Методы расчета линейных цепей

Содержание:

1. Метод наложения
2. Принцип взаимности
3. Линейные соотношения в линейных электрических цепях
4. Принцип компенсации

Выбор того или иного метода расчета электрической цепи в конечном итоге определяется целью решаемой задачи. Поэтому анализ линейной цепи не обязательно должен осуществляться с помощью таких общих методов расчета, как метод контурных токов или узловых потенциалов. Ниже будут рассмотрены методы, основанные на свойствах линейных электрических цепей и позволяющие при определенных постановках задач решить их более экономично.

Метод наложения

Данный метод справедлив только для линейных электрических цепей и является особенно эффективным, когда требуется вычислить токи для различных значений ЭДС и токов источников в то время, как сопротивления схемы остаются неизменными.

Данный метод основан на принципе наложения (суперпозиции), который формулируется следующим образом: ток в k - й ветви линейной электрической цепи равен алгебраической сумме токов, вызываемых каждым из источников в отдельности.

Аналитически принцип наложения для цепи, содержащей n источников ЭДС и m источников тока, выражается соотношением

Здесь - комплекс входной проводимости k - й ветви, численно равный отношению тока к ЭДС в этой ветви при равных нулю ЭДС в остальных ветвях; - комплекс взаимной проводимости к - й и i- й ветвей, численно равный отношению тока в к - й ветви и ЭДС в i- й ветви при равных нулю ЭДС в остальных ветвях.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теоретическим основам электротехники (ТОЭ):

Основы электротехники: формулы и лекции и примеры заданий с решением

Входные и взаимные проводимости можно определить экспериментально или аналитически, используя их указанную смысловую трактовку, при этом , что непосредственно вытекает из свойства взаимности (см. ниже).

Аналогично определяются коэффициенты передачи тока , которые в отличие от проводимостей являются величинами безразмерными.

Доказательство принципа наложения можно осуществить на основе метода контурных токов.

Если решить систему уравнений, составленных по методу контурных токов, относительно любого контурного тока, например , то получим

где - определитель системы уравнений, составленный по методу контурных токов;

-алгебраическое дополнение определителя .

Каждая из ЭДС в (2) представляет собой алгебраическую сумму ЭДС в ветвях i-ro контура. Если все ЭДС контура в (2) заменены алгебраической суммой ЭДС соответствующих ветвей, то после группировки членов получите формулу тока цепи. В виде алгебраических сумм компонентных токов, вызванных индивидуально каждой ветвью ЭДС. Поскольку независимая система циклов может быть выбрана в любое время, рассматривается только одна h-я ветвь -й контур, т.е. контурный ток будет равен действительному току h-й ветви, то принцип наложения справедлив для токов любых ветвей и, следовательно, справедливость принципа наложения доказана.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Анализ цепей с индуктивно связанными элементами

Особенности составления матричных уравнений при наличии индуктивных связей и ветвей с идеальными источниками

Метод эквивалентного генератора. Теорема вариаций

Пассивные четырехполюсники

Таким образом, при определении токов ветвей при помощи метода наложения следует поочередно оставлять в схеме по одному источнику, заменяя остальные их внутренними сопротивлениями, и рассчитать составляющие искомых токов в этих схемах. После этого полученные результаты для соответствующих ветвей суммируются - это и будут искомые токи в ветвях исходной цепи.

В качестве примера использования метода наложения определим ток во второй ветви схемы на рис. 1,а.

Принимая источники в цепи на рис. 1,а идеальными и учитывая, что у идеального источника ЭДС внутреннее сопротивление равно нулю, а у идеального источника тока - бесконечности, в соответствии с методом наложения приходим к расчетным схемам на рис. 1,6...1,г.

В этих цепях

где

Таким образом,

В качестве другого примера использования метода определим взаимные проводимости в цепи на рис. 2, если при переводе ключа в положение 1 токи в первой и второй ветвях соответственно равны , а при переводе в положение 2 - .

Учитывая, что в структуре пассивного четырехполюсника не содержится источников энергии, на основании принципа наложения для состояния ключа в положении “1” можно записать

При переводе ключа в положение “2” имеем

Тогда, вычитая из уравнения (3) соотношение (5), а из (4)-(6), получим

откуда искомые проводимости

Что такое теоретические основы электротехники (ТОЭ) вы узнаете по этой ссылке:

• Теоретические основы электротехники

Принцип взаимности

Принцип взаимности основан на теореме взаимности, которую сформулируем без доказательства: для линейной цепи ток в k - й ветви, вызванной единственной в схеме ЭДС , находящейся в i - й ветви,

будет равен току в i - й ветви, вызванному ЭДС , численно равной ЭДС , находящейся в k - й ветви,

Отсюда в частности вытекает указанное выше соотношение

Иными словами, основанный на теореме взаимности принцип взаимности гласит: если ЭДС , действуя в некоторой ветви схемы, не содержащей других источников, вызывает в другой ветви ток (см. рис. 3,а), то принесенная в эту ветвь ЭДС вызовет в первой ветви такой же ток (см. рис. 3,б).

В качестве примера использования данного принципа рассмотрим цепь на рис. 4,а, в которой требуется определить ток , вызываемый источником ЭДС

Перенесение источника ЭДС в диагональ моста, где требуется найти ток, трансформирует исходную схему в цепь с последовательно-параллельным соединением на рис. 4,6. В этой цепи

где

В соответствии с принципом взаимности ток в цепи на рис. 4,а равен току, определяемому соотношением (7)

Линейные соотношения в линейных электрических цепях

При изменении в линейной электрической цепи ЭДС (тока) одного из источников или сопротивления в какой-то ветви токи в любой паре ветвей m и n будут связаны между собой соотношением

где - некоторые в общем случае комплексные константы.

Действительно, в соответствии с (1) при изменении ЭДС в k - й ветви для тока в m - й ветви можно записать

и для тока в n - й ветви -

Здесь - составляющие токов соответственно в m-й и m-й ветвях, обусловленные всеми остальными источниками, кроме

Умножив левую и правую части (10) на , вычтем полученное соотношением из уравнения (9). В результате получим

Обозначив в (11) , приходим к соотношению (8).

Отметим, что в соответствии с законом Ома из уравнения (8) вытекает аналогичное соотношение для напряжений в линейной цепи.

В качестве примера найдем аналитическую зависимость между токами в схеме с переменным резистором на рис. 5, где

Коэффициенты А и В можно рассчитать, рассмотрев любые два режима работы цепи, соответствующие двум произвольным значениям .

Выбрав в качестве этих значений , для первого случая () запишем

Таким образом,

При (режим короткого замыкания)

откуда

На основании (8)

Таким образом,

Принцип компенсации

Принцип компенсации основан на теореме о компенсации, которая гласит: в любой электрической цепи без изменения токов в ее ветвях сопротивление в произвольной ветви можно заменить источником с ЭДС, численно равной падению напряжения на этом сопротивлении и действующей навстречу току в этой ветви.

Для доказательства теоремы выделим из схемы произвольную ветвь с сопротивлением , по которой протекает ток , а всю остальную часть схемы условно обозначим некоторым активным двухполюсником А (см. рис. 6,а).

При включении в ветвь с двух одинаковых и действующих навстречу друг другу источнико в ЭДС с (рис. 6,6) режим работы цепи не изменится. Для этой цепи

Равенство (12) позволяет гальванически соединить точки а и с, то есть перейти к цепи на рис. 6,в. Таким образом, теорема доказана.

В заключение следует отметить, что аналогично для упрощения расчетов любую ветвь с известным током можно заменить источником тока .