Метод сил

Метод сил: определение и расчёт

Сущность метода сил состоит в переходе от заданной статически неопределимой системы к статически определимой удалением «лишних» связей.

В статически неопределимых системах «лишней» связью называется связь, ответственная за возникновение статической неопределимости. Слово «лишняя» поставлено в кавычки, так как эта связь на практике необходима по конструктивным соображениям, условиям эксплуатации, требованиям прочности и т.д., но может быть удалена без нарушения равновесия и геометрической неизменяемости системы. Эта связь «лишняя» с точки зрения возможности решить задачу методами статики. Число «лишних» связей равно степени статической неопределимости.

План решения. Понятие об основной и эквивалентной системе

Для изображенного бруса (рис. 1.7, а) необходимо определить реакции в заделках Метод сил что позволяет найти напряжения на участках Метод сил бруса.

По плану решения методом сил выполняем следующие операции.

1. Составляем расчетную схему (рис. 1.7, б).

2. Проводим анализ схемы. Выбрав на объект равновесия целиком весь брус, составим уравнение равновесия в виде
Метод сил

откуда получаем, что задача один раз статически неопределимая (имеем одно уравнение статики и две неизвестных силы Метод сил

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по сопротивлению материалов:

Предмет сопротивление материалов (сопромат): формулы и лекции и примеры заданий с решением

3. Выбираем «лишнюю» связь и составляем основную систему.

За «лишнюю» связь принимаем, например, заделку правого крайнего сечения Метод сил Тогда Метод сил будет «лишним» неизвестным.

Основной системой называется статически определимая система, полученная из статически неопределимой путем удаления «лишней» связи (см. рис. 1.7, в).

4. Составляем эквивалентную систему.

Эквивалентной системой называется основная система, загруженная всеми внешними активными силами, в том числе «лишней» неизвестной (см. рис. 1.7, г). Здесь реакция Метод сил переходит в категорию внешних активных сил.

5. Составляем дополнительное уравнение и раскрываем статическую неопределимость.

Для того чтобы эквивалентная система была идентична заданной статически неопределимой, необходимо, чтобы перемещение сечения Метод сил эквивалентной системы равнялось, как и в заданной системе, нулю, т.е.

Метод сил

Это выражение является дополнительным уравнением в общем виде, с помощью которого раскрывается статическая неопределимость задачи.

Исходя из принципа независимости действия сил, можно записать, что

Метод сил

Метод сил

т.е. перемещение сечения Метод сил эквивалентной системы складывается из перемещений, вызванных действием внешних активных сил Метод сил и Метод сил

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пособие по решению задач по сопромату

Расчётная схема: определение и пример с решением

Задачи на изгиб по сопромату примеры и решения

Задачи на косой изгиб по сопромату примеры и решения

Сила Метод сил растягивает участок Метод сил бруса, при этом его абсолютное удлинение Метод сил так как Метод сил На столько
удлинится участок Метод сил (длина Метод сил), на столько переместится вправо,

в положительное направление оси Метод сил сечение С, т.е. Метод сил На сколько переместится сечение Метод сил на столько же переместятся и все другие сечения, лежащие справа от сечения Метод сил в том числе и сечение Метод сил Таким образом, Метод сил
В значении Метод сил удерживается знак «+», так как это перемещение определено положительной (растяжение) деформацией стержня, стержень увеличивает свою длину, удлиняется.

Сила Метод сил сжимает как участок Метод сил так и участок Метод сил стержня, при этом на сколько сила Метод сил сожмет эти участки, на столько и переместится сечение Метод сил влево. Таким образом,

Метод сил

здесь знак «-» поставлен, ввиду того что перемещение определено отрицательной (сжатие) деформацией, стержень уменьшает свою

длину, укорачивается. Особо подчеркнем, что знаки в Метод сил и Метод сил не связаны с направлением оси Метод сил

Подставляя найденные значения Метод сил в уравнение (1.16), получаем

Метод сил

откуда
Метод сил
a Метод сил определится из уравнения (1.15):
Метод сил

Дальнейшее решение задачи такое же, как и статически определимой задачи на рис. 1.1, т.е. производим построение эпюр Метод сил

Метод сил Но после построения эпюры Метод сил следует произвести генеральную проверку всего предыдущего решения, исходя из следующего соображения. Так как полная деформация всей длины (смещение сечения Метод сил по отношению смещения Метод сил равно нулю, то, следовательно,

Метод сил

где Метод сил - элементарная площадь, а интеграл по всей длине стержня - площадь всей эпюры Метод сил следовательно,

Метод сил

Здесь Метод сил - суммарная положительная площадь эпюры; Метод сил - суммарная отрицательная. При правильном решении Метод сил не может превышать 1 % за счет приближенных вычислений.

