Некоторые дифференциальные уравнения, встречающиеся в механике

Некоторые дифференциальные уравнения, встречающиеся в механике

Некоторые дифференциальные уравнения, встречающиеся в механике

Некоторые дифференциальные уравнения, встречающиеся в механике

Некоторые дифференциальные уравнения, встречающиеся в механике

Некоторые дифференциальные уравнения, встречающиеся в механике

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Решение задач по математике

Некоторые дифференциальные уравнения, встречающиеся в механике Если точка движется по оси Ох под влиянием силы F и если t обозначает время, а х—расстояние от начала координат, то скорость v точки определяется первой про-. изводной = а ускорение а—второй производной, т. е. а . Связь между силой, массой точки и ее уско- рением устанавливается законом Ньютона: действующая сила равна произведению массы на ускорение, т. е. (1) (2) F= та или или (3)

Приведем примеры дифференциальных уравнений, полученных при помощи этого закона. Пример 1. Точка движется под действием силы, пропорциональной скорости точки и направленной против движения. В начальный момент точка находилась в начале координат и скорость точки была равна v0. Найти закон движения, т. е. связь между расстоянием точки от начала координат и временем. В этом примере величина силы F равна kv, а так как сила направлена против движения, то F= — kv.

Применяя закон в форме (2), получаем дифференциальное уравнение первого порядка dv , т -rr = — kv at Разделяем переменные: Интегрируем левую и правую части и приравниваем результаты: In v = — ~ t + C. m Некоторые дифференциальные уравнения, встречающиеся в механике m Для удобства записи положим Сг == In С: In 1/ = — ^-t -\-\nC\ т потенцируя, имеем v=Ce т . (4) Это — общее решение задачи.

Так как в начальный момент / = 0 скорость равнялась v0, то, подставляя t = 0 и v = v0 в уравнение (4), найдем значение С: -Л. v0 = Ce C=v0; следовательно, уравнение (4) примет вид v = vQe т .

(5) Это — частное решение. Однако задача еще не решена, так как зависимость х от / не найдена. В силу того, что уравнение (5) можно переписать в виде (в) Это тоже дифференциальное уравнение первого порядка. Разделяем переменные: dx = v0e т dt. (7) Интегрируем отдельно левую и правую части и, приравнивая результаты, получаем Х=—Щ£>е +Ct. (8) Так как в начальный момент времени точка находилась в начале координат, то, подставляя в (8) значения / — 0 и дг = О, имеем 0 = —+ Отсюда =

При этом значении Сх из общего решения (8) получаем частное * —(9) или Некоторые дифференциальные уравнения, встречающиеся в механике * > Это и есть решение задачи. Приведем конкретный пример, сводящийся к предыдущей задаче. Пример 2. Моторная лодка, вес которой 245 кГ, идет прямолинейно и равномерно со скоростью 10 м/сек. В некоторый момент, который будем считать начальным, двигатель выключается и движение лодки замедляется за счет трения о воду.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Скорость, Вектор скорости и траектория, Сложение скоростей
Аналогия между механическими и электромагнитными колебаниями
Числовые ряды. Числовой ряд. Сумма ряда
Напряженно-деформированное состояние в точке

Через одну секунду после выключения двигателя лодка имела скорость 8 Mjce/c. Нужно найти скорость лодки через 5 сек и расстояние, пройденное за это время. Примечание. Сила трения лодки о воду пропорциональна скорости и направлена против движения. Коэффициент пропорциональности находится из опыта. Применяя обозначения предыдущей задачи, имеем и0=Ю Mjce/c. Так как вес лодки 245 кГ} то ее масса равна —, а считая, что g-=9,8 Mjce/cполучим 25.

Подстав-8 ляя эти данные в

равенство (5), находим м v=\0e (5') Эта формула еще непригодна для вычислений, так как в ней k неизвестно. Но мы еще не использовали то, что через 1 сек скорость лодки была 8 м\сек. Подставив эти данные, полученные из наблюдений, в равенство (5'), мы сможем найти k. Сделаем это: 8 — 1 откуда е " = 0,8. k Логарифмируя обе части этого выражения, найдем — ^ =* ZD = In 0,8, откуда = — 25 1п0,8. Отсюда можно определить искомую скорость, подставляя t — b сек: г>= 10(0,8)5 = 10 3,3 м\сек.

Подставляя найденное значение k и данные значения т, v0 и / = 5 в равенство (9), найдем путь, пройденный за пять секунд: Пример 3. Рассмотрим движение точки под влиянием силы F= — kx. Возьмем закон Ньютона в форме (3), тогда т^ =—kx, или х = 0. (10) Некоторые дифференциальные уравнения, встречающиеся в механике Это дифференциальное уравнение второго порядка. Проверим что выражение является его общим решением.

Для этого найдем Подставляя вторую производную и саму функцию в уравнение, получим Таким образом, функция (11), подставленная в уравнение (10), обращает его в тождество. Значит, функция (11) является решением уравнения (10). Поскольку эта функция содержит две произвольные постоянные С, и Сг (ведь это любые числа), то она является общим решением уравнения (Ю). Общее решение можно записать и в другом виде, а именно: cos Положим С» Коэффициент А называется амплитудой, —часто- той, ф—фазой. Вспомнив гл. IV, § I, видим, что любым решением уравнения (10) является синусоида, т. е. колебательное движение. Уравнение (10) называется уравнением гармонических колебаний.