Методы преобразования ортогональных проекций

Содержание:

  1. Виды преобразований ортогональных проекций
  2. Метод замены плоскостей проекций
  3. Замена одной плоскости проекций
  4. Выполнение преобразований методом замены плоскостей проекций
  5. Преобразование прямой общего положения в прямую уровня (преобразование вида №1) 
  6. Преобразование прямой уровня в прямую проецирующую (преобразование вида №2)
  7. Преобразование плоскости общего положения в плоскость проецирующую (преобразование вида №3)
  8. Преобразование плоскости проецирующей в плоскость уровня (преобразование вида №4)
  9. Замена двух плоскостей проекций 
  10. Преобразование прямой общего положения в прямую проецирующую (преобразование вида №1+№2)
  11. Преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня (преобразование вида №3 + №4)
  12. Графическая работа №1
  13. Метод вращения
  14. Вращение объекта вокруг проецирующей прямой
  15. Выполнение преобразований методом вращения вокруг проецирующей оси
  16. Преобразование вида №1 (преобразование прямой общего положения в прямую уровня)
  17. Преобразование вида №2 (преобразование прямой уровня в прямую проецирующую)
  18. Преобразование вида №3 (преобразование плоскости общего положения в плоскость проецирующую)
  19. Преобразование вида №4 (преобразование плоскости проецирующей в плоскость уровня)
  20. Преобразование вида №3+№4 (преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня)
  21. Вращение объекта вокруг линии уровня
  22. Преобразование вида №3+№4 (преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня)
  23. Вращение объекта вокруг прямой общего положения
  24. Вращение объекта вокруг линии нулевого уровня (Метод совмещения)
  25. Выполнение преобразования методом совмещения
  26. Преобразование вида №1 ( преобразование прямой общего положения в прямую уровня)
  27. Преобразование вида №3+№4 ( преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня методом совмещения)
  28. Вращение безосевое (вокруг воображаемой оси). Метод плоско-параллельного перемещения
  29. Выполнение преобразований методом плоско-параллельного перемещения
  30. Преобразование вида №1 (преобразование прямой общего положения в прямую уровня)
  31. Преобразование вида №2 (преобразование прямой уровня в прямую проецирующую)
  32. Преобразование вида №1+№2 (преобразование прямой общего положения в прямую проецирующую)
  33. Преобразование вида №3 (преобразование плоскости общего положения в плоскость проецирующую)
  34. Преобразование вида №4 (преобразование плоскости проецирующей в плоскость уровня)
  35. Преобразование вида №3+№4 (преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня методом плоско-параллельного перемещения)
  36. Примеры решения задач с применением методом преобразования проекций 

Методы преобразования ортогональных проекций:

Рассматривая чертеж объекта, для определения его составных элементов, необходимо иметь более информативные изображения, которые можно получить построением дополнительных проекций объекта. В таких проекциях рассматриваемый элемент (геометрический образ) должен занимать преимущественно частное положение относительно плоскостей проекций, что возможно достичь сменой взаимного положения объекта и плоскостей проекций. Это может быть достигнуто когда:

- объект недвижим, а изменяется расположение плоскостей проекций относительно объекта;

- недвижимыми являются плоскости проекций, а меняется расположения объекта относительно плоскостей.

Кроме этого, существует ряд специальных методов преобразования проекций. 

Виды преобразований ортогональных проекций

Рассмотрим назначение наиболее распространенных видов:

- преобразование вида №1 - дает возможность преобразовать прямую общего положения в прямую уровня, это преобразование выполняют для определения натуральной величины прямой (её отрезка) и углов наклона её к плоскости проекций или других метрических задач (рис. 8-1).

Методы преобразования ортогональных проекций

- преобразование вида №2 - дает возможность преобразовать прямую уровня в прямую проецирующую, это преобразование выполняют для решения ряда позиционных задач, например, расстояние от точки к прямой, расстояние между прямыми и других (рис. 8-2).

Методы преобразования ортогональных проекций

- преобразование вида №1 + №2 - дает возможность преобразовать прямую общего положения в прямую проецирующую, это преобразование выполняют для решения ряда метрических или позиционных задач, касательно прямых, характерных для объекта (рис. 8-3).

Методы преобразования ортогональных проекций

- преобразование вида №3 - дает возможность преобразовать плоскость общего положения в плоскость проецирующую, это преобразование выполняется для решения позиционных задач, например, определения углов наклона плоскостей к плоскостям проекций и других (рис. 8-4).

Методы преобразования ортогональных проекций

- преобразование вида №4 - дает возможность преобразовать плоскость проецирующую в плоскость уровня, это преобразование выполняется для решения задач по определению метрических характеристик плоских фигур (рис. 8-5).

Методы преобразования ортогональных проекций

- преобразование вида №3 + №4 - дает возможность преобразовать плоскость общего положения в плоскость уровня, это преобразование выполняется для решения ряда позиционно-метрических задач касательно плоских фигур, характерных для объекта (рис. 8-6). 

Методы преобразования ортогональных проекций

Метод замены плоскостей проекций

Метод основывается на выборе новой плоскости проекций, относительно которой элемент объекта, не меняя своего положения в пространстве, займет частное положение. При этом, новая плоскость проекций размещается перпендикулярно к одной из "старых" заданных плоскостей проекций.

Часто получение необходимого изображения объекта (или его элемента), достигается заменой только одной плоскости проекций, что может быть выполнено по схеме А или по схеме В, выполнение которых происходит в такой последовательности:

схема А: (выполняется одной заменой)  Методы преобразования ортогональных проекцийпри этом заменяется плоскость Методы преобразования ортогональных проекций на Методы преобразования ортогональных проекций, которая располагается перпендикулярно к плоскости Методы преобразования ортогональных проекций, а Методы преобразования ортогональных проекций, пересекаясь с Методы преобразования ортогональных проекций, образует ось Методы преобразования ортогональных проекций, которая разделяет новые поля Методы преобразования ортогональных проекций.

схема В: (выполняется одной заменой) Методы преобразования ортогональных проекцийпри этом заменяется плоскость Методы преобразования ортогональных проекций на Методы преобразования ортогональных проекций, которая располагается перпендикулярно к плоскости Методы преобразования ортогональных проекций, а Методы преобразования ортогональных проекций, пересекаясь с Методы преобразования ортогональных проекций, образует ось Методы преобразования ортогональных проекций, которая разделяет новые поля Методы преобразования ортогональных проекций.

В случае, когда для решения метрической задачи, одной замены недостаточно, то решение выполняется двумя последовательными заменами по схеме С или схеме Методы преобразования ортогональных проекций:

схема С: (выполняется двумя заменами) Методы преобразования ортогональных проекций, при этом выполняется первая замена, когда заменяется плоскость Методы преобразования ортогональных проекцийна Методы преобразования ортогональных проекций и Методы преобразования ортогональных проекций, которая разделяет поля Методы преобразования ортогональных проекций, далее выполняется вторая замена, когда Методы преобразования ортогональных проекций, заменяется на Методы преобразования ортогональных проекций и Методы преобразования ортогональных проекций, которая разделяет новые поля Методы преобразования ортогональных проекций.

схема Методы преобразования ортогональных проекций(выполняется двумя заменами) Методы преобразования ортогональных проекций при этом выполняется первая замена, когда заменяется плоскость Методы преобразования ортогональных проекций на Методы преобразования ортогональных проекций и Методы преобразования ортогональных проекций, которая разделяет поля Методы преобразования ортогональных проекций, далее выполняется вторая замена, когда Методы преобразования ортогональных проекций, заменяется на Методы преобразования ортогональных проекций и Методы преобразования ортогональных проекций, которая разделяет новые поля Методы преобразования ортогональных проекций.

Кроме приведенных схем, существуют другие, например, схема В. Л. Торохова, которая позволяет получить следствие двойной замены плоскостей без промежуточной замены.  

Замена одной плоскости проекций

Пусть в пространстве взаимно перпендикулярных плоскостей Методы преобразования ортогональных проекций и Методы преобразования ортогональных проекций (рис. 8-7) расположена точка А и ее горизонтальная проекция Методы преобразования ортогональных проекций, фронтальная проекция Методы преобразования ортогональных проекций и высота Методы преобразования ортогональных проекций и её проекция Методы преобразования ортогональных проекций, глубина Методы преобразования ортогональных проекций и ее проекция Методы преобразования ортогональных проекций.

Новую плоскость Методы преобразования ортогональных проекций расположим на произвольном расстоянии от точки А перпендикулярно к Методы преобразования ортогональных проекций и произвольно к Методы преобразования ортогональных проекций. Построим проекцию на неё точки А и получим Методы преобразования ортогональных проекций. С рис. 8-7 видно, что высота Методы преобразования ортогональных проекций точки А проецировалась на плоскость Методы преобразования ортогональных проекций и равно  Методы преобразования ортогональных проекций и проецируется на плоскость Методы преобразования ортогональных проекций, и равно Методы преобразования ортогональных проекций, то есть: высота точки А на поле плоскости Методы преобразования ортогональных проекций и на поле Методы преобразования ортогональных проекций одинаковая. Плоскость Методы преобразования ортогональных проекций, вместе с проекцией Методы преобразования ортогональных проекций и проекцией высоты Методы преобразования ортогональных проекцийповернем вокруг оси Методы преобразования ортогональных проекций до её совмещения с плоскостью Методы преобразования ортогональных проекций.

Методы преобразования ортогональных проекций

На рис. 8-8 показано эпюр точки А, спроецированной на поля Методы преобразования ортогональных проекций. На полях Методы преобразования ортогональных проекций, где выполнено замена за схемой А, расположив Методы преобразования ортогональных проекций на произвольном расстоянии Методы преобразования ортогональных проекций от точки А. При этом: Методы преобразования ортогональных проекций, которая проведена на произвольном расстоянии Методы преобразования ортогональных проекций от Методы преобразования ортогональных проекций. С точки Методы преобразования ортогональных проекций перпендикулярно к оси Методы преобразования ортогональных проекцийпроведена линия связи и на пересечении её с Методы преобразования ортогональных проекций получили точку АМетоды преобразования ортогональных проекций, а на продолжении этой линии связи от АМетоды преобразования ортогональных проекций отложен размер Методы преобразования ортогональных проекций, высота точки Методы преобразования ортогональных проекций, взятой с плоскости Методы преобразования ортогональных проекций, так как на рис. 8-1 видно, что высота точки А одинаково проецируется на Методы преобразования ортогональных проекций и на Методы преобразования ортогональных проекций, которые перпендикулярны к Методы преобразования ортогональных проекций.

Методы преобразования ортогональных проекций

Для построения Методы преобразования ортогональных проекций: на поле Методы преобразования ортогональных проекций меряем расстояние от Методы преобразования ортогональных проекций до оси Методы преобразования ортогональных проекций - получаем Методы преобразования ортогональных проекций, на поле Методы преобразования ортогональных проекций от оси Методы преобразования ортогональных проекций на линии связи откладываем расстояние Методы преобразования ортогональных проекций - получаем Методы преобразования ортогональных проекций

В новой системе плоскостей проекций Методы преобразования ортогональных проекцийполучено проекции Методы преобразования ортогональных проекций и Методы преобразования ортогональных проекций, которые также определяют положения точки А в пространстве. Отметим, что координаты на новую плоскость проекций Методы преобразования ортогональных проекций переносят с плоскости Методы преобразования ортогональных проекций, которая заменяется, то есть на новое поле, координаты берут с предыдущего поля через одно. 

Выполнение преобразований методом замены плоскостей проекций

Метод замены плоскостей проекций состоит в том, что одна из основных плоскостей проекций (П1, П2, П3) заменяется новой (П4, П5 и т.д.), подходящим образом расположенной относительно проецируемой фигуры, но перпендикулярно оставшейся плоскости проекций.

Преобразование прямой общего положения в прямую уровня (преобразование вида №1) 

На эпюре рис. 8-9 прямая общего положения задана отрезком АВ. Необходимо определить его натуральную величину и угол Методы преобразования ортогональных проекций(угол наклона его к плоскости проекций).

Методы преобразования ортогональных проекций

Решение такой задачи базируется на том, что когда отрезок прямой параллелен плоскости проекций, то на эту плоскость он и угол его наклона проецируется в натуральную величину.

На рис. 8-9 натуральная величина отрезка АВ и его угол Методы преобразования ортогональных проекций- угол наклона к Методы преобразования ортогональных проекций определяется по схеме А. Расположив плоскость Методы преобразования ортогональных проекций параллельно АВ, на эпюре ось Методы преобразования ортогональных проекцийпройдет параллельно горизонтальной проекции Методы преобразования ортогональных проекций. На линиях связи, проведенных с Методы преобразования ортогональных проекций и Методы преобразования ортогональных проекций от точек их пересечения с осью Методы преобразования ортогональных проекцийоткладываем на поле Методы преобразования ортогональных проекций координаты высот точек А и В, взяв их с поля Методы преобразования ортогональных проекций. Полученные проекции Методы преобразования ортогональных проекций и Методы преобразования ортогональных проекцийсоединяем и полученная проекция Методы преобразования ортогональных проекций, которая и есть натуральной величиной отрезка АВ заданной прямой, так как в системе полей Методы преобразования ортогональных проекций отрезок АВ является отрезком прямой уровня и на Методы преобразования ортогональных проекций спроецируется в натуральную величину, а угол между Методы преобразования ортогональных проекций и осью Методы преобразования ортогональных проекцийравен углу Методы преобразования ортогональных проекций- углу наклона АВ к Методы преобразования ортогональных проекций.

Если необходимо определить натуральную величину АВ и угол Методы преобразования ортогональных проекций - решение проводится за схемой В (рис. 8-10), при этом ось Методы преобразования ортогональных проекций пройдет параллельно Методы преобразования ортогональных проекций и на поле Методы преобразования ортогональных проекций получим натуральную величину АВ и угол Методы преобразования ортогональных проекций.

Методы преобразования ортогональных проекций

Преобразование прямой уровня в прямую проецирующую (преобразование вида №2)

На эпюре рис. 8-11 прямая уровня задана отрезком АВ горизонтальной прямой, необходимо отрезок АВ преобразовать в прямую проецирующую. 

Методы преобразования ортогональных проекций

Решение базируется на том, что когда отрезок прямой перпендикулярен к одной плоскости проекций, то на эту плоскость отрезок проецируется в виде точки, а на другие плоскости проекций проецируется в натуральную величину, которая будет расположена перпендикулярно к соответствующей оси. 

Решение задачи выполнено по схеме А, при этом ось Методы преобразования ортогональных проекцийпроведена перпендикулярно к Методы преобразования ортогональных проекций (которая равна натуральной величине АВ). На линии связи, проведенной в продолжение Методы преобразования ортогональных проекций, перпендикулярной к оси Методы преобразования ортогональных проекций, откладываем высоту точки А, взятую с поля Методы преобразования ортогональных проекций (вона равна и высоте точки В), и на поле Методы преобразования ортогональных проекций получим точку, в которой Методы преобразования ортогональных проекций сливается с Методы преобразования ортогональных проекций, в которую спроецируется вся прямая АВ. Таким образом на полях Методы преобразования ортогональных проекций отрезок АВ проецирующий, потому что он перпендикулярен к Методы преобразования ортогональных проекций.

Если надо преобразовать отрезок Методы преобразования ортогональных проекций фронтальной прямой в прямую проецирующую, то решение выполняется по схеме В (рис. 8-12), при этом ось Методы преобразования ортогональных проекций пройдет перпендикулярно к Методы преобразования ортогональных проекций

На полях Методы преобразования ортогональных проекций отрезок Методы преобразования ортогональных проекций фронтальной прямой преобразовано в прямую проецирующую. 