Влияние монтажного фактора

Как видно из рисунка (рис. 1.8, а), участок Метод сил стержня имеет длину, меньшую чем Метод сил на величину Метод сил при этом масштаб Метод сил существенно

отличается от масштаба элементов стержня; Метод сил сопоставимо с деформацией стержня. Найдем реакции в опорах, если деформация участка Метод сил от силы Метод сил

Из этого условия следует, что при действии силы Метод сил правое крайнее сечение Метод сил перемещаясь вправо на Метод сил упрется в опорную стенку Метод сил и будет оказывать на нее определенное давление, в результате чего со стороны опорной стены на стержень будет действовать сила реакции Метод сил (см. рис. 1.8, б), равная равнодействующей этого давления.

Проведем анализ расчетной схемы. Выбрав за объект равновесия весь стержень в целом, составим уравнение равновесия в виде Метод сил т.е.

Метод сил

откуда следует, что задача один раз статически неопределимая.
Метод сил
Выбрав за «лишнюю» связь опорную стену Метод сил составим основную (см. рис. 1.8, в) и эквивалентную (см. рис. 1.8, г) систему.

Дополнительное уравнение получим из следующих соображений. Правое крайнее сечение Метод сил стержня заданной системы может переместиться вправо только на величину Метод сил и, следовательно, для того чтобы эквивалентная система была бы идентична заданной, необходимо, чтобы перемещение сечения Метод сил эквивалентной системы

Метод сил

Так как
Метод сил
где
Метод сил

а

Метод сил
то, следовательно,
Метод сил
откуда
Метод сил
тогда из- уравнения (1.20)

Метод сил
В последнем члене выражения (1.24) - Метод сил за длину участка Метод сил принято Метод сил а не Метод сил что вполне оправдано, так как Метод сил намного (на несколько порядков) меньше длины Метод сил и оперировать длиной Метод сил не имеет смысла. Величина Метод сил соизмерима с перемещениями сечений стержня, ввиду чего Метод сил и входит полноправным членом в выражения, например (1.21) и (1.25).

Способ совместности перемещений

Способ совместности перемещений заключается в установлении связей между перемещениями отдельных элементов (или их поперечных сечений) статически неопределимых систем в деформированном состоянии. Связь между перемещениями чаще всего находят по так называемым диаграммам перемещений (диаграммам Виллио).

План решения. Способ раскрепления узла.

Понятие об условии строгого соответствия

Для симметричной системы (рис. 1.9) необходимо определять усилия в стержнях.

Согласно плану решения выполним следующие операции.

  • 1. Составление расчетной схемы (см. рис. 1.9, а).
  • 2. Анализ схемы. Выбираем за объект равновесия узел Метод сил и мысленно вырезаем его сечением Метод сил (см. пунктир) по стержням 1, 2, 3. Считая, что все стержни растягиваются, направляем усилия Метод сил

в стержнях от сечений (см. рис. 1.9, б). Составляем уравнения равновесия:

Метод сил

откуда следует, что задача один раз статически неопределимая, так как имеем два уравнения и три неизвестных усилия, или по формуле (1.13): Метод сил

3. Построение деформированной системы и диаграммы перемещений.

Так как рассматриваемая система симметрична" и все стержни растягиваются, то узел Метод сил переместится вниз по вертикали и займет новое положение Метод сил Стержни, удлинившись, займут положение, показанное

штрихпунктиром (см. рис. 1.9, а). Напомним, что масштаб перемещений узла Метод сил и масштаб стержней системы существенно различны!
Метод сил
Очевидно, что вертикальное перемещение узла Метод сил равно абсолютному удлинению второго стержня, т.е. Метод сил

Покажем, чему равна деформация стержня 1, для чего, установив ножку циркуля в точке Метод сил как в центре, радиусом, равным первоначальной длине стержня Метод сил сделаем засечку Метод сил тогда отрезок Метод сил и будет представлять собой искомую величину удлинения стержня 1 Метод сил

Ввиду того, что деформации малы по сравнению с длинами стержней, дугу Метод сил можно заменить прямой, перпендикулярной Метод сил и считать, что Метод сил

Полученная фигура (в данном случае прямоугольный треугольник Метод сил см. рис. 1.9, в, называется диаграммой перемещений.

4. Составление дополнительного уравнения совместности перемещений и раскрытие статической неопределенности. В способе совместности перемещений дополнительные уравнения составляют на основании установления соотношений между элементами диаграммы перемещений.

В настоящем примере, исходя из соотношений между элементами прямоугольного треугольника, можно записать, что

Метод сил

Выразив в дополнительном уравнении (1.29) Метод сил через Метод сил согласно закону Гука, получим третье уравнение, связывающее между собой неизвестные усилия в стержнях:
Метод сил
Решая совместно уравнения (1.28) и (1.30), заменив Метод сил и Метод сил получаем, что

Метод сил

Вышеприведенный способ построения диаграммы перемещений не оптимальный, так как иногда приводит к ошибкам, когда приходится допускать равенство углов в заданной и деформированной системе. Поэтому для построения диаграммы перемещений следует рекомендовать так называемый способ раскрепления узла.

