Методы расчета линейных цепей

Методы расчета, основанные на свойствах линейных цепей

Выбор того или иного метода расчета электрической цепи в конечном итоге определяется целью решаемой задачи. Поэтому анализ линейной цепи не обязательно должен осуществляться с помощью таких общих методов расчета, как метод контурных токов или узловых потенциалов. Ниже будут рассмотрены методы, основанные на свойствах линейных электрических цепей и позволяющие при определенных постановках задач решить их более экономично.

Метод наложения

Данный метод справедлив только для линейных электрических цепей и является особенно эффективным, когда требуется вычислить токи для различных значений ЭДС и токов источников в то время, как сопротивления схемы остаются неизменными.

Данный метод основан на принципе наложения (суперпозиции), который формулируется следующим образом: ток в k - й ветви линейной электрической цепи равен алгебраической сумме токов, вызываемых каждым из источников в отдельности.

Аналитически принцип наложения для цепи, содержащей n источников ЭДС и m источников тока, выражается соотношением

Методы расчета линейных цепей
Здесь Методы расчета линейных цепей - комплекс входной проводимости k - й ветви, численно равный отношению тока к ЭДС в этой ветви при равных нулю ЭДС в остальных ветвях; Методы расчета линейных цепей- комплекс взаимной проводимости к - й и i- й ветвей, численно равный отношению тока в к - й ветви и ЭДС в i- й ветви при равных нулю ЭДС в остальных ветвях.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теоретическим основам электротехники (ТОЭ):

Основы электротехники: формулы и лекции и примеры заданий с решением

Входные и взаимные проводимости можно определить экспериментально или аналитически, используя их указанную смысловую трактовку, при этом Методы расчета линейных цепей, что непосредственно вытекает из свойства взаимности (см. ниже).

Аналогично определяются коэффициенты передачи тока Методы расчета линейных цепей, которые в отличие от проводимостей являются величинами безразмерными.

Доказательство принципа наложения можно осуществить на основе метода контурных токов.

Если решить систему уравнений, составленных по методу контурных токов, относительно любого контурного тока, например Методы расчета линейных цепей, то получим

Методы расчета линейных цепей

где Методы расчета линейных цепей - определитель системы уравнений, составленный по методу контурных токов; Методы расчета линейных цепей

-алгебраическое дополнение определителя Методы расчета линейных цепей.

Каждая из ЭДС в (2) представляет собой алгебраическую сумму ЭДС в ветвях i-ro контура. Если все ЭДС контура в (2) заменены алгебраической суммой ЭДС соответствующих ветвей, то после группировки членов получите формулу тока цепи. Методы расчета линейных цепей В виде алгебраических сумм компонентных токов, вызванных индивидуально каждой ветвью ЭДС. Поскольку независимая система циклов может быть выбрана в любое время, рассматривается только одна h-я ветвь Методы расчета линейных цепей-й контур, т.е. контурный ток Методы расчета линейных цепей будет равен действительному току Методы расчета линейных цепей h-й ветви, то принцип наложения справедлив для токов Методы расчета линейных цепей любых ветвей и, следовательно, справедливость принципа наложения доказана.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Анализ цепей с индуктивно связанными элементами

Особенности составления матричных уравнений при наличии индуктивных связей и ветвей с идеальными источниками

Метод эквивалентного генератора. Теорема вариаций

Пассивные четырехполюсники

Таким образом, при определении токов ветвей при помощи метода наложения следует поочередно оставлять в схеме по одному источнику, заменяя остальные их внутренними сопротивлениями, и рассчитать составляющие искомых токов в этих схемах. После этого полученные результаты для соответствующих ветвей суммируются - это и будут искомые токи в ветвях исходной цепи.

В качестве примера использования метода наложения определим ток во второй ветви схемы на рис. 1,а.

Методы расчета линейных цепей
Принимая источники в цепи на рис. 1,а идеальными и учитывая, что у идеального источника ЭДС внутреннее сопротивление равно нулю, а у идеального источника тока - бесконечности, в соответствии с методом наложения приходим к расчетным схемам на рис. 1,6...1,г.

В этих цепях

Методы расчета линейных цепей

где Методы расчета линейных цепей

Таким образом,

Методы расчета линейных цепей
В качестве другого примера использования метода определим взаимные проводимости Методы расчета линейных цепей в цепи на рис. 2, если при переводе ключа в положение 1 токи в первой и второй ветвях соответственно равны Методы расчета линейных цепей, а при переводе в положение 2 - Методы расчета линейных цепей.

