Метрические задачи

Содержание:

  1. Расстояние от точки до прямой и плоскости
  2. Расстояние от точки до прямой особого положения
  3. Расстояние от точки до прямой общего положения
  4. Расстояние от точки до плоскости особого положения
  5. Расстояния от точки до плоскости общего положения
  6. Расстояние между параллельными плоскостями, прямой и плоскостью. Расстояние между двумя прямыми
  7. Угол между прямой и плоскостью, двумя плоскостями
  8. Метрические и позиционные задачи
  9. Длина дуги кривой линии
  10. Центр и радиус кривизны. Эволюта и эвольвента кривой
  11. Эквидистанта кривой
  12. Расстояние от точки до кривой линии и поверхности
  13. Пересечение прямой линии с кривой поверхностью
  14. Пересечение кривой линии с плоскостью

Метрическими называются задачи, решение которых связано с определением характеристик геометрических фигур, определяемых (измеряемых) линейными и угловыми величинами.

Расстояние от точки до прямой и плоскости

Расстояние от точки до плоскости – это длина перпендикуляра, который опущен из заданной точки. Чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми, необходимо воспользоваться знаниями о нахождении расстояния от точки до плоскости, поскольку для определения расстояния между скрещивающимися прямыми необходимо на одной из прямой выбрать точку.

Расстояние от точки до прямой особого положения

Метрические задачи по проецированию точки, прямой и плоскости связаны с определением расстояний, площадей, углов. Все задачи на определение расстояния от точки до прямой и плоскости, между параллельными прямой и плоскостью и двумя плоскостями сводятся к задаче об определении расстояния между двумя точками. Задачи по определению площади плоской фигуры сводятся к нахождению натуральной величины этой фигуры. Определение угла между двумя прямыми, прямой и плоскостью, двумя плоскостями  невозможно без применения способов преображения комплексного чертежа (см. п. 2.1.6, 2.3.3). Методами, описанными в разделе 1, можно определить только проекции этих углов.

Для определения расстояния от точки А до прямой l необходимо провести из данной точки перпендикуляр n до прямой, определить точку N пересечения прямых n, l и найти длину отрезка AN. Последняя является искомым расстоянием  (рис. 1.51).

Метрические задачи

Метрические задачиРасстояние от точки до прямой общего положения

Метрические задачи

Метрические задачиОпределение расстояния от точки до прямой уровня

При определении расстояния от точки до прямой l особого положения прямой угол между прямыми Метрические задачи l  проецируется в натуральную величину на одну из плоскостей проекций (см. п. 1.4.8), а натуральная величина отрезка АN определяется способом прямоугольного треугольника (см. п. 1.4.4) или вращением вокруг проецирующей оси (см. п. 2.2.2).

На рис. 1.52 обозначено расстояние от точки А до горизонтали h. На горизонтальной проекции построена проекция А1N1 искомого отрезка. С помощью линий проекционной связи найдена фронтальная проекция A2N2. Натуральная величина отрезка AN определена способом прямоугольного треугольника.

Расстояние от точки до прямой общего положения

Задача на определение расстояния от точки А до прямой l общего положения усложняется тем, что проекции прямого угла между прямой l и проведённым к ней перпендикуляром Метрические задачи не равны 90° (см. п. 1.4.8, рис. 1.25). Для решения этой задачи применяются такие способы:

а) способ вспомогательной нормальной плоскости (рис. 1.53);

б) способ замены плоскостей проекций (см. п. 2.1.3);

в) способ вращения вокруг проецирующей оси (см. п. 2.2.3).