Сущность способа следующая. В системе (см. рис. 1.9, а) в процессе деформирования, например, стержень 1, испытывая растяжение силой Метод сил удлиняется и одновременно поворачивается, пока не приобретет новую длину и не займет положение Метод сил (штрихпунктир на рис. 1.9, г).

Мысленно разъединим стержни в узле Метод сил удалив соединяющий их шарнир. Тогда одновременное удлинение и поворот стержня заменяем двумя простейшими трансформациями.

  • 1. С помощью растягивающего усилия Метод сил { удлиним стержень 1 по направлению первоначального положения его оси (линии Метод сил на величину Метод сил (см. рис. 1.9, г).
  • 2. Поворачивая деформированный стержень 1 новой длины Метод сил вокруг шарнира Метод сил переместим его конец Метод сил в точку Метод сил

При повороте перемещение Метод сил будет происходить не по дуге окружности Метод сил а по касательной, т.е. по прямой Метод сил перпендикулярной к Метод сил (допущение Виллио). Таким образом, в конечном итоге, при второй трансформации из точки, определяющей новое положение узла, опускают перпендикуляр на первоначальное положение подвижного радиуса.

В полученной способом раскрепления узла диаграмме перемещений (см. рис. 1.9, с)) равенство углов Метод сил не вызывает сомнения. Из диаграммы перемещений имеем, что Метод сил т.е. то же дополнительное уравнение (1.29).

При решении задач способом совместности перемещений должно соблюдаться условие строгого соответствия силовой и деформированной системы. Так как в силовой схеме (см. рис. 1.9, 6) принято, что все стержни растягиваются, то узел Метод сил смещается вниз.

Если бы, например, в силовой схеме было решено, что в стержне 2 действует сжимающее усилие, то мы не могли бы переместить его нижнее сечение, прикрепленное к шарниру Метод сил вниз, так как стержень удлинялся бы под действием сжимающей силы.

Для выполнения условия строгого соответствия в отдельных задачах вначале изображают вероятную, предполагаемую деформированную систему и затем соответственно ей строят силовую.

При невыполнении условия строгого соответствия полученный положительный знак перед искомым неизвестным усилием не свидетельствует о том, что оно (усилие) на силовой схеме направлено верно, а знак минус не обязательно говорит о том, что усилие нужно направить в противоположную сторону.

Несимметричная система сходящихся сил

Рассмотрим несимметричную систему из трех стержней, расчетная схема которой представлена на рис. 1.10, а. Найдем усилия в стержнях. Выбрав за объект равновесия узел Метод сил и вырезав его сечением Метод сил по стержням, запишем уравнения равновесия для силовой схемы (см. рис. 1.10, б), приняв, что все стержни испытывают растяжение:

Метод сил

Откуда следует, что система один раз статически неопределимая.

Построим деформированную систему. Пусть новое положение узла будет Метод сил Применив способ раскрепления узла, построим диаграмму перемещений (см. рис. 1.10, а). Отдельно диаграмма изображена на рис. 1.10, е. Для того чтобы установить связь между элементами диаграммы, соединим точки Метод сил прямой и обозначим Метод сил тогда
Метод сил
откуда
Метод сил
где Метод сил

Таким образом, имеем четыре уравнения (1.32) - (1.35), из которых легко определить неизвестные Метод сил
Метод сил

Общий случай плоской системы сил

Найдем усилия в стержнях 1, 2, 3, на которых подвешена балка Метод сил прикрепленная шарнирно-неподвижной опорой к стенке в точке Метод сил и загруженная силой Метод сил (рис. 1.11). Балку Метод сил считаем абсолютно твердым телом по сравнению со стержнями. Весом балки по сравнению с силой Метод сил пренебрегаем.

Выбрав за объект равновесия балку Метод сил выделим ее сечением Метод сил по стержням 1, 2, 3 (см. рис. 1.11, б). Запишем уравнения равновесия, принимая, что все стержни испытывают растяжение:

Метод сил

Метод сил

Метод сил

Метод сил

Метод сил

откуда следует, что задача два раза статически неопределимая. Заметим, что уравнения (1.36) и (1.37) можно было и не составлять,

так как в них входят силы Метод сил которые определять не нужно. Согласно (1.13) имеем Метод сил (четвертый контур образуют стержни шарнирно-неподвижной опоры у сечения Метод сил Метод сил тогда Метод сил

Построим деформированную систему. Под действием силы Метод сил балка Метод сил повернется вокруг шарнира Метод сил и займет положение Метод сил (штрихпунктир на рис. 1.11, а). Величина попорота балки определяется деформациями стержней; ввиду малости деформаций можно считать, что любая точка балки перемещается по вертикали вниз. Это допущение соответствует рассмотренному в разд. 1.3.2 допущению о замене дуги окружности (засечки) прямой, перпендикулярной к первоначальному положению подвижного радиуса. В данном случае подвижной радиус - балка Метод сил

Применив способ раскрепления узла, изобразим деформацию стержня 3.

