Методы преобразования ортогональных проекций
Содержание:
- Виды преобразований ортогональных проекций
- Метод замены плоскостей проекций
- Замена одной плоскости проекций
- Выполнение преобразований методом замены плоскостей проекций
- Преобразование прямой общего положения в прямую уровня (преобразование вида №1)
- Преобразование прямой уровня в прямую проецирующую (преобразование вида №2)
- Преобразование плоскости общего положения в плоскость проецирующую (преобразование вида №3)
- Преобразование плоскости проецирующей в плоскость уровня (преобразование вида №4)
- Замена двух плоскостей проекций
- Преобразование прямой общего положения в прямую проецирующую (преобразование вида №1+№2)
- Преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня (преобразование вида №3 + №4)
- Графическая работа №1
- Метод вращения
- Вращение объекта вокруг проецирующей прямой
- Выполнение преобразований методом вращения вокруг проецирующей оси
- Преобразование вида №1 (преобразование прямой общего положения в прямую уровня)
- Преобразование вида №2 (преобразование прямой уровня в прямую проецирующую)
- Преобразование вида №3 (преобразование плоскости общего положения в плоскость проецирующую)
- Преобразование вида №4 (преобразование плоскости проецирующей в плоскость уровня)
- Преобразование вида №3+№4 (преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня)
- Вращение объекта вокруг линии уровня
- Преобразование вида №3+№4 (преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня)
- Вращение объекта вокруг прямой общего положения
- Вращение объекта вокруг линии нулевого уровня (Метод совмещения)
- Выполнение преобразования методом совмещения
- Преобразование вида №1 ( преобразование прямой общего положения в прямую уровня)
- Преобразование вида №3+№4 ( преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня методом совмещения)
- Вращение безосевое (вокруг воображаемой оси). Метод плоско-параллельного перемещения
- Выполнение преобразований методом плоско-параллельного перемещения
- Преобразование вида №1 (преобразование прямой общего положения в прямую уровня)
- Преобразование вида №2 (преобразование прямой уровня в прямую проецирующую)
- Преобразование вида №1+№2 (преобразование прямой общего положения в прямую проецирующую)
- Преобразование вида №3 (преобразование плоскости общего положения в плоскость проецирующую)
- Преобразование вида №4 (преобразование плоскости проецирующей в плоскость уровня)
- Преобразование вида №3+№4 (преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня методом плоско-параллельного перемещения)
- Примеры решения задач с применением методом преобразования проекций
Методы преобразования ортогональных проекций:
Рассматривая чертеж объекта, для определения его составных элементов, необходимо иметь более информативные изображения, которые можно получить построением дополнительных проекций объекта. В таких проекциях рассматриваемый элемент (геометрический образ) должен занимать преимущественно частное положение относительно плоскостей проекций, что возможно достичь сменой взаимного положения объекта и плоскостей проекций. Это может быть достигнуто когда:
- объект недвижим, а изменяется расположение плоскостей проекций относительно объекта;
- недвижимыми являются плоскости проекций, а меняется расположения объекта относительно плоскостей.
Кроме этого, существует ряд специальных методов преобразования проекций.
Виды преобразований ортогональных проекций
Рассмотрим назначение наиболее распространенных видов:
- преобразование вида №1 - дает возможность преобразовать прямую общего положения в прямую уровня, это преобразование выполняют для определения натуральной величины прямой (её отрезка) и углов наклона её к плоскости проекций или других метрических задач (рис. 8-1).
- преобразование вида №2 - дает возможность преобразовать прямую уровня в прямую проецирующую, это преобразование выполняют для решения ряда позиционных задач, например, расстояние от точки к прямой, расстояние между прямыми и других (рис. 8-2).
- преобразование вида №1 + №2 - дает возможность преобразовать прямую общего положения в прямую проецирующую, это преобразование выполняют для решения ряда метрических или позиционных задач, касательно прямых, характерных для объекта (рис. 8-3).
- преобразование вида №3 - дает возможность преобразовать плоскость общего положения в плоскость проецирующую, это преобразование выполняется для решения позиционных задач, например, определения углов наклона плоскостей к плоскостям проекций и других (рис. 8-4).
- преобразование вида №4 - дает возможность преобразовать плоскость проецирующую в плоскость уровня, это преобразование выполняется для решения задач по определению метрических характеристик плоских фигур (рис. 8-5).
- преобразование вида №3 + №4 - дает возможность преобразовать плоскость общего положения в плоскость уровня, это преобразование выполняется для решения ряда позиционно-метрических задач касательно плоских фигур, характерных для объекта (рис. 8-6).
Метод замены плоскостей проекций
Метод основывается на выборе новой плоскости проекций, относительно которой элемент объекта, не меняя своего положения в пространстве, займет частное положение. При этом, новая плоскость проекций размещается перпендикулярно к одной из "старых" заданных плоскостей проекций.
Часто получение необходимого изображения объекта (или его элемента), достигается заменой только одной плоскости проекций, что может быть выполнено по схеме А или по схеме В, выполнение которых происходит в такой последовательности:
схема А: (выполняется одной заменой) 
при этом заменяется плоскость 
на 
, которая располагается перпендикулярно к плоскости 
, а 
, пересекаясь с 
, образует ось 
, которая разделяет новые поля 
.
схема В: (выполняется одной заменой) 
при этом заменяется плоскость на , которая располагается перпендикулярно к плоскости , а , пересекаясь с , образует ось , которая разделяет новые поля 
.
В случае, когда для решения метрической задачи, одной замены недостаточно, то решение выполняется двумя последовательными заменами по схеме С или схеме 
:
схема С: (выполняется двумя заменами) 
, при этом выполняется первая замена, когда заменяется плоскость на 
и 
, которая разделяет поля 
, далее выполняется вторая замена, когда , заменяется на 
и 
, которая разделяет новые поля 
.
схема : (выполняется двумя заменами) 
при этом выполняется первая замена, когда заменяется плоскость на 
и 
, которая разделяет поля 
, далее выполняется вторая замена, когда 
, заменяется на и 
, которая разделяет новые поля .
Кроме приведенных схем, существуют другие, например, схема В. Л. Торохова, которая позволяет получить следствие двойной замены плоскостей без промежуточной замены.
Замена одной плоскости проекций
Пусть в пространстве взаимно перпендикулярных плоскостей 
и 
(рис. 8-7) расположена точка А и ее горизонтальная проекция 
, фронтальная проекция 
и высота 
и её проекция 
, глубина 
и ее проекция 
.
Новую плоскость 
расположим на произвольном расстоянии от точки А перпендикулярно к и произвольно к . Построим проекцию на неё точки А и получим 
. С рис. 8-7 видно, что высота точки А проецировалась на плоскость и равно и проецируется на плоскость , и равно 
, то есть: высота точки А на поле плоскости 
и на поле 
одинаковая. Плоскость , вместе с проекцией и проекцией высоты повернем вокруг оси 
до её совмещения с плоскостью .
На рис. 8-8 показано эпюр точки А, спроецированной на поля 
. На полях 
, где выполнено замена за схемой А, расположив на произвольном расстоянии 
от точки А. При этом: 
, которая проведена на произвольном расстоянии 
от 
. С точки 
перпендикулярно к оси проведена линия связи и на пересечении её с получили точку А, а на продолжении этой линии связи от А отложен размер 
, высота точки , взятой с плоскости , так как на рис. 8-1 видно, что высота точки А одинаково проецируется на и на , которые перпендикулярны к .
Для построения 
: на поле меряем расстояние от 
до оси 
- получаем , на поле от оси на линии связи откладываем расстояние - получаем .
В новой системе плоскостей проекций 
получено проекции 
и , которые также определяют положения точки А в пространстве. Отметим, что координаты на новую плоскость проекций переносят с плоскости , которая заменяется, то есть на новое поле, координаты берут с предыдущего поля через одно.
Выполнение преобразований методом замены плоскостей проекций
Метод замены плоскостей проекций состоит в том, что одна из основных плоскостей проекций (П1, П2, П3) заменяется новой (П4, П5 и т.д.), подходящим образом расположенной относительно проецируемой фигуры, но перпендикулярно оставшейся плоскости проекций.
Преобразование прямой общего положения в прямую уровня (преобразование вида №1)
На эпюре рис. 8-9 прямая общего положения задана отрезком АВ. Необходимо определить его натуральную величину и угол 
(угол наклона его к плоскости проекций).
Решение такой задачи базируется на том, что когда отрезок прямой параллелен плоскости проекций, то на эту плоскость он и угол его наклона проецируется в натуральную величину.
На рис. 8-9 натуральная величина отрезка АВ и его угол - угол наклона к определяется по схеме А. Расположив плоскость параллельно АВ, на эпюре ось 
пройдет параллельно горизонтальной проекции 
. На линиях связи, проведенных с 
и 
от точек их пересечения с осью откладываем на поле координаты высот точек А и В, взяв их с поля . Полученные проекции 
и 
соединяем и полученная проекция 
, которая и есть натуральной величиной отрезка АВ заданной прямой, так как в системе полей 
отрезок АВ является отрезком прямой уровня и на 
спроецируется в натуральную величину, а угол между и осью 
равен углу - углу наклона АВ к .