Метрические задачи

 Метрические задачиСпособ вспомогательной нормальной плоскости

Суть способа вспомогательной нормальной плоскости

Через точку А проводится плоскость Σ общего положения, перпендикулярная прямой l (рис. 1.53 б). Эта плоскость задаётся горизонталью h и фронталью f, пересекающимися в точке А. При этом горизонтальная проекция горизонтали h1 и фронтальная проекция фронтали f2 перпендикулярны соответствующим проекциям прямой l. Основа N перпендикуляра Метрические задачи находится как точка пересечения прямой l с перпендикулярной её плоскостью Σ с помощью фронтально-проецирующей секущей плоскости Ф (см. п. 1.5.7). Натуральная величина отрезка AN равна искомому расстоянию от точки А до прямой l общего положения.

Расстояние от точки до плоскости особого положения

Для определения расстояния от точки А до плоскости Σ необходимо провести из данной точки перпендикуляр Метрические задачи до плоскости, определить точку N их пересечения и найти длину отрезка AN.

При определении расстояния от точки А до плоскости особого положения прямой угол между прямой Метрические задачи и одним из следов плоскости Σ проецируется в натуральную величину на соответствующую плоскость  проекций (рис. 1.54).

На рис. 1.55 определено расстояние от точки А до горизонтально-проецирующей плоскости Σ. На горизонтальной плоскости проекций через точку А1 проведена проекция Метрические задачи перпендикуляра до горизонтального следа Метрические задачи плоскости с основой N1. При этом перпендикуляр Метрические задачи -  горизонтальная прямая уровня. С помощью линии проекционной связи найдена фронтальная проекция A2N2. Натуральная величина отрезка AN равна длине его горизонтальной проекции А1N1.

Метрические задачи

Метрические задачиРасстояние от точки до плоскости особого положения

Метрические задачи

Метрические задачи– Определение расстояния от точки до горизонтально-проецирующей плоскости

Расстояния от точки до плоскости общего положения

Задача на определение расстояния от точки D до плоскости Σ общего положения определяется  таким способом. Из точки D проводится прямая Метрические задачи, перпендикулярная плоскости Σ (см. п. 1.5.9, рис. 1.47 – 1.48), и определяется точка N их пересечения (см. п. 1.5.7, рис. 1.38). Натуральная величина отрезка DN равна расстоянию от точки D до заданной плоскости (рис. 1.56).

Метрические задачи

Метрические задачиРасстояние от точки до плоскости общего положения

Метрические задачи

Метрические задачиОпределение расстояния от точки до плоскости

На рис. 1.57 плоскость Σ задана треугольником АВС. Для построения прямой Метрические задачи, проходящей через точку D перпендикулярно до плоскости треугольника, в последнем  проводятся горизонталь h и фронталь f. Горизонтальная проекция h1 горизонтали перпендикулярна  горизонтальной проекции Метрические задачи прямой, фронтальная проекция f2 фронтали перпендикулярна  Метрические задачи. Точка N пересечения прямой Метрические задачис плоскостью Σ  определяется методом вспомогательной секущей плоскости. В данном случае прямая Метрические задачи заключается во фронтально- проецирующую плоскость Ω, заданную фронтальным следом Ω2,и определяется линия  k пересечения плоскостей Σ, Ω. Искомая точка N является точкой пересечения прямых k, п. Длина отрезка АN определяется способом прямоугольного треугольника.

Расстояние между параллельными плоскостями, прямой и плоскостью. Расстояние между двумя прямыми

Расстояние между параллельными плоскостями Σ и  равно расстоянию от любой  точки D одной плоскости до другой плоскости (рис. 1.58).

Метрические задачи

Метрические задачиРасстояние между параллельными плоскостями

Метрические задачи

Метрические задачиОпределение расстояния между параллельными плоскостями

На рис. 1.59 одна из плоскостей Σ задана прямыми a, b,  пересекающимися в точке D, другая – горизонтальным и фронтальным следами Метрические задачи. Из точки D опускается перпендикуляр Метрические задачи на плоскость Ω. При этом горизонтальная проекция Метрические задачи перпендикулярна горизонтальному следу Метрические задачи плоскости, фронтальная проекция Метрические задачи перпендикулярна фронтальному следу Метрические задачи Точка N пересечения прямой Метрические задачи с плоскостью  определяется методом вспомогательной секущей плоскости. в данном случае через прямую Метрические задачи проводится горизонтально-проецирующая плоскость Ψ, заданная горизонтальным следом Ψ1, и определяется линия k пересечения плоскостей Ω, Ψ. Искомая точка N является точкой пересечения прямых k, п. Длина отрезка DN определяется способом прямоугольного треугольника.