Из диаграммы перемещений (см. рис. 1.11, в) запишем:
Метод сил

Заменяя в дополнительных уравнениях (1.39) и (1.40)
Метод сил получаем еще два уравнения, связывающих неизвестные усилия.

Влияние температурного фактора

Найдем усилия в стержнях, на которых подвешен абсолютно жесткий брус Метод сил (рис. 1.12), весом которого можно пренебречь, если в процессе эксплуатации стержень 2 нагревается на Метод сил градусов.

При нагревании стержень 2, удлиняясь, будет давить на брус Метод сил стремясь сместить его вниз. Так как брус Метод сил подвешен на стержнях 1 и 3, которые не позволяют ему свободно перемещаться вниз, он будет сопротивляться этому давлению, и со стороны бруса на стержень 2 будет действовать реакция, вызывающая в стержне напряжения сжатия. В стержнях 1 и 3 возникают растягивающие напряжения.

Метод сил
Приняв за объект равновесия брус Метод сил мысленно отрежем его сечением Метод сил по стержням и рассмотрим условия равновесия для силовой схемы (см. рис. 1.12, б):

Метод сил
Метод сил
Откуда получаем, что задача один раз статически неопределимая.

Изобразим деформированную систему. Пусть брус Метод сил в связи с деформацией стержней займет положение Метод сил { (штрихпунктир на рис. 1.12, а). Ввиду малости деформаций можно считать, что точки Метод сил бруса переместятся по вертикали вниз.

Отрезки Метод сил представляют собой удлинения соответственно стержням 1 и 3, обусловленные только лишь действием растягивающих усилий Метод сил как показано на диаграмме перемещений (см. рис. 1.12, в). Что же касается отрезка Метод сил то он будет представлять собой разность удлинения стержня, обусловленного его нагреванием, и укорочения, вызванного сжимающей силой Метод сил Действительно, если бы стержень 2 был бы свободен, его удлинению от нагрева не препятствовал бы брус Метод сил стержень удлинился бы на величину большую, чем Метод сил например на Метод сил возникающее же в стержне сжимающее усилие (реакция со стороны бруса вызывает сжатие в стержне) сокращает это удлинение на величину отрезка Метод сил и представляет собой величину абсолютного укорочения стержня 2, обусловленного действием сжимающей силы Метод сил а поэтому

Метод сил

Следует особое внимание обратить на то, что в выражение (1.43) входит модуль деформации, вызванной силовым фактором Метод сил

так как здесь имеет место простое арифметическое вычитание длин отрезков.

Для установления зависимости между деформациями стержней проведем в диаграмме перемещений вспомогательную прямую Метод сил и из подобия треугольников запишем, что
Метод сил

тогда дополнительное уравнение будет иметь вид:

Метод сил

где

Метод сил
Как видно из приведенной диаграммы, при решении задачи выдержано условие строгого соответствия. Действительно, стержни 1 и 3 испытывают растяжение и длина каждого увеличилась на величину Метод сил а стержень 2 сжимается силой Метод сил что и определило уменьшение его удлинения, вызванного нагревом на Метод сил градусов, на величину отрезка Метод сил

Выполнение условия строгого соответствия

Составим уравнения, с помощью которых можно определить усилия в стержнях 1, 2 и 3 (рис. 1.13).

Система такая же, как и в разд. 1.3.4, но в процессе эксплуатации стержень 3 охлаждается на Метод сил что должно укоротить его длину. Этому укорочению препятствует брус Метод сил в результате чего в стержне возникает растягивающее усилие Метод сил

Пусть отрезок Метод сил и представляет собой деформацию стержня (см. рис. 1.13, б). Исходя из вышесказанного следует, что

Метод сил

или

Метод сил

где Метод сил укорочение стержня от охлаждения, если бы
он был свободен; Метод сил- величина, на которую стержень удлиняется от действия реакции со стороны бруса Метод сил вызывающей в стержне растяжение.

Метод сил


Какие же усилия возникают при этом в стержнях 1 и 2? На этот вопрос отвечаем, построив диаграмму перемещений. Рассмотрим три возможных варианта.


1. Если принять что стрежни 1 и 2 укорачиваются т.е. ось бруса пройдет выше точек Метод сил ( тонкая сплошная линия Метод сил на рис 1.13) то в этом случае в стержнях 1 и 2 возникают сжимающие усилия ( см. рис. 1.13 в) а отрезки

Метод сил

представляет собой укорочение этих стержней.