Если необходимо определить натуральную величину АВ и угол 
- решение проводится за схемой В (рис. 8-10), при этом ось пройдет параллельно 
и на поле получим натуральную величину АВ и угол .
Преобразование прямой уровня в прямую проецирующую (преобразование вида №2)
На эпюре рис. 8-11 прямая уровня задана отрезком АВ горизонтальной прямой, необходимо отрезок АВ преобразовать в прямую проецирующую.
Решение базируется на том, что когда отрезок прямой перпендикулярен к одной плоскости проекций, то на эту плоскость отрезок проецируется в виде точки, а на другие плоскости проекций проецируется в натуральную величину, которая будет расположена перпендикулярно к соответствующей оси.
Решение задачи выполнено по схеме А, при этом ось проведена перпендикулярно к 
(которая равна натуральной величине АВ). На линии связи, проведенной в продолжение , перпендикулярной к оси , откладываем высоту точки А, взятую с поля (вона равна и высоте точки В), и на поле получим точку, в которой 
сливается с 
, в которую спроецируется вся прямая АВ. Таким образом на полях 
отрезок АВ проецирующий, потому что он перпендикулярен к .
Если надо преобразовать отрезок 
фронтальной прямой в прямую проецирующую, то решение выполняется по схеме В (рис. 8-12), при этом ось пройдет перпендикулярно к 
На полях 
отрезок фронтальной прямой преобразовано в прямую проецирующую.
Преобразование плоскости общего положения в плоскость проецирующую (преобразование вида №3)
На эпюре рис. 8-13 плоскость 
общего положения задана следами 
и 
. Определить натуральную величину угла - угла наклона к плоскости проекций .
Решение такой задачи базируется на том, что у проецирующей плоскости один след (или её линия уровня) перпендикулярен к оси, а второй след - след-проекция образует с осью угол, который равен углу наклона плоскости к плоскости проекций.
Решение этой задачи выполняется преобразованием вида №3 по схеме А, где плоскость общего положения преобразована в плоскость проецирующую относительно . На основе базового решения (выполненного по схеме А), чтобы плоскость стала проецирующей относительно , проводим перпендикулярно к следу 
, который пересекаясь с осью , образует точку 
- точку схода следов, в которой пройдет след проекция 
. Для определения направления достаточно построить одну произвольную точку А, которая принадлежит плоскость , например, принадлежащую 
. Построив 
и с , через 
пройдет - след-проекция, который с осью образует искомый угол .
Когда необходимо определить угол (угол наклона плоскости к плоскости проекций ), то решение необходимо провести по схеме В, при котором ось пройдет перпендикулярно к следу 
(рис. 8-14) и построить след-проекцию 
, который с осью образует искомый угол .
Если плоскость задана не следами, а, например, треугольником (рис. 8-15), то для определения угла (угол наклона плоскости к ), в заданной проводим горизонталь 
, и дальше решение выполняется аналогично выше приведенному решения по схеме А относительно 
.
Когда нужно определить угол , то в плоскости проводим фронталь 
и выполняем преобразование по схеме В (рис. 8-16).
Преобразование плоскости проецирующей в плоскость уровня (преобразование вида №4)
Треугольник АВС принадлежит фронтально проецирующей плоскости 
. Необходимо определить натуральную величину треугольника АВС.
Решение такой задачи базируется на том, что на полях 
плоскость уровня воспроизводится одним следом, расположенным параллельно оси и этот след называется след-проекция, и с ним сливается одноименная проекция произвольной фигуры, которая принадлежит этой плоскости, а вторая проекция фигуры - натуральная величина этой произвольной фигуры.
Решение поставленной (рис. 8-17) задачи выполняется по схеме В. Треугольник АВС расположен во фронтально проецирующей плоскости имеет свою фронтальную проекцию 
, которая совпадает со следом-проекцией 
.
В новой системе полей 
на поле получаем проекцию 
, которая равна натуральной величине заданного треугольника АВС.
В случае, когда треугольник АВС принадлежит горизонтально проецирующей плоскости и необходимо определить его натуральную величину, то решение выполняется аналогично предыдущему случаю, только по схеме А (рис. 8-18). При этом ось располагается параллельно 
и на поле полученная проекция 
равна натуральной величине треугольника АВС.
Замена двух плоскостей проекций
При решении более сложных метрических задач, например, для воспроизведения натуральной величины (наглядности изображения) какой-то геометрической фигуры, или преобразования элемента формы объекта, бывает так, что одной замены плоскостей недостаточно и выполняются последовательно новые замены (одна, две или больше).
Рассмотрим образование проекций точки в новых системах плоскостей проекций. Пусть 
и 
проекций точки А на исходных полях 
, что приведено на рис. 8-19.
Выполняем первую замену, в которой новую плоскость проекций расположим, например, перпендикулярно к горизонтальной плоскости проекций . При этом располагается на произвольном (на нужном) расстоянии от точки А.
, пересекаясь с , образует ось , которая пройдет от ааа1 на произвольном расстоянии 
. Высота точки А проецируется на и одинаково. При совмещении с , которое проведено путем вращения вокруг оси высоту 
, заданную на , переносим на новое поле , отложив 
на продолжении линии связи 
, и получаем 
.
На новых полях 
точка А воспроизведена своими проекциями и .
Выполняем вторую замену, в которой новые поля 
первой замены, принимаются во второй замене за исходные поля. Новую плоскость проекций 
располагается на произвольном (на нужном) расстоянии от точки А. 
, пересекаясь с , образует ось 
, которая пройдет от на произвольно выбранном расстоянии 
, на котором 
расположится от точки А. Глубина 
(расстоянии от точки А к ) одинаково проецируется на и 
. Поворачиваем 
вокруг оси 
до совмещения с , получаем новую систему полей 
. Глубину , выбранную на поле , переносим на новое поле , отложив от 
на продолжении линии связи 
и получаем 
. На новых полях 
точка А воспроизведена своими проекциями и .
Преобразование прямой общего положения в прямую проецирующую (преобразование вида №1+№2)
На эпюре рис. 8-20 прямая общего положения задана отрезком АВ. Необходимо определить его натуральную величину, угол - угол наклона его плоскости проекций , а также преобразовать его в проецирующее положение.
Решение задачи выполняется по схеме С, в которой последовательно выполняется преобразование вида №1. Решение этого вида выполняется по схеме А и получаем натуральную величину АВ и угол . Дальше выполняется преобразование №2 решением по схеме А и получаем прямую, преобразованную в проецирующую.
Когда необходимо определить натуральную величину отрезка АВ, угол - угол наклона его плоскости проекций , а также преобразовать его в проецирующее положение, то:
Решение такой задачи приведено на рис. 8-21 и выполняется по схеме 
, в которой последовательно выполняется преобразование №1 по схеме В и получаем натуральную величину АВ и угол .
Далее выполняется преобразование вида №2 с решением по схеме В и получаем прямую, преобразованную в проецирующую.
Преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня (преобразование вида №3 + №4)
На эпюре рис. 8-22 плоскость общего положения задана треугольником АВС.
Необходимо определить натуральную величину треугольника АВС и угол - угол наклона к .
Решение задачи выполняется по схеме С, при котором сначала выполняется замена вида №3 по схеме А.
Для этого в 
, например с 
проводим 
, строим 
в 
. Ось проводим перпендикулярно к 
. На поле получаем след-проекцию 
, который с осью образует искомый угол . Далее, к следствию предыдущей замены применяют преобразование вида №4, при этом весь 
проводим параллельно и на поле получаем проекцию 
, которая равна натуральной величине треугольника АВС.
Если необходимо определить натуральную величину треугольника АВС и угол - угол наклона к , то решение такой задачи приведено на рис. 8-23 и выполняется по схеме 
, при которой последовательно выполняется преобразование вида №3 по схеме В. Для этого в 
, например, с 
проводим 
, строим 
в 
.
Ось проводим перпендикулярно к . На поле получаем след-проекцию , который с осью образует искомый угол .
Далее, к следствию предыдущей замены выполняют преобразование вида №4, при этом проводим параллельно и на поле получаем проекцию 
, которая равна искомой натуральной величине треугольника АВС.
Примеры решения задач:
Пример 8.2.1.
Дано: отрезки 
и АВ, которые лежат на двух скрещивающихся прямых (рис. 8-24)
Необходимо: определить расстояние между и АВ и угол между ними.
Решение задачи приведено на рис. 8-25.
Натуральная величина расстояния между заданными скрещивающимися прямыми будет спроецировано в натуральную величину, когда одна из заданных прямых является проецирующей прямой, а проекция расстояния пройдет с точки, которая является проекцией проецирующей прямой, по перпендикуляру к проекции другой прямой (на основании проекции прямого угла, где расстояние как прямая параллельна плоскости проекции, а вторая прямая перпендикулярна к расстоянию как прямой).
