Напряженно-деформированное состояние в точке

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Понятие напряженного состояния Пусть имеется упругое тело, нагруженное уравновешенной системой пространственных сил (рис. 1.1). Чтобы определить напряжение в произвольной точке А, нужно в соответствии с принятым методом сечений провести через точку А плоскость либо 1-1, либо 2-2, либо любую другую. Тогда внутреннее усилие, отнесенное к единице площади сечения, внутри которой располагается точка А, и дает искомое напряжение.

Напряжения зависят от выбора положения сечения, от наклона площадки, поэтому для одной и той же точки на каждой плоскости будут возникать разные напряжения как по величине, т ак и по направлению к этой площадке. Для понимания этого явления проведем в окрестности точки А произвольно три взаимно перпендикулярных пары параллельных плоскостей, расстояние между которыми равно единице линейного измерения.

Эти плоскости вырежут из тела объем в виде кубика со стороной, равной единице (рис. 1.2). На каждой из шести граней этого элемента будет действовать свое полное напряжение p , которое может быть разложено на нормальную и касательную составляющие (рис. 1.3). В свою очередь, касательное напряжение может быть разложено по направлениям, параллельным ребрам вырезанного элемента (рис. 1.3). Если эту операцию выполнить для других граней вырезанного кубика и учесть закон парности касательных напряжений, можно получить распределение напряжений, показанное на рис. 1.4.

Здесь изображены только напряжения на видимых гранях элемента. Такие же напряжения должны быть показаны и на невидимых гранях. Совокупность всех этих векторов напряжений и будет характеризовать напряженное состояние в точке. На рис. 1.4. обозначения векторов напряжений производятся из следующих соображений. Координатные оси совмещены с ребрами кубика. Грани кубика обозначаются по индексам нормалей, которые параллельны соответствующим осям.

Например, на верхней грани нормаль к ней параллельна оси Z , поэтому нормальное напряжение на этой площадке (грани) обозначено z , а в обозначении касательных напряжений добавляется еще один индекс, показывающий, параллельно какой оси направлено это напряжение. Так, y означает, что касательное напряжение действует на площадке, перпендикулярной оси Z и параллельно оси Y .

Аналогично обозначены все другие векторы напряжений. Из закона парности касательных напряжений получаем, что Из этого следует, что по граням элемента действует всего шесть неизвестных: три нормальных и три касательных напряжений. В курсе «Теория упругости» доказывается, что на гранях вырезанного элемента не будет действовать касательных напряжений аналогично тому, как это рассмотрено для случая простого растяжения. Такой повернутый элемент показан на рис. 1.5.

Это положение образованно путем вращения элемента, показанного на рис. 1.4 вокруг осей, параллельных осям ox , oy , oz .

На гранях этого повернутого элемента будут действовать только нормальные напряжения, которые принято обозначать . Такие площадки (грани), на которых отсутствуют касательные напряжения, называют главными площадками, а нормальные напряжения, действующие на этих площадках, называют главными нормальными напряжениями. Наибольшее, в алгебраическом понятии, из главных напряжений обозначают , наименьшее , а промежуточное по величине 2 , т. е. соблюдается условие .

Например, если заданы напряжения: 80 МПа, 60 МПа и 40 МПа, то соответственно получим: σ 1.2. Виды напряженного состояния Различают 3 вида: объемное, плоское и линейное напряженное состояние. Объемное напряженное состояние – это такое, когда по главным площадкам действуют все три главных напряжения (рис. 4.6). В случае плоского напряженного состояния одно из главных напряжений равно нулю. При этом принято изображать рассматриваемый элемент не в виде куба, а в виде квадрата, совмещая грани кубика, на которых нет напряжений, с плоскостью чертежа (рис. 1.7).

Линейное напряженное состояние характеризуется тем, что любые два главных напряжения равны нулю (рис. 1.8): Линейное напряженное состояние испытывают стержни при простом растяжении или сжатии. Из более сложных напряженных состояний ограничимся рассмотрением плоского напряженного состояния, тем более, что подавляющее большинство практических задач техники сводится к этому виду напряженного состояния. 1.3.

