Метод начальных параметров

Метод начальных параметров решение и примеры задач по сопромату

Метод непосредственного интегрирования, рассмотренный ранее, удобен при определении углов поворота Метод начальных параметров и прогибов Метод начальных параметров сечений балки, когда число участков балки незначительно (один-два). При интегрировании приближенного дифференциального уравнения изогнутой оси балки каждый участок дает две постоянных интегрирования Метод начальных параметров т. е. при числе участков балки Метод начальных параметров имеем Метод начальных параметров постоянных интегрирования.

При числе участков более двух удобнее пользоваться универсальным уравнением упругой линии, вывод которого приводится ниже.

Число постоянных интегрирования можно свести к двум при любом количестве участков балки, если при составлении и интегрировании дифференциальных уравнений соблюдать следующие правила.

• Начало координат для рассматриваемой балки выбирается в крайних левой или правой точках и считается постоянным для всех участков балки.

• Уравнения для изгибающих моментов составляются при рассмотрении всех участков балки, в зависимости от того, где выбрано начало координат: слева или справа от сечения.

• Если в каком-либо сечении балки действует сосредоточенный момент Метод начальных параметров то он вводится в выражение изгибающего момента с сомножителем Метод начальных параметров равным единице (Метод начальных параметров - расстояние от начала координат до точки приложения сосредоточенного момента).

• При действии на каком-либо участке балки распределенной нагрузки ее необходимо продолжить до конца балки и ввести точно такую же компенсирующую нагрузку, используя аксиому статики о присоединении или отбрасывании взаимно уравновешенных сил.

• Интегрирование дифференциальных уравнений производить без раскрытия скобок.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по сопротивлению материалов:

Предмет сопротивление материалов (сопромат): формулы и лекции и примеры заданий с решением

Используя эти правила, составим приближенное дифференциальное уравнение упругой линии пятого участка балки, представленной на рис.3.1, проинтегрируем его дважды. Для удобства рассуждений все нагрузки, приложенные к балке, приняты такими, что создают положительные изгибающие моменты. Изгибающий момент для пятого участка равен:
Метод начальных параметров

Тогда дифференциальное уравнение примет вид

Метод начальных параметров

где Метод начальных параметров момент, создаваемый компенсирующей нагрузкой
Метод начальных параметров момент создаваемый треугольной нагрузкой
Интегрируем уравнение (3.1) дважды:

Момент от треугольной нагрузки находится следующим образом

Метод начальных параметров

Интегрируем уравнение (3.1) дважды

Метод начальных параметров

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Расчет фермы: примеры с решением

Олег македонский решение задач по сопромату

Расчет рамы по сопромату примеры и решения

Задачи на сжатие и растяжение по сопромату примеры и решения

Если внимательно рассмотреть рис. 3.1, то можно убедиться, что для четвертого участка балки дифференциальное уравнение упругой линии будет таким же, как и для пятого участка, только оно не будет содержать моменты, действующие на пятом участке:

Метод начальных параметров

Интегрируем это уравнение дважды:

Метод начальных параметров

Имея уравнения (а), (б), (в) и (г), можно доказать, что при соблюдении правил составления дифференциальных уравнений упругой линии и их интегрировании постоянные интегрирования Метод начальных параметров для всех участков будут одинаковыми.

Рассматривая уравнения (а) и (в) при Метод начальных параметров и считая участки плавно сопрягающимися, видим, что Метод начальных параметров К равенству Метод начальных параметров можно прийти, приравняв правые части уравнений (а) и (в). Аналогично, рассмотрев уравнения (б) и (г), получим Метод начальных параметров

Переходя последовательно от четвертого участка к третьему, а затем ко второму и первому, и рассматривая смежные участки при равенстве Метод начальных параметров Метод начальных параметров можно убедиться, что постоянные интегрирования Метод начальных параметровМетод начальных параметров т. е. они равны друг другу.

Геометрический смысл постоянных интегрирования можно установить при рассмотрении уравнений углов поворота и прогибов для первого участка балки. Для первого участка балки имеем

Метод начальных параметров

Здесь Метод начальных параметров - угол поворота сечения и его прогиб в начале координат соответственно. Их принято называть начальными параметрами. Тогда уравнение прогибов для пятого участка примет вид

Метод начальных параметров

Уравнение (3.3) принято называть универсальным уравнением упругой линии, так как оно может применяться при любых расчетных схемах балок.

В обобщенном виде универсальное уравнение упругой линии можно представить следующим образом:
Метод начальных параметров
где Метод начальных параметров - статические начальные параметры (момент и реакция в заделке).

При необходимости определения углов поворота сечений методом начальных параметров уравнение (3.4) нужно продифференцировать, тогда получим
Метод начальных параметров
Прежде чем пользоваться уравнениями (3.4) и (3.5), т. е. находить перемещения методом начальных параметров, необходимо найти начальные параметры Метод начальных параметров

Статические начальные параметры Метод начальных параметров находятся обычным способом уравнениями статики. Начальные же параметры Метод начальных параметров определяются по граничным условиям.