Учитывая, что в структуре пассивного четырехполюсника не содержится источников энергии, на основании принципа наложения для состояния ключа в положении “1” можно записать

Методы расчета линейных цепей

Методы расчета линейных цепей
При переводе ключа в положение “2” имеем

Методы расчета линейных цепей

Методы расчета линейных цепей
Тогда, вычитая из уравнения (3) соотношение (5), а из (4)-(6), получим

Методы расчета линейных цепей

откуда искомые проводимости

Методы расчета линейных цепей

Что такое теоретические основы электротехники (ТОЭ) вы узнаете по этой ссылке:

Принцип взаимности

Принцип взаимности основан на теореме взаимности, которую сформулируем без доказательства: для линейной цепи ток Методы расчета линейных цепей в k - й ветви, вызванной единственной в схеме ЭДС Методы расчета линейных цепей , находящейся в i - й ветви,

Методы расчета линейных цепей

будет равен току Методы расчета линейных цепей в i - й ветви, вызванному ЭДС Методы расчета линейных цепей, численно равной ЭДС Методы расчета линейных цепей, находящейся в k - й ветви,

Методы расчета линейных цепей

Отсюда в частности вытекает указанное выше соотношение Методы расчета линейных цепей

Иными словами, основанный на теореме взаимности принцип взаимности гласит: если ЭДС Методы расчета линейных цепей, действуя в некоторой ветви схемы, не содержащей других источников, вызывает в другой ветви ток Методы расчета линейных цепей (см. рис. 3,а), то принесенная в эту ветвь ЭДС Методы расчета линейных цепей вызовет в первой ветви такой же ток Методы расчета линейных цепей (см. рис. 3,б).

Методы расчета линейных цепей
В качестве примера использования данного принципа рассмотрим цепь на рис. 4,а, в которой требуется определить ток Методы расчета линейных цепей , вызываемый источником ЭДС Методы расчета линейных цепей

Методы расчета линейных цепей
Перенесение источника ЭДС Методы расчета линейных цепей в диагональ моста, где требуется найти ток, трансформирует исходную схему в цепь с последовательно-параллельным соединением на рис. 4,6. В этой цепи

Методы расчета линейных цепей
где Методы расчета линейных цепей

В соответствии с принципом взаимности ток Методы расчета линейных цепей в цепи на рис. 4,а равен току, определяемому соотношением (7)

Линейные соотношения в линейных электрических цепях

При изменении в линейной электрической цепи ЭДС (тока) одного из источников или сопротивления в какой-то ветви токи в любой паре ветвей m и n будут связаны между собой соотношением

Методы расчета линейных цепей

где Методы расчета линейных цепей - некоторые в общем случае комплексные константы.

Действительно, в соответствии с (1) при изменении ЭДС Методы расчета линейных цепей в k - й ветви для тока в m - й ветви можно записать

Методы расчета линейных цепей

и для тока в n - й ветви -

Методы расчета линейных цепей
Здесь Методы расчета линейных цепей - составляющие токов соответственно в m-й и m-й ветвях, обусловленные всеми остальными источниками, кроме Методы расчета линейных цепей

Умножив левую и правую части (10) на Методы расчета линейных цепей, вычтем полученное соотношением из уравнения (9). В результате получим

Методы расчета линейных цепей
Обозначив в (11) Методы расчета линейных цепей, приходим к соотношению (8).

Отметим, что в соответствии с законом Ома из уравнения (8) вытекает аналогичное соотношение для напряжений в линейной цепи.

Методы расчета линейных цепей
В качестве примера найдем аналитическую зависимость между токами Методы расчета линейных цепей в схеме с переменным резистором на рис. 5, где Методы расчета линейных цепей

Коэффициенты А и В можно рассчитать, рассмотрев любые два режима работы цепи, соответствующие двум произвольным значениям Методы расчета линейных цепей.

Выбрав в качестве этих значений Методы расчета линейных цепей, для первого случая (Методы расчета линейных цепей) запишем

Методы расчета линейных цепей
Таким образом, Методы расчета линейных цепей

При Методы расчета линейных цепей (режим короткого замыкания)

Методы расчета линейных цепей

откуда

Методы расчета линейных цепей
На основании (8)

Методы расчета линейных цепей
Таким образом,

Методы расчета линейных цепей

Принцип компенсации

Принцип компенсации основан на теореме о компенсации, которая гласит: в любой электрической цепи без изменения токов в ее ветвях сопротивление в произвольной ветви можно заменить источником с ЭДС, численно равной падению напряжения на этом сопротивлении и действующей навстречу току в этой ветви.

Для доказательства теоремы выделим из схемы произвольную ветвь с сопротивлением Методы расчета линейных цепей, по которой протекает ток Методы расчета линейных цепей, а всю остальную часть схемы условно обозначим некоторым активным двухполюсником А (см. рис. 6,а).

Методы расчета линейных цепей
При включении в ветвь с Методы расчета линейных цепей двух одинаковых и действующих навстречу друг другу источнико в ЭДС с Методы расчета линейных цепей (рис. 6,6) режим работы цепи не изменится. Для этой цепи

Методы расчета линейных цепей
Равенство (12) позволяет гальванически соединить точки а и с, то есть перейти к цепи на рис. 6,в. Таким образом, теорема доказана.

В заключение следует отметить, что аналогично для упрощения расчетов любую ветвь с известным током Методы расчета линейных цепей можно заменить источником тока Методы расчета линейных цепей.