Расстояние между параллельными прямой l и плоскостью Σ (рис. 1.60) равно расстоянию от любой точки D прямой до плоскости.

На рис. 1.61 плоскость Σ задана горизонтальным и фронтальным следами Метрические задачи. Из любой  точки D, принадлежащей прямой l, опускается перпендикуляр Метрические задачи на плоскость Σ и определяется точка N их пересечения с помощью горизонтально-проецирующей плоскости Ψ. Длина отрезка DN определяется способом прямоугольного треугольника.

Метрические задачи

Метрические задачиРасстояние между параллельными прямой и плоскостью

Метрические задачи

Метрические задачиОпределение расстояния между параллельными прямой и плоскостью

Расстояния между параллельными прямымиМетрические задачи равно расстоянию DN от любой точки D одной прямой до другой прямой (рис. 1.62) и может быть определено способом вспомогательной  нормальной плоскости (см. п. 1.6.1.2, рис. 1.53).

Метрические задачи

Метрические задачиРасстояние между параллельными прямыми

Метрические задачиСпособ вспомогательной нормальной плоскости

На рис. 1.63 через точку D прямой l проводится  Σ плоскость общего положения, перпендикулярная прямой Метрические задачи Эта плоскость задаётся горизонталью h и фронталью f, пересекающимися в точке D. При этом горизонтальная проекция горизонтали h1 и фронтальная проекция фронтали f2 перпендикулярны соответствующим проекциям прямой Метрические задачи. Основа N перпендикуляра Метрические задачи находится как точка пересечения прямой Метрические задачи с перпендикулярной ей плоскостью Σ с помощью фронтально-проецирующей секущей плоскости Ф. Натуральная величина отрезка DN равна искомому расстоянию между параллельными прямыми l, m.

Расстояние между скрещивающимися прямыми l, m равно наименьшему расстоянию от точек одной прямой до другой прямой (рис. 1.64) и определяется такими способами:

а) способом вспомогательной параллельной плоскости;

б) способами преобразования комплексного чертежа (см. п. 2.1.5, 2.2.5, 2.3.2).

Метрические задачи

Метрические задачиРасстояние между скрещивающимися прямыми

Суть способа вспомогательной параллельной плоскости

Расстояние между скрещивающимися прямыми Метрические задачи равно расстоянию от любой точки D одной прямой до параллельной ей плоскости  Σ, проведенной через вторую прямую (рис. 1.65).

Метрические задачи

Метрические задачиСпособ вспомогательной параллельной плоскости

На рис. 1.66 через прямую Метрические задачи проведена плоскость Σ общего положения, заданная двумя прямыми Метрические задачи пересекающимися в произвольной точке А. Эта плоскость параллельна прямой l, поскольку проекции прямой Метрические задачи параллельны соответствующим проекциям прямой l. Для построения прямой Метрические задачи,  проходящей через точку D перпендикулярно плоскости Σ, в последней проводятся горизонталь h и фронталь f. Горизонтальная проекция Метрические задачи прямой Метрические задачи перпендикулярна  горизонтальной проекции h1 горизонтали, фронтальная проекция Метрические задачи перпендикулярна f2. Точка N пересечения прямой Метрические задачи с плоскостью Σ определяется методом вспомогательной секущей плоскости . В данном случае,  через прямую Метрические задачи проводится горизонтально-проецирующая плоскость , заданная горизонтальным следом Ω2, и определяется линия k пересечения плоскостей Σ, Ω.

Искомая точка N - точка пересечения прямых k, Метрические задачи. Длина отрезка DN определяется способом прямоугольного треугольника.

