Некоторые простые неявные функции

Содержание:

1. Задача 1:
2. Точки пересечения гиперболы с осью Ох

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Некоторые простые неявные функции Рассмотрим уравнение Ах? + 2 Вху 4- СУ + 2 Dx + 2 Еу + F= О, (I) в котором коэффициенты Л, В, С, D, Е> F—заданные числа. Это уравнение можно разрешить относительно у. Полученное выражение у через х будет достаточно сложным. Поскольку из уравнения (I) мы найдем выражение у через х, то можно сказать, что уравнение (I) определяет у как функцию х. Это обычно выражают так: уравнение (I) определяет у как неявную функцию х.

Например, уравнение х* = 1 (*) определяет неявную функцию. Разрешая его относительно у% получим у= (***) Таким образом, уравнение (*), определяющее неявную функцию, на самом деле определило дЬе функции: (**) и (***). В таких случаях говорят также, что уравнение (*) определяет двузначную функцию. Приведем несколько частных случаев уравнения (I) и дадим соответствующие геометрические иллюстрации. 1. Окружность Рассмотрим уравнение ** +/ = /?*, (1) которое получается из уравнения (I), если положить А = С= 1, В = D = E = Q, F=—R\

Если в формулу, выражающую расстояние между двумя точками (формула (1) из § 2 гл. I), подставить х1=у1 = О,— у, то получим OQ—Yx* -{-/. Из уравнения (1) находим, что Ух* +уг — R, т. е. OQ=R. Это значит, что все точки Q(;t, у)у координаты которых удовлетворяют уравнению (1), находятся на расстоянии R от начала координат. Следовательно, геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (1), есть окружность радиуса R с центром в начале координат.

Аналогично получаем, что уравнение (х—а)2 + + (У—b)* = R* определяет окружность радиуса R с центром в точке (а, Ь).

Пример 1. Найдем уравнение окружности с центром в точке (2, —3) и радиусом, равным 10. Полагая а = 2, 6= —3, R= 10, получим (х—2)1 + 0' + 3), = 100. Разрешим это уравнение относительно у\ будем иметь —3+ |/"Ю0 — (X—2)г у = —3—1^100 — (Л:—2)2. Первое из этих уравнений есть уравнение верхней половины окружности, второе—нижней. 2. Эллипс Рассмотрим уравнение <2> где а и b—заданные положительные числа. Решая его относительно у, получим: Отсюда видно, что уравнение (2) определяет две функции.

Пока независимое переменное х по абсолютной величине меньше а, подкоренное выражение положительно, корень имеет два значения. Каждому значению х} удовлетворяющему неравенству — а^х^а, соответствуют два значения^, равных по абсолютной величине. Значит, геометрическое место точек, определяемое уравнением (2), симметрично относительно оси Ох. Так же можно убедиться в том, что оно симметрично и относительно оси Оу. Поэтому ограничимся рассмотрением только первой четверти.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

При * = 0 у = Ь, при х=а у = 0. Кроме того, заметим, что если х увеличивается, то разность аг—х? уменьшается; стало быть, точка (л:, у) будет перемещаться от точки В(0, Ь) вправо вниз и попадет в точку А (а, 0). Из соображений симметрии изучаемое геометрическое место точек будет иметь вид, изображенный на рис. 34. Полученная линия называется эллипсом. Число 2а является длиной отрезка АгА, число 2Ь—длиной отрезка ВХВ. Уаг_ь* Числа а и b называются полуосями эллипса. Число-- эксцентриситетом.

Задача 1:

Найти проекцию окружности на плоскость, не совпадающую с плоскостью окружности. Решение. Возьмем две плоскости, пересекающиеся под углом а (рис. 35). В каждой из этих плоскостей возьмем систему координат, при* чем за ось Ох примем прямую пересечения плоскостей, стало быть, ось Ох будет общей для обеих систем. Оси ординат различны, начало координат общее для обеих систем. В пло- возьмем ок- ружность радиуса R с центром в начале координат, ее уравнение x?+y* = R* (*). Пусть точка М(х, у) лежит на этой окружности, тогда ее координаты удовлетворяют уравнению (*). Рис. 35.