Напряжения на произвольной площадке Напишем (без вывода) зависимость между главными нормальными напряжениями и напряжениями на произвольной площадке для общего случая объемного напряженного состояния. Пусть имеется элемент, по граням которого действуют главные напряжения 1, (рис. 1.9). Применим метод сечений и рассечем кубик произвольной плоскостью. На рисунке полученное сечение заштриховано. Найдем напряжения на этой площадке.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Для этого отбросим переднюю часть, а оставшуюся вычертим, и на площадке, ставшей гранью тетраэдра, покажем напряжения, заменяющие действия отброшенной части кубика на оставшуюся (рис. 1.10). Положение площадки ) по отношению к граням кубика определяется величиной углов между осями 0-1, 0-2, 0-3 и направлением внешней нормали n к площадке. Нормаль построим, проведя прямую из начала координат перпендикулярно к площадке.

Направления осей 0-1, 0-2, 0-3 соответствуют направлениям главных напряжений В этом случае величина нормального и касательного напряжений на площадке выразится следующими формулами, которые выводятся в курсе «Теория упругости»: Из формул (4.2) и (4.3) можно получить формулы для более простых напряженных состояний. Для случая линейного напряженного состояния полагаем 230 получим Формулы (1.4) и (1.5) отражают случай простого растяжения (сжатия).

приняв, получим напряжения на взаимно перпендикулярных площадках . Из рис. 1.11 видно, что ак как все угловые величины выражены через 1, то можно считать 1. Подставляя эти значения в формулу (1.2), получим: Для определения напряжений на площадке  нужно в формулах (1.6) и (1.7) заменить значение угла  на угол (900 ); после подстановки будем иметь: т.е. опять наблюдаем проявление закона парности касательных напряжений Сложим почленно выражения (1.6) и (1.8), получим.

Алгебраическая сумма нормальных напряжений по двум взаимно перпендикулярным площадкам постоянна и равна сумме двух главных напряжений. Определим, при каких значениях угла  нормальное напряжение  будет иметь экстремальное значение. Для этого вычислим первую производную от функции  (формула 1.2) по углу  и приравняем ее к нулю: Следовательно, экстремальные значения нормальных напряжений возникают на тех площадках, на которых касательные напряжения равны нулю.

Такие площадки называются главными, значит, главные нормальные напряжения и будут экстремальными, т. е. если одно из них достигает наибольшего значения1 , то другое будет иметь наименьшее значение 2 . Можно показать, что положение главных площадок или угол 0, на который нужно повернуть элемент, чтобы его грани стали главными площадками, определяется следующей формулой: Отсчет угла по этой формуле всегда производится от направления  против хода часовой стрелки, если значение угла получается положительным, или по ходу часовой стрелки при отрицательном значении угла.

Вопрос о том, которая из двух площадок будет иметь обозначения  или  , определяется неравенством .  Величина главных нормальных напряжений определяется по формуле Для получения значения перед вторым членом используется знак (+) плюс, для получения ─ знак (-) минус. 1.4. Понятия о траекториях главных напряжений Наглядное представление о потоке внутренних сил в нагруженном теле дают траектории главных напряжений.

Так называется линия, в каждой точке которой касательная совпадает с направлением главного напряжения в этой точке. При простом растяжении бруса (рис. 1.12) траекториями главных напряжений, очевидно, являются прямые, параллельные и перпендикулярные его оси. Если во всех точках трубы, рассмотренной в конце предыдущего параграфа, наметим направление главных напряжений, то получим сетку взаимно ортогональных кривых – траекторий главных сжимающих и растягивающих напряжений (рис 1.13).

Прямоугольный элемент, выделяемый траекториями, испытывает растяжение (сжатие) в перпендикулярных направлениях, а касательные напряжения на его гранях отсутствуют. В указанных примерах величина главного напряжения во всех точках тела одинакова. В общем случае главное напряжение меняет величину при движении вдоль траектории. Знание траектории главных напряжений во многих случаях даёт возможность придать рациональную форму проектируемой детали или части конструкции.