Метрические задачи

Метрические задачиОпределение расстояния между скрещивающимися прямыми

Угол между прямой и плоскостью, двумя плоскостями

Угол φ между прямой l и плоскостью Σ определяется как угол между прямой l и её проекцией Метрические задачи на эту плоскость (рис. 1.67 а).Метрические задачи

Метрические задачиУгол между прямой и плоскостью

На рис. 1.67 б плоскость Σ задана горизонтальным и фронтальным следами Метрические задачи Проекция прямой l на эту плоскость проходит через отрезок Метрические задачи , один конец которого (точка K) - точка пересечения прямой l с плоскостью  Σ, другой (точка Метрические задачи ) – точка пересечения прямой Метрические задачи с плоскостью Σ. Прямая Метрические задачи проходит через любую точку N прямой l перпендикулярно плоскости Σ. Горизонтальная проекция Метрические задачи перпендикулярна следу Метрические задачи, фронтальная проекция Метрические задачи перпендикулярна до Метрические задачи Ортогональными проекциями на  плоскости проекций П1, П2 угла φ между прямой l и плоскостью Σ являются соответствующие  проекции угла Метрические задачи . Натуральная величина угла φ определяется методами преобразования комплексного чертежа (см. п. 2.1.6, 2.3.3, 2.4.2).

Угол θ между двумя плоскостями Σ, Ω называется двухгранным углом (рис. 1.68). Он определяется как угол между перпендикулярами Метрические задачи к линии k пересечения плоскостей (прямая Метрические задачипринадлежит плоскости Σ, прямая Метрические задачи плоскости ).

Метрические задачи

Метрические задачиДвухгранный угол

Вышеуказанные способы определения углов между прямой и плоскостью и двумя плоскостями относятся к прямым способам, базирующимся на использовании определения углов  φ, θ. Прямые способы имеют существенный недостаток   – громоздкость вспомогательных построений .

С целью упрощения практической реализации задачи построения углов φ, θ  и чтения комплексного чертежа применяются непрямые способы, базирующиеся на свойствах этих углов 

Свойство угла между прямой и  плоскостью

Угол φ между прямой l и плоскостью Σ дополняет вспомогательный  угол Метрические задачи до 90° (рис. 1.69 а):

Метрические задачи

Вспомогательный  угол Метрические задачи -это угол между прямой l  и перпендикуляром Метрические задачи проведенным из любой её точки D к плоскости Σ.

Метрические задачи

Метрические задачиВспомогательный угол

На рис. 1.69 б плоскость Σ задана горизонтальным и фронтальным следами Метрические задачи. Проекции прямоq n, проведенyной через произвольную точку D прямой l перпендикулярно плоскости Σ, перпендикулярны соответствующим следам Метрические задачи этой плоскости. Натуральная величина угла Метрические задачиопределяется методами преобразования комплексного чертежа (см. п. 2.1.6, 2.3.3, 2.4.2).Угол φ определяется по формуле (1.1).

Свойство двухгранного угла

Угол θ между двумя плоскостями Σ, Ω равен углу Метрические задачи между прямыми Метрические задачи проходящими через произвольную точку пространства перпендикулярно этим плоскостям (рис. 1.70 а).

Метрические задачи

Метрические задачиНепрямой способ определения двухгранного угла

На рис. 1.70 б плоскости Σ, Ω заданы горизонтальными и фронтальными следами Метрические задачи и Метрические задачи соответственно. Проекции вспомогательных прямых Метрические задачи перпендикулярны  соответствующим следам плоскостей Σ, Ω. Натуральная величина угла Метрические задачи определяется методами преобразования комплексного чертежа (см. п. 2.1.6, 2.3.3). Угол θ между плоскостями Σ, Ω равен углу Метрические задачи между прямыми Метрические задачи .