плоскость П, буквой Р, а координаты ее—через х и у. Опустим перпендикуляры из Р и М на ось Ох, это будут отрезки QP и QAf. Треугольник PQM прямоугольный, в нем QP=yt QM=y, PQM = a, следовательно, ^ = = . Абсциссы точек М и Р равны, т. е. х = ;с. Подставим в уравнение (*) значение v = —, тогда ^ cos а • 1 У1 -Р» "Г ЛЛС» Г, ~ ^ » или £l+_I_= 1 cos а)2 ь а это есть уравнение эллипса с полуосями a = R и b = R cos а.

Таким образом, эллипс является проекцией окружности на плоскость, расположенную под углом к плоскости окружности. Замечание. Окружность можно рассматривать как эллипс с равными полуосями. 3. Гипербола Рассмотрим уравнение (3) Решая его относительно у, получим две явные функции или одну двузначную функцию Функция у имеет действительные значения только в том случае, если хг ^ аПри х функция дг действительных значений не имеет. Следовательно, если то точек с координатами, удовлетворяющими уравнению (3), не существует. При х=--±.а получаем ^ = 0.

При хг>аг каждому значению х соответствуют два значения у, поэтому кривая симметрична относительно оси Ох. Так же можно убедиться в симметрии относительно оси Оу. Поэтому в рассуждениях можно ограничиться рассмотрением только первой четверти. В этой четверти при увеличении х значение у будет также увеличиваться (рис. 36). Кривая, все точка которой имеют координаты, удовлетворяющие уравнению (3), называется гиперболой. Гипербола в силу симметрии имеет вид, указанный на рис. 37.

Точки пересечения гиперболы с осью Ох

Точки пересечения гиперболы с осью Ох называются вершинами гиперболы; на рис. 37 они обозначены буквами Аг и Часть гиперболы, расположенная в первой и четвертой четвертях, называется правой ветвью, а часть гиперболы, расположенная во второй и третьей четвертях, — левой ветвью. Рассмотрим прямую, заданную уравнением у = —х. Чтобы не смешивать ординату точки, расположенной на этой прямой, с ординатой точки, расположенной на гиперболе, будем обозначать ординату точки на прямой ую а ординату точки на гиперболе через уг.

Тогда Уа — ~~х* у^ = У~хг—аг (рассматриваем только кусок правой ветви, расположенной в первой четверти). Найдем разность ординат точек, взятых на прямой и на гиперболе при одинаковых абсциссах: Умножим и разделим правую часть на __ Окончательно Будем придавать х все большие и большие значения, тогда правая часть равенства (*) будет становиться все меньше и меньше, приближаясь к нулю. Следовательно, разность уа—ут будет приближаться к нулю, а это значит, что точки, расположенные на прямой и гиперболе, будут сближаться.

Таким образом, можно сказать, что рассматриваемая часть правой ветви гиперболы по мере удаления от начала координат приближается к прямой у = ~х. Вследствие симметрии видно, что часть правой ветви, расположенная в четвертой четверти, будет приближаться к прямой, определяемой уравнением у=--х. Также кусок левой ветви, расположенный во второй четверти, приближается к прямой у=, а кусок левой ветви, расположенный Q £ в третьей четверти, — к прямой у = -^-х.

Прямая, к которой неограниченно приближается гипербола при удалении от начала координат, называется асимптотой гиперболи. Таким образом, гипербола имеет две асимптоты, определяемые уравнениями у = —х и у (рис. 37). Упражнения к гл. IV 1. Определить период функции: а) у =sin 10х; б) ^ = sinT5; в) у = COS 6*. 2. В какую сторону и насколько сдвинута синусоида y = sin (х + 5) относительно синусоиды у — sin*? 3. В какую сторону и насколько сдвинута синусоида i/ = = sin(4дг—20) относительно синусоиды y = slnx? 4. Насколько отклоняется от оси Ох синусоида у = ^-sln5*? 5. Выяснить вид и расположение линий, определяемых неявными функциями: а) 9^ + 16^=144; б) 9х*—16г/* = 144; в) хг+2Ьх*+у*—39 = 0. X* и* 6. Определить асимптоты гиперболы