2. Если принять, что стержень 2 укорачивается, а стержень 1 удлиняется, т.е. ось бруса после их деформации пройдет выше точки Метод сил но ниже Метод сил (штриховая линия Метод сил то в этом случае в стержне 1 возникает растягивающее усилие, а в 2 - сжимающее, что отображено на силовой схеме (см. рис. 1.13, г), при этом отрезок Метод сил представляет собой удлинение стержня 1, а отрезок Метод сил - укорочение стержня 2, вызванные, соответственно, силами Метод сил

3. Если принять, что стержни 1 и 2 удлиняются, т.е. ось бруса пройдет ниже точек Метод сил (штрихпунктирная линия Метод сил то в стержнях возникают растягивающие усилия (см рис. 1.13, г)), а отрезки Метод сил представляют собой удлинения стержней, вызванные, соответственно, силами Метод сил

Как видим, во всех вариантах предполагаемая деформированная система определяет силовую схему.

Хотя второй вариант наиболее логичен, любой из приведенных трех вариантов может быть использован при решении, так как в каждом выдержано условие строгого соответствия силовой и деформационной системы, а знаки в конечном результате укажут, правильно ли были выбраны направления сил.

При решении, например, по третьему варианту уравнения равновесия (см. рис. 1.13, д) имеют вид:
Метод сил
а дополнительное уравнение получим из диаграммы перемещений (см. рис. 1.13, б), Проведем параллельно Метод сил вспомогательную прямую Метод сил Рассмотрев подобные треугольники, Метод силМетод сил можно записать, что

Метод сил

а заменив отрезки соответствующими деформациями, имеем

Метод сил

которое и представляет собой третье дополнительное уравнение.

Влияние монтажного фактора

В статически определимых системах неточности изготовления не вызывают каких-либо усилий в элементах системы. Действительно, если длина стержня 2 (рис. 1.14, а) на величину Метод сил меньше проектного размера Метод сил то это приведет при сборке к смещению узла из проектной точки Метод сил

В статически неопределимых системах неточность изготовления элементов приводит к возникновению при сборке так называемых начальных или монтажных напряжений. Так, для того чтобы в симметричной системе (рис. 1.14, б) соединить точку Метод сил с узлом Метод сил необходимо к стержню 2 приложить растягивающее усилие и удлинить его, а к стержням 1 и 3 - сжимающие усилия, несколько укоротить их. При этом узел Метод сил сместится вверх, узел Метод сил - вниз в некоторую точку Метод сил В стержнях возникнут усилия Метод сил

(рис. 1.14, в). Как известно, для плоской системы сходящихся сил можно составить только два уравнения равновесия в виде:
Метод сил следовательно, задача будет один раз статиче-/=1 /=1 ски неопределимой.
Метод сил
Дополнительное уравнение составим из рассмотрения диаграммы перемещений (рис. 1.14, г). При построении диаграммы применен способ раскрепления узла Метод сил каждый из крайних стержней был сначала сжат на величину абсолютного укорочения, а затем нижняя точка стержня перемещена в точку Метод сил т.е. из нее на первоначальное положение подвижного радиуса (первоначальное положение крайнего стержня) опущен перпендикуляр (см. разд. 1.3.1).

Тогда

Метод сил

где Метод сил удлинение стержня 2, а Метод сил укорочение стержня 1.
Суммарное влияние силового, температурного и монтажного факторов

Абсолютно жесткий брус, собственным весом которого пренебрегаем, загружен силой Метод сил (рис. 1.15, а). Стержень 2, изготовленный на величину Метод сил длиннее необходимого размера, должен быть при сборке присоединен к точке Метод сил Стержень 1 в процессе эксплуатации нагревается на Метод сил Требуется найти усилие в стержнях.

Решение задачи удобно начать с построения деформированной системы.

Предположим, что в результате действия всех факторов ось бруса займет новое положение Метод сил При этом пусть отрезок Метод сил будет больше увеличения длины стержня 1 за счет нагрева, т.е. допустим, что Метод сил как показано на диаграмме перемещений (рис. 1.15, б), тогда отрезок Метод сил будет представлять собой удлинение стержня, вызванное силой Метод сил следовательно, Метод сил- также растягивающая. Деформацию стержня 3 найдем, применив способ раскрепления узла Метод сил т.е. удлиняем стержень на величину Метод сил затем поворачиваем стержень и помещаем

его конец Метод сил в точку Метод сил Иначе говоря, опускаем из точки Метод сил перпендикуляр на первоначальное положение подвижного радиуса (на первоначальное направление оси стержня 3). Таким образом, и стержень 3 также испытывает растяжение.

Метод сил

В строгом соответствии с диаграммой перемещений изобразим силовую схему (рис. 1.15, в), приняв за объект равновесия брус Метод сил и выделив его сечением Метод сил по стержням. Тогда уравнения равновесия имеют вид

Метод сил

Следовательно, задача два раза статически неопределимая.