Для этого выполняется преобразование вида №1+2 для, например, отрезка выполняется преобразование вида №1 по схеме А параллельно 
- преобразуем на полях 
прямую в прямую уровня, так проведена первая замена, далее к прямой уровня применим преобразование вида №2, преобразовав прямую уровня в прямую проецирующую, где вторая замена, при которой ось 
пройдет перпендикулярно к натуральной величине 
, на полях 
прямая преобразована в прямую проецирующую - на - спроецируется в точку 
- перпендикуляр с которой 
и есть натуральной величиной искомого расстояния 
между скрещивающимися прямыми АВ и . Угол между скрещивающимися прямыми будет спроецирован в натуральную величину на плоскость, параллельную этим прямым. Для этого выполняем третью замену, при которой плоскость 
проводим перпендикулярно к плоскости и параллельно отрезку АВ. На полях 
- прямая уровня, её 
- натуральная величина АВ, а - прямая проецирующая, её угол между 
и - натуральная величина угла 
- искомого угла между скрещивающимися прямыми АВ и .
Алгоритм решения:
линия уровня
.
точка - линия проецирующая.
н. в. расстояния.
Пример 8.2.2.
Дано: плоскость задана треугольником АВС и точка 
не принадлежит плоскости (рис. 8-26).
Необходимо: определить расстояние от точки к плоскости .
Решение базируется на том, что когда плоскость проецирующая (перпендикулярная к какой-то плоскости проекций П), то перпендикуляр проведенный с точки к этой плоскости будет расположен параллельно плоскости проекций П. Проецируется упомянутый перпендикуляр на эту плоскость проекций в натуральную величину, то есть на плоскости проекций П: с проекции точки перпендикуляр проведенный до пересечения со следом-проекцией заданной плоскости - натуральная величина искомого расстояния от точки до заданной плоскости.
На рис. 8-27 заданная плоскость 
- плоскость общего положения и преобразуется в плоскость проецирующую, что выполняется при помощи преобразования вида №3 по схеме А, при выполнении которой ось 
перпендикулярна 
(когда 
).
На поле 
проекция 
треугольника АВС совпала со следом-проекцией 
.
С проекции 
проводим перпендикуляр к 
, который пересекается с ней в точке 
.
- натуральна величина расстояния от точки 
к 
.
Алгоритм решения:
Пример 8.2.3
Дано: плоскость общего положения 
задана треугольником АВС (рис. 8-28)
Необходимо: определить угол и наклона плоскости к и , а также центр окружности описанной вокруг треугольника АВС.
Решение базируется на том, что угол определяется как угол между следом-проекцией плоскости, перпендикулярной к и осью , а угол определяется как угол между следом-проекцией плоскости, перпендикулярной к и осью .
Центр окружности, описанной вокруг треугольника - точка пересечения перпендикуляров, проведенных через середину сторон натуральной величины треугольника, которую получаем как проекцию треугольника, который принадлежит плоскости уровня, которая параллельна плоскости проекций, относительно которой плоскость треугольника параллельна.
Решение задачи показано на рис. 8-29, который построено при помощи преобразования вида №3, выполненного по схеме А, при этом ось 
располагают перпендикулярно к 
горизонтали , принадлежащей треугольнику АВС.
На поле 
получаем 
- след-проекцию плоскости , а угол между и осью 
- искомый угол . Если к условию задачи применяют преобразование вида №3, выполненного по схеме В, при этом ось располагают перпендикулярно к 
фронтали , которая принадлежит треугольнику АВС.
На поле получаем 
- след-проекцию плоскости , а угол между 
и осью - искомый угол .
Для изображения проекции плоскости на полях 
применяется преобразование вида №4 и плоскость преобразуется в плоскость уровня 
. На поле полученная проекция 
, которая является натуральной величиной треугольника АВС. Два перпендикуляра, проведенные через середины сторон к 
и 
, в своем пересечении дают точку 
, которая является искомым центром описанной окружности.
Алгоритм решения:
Графическая работа №1
Выполняется после изучения темы "Метод замены плоскостей проекций".
Задание:
- дано: плоскость общего положения , задана треугольником АВС, координаты вершин которого приведены по вариантам в таблице№3;
- необходимо построить проекции окружности: описанной вокруг треугольника АВС - для парных вариантов, или вписанной в него - для непарных вариантов, и определить углы и наклона плоскости к плоскостям проекций и .
Таблица №3
На рисунке ГР-2 показано решение поставленной задачи.
Ход решения:
- определение 
и 
наклона плоскости к плоскости и :
Для определения искомых углов, вспомним одно из свойств проецирующих плоскостей:
- угол, образованный следом-проекцией плоскости, или её линией уровня, с осью координат равен углу наклону проецирующей плоскости к соответствующей плоскости проекций (на которой след заданной плоскости перпендикулярен к заданной оси).
Таким образом, для определения искомых углов выполним преобразование заданной плоскости 
общего положения в плоскость проецирующую (выполнение такого преобразования приведено в п.8.2.3).
Определение :
В плоскости , заданной треугольником АВС, проводим произвольную (например, с точки А) фронталь и перпендикулярно к этой фронтали проводим новую плоскость , которая расположится перпендикулярно к плоскости (так как 
) и при пересечении плоскости с образуется ось . На новую плоскость фронталь спроецируется в точку (как проецирующая относительно ), а вся плоскость спроецируется в линию 
, которая будет следом-проекцией плоскости . Угол, образованный следом-проекцией и осью (которая разделит поля плоскостей и ) и будет искомым .
Алгоритм последовательности построения решения:
= в пространстве:
= на эпюре:
- на поле 
- на поле 
Из точек 
проводим линии связи, перпендикулярные к оси ;
- на поле : на продолжении этих линий связи от откладываем координаты глубин точек А, В и С, взяв их размер с поля , (при замене плоскостей проекций на новом поле откладываем координаты, взятые с поля через одно), получаем 
Определение :
В плоскости проводим горизонталь и проводим новую плоскость 
перпендикулярную к построенной горизонтали . На плоскость горизонталь спроецируется в точку, а вся плоскость спроецируется в линию 
. Угол между следом-проекцией 
и осью 
будет искомым наклона плоскости к .
Алгоритм последовательности построения решения:
= в пространстве:
= на эпюре:
- на поле 
- на поле 
Определение центра окружности описанной вокруг 
:
Центр окружности, описанной вокруг 
возможно определить, имея натуральную величину треугольника, проведя перпендикуляры через середины его сторон и их точка взаимного пересечения будет центром описанной окружности (а если имеем натуральную величину треугольника, то центр вписанной в него окружности будет определен при пересечении биссектрис углом натуральной величины треугольника).
Для определения натуральной величины заданного треугольника необходимо преобразовать плоскость треугольник в плоскость уровня. Имея первое преобразование плоскости общего положения в плоскость проецирующую, что выполнено при определении . Выполним второе преобразование , при котором проецирующая плоскость будет преобразована в плоскость уровня, где и будет получено натуральную величину треугольника АВС. Ход выполнения второго преобразования описано в п. 8.2.4.
Алгоритм решения:
= н.в. 
центр окружности 
диаметр описанной окружности 
Для построения фронтальной проекции окружности:
На поле у окружности 
выделяем два сопряженных диаметра 
и 
, строим проекции этих диаметров на поле и на поле , на котором получено 
- большую ось эллипса, в который проецируется описанная окружность, направление этой оси проходит через 
и расположен параллельно 
(одновременно перпендикулярно к ) и проецируется в натуральную величину, то есть 
- большая ось равна диаметру описанной окружности, 
Малая ось 
расположена перпендикулярно к и размер малой оси определяется фронтальной проекцией диаметра 
. По большой оси и малой оси строим эллипс, который является фронтальной проекцией окружности, описанной вокруг треугольника АВС.
Для построения горизонтальной проекции окружности:
Определяем горизонтальные проекции большой и малой оси эллипса, которыми будут проекции второй пары сопряженных диаметров, за которые принимаются диаметр 
и диаметр 
. Через точку 
пройдет горизонтальная проекция диаметра , которая сливается с направлением горизонтали плоскости треугольника, а учитывая это (
- линия натуральный величин) через точку 
пройдет большая ось эллипса, в который спроецируется построенная окружность. Размер 
равен диаметру 
. Построив горизонтальную проекцию диаметра по его проекции 
, которая равна , получили на поле малую ось эллипса. По большой оси и малой оси 
строим эллипс, который является горизонтальной проекцией окружности, описанной вокруг треугольника АВС.
Метод вращения
Вращение – это движение по окружности вокруг некоторой оси. При преобразовании комплексного чертежа способом вращения плоскости проекций остаются неизменными, а проецируемый объект перемещается таким образом, чтобы он занял какое-либо частное положение.
