (здесь С может принимать как положительные, так и отрицательные значения, но С Ф 0). При делении на у потеряно решение которое может быть включено в общее решение у = Сх, если постоянной С разрешить принимать значение С = 0. Если считать переменные х и у равноправными, то уравнение теряющее смысл при х = 0, надо дополнить уравнением которое имеет очевидное решение х = 0. где /j (ж, у) = у^у, используя уравнение (4') там, где уравнение (4) не имеет смысла, а уравнение (4') имеет смысл.

Некоторые дифференциальные уравнения путем замены переменных могут быть приведены к уравнениям с разделяющимися переменными. Например, уравнение вида где f(z) — непрерывная функция своего аргумента, а, Ь, с — постоянные числа, подстановкой z = ах + by + с преобразуется в дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными: откуда После интегрирования получаем Заменяя в последнем соотношении найдем общий интеграл уравнения (5). Пример 2.

Проинтегрировать уравнение В общем случае наряду с дифференциальным уравнением следует рассматривать уравнение 4 Положим z = x + y, тогда откуда Интегрируя, находим или Подставляя вместо z величину х + у, получаем общее решение данного уравнения Пример 3. Известно, что скорость радиоактивного распада пропорциональна количеству х еще не распавшегося вещества. Найти зависимость х от времени t, если в начальный момент t = to имелось х = х0 вещества.

Дифференциальное уравнение процесса dx Здесь к > 0 — постоянная распада — предполагается известной, знак указывает на уменьшение х при возрастании t. Разделяя переменные в уравнении и интегрируя, получаем откуда х = Се~и. Учитывая начальное условие = xq, находим, что С — х0ек1с, поэтому Любой процесс (не только радиоактивный распад), при котором скорость распада пропорциональна количеству еще не прореагировавшего вещества, описывается уравнением (*).

Уравнение отличающееся лишь знаком правой части от уравнения (*), описывает лавинообразный процесс размножения, например «размножение» нейтронов в цепных ядерных реакциях или размножение бактерий в предположении, что скорость их размножения пропорциональна наличному числу бактерий. Решение уравнения , удовлетворяющее условию имеет вид и в отличие от решения уравнения ) возрастает с возрастанием t.

Уравнения можно объединить в одно которое дает простейшую математическую модель динамики популяций (совокупности особей того или иного вида растительных или животных Организмов). Пусть y(t) — число членов популяции в момент времени t. Если предположить, что скорость изменения популяции пропорциональна величине популяции, то мы приходим к уравнению . Положим к —т - я, где m — коэффициент относительной скорости рождаемости, an — коэффициент относительной скорости умирания.

Тогда к > 0 при п и к при тп. Если в момент t = О величина популяции равна уо, то уравнение приводит к экспоненциальному закону изменения популяции Предположение, что величины шип являются постоянными, не выполняется для больших популяций. Действительно, большое число членов популяции приводит к уменьшению соответствующих ресурсов, что снижает скорость рождаемости и увеличивает скорость умирания. Это можно задать простейшими законами положительные постоянные.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Теорема Пойа
Форматы чертежей по ГОСТ
Нахождение наименьшего вершинного покрытия
Распространение тепла в конечном стержне

Тогда Уравнение динамики популяции в этой модели имеет вид Это так называемое логистическое уравнение — фундаментальное уравнение в демографии и в математической теории экологии. Оно применяется в математической теории распространения слухов, болезней и других проблемах физиологии и социологии. Разделяя переменные в последнем уравнении, получаем откуда и далее .

Потенцируя Некоторые виды уравнений, интегрируемых в квадратурах Уравнения с разделяющимися переменными Уравнения, однородные относительно х и у Линейные дифференциальные уравнения Уравнение Бернулли Уравнения в полных дифференциалах и выражая у через t, окончательно получаем Считая, , найдем уравнение логистической кривой При получаем, что Логистическая кривая содержит два параметра Л и а. Для их определения надо иметь два дополнительных значения y(t) при каких-то 5.2.

Уравнения, однородные относительно х и у Функция f(x, у) называется однородной функцией п-го измерения относительно переменных х иу, если при любом допустимом t справедливо тождество .

Например, для функции так что однородная функция относительно переменных х и у второго измерения. Для функции имеем есть однородная функция нулевого измерения. Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным относительно х и у, если функция f(x, у) есть однородная функция нулевого измерения относительно переменных х и у.

Пусть имеем дифференциальное уравнение однородное относительно переменных хну. Положив t = ^ в тождестве получим т. е. однородная функция нулевого измерения зависит только от отношения аргументов. Обозначая / (I, |) через (*), видим, что однородное относительно переменных ж и у дифференциальное уравнение всегда можно представить в виде При произвольной непрерывной функции переменные не разделяются. Введем новую искомую функцию u(z) формулой и = J, откуда у = хи.

