Метод стрельбы

Метод стрельбы

Метод стрельбы

Метод стрельбы

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Решение задач по математике

При решении краевойзадачи(1)-(2)§ Естественно испод ьэоватьодинизизложенных в гл. LXII методов дискретизации дифференциального уравнения. Для компонент t*j сеточной функции UN, определенной на сетке мы получим при этом систему уравнений вида Это условие может бить заменено другим, близким к нему дополненную двумя граничными условиями.

В отличие от аналогичных систем для задачи Кош и, которые можно было рекуррентно разрешить, последовательно определяя значения j по уже найденным -в соответствии с приведенным расчетным соотношением, в рассматриваемой ситуации этого добиться не удается из-за наличия условия на правом конце отрезка [а, 6). Один из приемов, позволяющий получить решение исследуемой задачи, состоит в следующем: наряду с краевой задачей (1)-(2) § 1 рассматривается задача Коши Метод стрельбы где значение параметра £ задано пока произвольно.

Решая эту задачу, сравнивают значение, которое принимает найденное решение у{х\ {) на правом конце отрезка с заданным на этом конце граничным условием. Если окажется, что у(6; £) = уь — то найденное решение является одновременно и решением краевой задачи. Такое совпадение, как правило, крайне маловероятно. Меняя значение параметра будем добиваться того, чтобы разница между у{Ь; £) и уь уменьшалась. Отсюда и название метода — метод стре.оьбы.

Оно вызвано тем, что изменяя значения параметра мы меняем угловой коэффициент решения уравнения , выходящего из точки (а, уа) (рис. 1), тем самым изменяя «точку попадания снаряда» — ординату правого конца траектории. Сравнение значения полученного решения с заданным граничным в правом конце отрезка является основанием для «корректировки» стрельбы, в зависимости оттого, что мы наблюдаем — «недолет» ( или «перелет» Описанный выше направленный переборзначений параметра^ можетбытьреали-зован в эквивалентной (и в некоторых ситуациях более эффективной) форме решения уравнения.

Используя любой метод решения нелинейных уравнений (см. гл. LV1II), получим значение £о, решающее поставленную задачу.

Применение метода бисекции, например, приводит к следующей последовательности вычислений: 1) если и £2 — значения параметра, отвечающие недолету (О - Уь < 0) и перелету (у(Ь; О — Уь > 0) соогветственно, то искомое значение (в силу предполагаемого наличия непрерывной зависимости решения от начальных условий) лежит на промежутке 2) полагаем Метод стрельбы решаем задачу Кошу с начальными условиями сравнивая у(6; и Уь обычным образом определяем следующее приближение 4) продолжаем процедуру до достижения требуемой точности.

Для линейных краевых задач число решаемых вспомогательных задач Коши в сравнении с общим случаем может быть резко сокращено. Действительно, пусть — решение задачи Коши для однородного уравнения Отметим, что в силу предполагаемой однозначной разрешимости краевой задачи, tp(b) ф 0, так как в противном случае у однородной краевой задачи с нулевыми граничными условиями существует нетривиальное решение (с у>'(а) ф 0). Пусть, далее, rj>(x) — решениезадачи Коши для неоднородного уравнения Рассмотрим функцию с некоторой, пока неопределенной постоянной С.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Оформление привязки проектной документации
Некоторые простые неявные функции
Задача сетевого планирования и управления (PERT)
Единицы измерения температуры давления объема

При любых значениях этой постоянной функция ус(х) является решением исходного неоднородного уравнения, удовлетворяет на левом конце промежутка левому граничному условию исследуемой краевой задачи а на правом конце отрезка принимает значение Если выбрать теперь значение постоянной С так, чтобы для фунмции ус{х) выполнялось правое граничное условие2* то полученная функция будет решением рассматриваемой краевой задачи.

Приведенные рассуждения показывают, что

в случае линейной краевой задачи придется решить всего две вспомогательные задачи Коши. В заключение отметим, что метод стрельбы хорошо ведет себя в реализации, если промежугок[а, 6] неслишкомвеликиискомоерешениенесильноосциллируетнанем. В противном случае он становится неустойчивым и дает неприемлемые результаты^. Качественно это явление можно проследить на примере следующей линейной краевой Метод стрельбы задачи ЭТО всегда можно сделать.

Даже если исходная краевая задача нечувствительна к вариации граничных условий. Точное решение которой дается формулой Как легко можно проверить, малые вариации граничных условий вызывают малые изменения решения. Решение вспомогательной залами Кош и может быть записано в виде что на правом конце промежутка дает Если значение £о> при котором у(1, £) = у/, определено неточно, скажем с погрешностью ££,такчто|о = £о+^£>тоэтапогрешностьвызоветвточке х = I возмущение Ду/, даваемое соотношением которое показывает, что с ростом I и/или и> возмущение решения на правом конце промежутка неограниченно растет, что, конечно, делает использование метода стрельбы бессмысленным.