Метод основан на неподвижности плоскостей проекций, а объект изменяет свое расположение относительно плоскостей проекций. При этом объект может изменять положение до необходимого частного положения. Такое изменение положения объекта может быть выполнена путем вращения объекта вокруг оси - прямой, принятой за ось вращения. Так прямая, принятая за ось, может быть прямой проецирующей, прямой уровня или прямой общего положения.
Вращение объекта вокруг проецирующей прямой
Примем точку А за объект, который будет вращать вокруг оси 
, которая перпендикулярна к плоскости .
Проследим за механизмом вращения точки А на рис. 9-1.
Вращаясь, точка А описывает траекторию в виде окружности 
, которая расположена в плоскости 
, точка О - центр окружности-траектории 
, образованной при пересечении плоскости с осью 
. Расстояние от точки О к точке А равно 
, который является радиусом образованной окружности . Плоскость перпендикулярна к оси и параллельна плоскости проекций , то есть плоскость - плоскость уровня.
Исходя их свойств этой плоскости , на поле окружность проецируется в натуральную величину, то есть 
, а на поле в виде отрезка прямой, который равен диаметру полученной окружности, то есть 
и расположен перпендикулярно 
и параллельно оси и сливается со следом-проекцией 
.
Если точку А повернуть вокруг оси 
на угол , то радиус повернется, например в направлении движения стрелки часов, из положения ОА в положение 
. На эпюре, рис. 9-2, видно, что фронтальная проекция перемещения точки А из заданного положения 
в новое положение 
перемещается по окружности-проекции , а горизонтальная проекция с 
в перемещается по прямой 
, перпендикулярной .
Элементы механизма вращения объекта вокруг проецирующей прямой:
1 - точка А - объект вращения;
2 - прямая - ось вращения, 
3 - плоскость - плоскость вращения, 
4 - окружность - окружность-траектория вращения точки А, 
5 - точка О - центр окружности-траектории, 
6 - радиус - радиус вращения, 
Если вращать точку А вокруг оси перпендикулярной плоскости проекций , то горизонтальная проекция перемещения точки А из заданного положения 
в новое положение 
пройдет по окружности-проекции с центром в точке-проекции 
, а фронтальная проекция с 
в 
перемещается по 
, перпендикулярной 
, рис. 9-3.
Выполнение преобразований методом вращения вокруг проецирующей оси
Метод вращения вокруг проецирующих осей. Метод заключается в том, что геометрический объект (прямую или плоскость) вращают вокруг проецирующей оси i до положения параллельности какой-либо плоскости проекций. В результате вращения геометрический объект проецируется на плоскость проекций в натуральную величину.
Преобразование вида №1 (преобразование прямой общего положения в прямую уровня)
На эпюре, рис. 9-4, показано выполнение преобразования отрезка АВ прямой общего положения, в положение параллельное . Для выполнения такого преобразования , через точку В проведем ось перпендикулярно и повернем отрезок АВ вокруг этой оси до положения, когда АВ расположится параллельно , при этом и это на поле 
остается неподвижной, то есть 
, где 
перемещается по окружности до положения, когда 
расположится параллельно , при этом на поле 
будет натуральной величиной АВ, а угол между 
и осью будет углом наклона АВ к . Таким образом в повернутом положении АВ - прямая уровня (
).
На рис. 9-5 показан механизм вращения отрезка АВ вокруг оси , перпендикулярной , которая не пересекает АВ. На рисунке видно, что точка А вращается по окружности , диаметр которой равен 
, а точка В вращается по окружности 
, диаметр которой 
. ОК, (
АВ) назовем - "ведущий радиус", расстояние между и АВ. Повернем АВ вокруг до положения, когда АВ расположится параллельно , при этом на поле 
, не меняя своей величины займет положение 
, а 
будет параллелен оси , то на поле 
равен натуральной величине АВ.
Особенность вращения объекта вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций: проекция объекта на эту плоскость проекций своего содержания не меняет, а поворот этой проекции выполняется при помощи ведущего радиуса, который поворачивает проекцию объекта к необходимому положению.
Преобразование вида №2 (преобразование прямой уровня в прямую проецирующую)
На рис. 9-6 показано выполнение преобразования фронтальной прямой заданной отрезком АВ, в прямую фронтально проецирующую. Для этого проведем ось 
перпендикулярно к (для упрощения построения ось провели через продолжения прямой, заданной отрезком АВ). Повернем АВ вокруг оси . Вращение отрезка АВ, параллельного , будет проходить в плоскости Р, параллельной . При этом на поле вращение точки А с 
пройдет по дуге окружности 
до положения, когда 
(которая равна н.в. АВ) расположится перпендикулярно оси . На поле 
и 
перемещается по прямой 
, а горизонтальная проекция АВ будет в виде точки, с которой сливаются 
. В повернутом положении АВ - прямая проецирующая (
оси ).
На рис. 9-7 показано последовательность преобразования отрезка АВ прямой общего положения в прямую проецирующую путем выполнения двух вращений:
- первое вращение: преобразование вида №1, когда прямая АВ - общего положения преобразуется в прямую уровня - 
параллельная , для этого через продолжение АВ проведена ось 
и вокруг оси (на поле вокруг 
) вращали АВ, когда 
расположилось параллельно оси , при этом на- поле получили 
;
- второе вращение: преобразование вида №2, когда прямая - прямая уровня преобразуется в прямую проецирующую, для этого через точку на продолжении 
провели ось 
и вокруг оси 
(на поле вокруг 
) обратили АВ, до положения, когда 
расположится перпендикулярно оси , при этом на поле получили 
.
Таким образом: выполнив два вращения (преобразование №1+2) прямой общего положения и эта прямая общего положения преобразуется в прямую проецирующую. Для этого проводим вращение вокруг оси, перпендикулярной к одной плоскости проекций, преобразовали прямую общего положения в прямую уровня, а вращение вокруг второй оси, перпендикулярной ко второй плоскости проекций преобразовало прямую уровня в прямую проецирующую.
Преобразование вида №3 (преобразование плоскости общего положения в плоскость проецирующую)
На рис. 9-8 показано механизм вращения треугольника АВС, который принадлежит плоскости общего положения 
, вокруг оси , перпендикулярной к , до положения, когда станет проецирующей плоскостью. Для этого в треугольнике АВС проведем с точки В горизонталь . С 
пройдет 
По признаку принадлежности плоскости 
пройдет 
через 
. Через продолжение проведем ось 
.
повернем вокруг , при этом его горизонтальную проекцию повернем (её величина останется неизменной) до положения, когда 
расположится перпендикулярно к и на этом поле спроецируется в точку, а треугольник - в линию 
. При вращении треугольника, его вершины перемещались в горизонтальных плоскостях , перпендикулярных оси вращения .
Например, точка А вращалась в плоскости 
и перемещение точка А на поле 
пройдет по дуге окружности 
проекции окружности-траектории до положения 
, а на поле 
по прямой 
, перпендикулярной 
, получаем 
.
Таким образом, выполняя вращение плоскости общего положения вокруг оси, перпендикулярной одной плоскости проекций, до положения, когда линия уровня этой плоскости расположится перпендикулярно ко второй плоскости проекций, плоскость общего положения будет преобразована в плоскость проецирующую.
На рис. 9-9 показано вращение плоскости 
общего положения, которая преобразуется в плоскость проецирующую путем вращения её вокруг оси , которая сливается с плоскостью проекций . При этом, ведущий радиус 
поворота горизонтального следа 
, в повернутом положении, который должен слиться с осью 
, а повернутый горизонтальный след 
пройдет перпендикулярно 
и оси . Точка схода следов на оси повернутого положения сливается с 
, с которой пройдет 
через неподвижную точку 
, расположенную на оси 
. Новое положение плоскости 
- проецирующее относительно .
На рис. 9-10 показано решение задачи по определению расстояния от точки А до плоскости общего положения .
Решение выполнено путем преобразования плоскости из общего положения в проецирующее относительно плоскости проекций . преобразование выполнено вращением вокруг оси 
, когда расположена в пространстве. При этом повернутый ведущий радиус для следа располагается параллельно оси и через 
пройдет 
, а след 
пройдет через точку 
, которая принадлежит и оси . При повороте до положения 
ведущий радиус повернуто на угол , на такой же угол поворачивается ведущий радиус 
точки 
до положения 
, при этом 
перемещается по прямой, перпендикулярной 
, по , получаем 
. расстояние от точки А до определяется по перпендикуляру с до следа-проекции и равна 
.
Преобразование вида №4 (преобразование плоскости проецирующей в плоскость уровня)
На рис. 9-11 показан механизм вращения треугольника, который принадлежит к фронтально проецирующей плоскости , вокруг оси , перпендикулярной плоскости проекций . Вращение выполняется до положения, когда станет плоскостью уровня. Для этого ось 
проводим через продолжение плоскости , то есть 
принадлежит 
, а 
перпендикулярно оси .