Методы преобразования ортогональных проекций

Преобразование плоскости общего положения в плоскость проецирующую (преобразование вида №3)

На эпюре рис. 8-13 плоскость Методы преобразования ортогональных проекцийобщего положения задана следами Методы преобразования ортогональных проекцийи Методы преобразования ортогональных проекций. Определить натуральную величину угла Методы преобразования ортогональных проекций- угла наклона Методы преобразования ортогональных проекцийк плоскости проекций Методы преобразования ортогональных проекций.

Методы преобразования ортогональных проекций

Решение такой задачи базируется на том, что у проецирующей плоскости один след (или её линия уровня) перпендикулярен к оси, а второй след - след-проекция образует с осью угол, который равен углу наклона плоскости к плоскости проекций. 

Решение этой задачи выполняется преобразованием вида №3 по схеме А, где плоскость общего положения Методы преобразования ортогональных проекций преобразована в плоскость проецирующую относительно Методы преобразования ортогональных проекций. На основе базового решения (выполненного по схеме А), чтобы плоскость Методы преобразования ортогональных проекцийстала проецирующей относительно Методы преобразования ортогональных проекций, проводим Методы преобразования ортогональных проекцийперпендикулярно к следу Методы преобразования ортогональных проекций, который пересекаясь с осью Методы преобразования ортогональных проекций, образует точку Методы преобразования ортогональных проекций - точку схода следов, в которой пройдет след проекция Методы преобразования ортогональных проекций. Для определения направления Методы преобразования ортогональных проекций достаточно построить одну произвольную точку А, которая принадлежит плоскость Методы преобразования ортогональных проекций, например, принадлежащую Методы преобразования ортогональных проекций. Построив Методы преобразования ортогональных проекций и с Методы преобразования ортогональных проекций, через Методы преобразования ортогональных проекций пройдет Методы преобразования ортогональных проекций - след-проекция, который с осью Методы преобразования ортогональных проекций образует искомый угол Методы преобразования ортогональных проекций

Когда необходимо определить угол Методы преобразования ортогональных проекций (угол наклона плоскости Методы преобразования ортогональных проекцийк плоскости проекций Методы преобразования ортогональных проекций), то решение необходимо провести по схеме В, при котором ось Методы преобразования ортогональных проекцийпройдет перпендикулярно к следу Методы преобразования ортогональных проекций(рис. 8-14) и построить след-проекцию Методы преобразования ортогональных проекций, который с осью Методы преобразования ортогональных проекций образует искомый угол Методы преобразования ортогональных проекций

Методы преобразования ортогональных проекций

Если плоскость Методы преобразования ортогональных проекцийзадана не следами, а, например, треугольником (рис. 8-15), то для определения угла Методы преобразования ортогональных проекций (угол наклона плоскости Методы преобразования ортогональных проекцийк Методы преобразования ортогональных проекций), в заданной Методы преобразования ортогональных проекцийпроводим горизонталь Методы преобразования ортогональных проекций, и дальше решение выполняется аналогично выше приведенному решения по схеме А относительно Методы преобразования ортогональных проекций.

Методы преобразования ортогональных проекций

Когда нужно определить угол Методы преобразования ортогональных проекций, то в плоскости Методы преобразования ортогональных проекцийпроводим фронталь Методы преобразования ортогональных проекций и выполняем преобразование по схеме В (рис. 8-16).

Методы преобразования ортогональных проекций

Преобразование плоскости проецирующей в плоскость уровня (преобразование вида №4)

Треугольник АВС принадлежит фронтально проецирующей плоскости Методы преобразования ортогональных проекций. Необходимо определить натуральную величину треугольника АВС.

Решение такой задачи базируется на том, что на полях Методы преобразования ортогональных проекций плоскость уровня воспроизводится одним следом, расположенным параллельно оси Методы преобразования ортогональных проекций и этот след называется след-проекция, и с ним сливается одноименная проекция произвольной фигуры, которая принадлежит этой плоскости, а вторая проекция фигуры - натуральная величина этой произвольной фигуры. 

Решение поставленной (рис. 8-17) задачи выполняется по схеме В. Треугольник АВС расположен во фронтально проецирующей плоскости имеет свою фронтальную проекцию Методы преобразования ортогональных проекций, которая совпадает со следом-проекцией Методы преобразования ортогональных проекций

Методы преобразования ортогональных проекций

В новой системе полей Методы преобразования ортогональных проекций на поле Методы преобразования ортогональных проекций получаем проекцию Методы преобразования ортогональных проекций, которая равна натуральной величине заданного треугольника АВС.

В случае, когда треугольник АВС принадлежит горизонтально проецирующей плоскости Методы преобразования ортогональных проекций и необходимо определить его натуральную величину, то решение выполняется аналогично предыдущему случаю, только по схеме А (рис. 8-18). При этом ось Методы преобразования ортогональных проекцийрасполагается параллельно Методы преобразования ортогональных проекций и на поле Методы преобразования ортогональных проекций полученная проекция Методы преобразования ортогональных проекций равна натуральной величине треугольника АВС. 

Методы преобразования ортогональных проекций

Замена двух плоскостей проекций 

При решении более сложных метрических задач, например, для воспроизведения натуральной величины (наглядности изображения) какой-то геометрической фигуры, или преобразования элемента формы объекта, бывает так, что одной замены плоскостей недостаточно и выполняются последовательно новые замены (одна, две или больше).

Рассмотрим образование проекций точки в новых системах плоскостей проекций. Пусть Методы преобразования ортогональных проекций и Методы преобразования ортогональных проекций проекций точки А на исходных полях Методы преобразования ортогональных проекций, что приведено на рис. 8-19.

Методы преобразования ортогональных проекций

Выполняем первую замену, в которой новую плоскость проекций Методы преобразования ортогональных проекций расположим, например, перпендикулярно к горизонтальной плоскости проекций Методы преобразования ортогональных проекций. При этом Методы преобразования ортогональных проекцийрасполагается на произвольном (на нужном) расстоянии от точки А.

Методы преобразования ортогональных проекций, пересекаясь с Методы преобразования ортогональных проекций, образует ось Методы преобразования ортогональных проекций, которая пройдет от ааа1 на произвольном расстоянии Методы преобразования ортогональных проекций. Высота точки А проецируется на Методы преобразования ортогональных проекций и Методы преобразования ортогональных проекций одинаково. При совмещении Методы преобразования ортогональных проекций с Методы преобразования ортогональных проекций, которое проведено путем вращения Методы преобразования ортогональных проекций вокруг оси Методы преобразования ортогональных проекцийвысоту Методы преобразования ортогональных проекций, заданную на Методы преобразования ортогональных проекций, переносим на новое поле Методы преобразования ортогональных проекций, отложив Методы преобразования ортогональных проекций на продолжении линии связи Методы преобразования ортогональных проекций, и получаем Методы преобразования ортогональных проекций

На новых полях Методы преобразования ортогональных проекций точка А воспроизведена своими проекциями Методы преобразования ортогональных проекций и Методы преобразования ортогональных проекций.

Выполняем вторую замену, в которой новые поля Методы преобразования ортогональных проекций первой замены, принимаются во второй замене за исходные поля. Новую плоскость проекций Методы преобразования ортогональных проекцийрасполагается на произвольном (на нужном) расстоянии от точки А. Методы преобразования ортогональных проекций, пересекаясь с Методы преобразования ортогональных проекций, образует ось Методы преобразования ортогональных проекций, которая пройдет от Методы преобразования ортогональных проекций на произвольно выбранном расстоянии Методы преобразования ортогональных проекций, на котором Методы преобразования ортогональных проекцийрасположится от точки А. Глубина Методы преобразования ортогональных проекций (расстоянии от точки А к Методы преобразования ортогональных проекций) одинаково проецируется на Методы преобразования ортогональных проекций и Методы преобразования ортогональных проекций. Поворачиваем Методы преобразования ортогональных проекцийвокруг оси Методы преобразования ортогональных проекций до совмещения с Методы преобразования ортогональных проекций, получаем новую систему полей Методы преобразования ортогональных проекций. Глубину Методы преобразования ортогональных проекций, выбранную на поле Методы преобразования ортогональных проекций, переносим на новое поле Методы преобразования ортогональных проекций, отложив от Методы преобразования ортогональных проекций на продолжении линии связи Методы преобразования ортогональных проекций и получаем Методы преобразования ортогональных проекций. На новых полях Методы преобразования ортогональных проекций точка А воспроизведена своими проекциями Методы преобразования ортогональных проекций и Методы преобразования ортогональных проекций

Преобразование прямой общего положения в прямую проецирующую (преобразование вида №1+№2)

На эпюре рис. 8-20 прямая общего положения задана отрезком АВ. Необходимо определить его натуральную величину, угол Методы преобразования ортогональных проекций- угол наклона его плоскости проекций Методы преобразования ортогональных проекций, а также преобразовать его в проецирующее положение.

Методы преобразования ортогональных проекций

Решение задачи выполняется по схеме С, в которой последовательно выполняется преобразование вида №1. Решение этого вида выполняется по схеме А и получаем натуральную величину АВ и угол Методы преобразования ортогональных проекций. Дальше выполняется преобразование №2 решением по схеме А и получаем прямую, преобразованную в проецирующую. 

Когда необходимо определить натуральную величину отрезка АВ, угол Методы преобразования ортогональных проекций- угол наклона его плоскости проекций Методы преобразования ортогональных проекций, а также преобразовать его в проецирующее положение, то:

Решение такой задачи приведено на рис. 8-21 и выполняется по схеме Методы преобразования ортогональных проекций, в которой последовательно выполняется преобразование №1 по схеме В и получаем натуральную величину АВ и угол Методы преобразования ортогональных проекций.

Методы преобразования ортогональных проекций

Далее выполняется преобразование вида №2 с решением по схеме В и получаем прямую, преобразованную в проецирующую. 

Преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня (преобразование вида №3 + №4)

На эпюре рис. 8-22 плоскость Методы преобразования ортогональных проекцийобщего положения задана треугольником АВС.

Необходимо определить натуральную величину треугольника АВС и угол Методы преобразования ортогональных проекций- угол наклона Методы преобразования ортогональных проекцийк Методы преобразования ортогональных проекций

Методы преобразования ортогональных проекций

Решение задачи выполняется по схеме С, при котором сначала выполняется замена вида №3 по схеме А.

Для этого в Методы преобразования ортогональных проекций, например с Методы преобразования ортогональных проекций проводим Методы преобразования ортогональных проекций, строим Методы преобразования ортогональных проекций в Методы преобразования ортогональных проекций. Ось Методы преобразования ортогональных проекцийпроводим перпендикулярно к Методы преобразования ортогональных проекций. На поле Методы преобразования ортогональных проекций получаем след-проекцию Методы преобразования ортогональных проекций, который с осью Методы преобразования ортогональных проекций образует искомый угол Методы преобразования ортогональных проекций. Далее, к следствию предыдущей замены применяют преобразование вида №4, при этом весь Методы преобразования ортогональных проекцийпроводим параллельно Методы преобразования ортогональных проекций и на поле Методы преобразования ортогональных проекцийполучаем проекцию Методы преобразования ортогональных проекций, которая равна натуральной величине треугольника АВС. 

Если необходимо определить натуральную величину треугольника АВС и угол Методы преобразования ортогональных проекций- угол наклона Методы преобразования ортогональных проекцийк Методы преобразования ортогональных проекций, то решение такой задачи приведено на рис. 8-23 и выполняется по схеме Методы преобразования ортогональных проекций, при которой последовательно выполняется преобразование вида №3 по схеме В. Для этого в Методы преобразования ортогональных проекций, например, с Методы преобразования ортогональных проекций проводим Методы преобразования ортогональных проекций, строим Методы преобразования ортогональных проекций в Методы преобразования ортогональных проекций

Методы преобразования ортогональных проекций

Ось Методы преобразования ортогональных проекцийпроводим перпендикулярно к Методы преобразования ортогональных проекций. На поле Методы преобразования ортогональных проекций получаем след-проекцию Методы преобразования ортогональных проекций, который с осью Методы преобразования ортогональных проекцийобразует искомый угол Методы преобразования ортогональных проекций.

Далее, к следствию предыдущей замены выполняют преобразование вида №4, при этом Методы преобразования ортогональных проекций проводим параллельно Методы преобразования ортогональных проекций и на поле Методы преобразования ортогональных проекцийполучаем проекцию Методы преобразования ортогональных проекций, которая равна искомой натуральной величине треугольника АВС. 

Примеры решения задач:

Пример 8.2.1. 

Дано: отрезки Методы преобразования ортогональных проекций и АВ, которые лежат на двух скрещивающихся прямых (рис. 8-24)

Методы преобразования ортогональных проекций

Необходимо: определить расстояние между Методы преобразования ортогональных проекций и АВ и угол между ними.

Решение задачи приведено на рис. 8-25.

Методы преобразования ортогональных проекций

Натуральная величина расстояния между заданными скрещивающимися прямыми будет спроецировано в натуральную величину, когда одна из заданных прямых является проецирующей прямой, а проекция расстояния пройдет с точки, которая является проекцией проецирующей прямой, по перпендикуляру к проекции другой прямой (на основании проекции прямого угла, где расстояние как прямая параллельна плоскости проекции, а вторая прямая перпендикулярна к расстоянию как прямой). 

Для этого выполняется преобразование вида №1+2 для, например, отрезка Методы преобразования ортогональных проекций выполняется преобразование вида №1 по схеме А параллельно Методы преобразования ортогональных проекций - преобразуем на полях Методы преобразования ортогональных проекцийпрямую Методы преобразования ортогональных проекций в прямую уровня, так проведена первая замена, далее к прямой уровня применим преобразование вида №2, преобразовав прямую уровня в прямую проецирующую, где вторая замена, при которой ось Методы преобразования ортогональных проекций пройдет перпендикулярно к натуральной величине Методы преобразования ортогональных проекций, на полях Методы преобразования ортогональных проекцийпрямая Методы преобразования ортогональных проекций преобразована в прямую проецирующую - на Методы преобразования ортогональных проекцийМетоды преобразования ортогональных проекций спроецируется в точку Методы преобразования ортогональных проекций- перпендикуляр с которой Методы преобразования ортогональных проекций и есть натуральной величиной искомого расстояния Методы преобразования ортогональных проекций между скрещивающимися прямыми АВ и Методы преобразования ортогональных проекций. Угол между скрещивающимися прямыми будет спроецирован в натуральную величину на плоскость, параллельную этим прямым. Для этого выполняем третью замену, при которой плоскость Методы преобразования ортогональных проекций проводим перпендикулярно к плоскости Методы преобразования ортогональных проекцийи параллельно отрезку АВ. На полях Методы преобразования ортогональных проекций - прямая уровня, её Методы преобразования ортогональных проекций - натуральная величина АВ, а Методы преобразования ортогональных проекций - прямая проецирующая, её угол между Методы преобразования ортогональных проекций и Методы преобразования ортогональных проекций - натуральная величина угла Методы преобразования ортогональных проекций - искомого угла между скрещивающимися прямыми АВ и Методы преобразования ортогональных проекций.

Алгоритм решения:

Методы преобразования ортогональных проекцийМетоды преобразования ортогональных проекцийлиния уровняМетоды преобразования ортогональных проекций.

Методы преобразования ортогональных проекций точка Методы преобразования ортогональных проекцийМетоды преобразования ортогональных проекций - линия проецирующаяМетоды преобразования ортогональных проекций.

Методы преобразования ортогональных проекцийн. в. расстояния.

Методы преобразования ортогональных проекций

Пример 8.2.2. 

Дано: плоскость Методы преобразования ортогональных проекцийзадана треугольником АВС и точка Методы преобразования ортогональных проекций не принадлежит плоскости Методы преобразования ортогональных проекций(рис. 8-26).

Методы преобразования ортогональных проекций

Необходимо: определить расстояние от точки Методы преобразования ортогональных проекций к плоскости Методы преобразования ортогональных проекций

Решение базируется на том, что когда плоскость проецирующая (перпендикулярная к какой-то плоскости проекций П), то перпендикуляр проведенный с точки Методы преобразования ортогональных проекций к этой плоскости будет расположен параллельно плоскости проекций П. Проецируется упомянутый перпендикуляр на эту плоскость проекций в натуральную величину, то есть на плоскости проекций П: с проекции точки Методы преобразования ортогональных проекций перпендикуляр проведенный до пересечения со следом-проекцией заданной плоскости - натуральная величина искомого расстояния от точки Методы преобразования ортогональных проекций до заданной плоскости.