Подставляя выражение ^ = и 4- в уравнение (6), получаем Деля обе части последнего равенства на и интегрируя, находим Заменяя здесь и на его значение \, получаем общий интеграл уравнения (6). Пример 4. Проинтегрировать уравнение Положим уравнение преобразуется к виду Интегрируя, найдем или Пример 5. Найти форму зеркала, собирающего пучок параллельно падающих на него лучей в одну точку.

Прежде всего, зеркало должно иметь форму поверхности вращения, так как только для поверхности вращения все нормали к поверхности проходят через ось вращения. Выберем прямоугольную декартову систему координат так, чтобы лучи были параллельны оси Ох и чтобы точкой, в которой собирались бы отраженные лучи, явилось бы начало координат. Найдем форму сечения зеркала плоскостью хОу. Пусть уравнение сечения есть ) (рис.6).

В точке Af(x,y) падения луча L на зеркало проведем касательную BN к сечению и обозначим ее угол с осью Ох через а. Пусть N — точка пересечения этой касательной с осью Ох. По закону отражения углы NMO и BML равны. Нетрудно видеть, что угол МОР равен 2а. Так как tga = у , tg2a = J то во всякой точке кривой у — ip(x) выполняется соотношение — дифференциальное уравнение, определяющее требуемый ход луча. Разрешая это уравнение относительно производной, получаем два однородных уравнения:

Первое из них путем замены | = и преобразуется к виду — произвольная постоянная. Решение неоднородного уравнения (10) ищем в виде — новая неизвестная функция. Вычисляя производную и подставляя значения и у в исходное уравнение (10), получаем dx откуда — новая произвольная постоянная интегрирования. Следовательно, Это есть общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (10).

В формуле (14) общего решения неопределенные интегралы можно заменить определенными интегралами с переменным верхним пределом: Здесь С = у(жо) = уо, поэтому общее решение уравнения (10) можно записать в виде (15) где роль произвольной постоянной играет начальное значение уо искомой функции у (ж). Формула (15) является общим решением уравнения (10) в форме Коши.

Отсюда следует, что если р(х) и q(x) определены и непрерывны в интервале то и решение у(х) уравнения (10) с любыми начальными данными у(ж0) = уо будет непрерывным и даже непрерывно дифференцируемым при всех конечных значениях ж, так что интегральная кривая, проходящая через любую точку (жо, уо), будет гладкой кривой в интервале Поэтому сначала интегрируем соответствующее однородное уравнение общее решение которого имеет вид Пример б.

Проинтегрировать уравнение Ч Однородное уравнение соответствующее данному, проинтегрируем, разделяя переменные: Решение исходного уравнения будем искать в виде где С(х) — неизвестная функция. Находя ^ и подставляя , последовательно получаем: где С — постоянная интегрирования. Из формулы находим общее решение уравнения Частное решение неоднородного уравнения легко усматривается. Вообще, если удается «угадать» частное решение линейного неоднородного уравнения, то разыскание его общего решения значительно упрощается. Пример 7.

Рассмотрим дифференциальное уравнение, описывающее изменение силы тока при замыкании цепи постоянного электрического тока. 4 Если R — сопротивление цепи, Е — внешняя ЭДС, то сила тока / = /(f) постепенно возрастает от значения, равного нулю, до конечного стационарного значения ^. Пусть L — коэффициент самоиндукции цепи, роль которой такова, что при всяком изменении си- лы тока в цепи появляется электродвижущая сила, равная L-^ и направленная противоположно внешней ЭДС.

На основании закона Ома, по которому в каждый момент t произведение силы тока на сопротивление равно фактически действующей ЭДС, получаем ) Уравнение (*) есть линейное неоднородное уравнение относительно I(t). Нетрудно видеть, что его частным решением является функция Общее решение соответствующего однородного уравнения откуда общее решение неоднородного уравнения («):

При t = 0 имеем , поэтому так что окончательно Отсюда видно, что сила тока при включении асимптотически приближается при к своему стационарному значению ожет быть проинтефировано также следующим приемом. Будем искать решение у(х) уравнения (10) в виде Линейное неоднородное дифференциальное уравнение где и{х) и v(x) — неизвестные функции, одна из которых, например v(x), может быть выбрана произвольно.

Подставляя у(х) в форме (16) в уравнение

(10), после элементарных преобразований получим Выберем в качестве v(ar) любое частное решение v(«) ^ 0 уравнения Тогда в силу (17) для и(ж) получим уравнение которое без труда интегрируется в квадратурах. Зная v(x) и и(х), найдем решение у(х) уравнения (10). Пример. Найти общее решение уравнения Будем искать решение у(х) данного линейного неоднородного уравнения в виде Подставляя исходное уравнение, получим.

Определим функцию v(x) как решение уравнения Разделяя переменные, найдем Выберем любое частое решение, например, отвечающее ) получим Для общего решения исходного уравнения получаем выражение Преимущество метода вариации постоянной заключается в том, что он переносится на линейные неоднородные дифференциальные уравнения высшего порядка. Уравнение Бернулли Некоторые дифференциальные уравнения путем замены переменных могут быть сведены к линейным.