Повернем вокруг до положения, когда на эпюре 
сольется с осью , вместе с 
сольется и повернутое положение 
. По новому повернутому положению 
строится 
, которая равна натуральной величине 
Вращение вершин треугольника проходило в плоскостях Р, которые перпендикулярны оси и 
. Траектория 
перемещения, например, точки А принадлежит 
и на поле 
перемещается по 
, которая сливается с 
и располагается перпендикулярно 
Таким образом, если след-проекцию проецирующей плоскости к какой-то плоскости проекций повернуть вокруг оси, перпендикулярной к той же плоскости проекций, то когда этот след-проекция займет положение, параллельное оси координат (или с ней совпадет), то относительно другой плоскости проекций повернутая плоскость становится плоскостью уровня.
Преобразование вида №3+№4 (преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня)
На рис. 9-12 показана последовательность преобразования треугольника АВС плоскости общего положения в плоскость уровня путем выполнения двух вращений:
= первое вращение: выполнение преобразования вида №3;
- в плоскости треугольника АВС построим горизонталь
- ось проводим через и перпендикулярно ;
- вращаем АВС вокруг оси на угол так, чтобы стало 
и вращаем точки А, В и 
вокруг 
, как вкруг центра, - получаем неизменное по смыслу изображение горизонтальной проекции - 
и 
, которые повернуты на тот же угол .
- на поле получаем точку 
, в которую спроецируется горизонталь , а по повернутому положению и строим их фронтальную проекцию, которые образуют след-проекцию 
. В этом случае расстоянии от точки 
по перпендикуляру 
- расстояние от точки до плоскости ;
= второе вращение: выполнение преобразования вида №4;
- ось 
проводим перпендикулярно через продолжение плоскости , так что 
- вращаем 
вокруг 
до положения, когда 
станет 
(сольется) оси ;
- на поле - получаем горизонтальную проекцию 
, которая равна натуральной величине треугольника АВС.
Таким образом: выполнив два вращения плоскости общего положения, она преобразуется в плоскость уровня, для этого выполняем первое вращение вокруг первой оси, перпендикулярно к одной плоскости проекций, до тех пор, пока линия уровня плоскости общего положения расположится перпендикулярно к противоположной плоскости проекций, то плоскость общего положения спроецируется следом-проекцией и преобразуется в проецирующую плоскость; второе вращение проводим вокруг оси, которая перпендикулярна ко второй плоскости проекций, пока след-проекция расположится параллельно оси х, тогда плоскость проецирующая относительно первой плоскости, станет плоскостью уровня.
Вращение объекта вокруг линии уровня
Примем точку А за объект, который будем вращать вокруг - горизонтальной прямой 
.
Проследим за механизмом вращения точки А вокруг горизонтали, как проецируется изменение положения точки на рис. 9-13.
Вращаясь, точка А описывает траекторию в виде окружности 
, которая расположена в плоскости 
, которая перпендикулярна плоскости проекций и перпендикулярна , которая принята за ось вращения. Точка пересечения и - точка О - центр окружности-траектории . Расстояние от точки О к точке А равно 
, который является радиусом образованной окружности . Плоскость перпендикулярна к и , то есть окружность проецируется на поле , в виде прямой, которая равна диаметру окружности, например, диаметру 1...2, который параллелен и горизонтальная проекция этого диаметра этого диаметра 
совпадает со следом-проекцией 
. 
- горизонтальная проекция 
, при вращении точки А вокруг до положения 
на горизонтальной проекции с 
перемещается перпендикулярно к 
по до положения 
, которое совпадает с 
, при этом расположится параллельно и его проекция на 
равна натуральной величине и совпадает с .
Элементы механизма вращения точки А вокруг линии уровня.
1. - точка А - объект вращения,
2. - прямая - ось вращения, параллельная ,
3. - плоскость - плоскость вращения, 
4. - окружность - окружность-траектория вращения точки А, 
,
5. - точка О - центр окружности-траектории, 
6. - радиус - радиус вращения точки А вокруг , 
,
7. - натуральная величина .
На рис. 9-14 показано, как повернуть точку А вокруг до положения, когда её радиус вращения расположится горизонтально:
- через проводится след-проекция перпендикулярно к ;
- точка пересечения с - точка 
- г.п. центра вращения точки А;
- определяем натуральную величину радиуса вращения (методом прямоугольного треугольника);
- натуральную величину вводим в плоскость вращения, когда 
получаем 
Алгоритм вращения точки А вокруг до горизонтального положения её радиуса вращения:
Преобразование вида №3+№4 (преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня)
преобразование вида №3 + №4 выполнено вращением вокруг линии уровня, позволяет преобразовать плоскую фигуру, которая принадлежит плоскости общего уровня за одно вращение (в отличии от решения п.9.2.5) в плоскость уровня и определить натуральную величину этой плоской фигуры.
Вращая плоскость вокруг её горизонтали, переводим её в горизонтальное положение и горизонтальная проекция плоской фигуры, которая принадлежит к этой плоскости, - на проецируется в натуральную величину, а вращая плоскость вокруг её фронтали, переводим эту плоскость во фронтальную плоскость и фронтальная проекция плоской фигуры, которая принадлежит этой плоскости, на проецируется в натуральную величину, где можно определить все метрические характеристику плоской фигуры.
Выполним преобразование вида №3 + №4.
На рис. 9-15 треугольник АВС вращением вокруг горизонтали (которая принадлежит плоскости , в которой расположен треугольник АВС), переведен в положение, параллельное плоскости проекций .
Горизонталь плоскости определяется точками А и 1 (которые принадлежат плоскости . Так как точки А и 1 принадлежат горизонтали , которая принята за ось вращения, то эти точки А и 1 не меняют своего положения при вращении треугольника АВС вокруг .
Для вращения плоскости вокруг до горизонтального положения, проследим за вращением точки В вокруг до положения, когда её радиус вращения 
займет горизонтальное положение и получим 
. Новое повернутые положение 
соединим с неподвижными точками А и 1, расположенными на оси вращения. При этом получим плоскость уровня, которая определяется проекцией 
.
Последовательность решения:
1. в плоскости проводим горизонталь через точку 
на эпюре:
на поле 
2. через точку В перпендикулярно проводим плоскость вращения точки 
на эпюре: 
.3. строим центр вращения точки на эпюре:
4. определяем натуральную величину радиуса вращения 
, для этого 
соединяем с точкой на эпюре:
5. определяем горизонтальную проекцию 
повернутого треугольника АВС, для этого точку 
соединим с 
и с точкой 
, получим натуральную величину треугольника АВ1. Рассмотрев вращение точки С вокруг , отмечаем, что плоскость 
вращения точки С параллельна 
и 
к 
параллельна 
. Пересечение 
с 
образует 
. Соединив с 
- получаем - что равно натуральной величине треугольника АВС.
Вращение объекта вокруг прямой общего положения
Механизм вращения точки вокруг оси, которая не параллельна и не перпендикулярна ни одной плоскости проекций, например, абрисов поверхностей вращения или их точек, ось которых - прямая общего положения.
Примем точку А за объект вращения, а отрезок 
прямой общего положения за ось вращения. Если необходимо точку А повернуть вокруг 
на угол против часовой стрелки, то решение такой задачи выполняется в следующей последовательности:
1. Выполняем преобразование оси - прямой общего положения в проецирующую и в преобразованном положении строим заданную точку А.
2. Вращаем точку А вокруг проецирующей прямой на заданный угол .
3. Повернутое положение точки А переносим на исходное заданное положение относительно прямой .
На рис 9-16 приведено решение этой задачи на эпюре:
преобразование оси - прямой общего положения в прямую проецирующую выполняем, например, методом замены плоскостей проекций по схеме:
Поворачиваем 
вокруг 
на угол , например, против движения часовой стрелки и получаем 
- повернутое положение точки А на заданный угол. При этом на поле проекция перемещалась по дуге 
на угол и получено . На поле проекция 
перемещалась по прямой 
перпендикулярно оси 
до положения 
, которое получено при пересечении с линией связи, проведенной с . Проекции с - проекции точки А, повернутой на угол вокруг на полях 
.
Далее переносим проекции точки А на поля 
и на поля 
, получаем 
и 
, что и является проекциями точки А, повернутой на угол , на полях .
Вращение объекта вокруг линии нулевого уровня (Метод совмещения)
Метод совмещения является частным случаем вращения вокруг линии уровня. При этом за ось вращения принимается горизонтальный или фронтальный след плоскости. Если плоскость вращается вокруг 
(горизонтали нулевого уровня), то плоскость совмещается с плоскостью проекций , а когда плоскость вращается вокруг 
(фронтали нулевого уровня), то плоскость совмещается с плоскостью проекций . Все геометрические элементы (точки, прямые, плоские фигуры...) расположенные во вращающейся плоскости, вращаются в своих плоскостях вращения, перпендикулярных к оси вращения и совмещаются с плоскостью проекций, воспроизводя на ней натуральную величину элемента.
Рассмотрим механизм совмещения плоскости на 9-17. Плоскость общего положения 
вращается вокруг 
принятой за ось вращения до совмещения плоскости с плоскостью проекций .