На рис. 8-27 заданная плоскость Методы преобразования ортогональных проекций - плоскость общего положения и преобразуется в плоскость проецирующую, что выполняется при помощи преобразования вида №3 по схеме А, при выполнении которой ось Методы преобразования ортогональных проекций перпендикулярна Методы преобразования ортогональных проекций (когда Методы преобразования ортогональных проекций). 

Методы преобразования ортогональных проекций

На поле Методы преобразования ортогональных проекций проекция Методы преобразования ортогональных проекций треугольника АВС совпала со следом-проекцией Методы преобразования ортогональных проекций

С проекции Методы преобразования ортогональных проекций проводим перпендикуляр к Методы преобразования ортогональных проекций, который пересекается с ней в точке Методы преобразования ортогональных проекций .Методы преобразования ортогональных проекций - натуральна величина расстояния от точки Методы преобразования ортогональных проекций к Методы преобразования ортогональных проекций

Алгоритм решения: 

Методы преобразования ортогональных проекций

Методы преобразования ортогональных проекций

Методы преобразования ортогональных проекций

Пример 8.2.3

Дано: плоскость общего положения Методы преобразования ортогональных проекций задана треугольником АВС (рис. 8-28)

Методы преобразования ортогональных проекций

Необходимо: определить угол Методы преобразования ортогональных проекцийи Методы преобразования ортогональных проекций наклона плоскости Методы преобразования ортогональных проекцийк Методы преобразования ортогональных проекций и Методы преобразования ортогональных проекций, а также центр  окружности описанной вокруг треугольника АВС. 

Решение базируется на том, что угол Методы преобразования ортогональных проекцийопределяется как угол между следом-проекцией плоскости, перпендикулярной к Методы преобразования ортогональных проекций и осью Методы преобразования ортогональных проекций, а угол Методы преобразования ортогональных проекций определяется как угол между следом-проекцией плоскости, перпендикулярной к Методы преобразования ортогональных проекций и осью Методы преобразования ортогональных проекций.

Центр окружности, описанной вокруг треугольника - точка пересечения перпендикуляров, проведенных через середину сторон натуральной величины треугольника, которую получаем как проекцию треугольника, который принадлежит плоскости уровня, которая параллельна плоскости проекций, относительно которой плоскость треугольника параллельна.

Решение задачи показано на рис. 8-29, который построено при помощи преобразования вида №3, выполненного по схеме А, при этом ось Методы преобразования ортогональных проекций располагают перпендикулярно к Методы преобразования ортогональных проекцийгоризонтали Методы преобразования ортогональных проекций, принадлежащей треугольнику АВС. 

Методы преобразования ортогональных проекций

На поле Методы преобразования ортогональных проекций получаем Методы преобразования ортогональных проекций - след-проекцию плоскости Методы преобразования ортогональных проекций, а угол между Методы преобразования ортогональных проекций и осью Методы преобразования ортогональных проекций- искомый угол Методы преобразования ортогональных проекций. Если к условию задачи применяют преобразование вида №3, выполненного по схеме В, при этом ось Методы преобразования ортогональных проекций располагают перпендикулярно к Методы преобразования ортогональных проекций фронтали Методы преобразования ортогональных проекций, которая принадлежит треугольнику АВС.

На поле Методы преобразования ортогональных проекций получаем Методы преобразования ортогональных проекций- след-проекцию плоскости Методы преобразования ортогональных проекций, а угол между Методы преобразования ортогональных проекций и осью Методы преобразования ортогональных проекций - искомый угол Методы преобразования ортогональных проекций.

Для изображения проекции плоскости Методы преобразования ортогональных проекцийна полях  Методы преобразования ортогональных проекций применяется преобразование вида №4 и плоскость Методы преобразования ортогональных проекций преобразуется в плоскость уровня Методы преобразования ортогональных проекций. На поле Методы преобразования ортогональных проекций полученная проекция Методы преобразования ортогональных проекций, которая является натуральной величиной треугольника АВС. Два перпендикуляра, проведенные через середины сторон к Методы преобразования ортогональных проекций и Методы преобразования ортогональных проекций, в своем пересечении дают точку Методы преобразования ортогональных проекций, которая является искомым центром описанной окружности. 

Алгоритм решения:

Методы преобразования ортогональных проекций

Графическая работа №1

Выполняется после изучения темы "Метод замены плоскостей проекций".

Задание:

- дано: плоскость общего положения Методы преобразования ортогональных проекций, задана треугольником АВС, координаты вершин которого приведены по вариантам в таблице№3;

- необходимо построить проекции окружности: описанной вокруг треугольника АВС - для парных вариантов, или вписанной в него - для непарных вариантов, и определить углы Методы преобразования ортогональных проекций и Методы преобразования ортогональных проекций наклона плоскости к плоскостям проекций Методы преобразования ортогональных проекций и Методы преобразования ортогональных проекций

Таблица №3

Методы преобразования ортогональных проекций

На рисунке ГР-2 показано решение поставленной задачи.

Ход решения:

- определение Методы преобразования ортогональных проекций и Методы преобразования ортогональных проекций наклона плоскости Методы преобразования ортогональных проекций к плоскости Методы преобразования ортогональных проекций и Методы преобразования ортогональных проекций:

Для определения искомых углов, вспомним одно из свойств проецирующих плоскостей: 

- угол, образованный следом-проекцией плоскости, или её линией уровня, с осью координат равен углу наклону проецирующей плоскости к соответствующей плоскости проекций (на которой след заданной плоскости перпендикулярен к заданной оси).

Таким образом, для определения искомых углов выполним преобразование заданной плоскости Методы преобразования ортогональных проекций общего положения в плоскость проецирующую (выполнение такого преобразования приведено в п.8.2.3).

Определение Методы преобразования ортогональных проекций:

В плоскости Методы преобразования ортогональных проекций, заданной треугольником АВС, проводим произвольную (например, с точки А) фронталь Методы преобразования ортогональных проекций и перпендикулярно к этой фронтали проводим новую плоскость Методы преобразования ортогональных проекций, которая расположится перпендикулярно к плоскости Методы преобразования ортогональных проекций (так как Методы преобразования ортогональных проекций) и при пересечении плоскости Методы преобразования ортогональных проекций с Методы преобразования ортогональных проекций образуется ось Методы преобразования ортогональных проекций. На новую плоскость Методы преобразования ортогональных проекций фронталь Методы преобразования ортогональных проекций спроецируется в точку (как проецирующая Методы преобразования ортогональных проекций относительно Методы преобразования ортогональных проекций), а вся плоскость Методы преобразования ортогональных проекций спроецируется в линию Методы преобразования ортогональных проекций, которая будет следом-проекцией плоскости Методы преобразования ортогональных проекций. Угол, образованный следом-проекцией Методы преобразования ортогональных проекций и осью Методы преобразования ортогональных проекций(которая разделит поля плоскостей Методы преобразования ортогональных проекций и Методы преобразования ортогональных проекций) и будет искомым Методы преобразования ортогональных проекций.

Алгоритм последовательности построения решения:

= в пространстве:

Методы преобразования ортогональных проекций

= на эпюре:

- на поле Методы преобразования ортогональных проекций

- на поле Методы преобразования ортогональных проекций

Из точек Методы преобразования ортогональных проекцийпроводим линии связи, перпендикулярные к оси Методы преобразования ортогональных проекций;

- на поле Методы преобразования ортогональных проекций: на продолжении этих линий связи от Методы преобразования ортогональных проекций откладываем координаты глубин точек А, В и С, взяв их размер с поля Методы преобразования ортогональных проекций, (при замене плоскостей проекций на новом поле откладываем координаты, взятые с поля через одно), получаем Методы преобразования ортогональных проекций

Определение Методы преобразования ортогональных проекций:

В плоскости Методы преобразования ортогональных проекцийпроводим горизонталь Методы преобразования ортогональных проекций и проводим новую плоскость Методы преобразования ортогональных проекций перпендикулярную к построенной горизонтали Методы преобразования ортогональных проекций. На плоскость Методы преобразования ортогональных проекций горизонталь Методы преобразования ортогональных проекций спроецируется в точку, а вся плоскость Методы преобразования ортогональных проекцийспроецируется в линию Методы преобразования ортогональных проекций. Угол между следом-проекцией Методы преобразования ортогональных проекций и осью Методы преобразования ортогональных проекций будет искомым Методы преобразования ортогональных проекций наклона плоскости Методы преобразования ортогональных проекций к Методы преобразования ортогональных проекций.

Алгоритм последовательности построения решения:

= в пространстве:

Методы преобразования ортогональных проекций

= на эпюре:

- на поле Методы преобразования ортогональных проекций

- на поле Методы преобразования ортогональных проекций

Методы преобразования ортогональных проекций

Определение центра окружности описанной вокруг Методы преобразования ортогональных проекций:

Центр окружности, описанной вокруг Методы преобразования ортогональных проекций возможно определить, имея натуральную величину треугольника, проведя перпендикуляры через середины его сторон и их точка взаимного пересечения будет центром описанной окружности (а если имеем натуральную величину треугольника, то центр вписанной в него окружности будет определен при пересечении биссектрис углом натуральной величины треугольника).

Для определения натуральной величины заданного треугольника необходимо преобразовать плоскость треугольник в плоскость уровня. Имея первое преобразование плоскости общего положения Методы преобразования ортогональных проекцийв плоскость проецирующую, что выполнено при определении Методы преобразования ортогональных проекций. Выполним второе преобразование , при котором проецирующая плоскость будет преобразована в плоскость уровня, где и будет получено натуральную величину треугольника АВС. Ход выполнения второго преобразования описано в п. 8.2.4.

Алгоритм решения:

Методы преобразования ортогональных проекций

Методы преобразования ортогональных проекций = н.в. Методы преобразования ортогональных проекций Методы преобразования ортогональных проекций центр окружности Методы преобразования ортогональных проекций диаметр описанной окружности Методы преобразования ортогональных проекций

Для построения фронтальной проекции окружности:

На поле Методы преобразования ортогональных проекцийу окружности Методы преобразования ортогональных проекций выделяем два сопряженных диаметра Методы преобразования ортогональных проекций и Методы преобразования ортогональных проекций, строим проекции этих диаметров на поле Методы преобразования ортогональных проекций и на поле Методы преобразования ортогональных проекций, на котором получено Методы преобразования ортогональных проекций - большую ось эллипса, в который проецируется описанная окружность, направление этой оси проходит через Методы преобразования ортогональных проекций и расположен параллельно Методы преобразования ортогональных проекций (одновременно перпендикулярно к Методы преобразования ортогональных проекций) и проецируется в натуральную величину, то есть Методы преобразования ортогональных проекций - большая ось равна диаметру описанной окружности, Методы преобразования ортогональных проекцийМалая ось Методы преобразования ортогональных проекций расположена перпендикулярно к Методы преобразования ортогональных проекций и размер малой оси определяется фронтальной проекцией диаметра Методы преобразования ортогональных проекций. По большой оси Методы преобразования ортогональных проекций и малой оси Методы преобразования ортогональных проекций строим эллипс, который является фронтальной проекцией окружности, описанной вокруг треугольника АВС. 

Для построения горизонтальной проекции окружности:

Определяем горизонтальные проекции большой и малой оси эллипса, которыми будут проекции второй пары сопряженных диаметров, за которые принимаются диаметр Методы преобразования ортогональных проекций и диаметр Методы преобразования ортогональных проекций. Через точку Методы преобразования ортогональных проекций пройдет горизонтальная  проекция диаметра Методы преобразования ортогональных проекций, которая сливается с направлением горизонтали плоскости треугольника, а учитывая это (Методы преобразования ортогональных проекций- линия натуральный величин) через точку Методы преобразования ортогональных проекций пройдет большая ось эллипса, в который спроецируется построенная окружность. Размер Методы преобразования ортогональных проекций равен диаметру Методы преобразования ортогональных проекций. Построив горизонтальную проекцию диаметра Методы преобразования ортогональных проекций по его проекции Методы преобразования ортогональных проекций, которая равна Методы преобразования ортогональных проекций, получили на поле Методы преобразования ортогональных проекций малую ось эллипса. По большой оси Методы преобразования ортогональных проекций и малой оси Методы преобразования ортогональных проекций строим эллипс, который является горизонтальной проекцией окружности, описанной вокруг треугольника АВС. 

Методы преобразования ортогональных проекций

Метод вращения

Вращение – это движение по окружности вокруг некоторой оси. При преобразовании комплексного чертежа способом вращения плоскости проекций остаются неизменными, а проецируемый объект перемещается таким образом, чтобы он занял какое-либо частное положение.

Метод основан на неподвижности плоскостей проекций, а объект изменяет свое расположение относительно плоскостей проекций. При этом объект может изменять положение до необходимого частного положения. Такое изменение положения объекта может быть выполнена путем вращения объекта вокруг оси - прямой, принятой за ось вращения. Так прямая, принятая за ось, может быть прямой проецирующей, прямой уровня или прямой общего положения. 

Вращение объекта вокруг проецирующей прямой

Примем точку А за объект, который будет вращать вокруг оси Методы преобразования ортогональных проекций, которая перпендикулярна к плоскости Методы преобразования ортогональных проекций.

Проследим за механизмом вращения точки А на рис. 9-1.

Методы преобразования ортогональных проекций

Вращаясь, точка А описывает траекторию в виде окружности Методы преобразования ортогональных проекций, которая расположена в плоскости Методы преобразования ортогональных проекций, точка О - центр окружности-траектории Методы преобразования ортогональных проекций, образованной при пересечении плоскости Методы преобразования ортогональных проекцийс осью Методы преобразования ортогональных проекций. Расстояние от точки О к точке А равно Методы преобразования ортогональных проекций, который является радиусом образованной окружности Методы преобразования ортогональных проекций. Плоскость Методы преобразования ортогональных проекций перпендикулярна к оси и параллельна плоскости проекций Методы преобразования ортогональных проекций, то есть плоскость Методы преобразования ортогональных проекций - плоскость уровня. 

Исходя их свойств этой плоскости Методы преобразования ортогональных проекций, на поле Методы преобразования ортогональных проекций окружность Методы преобразования ортогональных проекций проецируется в натуральную величину, то есть Методы преобразования ортогональных проекций, а на поле Методы преобразования ортогональных проекций в виде отрезка прямой, который равен диаметру полученной окружности, то есть Методы преобразования ортогональных проекций и расположен перпендикулярно Методы преобразования ортогональных проекций и параллельно оси Методы преобразования ортогональных проекций и сливается со следом-проекцией Методы преобразования ортогональных проекций

Если точку А повернуть вокруг оси Методы преобразования ортогональных проекций на угол Методы преобразования ортогональных проекций, то радиус Методы преобразования ортогональных проекций повернется, например в направлении движения стрелки часов, из положения ОА в положение Методы преобразования ортогональных проекций. На эпюре, рис. 9-2, видно, что фронтальная проекция перемещения точки А из заданного положения Методы преобразования ортогональных проекцийв новое положение Методы преобразования ортогональных проекций перемещается по окружности-проекции Методы преобразования ортогональных проекций, а горизонтальная проекция с Методы преобразования ортогональных проекций в  перемещается по прямой Методы преобразования ортогональных проекций, перпендикулярной Методы преобразования ортогональных проекций.

