Напряжения и деформации при кручении

Напряжения и деформации при кручении.

Кручением называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении стержня возникает лишь один силовой фактор — крутящий момент Мz.

Стержень круглого поперечного сечения, работающий на кручение, называется валом.

Крутящий момент по определению равен сумме моментов внутренних сил относительно продольной оси стержня Oz. Нормальные силы, параллельные оси Oz, вклада в крутящий момент не вносят. С силами, лежащими в плоскости поперечного сечения стержня (интенсивности этих сил — касательные напряжения) Мz связывает вытекающее из его определения уравнение равновесия статики (рис. 5.7):

Напряжения и деформации при кручении

Численно крутящий момент равен сумме моментов внешних сил, приложенных к отсеченной части стержня, относительно оси Oz.

Напряжения и деформации при кручении

Исследование деформаций упругого стержня с нанесенной на его поверхности ортогональной сеткой рисок (рис. 5.8) позволяет сформулировать следующие предпосылки теории кручения этого стержня: При кручении длина вала не меняется, следовательно, в попе-речных сечениях отсутствуют нормальные напряжения.

Каждое последующее сечение сдвигается относительно предыдущего на угол , называемый углом сдвига, следовательно, в попе-речных сечениях вала возникают только касательные напряжения и сечения испытывают напряженное состояние чистого сдвига. При выводе формулы касательных напряжений на основании опыта были приняты следующие гипотезы: 1. При кручении выполняется гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли). 2. Радиусы, проведенные в поперечном сечении, при кручении не искривляются. 3. Расстояния между поперечными сечениями не изменяются, следовательно, εz=0.

Напряжения и деформации при кручении

На рис. 5.8 изображена деформация вала при кручении. Двумя поперечными сечениями выделим из вала элемент длиной dz. На рисунке 5.8 условно принято, что левое сечение элемента вала dz остается неподвижным, а правое поворачивается на угол - угол поворота сечения. Угол сдвига определяется как:

Напряжения и деформации при кручении

где Напряжения и деформации при кручении

тносительный угол закручивания, [рад/м].

Используя закон Гука для чистого сдвига, получим:

Напряжения и деформации при кручении

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Решение задач по математике

Выделим в поперечном сечении вала элементарное кольцо толщиной (рис. 5.9). Элементарные τ·dAприводят возникновению крутящего момента:

Напряжения и деформации при кручении

Подставив (5.19) в (5.17) получим формулу для определения касательных напряжений при кручении:

Напряжения и деформации при кручении

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пример расчета тарельчатой ректификационной колонны (контрольные задачи)
Криволинейные интегралы
Параллельный перенос осей координат
Расчет неразветвленной однородной магнитной цепи

Как видно из формулы (5.20), касательные напряжения пропорциональны расстоянию от оси стержня.Наибольшие касательные напряжения возникают у внешней поверхности стержня при ρ=r.

По закону о парности касательных

напряжений формула (5.20) определяет касательные напряжения в плоскости поперечного сечения и в перпендикулярной ей плоскости продольного сечения вала (рис.5.10).

Перепишем формулу (5.20) для максимальных касательных напряжений через полярный момент сопротивления сечения :

Напряжения и деформации при кручении

Подставив формулу (5.21) в (5.20) получим:

Напряжения и деформации при кручении

Деформацией вала является угол закручиванияНапряжения и деформации при кручении, который находим из формулы (5.19):

Напряжения и деформации при кручении

Формула (5.25) определяет угол закручивания для одного участка вала. Если вал имеет n участков, то угол закручивания вала определяется как сумма углов закручивания:

Напряжения и деформации при кручении

Если на каждом участке вала крутящий момент постоянен, то угол закручивания можноопределить по следующей формуле:

Напряжения и деформации при кручении

Угол закручивания вала не является критерием его жесткости, т.к. на отдельных участках он может быть большим, а суммарный окажется малым, поэтому критерием жестокости вала является относительный угол закручивания, т.е. угол закручивания, приходящийся на единицу длины вала:

Напряжения и деформации при кручении

где Напряжения и деформации при кручении – жесткость вала при кручении.