Для определения 
(совмещенной с ), проследим за поворотом точки 
, принадлежащей 
. Точка вращается в плоскости 
, горизонтальный след которой 
перпендикулярен к 
и натуральная величина 
- радиус вращения точки вокруг , и эта натуральная величина 
расположится от точки 
на , получается 
, через которую с неподвижной точки 
пройдет . Таким образом и определяют , совмещенную с .
Рассмотрим совмещение плоскости с на эпюре. На рис. 9-18 а, приведено условие задачи, когда плоскость общего положения задана и .
На рис. 9-18 б, показано последовательность совмещения плоскости с . Для этого на фронтали нулевого уровня 
произвольно берем 
и строим 
. Вращаем точку вокруг , принятой за ось, при этом вращение точки проходит в плоскости , которая перпендикулярна к оси вращения и располагается 
. Горизонтальный след с пройдет перпендикулярно , пересекаясь с , образует 
- центра вращения точки . По 
строится 
и соединяется с 
- получаем 
- фронтальную проекцию радиуса вращения точки , а 
- горизонтальная проекция этого радиуса. Вращение точки вокруг проводим до положения, когда радиус вращения своей натуральной величиной 
ляжет на (совпадает с ) при этом точка совместится с и займет положения 
. Для определения натуральной величины на эпюре применено метод прямоугольного треугольника, когда н.в. 
введена до сливания с и получено - совмещенное положение точки с . Учитывая, что - точка схода следов на оси одновременно расположена на - оси вращения и остается неподвижной при совмещении, то с через пройдет совмещенное с . Отмечаем, что - линия натуральный величин фронтали , - тоже линия натуральных величин этой же фронтали , то отрезок фронтали 
и 
одинаковые, тогда для построения применяем упрощенный алгоритм построения, приведенный на рис. 9-18 в: 
с как из центра проводим дугу радиуса 
до пересечения с и получаем , через которую с проводим .
На рис. 9-19 а, показана плоскость 
, а на рис. 9-19 б - показана последовательность действий по совмещению плоскости с , начиная с произвольного выбора 
- действие 1 и действия 2, 3, 4, 5, до действия 6 - проведения .
На рис. 9-20 а, показана плоскость в совмещенном положении с , а на рис. 9-20 б показана последовательность действий по построению , когда плоскость повернута (поднята) в положение совмещения с , получив . Такое построение начинается с произвольного выбора на - действие 1 действия 2, 3, 4, 5, 6, до действия 7 - проведения .
Отмечаем, что действия по "подъему" плоскости и действия по совмещению плоскости одинаковые, только меняем их последовательность, что и видно из сравнения рис. 9-19 и рис. 9-20, или нижеприведенных алгоритмов:
Алгоритм совмещения плоскости 
с 
:
1. произвольно 
Алгоритм "подъема" плоскости 
к 
:
1. произвольно
поднятую к 
.
Совмещение плоскости 
с плоскостью проекций выполняется, начиная с произвольного выбора точки 
на , и дальше по алгоритму аналогичному совмещению с , а если заданное совмещенное положение плоскости с , то "опустить" заданную плоскость к 
, необходимо построение начинать с произвольного выбора точки 
на и дальше по алгоритму, аналогичному "подъему" к .
Выполнение преобразования методом совмещения
Способ совмещения заключается в том, что заданную плоскость Р вместе с расположенными в ней геометрическими элементами вращают вокруг одного из ее следов РН или РV до совмещения с соответствующей плоскостью проекций Н или V.
Преобразование вида №1 ( преобразование прямой общего положения в прямую уровня)
На рис. 9-21 а показано преобразование отрезка АВ, прямой общего положения в прямую уровня, выполнено методом совмещения.
Механизм такого преобразования следующий:
1. - отрезок АВ включаем в горизонтально проецирующую плоскость 
, при этом её горизонтальный след 
сливается с 
, а фронтальный след 
, перпендикулярный в пространстве до , пройдет 
и расположится перпендикулярно к оси ;
2. - горизонтальный след принимаем за ось вращения плоскости , который принадлежит отрезок АВ; вращаем плоскость до совмещения её с плоскостью проекций ;
- совмещенное положение плоскости дает воспроизведение 
, которое равно натуральной величине АВ и угол между и - натуральная величина угла - угла наклона АВ к .
При выполнении совмещения , её фронтальный след 
, расположенный в пространстве перпендикулярно к (оси вращения), в совмещенном положении пройдет с и расположится перпендикулярно . Точка А будет вращаться вокруг в плоскости 
, перпендикулярной , горизонтальный след 
пройдет с 
перпендикулярно . Вращение точки А в плоскости будет проходит по дуге окружности, радиус которой равен высоте точки А, её 
воспроизведено на поле . В совмещенном положении плоскости с радиус вращения точки А совместится с , своей натуральной величиной, от в и получается совмещенное положение точки А, которым является 
. Аналогично выполняется совмещение и точки В, которым является 
.
Алгоритм выполнения преобразования вида №1:
На рис. 9-21 б показано определение натуральной величины АВ и угла при вращении плоскости вокруг .
Если необходимо определить натуральную величину отрезка АВ и угол - угол наклона АВ до плоскости проекций , то отрезок включается во фронтальную проецирующую плоскость и совмещение выполняется вращением её вокруг своего фронтального следа до совмещения с .
По соответствующей аналогией выполнения преобразования вида №1, методом совмещения можно выполнить и другие преобразования , одним из таких является преобразование вида №3+№4.
Преобразование вида №3+№4 ( преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня методом совмещения)
преобразование вида №3+№4 выполнено методом совмещения (аналогичное преобразованию приведенного в п. 9.3.1), где вращение плоской фигуры выполнено вокруг линии уровня. В этом пункте рассматривается преобразование плоскости общего положения, заданной следами, до совмещения с плоскостью проекций, например, с , при этом все точки, прямые, плоские фигуры, принадлежащие плоскости, в совмещенном её положении тоже совмещаются с , где совмещенные прямые, плоскости фигуры воспроизведены в натуральную величину.
На рис. 9-22 а, показано плоскость , заданную её и , а также приведено фронтальную проекция 
треугольника АВС, принадлежащего плоскости .
Необходимо построить 
и натуральную величину треугольника АВС.
На рис. 9-22 б показано решение поставленной задачи методом совмещения плоскости с плоскостью проекций путем вращения вокруг 
.
По признаку принадлежности точек А, В, С к плоскости строим , когда точки А, В и С принадлежат соответствующим горизонталям 
, при этом 
принадлежит 
, 
принадлежит 
, 
принадлежит 
, что дает построение .
Проследим за механизмом совмещения плоскости с .
На поле построим 
- фронтальную проекцию фронтального следа горизонтали 
.
Для этого:
то есть, повернув точку до совмещения с , построили совмещенное положение плоскости 
Учитывая, что плоскости вращения всех точек, принадлежащих плоскости , вокруг , параллельные между собой, то: 
, которые, пересекаясь с совмещенным положением с соответствующими горизонталями в совмещенном положении, дают совмещенное положение точек 
и 
. Соединив точку 
с точкой и с точкой , а точку с , получаем 
, что является натуральной величиной 
, за счет преобразования плоскости общего положения 
, которое выполнено методом совмещения, то есть вращения вокруг до совмещения с - плоскость нулевого горизонтального уровня.
Вращение безосевое (вокруг воображаемой оси). Метод плоско-параллельного перемещения
Особенностью этого метода, как и других видов вращения, является неподвижность плоскостей проекций 
, а меняет свое положение объект проецирования до получения, необходимого по информации, своего нового изображения.
На рис. 9-23 приведено:
а) - фото человека сверху (её горизонтальную проекцию);
б) - фото человека спереди (её фронтальная проекция, соответствующая расположению человека на горизонтальной проекции).
Когда необходимо "увидеть" профиль человека, то фото а) перемещаем в новое положение 
, тогда такому новому её положению на фото человеку сверху будет отвечать фото в) - фото человека спереди в новом положении (её новая фронтальная проекция), где мы "видим" необходимый профиль человека.
То есть, если на поле фото а) перемещаем, не меняя его содержания, в положение , то на поле фото б) меняется на фото в) нового необходимого содержания.
На рис. 9-24 приведено геометрическую модель метода.
Отрезок АВ прямой общего положения 
- горизонтальная проекция, 
- фронтальная проекция АВ. По размеру и меньше натуральной величины АВ. При повороте отрезка АВ между горизонтальными плоскостями 
и 
, то точка А будет перемещаться в плоскости , а точка В в . Размер горизонтальной проекции будет неизменным, будет изменяться только его расположение относительно оси . Если отрезок займет положения, при котором 
расположится параллельно оси , то заданный отрезок займет фронтальное положение 
и размер его фронтальной проекции будет равен размеру самого отрезка АВ, то есть 
Через точку А проведем плоскость , параллельную плоскости проекций и через точку В проведем , параллельно . Отрезок АВ будем перемещать так, чтобы точка А перемещалась в . При перемещении точек А и В меняется расположение горизонтальной проекции к положению, когда расположится параллельно оси , то есть фото с , не меняя содержания, меняет свое расположение до положение, когда 
При таком расположении, когда стало параллельно оси , отрезок АВ в пространстве параллельный плоскости , то его фронтальная проекция 
равна натуральной величине отрезка 
. При таком перемещении точка А перемещалась в положение 
, и это перемещение проходит по траектории, которая принадлежит плоскости . Фронтальная проекция точки А с 
в положение 
перемещается по фронтальному следу-проекции 
, который параллельный оси . Точка В перемещается с В в 
в плоскости , а 
в положение 
перемещается по 
.