Методы преобразования ортогональных проекций

Элементы механизма вращения объекта вокруг проецирующей прямой:

1 - точка А - объект вращения;

2 - прямая Методы преобразования ортогональных проекций - ось вращения, Методы преобразования ортогональных проекций

3 - плоскость Методы преобразования ортогональных проекций - плоскость вращения, Методы преобразования ортогональных проекций

4 - окружность Методы преобразования ортогональных проекций - окружность-траектория вращения точки А, Методы преобразования ортогональных проекций

5 - точка О - центр окружности-траектории, Методы преобразования ортогональных проекций

6 - радиус Методы преобразования ортогональных проекций - радиус вращения, Методы преобразования ортогональных проекций

Если вращать точку А вокруг оси Методы преобразования ортогональных проекций перпендикулярной плоскости проекций Методы преобразования ортогональных проекций, то горизонтальная проекция перемещения точки А из заданного положения Методы преобразования ортогональных проекций в новое положение Методы преобразования ортогональных проекцийпройдет по окружности-проекции Методы преобразования ортогональных проекций с центром в точке-проекции Методы преобразования ортогональных проекций, а фронтальная проекция с Методы преобразования ортогональных проекций в Методы преобразования ортогональных проекций перемещается по Методы преобразования ортогональных проекций, перпендикулярной Методы преобразования ортогональных проекций, рис. 9-3. 

Методы преобразования ортогональных проекций

Выполнение преобразований методом вращения вокруг проецирующей оси

Метод вращения вокруг проецирующих осейМетод заключается в том, что геометрический объект (прямую или плоскость) вращают вокруг проецирующей оси i до положения параллельности какой-либо плоскости проекций. В результате вращения геометрический объект проецируется на плоскость проекций в натуральную величину.

Преобразование вида №1 (преобразование прямой общего положения в прямую уровня)

На эпюре, рис. 9-4, показано выполнение преобразования отрезка АВ прямой общего положения, в положение параллельное Методы преобразования ортогональных проекций. Для выполнения такого преобразования , через точку В проведем ось Методы преобразования ортогональных проекций перпендикулярно Методы преобразования ортогональных проекций и повернем отрезок АВ вокруг этой оси до положения, когда АВ расположится параллельно Методы преобразования ортогональных проекций, при этом  и это на поле Методы преобразования ортогональных проекций остается неподвижной, то есть Методы преобразования ортогональных проекций, где Методы преобразования ортогональных проекций перемещается по окружности Методы преобразования ортогональных проекций до положения, когда Методы преобразования ортогональных проекцийрасположится параллельно Методы преобразования ортогональных проекций, при этом на поле Методы преобразования ортогональных проекций будет натуральной величиной АВ, а угол между Методы преобразования ортогональных проекцийи осью Методы преобразования ортогональных проекций будет углом Методы преобразования ортогональных проекций  наклона АВ к Методы преобразования ортогональных проекций. Таким образом в повернутом положении АВ - прямая уровня (Методы преобразования ортогональных проекцийМетоды преобразования ортогональных проекций).

Методы преобразования ортогональных проекций

На рис. 9-5 показан механизм вращения отрезка АВ вокруг оси Методы преобразования ортогональных проекций, перпендикулярной Методы преобразования ортогональных проекций, которая не пересекает АВ. На рисунке видно, что точка А вращается по окружности Методы преобразования ортогональных проекций, диаметр которой равен Методы преобразования ортогональных проекций, а точка В вращается по окружности Методы преобразования ортогональных проекций, диаметр которой Методы преобразования ортогональных проекций. ОК, (Методы преобразования ортогональных проекций АВ) назовем - "ведущий радиус", расстояние между Методы преобразования ортогональных проекций и АВ. Повернем АВ вокруг Методы преобразования ортогональных проекций  до положения, когда АВ расположится параллельно Методы преобразования ортогональных проекций, при этом на поле Методы преобразования ортогональных проекций Методы преобразования ортогональных проекций, не меняя своей величины займет положение Методы преобразования ортогональных проекций, а Методы преобразования ортогональных проекцийбудет параллелен оси Методы преобразования ортогональных проекций, то на поле Методы преобразования ортогональных проекций Методы преобразования ортогональных проекций равен натуральной величине АВ.

Методы преобразования ортогональных проекций

Особенность вращения объекта вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций: проекция объекта на эту плоскость проекций своего содержания не меняет, а поворот этой проекции выполняется при помощи ведущего радиуса, который поворачивает проекцию объекта к необходимому положению. 

Преобразование вида №2 (преобразование прямой уровня в прямую проецирующую)

На рис. 9-6 показано выполнение преобразования фронтальной прямой заданной отрезком АВ, в прямую фронтально проецирующую. Для этого проведем ось Методы преобразования ортогональных проекций перпендикулярно к Методы преобразования ортогональных проекций(для упрощения построения ось Методы преобразования ортогональных проекций провели через продолжения прямой, заданной отрезком АВ). Повернем АВ вокруг оси Методы преобразования ортогональных проекций. Вращение отрезка АВ, параллельного Методы преобразования ортогональных проекций, будет проходить в плоскости Р, параллельной Методы преобразования ортогональных проекций. При этом на поле Методы преобразования ортогональных проекций вращение точки А с Методы преобразования ортогональных проекций пройдет по дуге окружности Методы преобразования ортогональных проекций до положения, когда Методы преобразования ортогональных проекций (которая равна н.в. АВ) расположится перпендикулярно оси Методы преобразования ортогональных проекций.  На поле Методы преобразования ортогональных проекций Методы преобразования ортогональных проекций и Методы преобразования ортогональных проекций перемещается по прямой Методы преобразования ортогональных проекций, а горизонтальная проекция АВ будет в виде точки, с которой сливаются Методы преобразования ортогональных проекций. В повернутом положении АВ - прямая проецирующая (Методы преобразования ортогональных проекцийоси Методы преобразования ортогональных проекций).

Методы преобразования ортогональных проекций

На рис. 9-7 показано последовательность преобразования отрезка АВ прямой общего положения в прямую проецирующую путем выполнения двух вращений:

Методы преобразования ортогональных проекций

- первое вращение: преобразование вида №1, когда прямая АВ - общего положения преобразуется в прямую уровня - Методы преобразования ортогональных проекций параллельная Методы преобразования ортогональных проекций, для этого через продолжение АВ проведена ось Методы преобразования ортогональных проекций и вокруг оси Методы преобразования ортогональных проекций (на поле Методы преобразования ортогональных проекций вокруг Методы преобразования ортогональных проекций) вращали АВ, когда Методы преобразования ортогональных проекций расположилось параллельно оси Методы преобразования ортогональных проекций, при этом на- поле Методы преобразования ортогональных проекций получили Методы преобразования ортогональных проекций;

- второе вращение: преобразование вида №2, когда прямая Методы преобразования ортогональных проекций - прямая уровня преобразуется в прямую проецирующую, для этого через точку на продолжении Методы преобразования ортогональных проекций провели ось Методы преобразования ортогональных проекций и вокруг оси Методы преобразования ортогональных проекций (на поле Методы преобразования ортогональных проекций вокруг Методы преобразования ортогональных проекций) обратили АВ, до положения, когда Методы преобразования ортогональных проекций расположится перпендикулярно оси Методы преобразования ортогональных проекций, при этом на поле Методы преобразования ортогональных проекций получили Методы преобразования ортогональных проекций.

Таким образом: выполнив два вращения (преобразование №1+2) прямой общего положения и эта прямая общего положения преобразуется в прямую проецирующую. Для этого проводим вращение вокруг оси, перпендикулярной к одной плоскости проекций, преобразовали прямую общего положения в прямую уровня, а вращение вокруг второй оси, перпендикулярной ко второй плоскости проекций преобразовало прямую уровня в прямую проецирующую. 

Преобразование вида №3 (преобразование плоскости общего положения в плоскость проецирующую)

На рис. 9-8 показано механизм вращения треугольника АВС, который принадлежит плоскости общего положения Методы преобразования ортогональных проекций, вокруг оси Методы преобразования ортогональных проекций, перпендикулярной к Методы преобразования ортогональных проекций, до положения, когда Методы преобразования ортогональных проекций станет проецирующей плоскостью. Для этого в треугольнике АВС проведем с точки В горизонталь Методы преобразования ортогональных проекций. С Методы преобразования ортогональных проекций пройдет Методы преобразования ортогональных проекцийМетоды преобразования ортогональных проекций

Методы преобразования ортогональных проекций

По признаку принадлежности Методы преобразования ортогональных проекций плоскости Методы преобразования ортогональных проекцийпройдет Методы преобразования ортогональных проекций через Методы преобразования ортогональных проекций. Через продолжение Методы преобразования ортогональных проекций проведем ось Методы преобразования ортогональных проекций

Методы преобразования ортогональных проекций повернем вокруг Методы преобразования ортогональных проекций, при этом его горизонтальную проекцию повернем (её величина останется неизменной) до положения, когда Методы преобразования ортогональных проекций расположится перпендикулярно к Методы преобразования ортогональных проекций и на этом поле спроецируется в точку, а треугольник - в линию Методы преобразования ортогональных проекций. При вращении треугольника, его вершины перемещались в горизонтальных плоскостях Методы преобразования ортогональных проекций, перпендикулярных оси вращения Методы преобразования ортогональных проекций.

Например, точка А вращалась в плоскости Методы преобразования ортогональных проекций и перемещение точка А на поле Методы преобразования ортогональных проекций Методы преобразования ортогональных проекций пройдет по дуге окружности Методы преобразования ортогональных проекций проекции окружности-траектории Методы преобразования ортогональных проекций до положения Методы преобразования ортогональных проекций, а на поле Методы преобразования ортогональных проекций по прямой Методы преобразования ортогональных проекций, перпендикулярной Методы преобразования ортогональных проекций, получаем Методы преобразования ортогональных проекций

Таким образом, выполняя вращение плоскости общего положения вокруг оси, перпендикулярной одной плоскости проекций, до положения, когда линия уровня этой плоскости расположится перпендикулярно ко второй плоскости проекций, плоскость общего положения будет преобразована в плоскость проецирующую. 

На рис. 9-9 показано вращение плоскости Методы преобразования ортогональных проекцийобщего положения, которая преобразуется в плоскость проецирующую путем вращения её вокруг оси Методы преобразования ортогональных проекций, которая сливается с плоскостью проекций Методы преобразования ортогональных проекций. При этом, ведущий радиус Методы преобразования ортогональных проекций поворота горизонтального следа Методы преобразования ортогональных проекций, в повернутом положении, который должен слиться с осью Методы преобразования ортогональных проекций, а повернутый горизонтальный след Методы преобразования ортогональных проекций пройдет перпендикулярно Методы преобразования ортогональных проекций и оси Методы преобразования ортогональных проекций. Точка схода следов на оси Методы преобразования ортогональных проекций повернутого положения Методы преобразования ортогональных проекцийсливается с Методы преобразования ортогональных проекций, с которой пройдет Методы преобразования ортогональных проекций через неподвижную точку Методы преобразования ортогональных проекций, расположенную на оси Методы преобразования ортогональных проекций. Новое положение плоскости Методы преобразования ортогональных проекций - проецирующее относительно Методы преобразования ортогональных проекций.

Методы преобразования ортогональных проекций

На рис. 9-10 показано решение задачи по определению расстояния от точки А до плоскости общего положения Методы преобразования ортогональных проекций.

Методы преобразования ортогональных проекций

Решение выполнено путем преобразования плоскости Методы преобразования ортогональных проекций из общего положения в проецирующее относительно плоскости проекций Методы преобразования ортогональных проекций. преобразование выполнено вращением вокруг оси Методы преобразования ортогональных проекций, когда Методы преобразования ортогональных проекций расположена в пространстве. При этом повернутый ведущий радиус Методы преобразования ортогональных проекций для следа Методы преобразования ортогональных проекций располагается параллельно оси Методы преобразования ортогональных проекций и через Методы преобразования ортогональных проекцийпройдет Методы преобразования ортогональных проекций, а след Методы преобразования ортогональных проекций пройдет через точку Методы преобразования ортогональных проекций, которая принадлежит Методы преобразования ортогональных проекцийи оси Методы преобразования ортогональных проекций. При повороте Методы преобразования ортогональных проекций до положения Методы преобразования ортогональных проекций ведущий радиус Методы преобразования ортогональных проекций повернуто на угол Методы преобразования ортогональных проекций, на такой же угол Методы преобразования ортогональных проекций поворачивается ведущий радиус Методы преобразования ортогональных проекцийточки Методы преобразования ортогональных проекций до  положения Методы преобразования ортогональных проекций, при этом Методы преобразования ортогональных проекций перемещается по прямой, перпендикулярной Методы преобразования ортогональных проекций, по Методы преобразования ортогональных проекций, получаем Методы преобразования ортогональных проекций. расстояние от точки А до Методы преобразования ортогональных проекцийопределяется по перпендикуляру с Методы преобразования ортогональных проекций до следа-проекции Методы преобразования ортогональных проекций и равна Методы преобразования ортогональных проекций.

Преобразование вида №4 (преобразование плоскости проецирующей в плоскость уровня)

На рис. 9-11 показан механизм вращения треугольника, который принадлежит к фронтально проецирующей плоскости Методы преобразования ортогональных проекций, вокруг оси Методы преобразования ортогональных проекций, перпендикулярной плоскости проекций Методы преобразования ортогональных проекций. Вращение выполняется до положения, когда Методы преобразования ортогональных проекций станет плоскостью уровня. Для этого ось Методы преобразования ортогональных проекций проводим через продолжение плоскости Методы преобразования ортогональных проекций, то есть Методы преобразования ортогональных проекций принадлежит Методы преобразования ортогональных проекций, а Методы преобразования ортогональных проекций перпендикулярно оси Методы преобразования ортогональных проекций.

Методы преобразования ортогональных проекций

Повернем Методы преобразования ортогональных проекций вокруг Методы преобразования ортогональных проекций до положения, когда на эпюре Методы преобразования ортогональных проекций сольется с осью Методы преобразования ортогональных проекций, вместе с Методы преобразования ортогональных проекций сольется и повернутое положение Методы преобразования ортогональных проекций. По новому повернутому положению Методы преобразования ортогональных проекций строится Методы преобразования ортогональных проекций, которая равна натуральной величине Методы преобразования ортогональных проекций Вращение вершин треугольника проходило в плоскостях Р, которые перпендикулярны оси Методы преобразования ортогональных проекций и Методы преобразования ортогональных проекций. Траектория Методы преобразования ортогональных проекций перемещения, например, точки А принадлежит Методы преобразования ортогональных проекций и на поле Методы преобразования ортогональных проекций Методы преобразования ортогональных проекций перемещается по Методы преобразования ортогональных проекций, которая сливается с Методы преобразования ортогональных проекций и располагается перпендикулярно Методы преобразования ортогональных проекций

Таким образом, если след-проекцию проецирующей плоскости к какой-то плоскости проекций повернуть вокруг оси, перпендикулярной к той же плоскости проекций, то когда этот след-проекция займет положение, параллельное оси координат (или с ней совпадет), то относительно другой плоскости проекций повернутая плоскость становится плоскостью уровня. 

Преобразование вида №3+№4 (преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня)

На рис. 9-12 показана последовательность преобразования треугольника АВС плоскости общего положения Методы преобразования ортогональных проекций в плоскость уровня путем выполнения двух вращений:

Методы преобразования ортогональных проекций

= первое вращение: выполнение преобразования вида №3;

- в плоскости треугольника АВС построим горизонталь Методы преобразования ортогональных проекций

Методы преобразования ортогональных проекций

- ось Методы преобразования ортогональных проекций проводим через Методы преобразования ортогональных проекций и перпендикулярно Методы преобразования ортогональных проекций;

- вращаем АВС вокруг оси Методы преобразования ортогональных проекций на угол Методы преобразования ортогональных проекций так, чтобы Методы преобразования ортогональных проекций стало Методы преобразования ортогональных проекцийМетоды преобразования ортогональных проекций и вращаем точки А, В и Методы преобразования ортогональных проекций вокруг Методы преобразования ортогональных проекций, как вкруг центра, - получаем неизменное по смыслу изображение горизонтальной проекции - Методы преобразования ортогональных проекций и Методы преобразования ортогональных проекций, которые повернуты на тот же угол Методы преобразования ортогональных проекций.