Дополнительные уравнения запишем из рассмотрения диаграммы перемещений, из которой следует, что
Метод сил

Очевидно, что в рассмотренной задаче усилия в стержнях могут быть определены и отдельно от каждого воздействия (от силы Метод сил изменения температуры, влияния Метод сил а затем на основании принципа независимости действия сил можно получить значение суммарного усилия для каждого стержня.

Прием временного отвердевания

Найдем усилия в стержнях 1, 2 и 3 (рис. 1.16, а), принимая брус Метод сил за абсолютно жесткий, весом которого можно пренебречь.

В результате действия вдоль оси стержня 1 силы Метод сил приложенной в сечении Метод сил стержня, в участке Метод сил возникает растягивающее усилие, а в участке Метод сил - сжимающее. Действие последнего передается через узел Метод сил на брус Метод сил и точка Метод сил сместится вниз. Предположим, что и точкиМетод сил также сместятся вниз, т.е. ось бруса займет положение Метод сил

Метод сил

Смещение точек Метод сил вниз свидетельствует об удлинении стержней 2 и 3, следовательно, в этих стержнях действуют растягивающие усилия.

Для построения силовой схемы и составления уравнений равновесия выберем за объект равновесия брус Метод сил и выделим его сечением Метод сил по стержням (рис. 1.16, б), тогда
Метод сил
Третье независимое уравнение равновесия получим, выделив объект равновесия (брус) сечением Метод сил (рис. 1.16, а, в), тогда

Метод сил

Вместо уравнения (1.55) можно составить третье независимое уравнение равновесия, рассмотрев в качестве объекта равновесия часть стержня 1, выделенную сечением Метод сил (рис. 1.16, г)), тогда

Метод сил

Следует обратить внимание, что формула (1.56) не является четвертым независимым уравнением, так как представляет собой следствие уравнений (1.53) и (1.55) (или уравнение (1.55) - следствие уравнений (1.53) и (1.56)).

Таким образом, данная задача один раз статически неопределимая. Такой же результат получим по формуле (1.13): Метод силМетод сил

Рассмотрим диаграмму перемещений (рис. 1.16, г). Перемещение по вертикали точки Метод сил равно деформации третьего стержня Метод сил а перемещение точки Метод силМетод сил

Очевидно, что перемещение точки Метод сил складывается из деформации участка Метод сил стержня 1. Для того чтобы избежать ошибки в оценке вклада участков в перемещение точки Метод сил воспользуемся приемом временного отвердевания. Пусть участок Метод сил стержня 1 превратился в абсолютно твердое тело. Сечение Метод сил стержня переместится вниз настолько, насколько растянется участок Метод сил т.е.

Метод сил

на столько же (так как участок Метод сил абсолютно твердый) переместится вниз и точка Метод сил Очевидно, что в действительности точка Метод сил сместится вниз на меньшую величину, так как участок Метод сил упругий

и под действием Метод сил сожмется на Метод сил

Таким образом,

Метод сил

Для составления дополнительного уравнения проведем вспомогательную прямую Метод сил тогда

Метод сил

Выражая согласно закону Гука Метод сил - через Метод сил в уравнении (1.58)

и решая совместно с уравнениями (1.53), (1.54) и (1.55), найдем искомые усилия в стержнях.

1.3.9. Задачи «Диски»

Пусть требуется определить усилия в стержнях 1, 2, 3, поддерживающих абсолютно жесткий брус Метод сил весом которого по сравнению с величиной Метод сил пренебрегаем (рис. 1.17, а).

Начнем решение задачи с изображения деформированной системы, для чего мысленно заменим брус Метод сил диском (рис. 1.17, б). В диске проводим радиусы Метод сил из точки Метод сил вокруг которой диск

Метод сил

поворачивается на некоторый небольшой угол Метод сил (величина угла поворота диска определяется деформациями стержней). Любой радиус в диске, проведенный из точки Метод сил повернется на угол Метод сил Новое положение точек Метод сил найдем, проведя Метод сил перпендикуляры к первоначальному положению подвижных радиусов. Способом раскрепления узла строим у шарниров Метод сил диаграммы перемещений (рис. 1.17, в, г), откуда следует, сто стержни 1 и 2 испытывают растяжение, а стержень 3 - сжатие.

Принимая за объект равновесия брус Метод сил и выделяя его сечением Метод сил по стержням, получаем силовую схему (рис. 1.17, г)), для которой можно составить три уравнения равновесия, а именно:

Метод сил

В них войдут пять неизвестных Метод сил т.е. задача два раза статически неопределимая.