Таким образом, "фото" с перемещается в положение, когда расположилось параллельно оси , фронтальная проекция заменяется на , что равно натуральной величине АВ. При этом АВ - прямую общего положения, преобразовано в - прямую уровня (параллельную ).
Выполнение преобразований методом плоско-параллельного перемещения
Сущность способа плоскопараллельного перемещения заключает в том, что все точки геометрического образа перемещают во взаимно параллельных плоскостях. Плоскости-носители траекторий перемещения точек параллельны какой-либо плоскости проекций.
Преобразование вида №1 (преобразование прямой общего положения в прямую уровня)
На рис. 9-25 показано выполнение преобразования отрезка АВ общего положения в положение, параллельное .
Для выполнения такого преобразования , через проведем след-проекцию , параллельно оси , а через проведем , параллельно оси . Фото переместим в произвольное новое положение, при котором расположится параллельно оси .
Перемещение точки А происходит по плоской линии, которая принадлежит плоскости , на эпюре эта линия перемещения точка А на поле сливается со следом-проекцией , то есть в новое положение 
перемещения идет по прямой, параллельной оси .
Перемещение точки В проходит в плоскости , на эпюре в новое положение 
проходит по , параллельной оси . Пии этом определяется при помощи вертикальной линии связи (в.л.с.), выбранного положения 
, проведенной до пересечения с . определяется при помощи в.л.с., проведенной с 
до пересечения с .
Алгоритм преобразования (когда АВ 
пр. о. п. 
):
Если необходимо преобразовать прямую общего положения в прямую горизонтальную, то "фото" фронтальной проекции 
перемещается в положение 
, параллельное оси и по этой проекции строится 
.
Преобразование вида №2 (преобразование прямой уровня в прямую проецирующую)
На эпюре рис. 9-26 показано выполнение преобразования фронтальной прямой АВ в прямую горизонтально-проецирующую.
Для этого через прямую уровня АВ проводим плоскость уровня Р, которая параллельна . "Фото" переносим в новое произвольное положение, при котором расположится перпендикулярно к оси . Плоскость Р параллельна , в Р выполняется перемещение точек А и В. На поле след-проекция 
параллельный оси и при пересечении вертикальной линии связи с перпендикулярного к оси , с получаем горизонтальную проекцию 
перемещенного положения АВ.
Алгоритм преобразования
Преобразование вида №1+№2 (преобразование прямой общего положения в прямую проецирующую)
На эпюре рис. 9-27 показано выполнение преобразования отрезка АВ прямой общего положения в прямую проецирующую (например, в горизонтально проецирующую), что выполняется последовательным выполнением двух преобразований , вида №1 и вида №2. При этом, сначала преобразуется прямая общего положения в прямую уровня и дальше полученную прямую уровня (при преобразовании второго преобразования ), преобразуем в прямую проецирующую.
Для этого "фото" 
перемещаем в свободное место и так располагаем, чтобы 
, которое равно , располагалось параллельно оси , строим 
по алгоритму преобразования №1. Второе преобразование выполняем путем перемещения "фото" в новое положение, когда 
, которое равно , расположится перпендикулярно оси , строим 
по алгоритму преобразования вида №2.
Алгоритм преобразования вида №1 + №2 (когда АВ 
пр. о. п 
, 
)
в.л.с. 
Преобразование вида №3 (преобразование плоскости общего положения в плоскость проецирующую)
На эпюре рис. 9-28 показано выполнение преобразования треугольника АВС, который принадлежит плоскости общего положения , например, у фронтально проецирующую плоскость методом плоско-параллельного перемещения. Для этого в треугольнике АВС с точки А проведем горизонталь , на эпюре 
пройдет 
, параллельно оси , 
. По признаку принадлежности плоскости треугольника АВС, 
пройдет с 
через 
.
"Фото" 
, не меняя содержания, меняет свое расположение до положения, когда 
будет перпендикулярна оси . При таком расположении спроецируется на поле в точку 
, с которой совпадает 
, а вся плоскость треугольника спроецируется в линию 
, которая совпадает со следом проекцией 
. При этом, для построения выполняется следующее построение: через проводим след-проекцию 
(плоскость , в которой проходит перемещение точки В), соответственно 
и 
. Из нового положения 
проводим вертикальные линии связи до пересечения с соответствующими следами-проекциями 
и получаем 
и 
, соединив которые получаем , которое определяет след-проекцию плоскости , в которой расположен треугольник АВС. В преобразованном положении на полях 
треугольник АВС принадлежит плоскости проецирующей, перпендикулярной плоскости проекций .
Алгоритм преобразования вида №3 (когда 
):
- след-проекция.
Если необходимо преобразовать треугольник АВС плоскости общего положения в плоскость горизонтально-проецирующую, то в треугольнике проводится фронталь и "фото" фронтальной проекции треугольника перемещается так, чтобы 
расположилось перпендикулярно к оси , при этом фронталь на поле спроецируется в точку, а весь треугольник спроецируется на в линию совпадающую со следом-проекцией 
.
Преобразование вида №4 (преобразование плоскости проецирующей в плоскость уровня)
На эпюре рис. 9-29 показано выполнение преобразования треугольника АВС, принадлежащего фронтально проецирующей плоскости, в плоскости уровня (параллельно горизонтальной плоскости 
. Для этого "фото" 
располагается параллельно оси , а на поле : через 
проводим след-проекцию 
плоскости 
, которая расположена параллельно и проходит через точку А, через точку 
проводим 
, через 
проводим 
параллельно оси .
Вертикальная линия связи, проведенная с 
до пересечения с - образуется 
, с 
до пересечения с - образуется 
, с 
до пересечения с - образуется 
. Объединив полученные точки 
между собой, получается 
, что равно действительной величине треугольника АВС. В преобразованном положении на полях 
треугольник АВС принадлежит плоскости -уровня, параллельной плоскости проекций .
Алгоритм преобразования вида №4 (когда 
):
Преобразование вида №3+№4 (преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня методом плоско-параллельного перемещения)
преобразования вида №3+№4, выполненное методом плоско-параллельного перемещения, дает возможность преобразовать треугольник АВС, который принадлежит плоскости общего положения, например, в горизонтальную плоскость, путем последовательного преобразования вида №3, что дает возможность плоскость проецирующую преобразовать в плоскость уровня (параллельную ).
Для этого на рис. 9-30 "фото" 
не меняя содержания изображения, изменяет свое расположение к положению, когда его 
расположится перпендикулярно оси , на поле получаем прямую 
- след-проекцию 
, в которую проецируется треугольник на поле . Далее выполняется второе перемещение, когда "фото" 
располагается параллельно оси , на поле пппп1 получаем 
, что равно натуральной величине треугольника АВС.
Алгоритм преобразования вида №3+№4
(когда 
пл.о.п. 
):
Если необходимо преобразовать треугольник АВС плоскости общего положения в плоскость фронтального уровня, то в треугольнике АВС проводится фронталь 
и "фото" фронтальной проекций перемещается так, чтобы 
располагалась перпендикулярно к оси , при этом фронталь на поле спроецируется в точку, а весь треугольник - в след-проекцию. Далее выполняется второе перемещение, в котором "фото" следа-проекции, полученной при решении первого преобразования , перемещается до расположения параллельно оси , а га поле получается 
, который равен натуральной величине треугольника АВС.
Примеры решения задач с применением методом преобразования проекций
Пример II-2.1 : Дано треугольник АВС, принадлежащий плоскости и точка 
, которая не принадлежит плоскости этого треугольника.
Необходимо определить:
- угол - угол наклона плоскости треугольника до плоскости проекций ;
- угол - угол при вершине В треугольника;
- расстояние от точки до плоскости треугольника.
Решение задачи показано на рис. 9-31, который базируется на выполнении преобразования вида №3, методом замены плоскостей, плоскости треугольника АВС, то угол между следом-проекцией 
и осью 
равен ; расстояние от заданной точки 
(её проекции 
) до равно расстоянию от точки до плоскости ; выполнив преобразование вида №3+№4 методом замены плоскостей, получим натуральную величину треугольника АВС, где угол при вершине В равен искомому углу .
Алгоритм решения:
Пример II-2.2 : Дано прямую 
, которая пересекается с прямой 
.
Необходимо определить натуральную величину угла между прямой и .