К числу таких уравнений относится уравнение Бернуми Уравнение это предложено Я. Бернулли в 1695 г., метод решения опубликовал И. Бернулли в 1697 г. При а = 1 получаем однородное линейное уравнение При а = 0 — неоднородное линейное уравнение Поэтому будем предполагать, что (для а нецелого считаем, что у > 0). Подстановкой z = y_a+1 уравнение Бернулли приводится к линейному уравнению относительно функции z(x). Однако уравнение Бернулли можно проинтегрировать сразу методом вариации постоянной.

Это делается так. Сначала интегрируем уравнение Его общее решение Решение уравнения Бернулли будем искать в виде где С(х) — новая неизвестная функция. Подставляя это выражение для у(х) в уравнение Бернулли, получаем — уравнение с разделяющимися переменными относительно С(х). Интегрируя это уравнение, находим где С — постоянная интегрирования. Тогда из формулы получаем обший интеграл уравнения Бернулли Замечание.

При а > 0 уравнение Бернулли имеет очевидное решение у = 0. Для интегрирования уравнения Бернулли можно также воспользоваться подстановкой Некоторые виды уравнений, интегрируемых в квадратурах Уравнения с разделяющимися переменными Уравнения, однородные относительно х и у Линейные дифференциальные уравнения Уравнение Бернулли Уравнения в полных дифференциалах где в качестве берется любое нетривиальное решение уравнения а функция и(ж) определяется как решение уравнения Пример.

Найти решение уравнения Бернулли Ищем решение у(х) уравнения в виде Подставляя исходное уравнение, получим . Выберем в качестве v(x) какое-нибудь ненулевое решение уравнения и проинтегрируем его, Поскольку нас интересует какое угодно частное решение, положим . возьмем v = Тогда для и(х) получим уравнение интегрируя которое, найдем Общее решение у(х) исходного уравнения определится формулой 5.5.

Уравнения в полных дифференциалах Уравнение называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции гх(ж, у) двух независимых переменных ж и у, т. е. В этом случае «(ж, у) — С будет общим интегралом дифференциального уравнения (18). Будем предполагать, что функции М(ж, у) и N(x, у) имеют непрерывные частные производные соответственно по у и по ж в некоторой односвязной области D на плоскости хОу. Теорема 4.

Для того чтобы левая часть М(ж, у) dx + N(xt у) dy уравнения (18) была полным дифференциалом некоторой функции и(х, у) двух независимых переменных х и у, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось тождество 4 Необходимость. Предположим, что левая часть уравнения (18) есть полный дифференциал некоторой функции Дифференцируем первое соотношение по у, а второе по х: ду вудх дх дхду Отсюда, в силу равенства смешанных производных, вытекает тождество Необходимость (19) доказана.

Достаточность. Покажем, что условие (19) является и достаточным, а именно, предполагая его выполненным, найдем функцию tx(x, у) такую, что или, что то же, Найдем сначала функцию и(ху у), удовлетворяющую первому условию (20). Интегрируя это равенство по х (считаем у постоянной), получаем где произвольная функция от у. Подберем так, чтобы частная производная по у от функции и, определяемой формулой (21), была равна N(x} у). Такой выбор функции (р(у) при условии (19) всегда возможен.

В самом деле, из (21) имеем Приравняв правую часть полученного равенства к N(x, у), найдем Левая часть последнего равенства не зависит от х. Убедимся в том, что при условии (20) в его правую часть также не входит х. Для этого покажем, что частная производная по х от правой части (22) тождественно равна нулю. Имеем Теперь, интегрируя равенство (22) по у, получим, что где С — постоянная интегрирования.

Подставляя найденное значение для в формулу (21), получим искомую функцию полный дифференциал которой, как нетрудно проверить, равен Приведенный прием построения функции м(х, у) составляет метод интегрирования уравнения (18), левая часть которого есть полный дифференциал. Пример 8. Проверить, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах, и проинтегрировать его. А В данном случае откуда Следовательно, уравнение есть уравнение в полных дифференциалах.

Теперь находим и или Находя от функции и из и приравнивая ^ функции , получаем следовательно, Подставив найденное выражение для , найдем Таким образом, — общий интеграл исходного уравнения. Иногда можно найти такую функцию , что будет полным дифференциалом, хотя М dx + N dy может им и не быть. Такую функцию у) называют интегрирующим множителем.

Можно показать, что для уравнения первого порядка при определенных условиях на функции М(х, у) и N(x, у) интегрирующий множитель всегда существует, но отыскание его из условия в общем случае сводится к интегрированию уравнения в частных производных, что составляет, как правило, задачу еще более трудную. Задача. Найти интегрирующий множитель для линейного дифференциального уравнения dy Указание. Искать множитель в виде ц = ц(х).