Метрические и позиционные задачи

Позиционными считаются задачи, решение которых позволяет полу-чить ответ о принадлежности точки или линии поверхности, а также зада-чи на определение общих элементов, принадлежащих различным геомет-рическим фигурам. Метрическими называются задачи, решение которых связано с нахо-ждением метрических характеристик геометрических фигур, определяе-мых линейными и угловыми величинами.

Длина дуги кривой линии

Задача на определение длины дуги s кривой линии является достаточно сложной. В начертательной геометрии она решается приближённо способом линейной интерполяции: дуга ОМ линии l разбивается на N участков Метрические задачи которые условно заменяются одноимёнными отрезками прямых. Длина кривой ОМ определяется как сумма длин построенных отрезков с применением способов прямоугольного треугольника (рис. 3.74 а) или вращения вокруг проецирующих осей (рис. 3.74 б).

От количества N выбранных участков зависит точность определения длины дуги

Метрические задачи

Метрические задачиОпределение длины дуги кривой линии

Задача на определение длины кривой линии намного сложнее, чем  расчёт площадей геометрических фигур и объёмов тел. В античные времена единственная удачная попытка определения длины кривой линии была предпринята для окружности.

Декарт высказывал ошибочную мысль, что «отношение между прямым и кривым неизвестно и не может быть познано человечеством»

. Первым достижением было определение длины дуги параболы Нейла в 1657 р. Позже К. Рэн и Х. Гюйгенс нашли длину дуги циклоиды. Незадолго до открытия математического анализа Дж. Грегори создал общую теорию нахождения дуги кривой линии.

Метрические задачи Метрические задачи

Кристофер Рэн (Christopher Wren) – английский математик и архитектор, профессор математики в Оксфорде, член Королевского товарищества. Занимался вопросами кораблестроения, сопротивления жидкости, механикой вёсел и парусов и т.д.. Автор величественных архитектурных сооружений, в том числе Собора святого Павла.

Центр и радиус кривизны. Эволюта и эвольвента кривой

 Кривизна любой линии l в точке М характеризуется двумя основными параметрами: центром и радиусом кривизны

Центр и радиус кривизны – центр С и радиус ρ окружности Метрические задачи, которая является точнейшим приближением  данной кривой l в окрестности её точки М (рис. 3.75 а).

Центр кривизны С находится на внутренней нормали Метрические задачи кривой l в данной точке М. На рис. 3.75 б показан способ определения центра кривизны С плоской кривой l в точке М. В точке М и близко к ней расположенной точке N проведены касательные Метрические задачи Центр кривизны С является точкой пересечения перпендикуляров Метрические задачи к  касательным. Радиус СМ построенной окружности Метрические задачи с  центром в точке С является радиусом ρ кривизны линии l в точке М..

Метрические задачи

Метрические задачиЦентр и радиус кривизны

Понятия центра и радиуса кривизны введены Лейбницем. Геометрическое место центров кривизны линии l для всех её точек называется эволютой (от латинского evolute – развитый). На рис. 3.76 показаны эволюты эллипса, дуги синусоиды и циклоиды. Для их построения на этих кривых выбирается совокупность точек  Метрические задачи …  и проводятся касательные Метрические задачи … и нормали Метрические задачи, … Точки 1, 2, … пересечения последовательных пар нормалей являются точками, принадлежащими эволюте данной кривой. Например, эволюта эллипса (рис. 3.76 а) имеет форму звезды с двумя осями симметрии; эволюта половины дуги синусоиды (рис. 3.76 б) имеет две асимптоты и одну ось симметрии; эволюта ветви циклоиды (рис. 3.76 в) имеет одну ось симметрии.

Метрические задачи

Метрические задачиЭволюты плоских кривых

Линия Метрические задачи для которой заданная кривая l является эволютой, называется эвольвентой (от латинского evolvens – разворачивающий). Например, на рис. 3.76 а эллипс является эвольвентой фигуры в форме звезды.