- на поле Методы преобразования ортогональных проекций получаем точку Методы преобразования ортогональных проекций, в которую спроецируется горизонталь Методы преобразования ортогональных проекций, а по повернутому положению Методы преобразования ортогональных проекций и Методы преобразования ортогональных проекций строим их фронтальную проекцию, которые образуют след-проекцию Методы преобразования ортогональных проекций. В этом случае расстоянии от точки Методы преобразования ортогональных проекций по перпендикуляру Методы преобразования ортогональных проекций- расстояние от точки Методы преобразования ортогональных проекций до плоскости Методы преобразования ортогональных проекций;

= второе вращение: выполнение преобразования вида №4;

- ось Методы преобразования ортогональных проекций проводим перпендикулярно Методы преобразования ортогональных проекций через продолжение плоскости Методы преобразования ортогональных проекций, так что Методы преобразования ортогональных проекций

- вращаем Методы преобразования ортогональных проекций вокруг Методы преобразования ортогональных проекций до положения, когда Методы преобразования ортогональных проекций станет Методы преобразования ортогональных проекций (сольется) оси Методы преобразования ортогональных проекций

- на поле Методы преобразования ортогональных проекций - получаем горизонтальную проекцию Методы преобразования ортогональных проекций, которая равна натуральной величине треугольника АВС.

Таким образом: выполнив два вращения плоскости общего положения, она преобразуется в плоскость уровня, для этого выполняем первое вращение вокруг первой оси, перпендикулярно к одной плоскости проекций, до тех пор, пока линия уровня плоскости общего положения расположится перпендикулярно к противоположной плоскости проекций, то плоскость общего положения спроецируется следом-проекцией и преобразуется в проецирующую плоскость; второе вращение проводим вокруг оси, которая перпендикулярна ко второй плоскости проекций, пока след-проекция расположится параллельно оси х, тогда плоскость проецирующая относительно первой плоскости, станет плоскостью уровня.  

Вращение объекта вокруг линии уровня

Примем точку А за объект, который будем вращать вокруг Методы преобразования ортогональных проекций - горизонтальной прямой Методы преобразования ортогональных проекций

Проследим за механизмом вращения точки А вокруг горизонтали, как проецируется изменение положения точки на рис. 9-13.

Методы преобразования ортогональных проекций

Вращаясь, точка А описывает траекторию в виде окружности Методы преобразования ортогональных проекций, которая расположена в плоскости Методы преобразования ортогональных проекций, которая перпендикулярна плоскости проекций Методы преобразования ортогональных проекций и перпендикулярна Методы преобразования ортогональных проекций, которая принята за ось вращения. Точка пересечения Методы преобразования ортогональных проекций и Методы преобразования ортогональных проекций - точка О - центр окружности-траектории Методы преобразования ортогональных проекций. Расстояние от точки О к точке А равно Методы преобразования ортогональных проекций, который является радиусом образованной окружности Методы преобразования ортогональных проекций. Плоскость Методы преобразования ортогональных проекцийперпендикулярна к Методы преобразования ортогональных проекций и Методы преобразования ортогональных проекций, то есть окружность Методы преобразования ортогональных проекций проецируется на поле Методы преобразования ортогональных проекций, в виде прямой, которая равна диаметру окружности, например, диаметру 1...2, который параллелен Методы преобразования ортогональных проекций и горизонтальная проекция этого диаметра этого диаметра Методы преобразования ортогональных проекций совпадает со следом-проекцией Методы преобразования ортогональных проекций. Методы преобразования ортогональных проекций - горизонтальная проекция Методы преобразования ортогональных проекций, при вращении точки А вокруг Методы преобразования ортогональных проекций до положения Методы преобразования ортогональных проекций  на горизонтальной проекции с Методы преобразования ортогональных проекций перемещается перпендикулярно к Методы преобразования ортогональных проекций по Методы преобразования ортогональных проекций до положения Методы преобразования ортогональных проекций, которое совпадает с Методы преобразования ортогональных проекций, при этом Методы преобразования ортогональных проекций расположится параллельно Методы преобразования ортогональных проекций и его проекция на  Методы преобразования ортогональных проекций равна натуральной величине Методы преобразования ортогональных проекций и совпадает с Методы преобразования ортогональных проекций.

Элементы механизма вращения точки А вокруг Методы преобразования ортогональных проекций линии уровня.

1. - точка А - объект вращения,

2. - прямая Методы преобразования ортогональных проекций - ось вращения, параллельная Методы преобразования ортогональных проекций,

3. - плоскость Методы преобразования ортогональных проекций - плоскость вращения, Методы преобразования ортогональных проекций

4. - окружность Методы преобразования ортогональных проекций - окружность-траектория вращения точки А, Методы преобразования ортогональных проекций,

5. - точка О - центр окружности-траектории, Методы преобразования ортогональных проекций

6. - радиус Методы преобразования ортогональных проекций - радиус вращения точки А вокруг Методы преобразования ортогональных проекцийМетоды преобразования ортогональных проекций,

7. - натуральная величина Методы преобразования ортогональных проекций . 

На рис. 9-14 показано, как повернуть точку А вокруг Методы преобразования ортогональных проекций до положения, когда её радиус вращения расположится горизонтально:

Методы преобразования ортогональных проекций

- через Методы преобразования ортогональных проекций проводится след-проекция Методы преобразования ортогональных проекций перпендикулярно к Методы преобразования ортогональных проекций;

- точка пересечения Методы преобразования ортогональных проекций с Методы преобразования ортогональных проекций - точка Методы преобразования ортогональных проекций - г.п. центра вращения точки А;

- определяем натуральную величину радиуса вращения Методы преобразования ортогональных проекций (методом прямоугольного треугольника);

- натуральную величину Методы преобразования ортогональных проекций вводим в плоскость вращения, когда Методы преобразования ортогональных проекций получаем Методы преобразования ортогональных проекций

Алгоритм вращения точки А вокруг Методы преобразования ортогональных проекций до горизонтального положения её радиуса вращения:

Методы преобразования ортогональных проекций

Преобразование вида №3+№4 (преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня)

преобразование вида №3 + №4 выполнено вращением вокруг линии уровня, позволяет преобразовать плоскую фигуру, которая принадлежит плоскости общего уровня за одно вращение (в отличии от решения п.9.2.5) в плоскость уровня и определить натуральную величину этой плоской фигуры.

Вращая плоскость вокруг её горизонтали, переводим её в горизонтальное положение и горизонтальная проекция плоской фигуры, которая принадлежит к этой плоскости, - на Методы преобразования ортогональных проекций проецируется в натуральную величину, а вращая плоскость вокруг её фронтали, переводим эту плоскость во фронтальную плоскость и фронтальная проекция плоской фигуры, которая принадлежит этой плоскости, на Методы преобразования ортогональных проекций проецируется в натуральную величину, где можно определить все метрические характеристику плоской фигуры.

Выполним преобразование вида №3 + №4.

На рис. 9-15 треугольник АВС вращением вокруг горизонтали Методы преобразования ортогональных проекций (которая принадлежит плоскости Методы преобразования ортогональных проекций, в которой расположен треугольник АВС), переведен в положение, параллельное плоскости проекций Методы преобразования ортогональных проекций.

Методы преобразования ортогональных проекций

Горизонталь Методы преобразования ортогональных проекций плоскости Методы преобразования ортогональных проекций определяется точками А и 1 (которые принадлежат плоскости Методы преобразования ортогональных проекций. Так как точки А и 1 принадлежат горизонтали Методы преобразования ортогональных проекций, которая принята за ось вращения, то эти точки А и 1 не меняют своего положения при вращении треугольника АВС вокруг Методы преобразования ортогональных проекций

Для вращения плоскости Методы преобразования ортогональных проекций вокруг Методы преобразования ортогональных проекций до горизонтального положения, проследим за вращением точки В вокруг Методы преобразования ортогональных проекций до положения, когда её радиус вращения Методы преобразования ортогональных проекций займет горизонтальное положение и получим Методы преобразования ортогональных проекций. Новое повернутые положение Методы преобразования ортогональных проекций соединим с неподвижными точками А и 1, расположенными на оси вращения. При этом получим плоскость уровня, которая определяется проекцией Методы преобразования ортогональных проекций.

Последовательность решения:

1. в плоскостиМетоды преобразования ортогональных проекций проводим горизонталь Методы преобразования ортогональных проекций через точку Методы преобразования ортогональных проекцийна эпюре:

на поле Методы преобразования ортогональных проекций

2. через точку В перпендикулярно Методы преобразования ортогональных проекций проводим плоскость вращения точки Методы преобразования ортогональных проекций на эпюре: Методы преобразования ортогональных проекций

.3. строим центр вращения точки Методы преобразования ортогональных проекций на эпюре:Методы преобразования ортогональных проекций

4. определяем натуральную величину радиуса вращения Методы преобразования ортогональных проекций, для этого Методы преобразования ортогональных проекций соединяем с точкой Методы преобразования ортогональных проекций на эпюре:

Методы преобразования ортогональных проекций

5. определяем горизонтальную проекцию Методы преобразования ортогональных проекций повернутого треугольника АВС, для этого точку Методы преобразования ортогональных проекцийсоединим с Методы преобразования ортогональных проекцийи с точкой Методы преобразования ортогональных проекций, получим натуральную величину треугольника АВ1. Рассмотрев вращение точки С вокруг Методы преобразования ортогональных проекций, отмечаем, что плоскость Методы преобразования ортогональных проекцийвращения точки С параллельна Методы преобразования ортогональных проекций и Методы преобразования ортогональных проекций к Методы преобразования ортогональных проекций параллельна Методы преобразования ортогональных проекций. Пересечение Методы преобразования ортогональных проекций с Методы преобразования ортогональных проекций образует Методы преобразования ортогональных проекций. СоединивМетоды преобразования ортогональных проекций с Методы преобразования ортогональных проекций - получаем Методы преобразования ортогональных проекций - что равно натуральной величине треугольника АВС.

Вращение объекта вокруг прямой общего положения

Механизм вращения точки вокруг оси, которая не параллельна и не перпендикулярна ни одной плоскости проекций, например, абрисов поверхностей вращения или их точек, ось которых - прямая общего положения. 

Примем точку А за объект вращения, а отрезок Методы преобразования ортогональных проекций прямой общего положения за ось вращения. Если необходимо точку А повернуть вокруг Методы преобразования ортогональных проекций на угол Методы преобразования ортогональных проекций против часовой стрелки, то решение такой задачи выполняется в следующей последовательности:

1. Выполняем преобразование оси - прямой общего положения Методы преобразования ортогональных проекций в проецирующую и в преобразованном положении Методы преобразования ортогональных проекций строим заданную точку А.

2. Вращаем точку А вокруг проецирующей прямой Методы преобразования ортогональных проекций на заданный угол Методы преобразования ортогональных проекций.

3. Повернутое положение точки А переносим на исходное заданное положение относительно прямой Методы преобразования ортогональных проекций.

На рис 9-16 приведено решение этой задачи на эпюре:

Методы преобразования ортогональных проекций

преобразование оси - прямой общего положения Методы преобразования ортогональных проекций в прямую проецирующую выполняем, например, методом замены плоскостей проекций по схеме:

Методы преобразования ортогональных проекций

Поворачиваем Методы преобразования ортогональных проекций вокруг Методы преобразования ортогональных проекцийна угол Методы преобразования ортогональных проекций, например, против движения часовой стрелки и получаем Методы преобразования ортогональных проекций- повернутое положение точки А на заданный угол. При этом на поле Методы преобразования ортогональных проекцийпроекция Методы преобразования ортогональных проекций перемещалась по дуге Методы преобразования ортогональных проекцийна угол Методы преобразования ортогональных проекций и получено Методы преобразования ортогональных проекций. На поле Методы преобразования ортогональных проекций проекция Методы преобразования ортогональных проекций перемещалась по прямой Методы преобразования ортогональных проекций перпендикулярно оси Методы преобразования ортогональных проекций до положения Методы преобразования ортогональных проекций, которое получено при пересечении Методы преобразования ортогональных проекций с линией связи, проведенной с Методы преобразования ортогональных проекций. Проекции Методы преобразования ортогональных проекций с Методы преобразования ортогональных проекций - проекции точки А, повернутой на угол Методы преобразования ортогональных проекций вокруг Методы преобразования ортогональных проекций на полях  Методы преобразования ортогональных проекций.

Далее переносим проекции точки А на поля Методы преобразования ортогональных проекций и на поля Методы преобразования ортогональных проекций, получаем Методы преобразования ортогональных проекций и Методы преобразования ортогональных проекций, что и является проекциями точки А, повернутой на угол Методы преобразования ортогональных проекций, на полях Методы преобразования ортогональных проекций.

Вращение объекта вокруг линии нулевого уровня (Метод совмещения)

Метод совмещения является частным случаем вращения вокруг линии уровня. При этом за ось вращения принимается горизонтальный или фронтальный след плоскости. Если плоскость вращается вокруг Методы преобразования ортогональных проекций (горизонтали нулевого уровня), то плоскость совмещается с плоскостью проекций Методы преобразования ортогональных проекций, а когда плоскость вращается вокруг Методы преобразования ортогональных проекций (фронтали нулевого уровня), то плоскость совмещается с плоскостью проекций Методы преобразования ортогональных проекций. Все геометрические элементы (точки, прямые, плоские фигуры...) расположенные во вращающейся плоскости, вращаются в своих плоскостях вращения, перпендикулярных к оси вращения и совмещаются с плоскостью проекций, воспроизводя на ней натуральную величину элемента.

Рассмотрим механизм совмещения плоскости на 9-17. Плоскость общего положения Методы преобразования ортогональных проекций вращается вокруг Методы преобразования ортогональных проекций принятой за ось вращения до совмещения плоскости Методы преобразования ортогональных проекций с плоскостью проекций Методы преобразования ортогональных проекций.