Решение базируется на выполнении преобразования вида №3+№4 методом вращения вокруг линии уровня, когда угол между двумя прямыми проецируется на плоскость проекций в натуральную величину, а это возможно в том случае, когда две пересекающие прямые расположены параллельно этой плоскости проекций.
На рис. 9-32 показано решение этой задачи.
Для этого принимаем во внимание пересекающиеся прямые и образуют плоскость общего положения, в этой плоскости проводим произвольную горизонталь , вокруг нее вращаем и до совмещения их с горизонтальной плоскостью , проведенной через горизонталь и выполняется это преобразование по алгоритму:
Пример II-2.3: Дано плоскость 
и прямую 
, которая пересекается с . Необходимо определить угол между прямой и плоскостью .
Решение: на наглядном изображении, рис. 9-33, показано плоскость , с которой пересекается прямая . На прямой возьмем произвольную точку А, с которой проведем перпендикуляр 
до плоскости . Если построить точку встречи с , получим точку К и если построить точку встречи с , получим точку 
. Соединив точки 
получим прямоугольник 
в котором угол при вершине равен 
, искомый угол - между прямой та её ортогональной проекцией 
(угол при вершине 
), а угол при вершине А равен углу 
.
Учитывая, что сумма углов и равна , то для наипростейшего решения задачи, определяем угол , а 
(что выполняется преобразованием вида №3 + №4).
Алгоритм решения:
(выполнение этого решения приведено в предыдущей задаче 2).
Пример II-2.4: Дано две пересекающиеся плоскости и .
Необходимо определить линейный угол двухгранного угла между заданными плоскостями.
Решение: на рис. 9-34 показана схема решения, где плоскости и , пересекаясь со своими следами-проекциями, образуют искомый угол , для его определения выполняем следующее построение: в пространстве между плоскостями и произвольно выбираем точку А, с этой точки А проводим перпендикуляр до плоскости и перпендикуляр 
до плоскости .
Получено четырехугольник 
- сумма углов равна 360
, учитывая, что углы при вершинах О и 
прямые, то сумма углов при вершине В и вспомогательного при вершине А равна 180
, то для наипростейшего решения задачи определяем дополнительный угол , выполняя преобразования вида №3+№4 методов вращения вокруг линии уровня , а искомый угол 
.
Алгоритм решения:
(выполнение этого решения приведено в предыдущей задаче 2).
Пример II-2.5: Дано плоскость общего положения 
, которой принадлежит пятиугольник 
полученный при сечении прямой правильной четырехгранной пирамиды плоскостью . Необходимо построить натуральную величину пятиугольника 
Решение задачи приведено на рис. 9-35, который базируется на выполнении преобразования в плоскость уровня методом вращения вокруг линии нулевого уровня до совмещения с , или методом замены плоскостей проекций.
Выполнение преобразования методом вращения: - принимается за ось вращения.
Для совмещения с повернем точку , которая принадлежит , вокруг и получим 
, с точки 
через пройдет 
(совмещенное положение с при повороте вокруг ). Проследим за совмещением заданного пятиугольника с по совмещению точки С.
Через точку С проведена 
которая, пересекаясь с , образует точку . При этом на эпюре по алгоритму:
Аналогично выполняется совмещение точек В и до 
и 
, точки А и Е при совмещении плоскости остаются неподвижными на 
(
).
Соединив 
= н.в. 
Выполнение преобразования методом замены плоскостей:
преобразование выполняется путем введения плоскости , которая перпендикулярна плоскости и дальше вводится новая плоскость , которая параллельна плоскости и на поле получается 
которая равна действительной величине пятиугольника
На эпюре рис. 9-35 выполнено:
Пример II-2.6: Дано плоскость общего положения
, точку А на горизонтали и точку В на фронтали (рис. 9-36, а).
Необходимо построить прямую призму, основание которой - равнобедренный треугольник АВС, принадлежащий плоскости . Высота призмы 30 мм.
Решение приведено на рис. 9-36,б, который базируется на выполнении преобразования вида №3+№4 методом плоско-параллельного перемещения, при котором плоскость общего положения преобразуется в плоскость уровня.
Выполняя преобразование вида №3 "фото" горизонтальной проекции, задание меняет свое расположение до положения, когда 
будет перпендикулярно оси , при таком положении на , на плоскость будет воспроизведена следом-проекцией 
. Получив перемещенное положение точки 
, с неё проведем перпендикуляр к , который будет перпендикуляром к плоскости , на этом перпендикуляре откладывается высота призмы, которая равна размеру 30 мм, получим 
, принятую за вершину второго основания призмы.
Выполняя преобразование вида №4, след-проекцию располагаем параллельно оси , получаем 
, при этом относительно поля плоскость - плоскость уровня и 
сторона равностороннего треугольника АВС - основания призмы. По натуральной величине строится один (из двух) вариант расположения вершины 
и переносим её расположения в первое преобразование и на исходное положение плоскости . Таким построением определено 
и 
третьей вершины треугольника АВС основания призмы, которая принадлежит плоскости .
С 
и на поле проекции боковых ребер располагаются перпендикулярно к 
а на поле проекции боковых ребер расположатся на перпендикулярах к 
, проведенных с 
С первого преобразования , где определено 
, переносим 
на исходное изображение, где 
расположится на перпендикуляре к проведенном с . По полученной проекции строим её горизонтальную проекцию 
, которая располагалась на перпендикуляре до , проведенного с 
Построив и , с этих проекций проводятся проекции ребер верхнего основания, которые пройдут параллельно соответствующим ребрам нижнего основания призмы.
Алгоритм решения:
3. по 
строится 
5. 
верхнему основанию 
на поле ;
верхнему основанию 
на поле .
Эпюр №2
По окончанию изучения раздела №2 "Методы преобразования ортогональных проекций", выполняется эпюр №2.
На таблице №2 приложений приведены задания на эпюр №2, где предусмотрено в каждом варианте по три задачи.
Решение задачи эпюра №2 выполняется с применением методов преобразования , в том числе: одна задача (преимущественно первая) решается методом замены плоскости проекции, вторая и третья задача решается методом вращения вокруг оси и плоско-параллельным перемещением.
Каждая задача эпюре №2 выполняется на отдельном листе формата А4 
чертежной бумаги. Оформление каждого листа и компоновка решения каждой задачи приведена на рис. Е-1-2, пространственное изображение решения задачи выполняется по возможности. Эпюр выполняется цветными линиями и цветным выделением плоскостей, как рекомендовано в требованиях к эпюру №1.
Последовательность выполнения эпюра №2:
- оформить лист;
- выяснить условие задачи;
- выбрать метод преобразования проекций, при помощи которого будет выполнено решение задачи, четко определить элементы аппарата выполнения выбранного метода касательно условия задачи;
- выполнить эпюр решения задачи, утвердив эскиз решения с преподавателем.
Пример решения задачи №1 эпюра №2, выполненного методом замены плоскостей проекций, приведено на рис. Е-2.7. Ход промежуточного решения показано на рис. Е-2.1...Е-2.6, на каждом из них показано решение соответствующего пункту обобщенного алгоритма решения и написано подробный алгоритм выполнения этого пункта. Расписано решение в общем виде и последовательность действий этого решения на соответствующих полях плоскостей проекций (в алгоритме применены вспомогательные обозначения, например:
- 
- первая линия связи; 
- вторая линия связи и т.д.;
- 
- первой вертикальной линии связи;
в скобках приведено графическое обозначение координаты, например:
- 
- координата высоты точки 2, которая равна 
;)
Примеры и образцы решения задач:
Услуги по выполнению чертежей:
- Заказать чертежи
- Помощь с чертежами
- Заказать чертеж в компасе
- Заказать чертеж в автокаде
- Заказать чертежи по инженерной графике
- Заказать чертежи по начертательной геометрии
- Заказать черчение
Учебные лекции:
- Инженерная графика
- Начертательная геометрия
- Оформление чертежей
- Чертеж общего вида и сборочный чертеж
- Техническое рисование
- Машиностроительные чертежи
- Геометрические построения
- Деление окружности на равные части
- Сопряжение линий
- Коробовые кривые линии
- Построение уклона и конусности
- Лекальные кривые
- Параллельность и перпендикулярность
- Поверхности
- Способы проецирования
- Метрические задачи
- Способы преобразования чертежа
- Кривые линии
- Кривые поверхности
- Трёхгранник Френе
- Проецирование многогранников
- Проецирование тел вращения
- Развёртывание поверхностей
- Проекционное черчение
- Проецирование
- Проецирование точки
- Проецирование отрезка прямой линии
- Проецирование плоских фигур
- Способы преобразования проекций
- Аксонометрическое проецирование
- Проекции геометрических тел
- Сечение геометрических тел плоскостями и развертки их поверхностей
- Взаимное пересечение поверхностей тел
- Сечение полых моделей
- Разрезы
- Требования к чертежам деталей
- Допуски и посадки
- Шероховатость поверхностей и обозначение покрытий
- Разъемные и неразъемные соединения деталей
- Передачи и их элементы