Эволюты и эвольвенты широко используются в проектировании машин и механизмов. Например, зубчатые колёса (рис. 3.77) имеют профиль в форме кривой, эволюта которой является окружностью. Другими словами, такие зубчатые колеса имеют форму эвольвенты окружности.

Метрические задачи

Метрические задачи Применение эвольвенты окружности

Для построения эвольвенты окружности (рис. 3.78) последняя делится на N равных частей (как правило, N = 12) точками Метрические задачи, … Из этих точек проводятся отрезки Метрические задачи …, касательные к окружности и с равномерно возрастающей длиной (от нуля до длины окружности). Эвольвента окружности проходит через точки 1, 2, …

Метрические задачи

Метрические задачиЭвольвента окружности

Метрические задачи

Джеймс Грегори (James Gregory) – шотландский математик и астроном, член Королевского общества. Один из основателей математического анализа. Грегори является автором зеркального телескопа, метода определения расстояния от Земли до Солнца, способа числового интегрирования и разложения функций в бесконечные ряды.

Метрические задачиМетрические задачи

Готфрид Вильгельм фон Лейбниц (Gottfried Wilhelm von Leibniz) – выдающийся немецкий философ, математик, физик, юрист, историк, дипломат, изобретатель, филолог; основатель и первый президент Берлинской академии наук,  иностранный член Французской академии наук. Автор дифференциального и интегрального исчисления, учения про анализ и синтез, проектов научных исследований магнитного поля Земли. Лейбниц впервые ввёл термин «модель» в математических исследованиях и высказал мысль о возможности машинного моделирования функций человека. Лейбниц является автором механического арифмометра, прибора использования энергии ветра, чертежа подводной лодки, идеи создания паровой машины и т.д..

Эквидистанта кривой

 Эквидистанта кривой (от латинского æquidistans – равноудалённый) – геометрическое место Метрические задачи концов N отрезков одинаковой длины r, отложенных на нормалях Метрические задачи к заданной кривой l (рис. 3.79 а).

На рис. 3.79 б построена эквидистанта Метрические задачи кривой l.  В точках Метрические задачи … кривой l проводятся касательные Метрические задачи … По одну сторону кривой l вдоль нормалей Метрические задачи… откладываются отрезкиМетрические задачи, … одинаковой длины r, концы 1, 2, … которых принадлежат искомой эквидистанте.

Метрические задачи

Метрические задачиЭквидистанта кривой

В металлообработке эквидистантой к траектории центра концевой фрезы является контур поверхности, которая получается в результате фрезерования. В системах автоматического раскроя плоских изделий (пластин, тканей и т.д.) эквидистанта является контуром, которым ограничивается припуск на обработку.

Расстояние от точки до кривой линии и поверхности

Расстояние от точки А до кривой линии Метрические задачи - это наименьшее из всех расстояний l от этой точки до всех точек кривой Метрические задачи

В начертательной геометрии расстояние l от точки А до кривой  определяется способом конической поверхности (рис. 3.80).

Суть способа конической поверхности

Строится коническая поверхность Ф с направляющей Метрические задачи, совпадающей с данной кривой, и вершиной А, которая совпадает с данной точкой. Среди совокупности прямолинейных образующих выбирается образующая l наименьшей длины.

На рис. 3.80 построен комплексный чертёж точки А и кривой Метрические задачи. Строятся проекции образующих Метрические задачи …, заданных отрезками Метрические задачи, … Длины этих отрезков определяются способом вращения вокруг фронтально-проецирующей оси, проходящей через точку А. Натуральные величины Метрические задачи … вращаются вокруг горизонтально-проецирующей оси, проходящей через точку А, до общего фронтального положения уровня.

Метрические задачи

Метрические задачиСпособ конической поверхности

Среди совокупности отрезков Метрические задачи, … выбирается наименьший, длина которого равна искомому расстоянию от точки А до кривой Метрические задачи.

Расстояние от точки А до кривой поверхности Ω является наименьшим из всех расстояний l от этой точки до всех точек поверхности Ω.