Методы преобразования ортогональных проекций

Для определения Методы преобразования ортогональных проекций (совмещенной Методы преобразования ортогональных проекцийс Методы преобразования ортогональных проекций), проследим за поворотом точки Методы преобразования ортогональных проекций, принадлежащей Методы преобразования ортогональных проекций. Точка Методы преобразования ортогональных проекций вращается в плоскости Методы преобразования ортогональных проекций, горизонтальный след которой Методы преобразования ортогональных проекций перпендикулярен к Методы преобразования ортогональных проекций и натуральная величина Методы преобразования ортогональных проекций - радиус вращения точки Методы преобразования ортогональных проекций вокруг Методы преобразования ортогональных проекций, и эта натуральная величина Методы преобразования ортогональных проекций расположится от точки Методы преобразования ортогональных проекций на Методы преобразования ортогональных проекций, получается Методы преобразования ортогональных проекций, через которую с неподвижной точки Методы преобразования ортогональных проекций пройдет Методы преобразования ортогональных проекций. Таким образом Методы преобразования ортогональных проекций и Методы преобразования ортогональных проекций определяют Методы преобразования ортогональных проекций, совмещенную с Методы преобразования ортогональных проекций

Рассмотрим совмещение плоскости Методы преобразования ортогональных проекций с Методы преобразования ортогональных проекций на эпюре. На рис. 9-18 а, приведено условие задачи, когда плоскость Методы преобразования ортогональных проекций общего положения задана  Методы преобразования ортогональных проекций и Методы преобразования ортогональных проекций

Методы преобразования ортогональных проекций

На рис. 9-18 б, показано последовательность совмещения плоскости Методы преобразования ортогональных проекций с Методы преобразования ортогональных проекций . Для этого на фронтали нулевого уровня Методы преобразования ортогональных проекций произвольно берем Методы преобразования ортогональных проекций и строим Методы преобразования ортогональных проекций. Вращаем точку Методы преобразования ортогональных проекций вокруг Методы преобразования ортогональных проекций, принятой за ось, при этом вращение точки Методы преобразования ортогональных проекций проходит в плоскости Методы преобразования ортогональных проекций, которая перпендикулярна к оси вращения Методы преобразования ортогональных проекций и располагается Методы преобразования ортогональных проекций. Горизонтальный след Методы преобразования ортогональных проекций с Методы преобразования ортогональных проекций пройдет перпендикулярно Методы преобразования ортогональных проекций, Методы преобразования ортогональных проекцийпересекаясь с Методы преобразования ортогональных проекций, образует Методы преобразования ортогональных проекций - центра вращения точки Методы преобразования ортогональных проекций. По Методы преобразования ортогональных проекций строится Методы преобразования ортогональных проекцийи соединяется с Методы преобразования ортогональных проекций - получаем Методы преобразования ортогональных проекций - фронтальную проекцию Методы преобразования ортогональных проекций радиуса вращения точки Методы преобразования ортогональных проекций, а Методы преобразования ортогональных проекций- горизонтальная проекция этого радиуса. Вращение точки Методы преобразования ортогональных проекций вокруг Методы преобразования ортогональных проекций проводим до положения, когда радиус вращения своей натуральной величиной Методы преобразования ортогональных проекцийляжет на Методы преобразования ортогональных проекций (совпадает с Методы преобразования ортогональных проекций) при этом точка Методы преобразования ортогональных проекцийсовместится с Методы преобразования ортогональных проекций и займет положения Методы преобразования ортогональных проекций. Для определения натуральной величины Методы преобразования ортогональных проекций на эпюре применено метод прямоугольного треугольника, когда н.в. Методы преобразования ортогональных проекций введена до сливания с Методы преобразования ортогональных проекций и получено Методы преобразования ортогональных проекций- совмещенное положение точки Методы преобразования ортогональных проекций с Методы преобразования ортогональных проекций. Учитывая, что Методы преобразования ортогональных проекций - точка схода следов на оси Методы преобразования ортогональных проекций одновременно расположена на Методы преобразования ортогональных проекций - оси вращения и остается неподвижной при совмещении, то с Методы преобразования ортогональных проекций через Методы преобразования ортогональных проекций пройдет Методы преобразования ортогональных проекций совмещенное с Методы преобразования ортогональных проекций. Отмечаем, что Методы преобразования ортогональных проекций - линия натуральный величин фронтали Методы преобразования ортогональных проекций,Методы преобразования ортогональных проекций - тоже линия натуральных величин этой же фронтали Методы преобразования ортогональных проекций, то отрезок фронтали Методы преобразования ортогональных проекций и Методы преобразования ортогональных проекций одинаковые, тогда для построения Методы преобразования ортогональных проекций применяем упрощенный алгоритм построения, приведенный на рис. 9-18 в: Методы преобразования ортогональных проекций с Методы преобразования ортогональных проекций как из центра проводим дугу радиуса Методы преобразования ортогональных проекций до пересечения с Методы преобразования ортогональных проекций и получаем Методы преобразования ортогональных проекций, через которую с Методы преобразования ортогональных проекций проводим Методы преобразования ортогональных проекций

На рис. 9-19 а, показана плоскость Методы преобразования ортогональных проекций, а на рис. 9-19 б - показана последовательность действий по совмещению плоскости  Методы преобразования ортогональных проекций с Методы преобразования ортогональных проекций, начиная с произвольного выбора Методы преобразования ортогональных проекций - действие 1 и действия 2, 3, 4, 5, до действия 6 - проведения Методы преобразования ортогональных проекций.

Методы преобразования ортогональных проекций

На рис. 9-20 а, показана плоскость Методы преобразования ортогональных проекций в совмещенном положении с Методы преобразования ортогональных проекций, а на рис. 9-20 б показана последовательность действий по построению Методы преобразования ортогональных проекций, когда плоскость Методы преобразования ортогональных проекций повернута (поднята) в положение совмещения Методы преобразования ортогональных проекций с Методы преобразования ортогональных проекций, получив Методы преобразования ортогональных проекций. Такое построение начинается с произвольного выбора Методы преобразования ортогональных проекций на Методы преобразования ортогональных проекций- действие 1 действия 2, 3, 4, 5, 6, до действия 7 - проведения Методы преобразования ортогональных проекций.

Методы преобразования ортогональных проекций

Отмечаем, что действия по "подъему" плоскости и действия по совмещению плоскости одинаковые, только меняем их последовательность, что и видно из сравнения рис. 9-19 и рис. 9-20, или нижеприведенных алгоритмов:

Алгоритм совмещения плоскости Методы преобразования ортогональных проекций с Методы преобразования ортогональных проекций:

1. произвольно Методы преобразования ортогональных проекций

Методы преобразования ортогональных проекций

Алгоритм "подъема" плоскости Методы преобразования ортогональных проекций Методы преобразования ортогональных проекцийк Методы преобразования ортогональных проекций:

1. произвольно 

Методы преобразования ортогональных проекций

Методы преобразования ортогональных проекцийподнятую к Методы преобразования ортогональных проекций.

Совмещение плоскости Методы преобразования ортогональных проекций с плоскостью проекций Методы преобразования ортогональных проекций выполняется, начиная с произвольного выбора точки Методы преобразования ортогональных проекций на Методы преобразования ортогональных проекций, и дальше по алгоритму аналогичному совмещению Методы преобразования ортогональных проекций с Методы преобразования ортогональных проекций, а если заданное совмещенное положение плоскости Методы преобразования ортогональных проекций с Методы преобразования ортогональных проекций, то "опустить" заданную плоскость к Методы преобразования ортогональных проекций, необходимо построение начинать с произвольного выбора точки Методы преобразования ортогональных проекций на Методы преобразования ортогональных проекций и дальше по алгоритму, аналогичному "подъему" к Методы преобразования ортогональных проекций.

Выполнение преобразования методом совмещения

Способ совмещения заключается в том, что заданную плоскость Р вместе с расположенными в ней геометрическими элементами вращают вокруг одного из ее следов РН или РV до совмещения с соответствующей плоскостью проекций Н или V.

Преобразование вида №1 ( преобразование прямой общего положения в прямую уровня)

На рис. 9-21 а показано преобразование отрезка АВ, прямой общего положения в прямую уровня, выполнено методом совмещения. 

Методы преобразования ортогональных проекций

Механизм такого преобразования следующий:

1. - отрезок АВ включаем в горизонтально проецирующую плоскость Методы преобразования ортогональных проекций, при этом её горизонтальный след Методы преобразования ортогональных проекций сливается с Методы преобразования ортогональных проекций, а фронтальный след Методы преобразования ортогональных проекций, перпендикулярный в пространстве до Методы преобразования ортогональных проекций, пройдет Методы преобразования ортогональных проекций и расположится перпендикулярно к оси Методы преобразования ортогональных проекций;

2. - горизонтальный след Методы преобразования ортогональных проекций принимаем за ось вращения плоскости Методы преобразования ортогональных проекций, который принадлежит отрезок АВ; вращаем плоскость Методы преобразования ортогональных проекций до совмещения её с плоскостью проекций Методы преобразования ортогональных проекций

- совмещенное положение плоскости Методы преобразования ортогональных проекций дает воспроизведение Методы преобразования ортогональных проекций, которое равно натуральной величине АВ и угол между Методы преобразования ортогональных проекций и Методы преобразования ортогональных проекций - натуральная величина угла Методы преобразования ортогональных проекций - угла наклона АВ к Методы преобразования ортогональных проекций

При выполнении совмещения Методы преобразования ортогональных проекций, её фронтальный след Методы преобразования ортогональных проекций, расположенный в пространстве перпендикулярно к Методы преобразования ортогональных проекций (оси вращения), в совмещенном положении Методы преобразования ортогональных проекций пройдет с Методы преобразования ортогональных проекций и расположится перпендикулярно Методы преобразования ортогональных проекций. Точка А будет вращаться вокруг Методы преобразования ортогональных проекций в плоскости Методы преобразования ортогональных проекций, перпендикулярной Методы преобразования ортогональных проекций, горизонтальный след Методы преобразования ортогональных проекций пройдет с Методы преобразования ортогональных проекций перпендикулярно Методы преобразования ортогональных проекций. Вращение точки А в плоскости Методы преобразования ортогональных проекций будет проходит по дуге окружности, радиус которой равен высоте точки А, её Методы преобразования ортогональных проекций воспроизведено на поле Методы преобразования ортогональных проекций. В совмещенном положении плоскости Методы преобразования ортогональных проекций с Методы преобразования ортогональных проекций радиус вращения точки А совместится с Методы преобразования ортогональных проекций, своей натуральной величиной, от Методы преобразования ортогональных проекций в Методы преобразования ортогональных проекций и получается совмещенное положение точки А, которым является Методы преобразования ортогональных проекций. Аналогично выполняется совмещение и точки В, которым является Методы преобразования ортогональных проекций.

Алгоритм выполнения преобразования вида №1:

Методы преобразования ортогональных проекций

На рис. 9-21 б показано определение натуральной величины АВ и угла Методы преобразования ортогональных проекций при вращении плоскости Методы преобразования ортогональных проекций вокруг Методы преобразования ортогональных проекций

Методы преобразования ортогональных проекций

Если необходимо определить натуральную величину отрезка АВ и угол Методы преобразования ортогональных проекций - угол наклона АВ до плоскости проекций Методы преобразования ортогональных проекций, то отрезок включается во фронтальную проецирующую плоскость Методы преобразования ортогональных проекций и совмещение Методы преобразования ортогональных проекций выполняется вращением её вокруг своего фронтального следа до совмещения с Методы преобразования ортогональных проекций.

По соответствующей аналогией выполнения преобразования вида №1, методом совмещения можно выполнить и другие преобразования , одним из таких является преобразование вида №3+№4.

Преобразование вида №3+№4 ( преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня методом совмещения)

преобразование вида №3+№4 выполнено методом совмещения (аналогичное преобразованию приведенного в п. 9.3.1), где вращение плоской фигуры выполнено вокруг линии уровня. В этом пункте рассматривается преобразование плоскости общего положения, заданной следами, до совмещения с плоскостью проекций, например, с Методы преобразования ортогональных проекций, при этом все точки, прямые, плоские фигуры, принадлежащие плоскости, в совмещенном её положении тоже совмещаются с Методы преобразования ортогональных проекций, где совмещенные прямые, плоскости фигуры воспроизведены в натуральную величину.

На рис. 9-22 а, показано плоскость Методы преобразования ортогональных проекций, заданную её Методы преобразования ортогональных проекций и Методы преобразования ортогональных проекций, а также приведено фронтальную проекция Методы преобразования ортогональных проекций треугольника АВС, принадлежащего плоскости Методы преобразования ортогональных проекций

Необходимо построить Методы преобразования ортогональных проекций и натуральную величину треугольника АВС.

Методы преобразования ортогональных проекций

На рис. 9-22 б показано решение поставленной задачи методом совмещения плоскости Методы преобразования ортогональных проекций с плоскостью проекций Методы преобразования ортогональных проекций путем вращения вокруг Методы преобразования ортогональных проекций.

По признаку принадлежности точек А, В, С к плоскости Методы преобразования ортогональных проекций строим Методы преобразования ортогональных проекций, когда точки А, В и С принадлежат соответствующим горизонталям Методы преобразования ортогональных проекций, при этом Методы преобразования ортогональных проекций принадлежит Методы преобразования ортогональных проекцийМетоды преобразования ортогональных проекций принадлежит Методы преобразования ортогональных проекцийМетоды преобразования ортогональных проекций принадлежит Методы преобразования ортогональных проекций, что дает построение Методы преобразования ортогональных проекций

Проследим за механизмом совмещения плоскости Методы преобразования ортогональных проекций с Методы преобразования ортогональных проекций.

На поле Методы преобразования ортогональных проекций построим Методы преобразования ортогональных проекций - фронтальную проекцию фронтального следа горизонтали Методы преобразования ортогональных проекций.

Для этого:

Методы преобразования ортогональных проекций

Методы преобразования ортогональных проекций то есть, повернув точку Методы преобразования ортогональных проекций до совмещения с Методы преобразования ортогональных проекций, построили совмещенное положение плоскости Методы преобразования ортогональных проекцийМетоды преобразования ортогональных проекцийМетоды преобразования ортогональных проекций

Учитывая, что плоскости вращения всех точек, принадлежащих плоскости Методы преобразования ортогональных проекций, вокруг Методы преобразования ортогональных проекций, параллельные между собой, то: Методы преобразования ортогональных проекций, которые, пересекаясь с совмещенным положением с соответствующими горизонталями в совмещенном положении, дают совмещенное положение точек Методы преобразования ортогональных проекций и Методы преобразования ортогональных проекций. Соединив точку Методы преобразования ортогональных проекцийс точкой Методы преобразования ортогональных проекцийи с точкой Методы преобразования ортогональных проекций, а точку Методы преобразования ортогональных проекцийс Методы преобразования ортогональных проекций , получаем Методы преобразования ортогональных проекций, что является натуральной величиной Методы преобразования ортогональных проекций, за счет преобразования плоскости общего положения Методы преобразования ортогональных проекций, которое выполнено методом совмещения, то есть вращения вокруг Методы преобразования ортогональных проекций до совмещения с Методы преобразования ортогональных проекций - плоскость нулевого горизонтального уровня. 

Вращение безосевое (вокруг воображаемой оси). Метод плоско-параллельного перемещения

Особенностью этого метода, как и других видов вращения, является неподвижность плоскостей проекций Методы преобразования ортогональных проекций, а меняет свое положение объект проецирования до получения, необходимого по информации, своего нового изображения. 

На рис. 9-23 приведено: 

Методы преобразования ортогональных проекций

а) - фото человека сверху (её горизонтальную проекцию);

б) - фото человека спереди (её фронтальная проекция, соответствующая расположению человека на горизонтальной проекции).

Когда необходимо "увидеть" профиль человека, то фото а) перемещаем в новое положение Методы преобразования ортогональных проекций, тогда такому новому её положению на фото человеку сверху будет отвечать фото в) - фото человека спереди в новом положении (её новая фронтальная проекция), где мы "видим" необходимый профиль человека.

То есть, если на поле Методы преобразования ортогональных проекций фото а) перемещаем, не меняя его содержания, в положение Методы преобразования ортогональных проекций, то на поле Методы преобразования ортогональных проекций фото б) меняется на фото в) нового необходимого содержания. 

На рис. 9-24 приведено геометрическую модель метода. 

Методы преобразования ортогональных проекций

Отрезок АВ прямой общего положения Методы преобразования ортогональных проекций- горизонтальная проекция, Методы преобразования ортогональных проекций - фронтальная проекция АВ. По размеру Методы преобразования ортогональных проекций и Методы преобразования ортогональных проекций меньше натуральной величины АВ. При повороте отрезка АВ между горизонтальными плоскостями Методы преобразования ортогональных проекций и Методы преобразования ортогональных проекций, то точка А будет перемещаться в плоскости Методы преобразования ортогональных проекций, а точка В в Методы преобразования ортогональных проекций. Размер горизонтальной проекции будет неизменным, будет изменяться только его расположение относительно оси Методы преобразования ортогональных проекций. Если отрезок займет положения, при котором Методы преобразования ортогональных проекций расположится параллельно оси Методы преобразования ортогональных проекций, то заданный отрезок займет фронтальное положение Методы преобразования ортогональных проекций и размер его фронтальной проекции будет равен размеру самого отрезка АВ, то есть Методы преобразования ортогональных проекций

Через точку А проведем плоскость Методы преобразования ортогональных проекций, параллельную плоскости проекций Методы преобразования ортогональных проекций и через точку В проведем Методы преобразования ортогональных проекций, параллельно Методы преобразования ортогональных проекций. Отрезок АВ будем перемещать так, чтобы точка А перемещалась в Методы преобразования ортогональных проекций. При перемещении точек А и В меняется расположение горизонтальной проекции Методы преобразования ортогональных проекций к положению, когда Методы преобразования ортогональных проекций расположится параллельно оси Методы преобразования ортогональных проекций, то есть фото с Методы преобразования ортогональных проекций, не меняя содержания, меняет свое расположение до положение, когда Методы преобразования ортогональных проекций При таком расположении, когда Методы преобразования ортогональных проекций стало параллельно оси Методы преобразования ортогональных проекций, отрезок АВ в пространстве параллельный плоскости Методы преобразования ортогональных проекций, то его фронтальная проекция Методы преобразования ортогональных проекций равна натуральной величине отрезка Методы преобразования ортогональных проекций. При таком перемещении точка А перемещалась в положение Методы преобразования ортогональных проекций, и это перемещение проходит по траектории, которая принадлежит плоскости Методы преобразования ортогональных проекций. Фронтальная проекция точки А с Методы преобразования ортогональных проекций в положение Методы преобразования ортогональных проекций перемещается по фронтальному следу-проекции Методы преобразования ортогональных проекций, который параллельный оси Методы преобразования ортогональных проекций. Точка В перемещается с В в Методы преобразования ортогональных проекций в плоскости Методы преобразования ортогональных проекций, а Методы преобразования ортогональных проекций в положение Методы преобразования ортогональных проекций перемещается по Методы преобразования ортогональных проекций.

