Натуральный трёхгранник в начертательной геометрии с примерами и образцами выполнения

Натуральный репер — трехгранник (или репер) Френе, естественный трехгранник, фигура, составленная из касательной, главной нормали, бинормали и трех плоскостей, попарно содержащих эти прямые.

Наиболее применимым способом задания кривых линий и поверхностей является кинематический способ, который основывается на построении траектории точки по параметрически заданному закону её движения. Движение точки М можно рассматривать натуральным способом, который характеризуется такими параметрами (рис. 3.68):

а) траектория – линия m, по которой движется точка М;

б) начало отсчёта – начальное положение  точки М на траектории m;

в) положительное направление движения – направление, в котором движется точка М;

г) дуговая координата – длина s части траектории от начального положения  до текущего положения точки М (см. п. 3.4.1).

Естественный трёхгранник

Основными характеристиками движения точки М является скорость v и ускорение а. Каждое положение точки М на траектории  характеризуется ориентацией в пространстве системы трёх взаимно перпендикулярных осей (рис. 3.68):

а) касательная ось – ось  пересекающая данную кривую  только в одной точке М. Вектор скорости v точки М в любом её положении на траектории  направлен по касательной  к траектории;

б) нормальная ось – ось  перпендикулярная касательной  и направленная в пространстве так, что плоскости, образованной осями  принадлежит вектор а ускорения точки. Нормальной оси  принадлежит центр С кривизны траектории  в данном положении точки М (см. п. 3.4.2);

в) бинормальная ось – ось b, одновременно перпендикулярна касательной  и нормальной  осям.

Трёхгранный угол, образованный касательной, нормальной и бинормальной осями, называется естественным трёхгранником. Он имеет другое название – трёхгранник Френе – в честь Жана Фредерика Френе (1816 – 1900) – французского математика, астронома и метеоролога, профессора математики Лионского факультета наук, автора трудов «Аналитическая теория поверхностей», «Кривые двоякой кривизны» и т.д.

Каждая пара осей естественного трёхгранника образует соответствующую плоскость (рис. 3.68):

а) соприкасающаяся плоскость – плоскость, образованная осями  Вектор ускорения а точки М в любом её положении на траектории  принадлежит касательной плоскости 

б) нормальная  плоскость – плоскость, образованная осями  Эта плоскость перпендикулярна  траектории  в каждом положении точки М;

в) спрямляющая   плоскость – плоскость, образованная осями  Эта плоскость касательная к траектории  в каждом положении точки М.

Грани естественного трёхгранника в любой точке М кривой поверхности строятся по осям  проведенным к образующей l или направляющей  этой поверхности (рис. 3.70 – 3.73). При этом используются теоремы о проецировании прямого угла (см. п. 1.4.8) и касательной.

Теорема о проецировании касательной

Касательная  к кривой  в точке М проецируется в касательную к соответствующей проекции кривой  на плоскости проекций (рис. 3.69).

Теорема о проецировании касательной

На рис. 3.70 построен комплексный чертёж трёхгранника Френе для произвольной точки М цилиндра. Построенная образующая l, которая проходит через точку М. Ось  направлена по касательной до направляющей  нормаль  – вдоль радиуса цилиндра, бинормаль b – вдоль образующей l. Касательная  является горизонтальной прямой уровня, поэтому на плоскости проекций П1 угол между  прямой.

Естественный трёхгранник на поверхности цилиндра

На рис. 3.71 построен комплексный чертёж трёхгранника Френе для произвольной точки М конуса. Ось направлена по касательной к направляющей  бинормаль b – вдоль образующей l конуса (образующая обозначена отрезком SA, который проходит через заданную точку М). Нормаль  занимает общее положение, поэтому проекции прямого угла между нею и другими осями натурального трёхгранника являются искажёнными. Для определения оси  используется способ вращения вокруг горизонтально-проецирующей оси и, которая совпадает с осью конуса. Проекция b1 бинормали и проекция  нормали, которые совпадают, вращаются разом с точкой М1 и вспомогательной точкой  до положения, параллельного оси х. Прямая  является фронталью, которая проходит через точки  поэтому прямой угол между  проецируется в натуральную величину на П2. С помощью вращения точки  в обратном направлении определяются проекции точки 1, через которую проходит искомая нормаль 