В начертательной геометрии расстояние l от точки А до кривой поверхности Ω определяется способом конических поверхностей.

Суть способа конических поверхностей.

Строятся конические поверхности Метрические задачи … с вершиной А, которая совпадает с данной точкою, и направляющими Метрические задачи, … совпадающими с направляющими поверхности . Среди совокупности прямолинейных образующих каждой конической поверхности выбираются образующие Метрические задачи … наименьших длин. По точкам полученных образующих Метрические задачи …, принадлежащих поверхности Ω, строится кривая Метрические задачиРасстояние от точки А до поверхности  равно расстоянию от этой точки до линииМетрические задачи Она находится способом конической поверхности (рис. 3.80)

На рис. 3.81 построен комплексный чертёж точки А и поверхности . Способом конических поверхностей (см. рис. 3.80) определяются наименьшие расстояния Метрические задачи … от точки А до направляющих Метрические задачи … По точкам 1, 2, … строятся проекции линии Метрические задачи. Расстояние от точки А до кривой Метрические задачи определяется способом конической поверхности (рис. 3.80)..

Описанные выше графические способы конических поверхностей являются приближенными и требуют громоздких построений. Точное, аналитическое определение расстояния от точки до кривой линии и  поверхности является слишком сложной задачей поиска экстремума функции нескольких переменных параметров, которая может быть решена методами вариационного исчисления.

Метрические задачи

Метрические задачиСпособ конических поверхностей

Пересечение прямой линии с кривой поверхностью

Прямая линия l и кривая поверхность Ω могут иметь такие виды взаимного расположения:

а) прямая и поверхность не пересекаются (рис. 3.82 а);

б) прямая касается поверхности (см. п. 3.3, рис. 3.70 – 3.73);

в) прямая пересекает поверхность  (рис. 3.82 б), в том числе перпендикулярна  ей (см. п. 3.3, рис. 3.70 – 3.73).

Метрические задачи

Метрические задачиВзаимное расположение прямой линии и кривой поверхности

Из п. 1.5.7 известно, что прямая пересекает поверхность первого порядка (плоскость) в одной точке. В случае поверхности второго и высших порядков прямая может пересекать поверхность в точках, количество которых не превышает порядок поверхности. Например, прямая может пересекать тор (поверхность четвертого порядка) максимум в четырёх точках (рис. 3.82 б).

Для определения точек пересечения прямой l с поверхностью  применяются такие способы:

а) способ вспомогательной секущей плоскости особого положения (см. п. 4.2.2.1, рис. 4.17 – 4.19);

б) способ вспомогательной секущей плоскости общего положения (см. п. 4.2.2.2, рис. 4.20 – 4.23);

в) способ замены плоскостей проекций (см. п. 4.2.2.3, рис. 4.24);

г) способ вращения вокруг проецирующей оси (см. п. 4.2.2.3, рис. 4.25 – 4.27);

д) метод последовательных приближений (см. п. 4.2.2.5);

е) способ косоугольного проецирования.

Все способы, кроме последнего, детально описаны в п. 4.1.2, 4.2.2 на примере гранных тел и поверхностей вращения.

Способ косоугольного проецирования является универсальным, то есть может быть использован для определения точек пересечения прямой l с любой кривой поверхностью.

На рис. 3.83 определена точка K пересечения прямой l с гиперболическим параболоидом . Применён способ косоугольного проецирования на биссекторную плоскость Метрические задачи Направление проецирования і совпадает с прямой l, поэтому проекция Метрические задачи является точкой. Все точки и линии поверхности Ω также проецируются на биссекторную плоскость. Проекция Метрические задачи точки пересечения прямой l с поверхностью Ω совпадает с проекцией Метрические задачи Через точку Метрические задачи проводится образующая Метрические задачи принадлежащая поверхности Метрические задачи . С помощью линии проекционной связи определяются проекция Метрические задачи и проекции Метрические задачи искомой точки K пересечения прямой l с гиперболическим параболоидом.