Дополнительные уравнения получим из диаграммы перемещений (рис. 1.17, в)

Метод сил

а также из подобия треугольников Метод сил (две пары углов равны) в деформированной системе (см. рис 1.17 б)

Метод сил

где

Метод сил

Очевидно, что разд. 1.3.3 - 1.3.7 - частные случаи задач «дисков», в которых все стержни прикреплены к одному подвижному радиусу диска (отрезок прямой Метод сил на рис. 1.11 и 1.15).

1.4. Интеграл Мора для определения перемещений

Использование интеграла Мора в большинстве случаев рассматривается в темах изгиба, сложного сопротивления и т.д., хотя он вполне применим для темы растяжения.

Решение статически определимых задач

При наличии только одного внутреннего силового фактора Метод сил интеграл Мора имеет вид
Метод сил
где Метод сил - выражение внутреннего силового фактора на Метод сил участке (стержне) от заданной нагрузки; Метод сил- выражение внутреннего силового фактора на Метод сил участке от единичной (безразмерной) силы, приложенной в Метод сил сечении в направлении искомого перемещения; Метод сил - длина и жесткость поперечного сечения Метод сил участка (стержня) соответственно.

Для стержневых систем, элементы которых испытывают только деформацию растяжения-сжатия от сосредоточенных сил, формула (1.62) имеет вид
Метод сил
которая была предложена Максвеллом. Верещагином был предложен графоаналитический способ вычисления интеграла Мора в случае, если оси стержней прямолинейны и жесткость Метод сил постоянна или кусочно-постоянна. Согласно способу Верещагина интеграл Мора может быть вычислен по формуле

Метод сил

где Метод сил - площадь так называемой грузовой эпюры, т.е. эпюры Метод сил от действующих нагрузок; Метод сил - ордината эпюры нормальной силы Метод сил

на Метод сил участке от единичной силы, под центром тяжести грузовой площади Метод сил единичная сила приложена в Метод сил сечении, перемещение

которого определяется и в направлении искомого перемещения.

Операцию в числителе формулы (1.64) принято называть «перемножением» эпюр.

Покажем как для стержня, изображенного на рис. 1.18, а, определяется перемещение, например, сечения Метод сил в направлении оси Метод сил с помощью способа Верещагина. Покажем именно возможность, а не как рекомендацию к рациональному решению (см. вариант 2 к данному примеру). Расчетная схема представлена на рис. 1.18, б жесткость поперечного сечения на участке Метод сил равна Метод сил а на участке Метод сил Из уравнения равновесия в виде Метод сил получим, что Метод сил На рис. 1.18, в изображена эпюра Метод сил (грузовая площадь).

На рис. 1.18, г дана единичная система. В сечении Метод сил (сечение Метод сил перемещение которого будем определять) приложена единичная сила Метод сил по направлению Метод сил (по направлению искомого перемещения).

На рис. 1.16, в показаны положения центров тяжести Метод сил грузовых площадей. Отметим, что для этой задачи определять положения центров тяжести нет смысла, так как где бы они не находились, ординаты на эпюре Метод сил везде одинаковы, т.е. Метод сил
По формуле (1.64)

Метод сил

Знак «+» в результате указывает, что направление перемещения сечения Метод сил совпадает с направлением единичной силы Метод сил

Вариант 2 решения. Исходя из принципа суперпозиции (принципа независимости действия сил) и учитывая формулы (1.8) и (1.9) определим Метод сил

Метод сил

Метод сил

Откуда делаем вывод, что при решении задачи нужно выбирать менее трудоемкий и более компактный способ решения.

Для стержневой системы в виде кронштейна (рис. 1.19, а) необходимо определить вертикальное и горизонтальное перемещения узла Метод сил

Вариант 1. При решении воспользуемся способом Верещагина. Из рассмотрения равновесия узла Метод сил (рис. 1.19, б) в виде уравнений Метод сил получим, что Метод сил Эпюры Метод сил (грузовые площади) представлены на рис. 1.19, в. Для определения вертикального перемещения узла Метод сил изобразим единичную систему (рис. 1.19, г) с силой Метод сил приложенной к узлу Метод сил по вертикали; эпюры Метод сил представлены на рис. 1.19, д.

По способу Верещагина

Метод сил

Для определения горизонтального перемещения изобразим единичную систему, загруженную силой Метод сил по горизонтали (рис. 1.19, е). Из рассмотрения равновесия узла Метод сил (рис. 1.19, ж) получим, что Метод сил Эпюра Метод сил для этой единичной системы представлена на рис. 1.19,

Метод сил

Метод сил

Вариант 2. Из условий равновесия узла Метод сил имеем, что Метод сил ТогдаМетод сил

Изобразим деформационную систему и построим диаграмму перемещений (рис. 1.20).
Метод сил

Из диаграммы перемещений имеем, что

Метод сил

Статически неопределенные многостержневые системы при растяжении-сжатии (канонические уравнения метода сил)

План решения состоит из следующих операций.

1. Отбрасывая «лишние» связи, стоим основную систему.