Таким образом, "фото" с Методы преобразования ортогональных проекций перемещается в положение, когда Методы преобразования ортогональных проекций расположилось параллельно  оси Методы преобразования ортогональных проекций, фронтальная проекция Методы преобразования ортогональных проекций заменяется на Методы преобразования ортогональных проекций, что равно натуральной величине АВ. При этом АВ - прямую общего положения, преобразовано в Методы преобразования ортогональных проекций - прямую уровня (параллельную Методы преобразования ортогональных проекций).

Выполнение преобразований методом плоско-параллельного перемещения

Сущность способа плоскопараллельного перемещения заключает в том, что все точки геометрического образа перемещают во взаимно параллельных плоскостях. Плоскости-носители траекторий перемещения точек параллельны какой-либо плоскости проекций.

Преобразование вида №1 (преобразование прямой общего положения в прямую уровня)

На рис. 9-25 показано выполнение преобразования отрезка АВ общего положения в положение, параллельное Методы преобразования ортогональных проекций.

Методы преобразования ортогональных проекций

Для выполнения такого преобразования , через Методы преобразования ортогональных проекций проведем след-проекцию Методы преобразования ортогональных проекций, параллельно оси Методы преобразования ортогональных проекций, а через Методы преобразования ортогональных проекций проведем Методы преобразования ортогональных проекций, параллельно оси Методы преобразования ортогональных проекций. Фото Методы преобразования ортогональных проекций переместим в произвольное новое положение, при котором Методы преобразования ортогональных проекций расположится параллельно оси Методы преобразования ортогональных проекций.

Перемещение точки А происходит по плоской линии, которая принадлежит плоскости Методы преобразования ортогональных проекций, на эпюре эта линия перемещения точка А на поле Методы преобразования ортогональных проекций сливается со следом-проекцией Методы преобразования ортогональных проекций, то есть Методы преобразования ортогональных проекций в новое положение Методы преобразования ортогональных проекций перемещения идет по прямой, параллельной оси Методы преобразования ортогональных проекций.

Перемещение точки В проходит в плоскости Методы преобразования ортогональных проекций, на эпюре Методы преобразования ортогональных проекций в новое положение Методы преобразования ортогональных проекцийпроходит по Методы преобразования ортогональных проекций, параллельной оси Методы преобразования ортогональных проекций. Пии этом Методы преобразования ортогональных проекций определяется при помощи вертикальной линии связи (в.л.с.), выбранного положения Методы преобразования ортогональных проекций, проведенной до пересечения с Методы преобразования ортогональных проекцийМетоды преобразования ортогональных проекций определяется при помощи в.л.с., проведенной с Методы преобразования ортогональных проекций до пересечения с Методы преобразования ортогональных проекций.

Алгоритм преобразования (когда АВ Методы преобразования ортогональных проекцийпр. о. п. Методы преобразования ортогональных проекций):

Методы преобразования ортогональных проекций

Методы преобразования ортогональных проекций

Если необходимо преобразовать прямую общего положения в прямую горизонтальную, то "фото" фронтальной проекции Методы преобразования ортогональных проекцийперемещается в положение Методы преобразования ортогональных проекций, параллельное оси Методы преобразования ортогональных проекций и по этой проекции строится Методы преобразования ортогональных проекций.

Преобразование вида №2 (преобразование прямой уровня в прямую проецирующую)

На эпюре рис. 9-26 показано выполнение преобразования фронтальной прямой АВ в прямую горизонтально-проецирующую.

Методы преобразования ортогональных проекций

Для этого через прямую уровня АВ проводим плоскость уровня Р, которая параллельна Методы преобразования ортогональных проекций. "Фото" Методы преобразования ортогональных проекцийпереносим в новое произвольное положение, при котором Методы преобразования ортогональных проекций расположится перпендикулярно к оси Методы преобразования ортогональных проекций. Плоскость Р параллельна Методы преобразования ортогональных проекций, в Р выполняется перемещение точек А и В. На поле Методы преобразования ортогональных проекций след-проекция Методы преобразования ортогональных проекций параллельный оси Методы преобразования ортогональных проекций и при пересечении вертикальной линии связи с Методы преобразования ортогональных проекций перпендикулярного к оси Методы преобразования ортогональных проекций, с Методы преобразования ортогональных проекций получаем горизонтальную проекцию Методы преобразования ортогональных проекций перемещенного положения АВ.

Алгоритм преобразования

Методы преобразования ортогональных проекций

Преобразование вида №1+№2 (преобразование прямой общего положения в прямую проецирующую)

На эпюре рис. 9-27 показано выполнение преобразования отрезка АВ прямой общего положения в прямую проецирующую (например, в горизонтально проецирующую), что выполняется последовательным выполнением двух преобразований , вида №1 и вида №2. При этом, сначала преобразуется прямая общего положения в прямую уровня и дальше полученную прямую уровня (при преобразовании второго преобразования ), преобразуем в прямую проецирующую.

Методы преобразования ортогональных проекций

Для этого "фото" Методы преобразования ортогональных проекций перемещаем в свободное место и так располагаем, чтобы Методы преобразования ортогональных проекций, которое равно Методы преобразования ортогональных проекций, располагалось параллельно оси Методы преобразования ортогональных проекций, строим Методы преобразования ортогональных проекций по алгоритму преобразования №1. Второе преобразование выполняем путем перемещения "фото" Методы преобразования ортогональных проекций в новое положение, когда Методы преобразования ортогональных проекций, которое равно Методы преобразования ортогональных проекций, расположится перпендикулярно оси Методы преобразования ортогональных проекций, строим Методы преобразования ортогональных проекций по алгоритму преобразования вида №2.

Алгоритм преобразования вида №1 + №2 (когда АВ Методы преобразования ортогональных проекций пр. о. п Методы преобразования ортогональных проекцийМетоды преобразования ортогональных проекций, Методы преобразования ортогональных проекций)

Методы преобразования ортогональных проекций

Методы преобразования ортогональных проекций

Методы преобразования ортогональных проекцийв.л.с. Методы преобразования ортогональных проекций

Методы преобразования ортогональных проекций

Преобразование вида №3 (преобразование плоскости общего положения в плоскость проецирующую)

На эпюре рис. 9-28 показано выполнение преобразования треугольника АВС, который принадлежит плоскости общего положения Методы преобразования ортогональных проекций, например, у фронтально проецирующую плоскость методом плоско-параллельного перемещения. Для этого в треугольнике АВС с точки А проведем горизонталь Методы преобразования ортогональных проекций, на эпюре Методы преобразования ортогональных проекцийпройдет Методы преобразования ортогональных проекций, параллельно оси Методы преобразования ортогональных проекцийМетоды преобразования ортогональных проекций. По признаку принадлежности Методы преобразования ортогональных проекций плоскости треугольника АВС, Методы преобразования ортогональных проекций пройдет с Методы преобразования ортогональных проекций через Методы преобразования ортогональных проекций.

Методы преобразования ортогональных проекций

"Фото" Методы преобразования ортогональных проекций, не меняя содержания, меняет свое расположение до положения, когда Методы преобразования ортогональных проекций будет перпендикулярна оси Методы преобразования ортогональных проекций. При таком расположении Методы преобразования ортогональных проекций спроецируется на поле Методы преобразования ортогональных проекций в точку Методы преобразования ортогональных проекций, с которой совпадает Методы преобразования ортогональных проекций, а вся плоскость треугольника спроецируется в линию Методы преобразования ортогональных проекций, которая совпадает со следом проекцией Методы преобразования ортогональных проекций. При этом, для построения Методы преобразования ортогональных проекций выполняется следующее построение: через Методы преобразования ортогональных проекций проводим след-проекцию Методы преобразования ортогональных проекций(плоскость Методы преобразования ортогональных проекций, в которой проходит перемещение точки В), соответственно Методы преобразования ортогональных проекцийи Методы преобразования ортогональных проекций. Из нового положения Методы преобразования ортогональных проекций проводим вертикальные линии связи до пересечения с соответствующими следами-проекциями Методы преобразования ортогональных проекцийи получаем Методы преобразования ортогональных проекций и Методы преобразования ортогональных проекций, соединив которые получаем Методы преобразования ортогональных проекций, которое определяет след-проекцию Методы преобразования ортогональных проекций плоскости Методы преобразования ортогональных проекций, в которой расположен треугольник АВС. В преобразованном положении на полях Методы преобразования ортогональных проекций треугольник АВС принадлежит плоскости проецирующей, перпендикулярной плоскости проекций Методы преобразования ортогональных проекций.

Алгоритм преобразования вида №3 (когда Методы преобразования ортогональных проекций):

Методы преобразования ортогональных проекций

Методы преобразования ортогональных проекций - след-проекция.

Если необходимо преобразовать треугольник АВС плоскости общего положения Методы преобразования ортогональных проекций в плоскость горизонтально-проецирующую, то в треугольнике проводится фронталь Методы преобразования ортогональных проекцийи "фото" фронтальной проекции треугольника перемещается так, чтобы Методы преобразования ортогональных проекций расположилось перпендикулярно к оси Методы преобразования ортогональных проекций, при этом фронталь на поле Методы преобразования ортогональных проекций спроецируется в точку, а весь треугольник спроецируется на Методы преобразования ортогональных проекций в линию совпадающую со следом-проекцией Методы преобразования ортогональных проекций.

Преобразование вида №4 (преобразование плоскости проецирующей в плоскость уровня)

На эпюре рис. 9-29 показано выполнение преобразования треугольника АВС, принадлежащего фронтально проецирующей плоскости, в плоскости уровня (параллельно горизонтальной плоскости Методы преобразования ортогональных проекций. Для этого "фото" Методы преобразования ортогональных проекцийрасполагается параллельно оси Методы преобразования ортогональных проекций, а на поле Методы преобразования ортогональных проекций: через Методы преобразования ортогональных проекций проводим след-проекцию Методы преобразования ортогональных проекций плоскости Методы преобразования ортогональных проекций, которая расположена параллельно Методы преобразования ортогональных проекций и проходит через точку А, через точку Методы преобразования ортогональных проекцийпроводим Методы преобразования ортогональных проекций, через Методы преобразования ортогональных проекций проводим Методы преобразования ортогональных проекцийпараллельно оси Методы преобразования ортогональных проекций.

Методы преобразования ортогональных проекций

Вертикальная линия связи, проведенная с Методы преобразования ортогональных проекций до пересечения с Методы преобразования ортогональных проекций - образуется Методы преобразования ортогональных проекций, с Методы преобразования ортогональных проекций до пересечения с Методы преобразования ортогональных проекций - образуется Методы преобразования ортогональных проекций, с Методы преобразования ортогональных проекций до пересечения с Методы преобразования ортогональных проекций- образуется Методы преобразования ортогональных проекций. Объединив полученные точки Методы преобразования ортогональных проекциймежду собой, получается Методы преобразования ортогональных проекций, что равно действительной величине треугольника АВС. В преобразованном положении на полях Методы преобразования ортогональных проекцийтреугольник АВС принадлежит плоскости Методы преобразования ортогональных проекций-уровня, параллельной плоскости проекций Методы преобразования ортогональных проекций.

Алгоритм преобразования вида №4 (когда Методы преобразования ортогональных проекций):

Методы преобразования ортогональных проекций

Методы преобразования ортогональных проекций

Преобразование вида №3+№4 (преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня методом плоско-параллельного перемещения)

преобразования вида №3+№4, выполненное методом плоско-параллельного перемещения, дает возможность преобразовать треугольник АВС, который принадлежит плоскости общего положения, например, в горизонтальную плоскость, путем последовательного преобразования вида №3, что дает возможность плоскость проецирующую преобразовать в плоскость уровня (параллельную Методы преобразования ортогональных проекций).

Для этого на рис. 9-30 "фото" Методы преобразования ортогональных проекций не меняя содержания изображения, изменяет свое расположение к положению, когда его Методы преобразования ортогональных проекций расположится перпендикулярно оси Методы преобразования ортогональных проекций, на поле Методы преобразования ортогональных проекций получаем прямую Методы преобразования ортогональных проекций- след-проекцию Методы преобразования ортогональных проекций, в которую проецируется треугольник на поле Методы преобразования ортогональных проекций. Далее выполняется второе перемещение, когда "фото" Методы преобразования ортогональных проекцийрасполагается параллельно оси Методы преобразования ортогональных проекций, на поле пппп1 получаем Методы преобразования ортогональных проекций, что равно натуральной величине треугольника АВС. 

Методы преобразования ортогональных проекций

Алгоритм преобразования вида №3+№4

(когда Методы преобразования ортогональных проекцийпл.о.п. Методы преобразования ортогональных проекций):

Методы преобразования ортогональных проекций

Методы преобразования ортогональных проекций

Если необходимо преобразовать треугольник АВС плоскости общего положения в плоскость фронтального уровня, то в треугольнике АВС проводится фронталь Методы преобразования ортогональных проекций и "фото" фронтальной проекций перемещается так, чтобы Методы преобразования ортогональных проекций располагалась перпендикулярно к оси Методы преобразования ортогональных проекций, при этом фронталь на поле Методы преобразования ортогональных проекций спроецируется в точку, а весь треугольник - в след-проекцию. Далее выполняется второе перемещение, в котором "фото" следа-проекции, полученной при решении первого преобразования , перемещается до расположения параллельно оси Методы преобразования ортогональных проекций, а га поле Методы преобразования ортогональных проекций получается Методы преобразования ортогональных проекций, который равен натуральной величине треугольника АВС.

Примеры решения задач с применением методом преобразования проекций 

Пример II-2.1 : Дано треугольник АВС, принадлежащий плоскости Методы преобразования ортогональных проекций и точка Методы преобразования ортогональных проекций, которая не принадлежит плоскости этого треугольника.

Необходимо определить:

- угол Методы преобразования ортогональных проекций- угол наклона плоскости Методы преобразования ортогональных проекций треугольника до плоскости проекций Методы преобразования ортогональных проекций;

- угол Методы преобразования ортогональных проекций- угол при вершине В треугольника;

- расстояние от точки Методы преобразования ортогональных проекций до плоскости треугольника. 

Решение задачи показано на рис. 9-31, который базируется на выполнении преобразования вида №3, методом замены плоскостей, плоскости Методы преобразования ортогональных проекций треугольника АВС, то угол между следом-проекцией Методы преобразования ортогональных проекцийи осью Методы преобразования ортогональных проекцийравен Методы преобразования ортогональных проекций; расстояние от заданной точки Методы преобразования ортогональных проекций (её проекции Методы преобразования ортогональных проекций) до Методы преобразования ортогональных проекций равно расстоянию от точки Методы преобразования ортогональных проекций до плоскости Методы преобразования ортогональных проекций; выполнив преобразование вида №3+№4 методом замены плоскостей, получим натуральную величину треугольника АВС, где угол при вершине В равен искомому углу Методы преобразования ортогональных проекций.