Метрические задачи

Метрические задачиОпределение точки пересечения прямой линии с кривой поверхностью

Пересечение кривой линии с плоскостью

Кривая линия l и плоскость Σ могут иметь такие виды взаимного расположения:

а) линия и плоскость не пересекаются (рис. 3.84 а);

б)  плоскость касается лини (см. п. 3.3, рис. 3.70 – 3.73);

в) линия пересекает плоскость (рис. 3.84 б), в том числе перпендикулярна  ей (см. п. 3.3, рис. 3.70 – 3.73).

Метрические задачи

Метрические задачиВзаимное расположение прямой линии и плоскости

Кривая линия может пересекать плоскость в точках, количество которых не превышает порядок кривой. Например, эллипс (кривая второго порядка) пересекает плоскость максимум в  двух точках (рис. 3.84 б).

Для определения точек пересечения линии l с плоскостью Σ применяются такие способы:

а) способ вспомогательной секущей цилиндрической поверхности (см. п. 4.2.2.4, рис. 4.29 – 4.30);

б) метод последовательных приближений (см. п. 4.2.2.5);

в) способ косоугольного проецирования.

Способ косоугольного проецирования может быть применён для определения точек пересечения плоскости Σ с любой кривой линией l.

На рис. 3.85 определены точки M, N пересечения кривой линииl с плоскостью Σ, заданной параллельными прямыми a, b, с применением способа косоугольного проецирования на биссекторную плоскость Метрические задачи. Направление проецирования і совпадает с прямыми a, b, поэтому проекция Метрические задачи является прямой. Все точки линии l также проецируются на биссекторную плоскость. Проекции Метрические задачи точек пересечения линий l с плоскостью Σ принадлежат проекции Метрические задачи . С помощью линий проекционной связи определяются горизонтальная и фронтальная проекции искомых точек M, N..

Метрические задачи

Метрические задачиОпределение точек пересечения кривой линии с плоскостью

Задачи на пересечение кривой линии с поверхностью, а также на пересечение поверхности плоскостью или другой поверхностью детально рассмотрены в разделе 4.

Примеры и образцы решения задач:

Услуги по выполнению чертежей:

  1. Заказать чертежи
  2. Помощь с чертежами
  3. Заказать чертеж в компасе
  4. Заказать чертеж в автокаде
  5. Заказать чертежи по инженерной графике
  6. Заказать чертежи по начертательной геометрии
  7. Заказать черчение

Учебные лекции:

  1. Инженерная графика
  2. Начертательная геометрия
  3. Оформление чертежей
  4. Чертеж общего вида и сборочный чертеж
  5. Техническое рисование
  6. Машиностроительные чертежи
  7. Геометрические построения
  8. Деление окружности на равные части
  9. Сопряжение линий
  10. Коробовые кривые линии
  11. Построение уклона и конусности
  12. Лекальные кривые
  13. Параллельность и перпендикулярность
  14. Методы преобразования ортогональных проекций
  15. Поверхности
  16. Способы проецирования
  17. Способы преобразования чертежа
  18. Кривые линии
  19. Кривые поверхности
  20. Трёхгранник Френе
  21. Проецирование многогранников
  22. Проецирование тел вращения
  23. Развёртывание поверхностей
  24. Проекционное черчение
  25. Проецирование
  26. Проецирование точки
  27. Проецирование отрезка прямой линии
  28. Проецирование плоских фигур
  29. Способы преобразования проекций
  30. Аксонометрическое проецирование
  31. Проекции геометрических тел
  32. Сечение геометрических тел плоскостями и развертки их поверхностей
  33. Взаимное пересечение поверхностей тел
  34. Сечение полых моделей
  35. Разрезы
  36. Требования к чертежам деталей
  37. Допуски и посадки
  38. Шероховатость поверхностей и обозначение покрытий
  39. Разъемные и неразъемные соединения деталей
  40. Передачи и их элементы