2. Загрузив основную систему всеми внешними нагрузками, в том числе «лишними» неизвестными, которые заменили «лишние»

связи, получаем эквивалентную систему. При этом «лишние» неизвестные переходят в категорию внешних активных сил.

3. Записываем канонические уравнения метода сил.

Для Метод сил раз статически неопределимой системы уравнения имеют вид:

Метод сил

Метод сил

Уравнение (1.65) представляет собой перемещение точки приложения силы Метод сил в направлении этой силы. Аналогично уравнение

(1.66)- перемещение точки приложения силы Метод сил в направлении этой силы и т.д.

В уравнениях: Метод сил - грузовое перемещение только от заданной внешней нагрузки в эквивалентной системе, определенной в точке приложения и в направлении неизвестной силы Метод сил - главное единичное перемещение (главные коэффициенты канонического уравнения), которое представляет собой перемещение Метод сил точки от единичной силы в направлении Метод сил силы; Метод сил - побочные единичные перемещения (побочные коэффициенты канонического уравнения), которые представляют собой перемещения Метод сил точки (точки приложения силы Метод сил и в направлении Метод сил от единичной силы, направленной так же, как и Метод сил Отметим, что Метод сил

Для определения Метод сил необходимо построить эпюры Метод сил

от только заданной нагрузки для эквивалентной системы, т.е. построить грузовые площади; построить эпюры Метод сил от единичных усилий для основной системы, загруженной только единичными силами, приложенными в Метод сил точке по направлениям Метод сил Далее следует произвести, например, по способу Верещагина перемножение эпюр, т.е. для получения Метод сил перемножить грузовую

эпюру Метод сил с эпюрой Метод сил от Метод сил единичной силы; для получения Метод сил - перемножить эпюру Метод сил саму на себя; а Метод сил получим, перемножив эпюру Метод сил на эпюру Метод сил . Подчеркнем, что все эпюры Метод сил относятся к эпюрам от единичных усилий. При перемножении следует учитывать знаки эпюр.

В самом общем виде канонические уравнения записываются так [15]:

Метод сил

Если в системе температура изменяется на Метод сил то канонические уравнения принимают вид

Метод сил

где Метод сил - температурное перемещение в основной системе в направлении Метод сил может быть вычислено по формуле:

Метод сил

где Метод сил - температурный коэффициент линейного расширения на Метод сил участке Метод сил стержне); Метод сил - изменение температуры; Метод сил -нормальная сила Метод сил от действия единичной силы Метод сил приложенной в направлении действия «лишней» неизвестной; Метод сил -длина участка, на котором происходит изменение температуры.

При наличии монтажного зазора Метод сил в направлении Метод сил каноническое уравнение запишется:

Метод сил

Пример решения с использованием канонических уравнений показан в задаче 1.14, в которой можно убедиться, что решения с помощью канонического уравнения менее трудоемко. Более подробно применение канонических уравнений метода сил будет рассмотрено при решении рамных систем.

Задача 1.2.

Доказать, что работа силы Метод сил (при статическом нагружении от 0 до Метод сил ) численно равна потенциальной энергии деформации стержневой системы (рис. 1.22). Дано Метод сил Деформацией и весом балок Метод сил пренебречь.

Метод сил

1.2. 1. Определяем тип задачи по формуле (1.13): Метод сил так как Метод сил т.е. задача статически определимая.

2. Выделяем объекты равновесия (рис. 1.38).

3. Составляем уравнения равновесия для первой, второй и третьей

схемы рис. 1.38: Метод сил откуда Метод сил

(нужно поменять направление Метод сил на обратное, т.е. в стержне имеет место растяжение), Метод сил (сжатие), Метод сил (растяжение).

4. Определяем перемещения и деформации (рис. 1.39). Метод сил так как стержни Метод сил растягиваются, т.е. Метод сил так как стержень 2 сжимается, т.е. Метод сил С учетом, что Метод сил найдем, что Метод сил
Метод сил

5. Определяем работу силы Метод сил и потенциальную энергию деформации. Работа Метод сил

где Метод сил - перемещение точки приложения силы, т.е. путь, пройденный силой. Потенциальная энергия деформации стержневой системы Метод сил

Задача 1.7.

Колонна сжимается под действием силы Метод сил равномерно распределённой по верхнему сечению, и собственного веса (рис. 1.27). Требуется подобрать закон изменения площади поперечного сечения колонны из условия равнопрочности. Метод сил заданы.


Метод сил Метод сил
1.7. 1. Воспользуемся методом сечений и выделим элемент на расстоянии Метод сил от верхнего сечения, высотой Метод сил (рис. 1.45).

2. Метод сил откуда Метод силМетод сил

так как в любой точке Метод сил

3. Разделив переменные и проинтегрировав, получим Метод сил Так как при Метод сил тогда

Метод сил