Методы преобразования ортогональных проекций

Алгоритм решения:

Методы преобразования ортогональных проекций

Пример II-2.2 : Дано прямую Методы преобразования ортогональных проекций, которая пересекается с прямой Методы преобразования ортогональных проекций.

Необходимо определить натуральную величину угла Методы преобразования ортогональных проекций между прямой Методы преобразования ортогональных проекций и Методы преобразования ортогональных проекций

Решение базируется на выполнении преобразования вида №3+№4 методом вращения вокруг линии уровня, когда угол между двумя прямыми проецируется на плоскость проекций в натуральную величину, а это возможно в том случае, когда две пересекающие прямые расположены параллельно этой плоскости проекций.

На рис. 9-32 показано решение этой задачи.

Методы преобразования ортогональных проекций

Для этого принимаем во внимание пересекающиеся прямые Методы преобразования ортогональных проекций и Методы преобразования ортогональных проекций образуют плоскость общего положения, в этой плоскости проводим произвольную горизонталь Методы преобразования ортогональных проекций, вокруг нее вращаем Методы преобразования ортогональных проекций и Методы преобразования ортогональных проекций до совмещения их с горизонтальной плоскостью Методы преобразования ортогональных проекций, проведенной через горизонталь Методы преобразования ортогональных проекций и выполняется это преобразование по алгоритму:

Методы преобразования ортогональных проекций

Пример II-2.3: Дано плоскость Методы преобразования ортогональных проекций и прямую Методы преобразования ортогональных проекций, которая пересекается с Методы преобразования ортогональных проекций. Необходимо определить угол Методы преобразования ортогональных проекций между прямой Методы преобразования ортогональных проекций и плоскостью Методы преобразования ортогональных проекций.

Решение: на наглядном изображении, рис. 9-33, показано плоскость Методы преобразования ортогональных проекций, с которой пересекается прямая Методы преобразования ортогональных проекций. На прямой Методы преобразования ортогональных проекций возьмем произвольную точку А, с которой проведем перпендикуляр Методы преобразования ортогональных проекций до плоскости Методы преобразования ортогональных проекций. Если построить точку встречи Методы преобразования ортогональных проекций с Методы преобразования ортогональных проекций, получим точку К и если построить точку  встречи Методы преобразования ортогональных проекций с Методы преобразования ортогональных проекций, получим точку Методы преобразования ортогональных проекций. Соединив точки Методы преобразования ортогональных проекций получим прямоугольник Методы преобразования ортогональных проекций в котором угол при вершине Методы преобразования ортогональных проекций равен Методы преобразования ортогональных проекций, искомый угол Методы преобразования ортогональных проекций - между прямой Методы преобразования ортогональных проекций та её ортогональной проекцией Методы преобразования ортогональных проекций (угол при вершине Методы преобразования ортогональных проекций), а угол при вершине А равен углу Методы преобразования ортогональных проекций.

Методы преобразования ортогональных проекций

Учитывая, что сумма углов Методы преобразования ортогональных проекций и Методы преобразования ортогональных проекций равна Методы преобразования ортогональных проекций, то для наипростейшего решения задачи, определяем угол Методы преобразования ортогональных проекций, а Методы преобразования ортогональных проекций(что выполняется преобразованием вида №3 + №4).

Алгоритм решения:

Методы преобразования ортогональных проекций

(выполнение этого решения приведено в предыдущей задаче 2).

Методы преобразования ортогональных проекций

Пример II-2.4: Дано две пересекающиеся плоскости Методы преобразования ортогональных проекций и Методы преобразования ортогональных проекций

Необходимо определить линейный угол двухгранного угла между заданными плоскостями.

Решение: на рис. 9-34 показана схема решения, где плоскости Методы преобразования ортогональных проекций и Методы преобразования ортогональных проекций, пересекаясь со своими следами-проекциями, образуют искомый угол Методы преобразования ортогональных проекций, для его определения выполняем следующее построение: в пространстве между плоскостями Методы преобразования ортогональных проекций и Методы преобразования ортогональных проекций произвольно выбираем точку А, с этой точки А проводим перпендикуляр Методы преобразования ортогональных проекций до плоскости Методы преобразования ортогональных проекций и перпендикуляр Методы преобразования ортогональных проекций до плоскости Методы преобразования ортогональных проекций.

Методы преобразования ортогональных проекций

Методы преобразования ортогональных проекций

Получено четырехугольник Методы преобразования ортогональных проекций - сумма углов равна 360Методы преобразования ортогональных проекций, учитывая, что углы при вершинах О и Методы преобразования ортогональных проекций прямые, то сумма углов Методы преобразования ортогональных проекций при вершине В и вспомогательного Методы преобразования ортогональных проекций при вершине А равна 180Методы преобразования ортогональных проекций, то для наипростейшего решения задачи определяем дополнительный угол Методы преобразования ортогональных проекций, выполняя преобразования вида №3+№4 методов вращения вокруг линии уровня Методы преобразования ортогональных проекций, а искомый угол Методы преобразования ортогональных проекций.

Алгоритм решения:

Методы преобразования ортогональных проекций

Методы преобразования ортогональных проекций(выполнение этого решения приведено в предыдущей задаче 2).

Методы преобразования ортогональных проекций

Пример II-2.5: Дано плоскость общего положения Методы преобразования ортогональных проекций, которой принадлежит пятиугольник Методы преобразования ортогональных проекций полученный при сечении прямой правильной четырехгранной пирамиды плоскостью Методы преобразования ортогональных проекций. Необходимо построить натуральную величину пятиугольника Методы преобразования ортогональных проекций

Решение задачи приведено на рис. 9-35, который базируется на выполнении преобразования в плоскость уровня методом вращения вокруг линии нулевого уровня до совмещения с  Методы преобразования ортогональных проекций, или методом замены плоскостей проекций. 

Методы преобразования ортогональных проекций

Выполнение преобразования методом вращения: Методы преобразования ортогональных проекций - принимается за ось вращения.

Для совмещения Методы преобразования ортогональных проекций с Методы преобразования ортогональных проекций повернем точку Методы преобразования ортогональных проекций, которая принадлежит Методы преобразования ортогональных проекций, вокруг Методы преобразования ортогональных проекций и получим Методы преобразования ортогональных проекций, с точки Методы преобразования ортогональных проекций через Методы преобразования ортогональных проекций пройдет Методы преобразования ортогональных проекций (совмещенное положение Методы преобразования ортогональных проекцийс Методы преобразования ортогональных проекций при повороте вокруг Методы преобразования ортогональных проекций). Проследим за совмещением заданного пятиугольника с Методы преобразования ортогональных проекций по совмещению точки С.

Через точку С проведена Методы преобразования ортогональных проекцийкоторая, пересекаясь с Методы преобразования ортогональных проекций, образует точку Методы преобразования ортогональных проекций. При этом на эпюре по алгоритму: 

Методы преобразования ортогональных проекций

Аналогично выполняется совмещение точек В и Методы преобразования ортогональных проекций до  Методы преобразования ортогональных проекций и Методы преобразования ортогональных проекций, точки А и Е при совмещении плоскости  Методы преобразования ортогональных проекций остаются неподвижными на Методы преобразования ортогональных проекций (Методы преобразования ортогональных проекций

Методы преобразования ортогональных проекций).

Соединив Методы преобразования ортогональных проекций= н.в. Методы преобразования ортогональных проекций

Выполнение преобразования методом замены плоскостей:

преобразование выполняется путем введения плоскости Методы преобразования ортогональных проекций, которая перпендикулярна плоскости Методы преобразования ортогональных проекций и дальше вводится новая плоскость Методы преобразования ортогональных проекций, которая параллельна плоскости Методы преобразования ортогональных проекций и на поле Методы преобразования ортогональных проекций получается Методы преобразования ортогональных проекций которая равна действительной величине пятиугольника Методы преобразования ортогональных проекций

На эпюре рис. 9-35 выполнено:

Методы преобразования ортогональных проекций

Пример II-2.6: Дано плоскость общего положенияМетоды преобразования ортогональных проекций, точку А на горизонтали и точку В на фронтали (рис. 9-36, а). 

Методы преобразования ортогональных проекций

Необходимо построить прямую призму, основание которой - равнобедренный треугольник АВС, принадлежащий плоскости Методы преобразования ортогональных проекций. Высота призмы 30 мм.

Решение приведено на рис. 9-36,б, который базируется на выполнении преобразования вида №3+№4 методом плоско-параллельного перемещения, при котором плоскость общего положения преобразуется в плоскость уровня.

Выполняя преобразование вида №3 "фото" горизонтальной проекции, задание меняет свое расположение до положения, когда Методы преобразования ортогональных проекций будет перпендикулярно оси Методы преобразования ортогональных проекций, при таком положении на Методы преобразования ортогональных проекций, на Методы преобразования ортогональных проекций плоскость Методы преобразования ортогональных проекций будет воспроизведена следом-проекцией Методы преобразования ортогональных проекций. Получив перемещенное положение точки Методы преобразования ортогональных проекций, с неё проведем перпендикуляр к Методы преобразования ортогональных проекций, который будет перпендикуляром к плоскости Методы преобразования ортогональных проекций, на этом перпендикуляре откладывается высота призмы, которая равна размеру 30 мм, получим Методы преобразования ортогональных проекций, принятую за вершину второго основания призмы.

Выполняя преобразование вида №4, след-проекцию Методы преобразования ортогональных проекций располагаем параллельно оси Методы преобразования ортогональных проекций, получаем Методы преобразования ортогональных проекций, при этом относительно поля Методы преобразования ортогональных проекций плоскость Методы преобразования ортогональных проекций - плоскость уровня и Методы преобразования ортогональных проекцийсторона равностороннего треугольника АВС - основания призмы. По натуральной величине Методы преобразования ортогональных проекцийстроится один (из двух) вариант расположения вершины Методы преобразования ортогональных проекций и переносим её расположения в первое преобразование и на исходное положение плоскости Методы преобразования ортогональных проекций. Таким построением определено Методы преобразования ортогональных проекций и Методы преобразования ортогональных проекций третьей вершины треугольника АВС основания призмы, которая принадлежит плоскости Методы преобразования ортогональных проекций.

С Методы преобразования ортогональных проекцийи Методы преобразования ортогональных проекций на поле Методы преобразования ортогональных проекций проекции боковых ребер располагаются перпендикулярно к Методы преобразования ортогональных проекцийа на поле Методы преобразования ортогональных проекций проекции боковых ребер расположатся на перпендикулярах к Методы преобразования ортогональных проекций, проведенных с Методы преобразования ортогональных проекций

С первого преобразования , где определено Методы преобразования ортогональных проекций, переносим Методы преобразования ортогональных проекций на исходное изображение, где Методы преобразования ортогональных проекцийрасположится на перпендикуляре к Методы преобразования ортогональных проекцийпроведенном с Методы преобразования ортогональных проекций. По полученной проекции Методы преобразования ортогональных проекций строим её горизонтальную проекцию Методы преобразования ортогональных проекций, которая располагалась на перпендикуляре до Методы преобразования ортогональных проекций, проведенного с Методы преобразования ортогональных проекций

Построив Методы преобразования ортогональных проекций и Методы преобразования ортогональных проекций, с этих проекций проводятся проекции ребер верхнего основания, которые пройдут параллельно соответствующим ребрам нижнего основания призмы.

Алгоритм решения:

Методы преобразования ортогональных проекций

3. по Методы преобразования ортогональных проекцийстроится Методы преобразования ортогональных проекций

Методы преобразования ортогональных проекций

5. Методы преобразования ортогональных проекций верхнему основанию Методы преобразования ортогональных проекцийна поле Методы преобразования ортогональных проекций;

Методы преобразования ортогональных проекций верхнему основанию Методы преобразования ортогональных проекцийна поле Методы преобразования ортогональных проекций.

Эпюр №2

По окончанию изучения раздела №2 "Методы преобразования ортогональных проекций", выполняется эпюр №2.

На таблице №2 приложений приведены задания на эпюр №2, где предусмотрено в каждом варианте по три задачи.

Решение задачи эпюра №2 выполняется с применением методов преобразования , в том числе: одна задача (преимущественно первая) решается методом замены плоскости проекции, вторая и третья задача решается методом вращения вокруг оси и плоско-параллельным перемещением.

Каждая задача эпюре №2 выполняется на отдельном листе формата А4 Методы преобразования ортогональных проекций чертежной бумаги. Оформление каждого листа и компоновка решения каждой задачи приведена на рис. Е-1-2, пространственное изображение решения задачи выполняется по возможности. Эпюр выполняется цветными линиями и цветным выделением плоскостей, как рекомендовано в требованиях к эпюру №1.

Последовательность выполнения эпюра №2:

- оформить лист;

- выяснить условие задачи;

- выбрать метод преобразования проекций, при помощи которого будет выполнено решение задачи, четко определить элементы аппарата выполнения выбранного метода касательно условия задачи;

- выполнить эпюр решения задачи, утвердив эскиз решения с преподавателем.

Пример решения задачи №1 эпюра №2, выполненного методом замены плоскостей проекций, приведено на рис. Е-2.7. Ход промежуточного решения показано на рис. Е-2.1...Е-2.6, на каждом из них показано решение соответствующего пункту обобщенного алгоритма решения и написано подробный алгоритм выполнения этого пункта. Расписано решение в общем виде и последовательность действий этого решения на соответствующих полях плоскостей проекций (в алгоритме применены вспомогательные обозначения, например:

Методы преобразования ортогональных проекций- первая линия связи; Методы преобразования ортогональных проекций- вторая линия связи и т.д.;

Методы преобразования ортогональных проекций- первой вертикальной линии связи;

в скобках приведено графическое обозначение координаты, например:

Методы преобразования ортогональных проекций- координата высоты точки 2, которая равна Методы преобразования ортогональных проекций;)

Методы преобразования ортогональных проекций

Методы преобразования ортогональных проекций

Методы преобразования ортогональных проекций

Методы преобразования ортогональных проекций

Методы преобразования ортогональных проекций

Методы преобразования ортогональных проекций

Методы преобразования ортогональных проекций

Примеры и образцы решения задач:

Услуги по выполнению чертежей:

  1. Заказать чертежи
  2. Помощь с чертежами
  3. Заказать чертеж в компасе
  4. Заказать чертеж в автокаде
  5. Заказать чертежи по инженерной графике
  6. Заказать чертежи по начертательной геометрии
  7. Заказать черчение

Учебные лекции:

  1. Инженерная графика
  2. Начертательная геометрия
  3. Оформление чертежей
  4. Чертеж общего вида и сборочный чертеж
  5. Техническое рисование
  6. Машиностроительные чертежи
  7. Геометрические построения
  8. Деление окружности на равные части
  9. Сопряжение линий
  10. Коробовые кривые линии
  11. Построение уклона и конусности
  12. Лекальные кривые
  13. Параллельность и перпендикулярность
  14. Поверхности
  15. Способы проецирования
  16. Метрические задачи
  17. Способы преобразования чертежа
  18. Кривые линии
  19. Кривые поверхности
  20. Трёхгранник Френе
  21. Проецирование многогранников
  22. Проецирование тел вращения
  23. Развёртывание поверхностей
  24. Проекционное черчение
  25. Проецирование
  26. Проецирование точки
  27. Проецирование отрезка прямой линии
  28. Проецирование плоских фигур
  29. Способы преобразования проекций
  30. Аксонометрическое проецирование
  31. Проекции геометрических тел
  32. Сечение геометрических тел плоскостями и развертки их поверхностей
  33. Взаимное пересечение поверхностей тел
  34. Сечение полых моделей
  35. Разрезы
  36. Требования к чертежам деталей
  37. Допуски и посадки
  38. Шероховатость поверхностей и обозначение покрытий
  39. Разъемные и неразъемные соединения деталей
  40. Передачи и их элементы