1. Если в начале координат балка имеет заделку (рис. 3.2), то Метод начальных параметров и Метод начальных параметров равны нулю, так как в заделке нет ни прогиба, ни угла поворота сечения. Балка содержит статические начальные параметры в виде опорного момента в заделке Метод начальных параметров и реакции Метод начальных параметровМетод начальных параметров

2. Балка опирается на две опоры (рис. 3.3), при этом слева от опоры Метод начальных параметров нет консоли.
Метод начальных параметров
Для рассматриваемой балки граничными условиями будут значения Метод начальных параметровМетод начальных параметров- точки, прогибы в которых заведомо равны нулю. При Метод начальных параметров т. е. первый начальный параметр равен нулю. При Метод начальных параметров имеем

Метод начальных параметров

Из этого уравнения найдем второй начальный параметр.

1. Если двухопорная балка имеет на левой и на правой опорах консоли (рис. 3.4), то по граничным условиям составляют два уравнения упругой линии для рассматриваемой балки. Решая эту систему, находят начальные параметры. При Метод начальных параметров

Метод начальных параметров

Решая совместно уравнения (ж) и (з), находят Метод начальных параметров которые входят в уравнение прогибов.

В случае действия на каком-либо участке балки треугольной нагрузки, так же как и равномерно распределенной нагрузки, она должна быть продолжена до конца балки, при этом вводится ее компенсирующая нагрузка (рис. 3.5, а, б) или только компенсирующая нагрузка (рис. 3.5, в, г).

Метод начальных параметров

Пример решения задачи 3.1.

На консольную балку (рис. 3.6) длиной Метод начальных параметров действует сосредоточенная сила Метод начальных параметров Определить методом начальных параметров угол поворота и прогиб в точке приложения силы Метод начальных параметров

Решение

Начало координат принимаем в точке Метод начальных параметров . Ось Метод начальных параметров направляем вправо, ось Метод начальных параметров - вверх. Поскольку в начале координат имеем заделку, начальные параметры Метод начальных параметров равны нулю, т.е. сечение балки в точке Метод начальных параметров не имеет ни прогиба, ни угла поворота. Но в точке Метод начальных параметров будут действовать реакция Метод начальных параметров и опорный момент, т.е. балка содержит статические начальные параметры. Находим их:

Метод начальных параметров

Метод начальных параметров

Рассекаем балку сечением и составляем уравнение упругой линии, используя метод начальных параметров. Слева от сечения действуют только Метод начальных параметров поэтому уравнение имеет вид
Метод начальных параметров
Подставляя значения Метод начальных параметров получаем

Метод начальных параметров

Прогиб в точке Метод начальных параметров найдется при Метод начальных параметров

Метод начальных параметров
Угол поворота сечения в точке Метод начальных параметров найдем из уравнения Метод начальных параметров предварительно продифференцировав его:

Метод начальных параметров

Метод начальных параметров

Пример решения задачи 3.2.

Достроить эпюры прогибов и углов поворота для двутавровой балки № 30, если Метод начальных параметров

Решение

Определим опорные реакции Метод начальных параметров

Метод начальных параметров

Выбрав начало координат в крайней левой точке балки, составляем уравнение изгибающих моментов для наиболее удаленного от начала координат участка балки:

Метод начальных параметров

Подставляем Метод начальных параметров в дифференциальное уравнение упругой линии:

Метод начальных параметров
Метод начальных параметров
Полученное уравнение дважды проинтегрируем:

Метод начальных параметров

В уравнения (а) и (б) вошли начальные параметры Метод начальных параметров Найдем их, используя граничные условия рассматриваемой балки.

Если задать Метод начальных параметров то мы попадем в левую опору Метод начальных параметров Как известно, в опоре нет прогиба, поэтому уравнение (б) можно записать в следующем виде:

Метод начальных параметров

Вторым граничным условием для этой балки будет значение Метод начальных параметров В этом случае уравнение (б) запишется как

Метод начальных параметров

Решая совместно уравнения (в) и (г), находим начальные параметры Метод начальных параметров и Метод начальных параметров

Метод начальных параметров

Уравнения для определения перемещений (а) и (б) будут следующими:

Метод начальных параметров

Пользуясь этими уравнениями, построим по участкам эпюру углов поворотов сечений и эпюру прогибов балки:

Для участка 1 Метод начальных параметров
Метод начальных параметров
Метод начальных параметров

При Метод начальных параметров

Метод начальных параметров

Для участка 2 Метод начальных параметров

Метод начальных параметров

Метод начальных параметров

Для участка 1 Метод начальных параметров имеем Метод начальных параметров

Эпюры Метод начальных параметров представлены на рис 3.7 г,д соответсвенно