Натуральный трёхгранник на поверхности конуса

На рис. 3.72 построен комплексный чертёж трёхгранника Френе для произвольной точки М сферы. Касательная  направлена вдоль параллели , которая проходит через заданную точку М. Нормаль  направлена по радиусу ОМ сферы. Бинормаль b занимает общее положение, поэтому проекции прямого угла между нею и другими осями натурального трёхгранника являются искажёнными. Для определения оси b используется способ вращения вокруг горизонтально-проецирующей оси і, которая проходит через центр О сферы. Проекция  нормали и проекция b1 бинормали вращаются вместе с точкой М1 и вспомогательной точкой  до положения, параллельного оси х. Прямая является фронталью, которая проходит через точки поэтому прямой угол между   проецируется в натуральную величину на П2. С помощью вращения точки  в обратном направлении определяются проекции точки 1, через которую проходит искомая бинормаль b.

На рис. 3.73 построен комплексный чертёж трёхгранника Френе для произвольной точки М тора. Построена касательная  направленная вдоль направляющей  которая проходит через заданную точку М. Нормаль  направлена по радиусу образующей l – окружности с центром в точке О. Бинормаль b направлена по касательной к образующей l. Нормаль  и бинормаль b занимают общее положение, поэтому горизонтальные проекции прямого угла между ними и касательной  являются искажёнными. Для определения осей  используется способ вращения вокруг фронтально-проецирующей оси j, которая является осью тора. Проекция  нормали и проекция b2 бинормали, которые совпадают с , вращаются вместе с точкой М2 и вспомогательной точкой  до положения, параллельного оси х. Прямая направлена по радиусу  окружности с центром в точке  прямая  – по касательной к этой окружности перпендикулярно   С помощью вращения точек  в обратном направлении определяются точка 1 нормали  и точка 2 бинормали b.

Естественный трёхгранник на поверхности сферы

Естественный трёхгранник на поверхности тора

Примеры и образцы решения задач:

• Решение задач по инженерной графике
• Решение задач по начертательной геометрии

Услуги по выполнению чертежей:

1. Заказать чертежи
2. Помощь с чертежами
3. Заказать чертеж в компасе
4. Заказать чертеж в автокаде
5. Заказать чертежи по инженерной графике
6. Заказать чертежи по начертательной геометрии
7. Заказать черчение

Учебные лекции:

1. Инженерная графика
2. Начертательная геометрия
3. Оформление чертежей
4. Чертеж общего вида и сборочный чертеж
5. Техническое рисование
6. Машиностроительные чертежи
7. Геометрические построения
8. Деление окружности на равные части
9. Сопряжение линий
10. Коробовые кривые линии
11. Построение уклона и конусности
12. Лекальные кривые
13. Параллельность и перпендикулярность
14. Методы преобразования ортогональных проекций
15. Поверхности
16. Способы проецирования
17. Метрические задачи
18. Способы преобразования чертежа
19. Кривые линии
20. Кривые поверхности
21. Проецирование многогранников
22. Проецирование тел вращения
23. Развёртывание поверхностей
24. Проекционное черчение
25. Проецирование
26. Проецирование точки
27. Проецирование отрезка прямой линии
28. Проецирование плоских фигур
29. Способы преобразования проекций
30. Аксонометрическое проецирование
31. Проекции геометрических тел
32. Сечение геометрических тел плоскостями и развертки их поверхностей
33. Взаимное пересечение поверхностей тел
34. Сечение полых моделей
35. Разрезы
36. Требования к чертежам деталей
37. Допуски и посадки
38. Шероховатость поверхностей и обозначение покрытий
39. Разъемные и неразъемные соединения деталей
40. Передачи и их элементы